CURSO DE CÁLCULO LUÍS GUSTAVO DONINNELI MENDES

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Um Curso de Ca´lculo e Equac¸o˜es
Diferenciais com Aplicac¸o˜es1
Lu´ıs Gustavo Doninelli Mendes
23
1Continuarei acrescentando material, ale´m de corrigir poss´ıveis erros ou imperfeic¸o˜es. Por isso
sugiro que o improva´vel leitor na˜o imprima o texto. Quando for estuda´-lo deˆ uma olhada no
meu site se ja´ ha´ uma versa˜o mais atualizada. Sugesto˜es ou correc¸o˜es, por favor as envie para
mendes.lg@gmail.com
2Professor Adjunto do Departamento de Matema´tica da UFRGS
3U´ltima atualizac¸a˜o: 09/05/2012
I´ndice
Parte 1. Ca´lculo Diferencial e Integral e primeiras Aplicac¸o˜es 13
Cap´ıtulo 1. Introduc¸a˜o 15
1. O que e´ o Ca´lculo 15
2. Sobre o Curso 16
3. Sobre os Gra´ficos e Figuras 16
4. Alerta aos estudantes 16
5. Livros-texto e Refereˆncias 17
6. Programas u´teis 18
Cap´ıtulo 2. Alguns dos objetivos do Ca´lculo 21
1. Func¸o˜es e seus domı´nios 21
2. Func¸a˜o 23
3. Func¸o˜es definidas a partir de outras func¸o˜es 23
4. Diferentes domı´nios de func¸o˜es 24
5. Gra´fico descont´ınuo, mas que mesmo assim e´ gra´fico 25
6. Func¸a˜o positiva, negativa e zeros ou ra´ızes 25
7. Func¸a˜o crescente ou decrescente 26
8. Ma´ximos e mı´nimos 28
9. Exerc´ıcios 29
Cap´ıtulo 3. Propriedade ba´sicas dos nu´meros Reais 31
1. Os Reais como sistema de nu´meros: na˜o dividira´s por zero ! 31
2. Ordem nos Reais: na˜o tirara´s a ra´ız quadrada de nu´meros negativos ! 32
3. Propriedades gerais das desigualdades 33
4. Intervalos e suas utilidades 36
5. Metamorfoses de cu´bicas 39
6. Exerc´ıcios 46
Cap´ıtulo 4. Sequeˆncias e seus limites 47
1. Sequeˆncias 47
2. Limites de sequeˆncias 48
3. Definic¸a˜o e Propriedades fundamentais 49
4. Exerc´ıcios 53
Cap´ıtulo 5. Limites de func¸o˜es definidas em intervalos 57
1. Operac¸o˜es elementares com limites de func¸o˜es 58
2. A definic¸a˜o usual com � e δ 59
3. Limites quando x tende ao infinito 61
3
4 I´NDICE
4. Quando a parte e´ do mesmo tamanho do todo 66
5. Exerc´ıcios 68
Cap´ıtulo 6. A noc¸a˜o de Continuidade 71
1. Operac¸o˜es com func¸o˜es cont´ınuas 72
2. Polinoˆmios, func¸o˜es racionais e trigonome´tricas 74
3. Continuidade da func¸a˜o inversa 78
4. Dois teoremas fundamentais sobre func¸o˜es cont´ınuas 79
5. Primeiras aplicac¸o˜es do T.V.I 79
6. Ra´ızes de polinoˆmios cujo grau e´ ı´mpar 79
7. Ra´ızes simples e fatorac¸a˜o de polinoˆmios 81
8. Poss´ıveis ra´ızes Racionais de polinoˆmios a coeficientes inteiros 83
9. Exerc´ıcios 84
Cap´ıtulo 7. Geometria Anal´ıtica Plana 87
1. Equac¸o˜es de retas, coeficientes angular e linear 87
2. Ortogonalidade 89
3. Teorema de Tales no c´ırculo 90
4. A equac¸a˜o da reta de Euler 91
5. A inversa como reflexa˜o de gra´fico na diagonal 99
6. O me´todo de Descartes para as tangentes a um gra´fico 100
7. Um problema da Putnam Competition, n. 2, 1939 104
8. Exerc´ıcios 104
Cap´ıtulo 8. A Tangente ao gra´fico, segundo o Ca´lculo 107
1. Retas secantes a um gra´fico 107
2. A reta tangente a um gra´fico 107
3. A reta tangente ao seno em (0, 0) e´ a diagonal 109
4. Interpretac¸a˜o F´ısica da reta tangente 113
5. Exerc´ıcios 113
Cap´ıtulo 9. A derivada 115
1. Definic¸a˜o, primeiras propriedades e exemplos simples 115
2. Um A´rbitro que so´ avalia as inclinac¸o˜es 117
3. Derivadas da soma e da diferenc¸a 119
4. Problema da Putnam Competition, n. 68, 1993 120
5. A segunda derivada 123
6. Exerc´ıcios 124
Cap´ıtulo 10. Sinal da derivada e crescimento 127
1. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy 127
2. O Teorema 0 das Equac¸o˜es Diferenciais 131
3. Crite´rios de crescimento e de decrescimento 133
4. Uma confusa˜o frequente sobre o significado do sinal da derivada 134
5. Descontinuidade da func¸a˜o derivada 135
6. Exerc´ıcios 136
I´NDICE 5
Cap´ıtulo 11. Aplicac¸o˜es da primeira e segunda derivadas 139
1. Primeiro crite´rio de ma´ximos e mı´nimos 139
2. Crite´rio da segunda derivada 139
3. Um problema t´ıpico para os engenheiros 140
4. Mı´nimos de distaˆncias e ortogonalidade 142
5. Concavidades dos gra´ficos 146
6. Mı´nimos quadrados e a me´dia aritme´tica 149
7. Pontos de inflexo˜es dos gra´ficos 151
8. Crite´rio da derivada de ordem n 152
9. Confecc¸a˜o de gra´ficos de polinoˆmios 154
10. Exerc´ıcios 155
Cap´ıtulo 12. Derivadas de seno e cosseno e as leis de Hooke 161
1. O cosseno como derivada do seno 161
2. Leis de Hooke com e sem atrito 163
3. Exerc´ıcios 166
Cap´ıtulo 13. Derivada do produto, induc¸a˜o e a derivada de xn, n ∈ Z. 167
1. Princ´ıpio de induc¸a˜o matema´tica 167
2. Derivada do Produto 169
3. Derivadas de x−n, ∀n ∈ N 170
4. Ra´ızes mu´ltiplas e fatorac¸a˜o de polinoˆmios 171
5. A Regra de Sinais de Descartes para as ra´ızes de um polinoˆmio 173
6. Exerc´ıcios 177
Cap´ıtulo 14. Derivada da composic¸a˜o de func¸o˜es 179
1. Regra da composta ou da cadeia 179
2. A derivada do quociente 183
3. Uma func¸a˜o que tende a zero oscilando 185
4. Confecc¸a˜o de gra´ficos de func¸o˜es racionais 186
5. Involuc¸o˜es fracionais lineares 189
6. Um problema da Putnam Competition, n. 1, 1938 190
7. Uma func¸a˜o com derivada, mas sem a segunda derivada 192
8. Ma´ximos e mı´nimos: o problema do freteiro 193
9. Exerc´ıcios 205
Cap´ıtulo 15. Derivadas de func¸o˜es Impl´ıcitas 207
1. Curvas versus gra´ficos 207
2. Teorema da func¸a˜o impl´ıcita 209
3. Reta tangente de curva e plano tangente de superf´ıcie 212
4. Tangentes, pontos racionais de cu´bicas e co´digos secretos 213
5. Derivac¸a˜o impl´ıcita de segunda ordem 218
6. Exerc´ıcios 220
Cap´ıtulo 16. Func¸o˜es inversas e suas derivadas 221
1. Derivada de y =
√
x 222
2. Distaˆncia versus quadrado da distaˆncia 223
6 I´NDICE
3. Derivada da “func¸a˜o”x
1
n , de x
m
n e de x
−m
n 223
4. Derivadas do arcoseno e do arcocosseno 225
5. Derivada do arcotangente 228
6. Exerc´ıcios 231
Cap´ıtulo 17. Taxas relacionadas 235
1. Como varia um aˆngulo 235
2. Como varia uma distaˆncia 236
3. Lei dos cossenos e produto escalar de vetores 238
4. Exerc´ıcios 241
Cap´ıtulo 18. O Me´todo de aproximac¸a˜o de Newton 243
Cap´ıtulo 19. O Princ´ıpio de Fermat e a refrac¸a˜o da luz 247
1. Princ´ıpio de Fermat 247
2. Refrac¸a˜o, distaˆncias ponderadas e Lei de Snell 249
3. Exerc´ıcios 253
Cap´ıtulo 20. As Coˆnicas e suas propriedades refletivas 255
1. Distaˆncia ate´ uma para´bola 255
2. Definic¸a˜o unificada das coˆnicas 257
3. A Para´bola e sua propriedade refletiva 265
4. Prova anal´ıtica da propriedade do foco 269
5. A Elipse e sua propriedade refletiva 271
6. A Hipe´rbole e o ana´logo da propriedade refletiva 275
7. Famı´lia de coˆnicas co-focais ortogonais 281
8. Exerc´ıcios 284
Cap´ıtulo 21. Integrac¸a˜o e o Primeiro Teorema Fundamental 285
1. A´rea sob um gra´fico positivo 285
2. Qual func¸a˜o descreve as A´reas sob gra´ficos? 286
3. Primeira Versa˜o do Primeiro Teorema fundamental do Ca´lculo 289
4. A Integral e suas propriedades 291
5. Teorema do valor me´dio de integrais 294
6. A integral indefinida e o Primeiro Teorema fundamental 295
7. Existem func¸o˜es com primeira derivada, mas sem segunda derivada 297
8. Exerc´ıcios 298
Cap´ıtulo 22. Logaritmo natural e sua inversa, a exponencial 301
1. Existe uma func¸a˜o f 6≡ 0 que seja imune a` derivac¸a˜o ? 301
2. Propriedades fundamentais do logaritmo e da exponencial 304
3. loga x , ∀a > 0 e ln | x | 306
4. As func¸o˜es ex e ax, para a > 0 308
5. xa e sua derivada, a ∈ R. 309
6. Crescimento lento do logaritmo e ra´pido da exponencial 310
7. Uma observac¸a˜o sobre o termo geral de uma se´rie infinita 313
8. Um problema da Putnam Competiton, n. 11, 1951 314
I´NDICE 7
9. A regra de L’Hoˆpital 315
10. A func¸a˜o xx 319
11. Um problema da Putnam Competition, n. 22, 1961 321
12. Um modo de aproximar e por nu´meros Racionais 322
13. Func¸o˜es f(x)g(x) em geral e suas indeterminac¸o˜es 323
14. Derivada logar´ıtmica 324
15. Uma func¸a˜o extremamente achatada 326
16. Exerc´ıcios 329
Cap´ıtulo 23.Segundo Teorema Fundamental e A´reas 335
1. A descoberta de Gregory e Sarasa sobre a´rea 335
2. Segundo Teorema Fundamental do Ca´lculo 336
3. Regio˜es entre dois gra´ficos 337
4. Um problema da Putnam Competition, n. 54, 1993. 340
5. Integral e centro de gravidade 343
6. Arquimedes e a para´bola: prova versus heur´ıstica 345
7. Exerc´ıcios 348
Cap´ıtulo 24. Integrac¸a˜o por partes 353
1. Exerc´ıcios 356
Cap´ıtulo 25. Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o 359
1. A substituic¸a˜o trigonome´trica x = sin(θ) 362
2. A´reas do C´ırculo e Elipse 363
3.
∫ √
r2 − x2 dx 365
4. Mais exemplos da substituic¸a˜o x = sin(θ) 365
5. Substituic¸a˜o trigonome´trica x = tan(θ) 367
6. Mais exemplos da substituic¸a˜o x = tan(θ) 367
7.
∫ √
r2 + x2 dx 369
8. Substituic¸a˜o trigonome´trica x = sec(θ) 369
9. Mais exemplos para a substituic¸a˜o x = sec(θ). 370
10.
∫ √
x2 − r2 dx 371
11. E as da forma
∫
1√
Ax3+Bx2+Cx+D
dx ? 371
12. Exerc´ıcios 371
Cap´ıtulo 26. Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais 373
1.
∫
(ax2 + bx+ c)−1 dx 373
2.
∫
αx+β
ax2+bx+c
dx 375
3.
∫
1
Ax3+Bx2+Cx+D
dx 377
4. Frac¸o˜es parciais em geral 380
5.
∫
1
(1+x2)n
dx, n ≥ 2 383
6. Exemplos 384
7. Exerc´ıcios 387
Cap´ıtulo 27. Integrais impro´prias 389
1. Um problema da Putnam Competition, n. 2, 1939 391
8 I´NDICE
2. As primeiras Transformadas de Laplace, a func¸a˜o Gama e o fatorial 392
3. Fo´rmula de Euler para o fatorial 396
4. Exerc´ıcios 396
Cap´ıtulo 28. A curvatura dos gra´ficos 397
1. O comprimento de um gra´fico 397
2. Um problema da Putnam Competition, n.2, 1939 399
3. Curvas parametrizadas e seu vetor velocidade 399
4. Integrais que ningue´m pode integrar 401
5. Velocidade de um gra´fico ou de uma curva 402
6. Definic¸a˜o de curvatura e sua fo´rmula 403
7. Qual a curvatura de uma quina ? 405
Cap´ıtulo 29. Se´ries convergentes 409
1. Se´ries k-harmoˆnicas, k > 1. 409
2. A se´rie geome´trica 411
3. O teste da raza˜o (quociente) 412
4. Um argumento geome´trico para a se´rie geome´trica 414
Cap´ıtulo 30. Aproximac¸a˜o de Nu´meros e Func¸o˜es importantes 415
1. Aproximac¸o˜es de ra´ızes quadradas por nu´meros racionais 415
2. Ra´ızes quadradas que sa˜o irracionais 415
3. Como tirar ra´ız quadrada so´ com +,−,×, / 416
4. Os Reais atrave´s de sequeˆncias de nu´meros Racionais 418
5. Aproximac¸o˜es de e por nu´meros Racionais 419
6. Arcotangente e cartografia 421
7. A aproximac¸a˜o de pi dada por Leibniz 423
8. Aproximac¸o˜es de logaritmos 425
9. Aproximac¸a˜o de logaritmos de nu´meros quaisquer 426
10. Aproximac¸a˜o de ln(2) 428
11. Exerc´ıcios 428
Cap´ıtulo 31. Se´ries nume´ricas e de func¸o˜es 429
1. Se´ries nume´ricas 429
2. Se´ries de poteˆncias 431
3. Se´ries de Taylor e os Restos de Lagrange, Cauchy e Integral 434
4. A se´rie binomial e sua se´rie de Taylor 439
5. Um devaneio sobre os nu´meros Complexos 442
6. Exerc´ıcios 443
Cap´ıtulo 32. O discriminante de polinoˆmios de grau 3 445
1. Preparac¸a˜o para a fo´rmula de Cardano 445
2. A fo´rmula de Cardano para as treˆs ra´ızes Reais: viagem nos Complexos 449
3. O discriminante como curva 452
4. A curva discriminante entre as cu´bicas singulares 454
5. Parametrizac¸a˜o dos pontos racionais de cu´bicas singulares 458
6. Cu´bicas singulares aparecem como sec¸o˜es com o plano tangente 459
I´NDICE 9
Cap´ıtulo 33. Discriminante dos polinoˆmios de grau 4 463
1. A andorinha: o discriminante como superf´ıcie 463
2. Discriminante como envelope de famı´lias de retas ou planos 465
Cap´ıtulo 34. Apeˆndice: O expoente 3
4
comanda a vida ! 467
1. Metabolismo versus massa corporal 467
2. Escalas log/log para um experimento 468
3. Reta de ajuste - me´todo de mı´nimos quadrados 468
4. A Lei experimental de Kleiber 470
5. Justificac¸a˜o racional da Lei de Kleiber 471
6. O argumento 472
Parte 2. Equac¸o˜es diferenciais ordina´rias e Aplicac¸o˜es 479
Cap´ıtulo 35. As primeiras equac¸o˜es diferenciais 481
1. A exponencial e as equac¸o˜es diferenciais 481
2. A definic¸a˜o original de Napier para o logaritmo 482
3. Decaimento radioativo e datac¸a˜o 484
4. Equac¸o˜es diferenciais lineares com coeficientes constantes 486
5. Objetos em queda-livre vertical 489
6. Queda ao longo de um gra´fico 493
7. A curva que minimiza o tempo 496
8. Bal´ıstica e o Super Ma´rio 500
9. Equac¸o˜es diferenciais lineares em geral 504
10. Um problema da Putnam Competition, n.14, 1954 504
11. Soluc¸o˜es das equac¸o˜es lineares gerais 506
12. Um problema da Putnam Competition, n. 49, 1958. 510
13. As equac¸o˜es de Bernoulli e sua reduc¸a˜o a equac¸o˜es lineares 511
14. Exerc´ıcios 512
Cap´ıtulo 36. Aspectos gerais das equac¸o˜es de primeira ordem 515
1. Equac¸o˜es diferenciais e metamorfoses de curvas 515
2. Equac¸o˜es diferenciais em forma normal e as curvas Iso´clinas 517
3. Existeˆncia e unicidade para y′(x) = F (x, y) - Me´todo de Picard 520
4. Equac¸o˜es separa´veis 525
5. A clepsidra 527
6. Equac¸o˜es homogeˆneas 528
7. Equac¸o˜es exatas 530
8. Integral ao longo de um caminho 534
9. Derivada da integral em relac¸a˜o ao paraˆmetro - Fo´rmulas de Leibniz 536
10. Fatores integrantes 539
11. Equac¸o˜es impl´ıcitas, discriminantes e envelopes 542
12. Um problema da Putnam Competition, n. 5, 1942 548
13. Equac¸o˜es de Clairaut e de Lagrange: iso´clinas retas 550
14. Transformac¸a˜o de Legendre, dualidade e resoluc¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais553
15. Apeˆndice: Func¸o˜es cont´ınuas de duas varia´veis e continuidade uniforme 556
10 I´NDICE
16. Exerc´ıcios 558
Cap´ıtulo 37. Curvas de Perseguic¸a˜o 559
1. O problema 559
2. As elipses iso´cronas, segundo A. Lotka 566
3. Um envelope que e´ uma curva de perseguic¸a˜o 568
4. Exerc´ıcios 570
Cap´ıtulo 38. Cine´tica qu´ımica e crescimento bacteriano 571
1. Cine´tica qu´ımica 571
2. Equac¸a˜o diferencial de uma reac¸a˜o de primeira ordem 573
3. Equac¸a˜o diferencial de uma reac¸a˜o de segunda ordem 574
4. Crescimento bacteriano 576
5. Ponto de inflexa˜o da func¸a˜o log´ıstica 580
6. Equac¸a˜o de Bernoulli e reac¸o˜es qu´ımicas de ordem fraciona´ria 581
Cap´ıtulo 39. Newton e a gravitac¸a˜o 583
1. Atrac¸a˜o segundo o inverso do quadrado da distaˆncia 583
2. Tempo de colisa˜o e velocidade de escape 584
3. N´ıveis de energia 587
4. O´rbitas planeta´rias 589
5. Velocidade e acelerac¸a˜o expressas em coordenadas polares 589
6. Grandezas constantes ao longo das trajeto´rias 592
7. As o´rbitas como coˆnicas em coordenadas polares 597
8. Oscilador harmoˆnico 599
9. A´rea em coordenadas polares e a lei de Kepler sobre as a´reas 601
10. Em torno da proposic¸a˜o XXX do Principia 602
11. A Equac¸a˜o de Kepler para o movimento planeta´rio el´ıptico 606
Cap´ıtulo 40. Equac¸o˜es diferenciais de segunda ordem 609
1. Reduc¸a˜o de ordem 609
2. Homogeˆneas, a coeficientes constantes 610
3. Na˜o-Homogeˆneas, lineares de segunda ordem 614
4. Na˜o homogeˆnas: Me´todo de Lagrange de variac¸a˜o de paraˆmetros 616
5. Um problema da Putnam Competition, n.58, 1987 617
6. Equac¸a˜o diferencial de um circuito ele´trico simples 619
7. Na˜o-homogeˆneas: Me´todo de coeficientes a determinar 620
8. Sistemas de equac¸o˜es diferenciais 624
9. Um problema da Putnam Competition, n.2, 1939 626
10. Homogeˆneas, na˜o-singulares, coeficientes varia´veis: reduc¸a˜o a constantes 627
11. Homogeˆneas, na˜o-singulares, coeficientes varia´veis: Me´todo de D’Alembert629
12. Existeˆncia de soluc¸o˜es de equac¸o˜es homogeˆneas e na˜o-singulares 630
13. Propriedades das soluc¸o˜es de equac¸o˜es lineares de segunda ordem 632
14. Um problema da Putnam Competition, n. 15, 1955 635
15. O Teorema de Comparac¸a˜o de Sturm 638
16. Um problema da Putnam Competition, n. 22, 1961 639
17. Exerc´ıcios 641
I´NDICE 11
Cap´ıtulo 41. Equac¸o˜es com pontos na˜o-singulares: Airy, Hermite e Legendre 643
1. Soluc¸a˜o expl´ıcita da Airy 643
2. Soluc¸a˜o expl´ıcita da Hermite 645
3. Soluc¸a˜oexpl´ıcita da Legendre em torno de x = 0 647
4. Polinoˆmios de Legendre e expansa˜o em se´rie do potencial gravitacional 649
5. Ortogonalidade dos polinoˆmios de Legendre 650
Cap´ıtulo 42. Equac¸a˜o com ponto singular: Hipergeome´trica de Gauss 653
1. Integral el´ıptica como se´rie hipergeome´trica 656
Cap´ıtulo 43. Equac¸a˜o com ponto singular: a Equac¸a˜o de Bessel 659
1. A definic¸a˜o original de Bessel 659
2. Zeros de func¸o˜es de Bessel 661
3. Ortogonalidade das func¸o˜es de Bessel 664
Cap´ıtulo 44. Equac¸o˜es com pontos singulares do tipo regular 667
1. A Equac¸a˜o de Euler e sua reduc¸a˜o a coeficientes constantes 667
2. Soluc¸a˜o direta da equac¸a˜o de Euler 670
3. Definic¸o˜es gerais e exemplos de pontos singulares regulares 672
4. In´ıcio do Me´todo de Frobenius 673
5. Soluc¸o˜es expl´ıcitas de algumas equac¸o˜es Bessel 676
6. A Equac¸a˜o de Bessel com ν = 1
3
e a soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Airy 679
7. Equac¸a˜o hipergeome´trica com c 6∈ Z 680
Cap´ıtulo 45. Equac¸o˜es de Riccati 681
1. Soluc¸o˜es de Riccati segundo Daniel Bernoulli 682
2. Ass´ıntotas verticais de soluc¸o˜es de equac¸o˜es de Riccati 687
3. Soluc¸o˜es das Riccati segundo Euler 688
4. A Equac¸a˜o de Bessel com ν = 1
4
e a soluc¸a˜o da Riccati y′ = x2 + y2 691
5. Exerc´ıcios 691
Parte 3. Se´ries de Fourier e Equac¸o˜es diferenciais parciais 693
Cap´ıtulo 46. Se´ries de Fourier 695
1. Se´ries de Fourier e seus coeficientes 696
2. Se´ries de Fourier so´ de senos ou so´ de cossenos 699
3. Convergeˆncia pontual da Se´rie de Fourier 699
4. Se´ries de Fourier de cos(r · sin(x)) e de sin(r · sin(x)), r ∈ R 706
5. Convergeˆncia absoluta da Se´rie de Fourier 707
6. A soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Kepler via se´rie de Fourier e func¸o˜es de Bessel 710
7. Exerc´ıcios 713
Cap´ıtulo 47. Equac¸o˜es Diferenciais Parciais 715
1. Observac¸o˜es gerais, tipos, separac¸a˜o de varia´veis, soluc¸o˜es cla´ssicas 715
2. Equac¸o˜es parciais de primeira ordem e o me´todo das caracter´ısticas 717
3. A Equac¸a˜o da difusa˜o do Calor 717
4. Problemas de esfriamento unidimensionais 720
12 I´NDICE
Cap´ıtulo 48. O operador de Laplace e as equac¸o˜es do calor e da onda 725
1. Laplaciano em coordenadas polares e esfe´ricas 725
2. Estado estaciona´rio do calor num disco e expansa˜o em se´ries de Fourier 727
3. A fo´rmula integral de Poisson 729
4. Estado estaciona´rio do calor na esfera e se´rie de polinoˆmios de Legendre 731
5. Exerc´ıcios 736
Cap´ıtulo 49. Equac¸a˜o da onda e as vibrac¸o˜es de cordas e membranas 737
1. Vibrac¸a˜o de uma corda com extremos fixos, sem atrito 737
2. Vibrac¸a˜o de uma corda infinita: Fo´rmula de D’Alembert 739
3. Modos normais de vibrac¸a˜o de um tambor circular e as func¸o˜es de Bessel 741
Parte 4. Ca´lculo diferencial e integral sobre os nu´meros Complexos 747
Cap´ıtulo 50. Um portal para o Ca´lculo Complexo 749
1. O Teorema de Green e as Relac¸o˜es de Cauchy-Riemann 759
2. A integral complexa e a ide´ia da primitiva Complexa 761
3. Curvas integrais como parte imagina´ria das primitivas Complexas 764
4. A exponencial Complexa e os ramos do logaritmo Complexo 766
5. O Teorema fundamental do Ca´lculo sobre os Complexos 768
6. Exerc´ıcios 769
Cap´ıtulo 51. Os Teoremas Fundamentais 771
1. A primitiva Complexa 771
Cap´ıtulo 52. Soluc¸o˜es detalhadas de alguns Exerc´ıcios 773
Parte 1
Ca´lculo Diferencial e Integral e primeiras
Aplicac¸o˜es
CAP´ıTULO 1
Introduc¸a˜o
1. O que e´ o Ca´lculo
O Ca´lculo Diferencial e Integral ou, simplesmente o Ca´lculo, e´ a matema´tica que
esta´ na base da cieˆncia de hoje.
As cieˆncias mais desenvolvidas como F´ısica e Qu´ımica na˜o podem expressar seus
conceitos sem fazerem uso do Ca´lculo. Tambe´m a Economia e a Biologia cada vez
mais sa˜o matematizadas atrave´s do Ca´lculo.
O Ca´lculo foi fundamental na revoluc¸a˜o cient´ıfica dos se´culos XVII e XVIII e de
la´ para ca´ na˜o cessou de produzir resultados e aplicac¸o˜es.
O Ca´lculo e´ uma teoria matema´tica, ou seja, um modo unificado de se ver uma
se´rie de fatos matema´ticos.
Na matema´tica, quando surge uma nova teoria, ao inve´s de se eliminar os resul-
tados das teorias anteriores, o que a nova teoria faz e´:
• reobter os teoremas ate´ enta˜o conhecidos,
• dar generalizac¸o˜es deles,
• produzir resultados completamente novos.
Isso so´ ocorre em matema´tica: em outras cieˆncias uma nova teoria pode tornar
obsoleta e errada a teoria anterior.
Por exemplo, a determinac¸a˜o exata da A´rea de certas regio˜es, que com me´todos
elementares exigiu o geˆnio de Arquimedes, com o Ca´lculo vira uma continha de rotina.
Mas atrave´s do Ca´lculo aparecem fatos novos e intrigantes sobre A´reas, como o fato
de regio˜es ilimitadas poderem ter A´rea finita.
Ale´m de nos permitir provar tudo que ja´ ouvimos falar de matema´tica no cole´gio,
o Ca´lculo vai nos transformar em verdadeiros McGivers, ou seja, aquele personagem
que com quase nada de recursos faz horrores de coisas, como aparelhos, armas, etc, e
suas misso˜es. Atrave´s do Ca´lculo , so´ com as quatro operac¸o˜es +,−, x vamos poder
no Cap´ıtulo 30 aproximar com a precisa˜o que quisermos :
• func¸o˜es fundamentais como arctan(x), ln(x), etc
• nu´meros como √p (p primo), pi, e = exp(1).
Uma das inspirac¸o˜es fundamentais para o Ca´lculo foi a F´ısica, ou F´ısica-matema´tica
com a qual Isaac Newton revolucionou a cieˆncia da e´poca. Va´rios fenoˆmenos f´ısicos
tiveram enta˜o uma explicac¸a˜o completa e unificada, atrave´s das te´cnicas do Ca´lculo.
Essas te´cnicas so´ ficara˜o aparentes a` medida que o leitor entre na Segunda Parte
do Curso, que e´ a parte de Equac¸o˜es Diferenciais.
15
4. ALERTA AOS ESTUDANTES 16
2. Sobre o Curso
Um alerta: este curso trata de matema´tica superior. Em va´rias universidades,
inclusive a nossa, ha´ uma a tentativa de se ensinar o Ca´lculo como se fosse uma
continuac¸a˜o do Ensino Me´dio, seu ensino sendo feito atrave´s de tabelas, regrinhas,
macetes.
Se refletimos um pouco, vemos que em alguns cursos como Farma´cia, Economia,
Biologia, o Ca´lculo e´ uma das poucas disciplinas de matema´tica que tera˜o na univer-
sidade. Desse modo, imitando o Ensino Me´dio, se cursaria um Curso Superior sem
ter contato com a Matema´tica Superior. A formac¸a˜o cient´ıfica desses cursos ficaria
prejudicada e de fato na˜o poderiam chamar-se cursos universita´rios.
Por isso neste Curso sempre que for poss´ıvel (exceto quando a explicac¸a˜o for
te´cnica demais) vamos tentar dar justificac¸o˜es matema´ticas corretas, sem apelar para
a credulidade do estudante e argumentos de autoridade, do tipo acreditem em mim.
Os argumentos que damos sa˜o concatenac¸o˜es de ide´ias simples, mas a`s vezes ex-
igem um certo foˆlego do leitor para acompanha´-lo do comec¸o ao fim. Esse treino de
concentrac¸a˜o certamente ira´ colaborar na formac¸a˜o te´cnico-cient´ıfica do estudante.
3. Sobre os Gra´ficos e Figuras
Tentei fazer o ma´ximo poss´ıvel de gra´ficos para ilustrar o conteu´do, usando o pro-
grama Maple 9 para fazeˆ-lo numericamente, ou seja, realisticamente. Este programa e´
pago, mas o estudante pode usar o XMaxima ou o Gnuplot que sa˜o programas livres,
do Linux, como auxiliar no estudo. Sempre que poss´ıvel usei a mesma escala nos dois
eixos, pois isso determina inclinac¸o˜es das retas e essas inclinac¸o˜es sa˜o importantes no
Ca´lculo1.
Mas nem sempre isso foi poss´ıvel, por exemplo quando as func¸o˜es crescem muito
ra´pido, onde na˜o da´ para manter as mesmas escalas nos eixos x e y.
A teoria tem que ser sempre nossa guia na confecc¸a˜o de gra´ficos, pois os computa-
dores erram ao representar func¸o˜es descont´ınuas ou func¸o˜es que esta˜o muito pro´ximas
de um certo valor sem alcanc¸ar esse valor.
Tambe´m fiz figuras qualitativas e diagramas usando o programa Winfig, que e´
pago, e o Xfig, do Linux, que e´ gra´tis.
4. Alerta aos estudantes
Por ser matema´ticasuperior, o Curso exige do aluno um empenho e atenc¸a˜o muito
diferente daquele exigido nos seus contatos anteriores com a matema´tica.
Principalmente o aluno deve usar de modo preciso os conceitos que va˜o sendo
apresentados (por ex. limites, continuidade, derivada). Se na˜o os entender, per-
gunte ao professor ate´ ter esclarecido o conceito. Pois embora a`s vezes parec¸am ape-
nas conceitos qualitativos, sa˜o de fato bastante precisos e mais tarde da˜o resultados
quantitativos de absoluta precisa˜o.
1Veja, por exemplo, que o gra´fico do seno esta´ errado em va´rias edic¸o˜es do livro do Anton,
pois ele na˜o usou as mesmas escalas nos eixos x e y, portanto a inclinac¸a˜o na origem na˜o fica bem
representada
CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O 17
Numa primeira leitura, o estudante pode ler o enunciado dos Teoremas e Afirmac¸o˜es,
sem ler todas as demonstrac¸o˜es. Mas de fato, so´ se entende completamente um fato
matema´tico quando se entende a sua demonstrac¸a˜o.
Por u´ltimo, e´ muito importante que o estudante pense nos exerc´ıcios propostos em
cada Cap´ıtulo. Mesmo que na˜o responda todos, ao tentar fazer exerc´ıcios o conteu´do
vai sendo assimilado concretamente. E se o aluno na˜o consegue fazer quase que
nenhum exerc´ıcio, enta˜o precisa voltar a refletir no conteu´do dado.
Alguns teˆm soluc¸a˜o bastante detalhada, apresentada no Cap´ıtulo 52. Mas que so´
devem ser lidas apo´s muito trabalho pessoal do aluno.
Ao longo do livro aparecem problemas da prestigiadaW. L. Putnam Mathematical
Competition, que ocorre anualmente desde sua Primeira Edic¸a˜o em 1938. Va˜o apare-
cendo a` medida que desenvolvemos material suficiente para poder resolveˆ-los. Nessa
competic¸a˜o aparecem problemas dif´ıceis, mas tratei de selecionar alguns simples e
acess´ıveis.
Minhas fontes foram o site:
http://amc.maa.org/a-activities/a7-problems/putnamindex.shtml
(onde esta˜o as Competic¸o˜es de 1985-2009) e o livro The W. L. Putnam Mathemat-
ical Competition, Problems and solutions, 1938-1964., Math. Association of America.
Esses problemas devem ser pensados pelo leitor e so´ depois do leitor apresentar a
sua resposta, do seu jeito de ver o problema, e´ que pode ler as respostas. Foi assim
que eu fiz: eu resolvi sozinho cada um dos que apresento, e minhas respostas na˜o teˆm
a pretensa˜o de serem as mais elegantes poss´ıveis.
Lembro o que um professor muito bom me disse: So´ se aprende matema´tica re-
solvendo problemas !
5. Livros-texto e Refereˆncias
Livros ruins de Ca´lculo ha´ va´rios, de cuyos nombres no quiero acordarme.
Bastante razoa´vel o livro do G. Thomas, dispon´ıvel na biblioteca em va´rias edic¸o˜es.
Curto, direto e bom prec¸o: R. Silverman, Essential Calculus with applications,
Dover.
Para mim um dos melhores livros de Ca´lculo e´ o de Michael Spivak, Calculus
(edic¸o˜es em espanhol e ingles na biblioteca da UFRGS). Aprende-se muito nesse livro
e me foi u´il em alguns momentos na hora em que se fez necessa´rio a precisa˜o que falta
em outros livros. Claro que e´ bastante dif´ıcil como primeiro livro de Ca´lculo, mas o
esforc¸o de ler qualquer sec¸a˜o dele e´ sempre recompensado.
Na Primeira Parte usei coisas que aprendi:
• no enciclope´dico livro de R. Courant e F. John, Introduction to Calculus and
Analysis, Interscience, 1965.
• no curso de Elon Lima Curso de Ana´lise, Projeto Euclides, SBM.
• no cla´ssico E. T. Whittaker e G. Watson, A course of modern Analysis,
Cambridge, reimpressa˜o de 1996.
• no belo livro de C.H. Edwards, The historical development of the Calculus,
Springer, 1979.
• no livro de S. Chandrasekhar, Newton’s Principia for the common reader,
Oxford University Press , 1995.
6. PROGRAMAS U´TEIS 18
As refereˆncias usadas no Apeˆndice sobre a Lei de Kleiber, Cap´ıtulo 34, esta˜o dadas
la´.
Na Parte 2, sobre Equac¸o˜es diferenciais, usei material do Courant-John, bem como
• o excepcional livro de M. Hirsch e S. Smale Differential equations, dynamical
systems and linear algebra, Academic Press, 1974,
• o muito bem escrito e motivante livro de G. Simmons Differential equations
with applications and historical notes, McGraw-Hill, 1972. Alguns Exerc´ıcios
propostos neste livro me serviram de guia para diversas Sec¸o˜es. Usei bastante
esse livro.
• o livro de H. S. Bear, Differential Equations, a Concise Course, Dover, 1962
e´ pequeno mas muito informativo. Nele se encontra uma prova perfeitamente
leg´ıvel do Teorema de existeˆncia de soluc¸o˜es de Picard, por exemplo.
• o de J. W. Bruce e P. j. Giblin, Curves and singularities, Cambrige U. Press,
1984.
• o cla´ssico G. N. Watson A treatise on the theory of Bessel functions , Cam-
brige, 1958.
• o livro de A. Gray e G. B. Mathews, A treatise on Bessel functions and their
applications to Physics, McMillan and co, 1895.
• ademais usei no Cap´ıtulo 37 artigos de A. Bernhardt e de A. Lotka, bem
como
• o cla´ssico livro de F. Gomes Teixeira, Traite´ des courbes speciales remar-
quables, planes et gauches, reimpressa˜o de 1971, Chelsea Publishing Com-
pany.
• last but not least, E. Kamke, Differentialgleichungen- Losungsmethoden und
losungen, T. I, Chelsea Publisinhg Company, 1948.
6. Programas u´teis
Programas como o Maple podem ser um grande auxiliar para o estudo: para
conferir contas, plotar curvas, etc, mas so´ sera˜o u´teis se o estudante tentar fazer
sozinho e depois usar os programas para checar seus resultados.
Para usua´rios do Windows existe o programa gra´tis WXMaxima, que voceˆ baixa
em instantes no site:
http://sourceforge.net/projects/maxima/files/Maxima-Windows/
5.21.1-Windows/maxima-5.21.1.exe/download
Esse programa faz tudo: resolve equac¸o˜es alge´bricas e diferenciais, deriva, integra,
faz gra´ficos, etc.
O Maple e´ programa ana´logo pago.
Tambe´m existe um site, http://www.wolframalpha.com, onde se pode fazer online
gra´ficos, integrais, limites e derivadas, o que e´ u´til quando se esta´ estudando fora de
casa.
Agradecimentos:
Agradec¸o ao Professor Mark Thompson, da Matema´tica da UFRGS, por ter
me disponibilizado Notas que serviram para a elaborac¸a˜o da Sec¸a˜o sobre Cine´tica
CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O 19
qu´ımica. E tambe´m pelo livro de G. Gibson, An elementary treatise on the Calculus,
with illustrations from Geometry, Mechanics and Physics, reimpressa˜o de 1956 da
edic¸a˜o de 1901, que me foi u´til.
Agradec¸o ao Professor Vı´tor Pereira, da Geologia da UFRGS, que me explicou o
belo fenoˆmeno da meia-vida da luz das super-novas.
As notas de Aula do Professor Eduardo Brietzke, da Matema´tica da UFRGS, para
a disciplina de Equac¸o˜es Diferenciais II, me serviram de fio-condutor entre os diversos
temas poss´ıveis. Abordei alguns dos exemplos que la´ aparecem de um ponto vista um
pouco diferente. Lhe sou grato.
Agradec¸o a`s estudantes que fizeram Ca´lculo comigo em 2008: Paˆmela Lukasewicz
Ferreira, por ter tomado notas do curso que dei e que me serviram de roteiro para
este texto e Moˆnica Hoeveler, por participac¸o˜es em aula e por sugesto˜es de temas.
Agradec¸o aos estudantes Luciano Bracht Barros e Magno V. F. Teixeira da
Silva por conversas no fim da aula que me motivaram a escrever a Sec¸a˜o 6 do Cap´ıtulo
32.
O estudante Walter Ferreira Diniz Ju´nior resolveu va´rios problemas de modo
original, produziu exemplos, e ate´ me indicou como escrever melhor a Sec¸a˜o 5 do
Cap´ıtulo 26 !
CAP´ıTULO 2
Alguns dos objetivos do Ca´lculo
A descric¸a˜o matema´tica dos fenoˆmenos se faz principalmente a partir da noc¸a˜o de
func¸a˜o y = f(x) e de seu gra´fico.
Se pudermos entender:
• se f(x) assume somente valores Reais, onde f(x) se anula, onde e´ positiva
ou negativa,
• se e onde f(x) cresce ou decresce a` medida que x cresce,
• se f(x) se aproxima de um certo valor quando x cresce muito,
• se e onde f(x) tem valor ma´ximo ou mı´nimo,
• no caso de y = f(x) ≥ 0, qual a a´rea sob seu gra´ficoe acima do eixo dos x,
• se dado y pudermos descobrir qual x gerou y = f(x),
enta˜o podemos dizer que entendemos o comportamento da f(x).
Estaremos capacitados a fazer previso˜es sobre o fenoˆmeno modelado por essa
func¸a˜o.
Esses sa˜o alguns dos objetivos do Ca´lculo.
Nas pro´ximas Sec¸o˜es passamos lembrar / definir essas noc¸o˜es.
1. Func¸o˜es e seus domı´nios
Os filo´sofos sempre se espantaram com o fato de que as coisas mudam, e se ques-
tionaram tanto sobre o que muda como sobre o que permanece nessas mudanc¸as.
Os matema´ticos tambe´m compartilham desse espanto e sempre se perguntaram,
ao ver que ha´ mudanc¸as, como as coisas mudam.
A resposta a essa pergunta pode ser tanto qualitativa como quantitativa, as duas
sa˜o interessantes. Por exemplo e´ qualitativa quando um astroˆnomo afirma que certo
cometa voltara´ a passar algum dia. E´ quantitativa no caso de Halley, que previu o
ano em que certo cometa voltaria, usando as ferramentas do Ca´lculo.
Se um fenoˆmeno (a temperatura de um sistema, por exemplo) depende de um so´
paraˆmetro (o tempo, por exemplo) e´ natural descrever sua evoluc¸a˜o num gra´fico da
func¸a˜o que associa a cada momento x a temperatura T (x). Esse gra´fico formara´ uma
21
1. FUNC¸O˜ES E SEUS DOMI´NIOS 22
curva no plano.
0,8
1
0,4
0
0,6
0,2
x
210-1-2
Figura: O gra´fico de y = T (x) forma uma curva no plano.
Mas e´ claro que conhecemos fenoˆmenos z = F (x, y) que dependem de dois fatores
e para descrever esse fenoˆmeno precisariamos de gra´ficos que formam superf´ıcies no
espac¸o, ao inve´s de curvas no plano. E em geral os fenoˆmenos dependem de va´rios
paraˆmetros (em qu´ımica, por exemplo, quantidades de reagentes, pressa˜o, ph, etc).
Figura: O gra´fico de z = F (x, y) forma uma superf´ıcie no espac¸o
Os conceitos que aprenderemos neste curso se adaptam facilmente para superf´ıcies,
mas vamos nos restringir a gra´ficos que sa˜o curvas. Ou como se diz, faremos o Ca´lculo
de 1 varia´vel.
A seguir vamos comec¸ar a estabelecer conceitos qualitativos sobre gra´ficos que
sa˜o importantes no Curso. O manejo correto desses conceitos e´ fundamental para a
compreensa˜o do resto do curso.
CAPI´TULO 2. ALGUNS DOS OBJETIVOS DO CA´LCULO 23
2. Func¸a˜o
Uma func¸a˜o e´ uma regra que associa a cada ponto1 de um conjunto (o domı´nio
da func¸a˜o) um ponto de um outro conjunto fixado (o contra-domı´nio). Dito de outro
modo, uma reta vertical trac¸ada passando por um ponto do domı´nio de uma func¸a˜o
y = f(x) corta seu gra´fico exatamente em 1 ponto. Por isso, por exemplo, um c´ırculo
na˜o e´ gra´fico de uma func¸a˜o y = f(x).
O subconjunto do contradomı´nio formado por pontos que sa˜o efetivamente valores
da func¸a˜o formam a imagem da func¸a˜o. Por exemplo,
f : R→ R, f(x) = x2
tem como domı´nio e contradomı´nio os nu´meros Reais, mas sua imagem sa˜o apenas
os Reais na˜o-negativos2.
Quando dizemos que f : I → J e´ sobrejetiva isto quer dizer que na˜o somente
a imagem f(I) verifica f(I) ⊂ J , mas que de fato verifica f(I) = J . Ou seja, que
efetivamente todo ponto de J foi atingido pela f . Por exemplo, f(x) = x2 so´ e´
sobrejetiva vista como func¸a˜o f : R→ R≥0.
E´ importante notar na definic¸a˜o de func¸a˜o que so´ ha´ um valor associado a cada
ponto do domı´nio. Se houver ambiguidade na atribuic¸a˜o do valor enta˜o dizemos que a
func¸a˜o na˜o esta´ bem-definida naquele ponto. Por exemplo, quando perguntamos qual
e´ a ra´ız quadrada de 9 ha´ uma ambiguidade: pode ser que tomemos a ra´ız positiva 3
ou a ra´ız negativa −3.
Na˜o confunda a definic¸a˜o de func¸a˜o com outra, a de func¸a˜o injetiva: uma func¸a˜o
e´ injetiva quando na˜o associa o mesmo valor a dois pontos distintos de seu domı´nio.
Por exemplo, f : [0, 3]→ R, f(x) = x2 e´ injetiva mas f : [−3, 3]→ R, f(x) = x2 na˜o
e´ injetiva.
3. Func¸o˜es definidas a partir de outras func¸o˜es
3.1. Func¸a˜o inversa. Imagine uma func¸a˜o que desfaz o efeito de outra func¸a˜o.
Por exemplo, uma da´ a a velocidade de um carro em func¸a˜o do tempo trascorrido
v = v(t). Sua inversa diria para cada velocidade v qual o tempo necessa´rio para
atingir essa velocidade t = t(v) (o que da´ uma medida da poteˆncia do motor do carro,
por ex.)
Ou por exemplo, a temperatura de um objeto vai caindo com o tempo. Sabendo
quanto caiu a temperatura T (t) como determinar o tempo t transcorrido ?
Para se ter uma func¸a˜o inversa f−1, a func¸a˜o f necessariamente tem que ser
injetiva !
Se na˜o, vejamos: se y = f(x1) = f(x2) com x1 6= x2, o que deve fazer f−1 com y
? Envia´-lo em x1 = f
−1(y) ou em x2 = f
−1(y) ? Isso e´ uma ambiguidade inaceita´vel
para f−1.
Vamos mais tarde falar do sentido geome´trico da func¸a˜o inversa.
1Para mim os nu´meros Reais formam um reta, portanto uso nu´mero ou ponto indistintamente.
2Va´rias vezes no curso usaremos isso: o quadrado de um nu´mero Real nunca e´ negativo
4. DIFERENTES DOMI´NIOS DE FUNC¸O˜ES 24
3.2. Composic¸a˜o de func¸o˜es. Dentre os modos mais u´teis de se produzir um
func¸a˜o interessante a partir de func¸o˜es simples esta´ a composic¸a˜o de func¸o˜es.
A ide´ia e´ simples e fundamental: o resultado de uma func¸a˜o g(x) vira entrada de
uma segunda func¸a˜o f .
A notac¸a˜o usual e´: se f : I → J e g : J → K enta˜o (f ◦ g) : I → K faz
(f ◦ g)(x) := f( g(x) ).
E´ claro que se pode compor um nu´mero qualquer de func¸o˜es.
Pense em quantos exemplos encontramos disso na natureza, nas reac¸o˜es qu´ımicas,
nas indu´strias, em que um processo complicado e´ dividido em va´rias etapas simples
concatenadas.
Neste Curso procedermos assim tambe´m: vamos primeiro entender os casos mais
simples e depois, via composic¸a˜o de func¸o˜es, entender os mais complicados.
3.3. O que e´ a A´rea sob um gra´fico ? Podemos usar o gra´fico de uma func¸a˜o
para definir outra. Por exemplo, tomo a diagonal y = x como gra´fico e me pergunto
pela A´rea do triaˆngulo determinado pela origem, o eixo horizontal e um segmento
vertical de (x, 0) ate´ (x, x). A` medida que x avanc¸a no eixo dos x, a A´rea do triaˆngulo
obtido aumenta e poder´ıamos tentar descrever como essa A´rea depende de x isso num
outro gra´fico.
Na definic¸a˜o do Logaritmo Natural, faremos exatamente isso, mas a a´rea em
questa˜o sera´ delimitada sob o gra´fico de 1/x e na˜o sob y = x.
x=1 x
Figura: A´rea sob um o gra´fico, de x = 1 ate´ x.
Precisaremos saber primeiro, o que e´ a A´rea sob um gra´fico curvado como 1/x.
Isso que foge do que sabemos do Ensino Me´dio, que sa˜o a´reas de regio˜es elementares
como triaˆngulos, quadrados, trape´zios, setores circulares, etc. So´ entenderemos isso
plenamente na Parte 2 do curso, com o conceito de Integral.
4. Diferentes domı´nios de func¸o˜es
A princ´ıpio o domı´nio de uma func¸a˜o pode ser qualquer conjunto, mas neste Curso
usaremos como domı´nios quase sempre:
• todos os Reais R, ou
• intervalos de nu´meros reais, incluindo semi-retas ou
• apenas os Naturais N ⊂ R.
CAPI´TULO 2. ALGUNS DOS OBJETIVOS DO CA´LCULO 25
Mas e´ claro que em certas situac¸o˜es os domı´nios tambe´m podem ser a unia˜o de
va´rios intervalos (como se vera´ por exemplo na Sec¸a˜o 2.3 do Cap´ıtulo 6), somente os
nu´meros Racionais Q ⊂ R, etc.
5. Gra´fico descont´ınuo, mas que mesmo assim e´ gra´fico
Ha´ gra´ficos que sofrem um salto abrupto, mas que mesmo assim sa˜o gra´ficos.
Por exemplo, o gra´fico da func¸a˜o f : R→ R, definida condicionalmente por
f(x) = x− 2, se x < 2 e f(x) = x2 se x ≥ 2.
O ponto 2 de seu domı´nio e´ um ponto catastro´fico: se estamos em pontos que sa˜o um
pouquinho menores que 2 a func¸a˜o tem valores pro´xima do zero. Mas se mexemos
um pouco a coordenada x, chegando em x = 2 ou acrescentando algo positivo muito
pequeno ao 2, o valor da func¸a˜o ja´ pula para ≥ 22 = 4.
x=2
y=4
Figura: O gra´fico de func¸a˜o descont´ınua no ponto x = 2
Outro modo de ver o que acontece e´ que,enquanto seu domı´nio R e´ feito de um
so´ pedac¸o, sua imagem f(R) = R≤0∪R≥4 e´ feito de dois pedac¸os: a func¸a˜o rasga seu
domı´nio em dois pedac¸os.
Esses gra´ficos sa˜o u´teis para modelar matematicamente comportamentos explo-
sivos : uma explosa˜o qu´ımica, o comportamento de um animal a` medida que aumenta
o stress, etc. Mas em cursos de Ca´lculo veremos gra´ficos que na˜o tem essas variac¸o˜es
drama´ticas de valores.
6. Func¸a˜o positiva, negativa e zeros ou ra´ızes
Uma func¸a˜o f : I → R e´ positiva (negativa)3 se sua imagem esta´ contida nos
Reais positivos (negativos).
Muito importante para um te´cnico ou cientista e´ determinar os pontos do domı´nio
onde a func¸a˜o se anula (ou, como se diz, onde corta o eixo dos x, que e´ dado por
y = 0). Ou seja, e´ importante resolver uma equac¸a˜o f(x) = 0.
No caso de polinoˆmios esses pontos sa˜o as chamadas ra´ızes. Aconselho o leitor a ler
o Teorema 7.1 no Cap´ıtulo 6, que prova a relac¸a˜o entre ra´ızes e fatores de polinoˆmios.
3Para evitar escrever duas frases onde so´ trocaria uma palavra, ponho em pareˆnteses a modi-
ficac¸a˜o a ser feita na frase
7. FUNC¸A˜O CRESCENTE OU DECRESCENTE 26
Mais adiante, no Teorema 4.1 do Cap´ıtulo 6.1 explicaremos em termos do Ca´lculo
qual o significado das ra´ızes mu´ltiplas.
4
6
0
-4
2
-2
-6
x
21-1 0-2
Figura: Um gra´fico de polinoˆmio com 3 ra´ızes
7. Func¸a˜o crescente ou decrescente
Definic¸a˜o 7.1. Uma func¸a˜o f : I → R e´ estritamente crescente exatamente quando
∀ x1, x2 ∈ I, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
E dizemos que e´ apenas crescente exatamente quando
∀ x1, x2 ∈ I, x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2).
Analogamente se define estritamente decrescente, trocando f(x1) < f(x2) por
f(x1) > f(x2).
0,6
1
0,2
0,8
0,4
0
x
32,521 1,5
CAPI´TULO 2. ALGUNS DOS OBJETIVOS DO CA´LCULO 27
Figura: Exemplo de gra´fico de y = f(x) crescente.
1
0,8
0,6
0,4
0,2
x
32,5210,50 1,5
Figura: Exemplo de gra´fico de y = f(x) decrescente.
Claro que ha´ func¸o˜es que na˜o sa˜o nem crescentes nem decrescentes, ou sejam, que
oscilam.
1
0,6
0,8
0,4
0
0,2
x
0,4-0,4-0,6 0,2 0,6-0,2 0
Figura: Exemplo de gra´fico de y = f(x) que oscila.
Uma observac¸a˜o simples mas u´til:
Se uma func¸a˜o f e´ estritamente crescente (ou estritamente decrescente) enta˜o f
e´ injetiva.
De fato, se tomo quaisquer x1, x2 diferentes de seu domı´nio, posso sempre me
perguntar qual deles e´ menor, por exemplo, x1 < x2. Como a f e´ estritamente
crescente (ou estritamente decrescente), temos f(x1) < f(x2) (ou f(x1) > f(x2)),
mas de qualquer forma f(x1) 6= f(x2). Logo e´ injetiva.
Um exemplo importante e´ o que ja´ demos de uma func¸a˜o f que mede a A´rea
sob um gra´fico de uma outra func¸a˜o positiva. E´ natural que f seja uma func¸a˜o
estritamente crescente, pois a` medida que vamos para a direita no eixo x ha´ mais
a´rea sob o gra´fico. Logo e´ natural que seja injetiva e tenha enta˜o uma inversa f−1.
Volto nesse ponto, com f o Logaritmo Natural e f−1 a Exponencial.
8. MA´XIMOS E MI´NIMOS 28
Saber que uma func¸a˜o e´ crescente pode ser um fato extremamente relevante do
ponto de vista cient´ıfico: por exemplo, um dos princ´ıpios f´ısicos mais fundamentais
e´ que a func¸a˜o Entropia e´ uma func¸a˜o crescente, ou seja, que as coisas teˆm uma
tendeˆncia a se desorganizar. E´ essa Entropia crecente que esta´ na base da nossa
distinc¸a˜o entre passado, presente e futuro.
Por outro lado um exemplo marcante de func¸a˜o decrescente e´ a func¸a˜o y = f(x)
que da´a quantidade de uma substaˆncia radioativa no tempo x. Uma descoberta
cient´ıfica fundamental foi a de descrever de modo quantitativamente preciso como e´
essa func¸a˜o para cada substaˆncia radioativa.
E´ fundamental neste curso estabelecermos um crite´rio para determinar se uma
func¸a˜o e´ crescente (ou e´ decrescente).
De prefereˆncia um crite´rio que consista em entender uma func¸a˜o que seja mais
simples que a func¸a˜o f ela mesma ! Se na˜o na˜o adiantaria muito. Isso veremos no
Cap´ıtulo 10, que e´ muito importante.
8. Ma´ximos e mı´nimos
Uma das grandes utilidades do Ca´lculo e´ encontrar pontos onde uma func¸a˜o atinge
seu ma´ximo ou mı´nimo. Ou seja, o Ca´lculo serve para minimar ou maximizar: rendi-
mento de um processo, custos, gastos, etc, desde que o problema seja formulado
matematicamente.
Vamos definir um ma´ximo local (analogamente um mı´nimo local).
Definic¸a˜o 8.1. Seja f : I → R e x ∈ I. Dizemos que x e´ ma´ximo local se existe
algum intervalo
(−�+ x, x+ �)
centrado em x, tal que
∀x ∈ I ∩ (−�+ x, x+ �), f(x) ≤ f(x).
Ja´ x e´ dito ser um ma´ximo global de f : I → R se
∀x ∈ I, f(x) ≤ f(x).
E´ a mesma diferenc¸a que ha´ entre ser o cara que corre mais ra´pido no clube do
bairro e ser o cara que corre mais ra´pido no mundo !
x
0,60,4
4
0,20
3,6
-0,4
4,2
3,8
3,4
3
3,2
-0,2-0,6
CAPI´TULO 2. ALGUNS DOS OBJETIVOS DO CA´LCULO 29
Figura: Func¸a˜o com um mı´nimo global, um ma´ximo local e um mı´nimo local.
Chamo a atenc¸a˜o de que ha´ func¸o˜es que simplesmente na˜o tem ma´ximo, como ja´
vimos no caso de f : (0, 5]→ R, f(x) = 1
x
.
E existem as que na˜o tem mı´nimo: por ex. f : R≥1 → R, f(x) = 1
x
.
De fato, se tomo n ∈ R≥1, temos f(n) = 1
n
, que ja´ sabemos fica ta˜o pro´ximo
quanto quisermos de 0, sem nunca atingir zero. Isso diz que f vai sempre diminuindo
um valor, na˜o tendo portanto um ponto de seu domı´nio onde um valor mı´nimo fosse
atingido.
Da´ vontade de dizer algo sobre o papel do 0 neste exemplo f : R≥1 → R, f(x) = 1
x
.
O 0 realmente nunca e´ atingido pela func¸a˜o mas de certo modo demarca, delimita o
conjunto imagem
f(R≥1) = (0, 1].
0 e´ o que se costuma chamar uma cota inferior do conjunto imagem f(R≥1), isto e´,
∀y ∈ f(R≥1), 0 ≤ y.
E mais ainda, qualquer nu´mero maior que zero na˜o e´ cota inferior de f(R≥1), pois
1
n
∈ f(R≥1) se aproxima o que quisermos de zero. Portanto 0 e´ a maior cota inferior
de f(R≥1), que se chama o I´nfimo desse conjunto.
9. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 9.1. Determine em que intervalos as func¸o˜es a seguir sa˜o negativas ou
positivas e onde esta˜o seus zeros:
vi) x2 − x
vii) x2 − 5x+ 6
viii) x3 − x2
Exerc´ıcio 9.2. Deˆ exemplos de frases do dia a dia que sa˜o verdade, mas cujas
rec´ıprocas na˜o sa˜o verdade.
Exerc´ıcio 9.3. Negue as seguintes frases:
i) dado qualquer pol´ıtico, existe um valor de suborno tal que por esse valor ele se
corrompe.
ii) dada uma distaˆncia qualquer, existe um tempo tal que a partir daquele tempo
o astero´ide dista da terra menos que a distaˆncia dada.
Exerc´ıcio 9.4. Imagine alguns exemplos, qualitativamente, sem precisar dar explici-
tamente a regra f(x), de func¸o˜es:
i) positivas e crescentes,
ii) negativas e crescentes,
iii) negativas e decrescentes,
iv) negativas e decrescentes,
v) com mı´nimo local, mas sem mı´nimo global
vi) com ma´ximo local e ma´ximo global diferentes.
9. EXERCI´CIOS 30
Exerc´ıcio 9.5. Fac¸a as composic¸o˜es f ◦ g ◦ h e h ◦ g ◦ f , onde:
i) f = 1
x3
, g = sin(x) h = x+ 5
ii) f = x2, g = 1
x
, h = sin(x).
iv) Imagine algum exemplo onde acontec¸a f ◦ g ◦ h = h ◦ g ◦ f (o que e´ raro !).
Exerc´ıcio 9.6. (resolvido)
Determine explicitamente as func¸o˜es inversas f−1 das func¸o˜es f(x) a seguir. Teste
sua resposta verificando que x = f−1(f(x)).
i) f : R→ R, f(x) = x3
ii) f : R→ R, f(x) = x3 + 1
iii) f : R→ R, f(x) = (x− 1)3
iv): f : R→ R, f(x) = −5 · x3 + 10.
v): f : (0, 1)→ R, f(x) = x
1−x2 . Dica: o mais dif´ıcil neste item e´ na˜o se equivocar
com os sinais.
CAP´ıTULO 3
Propriedade ba´sicas dos nu´meros Reais
As func¸o˜es definidas nos Reais e tomando valores Reais sa˜o importantes pelas
aplicac¸o˜es ao mundo f´ısico. Por exemplo, se um Engenheiro me diz que a laje da pec¸a
onde estou vai cairem 5 minutos eu certamente saio correndo da sala. Mas se um
Matema´tico me disser que a laje vai cair no tempo 5 · I := 5√−1, que fazer ?
Essa utilidade dos Reais, por corresponder a` linha do tempo (passado = nu´mero
negativo, presente = 0, futuro = nu´mero positvo), tem como oˆnus o fato que as
func¸o˜es Reais nem sempre esta˜o definidas.
Veremos duas restric¸o˜es, uma sobre quocientes e outra sobre a ra´ız quadrada.
A primeira afeta na˜o so´ os Reais, mas qualquer sistema de nu´meros. A segunda,
da Ra´ız, e´ t´ıpica dos nu´meros que podem ser ordenados.
1. Os Reais como sistema de nu´meros: na˜o dividira´s por zero !
Todo professor passa aulas e aulas repetindo que na˜o se pode dividir por zero.
E infelizmente muitos alunos de Ca´lculo dividem por zero, pois confundem o fato
de um nu´mero ser pequeno com um nu´mero ser zero !
Mas a final, por queˆ na˜o se pode dividir por zero ? No que podemos nos apoiar
para provar que na˜o existe o nu´mero 1
0
?
Nos bastara´ algumas das propriedades mais gerais dos R (por sinal compartilhadas
com outros sistemas de nu´mros, como Q ou C), que sa˜o:
• existe um elemento neutro aditivo, 0, tal que 0 + x = x, ∀x ∈ R.
• ∀x ∈ R existe o inverso aditivo −x tal que x+ (−x) = 0.
• existe um elemento neutro multiplicativo, 1, tal que 1 · x = x, ∀x ∈ R.
• ∀x ∈ R, x 6= 0, existe o inverso multiplicativo 1
x
tal que x · 1
x
= 1.
• 1 6= 0
• as operac¸o˜es de soma e produto sa˜o distributivas, associativas e comutativas.
De posse dessas propriedades, que sa˜o assumidas como verdades, posso provar :
Afirmac¸a˜o 1.1.
i) −x = −1 · x, ∀x ∈ R,
ii) 0 · x = 0, ∀x ∈ R.
iii) na˜o existe 1
0
.
Demonstrac¸a˜o.
De i):
0 = (1− 1) · x⇔ x− x = (1− 1) · x⇔
31
2. ORDEM NOS REAIS: NA˜O TIRARA´S A RAI´Z QUADRADA DE NU´MEROS
NEGATIVOS ! 32
⇔ x− x = 1 · x− 1 · x⇔ x− x = x− 1 · x⇔ −x = −1 · x.
De ii):
0 · x = 0 ⇔ (1− 1) · x = 0 ⇔
⇔ x− 1 · x = 0 ⇔ x− x = 0,
e este u´ltimo fato e´ verdade: x = x.
De iii):
Suponhamos por absurdo que exista o nu´mero 1
0
.
Enta˜o 0 · 1
0
= 1, pois o sentido de 1
x
e´ ser o inverso multiplicativo de x.
Mas o item ii) da´ que:
0 · 1
0
= 0.
Logo 0 = 1: contradic¸a˜o.
�
2. Ordem nos Reais: na˜o tirara´s a ra´ız quadrada de nu´meros negativos !
Um aspecto bonito da matema´tica e´ que, apo´s assumir a verdade de certos fatos
simples, podemos deduzir fatos novos, a`s vezes na˜o ta˜o simples.
Vamos assumir a validade dos seguinte Princ´ıpios (Axiomas):
• Princ´ıpio 0: Existe um subconjunto P dos Reais chamado de conjunto dos
nu´meros positivos. Vale para todo x ∈ R apenas uma das 3 possibilidades:
ou x ∈ P ou x = 0 ou −x ∈ P . O elemento neutro multiplicativo 1 e´ positivo.
• Princ´ıpio 1: A soma de quaisquer dois nu´meros positivos e´ um nu´mero
positivo.
• Princ´ıpio 2: o produto de um nu´mero positivo por um nu´mero positivo e´
positivo.
Um nu´mero e´ chamado na˜o-negativo se x ∈ P ∪ {0}. Denotamos os positivos
usualmente com x > 0 e os na˜o-negativos com x ≥ 0. Os negativos, por x < 0.
Podemos agora provar :
Afirmac¸a˜o 2.1.
i) (Regra de multiplicac¸a˜o de sinais) (−x) · (−x) = x · x, ∀x ∈ R.
ii) x2 := x · x ≥ 0 ∀x ∈ R.
iii)
√
x na˜o e´ um nu´mero Real, se x < 0.
Demonstrac¸a˜o.
De i):
De fato, pelo item i) da Afirmac¸a˜o 1.1 (−1) · x = −x.
Pela comutatividade e associatividade do produto:
(−x) · (−x) = (−1) · x · (−1) · x = (−1) · (−1) · x · x.
CAPI´TULO 3. PROPRIEDADE BA´SICAS DOS NU´MEROS REAIS 33
So´ resta provar que
−1 · (−1) = 1,
ou seja, nos reduzimos a provar apenas a Regra dos Sinais para o −1. Ora,
−1 · (−1 + 1) = 0⇔ −1 · (−1)− 1 · 1 = 0⇔
⇔ −1 · (−1)− 1 = 0⇔ −1 · (−1) = 1,
como quer´ıamos.
De ii):
Se x = 0 enta˜o x · x = 0, pelo item ii) da Afirmac¸a˜o 1.1.
Se x > 0 enta˜o x · x > 0 (Pr. 2).
Se, por outro lado, x < 0 enta˜o −x > 0 (Pr. 0).
E enta˜o x · x = (−x) · (−x) > 0 (Pr. 3 e 2).
De iii):
Suponha agora por absurdo que y :=
√
x ∈ R para x < 0.
Enta˜o y2 ≥ 0 pelo item ii).
Mas enta˜o chegamos em
0 ≤ y2 = (√x)2 = x < 0,
em contradic¸a˜o com o Princ´ıpio 0.
�
3. Propriedades gerais das desigualdades
Usando os Princ´ıpios 0 , 1, 2 e a Regra de Multiplicac¸a˜o de Sinais podemos provar
as propriedades a seguir, que sa˜o fundamentais.
Alerta: se o estudante na˜o manejar bem essas propriedades tera´ problemas no
Curso.
Afirmac¸a˜o 3.1.
i) Se x ≥ y e z ≥ w enta˜o x+ z ≥ y + w, ∀x, y, z, w ∈ R.
ii) Se x > 0 e y ≥ z enta˜o x · y ≥ x · z.
iii) Se x < 0 e y ≥ z enta˜o x · y ≤ x · z.
iv) se x > 0 enta˜o 1
x
> 0
v) se x > 1 enta˜o 1
x
< 1.
vi) 0 < x1 < x2 ⇒ 0 < 1x2 < 1x1 .
vii) 0 < x < 1 ⇒ 0 < x2 < x < 1.
viii) 1 < x ⇒ 1 < x < x2
ix) 0 < x1 < x2 < 1 ⇒ 1 < 1x2 < 1x1 .
x) 1 < x1 < x2 ⇒ 1x2 < 1x1 < 1.
xi): 0 < x < 1 ⇒ 1 < 1
x
< 1
x2
.
xii): 1 < x ⇒ 1
x2
< 1
x
< 1.
xiii): 0 ≤ x ≤ y e 0 ≤ z ≤ w enta˜o 0 ≤ x · z ≤ y · w.
3. PROPRIEDADES GERAIS DAS DESIGUALDADES 34
Demonstrac¸a˜o.
i) Dados x, y, z, w ∈ R com
x ≥ y e z ≥ w,
podemos traduzir isso em:
(x− y) ≥ 0 e (z − w) ≥ 0.
Queremos provar que
x+ z ≥ y + w,
que se traduz em
(x+ z)− (y + w) ≥ 0,
ou, o que diz o mesmo:
(x− y) + (z − w) ≥ 0.
Isso e´ o que queremos. Para termos isso, podemos usar o Princ´ıpio 1, pois enta˜o com
esse princ´ıpio:
(x− y) ≥ 0 e (z − w) ≥ 0 ⇒ (x− y) + (z − w) ≥ 0.
ii) Temos que x > 0. Caso y = z enta˜o x · y = x · z. Por isso supomos que y > z,
ou seja, y − z > 0.
Queremos provar que x · y > x · z, ou seja, que
x · y − x · z > 0,
o que e´ o mesmo que dizer que
x · (y − z) > 0.
Isso e´ o que queremos. Enta˜o podemos usar o Princ´ıpio 2, que da´:
x > 0 e y − z > 0 ⇒ x · (y − z) > 0.
iii) Temos agora −x > 0 pelo Princ´ıpio 0. Caso y = z enta˜o x · y = x · z.
Por isso supomos y > z, ou seja, y − z > 0. Enta˜o o Princ´ıpio 2 da´:
(−x) · (y − z) > 0,
ou seja
−x · y + x · z > 0,
ou seja,
x · y − x · z < 0,
que e´ o que busca´vamos provar:
x · y < x · z.
iv) Temos x > 0 e suponhamos por absurdo que 1
x
< 0.
Enta˜o − 1
x
> 0 e pelo Princ´ıpio 2:
x · (−1
x
) > 0.
Mas x · (− 1
x
) = −1. Logo obtemos −1 > 0 ou seja 1 < 0, que contradiz o Princ´ıpio 0.
v) Seja x > 1. Suponhamos por absurdo que 1
x
≥ 1.
Se 1
x
= 1 enta˜o chegamos na contradic¸a˜o: 1 = x.
CAPI´TULO 3. PROPRIEDADE BA´SICAS DOS NU´MEROS REAIS 35
Se 1
x
> 1 enta˜o multiplicando esta desigualdade por x > 1 > 0, temos
x · 1
x
> x · 1
(pelo item ii) ja´ provado).
Como x · 1
x
= 1 pela pro´pria definic¸a˜o de 1
x
e como x · 1 pela definic¸a˜o do neutro
1, obtemos
1 > x,
que contradiz x > 1.
Deixo para o leitor a prova das propriedades vi-xii, onde pode usar as propriedades
i) - v) que ja´ foram provadas.
Fac¸o a prova de xiii):
Como 0 ≤ x ≤ y e 0 ≤ z ≤ w enta˜o sai primeiro que 0 ≤ x · z.
Agora, para ver que x · z ≤ y · w, note que
x · z ≤ y · z,
pois 0 ≤ (y − x) · z.
Do mesmo jeito sai que:
y · z ≤ y · w,
e portanto
x · z ≤ y · w.
�
Proponho agora ao leitor o seguinte Exerc´ıcio: explicar com itens da Afirmac¸a˜o
3.1 algumas propriedades dos Gra´ficos das func¸o˜es a seguir, a saber:
• por queˆ em determinado intervalo um esta´ acima ou abaixo do outro,
• por queˆ isso se inverte ao passar de x = 1,
2
1
1,5
0,5
0
x
1,210,4 0,6 0,80,20
4. INTERVALOS E SUAS UTILIDADES 36
y = x em vermelho, y = x2 em verde, y = x3 em amarelo
e y = x4 em azul, para x ∈ [0, 1.2]
2
1
1,5
0,8
0,5
x
1,61,41,21 1,8
y = 1
x
em vermelho, y = 1
x2
em verde, para x ∈ [2
3
, 2]
4. Intervalos e suas utilidades
Um intervalo I ⊂ R e´ definido como o conjunto de todos os nu´meros Reais maiores
(ou iguais) a um certo nu´mero a e menores (ou iguais) que um certo b.1
Se impomos que sejam estritamente maiores que a e estritamente menores que b
temos um intervalo aberto
I = {x ∈ R;a < x < b}
denotado I = (a, b). Caso contra´rio surgem os intervalos semi-abertos, fechados, etc.
Um t´ıpico intervalo que vamos usar no Curso sera´ o intervalo aberto de raio � > 0
centrado num ponto x:
(−�+ x, x+ �)
onde x e´ um ponto da reta dos Reais e � > 0 e´ um nu´mero positivo fixado por no´s.
O modo como vamos usar esses intervalos centrados e´ o seguinte: (−�+ x, x+ �)
sera´ uma espe´cie de gaiola ou cercado em torno de x, delimitando pontos pro´ximos
dele (a` medida que � > 0 e´ tomado pequeno).
Explico isso em mais detalhe:
Definic¸a˜o 4.1. A distaˆncia entre dois pontos x, x da reta dos Reais e´ definida pelo
mo´dulo2 da diferenc¸a entre eles:
|x− x| = |x− x|.
1Podemos considerar a reta R toda ou uma semi-reta tambe´m como intervalos: veremos isso em
detalhe na Sec¸a˜o 4. Ao inve´s de usarmos o s´ımbolo (2,+∞) para denotar a semi-reta dos nu´meros
maiores que 2, prefiro usar o s´ımbolo R>2: o motivo e´ evitar o mal uso do s´ımbolo +∞.
2para um nu´mero Real 4, |4| := 4, se 4 ≥ 0 ou |4| := −4, se 4 < 0
CAPI´TULO 3. PROPRIEDADE BA´SICAS DOS NU´MEROS REAIS 37
Pela definic¸a˜o de mo´dulo, |x− x| < � significa que
x− x < �, se x− x ≥ 0 ou − (x− x) < �, se x− x < 0.
E´ importante entender que:
Afirmac¸a˜o 4.1. (−�+ x, x+ �) e´ exatamente3 o conjunto dos pontos que distam de
x menos que � > 0.
Demonstrac¸a˜o.
Vamos mostrar primeiro que
(−�+ x, x+ �) ⊂ {x ∈ R; |x− x| < �}.
Tome
x ∈ (−�+ x, x+ �),
com x 6= x (caso x = x na˜o ha´ nada a provar, pois � > 0).
Ou seja x verifica:
−�+ x < x < x ou x < x < x+ �.
Que equivale (subtraindo x) a:
−� < x− x < 0 ou 0 < x− x < �.
Que equivale4 a:
0 < −(x− x) < � ou 0 < x− x < �,
ou seja, 0 < |x− x| < �, como quer´ıamos.
Agora vamos mostrar que:
{x ∈ R; |x− x| < �} ⊂ (−�+ x, x+ �).
.
Tome x ∈ {x ∈ R; |x− x| < �}.
Se 0 ≤ x− x enta˜o temos
x− x < � ⇔ x < x+ �,
e portanto x ∈ [x , x+ �).
Se x− x < 0 enta˜o
−(x− x) < � ⇔ −x+ x < � ⇔ −�+ x < x,
ou seja, x ∈ (−�+ x , x).5.
�
3Dois conjuntos X e Y sa˜o iguais se X ⊂ Y e Y ⊂ X
4Atenc¸a˜o: as desigualdade se invertem quando multiplicadas por um nu´mero negativo, por ex.,
1 < 2 < 3 mas −3 < −2 < −1
5O quadrado a` direita significa que a demonstrac¸a˜o terminou
4. INTERVALOS E SUAS UTILIDADES 38
4.1. O que e´ u´til num intervalo aberto.
Os intervalos abertos sa˜o importante no Ca´lculo, e o ponto importante e´ que um
intervalo aberto tem uma certa toleraˆncia com cada um de seus elementos. Podemos
mexer um pouquinho em cada um de seus elementos sem sair do intervalo aberto.
Mais especificamente:
Afirmac¸a˜o 4.2. Dado qualquer x ∈ (a, b) existe um pequeno intervalo aberto centrado
em x denotado Ix tal que Ix ⊆ (a, b).
Demonstrac¸a˜o.
Considere as distaˆncias de x ∈ (a, b) ate´ o extremo a e ate´ o extremo b:
|x− a| := x− a > 0, |x− b| := b− x > 0
(sa˜o dois nu´meros positivos pois (a, b) e´ intervalo aberto).
Dentre os dois agora escolho o menor, chamando-o de δ0 > 0:
δ0 := mı´nimo{ x− a, b− x }.
Fac¸a
Ix := (−δ0 + x, x+ δ0),
e vamos verificar que
(−δ0 + x, x+ δ0) ⊂ (a, b).
Para isso vamos supor que e´ o caso que δ0 = x − a, ou seja, que x esta´ ou no centro
do intervalo (a, b) ou um pouco mais pro´ximo de a que de b (analogamente no outro
caso). Enta˜o
(−δ0 + x, x+ δ0) = ( −(x− a) + x, x+ (x− a) ) =
= ( a, x+ (x− a) ).
Ora supusemos estar na situac¸a˜o em que x− a ≤ b− x, logo:
(a, x+ (x− a)) ⊆ (a, x+ (b− x)) = (a, b),
portanto:
(−δ0 + x, x+ δ0) ⊆ (a, b)
como quer´ıamos.
�
Observe nessa Prova que a` medida que x se aproxima de a ou de b a toleraˆncia
(medida pelo δ0) fica menor, mas sempre existe.
Ja´ no intervalo semi-aberto I = (0, 5] na˜o ha´ toleraˆncia nenhuma com seu elemento
5: ou seja, qualquer nu´mero δ > 0 que for somada a 5, ja´ faz que 5 + δ na˜o pertenc¸a
a (0, 5].
CAPI´TULO 3. PROPRIEDADE BA´SICAS DOS NU´MEROS REAIS 39
4.2. O que e´ u´til num intervalo fechado.
Num intervalo aberto acontece de seus elementos estarem se aproximando cada
vez mais de um ponto que ele mesmo na˜o esta´ no intervalo, por assim dizer de um
fantasma. Por exemplo, os pontos 1
2
, 1
3
, . . . , 1
n
de (0, 5) esta˜o cada vez mais pro´ximos
de 0, mas mesmo assim 0 6∈ (0, 5). Isso na˜o acontece no intervalo fechado [0, 5].
Dito de outro modo, no Curso na˜o estamos apenas interessados em saber se um
certo nu´mero z pertence ou na˜o pertence a um conjunto X ⊂ R, como se fazia no
ensino Me´dio. Tambe´m vamos querer saber se desse ponto z podemos achar elementos
x ∈ X ta˜o pro´ximos quanto quisermos.
• Se I e´ um intervalo aberto, pode acontecer que z /∈ I e mesmo assim hajam
elementos de I ta˜o pro´ximos quanto quisermos.
• Se I e´ intervalo fechado, e ha´ elementos de I ta˜o pro´ximos quanto quisermos
de z, enta˜o de fato z ∈ I.
Uma informac¸a˜o extremamente importante para um cientista e´ saber se uma
func¸a˜o que lhe interessa assume ma´ximo ou mı´nimo em seu domı´nio e principal-
mente, saber onde o faz.
Somente os intervalos fechados I = [a, b] garantira˜o sempre ma´ximos e mı´nimos
globais de func¸o˜es, sena˜o pode acontecer algo como segue.
Pense em f : (0, 5] → R, f(x) = 1
x
. A` medida que vamos tomando os pontos
1/n ∈ (0, 5] a func¸a˜o vale
f(
1
n
) = n,
que fica ta˜o grande quanto quisermos. Note que (0, 5] na˜o e´ um intervalo fechado.
5. Metamorfoses de cu´bicas
Nesta Sec¸a˜o resolvi descrever curvas interessantes usando apenas propriedades
ba´sicas do Reais, como regra dos sinais, desigualdades, mo´dulo, etc. que ja´ justifi-
camos acima neste mesmo Cap´ıtulo.
Tudo o que vem a seguir nesta Sec¸a˜o e´ baseado em que na˜o ha´ ra´ız quadrada Real
de um nu´mero Real negativo.
Comec¸emos com o conhecido c´ırculo y2 + x2 = r2 de raio r > 0. Observe que:
• podemos tomar o gra´fico de y = √r2 − x2 para descrever o semic´ırculo su-
perior (ou tomar y = −√r2 − x2 para o inferior).
• se r2−x2 > 0 ha´ duas escolhas de ra´ızes, positiva e negativa, e quando x = r
ou x = −r essas duas escolhas colapsam numa so´, que e´ y = 0.
• Onde r2−x2 < 0 deixamos de trabalhar sobre os Reais, pois os valores asso-
ciados a y =
√
r2 − x2 passam para o terreno dos nu´meros Complexos.6Como
so´ tratamos neste Curso de func¸o˜es a valores Reais, na˜o existem pontos do
c´ırculo cuja coordenada x verifique r2 − x2 < 0.
Por u´ltimo, observe que mudando o valor de r muda o raio do c´ırculo, portanto
podemos pensar em y2 + x2 = r2 como sendo uma famı´lia de c´ırculos em que cada
elemento fica determinando pelo r. Veja a Figura:
6Ha´ uma versa˜o magn´ıfica do Ca´lculo sobre os nu´meros complexos !
5. METAMORFOSES DE CU´BICAS 40
y
0,5
1
x
10 0,5
-0,5
-1
0
-1
-0,5
Bom, mas tratar de c´ırculos e´ covardia, pois temos sua imagem impressa na nossa
mente desde a infaˆncia.
Que tal tratarmos de alguma curva que na˜o tenha sua imagem impressa na nossa
mente ? E ademaias, que tal tratarmos logo de uma famı´lia delas ?
Considere a familia de curvas dada por:
y2 − x3 − r · x = 0, r 6= 0.
Vamos analisar separadamente o que acontece quando r > 0 e quando r < 0.
Caso r > 0:
Temos
y2 = x3 + r x ⇔ y2 = x · (x2 + r).
Como x2 + r ≥ r > 0, o sinal de x · (x2 + r) so´ depende do de x. Logo
• se x > 0 temos duas opc¸o˜es
y =
√
x · (x2 + r) ou y = −
√
x · (x2 + r).
Ou seja, a curva na˜o e´ um gra´fico, ela tem uma parte no eixo y > 0 e uma
parte no eixo −y. Ha´ uma simetria relativa ao eixo dos x.
• ainda se x > 0, |y| = √x3 + rx observo que fica ta˜o grande quanto quisermos.
De fato, se dou o valor 7 K >> 1:
x ≥ 3
√
K2 ⇒ x3 ≥ K2 ⇒
⇒ x3 + rx ≥ K2 ⇒ |y| =
√
x3 + rx ≥ K.
• essas duas escolhas y =√x · (x2 + r) ou y = −√x · (x2 + r) colapsam numa
so´ se x = 0, pois enta˜o y = 0.
• se x < 0 a(s) coordenada(s) y deixa de ser um nu´mero Real, ou seja, para
no´s deixa de existir.
7O sinal >> 1 quer dizerbem maior que 1
CAPI´TULO 3. PROPRIEDADE BA´SICAS DOS NU´MEROS REAIS 41
Uma Figura compat´ıvel8 com essa descric¸a˜o e´:
y
2
-2
3
1
-1
0
-3
x
1,61,20,80,40
Caso r < 0
Agora
y2 = x · (x2 + r),
e (x2 + r) pode ser positivo, negativo ou positivo. Por isso o estudo do sinal de
x · (x2 + r)
e´ mais delicado.
Note que
x2 + r > 0 ⇔ x2 > −r > 0 ⇔
√
x2 >
√−r.
So´ que √
x2 = |x|
e portanto temos
x2 + r > 0 ⇔ |x| > √−r.
Se x > 0, |x| > √−r quer dizer x > √−r mas se x < 0 isso quer dizer −x > √−r,
ou seja x < −√−r.
Em suma:
x2 + r > 0 ⇔ x < −√−r ou x > √−r.
Enta˜o
• se x > 0
x · (x2 + r) ≥ 0 ⇔ x ≥ √−r,
e teremos duas opc¸o˜es de ra´ızes para determinar y. Que colapsam para y = 0
se x =
√−r.
• se x ≤ 0, so´ teremos x · (x2 + r) ≥ 0 se (x2 + r) ≤ 0. Ou seja,
−√−r ≤ x ≤ 0.
Nessa faixa de valores de x teremos duas opc¸o˜es de y, que colapsam em y = 0
se x = 0 ou x = −√−r.
8Na Figura trac¸ada ha´ mais informac¸a˜o do que a que justificamos. Somente na Sec¸a˜o 5 do
Cap´ıtulo 15 e´ que teremos esses dados.
5. METAMORFOSES DE CU´BICAS 42
Uma Figura compat´ıvel com essa descric¸a˜o e´ (r = −1).
y
1
2
0
-2
-1
x
21,50,50 1-1 -0,5
Por u´ltimo, note que se |r| vai ficando pequeno, enta˜o os pontos
(−√−r, 0), (0, 0) e (√−r, 0)
va˜o se aproximando. Note que as ovais da parte negativa va˜o diminuindo de tamanho
quando |r| vai diminuindo.
Imagine r vindo de valores positivos, que va˜o ficando bem pro´ximos de zero, pulam
o valor zero, e passam a assumir enta˜o valores negativos.
E´ como se de um continente fosse expelida uma ilhota, que vai ficando maior e
mais distante do continente: as quatro figuras a seguir tentam mostrar isso.
y
2
-2
3
1
-1
0
-3
x
1,61,20,80,40
CAPI´TULO 3. PROPRIEDADE BA´SICAS DOS NU´MEROS REAIS 43
Figura: A curva y2 − x3 − x = 0.
y
2
-2
3
1
-1
0
-3
x
21,510,50
Figura: A curva y2 − x3 − 0.4 x = 0.
y
1
2
0
-2
-1
x
21,50,50-0,5 1
Figura: A curva y2 − x3 + 0.3 x = 0.
y
1
2
0
-2
-1
x
21,50,50 1-1 -0,5
Figura: A curva y2 − x3 + x = 0.
5. METAMORFOSES DE CU´BICAS 44
5.1. Suavizac¸a˜o do caso r = 0.
Ha´ uma pergunta natural: o que acontece na curva y2 − x3 − 0 x = y2 − x3 = 0 ?
Ja´ aviso: os programas gra´ficos ficam bem perdidos para trac¸ar essa curva, se a
coordenada x fica pro´xima de 0.
Por isso vou proceder como em muitos ramos da cieˆncia, vou tentar inferir qual
o formato dessa curva tomando curvas que entendamos e que estejam cada vez mais
pro´ximas dela.
Num sentido que ficara´ claro mais tarde, essas curvas pro´ximas sa˜o suaves ou
na˜o-singulares (ver Definic¸a˜o 4.1 na Sec¸a˜o 4 do Cap´ıtulo 32).
Na Figura a seguir trac¸o a curva y2 − x3 = 0 so´ que estabelec¸o x ≥ 0.4, deixando
a regia˜o em torno de x = 0 como um miste´rio.
y
2
-2
3
1
-1
0
-3
x
1,61,20,80,40
A curva y2 − x3 = 0, so´ que x ≥ 0.4.
Como quero ter mais luz sobre esse objeto y2−x3 = 0 na˜o vou deforma´-lo de novo
na famı´lia y2 − x3 − r x = 0, mas sim noutra famı´lia:
y2 − x3 + s = 0, s ∈ R>0.
Observo que a relac¸a˜o
y2 = x3 − s
permite tirar ra´ızes quadradas desde que x3 − s ≥ 0. Portanto ha´ duas opc¸o˜es de
x > 3
√
s ou apenas y = 0 se x = 3
√
s.
Ou seja:
• a curva y2 = x3 − s so´ tem trac¸o no plano Real se x ≥ 3√s e
• a partir de x > 3√s a curva e´ sime´trica em relac¸a˜o ao eixo x, ja´ que temos
duas opc¸o˜es diferentes: y =
√
x3 − s e y = −√x3 − s.
Ademais note que se x > 3
√
s, enta˜o
y =
√
x3 − s <
√
x3
e
y = −
√
x3 − s >
√
x3.
ou seja:
CAPI´TULO 3. PROPRIEDADE BA´SICAS DOS NU´MEROS REAIS 45
• dado x > 0, o trac¸o da curva y2 = x3 + s que tem y > 0 fica sempre abaixo
do de y =
√
x3.
• dado x > 0, o trac¸o da curva y2 = x3 + s que tem y < 0 fica sempre acima
do de y = −√x3.
A Figura a seguir ilustra isso para y2 − x3 + 8 = 0:
y
2
4
x
0
2,51,5 21
-4
-2
0,5
A curva y2 − x3 = 0, so´ que x ≥ 0.4, e a curva y2 − x3 − 8 = 0.
As Figuras a seguir ilustram curvas cada vez mais pro´ximas:
y
2
4
x
0
2,51,5 2
-4
-2
0,5 1
A curvas y2 − x3 = 0, y2 − x3 + 8 = 0 e y2 − x3 + 1 = 0.
6. EXERCI´CIOS 46
y
2
4
x
0
2,51,5 2
-4
-2
0,5 1
A curvas y2 − x3 = 0, y2 − x3 + 8 = 0, y2 − x3 + 1 = 0 e y2 − x3 + 0.5 = 0.
Sera´ que agora o leitor consegue inferir a forma de y2 − x3 = 0 ?
6. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 6.1. (resolvido)
Prove, ao inve´s de apenas assumir, que vale:
x · x = (−x) · (−x), ∀x ∈ R.
Exerc´ıcio 6.2. (resolvido)
Para quais valores de x:
i) −3x+ 2 > 0 ?
ii) x2 − x > 0 ?
iii) 3x2 − 2x− 1 > 0 ?
iii) 3x+ 2 > 2x− 8 ?
iv) |x− 6| < 2 ?
v) |x+ 7| < 1 ?
Exerc´ıcio 6.3. (resolvido)
Prove que para quaisquer nu´meros Reais � e 4:
|�+4| ≤ |�|+ |4|.
Exerc´ıcio 6.4. Como sa˜o os gra´fico das func¸o˜es (com domı´nio ∀x ∈ R):
i) y = |x|,
ii) y = −| x|,
iii) y = |x− 5|,
iv) y = |x|+ |x− 1|+ |x− 2| ?
CAP´ıTULO 4
Sequeˆncias e seus limites
1. Sequeˆncias
Neste Curso sera´ importante a situac¸a˜o em que o domı´nio de uma func¸a˜o sera´ o
conjunto dos nu´meros Naturais N = {1, 2, 3, ...}. Nesse caso
f : N→ R
e´ chamada de sequeˆncia.
A imagem de uma tal f e´ uma lista de nu´meros Reais. Como cada ponto de sua
imagem e´ do tipo f(n) e´ comum denota´-lo por xn e a sequeˆncia toda por (xn)n.
Exemplo 0: f : N → R dada por f(n) = K e´ a sequeˆncia mais boba de todas,
pois sua imagem e´ somente o conjunto {K} - chama-se sequeˆncia constante.
Exemplo 1: Uma sequeˆncia na˜o ta˜o boba e´ f : N→ R dada por f(n) = 2n, cuja
imagem sa˜o os nu´meros Pares.
Exemplo 2:
Uma sequeˆncia fundamental para todo o Curso e´
f : N→ R, f(n) = 1
n
.
No que segue, dizer que N e´ um conjunto ilimitado em R e´ dizer que sempre ha´
um nu´mero Natural maior que qualquer nu´mero Real que for dado.
Afirmac¸a˜o 1.1. O fato de que os nu´meros naturais N formam um conjunto ilimitado
nos R e´ equivalente ao fato de que os valores de f : N → R, f(n) = 1/n ficam ta˜o
pro´ximos quanto quisermos de 0, desde que n seja suficientemente grande.
Demonstrac¸a˜o.
Uma equivaleˆncia e´ uma implicac¸a˜o em dois sentidos: ⇔.
Prova do sentido ⇒: Obviamente 1/n nunca e´ igual a 0: caso pensa´ssemos o
contra´rio para algum n0, obter´ıamos de
1
n0
= 0 e multiplicando por n0 obtemos que
0 = 1: absurdo.
A distaˆncia entre f(n) = 1/n e 0 e´ dada por |1/n− 0| = 1/n. Suponha que nos
foi dado um nu´mero positivo muito pequeno �0 > 0. Queremos confirmar que
1/n < �0
47
2. LIMITES DE SEQUEˆNCIAS 48
a partir de um certo n, ou seja se n ≥ n� (onde uso a notac¸a˜o n� para destacar que
esse n depende do �, quanto menor o � maior o n�). Mas negar o anterior seria dizer:
∀n ∈ N, �0 ≤ 1
n
.
Mas isso equivale (multiplicando por n
�0
> 0):
∀n ∈ N, n ≤ 1
�0
Concluir´ıamos enta˜o que o nu´mero 1
�0
e´ maior que todos os nu´meros naturais, con-
tradizendo a hipo´tese.
Prova do sentido ⇐:
Se existe um nu´mero K ∈ R tal que ∀n ∈ N tenhamos n ≤ K enta˜o ∀n ∈ N
ter´ıamos 1
K
≤ 1
n
. Logo a sequeˆncia 1
n
na˜o se aproxima de 0 mais que 1
K
. Contradic¸a˜o.
�
Observac¸a˜o: E´ poss´ıvel se colocar um Axioma sobre os nu´meros Reais - chamado
Axioma de Completamento - que implica a propriedade de N ser ilimitado em R.
Para no´s, neste Curso, o fato dos Naturais serem ilimitados e´ tomado como um
Axioma.
Podemos tambe´m dizer o conteu´do da Afirmac¸a˜o anterior de outro modo: dada
uma cerca (−� + 0, 0 + �), se tomamos um n� suficientemente grande, enta˜o ∀n ≥ n�
teremos 1/n ∈ (−�+ 0, 0+ �). Ou seja, esperando o tempo suficiente n�, a partir dali
a sequeˆncia 1/n na˜o sai mais da gaiola (−�+ 0, 0 + �). Simbolicamente escreveremos
lim
n→+∞
1
n
= 0,que leˆ-se assim: zero e´ o limite da sequeˆncia 1/n ou a sequeˆncia tende a zero
Veremos adiante que ha´ sequeˆncias que tendem de diversas maneiras diferentes
a pontos, algumas va˜o decrescendo em valores como a (xn)n = 1/n, outras va˜o
crescendo como−1/n, outras va˜o oscilando e assim por diante, mas o que e´ importante
e´ que:
• elas entram em qualquer cerca estabelecida em torno de seu limite, desde
que se espere o tempo n� suficiente e
• depois de la´ entrarem na˜o mais saem.
Veremos tambe´m que podemos combinar sequeˆncias simples (cujo limite podemos
intuir facilmente) para criar sequeˆncias complicadas, das quais na˜o e´ poss´ıvel ter uma
intuic¸a˜o de seu limite (exceto algue´m com poderes para-normais ...). Mesmo assim
poderemos matematicamente determinar esses limites.
2. Limites de sequeˆncias
O conceito de limite e´ o conceito fundamental do Ca´lculo, de onde surgem out-
ras noc¸o˜es importantes como continuidade, derivada e integral. Por isso este e´ um
Cap´ıtulo um pouco mais extenso.
CAPI´TULO 4. SEQUEˆNCIAS E SEUS LIMITES 49
Imagine uma ma´quina, um sistema ou um processo tal que para um certo input
x da´ um certo output f(x). Agora imagine que para um input parecido x + h (com
h pequeno) da´ um output parecido: f(x+ h) = f(x) + δ, com δ pequeno.
Apesar de ser uma situac¸a˜o plaus´ıvel, da qual temos muitos exemplos no dia a dia,
tambe´m sabemos que ha´ exemplos da situac¸a˜o oposta, em que, apesar de x + h ∼ x
temos f(x + h) muito diferente de f(x). Essas duas possibilidades sa˜o t´ıpicas de
processos cont´ınuos e descont´ınuos, respectivamente.
O objetivo deste cap´ıtulo e´ definir essas noc¸o˜es precisamente, pois nelas se apoiam
os dois conceitos centrais do Curso: Derivada e Integral.
3. Definic¸a˜o e Propriedades fundamentais
Vamos comec¸ar com a Definic¸a˜o 3.1, que e´ mais precisa e importante do que
parece.
Nela destaco que ha´:
• uma enorme exigeˆncia: onde dizemos ∀� >, e
• uma imposic¸a˜o: a de que a partir de um certo n� a sequeˆncia na˜o mais saia
de uma regia˜o onde entrou.
Definic¸a˜o 3.1. Um sequeˆncia (xn)n tende a um ponto L se ∀� existe n� ∈ N tal que
se n ≥ n� enta˜o xn ∈ (−�+ L, L+ �).
Ha´ diferentes formas pelas quais uma sequeˆncia pode tender a um limite; em
particular, com diferentes velocidades.
Por exemplo, Afirmo que xn =
1
n2
tende a 0 mais rapidamente do que zn =
1
n
o
faz. Ou seja, Afirmo que o tempo n�(zn) de espera para ter zn < � e´ menor que o
tempo n�(xn) que tenho de esperar para ter xn < �. De fato,
1:
n�(zn) = d
√
1
�
e, n�(xn) = d1
�
e,
e e´ claro que
√
1
�
≤ 1
�
para � pequeno.
Nos argumentos discutidos abaixo teremos a`s vezes que esperar o tempo n su-
ficiente para que duas ou mais sequeˆncias se aproximem de onde queremos. Como
podem ser diferentes, por precauc¸a˜o tomamos o maior dentre eles, para que as duas
ou mais sequeˆncias estejam onde queremos.
Teorema 3.1. (Propriedades fundamentais de sequeˆncias)
Sejam (xn)n e (zn)n duas sequeˆncias, com
lim
n→+∞
xn = L1 e lim
n→+∞
zn = L2.
Enta˜o:
1) A sequeˆncia soma (xn + zn)n tem
lim
n→+∞
(xn + zn) = L1 + L2.
1onde d4e significa o primeiro nu´mero Natural maior ou igual que 4 ∈ R.
3. DEFINIC¸A˜O E PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS 50
2) A sequeˆncia diferenc¸a (xn − zn)n tem
lim
n→+∞
(xn − zn) = L1 − L2.
3) Se C ∈ R e´ uma constante, enta˜o a sequeˆncia (C · xn) tem
lim
n→+∞
(C · xn) = C · L1.
4) Seja (qn)n uma sequeˆncia qualquer tal que
∀n, |qn| ≤ K,
para algum K. Se L1 = 0 enta˜o limn→+∞(qn · xn) = 0
5) A sequeˆncia produto (xn · zn)n tem
lim
n→+∞
(xn · zn) = L1 · L2.
6) Se L2 6= 0, enta˜o:
• i) a partir de um certo n, zn 6= 0 e
• ii) limn→+∞ xnzn = L1L2 .
7) Suponha adicionalmente que a partir de um certo n, xn ≤ L1 e que, para uma
sequeˆncia qualquer qn, a partir de um certo n temos
xn ≤ qn ≤ L1.
Enta˜o
lim
n→+∞
qn = lim
n→+∞
xn = L1.
Demonstrac¸a˜o. (de alguns itens do Teorema 3.1)
Prova de 1) Nesse primeiro item, o ponto a lembrar e´ que xn e zn se aproximam
cada uma de um nu´mero a princ´ıpio distinto e que cada uma delas o faz possivelmente
com velocidade diferente.
O que queremos provar? Queremos saber se, esperando um tempo n� suficiente,
conseguimos que:
xn + zn ∈ (−�+ L1 + L2, L1 + L2 + �),
ou seja, como ja´ explicamos, se |xn+ yn− (L1+L2)| < �. Vamos traduzir esta u´ltima
condic¸a˜o de outro modo, que leva em conta as duas hipo´teses sobre xn e zn
2:
|xn + yn − (L1 + L2)| = |xn − L1 + yn − L2| ≤
≤ |xn − L1|+ |yn − L2|.
Agora fazemos o seguinte: esperamos tempo suficiente n� para que tenhamos
∀n ≥ n�, |xn − L1| < �
2
e |zn − L2| < �
2
.
2No u´ltimo passo uso uma desigualdade (chamada desigualdade triangular, ver Exerc´ıcio 6.3)
que vale para quaisquer nu´meros Reais � e 4:
|�+4| ≤ |�|+ |4|
, no nosso caso aplicadoa para � = xn − L1 e 4 = yn − L2
CAPI´TULO 4. SEQUEˆNCIAS E SEUS LIMITES 51
Enta˜o obtemos de acima:
|xn + yn − (L1 + L2)| ≤ |xn − L1|+ |yn − L2| < �
2
+
�
2
= �,
exatamente o que quer´ıamos provar.
Prova de 2): Ana´loga a` do 1), apenas fazendo agora:
|(xn − yn)− (L1 − L2)| = |xn − L1 + L2 − zn| ≤ |xn − L1|+ |L2 − zn|.
Prova de 3): agora queremos que a partir de um certo n�:
|C · xn − C · L1 | < �.
E´ claro que posso supor C 6= 0, sena˜o tudo e´ o´bvio.
Ora enta˜o o que queremos e´ provar que:
|C · (xn − L1) | < �,
ou seja3 queremos que
|C| · |xn − L1| < �.
Noto agora que, se espero tempo n� suficiente, tenho:
|xn − L1| < �
C
, onde C 6= 0
pois xn se aproxima tanto quanto quisermos de L1. Enta˜o juntando as informac¸o˜es:
|C · xn − C · L1| = |C| · |xn − L1| < C · �
C
= �,
exatamente o que quer´ıamos.
Prova de 4): Aqui o que fazemos e´ esperar o tempo n� suficiente para que |xn| < �K
(estou supondo que K 6= 0, pois se K = 0, enta˜o a h´ıpo´tese |qn| ≤ 0 diz que qn = 0
∀n e tudo e´ o´bvio, pois a sequeˆncia 0 · xn e´ a sequeˆncia constante, igual a 0). Enta˜o
para n ≥ n� :
|qn · xn| = |qn| · |xn| < K · �
K
= �,
como quer´ıamos.
Prova de 5): Queremos fazer
| xn · zn − L1 · L2 | < �.
dese que n cresc¸a o suficiente.
Mas posso escrever:
| xn · zn − L1 · L2 | =
= | xn · zn−xn · L2 + xn · L2︸ ︷︷ ︸
0
−L1 · L2 | =
= | xn · (zn − L2) + L2 · (xn − L1) | ≤
≤ | xn · (zn − L2) |+ |L2 · (xn − L1) | =
= | xn| · | (zn − L2) |+ |L2 | · | (xn − L1) |
3Para quaiquer nu´meros Reais � e 4 sempre vale:
|� · 4| = |�| · |4|;
no nosso caso, uso para � = C e 4 = xn − L1
3. DEFINIC¸A˜O E PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS 52
E agora noto que |xn| ≤ K para alguma K , pois xn tende ao L1 ∈ R. E tanto
| (xn−L1) | quanto | (zn−L2) | se faz ta˜o pequeno quanto quisermos, pois zn tende a
L2 e xn tende a L1.
Logo | xn · zn − L1 · L2 | fica ta˜o pequeno quanto quisermos.
Prova de 6): Primeiro afirmo que a partir de um certo n temos
|L2
2
| < |zn|.
Se L2 > 0, a partir de um certo n temos
0 <
L2
2
< zn
pois L2
2
< L2 = lim zn. E se L2 < 0, a partir de um certo n
zn <
L2
2
< 0
pois lim zn = L2 <
L2
2
.
Ou seja, a partir de um certo n:
|L2
2
| < |zn|
e em particular a partir desse n, temos zn 6= 0.
No que segue ja´ suponho que tomei esse n para que a partir dele:
|L2
2
| < |zn|.
Enta˜o ale´m de podermos dividir pelos zn, podemos afirmar que
|L2|2
2
< |zn| · |L2|
e portanto
1
|zn · L2| <
2
|L2|2 .
Portanto
| 1
zn
− 1
L2
| = |L2 − zn
zn · L2 | =
= | 1
zn · L2 | · |L2 − zn| ≤
≤ 2|L2|2 · |L2 − zn|.
Mas |L2−zn| se faz ta˜o pequeno quanto quisermos, desde que esperemos possivelmente
um tempo n ainda maior, ja´ que lim zn = L2.
Por exemplo, podemos esperar um n a partir do qual valha |L2
2
| < |zn| e tambe´m
|L2 − zn| < � · L
2
2
2
,
CAPI´TULO 4. SEQUEˆNCIAS E SEUS LIMITES 53
o que da´
| 1
zn
− 1
L2
| < 2|L2|2 ·
� · L22
2= �.
Sobre 7): de fato, apo´s esquecermos um certo nu´mero de termos das sequeˆncias,
temos
| qn − L1| ≤ |xn − L1|
e |xn − L1| se faz ta˜o pequeno quanto quisermos.
�
Chamo a atenc¸a˜o para uma propriedade, que provamos como parte do item 6), e
que sera´ bastante u´til:
Afirmac¸a˜o 3.1. Se limn→+∞ xn = L e L 6= 0 enta˜o a partir de um certo tempo n,
xn 6= 0. Em particular, se L > 0 (ou L < 0) enta˜o a partir de um certo tempo n,
xn > 0 (ou xn < 0).
Por u´ltimo, sera´ u´til mais tarde se introduzimos dois s´ımbolos:
Definic¸a˜o 3.2. Dizemos que
lim
n→+∞
xn = +∞
se ∀K > 0 existe um tempo nK tal que se n ≥ nK temos xn > K. Dizemos que
lim
n→+∞
xn = −∞
se ∀K < 0 existe um tempo nK tal que se n ≥ nK temos xn < K.
Ou seja, sequeˆncias que ficam ta˜o positivas quanto quisermos, ou sequeˆncias que
ficam ta˜o negativas quanto quisermos, esperando o tempo n suficiente. Exemplos:
xn = n
2 e xn = −n2, respectivamente.
4. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 4.1. Exemplifique com sequeˆncias (xn)n bem simples a diferenc¸a entre as
seguintes frases:
i) a partir de um certo tempo n a sequeˆncia xn dista de L menos que um � > 0 e
ii) existem tempos n arbitrariamente grandes tais que xn dista de L menos que
um � > 0.
Exerc´ıcio 4.2. Para as sequeˆncias (xn)n abaixo e para a func¸a˜o y = f(x) =
1
x2
, diga
o formato da sequeˆncia ( f(xn) )n:
i) xn =
1√
n
,
ii) xn =
1
n
,
iii) xn = n
2.
4. EXERCI´CIOS 54
Exerc´ıcio 4.3.
Explique se existem ou na˜o os limites das seguintes sequeˆncias:
i) xn := 5n,
ii) xn := (−1)n 5,
iii) xn := (−1)n (5 + 1n),
iv) xn := (−1)n 5n
v) xn := (−1)n 1n .
vi) xn =
1
n
+ 2
n
+ 3
n
,
vii) xn =
1
n
· 2
n
· 3
n
.
Exerc´ıcio 4.4.
No dia-a-dia sabemos que todo gremista gosta de azul, mas nem todos que gostam
de azul sa˜o gremistas.
Tratando-se agora de sequeˆncias xn e zn, deˆ exemplos onde na˜o existem
lim
n→+∞
xn ou lim
n→+∞
zn
mas que no entanto existam:
lim
n→+∞
(xn + zn) ou lim
n→+∞
(xn · zn).
Exerc´ıcio 4.5. (resolvido)
Prove duas propriedades fundamentais de limites:
i) se xn < 0 ∀n e se limxn = L enta˜o L ≤ 0. Deˆ exemplo onde todo xn < 0 mas
onde L = 0.
ii) se limxn = L e se ∀n xn ≤ zn ≤ L, enta˜o limzn = L.
Exerc´ıcio 4.6. Usando algumas sequeˆncias ja´ estudadas em aula e propriedades de
+,−, ·, / de sequeˆncias, calcule:
lim
n→+∞
3 · (2− 1
n
+
1
n2
), lim
n→+∞
300n2 + 35n+ 1000
n3 + n
,
lim
n→+∞
300n2 + 35n+ 1000
150n2 + n+ 10000
, lim
n→+∞
10123456789
n
,
lim
n→+∞
30000000n+ 1200000
n2
, lim
n→+∞
2n7 + 35n+ 1000
3n7 + n + 10000
.
Dica: fatore n a` forc¸a no numerador e no denominador as poteˆncias mais altas e
simplifique, antes de passar ao limite.
Exerc´ıcio 4.7. As sequeˆncias a seguir tendem a zero. Dado � > 0 determine qual
n (em func¸a˜o de �) e´ suficiente para termos |xn| < � nas seguintes sequeˆncias: a):
xn =
1
n4
, b): xn =
1√
n
, c): xn =
1
4
√
n
Exerc´ıcio 4.8. A sequeˆncia xn =
1
n
fica dentro do intervalo [0, 1] e e´ decrescente, ou
seja
xn+1 ≤ xn, ∀n.
CAPI´TULO 4. SEQUEˆNCIAS E SEUS LIMITES 55
Ja´ a sequeˆncia xn = 1− 1n fica tambe´m dentro do intervalo [0, 1] mas e´ crescente, ou
seja xn+1 ≥ xn, ∀n. E´ verdade o seguinte Teorema: sequeˆncias que ficam dentro
de algum intervalo e que sa˜o ou bem crescentes ou bem decrescentes convergem para
algum limite.
Veja em quais sequeˆncias a seguir pode-se aplicar esse Teorema: a): xn =
1
5n2
, b):
xn =
1
5n
, c): xn =
(−2)n
n
, d): xn =
(−1)2n
n
, e): xn =
(−1)2n+1
n
.
CAP´ıTULO 5
Limites de func¸o˜es definidas em intervalos
Neste Curso usaremos a noc¸a˜o de continuidade fortemente quando calcularmos
algumas Derivadas e mais adiante na teoria de Integrac¸a˜o do Cap´ıtulo 21.
Daremos sua definic¸a˜o precisa no pro´ximo Cap´ıtulo.
Mas para isso, antes precisamos entender a noc¸a˜o de limite de func¸o˜es definidas
em intervalos. Ate´ agora so´ vimos limites de um tipo de func¸a˜o, cujo domı´nio sa˜o os
Naturais, as chamadas sequeˆncias.
Agora vamos definir:
Definic¸a˜o 0.1. Seja uma func¸a˜o f : I → R, y = f(x) definida num intervalo I. Seja
x tal que exista alguma sequeˆncia xn ∈ I \ {x} com limn→+∞ xn = x.
Dizemos que func¸a˜o f tem limite L quando x tende a x, denotado por
lim
x→x
f(x) = L, L ∈ R,
se para toda sequeˆncia xn contida em I \ {x}
lim
n→+∞
xn = x
temos
lim
n→+∞
f(xn) = L.
Observac¸o˜es importantes sobre a Definic¸a˜o 0.1:
• O ponto importante nesta definic¸a˜o e´ que, na˜o importa quantas sequeˆncias
tomemos com limn→+∞ xn = x, sempre as sequeˆncias f(xn) tendem para o
mesmo nu´mero L.
• O fato de que na˜o seja relevante como xn se aproxima de x, mas apenas que
xn se aproxima x, fica vis´ıvel no s´ımbolo que usamos:
lim
x→x
f(x).
• O leitor vera´ mais tarde que a`s vezes x na˜o esta´ no domı´nio das func¸o˜es, ou
seja, que na˜o faz sentido perguntar por quanto a func¸a˜o vale nele, mas que,
como x esta´ arbitrariamente pro´ximo do domı´nio dessas func¸o˜es, podemos
perguntar quanto a func¸a˜o vale em pontos do domı´nio cada vez mais pro´ximos
dele.
• o valor f(x) pode ser bem diferente de limx→x f(x). Por isso tomamos
sequeˆncias xn contidas em I \ {x} (ou seja, que na˜o valem nunca x).
57
1. OPERAC¸O˜ES ELEMENTARES COM LIMITES DE FUNC¸O˜ES 58
1. Operac¸o˜es elementares com limites de func¸o˜es
A noc¸a˜o de limite de func¸o˜es foi constru´ıda a partir da de limite de sequeˆncias ;
assim que e´ natural que as propriedades de limites de sequeˆncias repercutam nas dos
limites de func¸o˜es definidas em intervalos.
Teorema 1.1. (Propriedades fundamentais de limites de func¸o˜es)
Sejam f e g cujos domı´nios sa˜o intervalos e seja x tal que existam sequeˆncias nos
domı´nios dessas func¸o˜es que tendam a ele.
Suponha que existam:
lim
x→x
f(x) = L1 e lim
x→x
g(x) = L2.
Enta˜o:
1) A func¸a˜o soma f + g tem
lim
x→x
(f + g)(x) = L1 + L2.
2) A func¸a˜o diferenc¸a f − g tem
lim
x→x
(f − g)(x) = L1 − L2.
3) Se C ∈ R e´ uma constante, enta˜o a func¸a˜o (C · f)(x) := C · f(x) tem
lim
x→x
(C · f)(x) = C · L1
4) Suponha uma func¸a˜o q(x) com o mesmo domı´nio da f(x) tal que |q(x)| ≤ K,
∀x. Suponha adicionalmente que L1 = 0. Enta˜o
lim
x→x
( f(x) · q(x) ) = 0.
5) A func¸a˜o produto (f · g)(x) tem
lim
x→x
(f · g)(x) = L1 · L2.
6) Se L2 6= 0, enta˜o: i) se x e´ suficientemente pro´ximo de x enta˜o g(x) 6= 0 e ii)
limx→x
f(x)
g(x)
= L1
L2
.
7) Suponha uma outra func¸a˜o q(x) definida no mesmo domı´nio e que adicional-
mente f(x) ≤ q(x) ≤ L1. Enta˜o
lim
x→x
q(x) = lim
x→x
f(x) = L1.
Demonstrac¸a˜o.
Prova do Item 1): Queremos saber se
lim
n→+∞
( f(xn) + g(xn) ) = L1 + L2,
quando tomamos qualquer sequeˆncia xn com
lim
n→+∞
xn = x.
Mas por hipo´tese, limn→+∞ f(xn) = L1 e limn→+∞ g(xn) = L2 , quando tomamos
qualquer sequeˆncia xn com limn→+∞ xn = x.
CAPI´TULO 5. LIMITES DE FUNC¸O˜ES DEFINIDAS EM INTERVALOS 59
Ora, pelo item 1) do Teorema 3.1, aplicado a`s sequeˆncias f(xn) e g(xn), concluimos
que limn→+∞ ( f(xn) + g(xn) ) = L1 + L2.
A prova de outros itens fica para o leitor, bastando combinar a Definic¸a˜o 0.1 com
alguns itens do Teorema 3.1, bem como com a Afirmacao 3.1. �
2. A definic¸a˜o usual com � e δ
Na maioria dos livros texto de Ca´lculo, o limite de uma func¸a˜o definida em um
intervalo e´ definido assim:
Definic¸a˜o 2.1. Dizemos que f tende a L quando x tende ao x, ou em s´ımbolos:
lim
x→x
f(x) = L
se ∀� > existe δ > 0 tal que se 0 < |x− x| < δ enta˜o |f(x)− L| < �.
Observac¸o˜es:
• pense em � > 0 como um nu´mero pequeno, que impo˜e o desafio de se encon-
trar o δ > 0 suficiente para termos |f(x)−L| < �, desde que 0 < |x−x| < δ.
• o s´ımbolo ∀� > 0 (para todo � > 0)diz que � sera´ feito ta˜o pequeno quanto
quisermos,
• veremos logo abaixo que o δ depende do �, da natureza da f e tambe´m, em
geral, de cada ponto x.
• a cla´usula 0 < |x− x| existe para que possamos ter func¸o˜es com f(x) 6= L =
limx→x f(x).
Um pouco mais sobre o u´ltimo item: suponha que temos uma f com f(x) bem
diferente dos valores f(x), para x pro´ximos de x pore´m diferentes de x. Por exemplo
suponha que |f(x) − L| ≥ 1 , embora |f(x) − L| < � e´ pequeno se x 6= x, mas x
pro´ximo de x. Enta˜o |x−x| = 0 < δ, ∀δ > 0 e no entanto |f(x)−L| ≥ 1. Por isso na
Definic¸a˜o 2.1 estamos interessados apenas em controlar os valores f(x) para x 6= x.
Vejamos agora que essa nova Definic¸a˜o 2.1 tem o mesmo conteu´do da Definic¸a˜o
0.1 do Cap´ıtulo 4, mesmo que a princ´ıpio na˜o parec¸am o mesmo.
Afirmac¸a˜o 2.1. A Definic¸a˜o 2.1 e´ equivalente a` Definic¸a˜o 0.1 do Cap´ıtulo 4.
Demonstrac¸a˜o. (da Afirmac¸a˜o 2.1)
Provar a equivaleˆncia de duas definic¸o˜es e´ mostrar que uma implica a outra e
vice-versa.
Suponha por um momento a Definic¸a˜o 0.1 e por absurdo negue a Definic¸a˜o 2.1.
Enta˜o existe um �0 > 0 especial tal que ∀δ > 0 existe um xδ com
0 < |xδ − x| < δ, mas |f(xδ)− L| ≥ �0.
2. A DEFINIC¸A˜O USUAL COM � E δ 60
Ja´ que vale para todo δ > tomo-os da forma δ(n) := 1
n
. Enta˜o concluo que os
xδ(n) formam uma sequeˆncia de I \ {x} que tende a x, pois
0 < |xδ(n) − x| < 1
n
e ja´ sabemos que os 1
n
ficam ta˜o pequenos quanto quisermos. Com essa sequeˆncia
(xδ(n))n no domı´nio da f , formo outra sequeˆncia f(xδ(n)) na imagem da f , que na˜o
tende a L ja´ que
|f(xδ(n))− L| ≥ �0, ∀n,
ou seja, na˜o se aproxima do nu´mero L mais que �0. Isso contradiz a Definic¸a˜o 0.1.
Agora suponha Definic¸a˜o 2.1 e vamos obter a informac¸a˜o dada pela Definic¸a˜o 0.1.
Considere qualquer sequeˆncia xn de I \ {x} que tenda a x: queremos saber enta˜o
se e´ verdade que f(xn) tende a L. Ou seja, se dado � > 0 existe n� ∈ N tal que
∀n ≥ n� temos |f(xn)− L| < �.
O que sei pela Definic¸a˜o 2.1 e´ que existe um δ > 0 tal que:
0 < |x− x| < δ ⇒ |f(x)− L| < �.
Enta˜o tomo esse δ > 0 e, para ele, tomo um nδ ∈ N tal que:
∀n ≥ nδ ⇒ 0 < |xn − x| < δ
(o que funciona pois xn tende a x).
Logo |f(xn)−L| < � pois os xn entraram na regia˜o adequada em torno de x, que
e´ (−δ + x, x+ δ).
A Figura ilustra:
x
L
L−ε
ε+L
δ−x x + δ
x_n
f (x_n)
Lembrando que o δ = δ(�), pois depende de �, obtivemos o que quer´ıamos, ja´ que
|f(xn)− L| < � a partir de um certo tempo nδ(�).
�
Exemplos:
CAPI´TULO 5. LIMITES DE FUNC¸O˜ES DEFINIDAS EM INTERVALOS 61
1)- f(x) = ax+ b, polinoˆmio de grau ≤ 1, tem limx→x f(x) = ax+ b. De fato, se
a = 0 e´ claro que a f ≡ b constante tende a b. Caso a 6= 0, quando for dado � > 0
tome por exemplo δ(�) := �|a| . Enta˜o se |x− x| < �|a| temos:
|f(x)− L| = |ax+ b− (ax+ b)| = |a||x− x| < |a| · �|a| = �,
como quer´ıamos.
2)- No exemplo 1) o δ so´ dependeu do �. Agora dou um exemplo em que o δ
depende tambe´m do x, ficando cada vez menor a` medida que o x vai sendo escolhido
mais perto de um extremo do domı´nio da f .
Seja f : R>0 → R, f(x) = 1
x
. Veremos na pro´xima Sec¸a˜o que limx→x f(x) = 1x .
Mas a Figura a seguir ilustra como vai ficando mais dif´ıcl encontrar o δ adequado a`
medida que x > 0 se aproxima do 0.
2 ε
2 ε
2 ε
Figura: Para um mesmo �, preciso cada vez menores valores de δ
3. Limites quando x tende ao infinito
Quando um cientista quer entender um fenoˆmeno, ele pode querer entender na˜o
apenas o comportamento agora, mas sim a longo prazo. Por exemplo, pode se per-
guntar se a longo prazo a Lua permanecera´ girando em torno da Terra.
Na linguagem do Ca´lculo isso se expressa numa pergunta assim: a que tende o
fenoˆmeno quando o tempo x fica arbitrariamente grande ? O que se po˜e em s´ımbolos:
lim
x→+∞
f(x) = L ∈ R, ou lim
x→−∞
f(x) = L ∈ R.
Ambos s´ımbolos admitem dois tipos de definic¸o˜es (equivalentes)
Definic¸a˜o 3.1. Dizemos que
lim
x→+∞
f(x) = L ∈ R
se ∀� > 0 existe K > 0 tal que |f(x)− L| < �, se x > K.
Ou
3. LIMITES QUANDO X TENDE AO INFINITO 62
Definic¸a˜o 3.2. Dizemos que
lim
x→+∞
f(x) = L ∈ R
se ∀(xn)n contida no domı´nio de f com limn→+∞ xn = +∞ temos limn→+∞ f(xn) =
L.
(onde limn→+∞ xn = +∞ foi apresentado na Definic¸a˜o 3.2).
Deixo para o leitor verificar a equivaleˆncia dessas duas Definic¸o˜es 3.1 e 3.2.
Analogamente se define limx→−∞ f(x) = L ∈ R.
Geometricamente, as Definic¸o˜es 3.1 ou 3.2 se ilustram na Figura a seguir, em que
o gra´fico se aproxima da altura L cada vez mais:
0,98
0,96
0,94
0,92
x
30025020015010050
Figura: Quando x aumenta o gra´fico se aproxima de uma altura definida.
As propriedades ba´sicas dessas noc¸o˜es sa˜o ana´logas a`quelas do Teorema 1.1:
Teorema 3.1. Sejam f e g func¸o˜es definidas em um intervalo ilimitado a` direita.1
Suponha2
lim
x→+∞
f(x) = L1 ∈ R e lim
x→+∞
g(x) = L2 ∈ R.
Enta˜o:
1) A func¸a˜o soma f + g tem
lim
x→+∞
(f + g)(x) = L1 + L2.
2) A func¸a˜o diferenc¸a f − g tem
lim
x→+∞
(f − g)(x) = L1 − L2.
3) Se C ∈ R e´ uma constante, enta˜o a func¸a˜o (C · f)(x) := C · f(x) tem
lim
x→+∞
(C · f)(x) = C · L1
4 ) Suponha uma func¸a˜o q(x) com o mesmo domı´nio da f(x) tal que |q(x)| ≤ K,
∀x. Suponha adicionalmente que L1 = 0. Enta˜o
lim
x→+∞
( f(x) · q(x) ) = 0.
1Enuncio apenas para x→ +∞, pois e´ ana´logo se x→ −∞
2Atenc¸a˜o que L1, L2 teˆm que ser nu´meros, na˜o podem ser substitu´ıdos pelos s´ımbolos +∞ ou
−∞
CAPI´TULO 5. LIMITES DE FUNC¸O˜ES DEFINIDAS EM INTERVALOS 63
5) A func¸a˜o produto (f · g)(x) tem
lim
x→+∞
(f · g)(x) = L1 · L2.
6) Se L2 6= 0, enta˜o:
i) se x e´ suficientemente grande enta˜o g(x) 6= 0 e
ii) limx→+∞
f(x)
g(x)
= L1
L2
.
7) Suponha uma outra func¸a˜o q(x) definida no mesmo domı´nio e que adicional-
mente f(x) ≤ q(x) ≤ L1. Enta˜o
lim
x→+∞
q(x) = lim
x→+∞
f(x) = L1.
Demonstrac¸a˜o.
Prova do item 1): Quero saber se a sequeˆncia soma f(xn)+g(xn) tende a L1+L2,
se a sequeˆncia xn tem limn→+∞ xn = +∞. Mas por hipo´tese f(xn) tende a L1 e
g(xn) tende a L2. Logo pelo item 1) do Teorema 3.1 aplicado a`s sequeˆncias f(xn) e
g(xn) obtemos que f(xn) + g(xn) tende a L1 + L2.
Os outros itens se demonstram da mesma maneira. �
Exemplos:
1) Obviamente a func¸a˜o constante f ≡ C tem limx→+∞ C = C.
2) A func¸a˜o f : R<0 ∪ R>0 → R, f(x) = 1
x
tem
lim
x→+∞
1
x
= lim
x→−∞
1
x
= 0.
De fato, | 1
x
| < � se |x| > K := 1
�
, o que esta´ de acordo com a Definic¸a˜o 3.1.
3)
lim
x→+∞
C
x
= C · lim
x→+∞
1
x
= C · 0 = 0
usando o Teorema 3.1.
4) Tambe´m
lim
x→+∞
1
x2
= lim
x→+∞
(
1
x
· 1
x
) = 0 · 0,
pelo Teorema 3.1.
5)
lim
x→+∞
(C +
1
x
) = C + lim
x→+∞
1
x
= C + 0 = C
usando o Teorema 3.1.
3. LIMITES QUANDO X TENDE AO INFINITO 64
6)
lim
x→+∞
C1 x
C2 x+ C3
=
C1
C2
,
onde C1, C2, C3 sa˜o constantes na˜o nulas. De fato, primeiro observe que se x se faz
ta˜o grande quanto quisermos, em particular x > 0. Logo posso escrever:
lim
x→+∞
C1 x
C2 x+ C3
= lim
x→+∞
xC1
x (C2 +
C3
x
)
= lim
x→+∞
C1
(C2 +
C3
x
)
e agora uso o Teorema 3.1 e os Exemplos anteriores , concluindo que
lim
x→+∞
C1
(C2 +
C3
x
)
=
C1
C2
.
7) O mesmo tipo de argumento do Exemplo 6) da´ que:
lim
x→+∞
an x
n + an−1xn−1 + . . .+ a0
bn xn + bn−1xn−1 + . . .+ b0
=
an
bn
,
onde ai, bi sa˜o constantes, an 6= 0, bn 6= 0.
De fato, como posso supor x > 0:
lim
x→+∞
an x
n + an−1xn−1 + . . .+ a0
bn xn + bn−1xn−1 + . . .+ b0
=
= lim
x→+∞
xn · (an + an−1x + . . .+ a0xn )
xn · (bn + bn−1x + . . .+ b0xn )
=
= lim
x→+∞
(an +
an−1
x
+ . . .+ a0
xn
)
(bn +
bn−1
x
+ . . .+ b0
xn
)
=
an
bn,
usando novamente o Teorema 3.1 e Exemplos pre´vios.
Ilustro o Exemplo 7) nas Figura que segue, onde an = a2 = 2 e bn = b2 = 1:
1,6
0,8
1,2
x
2001501000 50
2
1,8
1,4
1
0,6
Figura: Gra´fico de 2x
2+x+4
x2+3x+7
com x ∈ [0, 200].
8)
Se m < n, am 6= 0, bn 6= 0:
lim
x→+∞
am x
m + am−1xm−1 + . . .+ a0
bn xn + bn−1xn−1 + . . .+ b0
= 0.
CAPI´TULO 5. LIMITES DE FUNC¸O˜ES DEFINIDAS EM INTERVALOS 65
De fato,
lim
x→+∞
xm · (am + am−1x + . . .+ a0xm )
xm · xn−m · (bn + bn−1x + . . .+ b0xn )
=
= lim
x→+∞
1
xn−m
(am +
am−1
x
+ . . .+ a0
xm
)
(bn +
bn−1
x
+ . . .+ b0
xn
)
= 0 · am
bn
= 0,
usando o Teorema 3.1.
Ilustro este Exemplo 8) na Figura a seguir, com am = a2 = 20 e bn = b3 = 0.01.
Escolhi o coeficiente b3 = 0.01 bem pequeno em relac¸a˜o ao a2 = 20 de propo´sito,
para indicar que na˜o adianta, pois a longo prazo o grau 3 do denominador e´ mais
importante.
6000
4000
2000
0
x
302520155 10
8000
Figura: Gra´fico de 20x
2+30x+40
(0.01)x3
, para x ∈ [1, 30]
Estes dois Exemplos 7) e 8) ilustram o seguinte princ´ıpio: a longo prazo o que im-
porta sa˜o os graus mais altos dos polinoˆmios envolvidos num quociente de polinoˆmios.
9) Lembrando apenas que a func¸a˜o seno tem | sin(x)| ≤ 1, enta˜o
lim
x→+∞
sin(x)
x
= 0
pois limx→+∞ 1x = 0 (use o Teorema 3.1).
0,4
0,2
-0,2
0,3
0,1
x
12080
-0,1
0
20 40 10060
Figura: O gra´fico de sin(x)
x
para x ∈ [2, 130]
4. QUANDO A PARTE E´ DO MESMO TAMANHO DO TODO 66
4. Quando a parte e´ do mesmo tamanho do todo
Nesta Sec¸a˜o proponho explicar o seguinte Teorema, que parece um total absurdo:
Afirmac¸a˜o 4.1. A reta inteira de nu´meros Reais tem tantos pontos quanto o intervalo
aberto (−1, 1).
Em primeiro lugar preciso lembrar o que significa dois conjuntos terem o mesmo
nu´mero de elementos. O exemplo que mais gosto, para explicar essa noc¸a˜o, li num
um livro de Tarski.
Imagine num garc¸om colocando, para cada cliente, um garfo e uma faca ao lado
do prato. Ao final da tarefa, ele teˆm a seguinte conversa com o cozinheiro:
• cozinheiro: para preparar a refeic¸a˜o, gostaria de saber quantos clientes temos
hoje.
• garc¸om: na˜o contei, na˜o sei.
• cozinheiro: mas voceˆ na˜o estava pondo os garfos e facas para cada um deles
?
• garc¸om: sim, mas so´ o que tenho certeza e´ que ha´ tantos garfos quanto facas
a` mesa.
• cozinheiro: mas como voceˆ pode ter certeza disso, sem saber quantos garfos
e facas voceˆ poˆs, ja´ que na˜o contou ?
• garc¸om: ora, e´ fa´cil, sei que ha´ tantos garfos quanto facas porque para cada
faca colocada, coloquei um garfo, e na˜o mais de um garfo.
A moral dessa histo´ria e´ a seguinte: dois conjuntos teˆm o mesmo nu´mero de
elementos quando ha´ uma func¸a˜o f sobrejetora (nenhuma faca sem garfo) e injetora
(na˜o mais de um garfo) entre eles. Apesar de que na˜o saibamos exatamente quantos
elementos os conjuntos teˆm.
Um exemplo conhecido ja´ por Galileu e´ que ha´ tantos nu´meros Naturais N quanto
nu´meros Pares 2N: de fato, existe a bijec¸a˜o
f : N→ 2N, f(n) = 2n,
cuja inversa da´ f−1(2n) = n. Apesar disso 2N ⊂ N, por isso se diz que, nesse caso, a
parte e´ do tamanho do todo !
Para provar a Afirmac¸a˜o 4.1, considero a seguinte func¸a˜o:
f : R→ R, f(x) := x| x |+ 1 .
Primeiro noto que esta´ bem definida em todos os Reais, pois seu denominador nunca
se anula. Agora afirmo que f(R) ⊂ (−1, 1), ou seja, que
∀x ∈ R, −1 < x| x |+ 1 < 1.
CAPI´TULO 5. LIMITES DE FUNC¸O˜ES DEFINIDAS EM INTERVALOS 67
De fato, primeiro f(0) = 0 e se x > 0 enta˜o |x| = x e portanto:
0 <
x
x+ 1
< 1,
pois 0 < x < x+ 1. E se x < 0, enta˜o |x| = −x e portanto:
−1 < x−x+ 1 < 0,
pois −1 · (−x+ 1) = x− 1 < x.
O que na˜o esta´ ainda nada claro e´ se f e´ sobrejetora, ou seja, se
(−1, 1) ⊂ f(R), ou seja f(R) = (−1, 1).
Estou assumindo neste momento, sem demonstrar, que a imagem de f e´ algum
intervalo f(R) = (a, b) ⊂ (−1, 1).
O que quero mostrar agora e´ que na˜o acontece que −1 < a nem que b < 1. Para
isso meu argumento e´ o seguinte: vou mostrar que
lim
x→+∞
x
| x |+ 1 = 1 e limx→−∞
x
| x |+ 1 = −1,
ou seja, pela Definic¸a˜o de limite, que f atinge valores ta˜o pro´ximos de 1 e de −1
quanto quisermos. Isso impedira´ que −1 < a e que b < 1.
Mas se x→ +∞ enta˜o em particular x > 0 e
lim
x→+∞
x
| x |+ 1 = limx→+∞
x
x+ 1
= lim
x→+∞
x · 1
x · (1 + 1
x
)
= 1,
pelo Teorema 3.1 e Exemplos que o seguem.
E se x→ −∞ enta˜o em particular x < 0 e
lim
x→−∞
x
| x |+ 1 = limx→−∞
x
−x+ 1 = limx→−∞
x · 1
x · (−1 + 1
x
)
= −1,
pelo Teorema 3.1 e Exemplos que o seguem.
Agora so´ falta ver que f e´ injetiva: mas note que se x > 0, de y = x
x+1
obtenho
y = x− xy e da´ı:
x =
y
1− y ,
que e´ bem definido pois y < 1. E se x < 0 enta˜o de y = x−x+1 obtenho y = x + xy e
da´ı:
x =
y
1 + y
,
que e´ bem definido pois −1 < y.
Isso mostra que y = f(x) e´ injetiva, ja´ que tenho explicitamente sua func¸a˜o inversa
x = f−1(y).
As Figuras a seguir mostram parte dos gra´ficos de f e de f−1, respectivamente:
5. EXERCI´CIOS 68
0,4
-0,4
0,8
0
-0,8x
42-2 0-4
2
-2
4
0
-4
x
0,80,4-0,40-0,8
Para terminar, chamo a atenc¸a˜o do leitor que f−1 : (−1, 1)→ R faz uma espantosa
expansa˜o do intervalo (−1, 1). A expansa˜o feita por f−1(y) depende sensivelmente
de y e aumenta cada vez mais a` medida que y vai para os extremos do intervalo. Na
Parte 2 do Curso poderemos justificar e explicar melhor a seguinte Afirmac¸a˜o sobre
f−1:
Afirmac¸a˜o 4.2. Se y ∈ [0, 1) enta˜o a taxa de expansa˜o de f−1 e´ de 1
(1−y)2 e a taxa
de expansa˜o de f−1(y) para y ∈ (−1, 0] e´ de 1
(1+y)2
.
Uma comparac¸a˜o e´ natural: um dos fenoˆmenos mais bizarros do Universo e´ que
na˜o apenas ele se expande, e que quanto mais longe mais ele se expande, mas tambe´m,
como se descobriu faz pouco tempo, que essa expansa˜o esta´ aumentando...
5. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 5.1. A seguir dado � > 0 determine δ > 0 (em func¸a˜o de �) tal que
|x− x0| < δ implique |f(x)− L| < �:
a): x0 = 1, f(x) = 555x, L = 555,
CAPI´TULO 5. LIMITES DE FUNC¸O˜ES DEFINIDAS EM INTERVALOS 69
b): x0 = 0, f(x) = x
2, L = 0,
c): x0 = 0, f(x) = 555x
2, L = 0.
Exerc´ıcio 5.2.
0,5
1
-0,5
0
-1
50
x
30 4010 200
A figura mostra o gra´fico da func¸a˜o f : R>0 → (−1, 1) dada por
f(x) =
x− 1
x+ 1
.
Prove aquilo que e´ sugerido pelo gra´fico, ou seja, que
lim
x↘0
f(x) = −1 e lim
x→+∞
f(x) = 1.
Exerc´ıcio 5.3. Determine:
a): limx→2 x
2+5x+6
x+2
,
b): limx→2 1(x−2)2 ,
c): limx→−6 −1(x+6)2 ,
d): limx↗−6 −1x+6 ,
e): limx↘−6 −1x+6 .
Exerc´ıcio 5.4. Considere os seguintes limites
lim
x→1
x3 − 3x+ 2
x− 1 e limx→1
x3 − 3x+ 2
(x− 1)2 .
i) Antes de fazer contas, diga qual a diferenc¸a qualitativa que ha´ entre os dois
casos.
ii) Calcule os limites.
iii) sera´ que existe o
lim
x→1
x3 − 3x+ 2
(x− 1)3 ?
5. EXERCI´CIOS 70
Exerc´ıcio 5.5. Calcule
lim
x→1
x3 − 2x2 − 4x+ 8
x− 2 e limx→1
x3 − 2x2 − 4x+ 8
(x− 2)2 .
Exerc´ıcio 5.6. i) Considere a func¸a˜o f : R→ R definida por partes:
f(x) = −x, se x < −1,
f(x) = x2 + x+ 1, se − 1 ≤ x ≤ 1,
f(x) = 2 · x, se 1 < x.
Existem os limites lim
x→−1
f(x) ou lim
x→1
f(x)?
ii) Ajuste os paraˆmetros b, c para que g : R→ R definida por partes:
g(x) = −x, se x < −1,
g(x) = x2 + b · x+ c, se − 1 ≤ x ≤ 1,
g(x) = 2 · x, se 1 < x.
tenha ambos os limites lim
x→−1
g(x) e lim
x→1
g(x)
CAP´ıTULO 6
A noc¸a˜o de Continuidade
Na Definic¸a˜o a seguir pediremos um pouco mais que o que foi exigido na Definic¸a˜o
0.1, pois vamos pedir que:
• x ∈ I (domı´nio da func¸a˜o) e que
• limx→x f(x) = f(x)
ou seja que o limiteL da func¸a˜o coincida com f(x):
Definic¸a˜o 0.1. Uma func¸a˜o f : I → R e´ cont´ınua em x ∈ I se toda sequeˆncia xn de
pontos de seu domı´nio com
lim
n→+∞
xn = x
tenha tambe´m
lim
n→+∞
f(xn) = f(x).
Quando dissermos apenas que f e´ cont´ınua estamos querendo dizer f que e´ cont´ınua
em cada ponto de seu Domı´nio.
Observac¸o˜es:
• Quer dizer enta˜o que, se uma func¸a˜o e´ cont´ınua em x, e´ porque ela manda
todas sequeˆncias contidas no Domı´nio I de f que se aproximam de x em
sequeˆncias no Contra-Domı´nio que se aproximam de f(x).
• Conclu´ımos que, para na˜o termos a continuidade de f em x ∈ I, tem
que haver pelo menos uma sequeˆncia xn de pontos de seu domı´nio com
limn→+∞ xn = x, mas para as qual limn→+∞ f(xn) 6= f(x) .
Isso pode acontece ou porque simplesmente na˜o existe esse limite ou,
mesmo existindo, pode ser que seja diferente de valor esperado f(x).
• So´ faz sentido dizer que f e´ descont´ınua (na˜o-cont´ınua) em pontos x de seu
Domı´nio1
Exemplos de descontinuidades :
1- f : R → R definida condicionalmente por: f(x) = x se x ≤ 0 e por x + 4 se
x > 0. Nesse exemplo, sequeˆncias xn < 0 que tendem a zero tem f(xn) tendendo a
0; mas sequeˆncias xn > 0 que tendem a zero tem f(xn) tendendo a 4.
2- f : [0, 5] → R, definida condicionalmente por f(0) = 3 e f(x) = 1/x, se
x ∈ (0, 5]. Aqui, sequeˆncias de nu´meros positivos xn que tendam a 0 tem f(xn)
ficando ta˜o grande quanto quisermos, ou seja se afastando de f(0) := 3.
1Ao contra´rio do que faz o Anton em seu livro de Ca´lculo, para quem f : R \ {0} → R e´
descont´ınua em x = 0 !!!
71
1. OPERAC¸O˜ES COM FUNC¸O˜ES CONTI´NUAS 72
3- f : [0, 1
pi
] → R, f(0) = 0 e f(x) = sen(1/x), se x ∈ (0, 1
pi
] (aqui apelo apenas
para o conhecimento de base, de que seno e´ uma func¸a˜o perio´dica, que tem valores
em [−1, 1] e que se anula em pi). Aqui se tomamos xn > 0 conveniente tendendo a 0,
podemos conseguir f(xn) tendendo para qualquer Lxn ∈ [−1, 1].
1
0,5
0
-0,5
-1
x
0,30,250,20,150,10,05
Figura: O gra´fico de f(0) = 0 e f(x) = sin( 1
x
) se x ∈ (0, 1
pi
].
1. Operac¸o˜es com func¸o˜es cont´ınuas
O pro´ximo Teorema simplesmente re-escreve alguns itens do Teorema 1.1, no caso
em em x esta´ no domı´nio de ambas as func¸o˜es e em que L1 = f(x) e L2 = g(x).
Teorema 1.1. (Propriedades das func¸o˜es cont´ınuas) Suponha que f e g ambas sa˜o
cont´ınuas em x, ou seja:
lim
x→x
f(x) = f(x) e lim
x→x
g(x) = g(x).
Enta˜o:
1) A func¸a˜o soma f + g e´ tambe´m cont´ınua em X ou seja
lim
x→x
(f + g)(x) = (f + g)(x).
2) A func¸a˜o diferenc¸a f − g e´ tambe´m cont´ınua em X ou seja
lim
x→x
(f − g)(x) = (f − g)(x).
3) Se C ∈ R e´ uma constante, enta˜o a func¸a˜o (C · f)(c) := C · f(x) e´ cont´ınua,
ou seja:
lim
x→x
(C · f)(x) = C · f(x)
4) A func¸a˜o produto (f · g)(x) tem
lim
x→x
(f · g)(x) = (f · g)(x).
5) Se g(x) 6= 0:
• i) se x e´ suficientemente pro´ximo de x, enta˜o g(x) 6= 0 e
• ii) lim f(x)
g(x)
= f(x)
g(x)
.
A Afirmac¸a˜o 3.1 e a definic¸a˜o de func¸a˜o cont´ınua implicam:
CAPI´TULO 6. A NOC¸A˜O DE CONTINUIDADE 73
Afirmac¸a˜o 1.1. (Princ´ıpio de Ine´rcia das func¸o˜es cont´ınuas) Seja f : I → R
cont´ınua em x, definida num intervalo aberto I.
• se f(x) > 0 enta˜o f(x) > 0 num intervalo aberto centrado em x.
• se f(x) > 0 enta˜o f(x) > 0 num intervalo aberto centrado em x.
Deixo a prova como um exerc´ıcio para o leitor, se bem que a figura a seguir diz
quase tudo:
δ−x x + δ
L−ε
ε+L
x
L > 0
Figura: f e´ cont´ınua e positiva m x.
O Teorema a seguir e´ enunciado para a composic¸a˜o de 2 func¸o˜es, mas pode ser
adaptado facilmente para qualquer nu´mero (finito) de composic¸o˜es de func¸o˜es.
Afirmac¸a˜o 1.2. Seja g : I → J e f : J → K func¸o˜es de intervalos em intervalos.
Suponha que g e´ cont´ınua em x e que f e´ cont´ınua em g(x). Enta˜o a func¸a˜o
composta
(f ◦ g)(x) := f(g(x))
e´ cont´ınua em x.
Se g e f sa˜o cont´ınuas, enta˜o f ◦ g e´ cont´ınua.
Demonstrac¸a˜o.
Queremos saber se para qualquer sequeˆncia (xn)n que tende a x, com xn ∈ I,
temos que a sequeˆncia f(g(xn)) ∈ K tende para f(g(x)).
O que sabemos pelas hipo´teses sobre f e sobre g e´, primeiro, que se xn ∈ I tende
a x enta˜o g(xn) ∈ J tende a g(x).
Mas agora consideramos
z := g(x), e zn := g(xn).
Essa sequeˆncia zn e´ uma sequeˆncia que tende a z. Pela hipo´tese de continuidade da
f , temos que f manda a sequeˆncia zn em uma sequeˆncia f(zn) = f( g(xn) ) que tende
a f(z) = f(g(x)): exatamente o que quer´ıamos.
�
Na pra´tica a Afirmac¸a˜o 1.2 permite-nos fazer a seguinte troca:
lim
x→x
f( g(xx) ) = f( lim
x→x
g(xx) ),
2. POLINOˆMIOS, FUNC¸O˜ES RACIONAIS E TRIGONOME´TRICAS 74
o que e´ muito u´til para calcular limites.
2. Polinoˆmios, func¸o˜es racionais e trigonome´tricas
2.1. Polinoˆmios.
Na˜o imagino um exemplo mais simples de func¸a˜o cont´ınua que a func¸a˜o constante
: f(x) ≡ C, C ∈ R. E´ claro que limx→x f(x) = C, pois f(x) = C simplesmente na˜o
depende de x ou de x particulares.
Outro exemplo que e´ cont´ınua e´ a func¸a˜o identidade f(x) = x, pois obviamente
lim
x→x
f(x) = lim
x→x
x = x.
Uma consequeˆncia do Teorema 1.1 e´ que os polinoˆmios :
f(x) := an · xn + an−1 · xn−1 + . . .+ a1 · x+ a0, onde ai ∈ R
sa˜o func¸o˜es cont´ınuas. De fato, para um polinoˆmio usamos um nu´mero finito de vezes
os itens 1), 2) , 3) e 4).
2.2. Func¸o˜es racionais.
O item 5) do Teorema 1.1 diz enta˜o que a func¸a˜o F : R \ {0} :→ R, F (x) = 1
x
e´
cont´ınua, pois numerador e denominador sa˜o cont´ınuos.
Isso e´ um pouco chocante, pelo aspecto do gra´fico dessa, formado de duas partes.
Se leˆ em alguns livros que uma func¸a˜o cont´ınua na˜o tem rasgos no seu gra´fico, mas
o correto e´ dizer que uma func¸a˜o cont´ınua na˜o introduz rasgos. Se o pro´prio domı´nio
dela ja´ e´ formado como neste exemplo de dois pedac¸os como o de 1
x
,
R \ {0} = R>0 ∪ R<0
enta˜o o gra´fico pode ter dois pedac¸os, so´ na˜o poder ter mais de dois pedac¸os.
O que sempre ficaria descont´ınua e´ qualquer tentativa de estender f(x) = 1
x
ao
ponto x = 0, pois se aproximando x pela direita 1/x > 0 fica ta˜o positivo quisermos
e aproximando x pela esquerda 1/x < 0 fica ta˜o negativo quanto quisermos.
Generalizando o exemplo 1
x
, defino uma func¸a˜o racional como o quociente P1(x)
P2(x)
de dois polinoˆmios. Resta saber, se adotamos esta definic¸a˜o, onde a func¸a˜o racional
esta´ bem definida como func¸a˜o.
Vale o seguinte: se P1(x) e P2(x) na˜o teˆm ra´ızes comuns, enta˜o
P1(x)
P2(x)
tem como
Domı´nio exatamente o conjunto
{ x ; P2(x) 6= 0 }.
E P1(x)
P2(x)
e´ uma func¸a˜o cont´ınua.
Pore´m, suponha que P1(x) e P2(x) teˆm alguma ra´ız comum x, que e´ de ordem
m1 ≥ 1 para P1(x) e de ordem m2 ≥ 1 para P2(x). Enta˜o P1(x)P2(x) estara´ definida em x
se e somente se
m1 ≥ m2.
Relembro essas noc¸a˜o de ordem ou multiplicidade de uma ra´ız:
CAPI´TULO 6. A NOC¸A˜O DE CONTINUIDADE 75
Definic¸a˜o 2.1. Seja f(x) polinoˆmio a coeficientes Reais.
Dizemos que x e´ ra´ız de ordem exatamente m, se
f(x) = (x− x)m · g(x), m ∈ N,
para um g(x) polinoˆmio a coeficientes Reais que na˜o se anula em x.
2.3. Trigonome´tricas.
Considere agora um c´ırculo de raio 1.
Podemos usar o comprimento do arco do c´ırculo (medido no sentido antihora´rio
desde o eixo x > 0) como uma medida do aˆngulo central.
Assim um aˆngulo de 360 graus (antihora´rio, desde o eixo x > 0)) mede +2pi (onde
pi e´ tomado no sentido elementar de quociente entre o per´ımetro e diaˆmetro de um
c´ırculo). Um aˆngulo de 90 graus antihora´rio mede +pi/2, o de 180 antihora´rio mede
+pi. E´ claro que ha´ sempre uma ambiguidade de k · 2pi nesse modo como medimos o
aˆngulo central.
A medida da projec¸a˜o no eixo y (orientada como o eixo y) do arco de comprimento
θ e´ o seno do aˆnguloθ. Assim como a medida da projec¸a˜o no eixo x (orientada como
o eixo x) do arco de comprimento θ e´ o cosseno do aˆngulo θ.
θ
1
sen 
θcos 
tan θ
θ
Figura: Definic¸a˜o elementar de seno e cosseno
Seno e cosseno naturalmente sa˜o perio´dicos de per´ıodo 2pi, devido a` ambiguidade
na medida do aˆngulo.
Agora vamos usar a intuic¸a˜o que temos de que, se variamos um pouquinho o arco
θ para θ+h, enta˜o as duas projec¸o˜es vertical e horizontal mudam pouco (as projec¸o˜es
sa˜o func¸o˜es cont´ınuas).
Ou seja, Afirmamos que seno e cosseno sa˜o func¸o˜es cont´ınuas por serem definidas
a partir de projec¸o˜es.
Lembro que seno retrito a [−pi
2
, pi
2
] e´ uma func¸a˜o estritamente crescente; sua func¸a˜o
inversa chamada de arcoseno (pois diz de que arco o nu´mero dado e´ um seno) tambe´m
e´ estritamente crescente.
Isso vale em geral:
Se uma func¸a˜o y = f(x) e´ estritamente crescente, sua inversa x = f−1(y) tambe´m
e´.
2. POLINOˆMIOS, FUNC¸O˜ES RACIONAIS E TRIGONOME´TRICAS 76
De fato, se por absurdo ocorresse que y
1
< y
2
mas f−1(y
1
) ≥ f−1(y
2
) enta˜o
ter´ıamos x1 = f
−1(f(x1)) ≥ f−1(f(x2)) = x2 contradizendo que y = f(x) e´ estrita-
mente crescente.
Pelo item 5) do Teorema 1.1, a func¸a˜o sin(x)
cos(x)
e´ cont´ınua nos pontos onde cos(x) 6= 0,
ou seja para x 6= pi/2 + k · pi, k ∈ Z. Essa func¸a˜o e´ por definic¸a˜o a func¸a˜o tangente
tan(x) :=
sin(x)
cos(x)
.
Sera´ importante mais adiante, quando falarmos dos coeficientes angulares de retas.
A periodicidade do seno do cosseno repercute na func¸a˜o tangente, que e´ perio´dica
de per´ıodo pi. Seu domı´nio e´ uma unia˜o de infinitos intervalos de comprimento pi:
. . . ∪ (−pi
2
− pi, pi
2
− pi) ∪ (−pi
2
,
pi
2
) ∪ (−pi
2
+ pi,
pi
2
+ pi) ∪ . . .
e na˜o e´ dif´ıcil de ver que quando restrita a cada intervalo ela e´ uma func¸a˜o:
• i) estritamente crescente e
• ii) que fica em mo´dulo ta˜o grande quanto quisermos se nos aproximamos
suficentemente dos extremos
pois o denominador cos(θ) de sin(θ)
cos(θ)
se aproxima de zero enquanto o numerador sin(θ)
se aproxima de 1 ou de −1.
4
2
0
-2
-4
x
10,50-1-0,5
Figura: Gra´fico feito no computador de y = tan(x) em (−pi
2
+ 0.2, pi
2
− 0.2)
Nessa Figura, feita numericamente no computador, na˜o pude pedir para o com-
putador trabalhar no intervalo (−pi
2
, pi
2
), pois os valores de tan explodem em mo´dulo.
A restric¸a˜o
tan : (
−pi
2
,
pi
2
)→ R
tem uma inversa arctan : R→ (−pi
2
, pi
2
). Tambe´m e´ uma func¸a˜o estritamente crescente,
como ja´ explicamos acima, mas seus valores na˜o sobrepassam em mo´dulo a pi
2
.
CAPI´TULO 6. A NOC¸A˜O DE CONTINUIDADE 77
0,5
1
-0,5
0
-1x
420-2-4
Figura: Gra´fico de arctan(x)
Podemos expressar o comportamento de arctan(x) usando a notac¸a˜o da Sec¸a˜o 3:
•
lim
x→+∞
arctan(x) =
pi
2
para dizer que arctan(x) fica ta˜o pro´ximo quanto quisermos de pi
2
se deixarmos
x crescer o suficiente;
•
lim
x→−∞
arctan(x) = −pi
2
para dizer que arctan(x) fica ta˜o pro´ximo quanto quisermos de −pi
2
se deixar-
mos x decrescer o suficiente;
E podemos introduzir novos s´ımbolos para comparar com o comportamento de
tan(x):
•
lim
θ↘−pi
2
tan(θ) = −∞
significa que tan(θ) fica ta˜o negativo quanto quisermos desde que θ > −pi
2
decresc¸a e se aproxime o suficiente de −pi
2
.
•
lim
θ↗pi
2
tan(θ) =∞
significa que tan(θ) fica ta˜o positivo quanto quisermos desde que θ < pi
2
cresc¸a
e se aproxime o suficiente de pi
2
.
3. CONTINUIDADE DA FUNC¸A˜O INVERSA 78
3. Continuidade da func¸a˜o inversa
E´ poss´ıvel provar (mas a prova e´ um pouco te´cnica demais) que:
Afirmac¸a˜o 3.1. Se f : I → R, y = f(x) definida num intervalo I e´ cont´ınua e
tem inversa, enta˜o f−1 : f(I) → I tambe´m esta´ definida num intervalo f(I) e f−1
tambe´m e´ cont´ınua.
Chamo a atenc¸a˜o que essa Afirmac¸a˜o pode ser falsa se o domı´nio da f na˜o e´ um
intervalo2
Para ver um exemplo disso, considere uma f definida numa unia˜o de intervalos:
[0, a] ∪ (a+ 1, b], que seja cont´ınua e que tenha inversa. Note que a continuidade em
x = a so´ se refere ao comportamento a f em relac¸a˜o a sequeˆncias xn ∈ [0, a] que
tendam a x = a. As sequeˆncias xn ∈ (a+ 1, b] do domı´nio da f na˜o tendem ao ponto
a, pois distam dele pelo menos 1, enta˜o na˜o interessam na ana´lise da continuidade da
f em a. O gra´fico que segue e´ um exemplo de uma tal f :
0 ba+1a
y = f(x)
Figura: f : [0, a] ∪ (a+ 1, b]→ R cont´ınua,
com x = f−1(y) descont´ınua em f(a)
Agora Afirmo que a func¸a˜o inversa x = f−1(y) e´ descont´ınua em y = f(a). De
fato, se yn < f(a) e´ uma sequeˆncia de pontos da imagem da f que tende a f(a) vemos
na Figura que limn→+∞ f−1(yn) = a. Mas se tomamos yn > f(a) uma sequeˆncia de
pontos da imagem da f que tende a f(a), vemos que limn→+∞ f−1(yn) = a+ 1.
A Figura a seguir ilustra:
y = f^{−1} (x)
0 ba+1a
y = f(x)
Figura: Aqui y = f(x) e y = f−1(x) esta˜o no mesmo sistema cartesiano
2Como esqueceu o Anton, na pag. 156, Teorema 2.6.2, da Oitava Edic¸a˜o do seu livro de Ca´lculo.
CAPI´TULO 6. A NOC¸A˜O DE CONTINUIDADE 79
4. Dois teoremas fundamentais sobre func¸o˜es cont´ınuas
A demonstrac¸a˜o dos dois Teorema a seguir foge do conteu´do usual do Ca´lculo,
e´ visto em disciplinas mais avanc¸adas de Ana´lise Matema´tica.
E´ importante que o estudante medite sobre seus enunciados.
Teorema 4.1. (Teorema do Valor Intermedia´rio - abrev.: T.V.I.)
Seja f : [a, b] → R func¸a˜o cont´ınua com A = f(a) e B = f(b), com A 6= B, por
exemplo A < B.
Seja C qualquer nu´mero C ∈ (A,B). Enta˜o existe algum x ∈ (a, b) tal que
f(x) = C (pode haver mais de um x desse tipo)
Teorema 4.2. (Teorema de Bolzano-Weierstrass)
Seja f [a, b]→ R cont´ınua, onde [a, b] e´ intervalo fechado e limitado. Enta˜o f tem
mı´nimo e ma´ximo globais assumidos em pontos de [a, b]
5. Primeiras aplicac¸o˜es do T.V.I
Vamos dar agora algumas aplicac¸o˜es iniciais do T.V.I. Mais tarde ele sera´ impor-
tante na prova do Teorema Fundamental do Ca´lculo, na Parte 2 do Curso.
Primeiro um t´ıpico teorema bem geral, mas que na˜o diz nada sobre a soluc¸a˜o em
cada caso espec´ıfico:
Proposic¸a˜o 5.1. Dado qualquer f : [0, 1] → [0, 1] cont´ınua, existe x ∈ [0, 1] tal que
f(x) = x.
Demonstrac¸a˜o.
Observe que geometricamente o que queremos e´ saber se o gra´fico de y = f(x)
corta o gra´fico da diagonal y = x.
Se f(0) = 0 ou se f(1) = 1 enta˜o corta e acabou, na˜o ha´ nada mais a provar.
Portanto vamos supor que f(0) ∈ (0, 1] e que f(1) ∈ [0, 1), para termos algo a provar.
E´ razoa´vel olhar a func¸a˜o diferenc¸a entre elas: f(x)−x. Por ser uma diferenc¸a de
duas func¸o˜es cont´ınuas, f(x) − x tambe´m e´ func¸a˜o cont´ınua. Ademais, f(0) ∈ (0, 1]
e f(1) ∈ [0, 1) dizem que:
f(0)− 0 > 0 e f(1)− 1 < 0.
Pelo T.V.I. existe algum x ∈ (0, 1) tal que:
f(x)− x = 0,
como quer´ıamos. �
6. Ra´ızes de polinoˆmios cujo grau e´ ı´mpar
A segunda aplicac¸a˜o do T.V.I.:
Proposic¸a˜o 6.1. Todo polinoˆmio de coeficientes Reais e de grau ı´mpar tem algum
zero Real: f(x) = 0.
6. RAI´ZES DE POLINOˆMIOS CUJO GRAU E´ I´MPAR 80
Observe que ha´ polinoˆmios de grau par sem zeros Reais, como f(x) = x2 + 1.
Demonstrac¸a˜o. Seja f o polinoˆmio de grau 2n− 1:
f(x) := a2n−1 · x2n−1 + a2n−2 · x2n−2 + . . .+ a1 · x+ a0, ai ∈ R, n ∈ N
Caso a2n+1 > 0:
Escrevo para x > 0:
a2n−1 · x2n−1 + a2n−2 · x2n−2 + . . .+ a1 · x+ a0 = a2n−1x2n−1 · (1 + a2n−2
x
+ . . .
a0
x2n−1
).
Pelo Teorema 3.1 e pelos Exemplos que o seguem, temos que
lim
x→+∞
(
a2n−2
x
+ . . .
a0
x2n−1
) = 0.
Portanto para x > 0 suficientemente grande temos que
1 +
a2n−2
x
+ . . .
a0
x2n−1
> 0.
Logo, para x > 0 suficientemente grande, o sinal de
a2n−1x2n−1 · (1+ a2n−2
x
+ . . .
a0
x2n−1
)
e´ o mesmo sinal de a2n−1x2n−1, que e´ a2n−1x2n−1 > 0.
Argumentando do mesmo jeito para x→ −∞, concluimos que o sinal de
a2n−1x2n−1 · (1 + a2n−2
x
+ . . .
a0
x2n−1
)
para x < 0 suficientemente grande e´ o mesmo sinal de a2n−1x2n−1, que nesses pontos
e´ a2n−1x2n−1 < 0.
Enta˜o
f(x) = a2n−1 · x2n−1 + a2n−2 · x2n−2 + . . .+ a1 · x+ a0
assumiu valores negativos e positivos.
Pelo T.V.I. e pela continuidade do polinoˆmio f(x), tem que haver um ponto onde
f(x) = 0.
Caso a2n+1 < 0: completamente ana´logo.
�
Esse teorema (e sua prova) na˜o da˜o nenhuma pista de como achar concretamente
algum ponto x onde f(x) = 0.
Em dois trabalhos, de 1690 e 1691, Michel Rolle tentou estabelecer um me´todo
para determinar concretamente esses zeros.
Ele o fez de um modo bem confuso, pois na˜o tinha uma boa definic¸a˜o de Derivada,
mas seu nome ficou associado ao teorema que estabeleceremos mais adiante no Cap´ıtulo
10 e que nos permitira´ criar me´todos para encontrar ra´ızes de polinoˆmios (e de func¸o˜es
mais gerais).
Um aplicac¸a˜o interessante do Teorema de Rolle e do T.V.I. sera´ dada na Sec¸a˜o 5
do Cap´ıtulo 13, para provar a Regra de sinais de Descartes, que da´ uma estimativa
do nu´mero de ra´ızes Reais de um polinoˆmio.
CAPI´TULO 6. A NOC¸A˜O DE CONTINUIDADE 81
7. Ra´ızes simples e fatorac¸a˜o de polinoˆmios
Acho que pode ser u´til na formc¸a˜o dos estudantes, ter uma prova do seguinte fato
fundamental:
Teorema 7.1. Seja f(x) = anx
n+ an−1xn−1+ . . .+ a0 um polinoˆmio de grau n, com
coeficientes ai ∈ R.
Sa˜o equivalentes:
• i) f(x) = 0 para alguma ra´ız x ∈ R e
• ii) f(x) = (x − x) · g(x) onde g(x) e´ um polinoˆmio de grau n − 1 com
coeficientes Reais.
Demonstrac¸a˜o.
ii) obviamente implica i), pois:
f(x) = (x− x) · g(x) = 0.
A prova de que i) implica ii) sera´ dividida em duas etapas.
A parte interessante e´ construir o g(x) que queremos em:
f(x) = (x− x) · g(x) + r,
onde r e´ uma constante.
Se tivermos feito isso, avaliaremos tudo em x:
0 = f(x) = (x− x) · g(x) + r = r,
para concluir que r = 0.
Para chegarmos na desejada expressa˜o f(x) = (x−x)·g(x)+r, temos um algoritmo
a executar.
Para f(x) = anx
n + an−1xn−1 + . . .+ a0 , fac¸o
g1(x) := an · xn−1
e subtraio
r1(x) := f(x)− (x− x) · g1(x).
O g1(x) foi escolhido para que r1(x) na˜o tenha termo de grau n. Ou seja que esse
novo polinoˆmio r1(x) tem grau ≤ n− 1. Se por acaso r1(x) ≡ 0 enta˜o
f(x) = (x− x) · g1(x)
e ja´ temos o que queremos, com r = 0 e g(x) := g1(x).
Caso contra´rio r1(x) = bkx
k + bk−1xk−1 + . . ., onde k ≤ n− 1; defino
g2(x) :=
xk−1
bk
,
e subtraio
r2(x) := r1(x)− (x− x) · g2(x).
7. RAI´ZES SIMPLES E FATORAC¸A˜O DE POLINOˆMIOS 82
Pela definic¸a˜o do g2(x) esse novo polinoˆmio r2(x) tem grau ≤ n− 2. Se dermos sorte
e r2(x) ≡ 0 enta˜o
f(x) = (x− x) · [g1(x) + g2(x)],
e ja´ temos o que queremos com r = 0 e g(x) = g1(x) + g2(x).
Caso contra´rio continuamos, considerando agora r2(x) = cjx
j + cj−1xj−1 + . . .,
onde j ≤ n− 2 e definindo g3(x) e r3(x) como fizemos antes.
O que importa e´ que o grau desse novo r3(x) sera´ ≤ n − 3. Ou seja, como va˜o
caindo os graus dos rk(x) a cada etapa, apo´s no ma´ximo n etapas chegaremos a um
rk(x) (k ≤ n) que ou bem e´ ≡ 0 ou bem tem grau zero, uma constante. Esse sera´ o
r. E g(x) := g1(x) + . . .+ gk(x), k ≤ n. �
Digressa˜o sobre o Teorema 7.1:
Se observarmos a prova desse Teorema vemos que, na fatorac¸a˜o
f(x) = (x− x) · g(x)
os coeficientes do polinoˆmio g(x) sa˜o soma, subtrac¸o˜es, produtos, quocientes da ra´ız
x e dos coeficientes ai de f(x).
Por isso, se a ra´ız x fossse um nu´mero Complexo e a1 sa˜o Reais ou Complexos, de-
veria haver uma fatorac¸a˜o de f onde o polinoˆmio g(x) tivesse coeficientes Complexos.
Por exemplo, temos
x3 − 1 = (x− 1) · (x2 + x+ 1)
e isso e´ tudo que podemos fazer se estamos limitados a trabalhar com coeficientes
Reais.
Mas x2 + x+ 1 tem ra´ızes Complexas:
x1 :=
−1 −√−1√3
2
e x2 :=
−1 +√−1√3
2
,
ous seja, as ra´ızes Reais ou Complexas de x3 − 1 = 0 sa˜o 1, x1, x2. Portanto deveria
haver uma fatorac¸a˜o:
x3 − 1 = (x− x1) · g(x),
com os coeficientes desse novo g(x) nos Complexos.
Seguindo os passos do algoritmo dado na prova do Teorema 7.1 (com a mesma
notac¸a˜o), fac¸o:
g1(x) := x
2
r1 := x
3 − 1− x2 · (x− x1) =
= x1 x
2 − 1.
Agora
g2(x) := x1 x,
r2 := r1 − x1 x · (x− x1) =
= x21 x− 1.
E tambe´m
g3(x) := x
2
1,
CAPI´TULO 6. A NOC¸A˜O DE CONTINUIDADE 83
r3 := r2 − x21 · (x− x1) =
= −1 + x31 = 0.
Portanto
g(x) := g1(x) + g2(x) + g3(x) =
= x2 + x1 x+ x
2
1,
e a fatorac¸a˜o e´
x3 − 1 = (x− x1) · ( x2 + x1 x+ x21 ), onde x1 :=
−1−√−1√3
2
.
Note que:
(x− 1) · (x− x2) = x2 − (x2 + 1) x+ x2 =
= x2 + x1 x+ x
2
1,
pois claramente
x2 + 1 = −x1,
e
x21 = x2.
8. Poss´ıveis ra´ızes Racionais de polinoˆmios a coeficientes inteiros
Aproveito o tema das ra´ızes de polinoˆmios para lembrar o seguinte Teste, que
permite saber se pode haver ra´ız Racional de um polinoˆmio a coeficientes Inteiros:
Afirmac¸a˜o 8.1. Seja p(x) = ak · xk + ak−1 ·xk−1+ . . .+ a1 ·x+ a0 polinoˆmio de grau
k ≥ 1 com coeficientes Inteiros:
ak, ak−1, . . . , a1, a0 ∈ Z.
Suponha que p(x) tem alguma ra´ız Racional, ou seja, da forma
x =
m
n
∈ Q, com m e n primos entre si.
Enta˜o m e´ divisor de a0 e n e´ divisor de ak.
Demonstrac¸a˜o.
Suponho que:
p(
m
n
) = ak · m
k
nk
+ ak−1 · m
k−1
nk−1
+ . . .+ a1 · m
n
+ a0 = 0.
Enta˜o
ak · m
k
nk
+ ak−1 · m
k−1
nk−1
+ . . .+ a1 · m
n
= −a0
e multiplicando por nk:
ak ·mk + n · ak−1 ·mk−1 + . . .+ a1 · nk−1 ·m = −nk · a0
e da´ı:
m · [ak ·mk−1 + n · ak−1 ·mk−2 + . . .+ a1 · nk−1] = nk · (−a0).
Como
ak ·mk−1 + n · ak−1 ·mk−2 + . . .+ a1 · nk−1 ∈ Z
temos que m e´ um divisor de nk · (−a0).
9. EXERCI´CIOS 84
Como m e n sa˜o primos entre si isso implica que m e´ divisor de a0.
Tambe´m temos:
−ak · m
k
nk
= ak−1 · m
k−1
nk−1
+ . . .+ a1 · m
n
+ a0
e portanto, multiplicando por nk:
−ak ·mk = n · ak−1 ·mk−1 + . . .+ nk−1 · a1m+ nk · a0
e da´ı:
−ak ·mk = n · [ak−1 ·mk−1 + . . .+ nk−2 · a1 ·m+ nk−1 · a0].
Como
ak−1 ·mk−1 + . . .+ nk−2 · a1 ·m+ nk−1 · a0 ∈ Z
isso diz que n e´ divisor de −ak ·mk. Como m e n sa˜o primos entre si, isso implica
que n e´ divisor de ak.
�
Na Sec¸a˜o 5 do Cap´ıtulo 13 daremos uma prova da Regra de Sinais de Descartes,
que estima quantos zeros pode ter um polinoˆmio a coeficientes Reais.
9. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 9.1. Considere a func¸a˜o definida assim: f(x) = 0 se x e´ um nu´mero
racional e f(x) = 1 se x e´ um nu´mero irracional.
i): Como e´ seu gra´fico ?
ii): em que pontos ela e´ cont´ınua ou e´ descont´ınua?
Exerc´ıcio 9.2. A soma, o produto e a composic¸a˜o de func¸o˜es cont´ınuas produz
func¸o˜es cont´ınuas. Usando isso calcule:
i) lim
x→1
(3x− 4x) · (x5 − 2x)4,
ii) lim
x→1
√
4x− 3x · (x5 − 2x)4.
Exerc´ıcio 9.3. Deˆ um exemplo de f(x) descont´ınua em algum ponto mas tal que
f 2(x) e´ cont´ınua em todos os pontos.
Exerc´ıcio 9.4. (resolvido)
Prove que a func¸a˜o definida por f(x) = x · sin( 1
x
), se x > 0 e f(0) = 0 e´ cont´ınua.
Exerc´ıcio 9.5. Prove a Afirmac¸a˜o 1.1, que chamei de princ´ıpio de ine´rcia das func¸o˜es
cont´ınuas.
Exerc´ıcio 9.6. Um aluno me disse que, para descobrir em quais intervalos um
polinoˆmio y = f(x) de grau n e´ positivo ou negativo, ele faz o seguinte.
Ele primeiro descobre todas as ra´ızes Reais x1, x2, . . . , xk, onde k ≤ n.
Depois considera os intervalos (−∞, x1), (x1, x2), etc , (xk−1, xk), (xk,+∞). Enta˜o
para saber o sinal de f em cada intervalo desses, ele examina o sinal de f(x) em um
u´nico x de cada intervalo.
CAPI´TULO 6. A NOC¸A˜O DE CONTINUIDADE 85
O me´todo dele esta´ correto ? Se esta´,justifique-o com conceitos/ teoremas do
Ca´lculo.
Exerc´ıcio 9.7. Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o f positiva em um ponto x, mas tal
que f(xn) = 0 em pontos xn que formam um sequeˆncia com limn→+∞ xn = x.
Exerc´ıcio 9.8. Encontre o domı´nio da func¸a˜o racional f(x) = 1
x2−1 . Descreva o que
acontece com o mo´dulo e o sinal de f quando x se aproxima pela esquerda e pela
direita dos pontos onde ela na˜o esta´ definida.
Exerc´ıcio 9.9. (resolvido)
i) Prove que
lim
x→+∞
√
5 · x2 + x
x+ 2
=
√
5
1,8
1,4
1
x
100806040
2,2
20
2
1,6
1,2
0,8
Figura: Gra´fico de y =
√
5·x2+x
x+2
, x ∈ [1, 100], √5 ≈ 2.23.
ii) Prove que
lim
x→−∞
√
5 · x2 + 2
x+ 2
= −
√
5
Exerc´ıcio 9.10. (resolvido) Um exemplo que na˜o parece estar ligado a quocientes,
mas que se calcula introduzindo quocientes:
lim
x→+∞
(
√
x2 + x− x ) = 1
2
.
9. EXERCI´CIOS 86
0,5
0,48
0,46
0,42
0,44
x
100806020 40
Figura: Gra´fico de y =
√
x2 + x− x, x ∈ [1, 100].
Exerc´ıcio 9.11. E´ um fato que o polinoˆmio
y = x5 − 2x4 + x3 + x2 + 1
so´ tem uma ra´ız Real. Na˜o e´ fa´cil acha´-la explicitamente. Mas com o Teorema do
Valor Intermedia´rio voceˆ pode concluir que a ra´ız Real e´ um ponto do intervalo [−1, 1].
Por queˆ ?
No Cap´ıtulo 18 daremos um me´todo para determinar essa ra´ız, que foi descoberto
por Newton (para variar ...)
Exerc´ıcio 9.12. (resolvido)
A equac¸a˜o x3 + 1 = 0 e, em geral, as as equac¸o˜es de grau ı´mpar
x2n+1 + 1 = 0, n ∈ N
tem obviamente como u´nica ra´ız Real o x = −1.
Na˜o e´ fa´cil resolver explicitamente a equac¸a˜o x3 + � · x+ 1 = 0, com � ≥ 0 fixado,
a menos que se conhec¸a a fo´rmula de Cardano; com ela se obte´m a ra´ız Real
x =
3
√
−1
2
+
√
1
4
+
�3
27
− 3
√
1
2
+
√
1
4
+
�3
27
.
Torna-se intrata´vel tentar resolver explicitamente o seguinte tipo de equac¸a˜o de
grau ı´mpar:
x2n+1 + �1 · x2n−1 + �2 · x2n−3 + . . .+ �n−1 · x3 + �n · x+ 1 = 0,
com
�i ≥ 0, i = 1, . . . n− 1 e �n > 0
fixados.
i) Prove que cada uma dessas equac¸o˜es teˆm um u´nica ra´ız Real.
ii) Prove que a ra´ız de cada uma delas esta´ em [−1, 0).
iii) Para cada nu´mero em [−1, 0) encontre alguma dessas equac¸o˜es que o tenha
como u´nica ra´ız.
CAP´ıTULO 7
Geometria Anal´ıtica Plana
1. Equac¸o˜es de retas, coeficientes angular e linear
A equac¸a˜o de uma reta vertical por dois pontos (x, y1) e (x, y2) e´
x− x = 0.
Mas a equac¸a˜o de uma reta na˜o-vertical por (x1, y1) e (x2, y2) e´ do tipo:
y = a1 · x+ a0, a1, a0 ∈ R.
Ou seja, sua equac¸a˜o e´ um tipo bem simples de polinoˆmio, cujo grau em x e´ ≤ 1.
Vamos usar uma notac¸a˜o mais habitual:
y = a · x+ b, a, b ∈ R.
Afirmac¸a˜o 1.1. Os coeficientes a, b da equac¸a˜o y = ax + b da reta passando pelos
dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) com x1 6= x2 sa˜o dados por:
a =
y
2
− y
1
x2 − x1
,
e
b = y
1
− a · x1 = y2 − a · x2.
Demonstrac¸a˜o. De
y
1
= a · x1 + b e y2 = a · x2 + b,
subtraindo-as, obtemos:
y
2
− y
1
= a · (x2 − x1),
de onde
a =
y
2
− y
1
x2 − x1
,
(onde e´ crucial que x2 6= x1). E da´ı sai que:
b = y
1
− (y2 − y1
x2 − x1
) · x1,
ou o que da´ no mesmo:
b = y
2
− (y2 − y1
x2 − x1
) · x2.
�
87
1. EQUAC¸O˜ES DE RETAS, COEFICIENTES ANGULAR E LINEAR 88
Note que esse nu´mero b e´ a altura em que a reta y = ax+ b intersecta o eixo dos
y, que e´ dado por x = 0: de fato,
y = a · 0 + b = b.
Definic¸a˜o 1.1. Dados dois pontos distintos do plano (x1, y1) e (x2, y2) com coor-
denadas x1 6= x2, definimos o coeficiente angular da reta ligando esses dois pontos
por:
y
2
− y
1
x2 − x1
=
y
1
− y
2
x1 − x2
.
Afirmac¸a˜o 1.2. O coeficiente angular e´ uma informac¸a˜o da reta, na˜o dependendo
dos pontos particulares que usamos para calcula´-lo.
Demonstrac¸a˜o.
De fato, se tomo qualquer ponto (x3, y3) da reta y = a · x + b determinada por
(x1, y1) e (x2, y2), como y3 = ax3 + b, enta˜o:
y
3
− y
1
x3 − x1
=
(a · x3 + b)− (ax1 + b)
x3 − x1
= a,
e ja´ vimos na Afirmac¸a˜o 1.1 que
a =
y
2
− y
1
x2 − x1
,
ou seja,
y
3
− y
1
x3 − x1
=
y
2
− y
1
x2 − x1
.
�
Como consequeˆncia temos a seguinte observac¸a˜o u´til para o Curso:
Afirmac¸a˜o 1.3. Dado um ponto (x1, y1) e um coeficiente angular pre´-estabelecido
valendo a, enta˜o a u´nica reta que passa por (x1, y1) e tem esse coeficiente angular e´
dada por
y = a · x+ (y
1
− a · x1).
Demonstrac¸a˜o. De fato, tomando um ponto (x, y) gene´rico dessa reta, enta˜o
pela Afirmac¸a˜o 1.2
y − y
1
x− x1
= a,
o que da´, isolando-se y:
y = a · x+ (y
1
− a · x1).
�
Exemplos:
1)- a diagonal y = x tem coeficente angular 1 e a anti-diagonal y = −x tem
coeficiente angular −1.
2)- A reta horizontal y = b tem coeficiente angular 0, pois y = b = 0 · x+ b.
CAPI´TULO 7. GEOMETRIA ANALI´TICA PLANA 89
Observac¸o˜es:
• Se x1 = x2 enta˜o a reta que liga (x1, y1) e (x2, y2) e´ vertical e na˜o tem um
coeficiente angular definido.
Temos a tentac¸a˜o de dizer que o coeficiente angular da reta vertical e´
+∞. Mas se comec¸amos com a anti-diagonal e a vamos levantando, os co-
eficientes angulares ficam cada vez mais negativos e ao atingir a posic¸a˜o
vertical ficariam −∞: essa ambiguidade entre +∞ e −∞ para o candidato
a coeficiente angular da reta vertical e´ que faz que seja melhor desistirmos
de atribuir um coeficiente angular a` reta vertical.
• Geometricamente o coeficiente angular a representa o quociente entre o
cateto oposto y
2
− y
1
e o cateto adjacente x2 − x1 do triaˆngulo retaˆngulo
formado pelos pontos (x1, y1), (x2, y1) e (x2, y2): logo a = tan(α) ( tangente
do aˆngulo (anti-hora´rio) α formado pela reta e o eixo horizontal). Vimos
na Sec¸a˜o 2.3 que se um aˆngulo que tende a +pi
2
sua tangente tende a +∞,
enquanto que, se o angulo tende a −pi
2
, sua tangente tende a −∞.
• Se fixamos a e variamos b em y = a · x+ b estamos descrevendo uma famı´lia
de retas paralelas com a mesma inclinac¸a˜o.
2. Ortogonalidade
Deve estar claro pelo que ja´ explicamos que duas retas y = ax+ b1 e y = ax+ b2,
com b2 6= b1, sa˜o de fato paralelas.
Agora gostaria de explicar que uma par de retas y = ax+ b1 e y = − 1a x+ b2, com
a 6= 0, sa˜o ortogonais.
Posso me restringir a considerar retas pela origem: y = ax e y = − 1
a
x, pois
estas sa˜o translac¸o˜es verticais das retas anteriores, e portanto teˆm entre elas o mesmo
aˆngulo que as anteriores. Posso supor tambe´m que a > 0 (caso a < 0 enta˜o − 1
a
> 0
e poderia trabalhar com este coeficiente angular).
Se escrevo a = B
A
, com A,B > 0, enta˜o − 1
a
= −A
B
.
Agora considero 3 triaˆngulos (ilustrados na Figura a seguir):
• ∆1 dados pelos pontos (0, 0), (A, 0) e (A,B) e
• ∆2 dado pelos pontos (0, 0), (−B, 0) e (−B,A).
• ∆3 dado pelos pontos (0, 0), (A,B) e (−B,A).
3. TEOREMA DE TALES NO CI´RCULO 90
x
y
( − B , A )
( − B , 0 ) ( A, 0 )( 0 , 0 )
( A , B )
∆ 1
∆ 2
∆ 3
Observe que ∆1 e ∆2 sa˜o triaˆngulos retaˆngulos e que a reta que conte´m a hipotenusa
de ∆1 e´ y = ax , enquanto que a reta que conte´m a hipotenusa de ∆2 e´ a reta y = − 1ax.
Enta˜o por Pita´goras as hipotenusas de ∆1 e de ∆2 valem o mesmo:
√
A2 +B2.
Por outro lado o comprimento do segmento de reta ligando (−B,A) a (A,B) vale,
por definic¸a˜o: √
(B −A)2 + (A− (−B))2 =
√
2A2 + 2B2.
Portanto o triaˆngulo ∆3 e´ iso´sceles, pois tem dois lados de mesmo tamanho λ :=√
A2 +B2. Esses lados formam um aˆngulo em (0, 0) que denoto por α. E o terceiro
lado de ∆3, oposto a α, mede
√
2A2 + 2B2 =
√
λ2 + λ2.
Lembro agora que e´ va´lida a rec´ıproca do Teorema de Pita´goras (coisa pouco lembrada
no Ensino Me´dio), ou seja, se um lado maior de um triaˆngulo e´ somade quadrados de
outros dois lados menores, enta˜o o triaˆngulo e´ retaˆngulo no aˆngulo oposto ao maior
lado. Logo o triaˆngulo ∆3 tem que ter aˆngulo reto em α, por ter um lado cuja medida
e´ λ2 + λ2.
Logo y = ax e y = −1
a
x sa˜o de fato ortogonais, pois α e´ reto.
Apenas com as noc¸o˜es de coeficiente angular e de ortogonalidade e´ poss´ıvel provar
fatos bonitos e fundamentais da Geometria Euclidiana.
E´ o que faremos nas duas Sec¸o˜es seguintes.
3. Teorema de Tales no c´ırculo
Um dos mais bonitos teoremas da geometria Euclidiana e´ o Teorema de Tales no
C´ırculo, que diz:
Afirmac¸a˜o 3.1. (Teorema de Tales)
Todos os aˆngulos inscritos no c´ırculo determinados pelo diaˆmetro sa˜o aˆngulos retos
(= pi
2
radianos).
CAPI´TULO 7. GEOMETRIA ANALI´TICA PLANA 91
Figura: O Teorema de Tales no Cı´rculo
Demonstrac¸a˜o.
Vamos provar para pontos do C´ırculo com coordenada y > 0 (para os outros e´
ana´logo).
Tome um ponto no do C´ırculo de raio r > 0, de coordenadas (x,+
√
r2 − x2), onde
x ∈ [−r, r].
Queremos ver se os coeficiente angular a da reta ligando (x,+
√
r2 − x2) a (r, 0) e
o coeficiente angular a′ da reta ligando (x,+
√
r2 − x2) a (−r, 0) satisfazem a condic¸a˜o
que expressa a ortognalidade:
a′ · a = −1.
Mas
a′ =
√
r2 − x2 − 0
x− (−r) =
√
r2 − x2
x+ r
,
enquanto que a =
√
r2−x2
x−r e portanto:
a′ · a =
√
r2 − x2
(x+ r)
·
√
r2 − x2
(x− r) =
r2 − x2
x2 − r2 = −1.
�
4. A equac¸a˜o da reta de Euler
Um Teorema muito geral, que escapou de Euclides, mas na˜o de Euler, e´ o seguinte:
Afirmac¸a˜o 4.1. (Reta de Euler)
Considere qualquer triaˆngulo.
Se o triaˆngulo na˜o e´ equila´tero, o Baricentro B, o Circuncentro C e o Ortocentro
H sa˜o pontos distintos mas sa˜o colineares. Ademais as distaˆncias entre eles verificam:
HB = 2 · BC.
Se o triaˆngulo e´ equila´tero, os treˆs pontos coincidem num mesmo ponto.
Essa reta que conte´m esse treˆs pontos e´ a reta de Euler.
4. A EQUAC¸A˜O DA RETA DE EULER 92
0
10,80,60,40,20
2
1,5
1
0,5
Figura: A reta de Euler representada por segmento intersectando
uma mediana, uma altura e uma mediatriz, para P = (2
3
, 2)
0
10,80,60,40,20
2
1,5
1
0,5
Figura: A reta de Euler representada por segmento intersectando
uma mediana, uma altura e uma mediatriz, para P = (1
5
, 2)
A` medida que formos demonstrando esse fato iremos relembrando os conceitos
envolvidos. A demosntrac¸a˜o dara´ as coordenadas expl´ıcitas dos pontos e a equac¸a˜o
expl´ıcita da reta de Euler.
Demonstrac¸a˜o.
Na˜o perdemos muita generalidade se supusermos que o triaˆngulo tem ve´rtices:
(0, 0), (1, 0) e (A,B), B 6= 0,
pois isso se obte´m escolhendo um sistema de coordenadas cartesiano adequado.
Os lados do triaˆngulo fazem parte de treˆs retas, das quais obviamente a primeira
e´
l1 : y = 0.
CAPI´TULO 7. GEOMETRIA ANALI´TICA PLANA 93
A reta l2 e´ a que conte´m (0, 0) e (A,B), cuja equac¸a˜o e´:
l2 : y =
B
A
· x, se A 6= 0,
ou a reta vertical:
l2 : x = 0, se A = 0.
E a terceira e´ a que contem (1, 0) e (A,B), cuja equac¸a˜o e´:
l3 : y =
B
A− 1 · x−
B
A− 1 , se A 6= 1
ou a reta vertical
l3 : x = 1, se A = 1.
Os pontos me´dios de cada lado do triaˆngulo sa˜o:
(
1
2
, 0), (
A+ 1
2
,
B
2
) e (
A
2
,
B
2
).
Considero agora as treˆs medianas : retas ligando ve´rtices a pontos me´dios dos
lados opostos.
A reta que liga (0, 0) a (A+1
2
, B
2
) e´
m1 : y =
B
2
A+1
2
· x = B
A + 1
· x, se A 6= −1,
ou a reta vertical
m1 : x = 0, se A = −1.
A reta que liga (1, 0) a (A
2
, B
2
) e´
m2 : y =
B
A− 2 · x−
B
A− 2 , se A 6= 2,
ou a reta vertical
m2 : x = 1, se A = 2.
A reta que liga (A,B) a (1
2
, 0) e´:
m3 : y =
2B
2A− 1 x−
B
2A− 1 , se A 6=
1
2
ou a reta vertical:
m3 : x =
1
2
, se A =
1
2
.
Supondo por um instante que estamos no caso geral, em que A 6= −1, 2, a intersecc¸a˜o
m1 ∩m2 se obtem facilmente, resolvendo:
B
A+ 1
x =
B
A− 2 · x−
B
A− 2
que da´ (usando B 6= 0):
x =
A+ 1
3
e portanto e´
B := (A+ 1
3
,
B
3
).
4. A EQUAC¸A˜O DA RETA DE EULER 94
Agora tratemos dos casos particulares que faltaram.
Se A = −1, enta˜o m1 ∩m2 consiste na intersecc¸a˜o de x = 0 e y = −B3 x+ B3 . Ou
seja e´ o ponto
(0,
B
3
),
que coincide com o B.
Se A = 2, enta˜o m1 ∩m2 e´ dada por y = B3 x intersectada com x = 1, que da´ o
ponto:
(1,
B
3
),
que coincide tambe´m com o B.
Agora Afirmo que
B ∈ m3.
Se A 6= 1
2
enta˜o o fato ques eja verdade
(
2B
2A− 1) · (
A+ 1
3
)− B
2A− 1 =
B
3
diz que B ∈ m3.
Se A = 1
2
, enta˜o m3 e´ dada por x =
1
2
, que obviamente passa por
B = (
1
2
+ 1
3
,
B
3
) = (
1
2
,
B
3
).
Esse ponto B, que em todos os casos poss´ıveis e´
B = m1 ∩m2 ∩m3
e´ chamado Baricentro.
Considero agora as treˆs mediatrizes : retas saindo de cada ponto me´dio em aˆngulo
reto com o lado.
A mediatriz pelo ponto me´dio (1
2
, 0) e´ fa´cil, e´ a reta:
md1 : x =
1
2
.
O lado que conte´m o ponto me´dio (A
2
, B
2
) esta´ na reta l2 e essa reta ou e´ y =
B
A
x,
se A 6= 0, ou a reta vertical x = 0 se A = 0.
Portanto mediatriz md2 pelo ponto me´dio (
A
2
, B
2
) ou e´ horizontal
md2 : y =
B
2
, se A = 0,
ou a reta:
md2 : y = −A
B
· x+ (B
2
+
A2
2B
), se A 6= 0,
(lembre que nunca B = 0).
Enta˜o md1 ∩md2 e´ o ponto:
C : (1
2
,
B
2
), se A = 0
ou
C : (1
2
,
A · (A− 1)
2B
+
B
2
), se A 6= 0.
CAPI´TULO 7. GEOMETRIA ANALI´TICA PLANA 95
Afirmo agora que em qualquer caso:
C ∈ md3
onde md3 e´ a mediatriz do lado contendo om ponto me´dio (
A+1
2
, B
2
).
De fato, o lado esta´ contido em l3, cujas equac¸o˜es sa˜o:
l3 : y =
B
A− 1 · x−
B
A− 1 , se A 6= 1
ou a reta vertical
l3 : x = 1, se A = 1.
Portanto ou md3 e´ y =
B
2
no caso A = 1 e claramente passa por
C : (1
2
,
B
2
),
ou
md3 : y = −A− 1
B
· x+ B
2
+
A2 − 1
2B
, se A 6= 1,
que passa tambe´m por
C = (1
2
,
A · (A− 1)
2B
+
B
2
),
como se veˆ em seguida.
Esse ponto C que verifica:
C = md1 ∩md2 ∩md3
e´ chamado Circuncentro (o Exerc´ıcio 8.7 ajudara´ a justificar essa nomenclatura).
Ja´ podemos nos perguntar o que acontece se
B = C.
Isso ocorre quando:
A+ 1
3
=
1
2
e
B
3
=
A · (A− 1)
2B
+
B
2
.
A primneira da´ A = 1
2
, que posta na segunda da´:
B2 =
3
4
,
ou seja B =
√
3
2
ou B = −
√
3
2
.
Esse triaˆngulo com (A,B) = (1
2
,
√
3
2
) ou (A,B) = (1
2
,−
√
3
2
) e com os outros ve´rtices
em (0, 0) e (1, 0) e´ equila´tero.
Agora consideremos as treˆs alturas : retas que saem de ve´rtices e sa˜o ortogonais
ao lado oposto.
Como veremos no Exerc´ıcio 8.6, se
P = (x, y) 6∈ r,
a reta PQ intersecta ortogonalmente r : y = ax+ b em Q ∈ r com coordenadas
Q = (x, b) se a = 0
4. A EQUAC¸A˜O DA RETA DE EULER 96
ou coordenadas
Q = (
x− a(b− y)
a2 + 1
, a · ( x− a(b− y)
a2 + 1
) + b ), se a 6= 0.
A altura que sai de (A,B) e vai ortogonal ate´ o lado l1 : y = 0 e´ portanto:
h1 : x = A.
A altura que sai de (0, 0) e´:
h3 : y = 0, se A = 1,
pois nesse caso l3 : x = 1. Ou
h3 = −A− 1
B
· x, se A 6= 1,
pois no caso geral
l3 : y =
B
A− 1 · x−
B
A− 1 .
A intersecc¸a˜o h1 ∩ h3 e´ portanto:
(1, 0), se A = 1
ou
(A,−A · (A− 1)
B
), se A 6= 1.
Em qualquer caso,
H = (A,−A · (A− 1)
B
) = h1 ∩ h2.
Afirmo que
H ∈ h2,
onde h2 e´ a altura que sai de (1, 0) e chega ortogonal a l2.
Se l2 : x = 0 (quando A = 0) enta˜o
h2 : y = 0
obviamente passa por H. E se l2 : y = BA · x (no caso A 6= 0) enta˜o:
h2 : y = −A
B
· x+ A
B
.
Nesse caso tambe´mH ∈ h2.
Esse ponto de encontro das treˆs alturas e´ o Ortocentro.
Quando H = B ?
Quando
A =
A+ 1
3
e
B
3
= −A(A− 1)
B
.
Que e´ exatamente quando:
A =
1
2
e B2 =
3
4
,
que diz que se trata de triaˆngulo equila´tero, como ja´ vimos.
CAPI´TULO 7. GEOMETRIA ANALI´TICA PLANA 97
Falta vermos tambe´m quando o Ortocentro coincide com o circuncentro. Isso se
da´ quando
A =
1
2
e − A(A− 1)
B
=
A · (A− 1)
2B
+
B
2
,
que tambe´m da˜o
A =
1
2
e B2 =
3
4
,
formando triaˆngulos equila´teros.
Agora, supondo que nosso triaˆngulo na˜o seja equila´tero, so´ nos resta encontrar a
equac¸a˜o da reta ligando B a C e conferir que ela passa pelo H.
A reta por B e C e´ ou bem a reta vertical
x =
1
2
, se A =
1
2
,
quando o triaˆngulo e´ iso´sceles, ou bem se A 6= 1
2
:
y = −B
2 + 3A2 − 3A
B(2A− 1) · x+
A(B2 + A2 − 1)
B(2A− 1) .
Esta e´ a reta de Euler !
So´ falta agora verificarmos as distaˆncias.
Os quadrados das distaˆncias sa˜o:
HB2 := (2
3
A− 1
3
)2 + (
A(A− 1)
B
+
1
3
B)2 =
=
10A2B2 − 10AB2 +B2 + 9A4 − 18A3 + 9A2 +B4
9B2
.
Enquanto que
BC2 := (1
3
A− 1
6
)2 + (
A(A− 1)
2B
+
1
6
B)2 =
=
10A2B2 − 10AB2 +B2 + 9A4 − 18A3 + 9A2 +B4
36B2
.
ou seja
HB2 = 4 · BC2,
como quer´ıamos.
�
Observac¸a˜o 1:
Observe que temos a equac¸a˜o expl´ıcita e portanto podemos determinar casos onde
a reta de Euler e´ horizontal. Que ocorrem para pontos da forma
P = (A,±
√
3A(1− A) ).
4. A EQUAC¸A˜O DA RETA DE EULER 98
10,80,60,40,20
0,8
0,6
0,4
0,2
0
Figura: A reta de Euler e´ horizontal para pontos da forma P = (2
3
,
√
6
3
).
Observac¸a˜o 2:
E´ natural termos curiosidade por qual seria o gra´fico da func¸a˜o z = z(A,B), B 6= 0
dada por
z = 10A2B2 − 10AB2 +B2 + 9A4 − 18A3 + 9A2 +B4,
pois vimos z = 0 esta´ associado a um ponto muito especial no plano formado pelos
paraˆmetros (A,B): o ponto
(
1
2
,
√
3
2
) ∼ (0.5, 0.8).
A Figura a seguir mostra uma parte dessa superf´ıcie, com A ∈ [0, 1] e B ∈ [0.1, 1.3]
(na figura o eixo x e´ o dos A e o eixo y e´ o dos B).
10
1,2 0,8
1
1 0,6
2
0,8
0,4 x
3
0,6y
0,4 0,2
4
0,2 0
CAPI´TULO 7. GEOMETRIA ANALI´TICA PLANA 99
Mas na˜o se veˆ muita coisa. Ja´ as pro´ximas duas Figuras sa˜o perfis da superf´ıcie,
e elas sim ilustram bem que um ponto pro´ximo de (0.5, 0.8) e´ o mı´nimo dessa func¸a˜o
z = z(A,B) (na figura o eixo x e´ o dos A e o eixo y e´ o dos B).
0,20,40,6
y
0,811,20
4
0,2
3
0,4
2
x
0,6
1
0,81
0
10,80,6 x0,40,20
0,20,4
y
0,60,811,2
0
1
2
3
4
5. A inversa como reflexa˜o de gra´fico na diagonal
Imagine uma func¸a˜o f : I → J , y = f(x) que admita uma func¸a˜o inversa f−1 :
J → I, x = f−1(y).
Vamos supor agora que temos ambos os gra´ficos, de f e de f−1, no mesmo sistema
de coordenadas (x, y), ou seja, por um momento pensemos em g = f−1 tomada com as
6. O ME´TODO DE DESCARTES PARA AS TANGENTES A UM GRA´FICO 100
mesmas abcissas e oordenadas que a f , ou seja, vamos ver ao mesmo tempo y = f(x)
e y = g(x).
Agora ligamos com uma reta r o ponto (A,B) := (x, f(x)) do gra´fico de y = f(x)
com o ponto (B,A) do gra´fico de y = g(x). Enta˜o o coeficiente angular dessa reta e´:
a :=
A−B
B −A = −1.
Ou seja que a reta r que os liga tem a mesma inclinac¸a˜o da anti-diagonal, a = −1,
ou seja, r e´ ortogonal a` diagonal y = x. A equac¸a˜o dessa r e´ pelo que vimos na
Afirmac¸a˜o 1.3:
r : y = −x+ (A+B).
E r corta a diagonal y = x no ponto cuja abcissa satisfaz:
x = −x+ (A+B),
ou seja x = A+B
2
, ou seja, no ponto com coordenadas (A+B
2
, A+B
2
). E (A,B) e (B,A)
sa˜o equidistantes de (A+B
2
, A+B
2
).
Conclu´ımos que a diagonal y = x funciona como um espelho para os gra´ficos de
y = f(x) e y = g(x):
O gra´fico da f−1 referido ao mesmo sistema (x, y) e´ um reflexa˜o na diagonal do
gra´fico da y = f(x)
(A,B)
(B,A)
r
y=x
y= f^{−1}(x)
y= f(x)
Figura: Os gra´ficos de f e f−1 no mesmo sistema cartesiano
6. O me´todo de Descartes para as tangentes a um gra´fico
Como a Geometria anal´ıtica foi um criac¸a˜o de Rene´ Descartes, nada mais justo
que indicarmos um bonito me´todo criado por ele1
Pelo menos no meu caso, durante meu tempo de ensino Me´dio, so´ me lembro da
palavra reta tangente ser usada para referir a reta tangente de um c´ırculo.
Nesse caso, para um c´ırculo C de raio r e centro O, pode ser definida como a reta
t pelo ponto P que e´ ortogonal ao raio do C´ırculo.
Em geral uma reta por um ponto P de C o intersecta noutro ponto, mas a reta
tangente t a P na˜o pode intersectar C noutro ponto P ′: se por absurdo t∩C = {P, P ′}
1Me baseei mais no livro de Edwards, mas o leitor pode comparar com o que esta´ nas pa´ginas
95-113 de The geometry of Rene´ Descartes, Dover.
CAPI´TULO 7. GEOMETRIA ANALI´TICA PLANA 101
enta˜o no triaˆngulo ∆OPP ′ a hipotenusa OP ′ mediria o mesmo que o cateto OP ,
absurdo.
Descartes se perguntou pelo significado da reta ortogonal a um gra´fico qualquer,
pois isso esta´ ligado a questo˜es de O´ptica, de reflexa˜o da luz em lentes, que lhe
interessavam.
Responder a essa questa˜o da´ a chave tambe´m para o significado da reta tangente
a um gra´fico qualquer (pois uma e´ ortogonal a` outra).
De fato na˜o vamos lidar coma questa˜o assim ta˜o geral: suponhamos gra´ficos de
polinoˆmios y = f(x).
Ele pensou em usar o que sabia de c´ırculos para atacar o caso geral de gra´ficos.
Para isso, considerou um ponto P = (x, f(x)) do gra´fico e considerou C´ırculo com
centro (c, 0) no eixo dos x, de raios r que passem por P = (x, f(x)).
Ou seja, escolhidos c, r teremos que x e´ ra´ız de:
(f(x)− 0)2 + (x− c)2 − r2 = 0.
Em geral, se c e´ escolhido de qualquer jeito, pode haver outra ra´ız x′ dessa equac¸a˜o,
pois o c´ırculo
y2 + (x− c)2 − r2 = 0
pode cortar o gra´fico de y = f(x) em mais de um ponto.
problema: Como escolher c para que x seja ra´ız dupla de:
(f(x)− 0)2 + (x− c)2 − r2 = 0,
ou seja, para que uma segunda ra´ız x′ colida com x ?
Se consegu´ıssemos resolver esse Problema estar´ıamos colocando o C´ırculo de modo
a tocar, tangenciar o gra´fico em P .
Ora, como sabemos qual a tangente ao C´ırculo usar´ıamos essa reta como tangente
ao gra´fico !
Melhor do que explicar o me´todo em abstrato sera´ fazermos dois Exemplos.
Exemplo 6.1. Consider y = Cx2 uma para´bola e tome P = (x, Cx2), com x > 0.
Comos os C´ırculos com centro (c, 0) tem equac¸a˜o:
y2 + (x− c)2 = r2,
queremos encontrar uma ra´ız dupla x de:
(Cx2)2 + (x− c)2 − r2 = 0,
ou seja queremos encontrar uma fatorac¸a˜o:
(Cx2)2 + (x− c)2 − r2 = (x− x)2q(x)
onde q(x) e´ um polinoˆmio de grau 2.
Ou seja queremos encontrar uma fatorac¸a˜o do tipo:
(Cx2)2 + (x− c)2 − r2 = (x− x)2 · (a2x2 + a1x+ a0).
6. O ME´TODO DE DESCARTES PARA AS TANGENTES A UM GRA´FICO 102
Expandindo ambos os lados, formam-se dois polinoˆmios de grau 4 em x, a` esquerda e
a` direita. Igualando os coeficientes do monoˆmios x4 a` esquerda e a` direita faz aparecer
C2 − a2 = 0 ⇔ a2 = C2.
Igualando os coeficientes de x3 a` esquerda e a` direita faz aparecer:
−a1 + 2xa2 = 0
ou seja
−a1 + 2x(C2) = 0 ⇔ a1 = 2xC2.
Igualando os coeficientes de x2 a` esquerda e a` direita faz aparecer:
1 + 2xa1 − a0 − x2a2 = 0,
ou seja
1 + 2x(2xC2)− a0 − x2C2 = 0 ⇔ a0 = 1 + 3x2C2.
Por u´ltimo, igualando os coeficientes de x a` esquerda e a` direita faz aparecer:
−2c+ 2xa0 − x2a1 = 0
ou seja,
−2c+ 2x(1 + 3x2C2)− x2(2xC2) = 0 ⇔ c = x+ 2x3C2.
Logo o C´ırculo cujo centro e´ o ponto
O = (c, 0) = (x+ 2x3C2, 0)
e que passa por P = (x, Cx2) tangencia o gra´fico de y = Cx2 nesse ponto P .
y
3
-1
4
2
-2
x
5431 20
0
1
Figura: O gra´fico de y = x2 e o c´ırculo tangente em P = (1,1), de centro (3, 0).
O coeficiente angular da reta ligando O a P e´:
− f(x)
c− x = −
Cx2
x+ 2x3C2 − x = −
1
2xC
.
CAPI´TULO 7. GEOMETRIA ANALI´TICA PLANA 103
Ora, para passarmos ro raio do c´ırculo para a tangente basta tomar a reta ortog-
onal. E o coeficiente angular ortogonal ao anterior − 1
2xC
e´:
2Cx.
Logo a reta tangente ao gra´fico em P vem dada por:
y − Cx2
x− x = 2Cx ⇔ y = (2Cx) x+ (Cx
2 − 2Cx2).
Exemplo 6.2. Considere y = Cx3 e tome P = (x, Cx2), com x > 0. Queremos uma
ra´ız dupla de:
(Cx3)2 + (x− c)2 − r2 = 0,
ou seja queremos encontrar uma fatorac¸a˜o:
(Cx3)2 + (x− c)2 − r2 = (x− x)2q(x)
onde q(x) agora e´ um polinoˆmio de grau 4.
Ou seja queremos encontrar uma fatorac¸a˜o do tipo:
(Cx3)2 + (x− c)2 − r2 = (x− x)2 · (a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x+ a0).
Expandindo ambos os lados, formam-se dois polinoˆmios de grau 6, a` esquerda e a`
direita. Comparando como fizemos antes os coeficientes de cada monoˆmio, fazemos
surgir equac¸o˜es, que va˜o sendo resolvidas uma a uma, produzindo nesta ordem:
a4 = C
2, a3 = 2xC
2, a2 = 3x
2C2,
a1 = 4x
3C2, a0 = 1 + 5x
4C2, c = x+ 3x5C2.
Logo o C´ırculo cujo centro e´ o ponto
O = (c, 0) = (x+ 3x5C2, 0)
e que passa por P = (x, Cx3) tangencia o gra´fico de y = Cx3 nesse ponto P .
y
3
-1
4
2
-2
-3
x
765432
0
1
10
Figura: O gra´fico de y = x3 e o c´ırculo tangente em P = (1, 1), de centro (4, 0).
8. EXERCI´CIOS 104
O coeficiente angular da reta ligando O a P e´:
− f(x)
c− x = −
Cx3
x+ 3x5C2 − x = −
1
3x2C
,
O coeficiente angular da reta ortogonal a esta e´
3x2C
e da´ı se obte´m em seguida a equac¸a˜o toda da reta tangente ao gra´fico.
7. Um problema da Putnam Competition, n. 2, 1939
So´ com o material desenvolvido ate´ este Cap´ıtulo ja´ se pode resolver o seguinte
problema:
Problema: Seja P ponto da curva y = x3 tal que a reta tangente ao gra´fico em P
intersecta de novo o gra´fico num ponto Q 6= P .
Mostre que a reta tangente ao gra´fico em Q tem inclinac¸a˜o igual a 4 vezes a
inclinac¸a˜o em P .
Soluc¸a˜o:
Seja P = (a, a3). Enta˜o a 6= 0 pois de P = (0, 0) a reta tangente e´ horizontal e
na˜o intersecta o gra´fico noutro ponto Q 6= P .
A reta tangente em P tem equac¸a˜o:
y = 3a2 · x− 2a2
e Q = (x, x3) verifica a equac¸a˜o:
x3 = 3a2 · x− 2a2 ⇔ x3 − 3a2 · x+ 2a2 = 0.
Ora, a e´ ra´ız dupla essa equac¸a˜o, ja´ que em P ha´ tangeˆncia, logo:
x3 − 3a2 · x+ 2a2 = (x− a)2 · p(x)
onde p(x) e´ de grau 1 e facilmente se veˆ, por divisa˜o, que:
p(x) = x+ 2a.
Ou seja, o ponto Q tem coordenadas Q = (−2a,−8a3).
A inclinac¸a˜o da reta tangente por Q e´:
3 · (−2a)2 = 3 · (4a2) = 4 · (3a2),
ou seja, 4 vezes a inclinac¸a˜o em P .
8. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 8.1. Qual e´ o coeficiente angular da reta y = y(x) determinada pela
equac¸a˜o 3y + 4x− 27 = 0 ?
CAPI´TULO 7. GEOMETRIA ANALI´TICA PLANA 105
Exerc´ıcio 8.2. i) determine a reta, na forma y = a · x + b, que passa por (1, 2) e
(4, 13).
ii) determine a reta, na forma y = a · x + b, que passa por (1, 2) com coeficiente
angular 5.
Exerc´ıcio 8.3. (resolvido)
Tentei resolver o sistema de equac¸o˜es:
y − 5x− 2 = 0 e 2y − 10x− 1 = 0,
e fiz o seguinte: da primeira equac¸a˜o obtive y = 5x+2 e substitui esse y na segunda,
obtendo:
2(5x+ 2)− 10x− 1 = 3 = 0,
o que e´ um absurdo, pois 3 6= 0.
Voceˆ poderia explicar, com os conceitos deste Cap´ıtulo por queˆ chego nesse ab-
surdo?
Exerc´ıcio 8.4. Agora tentei resolver os sistemas de duas equac¸o˜es:
y − ax+ 1 = 0 e y − x+ 2 = 0
(sim sa˜o va´rios sistemas de duas equac¸o˜es pois a ∈ R pode ser mudado).
Da primeira obtive: y = ax− 1 e substituindo na segunda obtive:
(ax− 1)− x+ 2 = x(a− 1) + 1 = 0.
i) Supondo a− 1 6= 0 continue a resoluc¸a˜o dos sistemas.
ii) explique geometricamente qual o significado da condic¸a˜o a− 1 6= 0.
Exerc´ıcio 8.5. Um outro modo se pensar a questa˜o de como determinar a reta
y = a · x + b passando por dois pontos P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) e´ resolver o
sistema:
y1 = a · x1 + b e y2 = a · x2 + b,
cujas inco´gnitas sa˜o a, b.
i) qual a condic¸a˜o sobre P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) para que o sistema tenha
soluc¸a˜o u´nica ? O que diz a chamada Regra de Cramer neste caso ?
Agora considere o problema de determinar qual a curva da forma
y2 = x3 + b · x+ a
passa pelos pontos P1 = (−3, 0) e P2 = (4, 0).
ii) qual o sistema de equac¸o˜es a ser resolvido ? E´ muito diferente do anterior ?
iii) qual a soluc¸a˜o (a, b) ?
Exerc´ıcio 8.6. (resolvido)
Seja y = ax+ b a equac¸a˜o de uma reta r e seja P = (A,B) 6∈ r.
i) Encontre o ponto Q na reta r tal que o segmento PQ e´ ortogonal a r em Q.
ii) pode acontecer que a coordenada x de Q seja A ? Exatamente em que situac¸o˜es
?
8. EXERCI´CIOS 106
Exerc´ıcio 8.7. Prove que o circuncentro
C = (1
2
,
A(A− 1)
2B
+
B
2
),
equidista dos treˆs ve´rtices (0, 0), (1, 0) e (A,B) do triaˆngulo (B 6= 0).
Conclua que ha´ um c´ırculo centrado em C que passa pelos ve´rtices do triaˆngulo.
Dica: expanda os quadrados e simplifique.
Exerc´ıcio 8.8. (resolvido)
Veremos en detalhe no Cap´ıtulo 20 que as equac¸o˜es:
x2 +
y2
b2
= 1
definem elipses com centro na origem.
Determine b2 para que a elipse correspondente seja tangente a` reta y = −x + 5
em algum ponto dessa reta. (Dica: da´ para fazer isso no estilo de Descartes).
Exerc´ıcio 8.9. (resolvido)
Deˆ a func¸a˜o inversa de f : R \ {0} → R, f(x) = 1
x
.
Conclua que essa func¸a˜o tem gra´fico sime´trico em relac¸a˜o a` diagonal.
CAP´ıTULO 8
A Tangente ao gra´fico, segundo o Ca´lculo
No final do Cap´ıtulo anterior vimos que Descartes desenvolveu um engenhoso
me´todo alge´brico para definir e calcular retas tangentes a gra´ficos de polinoˆmios.
Mas precisamos de um me´todo mais geral. Para isso, estudaremos primeiro as
secantes a gra´ficos e depois, via o conceito de limite, definiremos as tangentes a
gra´ficos.
1. Retas secantes a um gra´fico
Sera´ interessante para no´s pegarmos dois pontos de um mesmo gra´fico e calcular-
mos a equac¸a˜o da reta que os liga, chamada secante ao gra´ficos pelos dois pontos.
Estaremos interessados pricipalmente em seu coeficiente angular.
Por exemplo, (x1, f(x1) e (x2, f(x2) definem uma reta y = ax+ b com coeficiente
angular
a =
f(x2)− f(x1)
x2 − x1
,
e coeficiente linear
b = f(x1)− (
f(x2)− f(x1)
x2 − x1
) · x1.
Exemplos:
1)- Tome um x1 > 0 e fixe no gra´fico da func¸a˜o f(x) = |x| o ponto (x1, x1). Note
que os x2 pro´ximos de x1 tambe´m sa˜o positivos e portanto as secantes determinadas
por (x1, x1) e (x2, x2) sa˜o sempre as mesmas, de fato, sa˜o todas iguais a` diagonal
y = x. Analogamente, se x1 < 0 as secantes que envolvem o ponto (x1,−x1) e outro
do gra´fico bem pro´ximo coincidem com a antidiagonal y = −x.
2) - Certamente nenhuma secante ao gra´fico de y = x2 coincide com o gra´fico;
vemos que aqui as secantes mudam de inclinac¸a˜o.
2. A reta tangente a um gra´fico
Olhe agora somente o coeficiente angular da secante ao gra´fico de y = f(x) por
dois de seus pontos :
f(x2)− f(x1)
x2 − x1
.
Imagine que (x1, f(x1)) fica parado mas que (x2, f(x2)) esta´ se movendo, no gra´fico
de f , indo cada vez mais pro´ximo de (x1, f(x1)). Se f e´ cont´ınua, basta supor que a
coordenada x2 fica pro´xima de x1 para necessariamente f(x2) ficar mais pro´xima de
f(x1).
107
2. A RETA TANGENTE A UM GRA´FICO 108
Como x2 fica pro´ximo de x1 sua diferenc¸a
h := x2 − x1
tem mo´dulo pequeno. Para deixarmos o ponto (x1, f(x1)) em destaque, vamos escr-
ever o coeficiente angular acima como:
ax1,h :=
f(x1 + h)− f(x1)
h
, onde x1 + h = x2.
4
2
-2
3
1
x
1,510,50
-1
0
2
Figura: Duas secantes pelo ponto (1, 1) do gra´fico de y = x2
A grande questa˜o e´:
Sera´ que esses coeficientes angulares ax1,h tendema um valor espec´ıfico bem de-
terminado ax1
1, quando h→ 0 (independentemente do modo como h se faz pequeno)
?
E´ nesse ponto que se veˆ importaˆncia de podermos falar de algo como o h tender a
zero, sem precisar nunca ser zero: pois simplesmente na˜o podemos dividir por h = 0
e precisamos calcular limh→0 ax1,h.
Atenc¸a˜o ! pois em geral pode na˜o existir esse limite, como algo bem definido.
O exemplo mais simples e´ (que e´ uma func¸a˜o cont´ınua !):
y = f(x) = |x| e x = 0.
De fato, se h > 0 e tende a zero, obtenho:
lim
h→0
h>0
|0 + h| − |0|
h
= lim
h→0
h>0
h
h
=
= lim
h→0
h>0
1 = 1,
1Claro que em geral ax
1
depende do x1 escolhido
CAPI´TULO 8. A TANGENTE AO GRA´FICO, SEGUNDO O CA´LCULO 109
e no entanto:
lim
h→0
h<0
|0 + h| − |0|
h
= lim
h→0
h<0
−h
h
=
= lim
h→0
h<0
−1 = −1,
0,8
0,4
0
1
0,6
0,2
x
10-0,5-1 0,5
Figura: Gra´fico de y = | x |, para x ∈ [−1, 1].
Definic¸a˜o 2.1. Quando ha´ uma posic¸a˜o limite de secantes, ou seja, quando existe
a := lim
h→0
ax1,h, onde ax1,h :=
f(x1 + h)− f(x1)
h
,
dizemos que existe a Reta Tangente ao gra´fico de f em (x1, f(x1)). E´ a reta dada
por:
y = a · x+ b, pondo a := lim
h→0
ax1,h
e onde b fica determinado pela imposic¸a˜o de que essa reta passe por (x1, f(x1).
De f(x1) = a · x1 + b, obtenho o coeficiente linear:
b = f(x1)− (lim
h→0
ax1,h) · x1.
E´ interessante que, embora as secantes na˜o tenham muito a ver com o gra´fico:
a tangente ao gra´fico em um de seus ponto da´ informac¸a˜o relevante sobre ele, ela
da´ informac¸a˜o do formato do gra´fico naquele ponto.
Dentre todas a retas passando por aquele ponto, a tangente ao gra´fico e´ a mais
informativa do formato do gra´fico.
3. A reta tangente ao seno em (0, 0) e´ a diagonal
Vamos dar uma justificac¸a˜o bem geome´trica para o fato de que no gra´fico do seno
existe uma reta tangente bem definida no ponto (0, 0): de fato sua equac¸a˜o e´ a mesma
da diagonal y = x.
Para isso comec¸amos observando que:
3. A RETA TANGENTE AO SENO EM (0, 0) E´ A DIAGONAL 110
Afirmac¸a˜o 3.1. Valem:
sin(θ) < θ e θ < tan(θ), para 0 < θ < pi/4,
e
tan(θ) < θ e θ < sin(θ), para − pi/4 < θ < 0.
Demonstrac¸a˜o.
Seja 0 < θ < pi/4.
Considere treˆs A´reas envolvidas:
• do triaˆngulo 4 com ve´rtices em (0, 0), (1, 0) e em (cos(θ), sin(θ)). Note que
a base dele mede 1 e que sua altura e´ o sin(θ). Logo A4(θ) =
sin(θ)
2
.
• do Setor circular (fatia do disco) de abertura θ do disco de raio 1, s(θ). Sua
a´rea2 e´ denotada As(θ). Temos As(2pi) = pi e As(θ) =
θ
2
.
• do triaˆngulo ∆ com ve´rtices em (0, 0), (1, 0) e no ponto (1, tan(θ)), que e´ um
triaˆngulo retaˆngulo em (1, 0) Denote sua a´rea por A∆(θ). A base dele mede
1 e que sua altura e´ tan(θ). Logo A∆(θ) =
tan(θ)
2
.
θ
(1,0)(0,0)
tan (1, )θ
( , )θcos θsen 
Figura: Observe que 4 ⊂ s(θ) ⊂ ∆
Das incluso˜es:
4 ⊂ s(θ) ⊂ ∆
obtemos:
A4(θ) < As(θ) < A∆(θ)
ou seja para 0 < θ < pi/4:
sin(θ)
2
<
θ
2
<
tan(θ)
2
,
que e´ o que queremos (se eliminamos o 1/2).
Por outro lado, se −pi/4 < θ < 0 (isto e´, θ e´ aˆngulo no sentido hora´rio),
A4(θ) < As(θ) < A∆(θ)
2O Ca´lculo pode provar que a a´rea de um disco de raio r e´ pi · r2, como o faremos nos Cap´ıtulos
sobre Integrac¸a˜o. A A´rea de um setor de abertura θ (em radianos) no disco de raio r e´
θ
2pi
· pir2 = θ · r
2
.
CAPI´TULO 8. A TANGENTE AO GRA´FICO, SEGUNDO O CA´LCULO 111
agora significa (ja´ que para ca´lculo de a´reas tomo os mo´dulos de nu´meros negativos):
− sin(θ)
2
<
−θ
2
<
− tan(θ)
2
,
ou seja (multiplicando por −1):
tan(θ)
2
<
θ
2
<
sin(θ)
2
o que queremos (eliminando o 1/2).
�
Afirmac¸a˜o 3.2. (Um Limite fundamental)
lim
θ→0
sin(θ)
θ
= 1
Demonstrac¸a˜o.
Para 0 < θ < pi/4, da Afirmac¸a˜o 3.1 temos
θ <
sin(θ)
cos(θ)
,
e obtenho (multiplicando por cos(θ)
θ
> 0):
cos(θ) <
sin(θ)
θ
.
Ainda da Afirmac¸a˜o 3.1, para 0 < θ < pi/4,:
sin(θ) < θ
e obtenho:
sin(θ)
θ
< 1.
Ou seja,
cos(θ) <
sin(θ)
θ
< 1, se 0 < θ < pi/4.
Uso agora o item 6) do Teorema 1.1, combinado com continuidade do cosseno, ob-
tendo:
lim
θ↘0
sin(θ)
θ
= lim
θ→0
cos(θ) = cos(0) = 1.
Por outro lado, quando −pi/4 < θ < 0 ainda temos cos(θ) > 0 e pela Afirmac¸a˜o 3.1
t´ınhamos:
sin(θ)
cos(θ)
< θ,
de onde obtenho (multiplicando por cos(θ)
θ
< 0):
sin(θ)
θ
> cos(θ).
De novo da Afirmac¸a˜o 3.1 para −pi
2
< θ < 0:
θ < sin(θ)
3. A RETA TANGENTE AO SENO EM (0, 0) E´ A DIAGONAL 112
e obtenho (ja´ que θ < 0):
sin(θ)
θ
< 1.
Enta˜o como antes obtenho:
lim
θ↗0
sin(θ)
θ
= lim
θ→0
cos(θ) = cos(0) = 1,
o que e´ suficiente para sabermos que
lim
θ→0
sin(θ)
θ
= 1.
�
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
x
3210-1-3 -2
Figura: Gra´fico de y = f(x) = sin(θ)
θ
para 0 6= θ ∈ [−pi, pi] e f(0) = 0.
Como consequeˆncia da Afirmac¸a˜o 3.2 e da definic¸a˜o de Reta Tangente ao gra´fico
do seno em (0, 0), a tangente ao gra´fico do seno em (0, 0) e´ exatamente a diagonal,
pois os coeficientes angulares de secantes por (0, 0) sa˜o:
sin(θ)− sin(0)
θ − 0
e
lim
θ→0
sin(θ)− sin(0)
θ − 0 = limθ→0
sin(θ)
θ
= 1.
1,5
0,5
-1,5
1
0
-1
-0,5
x
1,510,50-1 -0,5-1,5
CAPI´TULO 8. A TANGENTE AO GRA´FICO, SEGUNDO O CA´LCULO 113
Figura: A diagonal e´ tangente ao seno em (0, 0)
4. Interpretac¸a˜o F´ısica da reta tangente
Uma das fontes do Ca´lculo e´ a F´ısica. Os conceitos de secantes e tangente a um
gra´fico teˆm uma interpretac¸a˜o f´ısica natural.
Se x e´ pensado como sendo o tempo, podemos pensar em f(x) como a posic¸a˜o
de um objeto, determinada em relac¸a˜o a um ponto de origem, do qual nos afastamos
para a direita (valores positivos de f) ou para a esquerda (valores negativos de f).
Enta˜o
f(x2)− f(x1)
e´ a distaˆncia percorrida no tempo transcorrido x2 − x1 e
f(x2)− f(x1)
x2 − x1
e´ o que se costuma chamar a velocidade me´dia.
E´ o que no dia-a-dia nos perguntam: voceˆ vai de casa ate´ a faculdade em quanto
tempo ? E da´ı se deduz a velocidade me´dia do seu trajeto.
Mas tambe´m poderia haver interesse de algue´m nas velocidades marcadas no ve-
locimetro do seu carro a cada instante, para saber onde pegou engarrafamento, se teve
excesso de velocidade em alguns trechos, etc. O que e´ essa velocidade instantaˆnea
no instante x1 ? Ora, e´ o limite:
lim
h→0
f(x1 + h)− f(x1)
h
.
Ou seja, o coeficiente angular da tangente ao gra´fico da func¸a˜o posic¸a˜o f no
instante x1 da´ a velocidades instantaˆnea no momento x1. Isso e´ o que marca o
veloc´ımetro do carro.
Essa interpretac¸a˜o que estamos dando dos conceitos que vimos ao caso do movi-
mento de um objeto, nos motiva a falar da acelerac¸a˜o, um conceito que usamos muito
no dia a dia. Falaremos disso na Sec¸a˜o 5 do Cap´ıtulo 9.
5. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 5.1. i) Determine os intervalos em que coeficientes angulares das secantes
da func¸a˜o f(−∞, 0) ∪ (0,+∞)→ R, f(x) = 1/x sa˜o positivos ou negativos.
ii) Diga (ainda de modo bem intuitivo) o que acontece com esses coeficientes
angulares de secantes quando o ponto fixado x fica pro´ximo de zero (separadamente
se x < 0 ou se x > 0) ou com mo´dulo de x muito grande (x > 0 ou x < 0).
Exerc´ıcio 5.2. Calcule as equac¸o˜es y = ax + b das retas tangentes no ponto (1, 1)
dos gra´ficos de:
i): y = x2
ii): y = x3
iii): y = x4
5. EXERCI´CIOS 114
Exerc´ıcio 5.3. Pedi para o programa Maple plotar y = sin(x)
x
e y = sin
2(x)
x
para
x ∈ [−3, 3] e ele repondeu:
0,8
0
0,4
-0,4
x
31-3 0 2-2 -1
Mas essas func¸o˜es a princ´ıpio na˜o esta˜o sequer definidas em x = 0 ! Explique com os
conceitos de limite e continuidade o queo programa fez.
Exerc´ıcio 5.4. (resolvido)
Usando que limx→0
sin(x)
x
= 1 e composic¸o˜es prove que:
lim
x→0
sin(k · x)
x
= k, ∀k ∈ R \ {0}.
e
lim
x→0
tan(j · x)
sin(k · x) =
j
k
, ∀k, j ∈ R \ {0}.
CAP´ıTULO 9
A derivada
1. Definic¸a˜o, primeiras propriedades e exemplos simples
A grandeza
f(x+ h)− f(x)
h
, h 6= 0
e´ conhecida como quociente incremental. Ela compara, atrave´s do quociente, o in-
cremento (aumento, variac¸a˜o) dos valores da func¸a˜o com o incremento (aumento,
variac¸a˜o) na entrada da func¸a˜o.
E e´ assim que pensamos no dia-a-dia: na˜o e´ muito informativo se dissermos quanto
aumentou o sala´rio de algue´m, de f(x) para f(x+h), se na˜o dissermos quanto tempo
h foi necessa´rio para o reajuste.
Tambe´m se dissermos que um carro passa de f(x) km/h para f(x+h) km/h e na˜o
dissermos em quanto tempo h o faz, na˜o teremos uma ide´ia da poteˆncia do motor. E
assim por diante, ha´ inu´meros exemplos de processos so´ sa˜o descritos corretamente
se usarmos quocientes incrementais.
Definic¸a˜o 1.1. A Derivada da func¸a˜o y = f(x) num ponto x de seu domı´nio e´ o
limite:
lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
.
Denotamos1 esse limite por f ′(x).
Observac¸o˜es:
• Na˜o estamos dizendo que sempre exista f ′(x), ao contra´rio, e´ uma bela pro-
priedade para uma f ter derivada f ′(x). Quando dissermos apenas que f tem
Derivada (ou tambe´m, e´ Deriva´vel), estamos dizendo que ela tem Derivada
em cada ponto de seu domı´nio.
• apo´s a definic¸a˜o de derivada, podemos redefinir a reta tangente ao gra´fico
de y = f(x) no ponto (x, f(x)) como a reta que passa por esse ponto e tem
coeficiente angular f ′(x). Essa reta se determina assim: pondo
y − f(x)
x− x = f
′(x)
obtenho:
y = f ′(x) · x+ (f(x)− f ′(x)x).
1Essa notac¸a˜o lembra a de I. Newton, mas o outro criador do Ca´lculo, G. Leibniz usava a notac¸a˜o
d f
d x
(x), muito usada nos livros de Ca´lculo.
115
1. DEFINIC¸A˜O, PRIMEIRAS PROPRIEDADES E EXEMPLOS SIMPLES 116
Note o milagre que ha´ numa derivada: o denominador da frac¸a˜o tende a zero e
mesmo assim a frac¸a˜o tende a um nu´mero definido. Isso certamente esta´ ligado ao
fato de que o numerador tende a zero tambe´m, como vemos agora:
Teorema 1.1. Se existe o limite
lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
,
enta˜o:
• limh→0 ( f(x+ h)− f(x) ) = 0
• limh→0 f(x+ h) = f(x).
• f e´ cont´ınua em x.
Demonstrac¸a˜o.
Prova de i):
Fixe um ponto x qualquer do domı´nio da f . Parto de que existe
lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
.
Enta˜o adaptando a nossa notac¸a˜o2 a`quela do item 4) do Teorema 1.1, obtenho:
lim
h→0
( h · f(x+ h)− f(x)
h
) = 0.
Ou seja,
lim
h→0
( (f(x+ h)− f(x)) = 0.
Prova de ii):
Dizer que limh→0 ( (f(x + h) − f(x)) = 0 e´ exatamente o mesmo que dizer
limh→0 f(x+ h) = f(x).
Prova de iii): O iem ii) e´ a definic¸a˜o de continuidade da f em x. �
A rec´ıproca desse Teorema e´ falsa, como o mostra f(x) = |x| que, apesar de
cont´ınua em todo seu domı´nio, na˜o tem derivada no x = 0. De fato, ja´ vimos que:
lim
h↗0
|0 + h| − |0|
h
= −1, mas lim
h↘0
|0 + h| − |0|
h
= 1.
Existem func¸o˜es cont´ınuas bastante bizarras, sem derivada em nenhum ponto.
Tente imaginar (sem conseguir, e´ claro !) uma espe´cie de serrote com uma infinidade
de dentes, que entre dois dentes tem mais outro e assim por diante. Um exemplo e´
constru´ıdo no livro Calculus, de M. Spivak.
2Na notac¸a˜o do Teorema 1.1, x = 0, x = h, uma das func¸o˜es de h e´ f(x+h)−f(x)
h
e a outra e´ a
identidade g(h) = h
CAPI´TULO 9. A DERIVADA 117
2. Um A´rbitro que so´ avalia as inclinac¸o˜es
Comparando com a Sec¸a˜o 2 do Cap´ıtulo 8, conclu´ımos que a Derivada f ′(x) na
Definic¸a˜o 1.1 e´ o coeficiente angular da Tangente ao gra´fico de y = f(x) em (x, f(x)).
Se o valor da Derivada f ′(x) muda quando mede x isso significa que as inclinac¸o˜es
das tangentes variam ao longo do gra´fico.
Vamos dar 4 Exemplos dos mais simples.
Imagine uma competic¸a˜o de surf em que 4 participantes realizam manobras de-
scritas por quatro gra´ficos diferentes: y = f1(x) ≡ 1 (constante), y = f2(x) = x,
y = f3(x) = x
2 e y = f4(x) = x
3. Imagine tambe´m que um certo A´rbitro da com-
petic¸a˜o tem a tarefa exclusiva de so´ medir e avaliar as inclinac¸o˜es das pranchas em
cada instante x, sem se interessar em medir as alturas atingidas pelos participantes.
Quem controla as alturas quem controla e´ outro A´rbitro (e por sinal, nesses exemplos
ta˜o simples e´ fa´cil saber onde cada func¸a˜o tem valores positivos, zero ou negativos).
Ou seja, que o A´rbitro que so´ mede as inclinac¸o˜es calcula as Derivadas e apresenta
o gra´fico de cada Derivada. A seguir, o resultado para cada um dos 4 concorrentes:
1): f1(x) = 1:
f ′1(x) = lim
h→0
1− 1
h
= lim
h→0
0 = 0.
1
0,6
x
0,8
1
0,4
0-1
0
0,5
0,2
-0,5
Figura: y = f1(x) ≡ 1 em vermelho e f ′1(x) ≡ 0 em verde.
2): f2(x) = x:
f ′2(x) = lim
h→0
(x+ h)− x
h
= lim
h→0
1 = 1.
1
0
x
0,5
1-1
-1
-0,5 0,5
-0,5
0
Figura: y = f2(x) = x em vermelho e f
′
2(x) ≡ 1 em verde.
2. UM A´RBITRO QUE SO´ AVALIA AS INCLINAC¸O˜ES 118
3): Para f3(x) = x
2, f ′3(x) = 2x: ja´ fizemos essa conta na Sec¸a˜o 3 do Cap´ıtulo 8,
onde vimos a equac¸a˜o da tangente a esse gra´fico.
2
0
x
1
1-1
-2
-0,5 0,5
-1
0
Figura: y = f3(x) = x
2 em vermelho e f ′3(x) = 2x em verde.
4): f4(x) = x
3:
f ′4(x) = lim
h→0
(x+ h)3 − x3
h
= lim
h→0
x3 + 3x2 h+ 3xh2 + h3 − x3
h
=
= lim
h→0
h · (3x2 + 3xh+ h2)
h
== lim
h→0
(3x2 + 3xh + h2) = 3x2,
pois o polinoˆmio em h de grau ≤ 2 dado por 3x2 +3xh+ h2 e´ uma func¸a˜o cont´ınua !
3
1
x
2
1-1
-1
-0,5 0,5
0
0
Figura: y = f4(x) = x
3 em vermelho e f ′4(x) = 3x
2 em verde.
Para confeccionarmos um gra´fico interessante mais adiante, sera´ u´til se calculamos
a` ma˜o a derivada de:
5) f5(x) = x
4:
f ′4(x) = lim
h→0
(x+ h)4 − x3
h
= lim
h→0
x4 + 4x3 h+ 6x2 h2 + 4xh3 + h4 − x4
h
=
= lim
h→0
h · (4x3 + 6x2 h+ 4xh2 + h3)
h
= lim
h→0
(4x3 + 6x2 h + 4xh2 + h3) = 4x3,
CAPI´TULO 9. A DERIVADA 119
pois o polinoˆmio em h de grau ≤ 3 dado por 4x3 + 6x2 h + 4xh2 + h3 e´ uma func¸a˜o
cont´ınua !
4
0
2
-2
x
10,50-1-0,5
-4
Figura: y = f5(x) = x
4 em vermelho e f ′5(x) = 4x
3 em verde.
3. Derivadas da soma e da diferenc¸a
A Afirmac¸a˜o a seguir torna bem mais ra´pido a determinac¸a˜o da derivada :
Afirmac¸a˜o 3.1. Sejam f(x) e g(x) func¸o˜es deriva´veis em x. Sejam a, b ∈ R. Enta˜o
a func¸a˜o a · f(x) + b · g(x) e´ deriva´vel em x e sua derivada e´:
( a · f(x) + b · g(x) )′ = a · f ′(x) + b · g′(x).
Demonstrac¸a˜o.
Temos pelas definic¸o˜es de derivadas e propriedades de limites (Teorema 1.1 do
Cap´ıtulo 5 ):
a · f ′(x) + b · g′(x) :=
= a · lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
+ b · lim
h→0
g(x+ h)− g(x)
h
=
= lim
h→0
a · f(x+ h)− f(x)
h
+ lim
h→0
b · g(x+ h)− g(x)
h
=
= lim
h→0
[a · f(x+ h)− f(x)
h
+ b · g(x+ h)− g(x)
h
] =
= lim
h→0
a · (f(x+ h)− f(x)) + b · (g(x+ h)− g(x))
h
=:
=: ( a · f(x) + b · g(x) )′.
�
4. PROBLEMA DA PUTNAM COMPETITION, N. 68, 1993 120
4. Problema da Putnam Competition, n. 68, 1993
Convido o leitor a tentar resolver o problema a seguir sozinho e so´ depois de
bastante trabalho individual ler a resposta que eu apresento.
Problema:
Encontre todos os valores de α ∈ R para os quais as curvas
Cα : y = α · x2 + α · x+ 1
24
e Dα : x = α · y2 + α · y + 1
24
tem algum ponto de tangeˆncia.
Soluc¸a˜o:
Primeiro noto que as poss´ıveis intersecc¸o˜es Cα∩Dα sa˜o pontos cujas coordenadas
x satisfazem a equac¸a˜o:
E : x = α · (α · x2 + α · x+ 1
24
) + α · (α · x2 + α · x+ 1
24
) +
1
24
,que e´ uma equac¸a˜o de grau 4 em x.
Portanto na˜o podemos esperar mais de 4 ra´ızes (contando alguma com multipli-
cidade).
Tambe´m noto que se um ponto P1 := (a, b) ∈ Cα ∩Dα e tem
a 6= b
enta˜o tambe´m o outro ponto P2 := (b, a) ∈ Cα ∩Dα.
Esses pontos P1 6= P2 esta˜o em lados opostos da diagonal y = x. Por exemplo, se
b > a enta˜o e´ P1 = (a, b) que esta´ acima da diagonal enquanto que P2 = (b, a) esta´
abaixo da diagonal.
Nesse caso
b = α · a2 + α · a+ 1
24
> a
e
a = α · b2 + α · b+ 1
24
< b.
Ou seja que a func¸a˜o cont´ınua
φ(x) := α · x2 + α · x+ 1
24
− x
definida em [a, b] tem φ(a) > 0 e φ(b) < 0. Logo pelo Teorema do Valor Intermedia´rio,
existe um ponto ξ ∈ (a, b) com
ψ(ξ) = 0,
ou seja, existe um ponto do plano
P3 := (ξ, α · ξ2 + α · ξ + 1
24
)
que pertence a` diadonal, pois tem
ξ = α · ξ2 + α · ξ + 1
24
e ademais P3 ∈ Cα ∩Dα. Ora enta˜o ξ e´ ra´ız de E e ξ 6= a, b: ha´ ra´ızes demais dessa
equac¸a˜o de grau 4, contradic¸a˜o.
CAPI´TULO 9. A DERIVADA 121
Concluo enta˜o que so´ pode haver tangeˆncia dessas para´bolas em algum ponto que
esteja na diagonal y = x.
Enta˜o esse ponto P := (x, x) verifica:
x = α · x2 + α · x+ 1
24
de onde ponho α em evideˆncia como:
α =
x− 1
24
x2 + x
.
Mas nesse P = (x, x), onde as curvas sa˜o tangentes, qual a inclinac¸a˜o poss´ıvel ?
Como Cα e Dα sa˜o sime´tricas em relac¸a˜o a` diagonal, se a inclinac¸a˜o da reta
tangente a` Cα em P e´ τ enta˜o a inclinac¸a˜o da reta tangente a` Dα em P e´
1
τ
. Como
ha´ tangeˆncia das curvas, τ = 1
τ
o que da´ τ = ±1.
Para Cα:
y′(x) = 2 · α · x+ α
logo
±1 = 2 · α · x+ α
de onde
α =
1
2 · x+ 1 ou α =
−1
2 · x+ 1 .
Portanto temos duas poss´ıveis equac¸o˜es para x:
x− 1
24
x2 + x
=
1
2 · x+ 1
ou
x− 1
24
x2 + x
=
−1
2 · x+ 1 .
Elas produzem duas equac¸o˜es quadra´ticas em x, que resolvo por Ba´skara. Uma tem
as soluc¸o˜es
x =
1
4
ou x =
−1
6
e a outra
x =
−23
72
+
√
601
72
ou x =
−23
72
−
√
601
72
.
Usando
α =
1
2 · x+ 1 ou α =
−1
2 · x+ 1
em cada caso obtemos 4 valores poss´ıveis para α:
α1 :=
2
3
, α2 =
3
2
ou
α3 =
−36
13 +
√
601
, α4 =
−36
13−√601 .
As Figuras a seguir ilustram as posic¸o˜es das para´bolas Cα eDα para esses 4 valores
α1, α2, α3, α4, bem como a reta diagonal:
4. PROBLEMA DA PUTNAM COMPETITION, N. 68, 1993 122
0y
-2
1
x
21-2 -1
2
0
-1
y
1
2
0
x
210-1
-2
-2
-1
y
1
2
0
x
20 1
-2
-1-2
-1
CAPI´TULO 9. A DERIVADA 123
y
0,5
-1,5
1
0
-2
x
10,50-0,5-2 -1,5
-1
-0,5
-1
5. A segunda derivada
Um exemplo do dia-a-dia: pisando no acelerador do carro vemos o ponteiro do
veloc´ımetro mudar de posic¸a˜o, pois aumentamos a velocidade instantaˆnea. Enquanto
que, pisando no freio do carro, desaceleramos o carro, diminuimos sua velocidade
instantaˆnea.
Vamos usar o s´ımbolo da derivada
f ′(x)
para denotar a velocidade instantaˆnea em cada tempo x. O veloc´ımetro da´ uma ide´ia
de quanto vale f ′(x).
Note que antes t´ınhamos uma func¸a˜o f(x) que dava a posic¸a˜o em cada instante.
Agora estamos interessados em variar na˜o a posic¸a˜o f(x) em cada instante, mas sim
a velocidade f ′(x) em cada instante.
Enta˜o podemos perguntar agora quanto f ′(x) variou num tempo determinado, ou
seja podemos falar da acelerac¸a˜o me´dia:
f ′(x2)− f ′(x1)
x2 − x1
.
Exemplo dessa grandeza no dia-a-dia: nas revistas especializadas em carros sempre
falam do carro que passa de zero a 100 km/h em tantos segundos.
Agora passando ao limite:
lim
h→0
f ′(x1 + h)− f ′(x1)
h
.
obtemos a acelerac¸a˜o instantaˆnea no instante x1. Um s´ımbolo para ela e´:
f ′′(x1) := (f
′)′(x1)
e em geral, em cada instante x:
f ′′(x) := (f ′)′(x)
Infelizmente nos carros de passeio normais na˜o temos uma aparelho que mec¸a isso,
um aceleroˆmetro, para nos dizer qual a acelerac¸a˜o instantaˆnea. Pore´m num escaˆndalo
recente na Fo´rmula 1 se soube que se registra tambe´m os valores de acelerac¸a˜o em
6. EXERCI´CIOS 124
cada instante dos carros de corrida. Na Sec¸a˜o 2 do Cap´ıtulo 10 daremos um Exemplo
em que a acelerac¸a˜o/velocidade/posic¸a˜o de um carro contradiz o senso comum.
Na F´ısica de Newton a acelerac¸a˜o instantaˆnea f ′′(x) := (f ′)′(x) joga um papel
primordial, pois ela (multiplicada pela massa) e´ a resultante de todas as forc¸as que
agem sobre um corpo.
O que ele descobriu foi como, matematicamente, passar da acelerac¸a˜o instantaˆnea
(f ′)′(x) para a velocidade instantaˆnea f ′(x) e dai finalmente para a posic¸a˜o f(x) do
objeto em cada instante de tempo.
Comec¸ou postulando um formato para a acelerac¸a˜o resultante da forc¸a de atrac¸a˜o
gravitacional do sol sobre os planetas, e chegou, matematicamente, no formato exato
das o´rbitas dos planetas (elipses,coˆnicas) (ou seja na f(x) ) e em suas velocidades
f ′(x) (a lei de Kepler). Com isso transformou a astronomia em cieˆncia.
No Cap´ıtulo 39 entenderemos o me´todo que ele usou.
6. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 6.1. Qual o gra´fico de f(x) = |x+ 1|?
Onde e´ cont´ınua e onde na˜o tem derivada ?
Exerc´ıcio 6.2. Consider as func¸o˜es definidas por:
f(x) = x2 + x+ 2, se x < 1,
f(x) = −x2 + b · x+ c, se x ≥ 1.
Ajuste os paraˆmetros b, c para que f seja cont´ınua e deriva´vel em x = 1.
Dica: impondo a continuidade se produz uma relac¸a˜o entre c = c(b). E o valor de
b sai de impoˆr-se a derivabilidade.
Exerc´ıcio 6.3. Usando apenas a definic¸a˜o, derive (onde C e´ uma constante ):
i) y ≡ C
ii) y = C · x,
iii) y = C · x2
iv) y = C · x3,
v) y = ( x− C )2
vi) y = ( x− C )3
Interprete geometricamente seus resultados, ou seja, explique que relac¸o˜es os
gra´ficos teˆm entre si.
Exerc´ıcio 6.4. A Figura a seguir mostra uma parte do gra´fico de y = f(x) = x| x |+1
(vermelho) (estudada na Sec¸a˜o 4 do Cap´ıtulo 5) e parte do gra´fico de y = x (verde).
1
0
x
0,5
1-1
-1
-0,5 0,5
-0,5
0
CAPI´TULO 9. A DERIVADA 125
Ela sugere que f ′(0) = 1. Prove isso mostrando separadamente que:
lim
h↘0
( h
h+1
)
h
= 1
e
lim
h↗0
( h−h+1)
h
= 1
Exerc´ıcio 6.5. Para fazer este Exerc´ıcio, lembre que x =
√
y e´ inversa de f : R>0 →
R>0, y = f(x) = x2 e que, pela Afirmac¸a˜o 3.1, x =
√
y e´ uma func¸a˜o cont´ınua.
i) Sem calcular a derivada de f : R>0 → R>0, f(x) = √x, o que podemos prever
que acontec¸a com a derivada de
√
x quando x > 0 tende a zero?
ii) Usando apenas a definic¸a˜o de derivada, calcule a derivada da func¸a˜o f : R>0 →
R>0, f(x) =
√
x (Dica: quando ficar complicado lidar com a ra´ız quadrada, lembre
que (a− b)(a + b) = a2 − b2.)
iii) compare a fo´rmula obtida em ii) com o que previu em i).
Exerc´ıcio 6.6. (resolvido)
Seja f : R<0 ∪ R>0 → R, f(x) = 1
x
.
i) Sem calcular a derivada de f o que se pode pre-dizer do sinal dessa derivada ?
Em que intervalos e´ positiva ou negativa ? Pode se anular ?
ii) para calcular a derivada de f via a definic¸a˜o, so´ e´ preciso sabe somar e subtrair
duas frac¸o˜es e saber que as func¸o˜es racionais sa˜o cont´ınuas. Calcule-a via definic¸a˜o.
Exerc´ıcio 6.7. Defino uma func¸a˜o f : R→ R condicionalmente por:
f(x) = 3x2 + 2, se x < 1, e f(x) = 3x+ b, se x ≥ 1.
i) Escolha o coeficiente linear b para que f : R→ R seja uma func¸a˜o cont´ınua em
todos os pontos.
ii) Da´ para escolher b de modo que f : R → R ale´m de cont´ınua tambe´m fique
deriva´vel em todos os pontos ? Ou ha´ algum ponto onde na˜o havera´ derivada ? Por
queˆ ?
iii) com b escolhidos para f ser cont´ınua, qual o gra´fico de f ′(x) ?
Exerc´ıcio 6.8. (resolvido)
Se existe f ′(x) enta˜o:
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x− h)
2 h
.
Deˆ um exemplo simples onde existe limh→0
f(x+h)−f(x−h)
2hpore´m onde f ′(x) na˜o e´
sequer cont´ınua em x.
CAP´ıTULO 10
Sinal da derivada e crescimento
1. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy
Tudo que precisamos sobre zeros, crescimento e decrescimento de func¸o˜es sai de
dois Teoremas: de Rolle e de Lagrange (que de fato sa˜o equivalentes entre si).
Teorema 1.1. (Teorema de Rolle) Seja f : [a, b] → R cont´ınua em [a, b] e deriva´vel
em (a, b). Se f(a) = f(b) enta˜o existe algum ponto x ∈ (a, b) tal que f ′(x) = 0.
Demonstrac¸a˜o.
Considere o mı´nimo global mf e o ma´ximo global Mf de f em [a, b].
Se mf = Mf isso quer dizer que f e´ constante: enta˜o para qualquer ponto de
(a, b) temos f ′(x) = 0 e acabou.
Supomos enta˜o que mf < Mf .
Vamos nos convencer agora que na˜o e´ poss´ıvel que ambos os valoresmf eMf sejam
valores de f nos pontos extremo a, b de [a, b]. De fato, se por exemplo f(a) = mf ,
como por hipo´tese f(a) = f(b), enta˜o f(b) = mf ; como Mf > mf enta˜o Mf sera´
atingido por x ∈ (a, b). Vice versa se supomos que f(a) = Mf , concluimos que mf e´
atingido em x ∈ (a, b).
Agora vamos mostrar que num x ∈ (a, b) onde f(x) = mf ou onde f(x) = Mf
temos que ter f ′(x) = 0.
Por exemplo, suponha x ∈ (a, b) onde f(x) = mf e por absurdo, suponha que
f ′(x) 6= 0:
Ha´ dois Casos a considerar:
Caso 1): f ′(x) < 0.
Ja´ que x vive num intervalo aberto (a, b) existe pela Afirmac¸a˜o 4.2 um intervalo
centrado em x,
(−δ0 + x, x+ δ0) ⊂ (a, b)
e por isso podemos tomar 0 < h < δ0 suficientemente pequeno para que x+h ∈ (a, b).
Enta˜o pela definic¸a˜o de derivada, temos:
lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
< 0
e nesse limite h pode ser tomado positivo ou negativo: tomando h positivo e pequeno
temos:
lim
h↘0
f(x+ h)− f(x)
h
< 0,
o que implica que os quocientes incrementais f(x+h)−f(x)
h
sa˜o negativos para h positivo
suficientemente pequeno.
127
1. TEOREMAS DE ROLLE, LAGRANGE E CAUCHY 128
Mas o denominador e´ h > 0: logo os numeradores sa˜o negativos:
f(x+ h)− f(x) < 0,
para 0 < h suficientemente pequeno. Portanto, f(x+ h) < f(x) para 0 < h suficien-
temente pequeno. Ora, isso contradiz a hipo´tese de que f(x) = mf e´ mı´nimo global.
Essa contradic¸a˜o veio de supor f ′(x) < 0 nesse x.
A Figura a seguir apenas serve para ilustrar a situac¸a˜o absurda obtida, onde a reta
em vermelho simboliza a tangente ao gra´fico em (x, f(x)) = (x,mf) (em vermelho).
m_f
x + hx ( h >0 )
Figura: Chegamos num absurdo deste tipo supondo f ′(x) < 0 em x.
Caso 2): f ′(x) > 0:
Novamente, ja´ que existe um intervalo centrado em x,
(−δ0 + x, x+ δ0) ⊂ (a, b),
podemos tomar h < 0 de mo´dulo suficientemente pequeno (|h| < δ0) para que x+h ∈
(a, b). Enta˜o pela definic¸a˜o de derivada, temos:
lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
> 0
e tomando h < 0 temos
lim
h↗0
f(x+ h)− f(x)
h
> 0,
o que implica que os quocientes incrementais f(x+h)−f(x)
h
sa˜o positivos para h < 0 de
mo´dulo suficientemente pequeno.
Mas o denominador e´ h < 0: logo os numeradores sa˜o negativos, ou seja,
f(x+ h) < f(x)
para h < 0 de mo´dulo suficientemente pequeno. Contradizendo a hipo´tese de que
f(x) = mf e´ mı´nimo global. Essa contradic¸a˜o veio de supor f
′(x) > 0 nesse x. Como
antes, ilustramos a situac¸a˜o na Figura que segue1:
1A f na˜o precisa ser crescente nessa regia˜o, como parece sugerir a Figura; f precisa apenas valer
menos que f(x). Voltaremos nisso na Sec¸a˜o 4 deste Cap´ıtulo
CAPI´TULO 10. SINAL DA DERIVADA E CRESCIMENTO 129
m_f
xx + h ( h<0 )
Figura: Chegamos nesse tipo de absurdo supondo f ′(x) > 0 em x.
Logo concluimos que f ′(x) = 0.
A prova ana´loga se f(x) = Mf .
�
O uso que Rolle fazia desse fato era para localizar zeros (ra´ızes) de polinoˆmios
apenas.
Ele pensava assim, sempre que houver duas ra´ızes a e b sucessivas de um polinoˆmio
p(x) de grau n tem que haver uma ra´ız do polinoˆmio p′(x) situada no intervalo [a, b]
(veremos na Parte 2 que sempre a func¸a˜o Derivada de um polinoˆmio e´ tambe´m um
polinoˆmio). Mais ainda, como vimos ja´ em alguns exemplos simples, o grau de p′(x)
e´ n−1. Logo pode ser mais fa´cil achar as ra´ızes de p′(x) que as do polinoˆmio original
p(x). E a´ı teremos alguma informac¸a˜o sobre a poss´ıvel localizac¸a˜o das ra´ızes a e b de
p(x).
(obs.: Na Figura a seguir os eixos horizontal e vertical na˜o esta˜o na mesma escala)
5
0
10
-5
-10
x
1 20-1-2
Figura: Polinoˆmio p(x) com 5 ra´ızes Reais e p′(x) com 4 ra´ızes Reais.
Um aplicac¸a˜o interessante do Teorema de Rolle e do T.V.I. sera´ dada na Sec¸a˜o 5
do Cap´ıtulo 13, para provar a Regra de sinais de Descartes, que da´ uma estimativa
do nu´mero de ra´ızes Reais de um polinoˆmio.
1. TEOREMAS DE ROLLE, LAGRANGE E CAUCHY 130
O Teorema de Rolle pode ser generalizado:
Teorema 1.2. (Teorema do Valor Me´dio de Lagrange)2
Seja f : [a, b] → R cont´ınua e deriva´vel em (a, b). Enta˜o existe algum x ∈ (a, b)
tal que
f ′(x) =
f(b)− f(a)
b− a
0
-0,5
-1
x
10,50-0,5-1
1
0,5
Figura: O gra´fico em vermelho ilustra o Teo. de Lagrange em dois pontos.
Demonstrac¸a˜o.
Seja p(x) a equac¸a˜o da reta passando por (a, f(a)) e (b, f(b)). Considere uma
nova func¸a˜o, a func¸a˜o diferenc¸a f − p dada por (f − p)(x) := f(x)− p(x).
Enta˜o f − p e´ cont´ınua, pelo item 1) do Teorema 1.1. Pela derivada da soma
(Afirmac¸a˜o 3.1 Cap´ıtulo 9):
(f − p)′(x) = f ′(x)− p′(x).
Agora noto que
(f − p)(a) = f(a)− p(a) = 0, e (f − p)(b) = f(b)− p(b) = 0,
e portanto estamos em condic¸o˜es de aplicar em (f − p) o Teorema de Rolle: portanto
existe algum x ∈ (a, b) onde
(f − p)′(x) = 0,
ou seja onde
f ′(x) = p′(x).
2Atenc¸a˜o: muitos estudantes confundem o que diz o Teorema de Lagrange com o que diz a
definic¸a˜o da Derivada.
CAPI´TULO 10. SINAL DA DERIVADA E CRESCIMENTO 131
Por outro lado p(x) = a1 · x+ a0 ja´ que e´ um polinoˆmio de grau ≤ 1 e sua derivada e´
o coeficiente angular da reta: p′(x) ≡ a1 e sabemos que
a1 =
f(b)− f(a)
b− a .
Portanto f ′(x) = f(b)−f(a)
b−a como quer´ıamos.
�
Mais geral ainda que o T.V. Me´dio de Lagrange e´ o seguinte:
Teorema 1.3. (Teorema do Valor Me´dio de Cauchy)3
Sejam f : [a, b]→ R e g : [a, b]→ R cont´ınuas e deriva´veis em (a, b). Enta˜o existe
algum x ∈ (a, b) tal que
f ′(x) · (g(b)− g(a)) = g′(x) · (f(b)− f(a)).
Demonstrac¸a˜o.
Se definimos:
φ(x) := f(x) · (g(b)− g(a))− g(x) · (f(b)− f(a)),
enta˜o φ(x) e´ cont´ınua em [a, b], deriva´vel em (a, b) e tem
φ(a) = f(a) · g(b)− g(a) · f(b) = φ(b).
Por Rolle existe x ∈ (a, b) com:
φ′(x) = 0,
ou seja,
f ′(x) · (g(b)− g(a))− g′(x) · (f(b)− f(a)) = 0,
como quer´ıamos. �
2. O Teorema 0 das Equac¸o˜es Diferenciais
Para motivar o importante Teorema 2.1, comec¸o descrevendo um exemplo.
Imagine um motorista que esta´ dirigindo seu carro do Sul para o Norte numa
rodovia e que veˆ uma placa indicando que dali a alguns kiloˆmetros ha´ um posto da
pol´ıcia rodovia´ria. Como e´ usual, ele comec¸a a freiar o carro mas o faz assim: comec¸a
pisando no freio assim que veˆ a placa e vai gradualmente tirando o pe´ do freio de
modo bem cuidadoso, para que bem em frente do posto da pol´ıcia esteja acabando
de tirar o pe´ do freio e passe enta˜o para o acelerador, comec¸ando a acelerar bem
suavemente e depois aumentando a acelerac¸a˜o.
Freiar e acelerar sa˜o tipos de acelerac¸o˜es. Acelerac¸a˜o negativa ao freiar e positiva
quando pisamos no acelerador. Como explicamos na Sec¸a˜o 4 do Cap´ıtulo 8, podemos
representar matematicamente o que o motorista fez com as acelerac¸o˜es atrave´s da
func¸a˜o segunda derivada f ′′(x) (Sec¸a˜o 5 do Cap´ıtulo 9), onde f ′(x) e´ a func¸a˜o que
da´ a velocidade a cada instante e f(x) a posic¸a˜o do carro a cada instante. A func¸a˜o
3Note que se g(x) := x, reca´ımos no Teorema de Lagrange
2. O TEOREMA 0 DAS EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS 132
posic¸a˜o sera´ f(x) < 0 ao Sul doposto policial e f(x) > 0 ao Norte do posto e seu
aumento significa ir mais para o Norte.
Quando ele estava pisando no freio, f ′′(x) < 0, quando pisa no acelerador, f ′′(x) >
0. Onde f ′′(x) < 0, a velocidade f ′(x) estava decrescendo, e quando f ′′(x) > 0 a
func¸a˜o velocidade f ′(x) deve voltar a crescer.
Um exemplo disso seria:
f(x) = x3, f ′(x) = 3x2, f ′′(x) = 6x.
10
0
5
-5
-10
x
-1 20-2 1
Figura: f vermelho, f ′ verde, f ′′ amarelo, escalas diferentes nos eixos.
O que e´ interessante neste exemplo e´ que em frente ao posto da pol´ıcia, quando
x = 0, a velocidade que aparece no veloc´ımetro e´ f ′(0) = 0 e mesmo assim, em
nenhum instante o carro parou, ja´ que f(x) = x3 e´ estritamente crecente.
Mas isso contradiz o nosso senso-comum, ja´ que algo que se move a 0 km/h deveria
estar parado, pelo menos por algum tempo !
Para fazermos as pazes com o senso-comum, temos o seguinte Teorema, onde
a condic¸a˜o f ′(x) = 0 se supo˜e que vale para x em todo um intervalo, mesmo que
pequeno:
Teorema 2.1. Seja f : I → R definida em um intervalo I na˜o-degenerado.4
Suponha f ′(x) ≡ 0. Enta˜o f(x) ≡ C (ou seja, f e´ constante).
Demonstrac¸a˜o.
Na˜o temos a capacidade de predizer qual a constante que iremos encontrar. O
que podemos apenas e´ raciocinar por absurdo: suponha que f na˜o e´ constante.
Enta˜o existem x1, x2 ∈ I tais que f(x1) 6= f(x2). Restrinja f ao domı´nio [x1, x2].
Enta˜o pelo Teorema do Valor Me´dio de Lagrange aplicado a` restric¸a˜o f : [x1, x2]→ R
tem que haver um x ∈ (x1, x2) tal que:
f ′(x) =
f(x1)− f(x2)
x1 − x2
.
4Na˜o-degenerado significa na˜o se reduzindo a um ponto. Claro que I pode ser todo R. Mas
atenc¸a˜o que pode a conclusa˜o pode ser falsa, se a f tem o domı´nio composto de mais de um intervalo
(disjuntos).
CAPI´TULO 10. SINAL DA DERIVADA E CRESCIMENTO 133
Mas
f(x1)−f(x2)
x1−x2 6= 0 e isso contradiz a hipo´tese de que f
′(x) ≡ 0.
�
E dele decorre o Teorema a seguir (que chamo de 0 por um dos mais ba´sicos):
Teorema 2.2. (O Teorema 0 das Equac¸o˜es Diferenciais) Sejam f : I → R e g :
I → R deriva´veis, com f ′(x) = g′(x), ∀x ∈ I, onde I e´ um intervalo. Enta˜o f(x) ≡
g(x) + C.
Ilustro esse Teorema atrave´s da seguinte Figura:
12
4
8
0,5
0
x
10-1 -0,5
Figura: Translac¸o˜es verticais de um gra´fico e o gra´fico da func¸a˜o derivada.
Demonstrac¸a˜o.
Como ja´ observamos, ∀x ∈ I, (f − g)′ = f ′(x) − g′(x). A hipo´tese da´ enta˜o
que (f − g)′(x) ≡ 0. Logo pelo Teorema 2.1, (f − g)(x) ≡ C (e´ constante) ; logo
f(x) ≡ g(x) + C.
�
3. Crite´rios de crescimento e de decrescimento
Decorrem facilmente de Rolle e Lagrange os desejados crite´rios:
Teorema 3.1. (Crite´rios de crescimento e de decrescimento)
Seja f : I = (a, b)→ R deriva´vel.
• i) se ∀x ∈ I, f ′(x) ≥ 0 enta˜o f e´ crescente em I;
• ii) se ∀x ∈ I, f ′(x) > 0 enta˜o5 f e´ estritamente crescente em I.
• iii) se ∀x ∈ I, f ′(x) ≤ 0 enta˜o f e´ decrescente em I;
• iv) se ∀x ∈ I, f ′(x) < 0 enta˜o f e´ estritamente decrescente em I.
5A rec´ıproca e´ falsa, como mostra f(x) = x3
4. UMA CONFUSA˜O FREQUENTE SOBRE O SIGNIFICADO DO SINAL DA
DERIVADA 134
Demonstrac¸a˜o.
De i): por absurdo suponha que f na˜o e´ crescente. Significa que existem x1, x2 ∈ I
com x1 < x2 para os quais:
f(x1) > f(x2).
Mas enta˜o o Teorema do Valor Me´dio de Lagrange aplicado a` restric¸a˜o f : [x1, x2]→ R
da´ que existe algum x ∈ (x1, x2) com:
f ′(x) =
f(x2)− f(x1)
x2 − x1
< 0,
contradizendo a hipo´tese de que f ′(x) ≥ 0 ∀x ∈ I.
De ii): Se supomos por absurdo que f na˜o e´ estritamente crescente, significa que
existem x1, x2 ∈ I com x1 < x2 para os quais:
f(x1) ≥ f(x2).
Novamente o Teorema do Valor Me´dio de Lagrange aplicado a f : [x1, x2] → R da´
que existe algum x ∈ (x1, x2) com:
f ′(x) =
f(x2)− f(x1)
x2 − x1
≤ 0,
contradizendo a hipo´tese de que f ′(x) > 0 ∀x ∈ I.
De iii) e iv): sa˜o completamente ana´logas, mutatis mutandis6
�
4. Uma confusa˜o frequente sobre o significado do sinal da derivada
Pec¸o atenc¸a˜o agora, para que se evite uma confusa˜o que aparece em algumas
exposic¸o˜es.
As hipo´teses dos itens ii) e iv) do Teorema 3.1 pedem que o sinal da func¸a˜o
derivada seja positivo (ou negativo) em todo um intervalo aberto I.
Seria falso um enunciado assim:
(falso !) Seja f : (a, b) → R deriva´vel com algum x ∈ (a, b) onde f ′(x) > 0
(f ′(x) < 0). Enta˜o existe um intervalo centrado em x onde a restric¸a˜o da f e´ cres-
cente (decrescente).
Claro que isso pode ate´ funcionar em alguns exemplos, mas um teorema tem que
funcionar sempre !
A Figura a seguir ilustra uma func¸a˜o f que existe, que e´ deriva´vel com f ′(0) > 0,
e que no entanto na˜o e´ nem crescente nem decrescente em nenhum intervalo centrado
em x (a Figura na˜o mostra isso muito bem, mas as oscilac¸o˜es continuam a existir ate´
a origem).
6Essa expressa˜o latina quer dizer, desde que adaptando, mudando, o que for conveniente; no
nosso caso, sinais, desigualdades.
CAPI´TULO 10. SINAL DA DERIVADA E CRESCIMENTO 135
Deduzimos enta˜o, apo´s o Teorema 3.1, que a derivada f ′(x) muda de sinal ta˜o
perto de x = 0 quanto quisermos.
0,08
0
0,04
-0,04
x
0,20,1-0,1-0,2 0
-0,08
Figura: A func¸a˜o f oscila a` esquerda e a` direita de x = 0, embora f ′(0) > 0.
A u´nica propriedade que a f da Figura tem e´ que:
f vale mais que f(0) em pontos x um pouco maiores que x = 0 e f vale menos
que f(0) em pontos x um pouco menores que x = 0
(e´ isso no´s aprendemos na prova do Teorema de Rolle 1.1). Vamos destacar isso
como uma afirmac¸a˜o:
Afirmac¸a˜o 4.1. Seja uma f deriva´vel e x um ponto do intervalo aberto I onde f
esta´ definida.
Se f ′(x) > 0 enta˜o existe um intervalo J centrado em x, onde f(x) < f(x) se
x < x, x ∈ J e f(x) < f(x) se x < x, x ∈ J .
Se f ′(x) < 0 enta˜o existe um intervalo J centrado em x, onde f(x) > f(x) se
x < x, x ∈ J e f(x) > f(x) se x < x, x ∈ J .
Demonstrac¸a˜o.
Contida na demonstrac¸a˜o do Teorema de Rolle.
�
5. Descontinuidade da func¸a˜o derivada
Voltando a` f da Sec¸a˜o anterior 4, cuja derivada f muda de sinal ta˜o perto de
x = 0 quanto quisermos, somos obrigados a concluir que sua func¸a˜o derivada f ′(x)
na˜o e´ uma func¸a˜o cont´ınua em x = 0.
6. EXERCI´CIOS 136
De fato, se f ′(x) fosse uma func¸a˜o cont´ınua em x, enta˜o o princ´ıpio de ine´rcia das
func¸o˜es cont´ınuas (Afirm. 1.1 do Cap´ıtulo 6) diria que f ′(x) teria que ser positiva em
todo um intervalo centrado em x = 0.7
Conclusa˜o: nem sempre vale f ′(x) = limx→x f ′(x). De fato nesse exemplo tratado
se pode mostrar que a igualdade f ′(x) = limx→x f ′(x) na˜o vale porque o lado direito
limx→x f ′(x) simplesmente na˜o existe.
Mas temos:
Afirmac¸a˜o 5.1. Seja f : I → R onde I = (−δ+x, x+ δ) e´ intervalo aberto centrado
em x.
Suponha que existe f ′(x) ∀x ∈ I \ {x} e que existe:
lim
x→x
f ′(x) = L ∈ R.
Enta˜o f ′(x) existe tambe´m e seu valor e´ f ′(x) = L
Demonstrac¸a˜o.
Considere a restric¸a˜o de f(x) a [x, x + h] para h > 0 e aplique o T.V. Me´dio de
Lagrange:
f(x+ h)− f(x)
h
= f ′(ξh), onde ξh ∈ (x, x+ h).
Quando dizemos na hipo´tese:
lim
x→x
f ′(x) = L
dizemos que na˜o importa como x tenda a x, necessariamente f ′(x) tende a L. Ou
seja, na˜o depende da cara do x que tende a x.
Ora, quando h↘ 0 temos que ξh ∈ (x, x+ h) tende a x e portanto
L = lim
h↘0
f ′(ξh) = lim
h↘0
f(x+ h)− f(x)
h
=: f ′+(x),
a derivada a` direita. Analogamente se obte´m:
L = lim
h↗0
f ′(ξh) = lim
h↗0
f(x+ h)− f(x)
h
=: f ′−(x)
para a derivada a` esquerda e, portanto, f ′(x) = L.
�
6. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 6.1. A figura que exemplifica o T.V.M de Lagrange no texto e´ o gra´fico de
y = x3. Quando x ∈ [−1, 1] em quais pontos do gra´fico a inclinac¸a˜o da reta tangente
e´ 1 ?
7Se costuma chamar uma func¸a˜o f de classe C1 se f e´deriva´vel e se f ′(x) ela mesma e´ uma
func¸a˜o cont´ınua.
CAPI´TULO 10. SINAL DA DERIVADA E CRESCIMENTO 137
Exerc´ıcio 6.2. 2) Explique (com os conceitos do Ca´lculo) o que se modifica e o que
na˜o se modifica nos gra´ficos a seguir quando variamos o paraˆmetro b 6= 0 em:
i): y = fb(x) = bx
2
ii) y = fb(x) = x
2 + b
iii) y = fb(x) = x
2 + bx− 1.
(Obs.: nos itens i) e iii) ha´ certos pontos em que se veˆ bem as diferenc¸as entre os
gra´ficos).
Exerc´ıcio 6.3. Encontre o ponto (ou os pontos) do gra´fico de y = (x − 1)3 em que
sua(s) reta(s) tangente(s) e´ (sa˜o) paralela(s) a` reta y = 3x.
Encontre o ponto (ou os pontos) do gra´fico de y = x3 em que sua(s) reta(s)
tangente(s) e´ (sa˜o) ortogonal (s) a` reta y = −1
6
x.
Obs. Na˜o precisa desenhar nada.
Exerc´ıcio 6.4. (resolvido)
Considere a famı´lia de gra´ficos
y = fb(x) := (−b+ 4/3) · x2 + b · x+ (2b− 7/3), b ∈ R,
dos quais plotei apenas 7 representantes (b = 1, 1.2, 1.3, 4/3, 1.6, 1.8, 2):
5
-5
0
2
-10
x
41-1 0-3 3-2
Como se veˆ sa˜o gra´ficos bem diferentes, a` medida que mudamos o paraˆmetro b.
6. EXERCI´CIOS 138
Mas quando se faz um zoom na regia˜o x ∈ [0.3, 0.7] do domı´nio, os pedac¸os dos 7
gra´ficos de y = fb(x) se parecem muito:
2,5
1,5
2
1
0
x
0,70,5
0,5
0,60,4
Explique o que aconteceu quando fizemos o zoom, apo´s confirmar que que os pontos
(−1,−1) e (2, 3) pertencem a esses gra´ficos todos, ∀b ∈ R).
Dica: Teorema Valor Me´dio de Lagrange.
CAP´ıTULO 11
Aplicac¸o˜es da primeira e segunda derivadas
1. Primeiro crite´rio de ma´ximos e mı´nimos
Se olharmos bem a demonstrac¸a˜o que demos do Teorema de Rolle, veremos que
de fato ja´ provamos o seguinte:
Afirmac¸a˜o 1.1. Seja f : (a, b) → R deriva´vel. Se1 x ∈ (a, b) e´ ponto de Mı´nimo
Local ou de Ma´ximo Local, enta˜o f ′(x) = 0.
A rec´ıproca dessa Afirmac¸a˜o e´ em geral falsa: f(x) = x3 tem f ′(0) = 0 e x = 0
na˜o e´ nem Mı´nimo nem Ma´ximo local.
No entanto temos o seguinte:
Afirmac¸a˜o 1.2. Seja f : (a, b)→ R deriva´vel, com x ∈ (a, b) onde f ′(x) = 0.
• i) Suponha que existe um intervalo J centrado em x onde a func¸a˜o derivada
vale f ′ ≤ 0, se x < x, e f ′ ≥ 0, se x < x. Enta˜o x e´ Mı´nimo Local da f .
• ii) Suponha que que existe um intervalo centrado em x onde a func¸a˜o derivada
vale f ′ ≥ 0, se x < x, e f ′ ≤ 0, se x < x. . Enta˜o x e´ Ma´ximo Local da f .
Demonstrac¸a˜o.
De i): Temos que f ′(x) ≤ 0 se x ∈ (−δ + x, x) e f ′(x) ≥ 0 se x ∈ (x, x+ δ).
Mas enta˜o pelo item iii) do Teorema 3.1, a func¸a˜o original f(x) e´ decrescente em
(−δ + x, x). E pelo item i) do Teorema 3.1 a func¸a˜o original f(x) e´ crescente em
(x, x+ δ).
A conclusa˜o e´ que x e´ ponto de Mı´nimo da f restrita a (−δ+x, x+δ), um Mı´nimo
local portanto.
De ii): completamente ana´loga, mutatis mutandis.
�
2. Crite´rio da segunda derivada
Primeiro vamos relembrar e reforc¸ar o tema da segunda derivada ou acelerac¸a˜o
instantaˆnea em termos f´ısicos.
Para definir uma acelerac¸a˜o instantaˆnea usamos um limite do tipo:
lim
h→0
f ′(x+ h)− f ′(x)
h
,
1E´ muito importante que (a, b) seja aberto, pois f : [0, 1]→ R, f(x) = x tem pontos de ma´ximo
e mı´nimo e no entanto f ′(0) = f ′(1) = 1, onde essas derivadas devem ser entendidas como derivadas
a` direita f ′+(0) e a` esquerda f
′
−(1).
139
3. UM PROBLEMA TI´PICO PARA OS ENGENHEIROS 140
onde f ′(x) e´ a func¸a˜o velocidade instantaˆnea (e onde a f(x) de partida era a func¸a˜o
posic¸a˜o em cada instante).
Segundo a definic¸a˜o de derivada, o que fizemos la´ foi derivar a func¸a˜o f ′(x), ela
mesma ja´ uma derivada da func¸a˜o f(x). Fizemos enta˜o uma segunda derivada:
f ′′(x) := ( f ′(x) )′.
Sua definic¸a˜o enta˜o e´ essencialmente a mesma que demos para a derivada (que pas-
samos agora a chamar de primeira derivada), so´ que a mate´ria-prima para compoˆr os
quocientes incrementais na˜o e´ uma func¸a˜o f(x) mas sim uma func¸a˜o f ′(x).
Desse modo, posso enunciar:
Afirmac¸a˜o 2.1. Seja f : (a, b)→ R deriva´vel, tal que f ′(x) tambe´m seja deriva´vel.
• i): se f ′(x) = 0 e f ′′(x) > 0 enta˜o2 x e´ Mı´nimo local da f original.
• ii): se f ′(x) = 0 e f ′′(x) < 0 enta˜o x e´ Ma´ximo local da f original.
Este teorema sera´ generalizado na Afirmac¸a˜o 8.1, um crite´rio da derivada n-e´sima.
Demonstrac¸a˜o. (da Afirmac¸a˜o 2.1)
De i): Pela Afirmac¸a˜o 4.1 do Cap´ıtulo 10, aplicada agora a` func¸a˜o derivada f ′(x),
temos que para x ∈ J centrado em x, f ′(x) < 0 = f ′(0) se x < x e 0 = f ′(x) < f ′(x)
se x < x.
Enta˜o reca´ımos exatamente no item i) da Afirmac¸a˜o 1.2. A conclusa˜o portanto e´
que x e´ Mı´nimo local.
De ii): completamente ana´loga, mutatis mutandis.
�
Com o material deste Cap´ıtulo 11 e do Cap´ıtulo anterior 10 estamos em condic¸o˜es
de confeccionar gra´ficos qualitativamente corretos de polinoˆmios simples, de grau
baixo, e e´ o que faremos como Exerc´ıcio.
3. Um problema t´ıpico para os engenheiros
Suponha que voceˆ tem o seguinte problema pra´tico:
Construir um objeto retangular, onde a construc¸a˜o de cada x metros da largura
custa a metade da construc¸a˜o de cada z metros de comprimento. Gastando 10 reais
na fabricac¸a˜o de cada unidade, quais as medidas de x e z que maximizam a a´rea do
objeto?
Traduzimos o problema assim: queremos maximizar a a´rea
A(x, z) := z · x
com uma func¸a˜o custo3 c(x, z) := x+ 2z fixada em c(x, z) = 10:
x+ 2z = 10.
2Rec´ıproca falsa: f(x) = x4 tem Mı´nimo local em x = 0 e se pode provar que f ′(0) = f ′′(0) = 0
3Tambe´m poderia dizer que a func¸a˜o custo e´ 2x+4z, ja´ que ha´ dois lados que sa˜o largura e dois
que sa˜o comprimento. Mas a soluc¸a˜o seria completamente ana´loga.
CAPI´TULO 11. APLICAC¸O˜ES DA PRIMEIRA E SEGUNDA DERIVADAS 141
Note que a princ´ıpio a func¸a˜o a´rea depende tanto de x como de z. Mas a condic¸a˜o
c(x, z) = 10 me permite escrever z = 10−x
2
e a func¸a˜o a´rea como dependendo so´ de
uma varia´vel:
A(x) = (
10− x
2
) · x = 5x− x
2
2
.
O domı´nio natural de A(x) e´ I = (0, 10), pois a largura x tem que ser positiva, e ao
mesmo tempo a condic¸a˜o c(x, z) = 10 diz que, quando z se aproxima de zero, x se
aproxima de 10.
Mas considerar A(x) definida num domı´nio um pouco maior, o intervalo [0, 10],
que tem a vantagem de ser um intervalo limitado e fechado, onde podemos usar o
Teorema 4.2 de Bolzano-Weiersstras, ja´ que A(x) claramente e´ cont´ınua.
Esse Teorema garante que existe um ponto de Ma´ximo global de A : [0, 10]→ R.
Mas onde ? Na˜o adianta so´ sabermos que ha´ uma soluc¸a˜o, queremos acha´-la !
Certamente na˜o sera´ em x = 0 ou em x = 10, pois nesses pontos a A´rea fica zero,
ja´ que na˜o largura ou comprimento. Enta˜o esse ponto x buscado esta´ em (0, 10), o
que e´ promissor, pois poderemos tentar usar a Afirmac¸a˜o 1.2.
Para isso precisamos examinar alguns candidatos.
Conforme a Afirmac¸a˜o 1.1, eles tera˜o que ser pontos onde
A′(x) = 0.
Ora, isso significa para A(x) = 5x− x2
2
que:
5− x = 0,
pelo que ja´ sabemos das derivadas, ou seja, o ponto e´ x = 5.
Mas claramente A′(x) = 5 − x > 0 se x < 5 e A′(x) = 5 − x < 0 se 5 < x. Logo
o item ii) da Afirmac¸a˜o 1.2 diz que realmente x e´ um Ma´ximo local e portanto o
Ma´ximo global, ja´ que na˜o ha´ outro candidato. A a´rea ma´xima desses objetos enta˜o
sera´
A(5) =
25
2
.
12
10
8
6
2
0
4
x
1086420
Figura: O gra´fico de A : [0, 10]→ R, A(x) = 5x− x2
2
.
Em geral, nos problemas desse tipo, aparecem diferentes candidados a Ma´ximos
global, que foram aprovados no teste para Ma´ximos locais dado pelo item ii) da
Afirmac¸a˜o 1.2, e enta˜o se faz necessa´rio comparar os valores da func¸a˜o em questa˜o
em cada um deles.
4. MI´NIMOS DE DISTAˆNCIAS E ORTOGONALIDADE 142
4. Mı´nimos de distaˆncias e ortogonalidade
Suponha que P = (2, 1) e queremosdescobrir qual o menor segmento de reta de
P ate´ uma reta de equac¸a˜o y = ax + 1 (com algum a 6= 0 fixado) que na˜o passe por
P .
Vamos fazeˆ-o de dois modos distintos, que esperamos que deˆem os mesmos resul-
tados.
Primeiro vamos usar nossa intuic¸a˜o, que diz que deve se tratar do segmento saindo
de P que e´ ortogonal a` reta y = ax+1. Ou seja, pelo que aprendemos na Sec¸a˜o 2 do
Cap´ıtulo 8, deve ser um ponto (x, ax+ 1) tal que:
(ax+ 1)− 1
x− 2 =
−1
a
,
pois o lado esquerdo e´ o ceoeficiente angular da reta contendo o segmento que sai de
(2, 1). Enta˜o disso obtemos:
x =
2
a2 + 1
e da´ı facilmente descobrimos o tamanho do segmento.
Por outro lado podemos, via as te´cnicas de Ca´lculo, tentar descobrir o mı´nimo da
func¸a˜o que mede a distaˆncia de P aos pontos da reta dada.
Para na˜o cairmos numa derivada mais complicada, vamos modificar um pouco o
problema, tentando minimizar a func¸a˜o que e´ o quadrado da distaˆncia de P a` reta,
dara´ tambe´m o ponto que minimiza a pro´pria distaˆncia4
Essa func¸a˜o quadrado da distaˆncia e´ dada por:
(x− 2)2 + (y − 1)2 = (x− 2)2 + (ax+ 1− 1)2 =
= (a2 + 1)x2 − 4x+ 5.
Enta˜o essa f(x) = (a2+1)x2−4x+5 tem derivada f ′(x) = 2(a2+1)x−4 e f ′(x) = 0
exatamente em x = 2
a2+1
, o mesmo ponto encontrado acima.
E´ claro que f ′(x) < 0 para x < x = 2
a2+1
e f ′(x) > 0 para x > x = 2
a2+1
. Portanto
pelo item i) da Afirmac¸a˜o 1.2 f tem mı´nimo local, que de fato e´ o global nesse ponto
x.
Agora vejamos um Exemplo mais interessante. Quero minimizar a distaˆncia entre
P = (0, 7) e os pontos da para´bola y = x
2
2
.
Usando a intuic¸a˜o geome´trica vou buscar esse ponto Q de mı´nima distaˆncia entre
aqueles em que o segmento desde P e´ ortogonal a` tangente da para´bola em Q.
Enta˜o, ja´ que conhec¸o as inclinac¸o˜es das tangentes a` parabola em (x, ax2) como
sendo 2(x
2
) = x, a ortogonalidade que busco e´ dada por:
x2
2
− 7
x− 0 =
−1
x
,
4A Afirmac¸a˜o 2.1 do Cap´ıtulo 16 justificara´ rigorosamente o uso do quadrado da distaˆncia, ao
inve´s da pro´pria distaˆncia, nos problemas de ma´ximos/mı´nimos.
CAPI´TULO 11. APLICAC¸O˜ES DA PRIMEIRA E SEGUNDA DERIVADAS 143
ou seja,
x · (x
2
2
− 6) = 0.
A soluc¸a˜o x = 0, onde claramente ha´ ortogonalidade, e´ nitidamente um ponto de
ma´ximo local da distaˆncia entre P = (0, 7) e a para´bola.
Mas as soluc¸o˜es x =
√
12 e x = −√12 correspondera˜o, como veremos a seguir, a
dois pontos de mı´nimos. A Figura a seguir mostra esses pontos de ortogonalidade.
5
-5
0
-10
-20
x
2 4-4 -2
-15
0
Figura: No gra´fico aparecem dois pontos onde ha´ ortogonalidade.
Visto de outro modo, via a te´cnica do Ca´lculo, considero a func¸a˜o que e´ o quadrado
da distaˆncia entre P = (0, 7) e a para´bola:
(x− 0)2 + (y − 7)2 = x2 + (x
2
2
− 7)2 =
=
x4
4
− 6x2 + 49.
A derivada de f(x) = x
4
4
− 6x2 + 49 e´
f ′(x) = x3 − 12x = x(x2 − 12).
O zero da derivada em x = 0 corresponde a um ma´ximo local.
Verificamos agora que os pontos x =
√
12 e x = −√12 sa˜o mı´nimos locais (e
globais).
Observe que se 0 < x <
√
12 temos x(x2 − 12) < 0, enquanto que se x > √12
temos x(x2− 12) > 0. Logo o item i) da Afirmac¸a˜o 1.2 diz que x = √12 e´ mı´nimo de
f .
Agora se x < −√12 temos x(x2− 12) > 0, enquanto que se −√12 < x < 0 temos
x(x2 − 12) > 0. Logo o item i) da Afirmac¸a˜o 1.2 diz que x = −√12 e´ mı´nimo de f .
A Afirmac¸a˜o 4.1 a seguir justifica o uso da noc¸a˜o de ortogonalidade nos problemas
de ma´ximos/mı´nimos:
4. MI´NIMOS DE DISTAˆNCIAS E ORTOGONALIDADE 144
Afirmac¸a˜o 4.1.
i) Se a distaˆncia entre um ponto P e o gra´fico de y = f(x) tem valor mı´nimo
ou ma´ximo local PF > 0, onde F = (x, f(x)), enta˜o a reta tangente ao gra´fico de
y = f(x) em F e´ ortogonal a` reta PF .
ii) Sejam um gra´fico y = f(x) de uma f deriva´vel e uma reta r que na˜o intersecta
esse gra´fico.
Seja F ponto do gra´fico de y = f(x) tal que PF > 0 realiza um valor mı´nimo ou
ma´ximo local da distaˆncia entre pontos do gra´fico e a reta r. Enta˜o a reta tangente
ao gra´fico de y = f(x) em F e´ paralela a` reta r.
Demonstrac¸a˜o.
De i):
Considere F = (x, f(x)) ponto que realiza valor minimo local ou valor ma´ximo
local da distaˆncia ate´ um certo P = (x0, y0) que foi dado.
Considere o c´ırculo C de raio PF centrado em P (lembro que PF > 0):
C = { (x, y); (x− x0)2 + (y − y0)2 = PF 2 }.
Vou fazer aqui a suposic¸a˜o5 de que, perto de F , tambe´m C seja gra´fico de uma func¸a˜o
y = g(x); que de fato e´:
y = g(x) = y0 +
√
PF
2 − (x− x0)2, ∀x ∈ (−δ + x, x+ δ).
Veja a Figura:
P
F
x
y
Considere a func¸a˜o
φ(x) := f(x)− g(x), ∀x ∈ (−δ + x, x+ δ).
Suponha por absurdo que a reta tangente ao gra´fico de y = f(x) em F na˜o seja
igual a` reta tangente a C em F (esta sim sabemos que e´ ortogonal a` reta PF ).
Por exemplo, suponha por absurdo que f ′(x) > g′(x) (o caso < e´ completamente
ana´logo).
Enta˜o φ′(x) = f ′(x)− g′(x) > 0.
5que exigiria mais justificac¸a˜o
CAPI´TULO 11. APLICAC¸O˜ES DA PRIMEIRA E SEGUNDA DERIVADAS 145
Como φ(x) = 0, a Afirmac¸a˜o 4.1 do Cap´ıtulo 10 da´ que, para um certo � > 0:
φ(x) > 0, ∀x ∈ (x, x+ �) e φ(x) < 0, ∀x ∈ (x− �, x).
Ora, mas enta˜o
f(x) > g(x) ∀x ∈ (x, x+ �) e f(x) < g(x), ∀x ∈ (x− �, x).
Enta˜o
f(x)− y0 > g(x)− y0, ∀x ∈ (x, x+ �),
e portanto ∀x ∈ (x, x+ �):
√
(f(x)− y0)2 + (x− x0)2 >
√
(g(x)− y0)2 + (x− x0)2 = PF 2,
o que diz que F na˜o e´ ponto de ma´ximo local da distaˆncia de P = (x0, y0) ate´ o
gra´fico de y = f(x).
E do mesmo modo, obteremos ∀x ∈ (x− �, x):
√
(f(x)− y0)2 + (x− x0)2 <
√
(g(x)− y0)2 + (x− x0)2 = PF 2,
o que diz que F na˜o e´ ponto de mı´nimo local da distaˆncia ate´ P = (xo, y0).
Essa contradic¸a˜o com a escolha de F termina a prova do item i).
Item ii):
Sejam R ∈ r e F = (x, f(x)) tais que RF realizam valor mı´nimo local ou valor
ma´ximo local da distaˆncia ate´ o gra´fico de y = f(x) e r.
O racioc´ınio da prova do item i) aplicado a um c´ırculo centrado em R de raio
RF > 0 dira´ que a reta tangente ao gra´fico de y = f(x) em F e´ ortogonal a` reta RF .
Veja a Figura:
R
F
Mas, por outro lado, o mesmo racioc´ınio agora aplicado a um c´ırculo agora cen-
trado em F de raio RF > 0 dira´ que a reta r (que e´ sua pro´pria reta tangente) e´
ortogonal a` reta RF . Veja a Ffigura:
5. CONCAVIDADES DOS GRA´FICOS 146
R
F
Um fato ba´sico da geometria euclidiana diz que, se uma reta r1 e´ ortogonal a uma
reta r2 e r2 e´ ortogonal a uma reta r3, enta˜o r1 e r3 sa˜o paralelas.
Portanto a reta tangente ao gra´fico de y = f(x) em F e´ paralela a r. �
Para concluir esta Sec¸a˜o, pensemos no caso da reta horizontal y = 0 e no gra´fico
de y = 1
x
, ∀x > 0.
Como poder´ıamos definir a distaˆncia entre essas duas curvas ?
Note que se dermos qualquer tamanho � > 0 existem pontos x� ∈ (y = 0) e
z� ∈ (y = 1x) tais que
x�z� = �.
Basta tomarmos por exemplo x� := (
1
�
, 0) e z� := (
1
�
, �).
Enta˜o seria natural dizer que a distaˆncia entre a reta horizontal y = 0 e o gra´fico
de y = 1
x
e´ zero !
Mas note que essa distaˆncia zero entre curvas nunca e´ realizada por pontos de
y = 0 e de y = 1
x
, ja´ que distaˆncia zero entre dois pontos significa que sa˜o o mesmo
ponto e no entanto
(y = 0) ∩ (y = 1
x
) = ∅.
Outra maneira de ver que a distaˆncia zero entre essas curvas nunca e´ realizada por
pontos de y = 0 e de y = 1
x
e´ o item ii) da Afirmac¸a˜o 4.1, pois y′ = −1
x2
6= 0, ∀x > 0.
5. Concavidades dos gra´ficos
Na Definic¸a˜o 5.1 a seguir so´ me interesso no comportamento da func¸a˜o pro´xima
a cada um dos pontos de seu gra´fico.
Definic¸a˜o 5.1. Diremos que uma func¸a˜o e´ localmente coˆncava para cima num ponto
(x, f(x)) de seu gra´fico se existe um intervalo Ix centrado em x em que
f(x) > ax+ b, ∀x∈ Ix \ {x},
onde y = ax+ b e´ a reta tangente ao gra´fico em (x, f(x)).
Para definir localmente coˆncava para baixo num ponto (x, f(x)) basta trocar >
por <.
CAPI´TULO 11. APLICAC¸O˜ES DA PRIMEIRA E SEGUNDA DERIVADAS 147
4
0
2
-2
-6
x
20-2
-4
1-1
Figura: Um func¸a˜o localmente coˆncava para cima em cada ponto do domı´nio
Afirmac¸a˜o 5.1. Suponha uma func¸a˜o f : I → R duas vezes deriva´vel.
• i) Se ∀x ∈ I, f ′′(x) > 0 enta˜o, f e´ localmente coˆncava para cima em cada
um dos pontos de seu gra´fico.
• ii) Se ∀x ∈ I, f ′′(x) < 0 enta˜o f tem localmente coˆncava para baixo em
cada um dos pontos de seu gra´fico.
Demonstrac¸a˜o.
De i):
Tome um ponto (x, f(x)) do gra´fico. Seja y = ax+ b a equac¸a˜o da reta tangente
ao gra´fico nesse ponto.
Note que a func¸a˜o
φ(x) := f(x)− (ax+ b)
tem
φ(x) = 0 e φ′(x) = f ′(x)− a = 0.
Ademais
φ′′(x) = f ′′(x) > 0.,
ja´ que supomos que sempre f ′′(x) > 0.
Enta˜o o Crite´rio da Segunda Derivada (Afirmac¸a˜o 2.1, Cap´ıtulo 11) quando apli-
cado a φ diz que φ tem um mı´nimo local em x (local pois φ tem que ser restrita a um
intervalo Ix centrado em x para ter a´ı um ponto de mı´nimo).
Ou seja,
φ(x) > φ(x), ∀x ∈ Ix \ {x},
que significa
f(x) > ax+ b, ∀x ∈ Ix \ {x},
como quer´ıamos provar.
De ii): Ana´logo, bastando usar o Crite´rio da Segunda Derivada para ter um
ma´ximo local.
�
5. CONCAVIDADES DOS GRA´FICOS 148
Na Definic¸a˜o 5.2 a seguir impomos um comportamento global sobre a func¸a˜o: ela
tera´ que ficar por cima (ou por baixo) de todas as retas tangentes a seu gra´fico.
Definic¸a˜o 5.2. Direi que uma func¸a˜o f : I → R e´ coˆncava para cima se para todo
ponto x ∈ I,
f(x) > ax+ b, ∀x ∈ I \ {x}
onde y = ax+ b e´ a reta tangente ao gra´fico em (x, f(x)).
25
15
-5
20
10
x
1-1 0-2
0
5
-3
Figura: Um func¸a˜o que na˜o e´ coˆncava para cima, mas que
e´ localmente localmente coˆncava para cima se x < 0.
Afirmac¸a˜o 5.2. Suponha uma func¸a˜o f : I → R duas vezes deriva´vel.
• i) Se ∀x ∈ I f ′′(x) > 0 enta˜o f e´ coˆncava para cima.
• ii) Se ∀x ∈ I f ′′(x) < 0 enta˜o f e´ coˆncava para baixo.
Demonstrac¸a˜o.
De i):
Vamos fazer a prova por absurdo.
Pela Afirmac¸a˜o 5.1 sabemos f e´ localmente concava para cima em cada ponto de
seu domı´nio. Ou seja, dado qualquer x ∈ I existe um intervalo Ix centrado nele onde
f(x) > ax+ b, ∀x ∈ Ix \ {x},
para y = ax+ b reta tangente em (x, f(x)).
Portanto, se pensamos esta demonstrac¸a˜o por absurdo, tem que existir6 algum
ponto (x, f(x)) para o qual existe um x0 /∈ Ix tal que
f(x0) ≤ ax0 + b,
para y = ax+ b reta tangente em (x, f(x)).
Sem perda de generalidade suponhamos x0 > x.
Fac¸o agora uma alterac¸a˜o na f , para que a reta tangente a (x, f(x)) seja horizontal.
Defino
φ(x) := f(x)− (ax+ b).
Note que φ(x) = φ′(x) = 0, mas φ′′(x) = f ′′(x) > 0, ∀x ∈ I. Agora temos
φ(x0) ≤ 0.
6Confira um exemplo disso na Figura anterior, com x ∼ −0.5 e x0 ∼ 1
CAPI´TULO 11. APLICAC¸O˜ES DA PRIMEIRA E SEGUNDA DERIVADAS 149
Caso φ(x0) = 0:
Nesse caso, aplico o Teorema de Rolle a
φ : [x, x0]→ R
e obtenho um ponto ξ ∈ (x, x0) onde φ′(ξ) = 0.
Mas ξ > x e isso contradiz o fato que φ′(x) e´ uma func¸a˜o estritamente crescente
(ja´ que φ′′(x) > 0), que partiu do valor φ′(x) = 0.
Caso φ(x0) < 0:
Pelo que vimos na Afirmac¸a˜o 5.1, perto de x temos φ(x) > 0.
Como φ(x) e´ cont´ınua e φ(x0) < 0 enta˜o o T.V.I. diz que ha´ um ponto xˆ0 ∈ [x, x0]
onde φ(xˆ0) = 0. Portanto com esse novo xˆ0 recaio na situac¸a˜o do Caso φ(xˆ0) = 0 ja´
tratado.
De ii): completamente ana´loga. �
6. Mı´nimos quadrados e a me´dia aritme´tica
Dados x1, . . . , xk pontos na Reta dos Reais, que ponto x minimiza a soma dos
quadrados das distaˆncias a todos eles ?
O interesse pra´tico desta questa˜o e´ que os valores x1, . . . , xk podem ter sido obtidos
apo´s k aferic¸o˜es de um certo dado relevante (o comprimento de um objeto, uma
temperatura, um peso, etc) e o ponto x servira´ para corrigir os prova´veis erros nas
aferic¸o˜es.
Afirmac¸a˜o 6.1. Sejam dados x1, . . . , xk ∈ R pontos. Enta˜o
• i) o ponto de mı´nimo global da func¸a˜o
f(x) := (x− x1)2 + . . .+ (x− xk)2
e´ o ponto
x =
x1 + . . .+ xk
k
,
chamado de me´dia arime´tica dos valores x1, . . . xk.
• ii) sempre vale a desigualdade
k · (x21 + . . .+ x2k) > (x1 + . . .+ xk)2
exceto se x1 = . . . = xk, quando vale enta˜o:
k · (x21 + . . .+ x2k) = (x1 + . . .+ xk)2.
Demonstrac¸a˜o.
Item i)
Trata-se enta˜o de minimizar a func¸a˜o:
y = f(x) := (x− x1)2 + . . .+ (x− xk)2.
que e´ uma para´bola com concavidade para cima, ja´ que:
f(x) = k · x2 − 2 · (x1 + . . . xk) · x+ (x21 + . . .+ x2k).
6. MI´NIMOS QUADRADOS E A ME´DIA ARITME´TICA 150
Portanto seu mı´nimo esta´ onde f ′(x) = 0, ou seja, na ra´ız de:
2k · x− 2 · (x1 + . . . xk) = 0,
ou seja, em
x =
x1 + . . .+ xk
k
que e´ chamada de me´dia aritme´tica dos valores x1, . . . xk.
Item ii)
Note que, por ser uma soma de quadrados,
y = f(x) = (x− x1)2 + . . .+ (x− xk)2 ≥ 0
e se para algum x0 ∈ R temos f(x0) = 0 enta˜o
(x0 − x1)2 + . . .+ (x0 − xk)2 = 0 ⇔ x0 = x1 = . . . = xk.
Portanto, se algum xi e´ diferente de algum outro xj , na lista que demos de x1, . . . , xk,
a equac¸a˜o quadra´tica em x:
y = f(x) = k · x2 − 2 · (x1 + . . . xk) · x+ (x21 + . . .+ x2k) = 0
na˜o tem soluc¸a˜o Real. Ou seja, se seu discriminante e´ negativo. Mas esse discrimi-
nante e´:
(2 · (x1 + . . . xk))2 − 4 · k · (x21 + . . .+ x2k) < 0,
ou seja,
(x1 + . . . xk)
2 < k · (x21 + . . .+ x2k),
como quer´ıamos.
�
6.1. Retas de ajuste.
Agora trato de um problema parecido, mas diferente. Que so´ sera´ considerado no
caso geral na Sec¸a˜o 3 do Cap´ıtulo 34.
Considere o quadrado da distaˆncia vertical de um ponto (x1, y1) a uma reta y =
ax+ b, ou seja:
(ax1 + b− y1)2 ≥ 0
e = 0 exatamente quando (x1, y1) esta´ na reta.
Suponhamos que queremos encontrar a reta pela origem y = ax (na˜o vertical) que
minimiza a soma dos quadrados das distaˆncias verticais ate´ k pontos (x1, y1), . . . (xk, yk)
(na˜o todos os xi iguais a zero).
Denote as retas pela origem por y = ξx para deixar claro que a inco´gnita agora e´
o coeficiente angular ξ.
E fac¸a a func¸a˜o que da´ a soma de quadrados de distaˆncias verticais:
f(ξ) := (ξx1 − y1)2 + . . .+ (ξxk − yk)2.
Note que
f(ξ) = (x21 + . . .+ x
2
k) · ξ2 − 2(x1y1 + . . .+ xkyk)ξ + y21 + . . .+ y2k.
CAPI´TULO 11. APLICAC¸O˜ES DA PRIMEIRA E SEGUNDA DERIVADAS 151
Enta˜o f(ξ) e´ uma para´bola com concavidade para cima, ja´ que
x21 + . . .+ x
2
k > 0
(se esse nu´mero fosse zero todos os pontos tem coordenada x igual a zero).
Portanto se procuramos por um mı´nimo de f basta procurarmos onde f ′(ξ) = 0.
Mas:
f ′(ξ) = 2(x21 + . . .+ x
2
k) · ξ − 2(x1y1 + . . .+ xkyk),
e portanto f ′(ξ) = 0 se da´ em:
ξ =
x1y1 + · · ·+ xkyk
x21 + . . .+ x
2
k
.
Ou seja a reta a ser escolhida e´:
y = (
x1y1 + · · ·+ xkyk
x21 + . . .+ x
2
k
) · x.
O problema interessante em geral e´ quando a reta buscada forma y = ξx+ τ na˜o
precisa passsar pela origem.
Essa reta aproximara´ simultaˆneamente va´rios pontos, que podem ser resultado de
aferic¸o˜es de dados relevantes.
O Cap´ıtulo 34 tratara´ de uma reta que minimiza soma de quadrados de distaˆncias
verticais de pontos xi, yi de interesse na Biologia, e cujo coeficiente angular ξ e´ uni-
versal.
7. Pontos de inflexo˜es dos gra´ficos
Definic¸a˜o 7.1. Seja f cont´ınua em I, intervalo aberto, e duas vezes deriva´vel ao
menos em I \ {x}.
Chamamos x de ponto de inflexa˜o da f se o sinal da f ′′(x) muda em torno de x.
Ou seja, um ponto de inflexa˜o marca a mudanc¸a de concavidade de uma func¸a˜o
(se era para cima, vira para baixo e vice-versa).
Exemplos:
• y = f(x) = x3, que tem f ′′(x) = 6x e ponto de inflexa˜o em x = 0.
• em geral, y = f(x) = x2n+1,∀n ∈ N, teˆm inflexa˜o em x = 0, ja´ que
f ′′(x) = 2n · (2n+ 1) · x2n−1.
• a func¸a˜o y = 4x 13 −x 43 e´ cont´ınua em torno da origem, mas tem reta tangente
vertical na origem, ou seja na˜o existe f ′(0). Como
f ′′(x) = −4(2 + x)
x
5
3
isso diz que f ′′(x) > 0 para −2 < x < 0 e f ′′(x) < 0 para x > 0, ou seja,
x = 0 e´ ponto de inflexa˜o. Tambe´m f ′′(x) < 0 para x < −2 e portanto
x = −2 e´ outro ponto de inflexa˜o.
8. CRITE´RIO DA DERIVADA DE ORDEM N 152
• o gra´fico de y = f(x) (em vermelho) na Figura a seguir representa a pop-
ulac¸a˜o de bacte´rias colocada num meio favora´vel, no tempo x.
A taxa de crescimento f ′(x) (em verde) vai aumentando ate´ atingir um
valor ma´ximo (no ponto de inflexa˜o x ≈ 1.1.), a partir do qual fatores como
escassez de nutrientes, aumento de detritos, comec¸am a diminuir essa taxa
de crescimento.
No ponto de inflexa˜o a acelerac¸a˜o f ′′(x) do processo (em amarelo) e´ nula.
6
2
-6
4
0
x
32,521,51
-4
-2
0,50
A func¸a˜o f(x) sera´ dada explicitamente nas Sec¸o˜es 4 e 5 do Cap´ıtulo 38.
8. Crite´rio da derivada de ordem n
Uma func¸a˜o como y = f(x) = sin4(x) claramente tem um ponto de mı´nimo local
em x = 0, ja´ que se anula em zero e e´ positiva por perto. No entanto
f ′′(x) = 4 sin(x)2 · (4 cos(x)2 − 1) e f ′′(0) = 0,
por isso na˜o esta´ ao alcance do crite´rio da segunda derivada (Afirmac¸a˜o 2.1). Tambe´m
f ′′′(x) = 8 sin(x) cos(x) · (8 cos(x)2 − 5)
se anula em x = 0, pore´m:
f (iv)(x) = 256 cos(x)4 − 272 cos(x)2 + 40
tem valor f (iv)(0) = 24.
A Afirmac¸a˜o 2.1 se generaliza assim:
Afirmac¸a˜o 8.1. Suponha f : (a, b) → R com derivadas de todas as ordens7. Seja
n ∈ N.
7Na˜o confunda a derivada de ordem n, f (n), com a poteˆncia n-e´sima fn.
CAPI´TULO 11. APLICAC¸O˜ES DA PRIMEIRA E SEGUNDA DERIVADAS 153
i) se f ′(x) = f ′′(x) = . . . = f (2n−1)(x) = 0 mas f (2n)(x) > 0 enta˜o x e´ ponto de
mı´nimo local.
ii) se f ′(x) = f ′′(x) = . . . = f (2n−1)(x) = 0 mas f (2n)(x) < 0 enta˜o x e´ ponto de
ma´ximo local.
ii) se f ′(x) = . . . = f (2n)(x) = 0 mas f (2n+1)(x) 6= 0 enta˜o x e´ ponto de inflexa˜o.
Demonstrac¸a˜o.
Item i):
A prova completa seria ∀n ∈ N e a´ı enta˜o a induc¸a˜o matema´tica seria exigida.
Por isso, para simplificar mas mesmo assim dar uma ı´de´ia da prova, me atenho ao
primeiro caso relevante, ou seja quando
n = 2.
Temos por hipo´tese:
f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = 0 mas f (iv)(x) > 0.
Como ha´ derivadas de todas as ordens, a func¸a˜o f (iv)(x) e´ cont´ınua em x, pois e´ ate´
mesmo deriva´vel. Logo pelo princ´ıpio de ine´rcia das func¸o˜es cont´ınuas, existe um
intervalo Ix = (−δ + x, x++δ) centrado em x tal que
f (iv)(x) > 0, ∀x ∈ Ix.
Enta˜o no intervalo Ix a func¸a˜o f
′′′(x) e´ uma func¸a˜o estritamente crescente. Como por
hipo´tese f ′′′(x) = 0, concluimos que:
f ′′′(x) < 0 em (−δ + x, x) e f ′′′(x) > 0 em (x, x+ δ).
Ou seja que a func¸a˜o f ′′(x) e´ estritamente decrescente em (−δ + x, x) e f ′′(x) e´
estritamente crescente em (x, x+ δ). Como f ′′(x) = 0 isso diz que:
f ′′(x) > 0 em (−δ + x, x) ∪ (x, x+ δ).
Agora enta˜o f ′(x) e´ estritamente crescente em (−δ+x, x)∪(x, x+δ). Como f ′(x) = 0
temos que
f ′(x) < 0 em (−δ + x, x) e f ′(x) > 0 em (x, x+ δ).
Por u´ltimo isso diz que f e´ estritamente decrescente em (−δ+x, x) e f e´ estritamente
crescente em ((x, x+ δ). Logo x e´ ponto de mı´nimo.
Iem ii): Ana´logo, mutatis mutandis.
Item iii):
Temos por hipo´tese:
f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = f (iv)(x) = 0
mas f (v)(x) 6= 0. Por exemplo suponhamos
f (v)(x) > 0.
o caso negativo e´ ana´logo.
9. CONFECC¸A˜O DE GRA´FICOS DE POLINOˆMIOS 154
Como ha´ derivadas de todas as ordens, a func¸a˜o f (v)(x) e´ cont´ınua em x, pois e´
ate´ mesmo deriva´vel. Logo pelo princ´ıpio de ine´rcia das func¸o˜es cont´ınuas, existe um
intervalo Ix = (−δ + x, x++δ) centrado em x tal que
f (v)(x) > 0, ∀x ∈ Ix.
Enta˜o no intervalo Ix a func¸a˜o f
(iv)(x) e´ uma func¸a˜o estritamente crescente. Como
por hipo´tese f (iv)(x) = 0, concluimos que:
f (iv)(x) < 0 em (−δ + x, x) e f (iv)(x) > 0 em (x, x+ δ).
Ou seja que a func¸a˜o f ′′′(x) e´ estritamente decrescente em (−δ + x, x) e f ′′′(x) e´
estritamente crescente em (x, x+ δ). Como f ′′′(x) = 0 isso diz que:
f ′′′(x) > 0 em (−δ + x, x) ∪ (x, x+ δ).
Agora enta˜o f ′′(x) e´ estritamente crescente em (−δ+x, x)∪(x, x+δ). Como f ′′(x) = 0
temos que
f ′′(x) < 0 em (−δ + x, x) e f ′′(x) > 0 em (x, x+ δ).
Por definic¸a˜o, x e´ um ponto de inflexa˜o.
�
9. Confecc¸a˜o de gra´ficos de polinoˆmios
Considere a func¸a˜o polinomial y = f(x) = x3 − x.
O objetivo e´ fazer seu gra´fico, de modo qualitativamente correto, sem qualquer
calculadora.
Primeiro noto onde f = 0, onde f > 0 ou f < 0 (pois essas informac¸o˜es na˜o sera˜o
fornecidas pela f ′(x)).
Ora f(x) = x · (x2 − 1) e da´ı sai que
• f(x) = 0 exatamente para x = 0,−1, 1;
• f(x) > 0 para −1 < x < 0 ou x > 1;
• f(x) < 0 para x < −1 ou 0 < x < 1.
A derivada e´ f ′(x) = 3x2 − 1 e portanto
• f ′(x) = 0 em x =
√
1
3
,−
√
1
3
.
• f ′(x) > 0 se x >
√
1
3
ou x < −
√
1
3
.
• f ′(x) < 0 se −
√
1
3
< x <
√
1
3
.
• f ′(0) = −1
Essas informac¸o˜es sobre f ′(x) ja´ dizem que x =
√
1
3
e´ ponto de mı´nimo local de
f(x) e que x = −
√
1
3
e´ ponto de ma´ximo local de f(x). E tambe´m que f e´ crescente
se x >
√
1
3
ou x < −
√
1
3
e que f(x) e´ decrescente se −
√
1
3
< x <
√
1
3
. Por u´ltimo,
f ′(0) = −1 diz que o gra´fico perto da origem se parece com y = −x.
CAPI´TULO 11. APLICAC¸O˜ES DA PRIMEIRA E SEGUNDA DERIVADAS 155
Agora f ′′(x) = 6x, ou seja f ′′(0) = 0, e em x = 0 ha´ mudanc¸a de sinal da f ′′(x).
Logo x = 0 e´ ponto de inflexa˜o. Para x < 0 a concavidade de f e´ para baixo e para
x > 0 a concavidade de f e´ para cima.
A Figura a seguir recolhe essas informac¸o˜es, mas como as escalas sa˜o diferentes
nos dois eixos a informac¸a˜o f ′(0) = −1 na˜o e´ respeitada:
8
0
4
-4
-8
x
1-1 1,50,5-1,5 -0,5 0
Figura: y = f(x) = x3 − x (verm.), f ′(x) (verde), f ′′(x) (amar.)
Os Exerc´ıcios 10.5 e 10.6 desafiara˜o o leitor a fazer gra´ficos qualitativamente cor-
retos de polinoˆmios, sem usar nenhuma calculadora.
Para compreender mais unificadamente a variedade de gra´ficos de func¸o˜es cu´bicas
do tipo y = ax3 + bx2 + cx+ d, o leitor pode ler o Cap´ıtulo 32.
Na Sec¸a˜o 4 do Cap´ıtulo 14 faremos gra´ficos de func¸o˜es racionais, quocientes de
polinoˆmios.
10. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 10.1. 3) Encontre o ponto do gra´fico de y = x
2
2
que minimiza a distaˆncia
ate´ P = (2, 1) pelos metodos i): de buscar pontos de ortogonalidade com o gra´fico e
ii): via mı´nimo da func¸a˜o quadrado da distaˆncia.
Exerc´ıcio 10.2. 4) As Figuras i) e ii) abaixo da˜o dois exemplos de func¸o˜es derivadas
f ′(x), apenas dadas qualitativamente. Encontre f(x) (qualitativamente) que sejam
compat´ıveis com cada f ′ dada.
2
0
-2
-6
4
-4
x
321-1-2-3
6
0
10. EXERCI´CIOS 156
Figura i): Gra´fico de uma func¸a˜o derivada f ′.
5
-15
-5
x
43210-1-2
15
10
0
-10
-20
Figura ii): Gra´fico de uma func¸a˜o derivada f ′.
Exerc´ıcio 10.3. A Figura mostra o gra´fico de uma func¸a˜o e o de sua derivada. Qual
e´ qual e por queˆ ? (Justifique analisando a relac¸a˜o entre zero/sinal da f ′ e a f ter
ma´ximo/mı´nimo ou ser crescente/decrescente).
80
0
40
4
-40
x
31 20
-80
-2 -1
Exerc´ıcio 10.4. Veja o gra´fico a seguir como o gra´fico de uma func¸a˜o derivada
y = f ′(x).
i) Sobreponha a ele o gra´fico de uma y = f(x) qualitativamente compat´ıvel
(Atenc¸a˜o a` relac¸a˜o entre zero/sinal de f ′(x) e ma´ximo, mı´nimo, crecimento, decresci-
mento da f).
ii) fac¸a com detalhe a regia˜o da f que corresponde ao ma´ximo da f ′(x).
2
1
0
-1
-3
-4-2
x
3210-1-2
Exerc´ıcio 10.5. (resolvido)
O objetivo deste Exerc´ıcio e´ confeccionar gra´ficos apenas qualitativamente corre-
tos, sem qualquer tipo de calculadora, de polinoˆmios relativamente simples como:
i) y = f1(x) = x
3 − x2
ii) y = f2(x) = x
2 − x3.
CAPI´TULO 11. APLICAC¸O˜ES DA PRIMEIRA E SEGUNDA DERIVADAS 157
iii) y = f3(x) = −2x2 + x3
iv): y = f4(x) = x
4 − 2x2.
v): y = f5(x) = 3x
4 − 4x3.
Fac¸a-o seguindo o seguinte roteiro:
a) determine os zeros de f , e em quais intervalos a func¸a˜o f e´ positiva ou negativa.
b) calcule a derivada f ′.
c) determine os zeros da func¸a˜o derivada f ′, e em quais intervalos a func¸a˜o derivada
e´ positiva ou negativa.
d) calcule a segunda derivada e determine onde ela e´ zero, positiva e negativa.
e) com as informac¸o˜es de a), b), c) e d) esboce o gra´fico de f ′′(x); com base nesse,
o de f ′(x) e com base nesse o de f(x).
Dica: em cada item fatore a maior poteˆncia poss´ıvel de x e enta˜o, para examinar
onde cada func¸a˜o e´ positiva e negativa basta usar a regra de multiplicac¸a˜o dos sinais:
+ ·+ = +, + · − = − e − · − = +.
Depois de pensar bastante, pois cada item pode exigir tempo, confira seus resul-
tados com as Soluc¸o˜es no Cap´ıtulo 52.
Exerc´ıcio 10.6. (resolvido)
Suponhamos que, seguindo o roteiro do Exerc´ıcio anterior, voceˆ entendeu o gra´fico
de y = x3 − C · x2, onde C ≥ 1 e´ uma constante.
E que chegou em algo do seguinte tipo:
-40
0
-20
-60
-80
-100
x
420-2-4
Sem fazer nenhuma conta mais, apenas raciocinando geometricamente, como deve
ser o gra´fico de y = x3 + C · x2 ? (para C ≥ 1).
Exerc´ıcio 10.7. Deˆ um exemplo bem simples de uma f : [a, b] → R cont´ınua tal
que f ′(x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b). Localize em seu exemplo onde esta˜o o(s) ma´ximo(s) e
mı´nimo(s).
Exerc´ıcio 10.8. Considere o aˆngulo formado no primeiro quadrante pelo eixo dos
y > 0 e a reta y = a · x, onde a > 0 sera´ fixado.
Considere um ponto (A,B) nessa regia˜o (ou seja suponho B > a ·A > 0).
10. EXERCI´CIOS 158
Qual a reta passando por (A,B) forma (no primeiro quadrante) um triaˆngulo com
o eixo dos y > 0 e a reta y = ax de menor A´rea ?
Prove que a menor a´rea e´ 2A · (B −Aa).
A figura ilustra treˆs candidatas:
z
p
rz
tz
z
1
Dica: lembre como calcular a a´rea de um triaˆngulo via determinante.
Exerc´ıcio 10.9. Encontre dois nu´meros x, y pertencentes ao intervalo [0, 1] cuja soma
e´ x+ y = 1 e tais que
i) x2 + y2 e´ ma´ximo (justifique)
ii) x2 + y2 e´ mı´nimo (justifique).
iii): para responder ao i) e ii) voceˆ estudou ma´ximo e mı´nimo de uma func¸a˜o f(x).
Esboce seu gra´fico, indicando onde sua derivada f ′(x) e´ negativa, zero ou positiva.
Exerc´ıcio 10.10. Uma fa´brica de azulejos fabrica pequenos revestimentos ceraˆmicos
(pastilhas) retangulares, que teˆm x cm de largura e y cm de comprimento.
O per´ımetro de cada pastilha sera´ fixado em 2 · (x+ y) = 2.
i) descreva a func¸a˜o que da´ a A´rea de cada pastilha como uma func¸a˜o A(x) so´ de
x.
ii) em qual domı´nio A(x) na˜o e´ negativa ? Onde A(x) se anula ? Onde A(x) e´
positiva ?
iii) Esboce o gra´fico de A(x) (apenas qualitativamente). Como determinar x para
que o valor de A(x) seja ma´ximo ?
iv) qual o formato e medidas da pastilha de maior A´rea ?
Exerc´ıcio 10.11. O custo de fabricac¸a˜o um objeto Retangular e´ dado por C(x, y) =
x3
6
+ y, pois o material usado na fabricac¸a˜o da lateral x e´ muit´ıssimo mais caro que o
da frente y. Supondo que sempre 1 ≤ x e que a A´rea tem que ser igual a 8, quais as
medidas x, y que minimizam o custo de fabricac¸a˜o ?
Exerc´ıcio 10.12. O custo de fabricac¸a˜o um objeto Retangular e´ dado por C(x, y) =
x2 + y, pois o material usado na fabricac¸a˜o da lateral x e´ muito mais caro que o da
frente y. Supondo que sempre 1 ≤ x e que a A´rea tem que ser igual a 16, quais as
medidas x, y que minimizam o custo de fabricac¸a˜o ?
CAPI´TULO 11. APLICAC¸O˜ES DA PRIMEIRA E SEGUNDA DERIVADAS 159
Um aluno pensou assim sobre esse problema: ja´ que o custo em func¸a˜o de x e´
muito maior que em func¸a˜o de y, por que na˜o usar o mı´nimo de x, ou seja, x = 1 e
y = 16, obtendo a´rea de 16 e custo de 12 + 16 = 17 ?
Sera´ que ele esta´ certo ? Esse e´ mesmo o mı´nimo de custo ?
Exerc´ıcio 10.13. A a´rea de um objeto retangular e´ A(x, y) = xy. O custo da
construc¸a˜o depende das dimenso˜es x e y segundo a fo´rmula C(x, y) = 5x2 + y.
Maxime a a´rea supondo fixado o custo em C(x, y) = 30.
Exerc´ıcio 10.14. Explique com os conceitos do Ca´lculo que relac¸a˜o pode haver entre
os dois gra´ficos apresentados em cada uma das treˆs Figuras que seguem.
ii) Que muda de uma Figura para a outra ? O que na˜o muda ?
iii) destaque propriedades geome´tricas relevantes de cada Figura (mı´nimos/ma´ximos,
inflexo˜es, ra´ızes, etc).
10
0
x
5
2
-5
0-2 1
-10
-1
10
0
x
5
2-2 1-1
-5
0
2
10
6
-2
10-2
4
2
-4
x
8
-1
0
Exerc´ıcio 10.15. Entendendo zeros e sinais de , de sua derivada f ′ e da segunda
derivada f ′′, confeccione o gra´fico de f ′′, o de f ′ e o de f , qualitativamente.
Apresente um gra´fico acima do outro, identificando pontos importantes.
Exerc´ıcio 10.16. Entendendo zeros e sinais de f(x) = x2 − x3, de sua derivada f ′ e
da segunda derivada f ′′, confeccione o gra´fico de f ′′, o de f ′ e o de f , qualitativamente.
Apresente um gra´fico acima do outro, identificando pontos importantes.
Exerc´ıcio 10.17. (resolvido)
Considere a Figura a seguir, que da´ em vermelho o gra´fico de y = x3 restrito a
x ∈ (−2, 1) e, em verde, o gra´fico de x3 − 3x2 + 3x− 2 tambe´m para x ∈ (−2, 1).
10. EXERCI´CIOS 160
Prove que existe uma reta que apenas tangencia o gra´fico verde e que consegue
passar entre os dois gra´ficos sem intersectar o gra´fico vermelho.
Dica: a Figura sugere uma reta, prove que ela satisfaz o que se pede.
Exerc´ıcio 10.18. (resolvido)
Seja f deriva´vel (tantas vezes quanto quiser).
Suponha que y = f(x) esta´ definida na semireta [0,+∞) e tem sempre f ′′(x) < 0
(concavidade para baixo em todo seu domı´nio).
Suponha que em um certo x valem f(x) > 0 e f ′(x) < 0.
Determine um K para o qual se pode garantir que f(x) = 0 em algum ponto
x ∈ [x,K].
CAP´ıTULO 12
Derivadas de seno e cosseno e as leis de Hooke
Hooke e´ sempre associado aos temas expostos na pro´xima Sec¸a˜o. Mas sua im-
portaˆncia cient´ıfica vai muito ale´m disso, como mostra o trecho da carta de Hooke
a Newton, de 1689, citado por James Gleick em Isaac Newton, uma biografia, Com-
panhia das Letras, p.132:
Resta agora conhecer as propriedades de uma linha curva [...] feita por uma
forc¸a atrativa central [...] em uma uma proporc¸a˜o duplicada em relac¸a˜o a`s distaˆncias
tomadas reciprocamente. Na˜o duvido que por seu excelente me´todo o senhor desco-
brira´ [...]
1. O cosseno como derivada do seno
No final de Star Wars descobrimos queo mocinho e´ filho do grande vila˜o. Pois
nesta Sec¸a˜o vamos descobrir que o cosseno e´ a derivada do seno !
A derivada do seno em θ = 0 foi vista: sin′(0) = 1 (Sec¸a˜o 5 do Cap´ıtulo 5 da
Parte 1).
Ou seja, sin′(0) = cos(0). Sera´ que isso e´ uma coincideˆncia apenas? Ou sera´ que
sin′(θ) = cos(θ), ∀θ ∈ R ?
Vamos poˆr um gra´fico abaixo do outro e ver se sa˜o os gra´ficos sa˜o coerentes com
o que aprendemos no Cap´ıtulo 7 da Parte 1, sobre como a derivada determina o
comportamento de uma func¸a˜o.
1
0
0,5
-0,5
-1
x
653 420 1
Figura: O gra´fico de y = sin(θ) (vermelho) e y = cos(θ)
(verde), para θ ∈ [0, 2pi].
Observe que:
161
1. O COSSENO COMO DERIVADA DO SENO 162
• em θ = pi
2
≈ 1.6 o seno tem seu ma´ximo e nesse ponto θ = pi
2
o cosseno se
anula, passando de positivo para negativo.
• em θ = pi ≈ 3.1 o cosseno tem seu mı´nimo −1 e nesse ponto θ = pi a inclinac¸a˜o
do gra´ficodo seno parece ser −1. Ademais, as inclinac¸o˜es do gra´fico do seno
vinham ficando mais negativas desde pi
2
e a partir de θ = pi va˜o ficando menos
negativas.
• em θ = 3pi
2
≈ 4.7 o cosseno se anula, passando de negativo a positivo e em
θ = 3pi
2
o seno tem seu mı´nimo.
• por u´ltimo, onde o cosseno e´ positivo (negativo) o seno e´ crescente (decres-
cente).
Todas essas observac¸o˜es sa˜o coerentes com o que aprendemos no final da Parte 1
e de fato:
Afirmac¸a˜o 1.1.
sin′(θ) = cos(θ), ∀θ ∈ R.
Demonstrac¸a˜o.
Comec¸o com a definic¸a˜o de derivada em algum θ0 fixado e uso depois a formula
de seno de uma soma:
sin′(θ0) = lim
θ→0
sin(θ0 + θ)− sin(θ0)
θ
=
= lim
θ→0
sin(θ0) cos(θ) + cos(θ0) sin(θ)− sin(θ0)
θ
.
Para poder continuar, agora vou usar o limite provado na Sec¸a˜o 3 do Cap´ıtulo 8:
lim
θ→0
sin(θ)
θ
= 1
e, ademais, um outro limite fundamental:
lim
θ→0
cos(θ)− 1
θ
= 0,
cuja prova omito, mas que e´ no mesmo estilo.
Enta˜o as propriedades de limites de somas e produtos permitem que re-escreva o
de acima como:
sin′(θ0) = lim
θ→0
[sin(θ0) · (cos(θ)− 1)
θ
+ cos(θ0) · sin(θ)
θ
] =
= sin(θ0) · lim
θ→0
(cos(θ)− 1)
θ
+ cos(θ0) · lim
θ→0
sin(θ)
θ
=
= sin(θ0) · 0 + cos(θ0) · 1 = cos(θ0),
como quer´ıamos. �
Um complemento:
A Figura a seguir exibe os gra´ficos de
f1(θ) =
sin(θ)
θ
, para θ 6= 0 e f1(0) := 1
CAPI´TULO 12. DERIVADAS DE SENO E COSSENO E AS LEIS DE HOOKE163
e de
f2(θ) =
cos(θ)− 1
θ
, para θ 6= 0 e f2(0) := 0
(note que defino separadamente os valores para θ = 0, para que as func¸o˜es resultantes
sejam cont´ınuas).
0,8
0
0,4
2
-0,4
x
31-1 0-2-3
Figura: O gra´ficos de y = f1(θ) (vermelho) e y = f2(θ)
(verde) para θ ∈ [−pi, pi].
A vinganc¸a do cosseno ! Seu filho (sua derivada) e´ o oposto do malvado avoˆ, o
seno:
Afirmac¸a˜o 1.2.
cos′(θ) = − sin(θ), ∀θ ∈ R.
Demonstrac¸a˜o. Seguindo as mesmas etapas da prova anterior, obtemos:
cos′(θ0) = lim
θ→0
cos(θ0 + θ)− cos(θ0)
θ
=
= lim
θ→0
cos(θ0) cos(θ)− sin(θ0) sin(θ)− cos(θ0)
θ
=
= cos(θ0) · lim
θ→0
(cos(θ)− 1)
θ
− sin(θ0) · lim
θ→0
sin(θ)
θ
=
= cos(θ0) · 0− sin(θ0) · 1 = − sin(θ0).
como quer´ıamos. �
2. Leis de Hooke com e sem atrito
A lei de Hooke diz que a forc¸a que um objeto1 sofre quando se estica uma mola
presa a ele e´ do tipo
F = −kf(x)
1Os objetos inicialmente sera˜o tratados como pontos, o que e´ uma enorme simplificac¸a˜o da
realidade. Na Sec¸a˜o 5 do Cap´ıtulo 23 falaremos de centro de gravidade de objetos que na˜o sa˜o
pontos
2. LEIS DE HOOKE COM E SEM ATRITO 164
onde k > 0 e´ uma constante e f(x) e´ a posic¸a˜o do objeto (veja a Figura a seguir). O
sinal negativo significa que a forc¸a e´ no sentido oposto do deslocamento. Se ignora o
atrito entre o objeto e a superf´ıcie nessa formulac¸a˜o da lei.
F
Se tomamos a forc¸a F como sendo o produto de massa m pela acelerac¸a˜o f ′′(x)
enta˜o a lei de Hooke e´ da forma
mf ′′(x) = −k · f(x).
A seguir, na Afirmac¸a˜o 2.1, para simplificar e dispensar a derivada da composta
(que na˜o vimos ainda), ponho k = 1.
Afirmac¸a˜o 2.1.
i): As func¸o˜es f(x) = a · cos(x) + b sin(x) sa˜o perio´dicas de per´ıodo 2pi, teˆm
f(0) = a e f ′(0) = b e satifazem
f ′′(x) = −f(x), ∀x ∈ R.
ii): Ademais a · cos(x) + b sin(x) ≡ A · cos(x− q), onde
A =
√
a2 + b2 e cos(q) =
a√
a2 + b2
.
A Afirmac¸a˜o 2.1 sera´ reforc¸ada na Sec¸a˜o 8 do Cap´ıtulo 39, onde se mostrara´, entre
outras coisas, que as func¸o˜es f(x) = a ·cos(k ·x)+b sin(k ·x) sa˜o as u´nicas a satisfazer:
f ′′(x) = −k · f(x), k ∈ R.
Demonstrac¸a˜o. (da Afirmac¸a˜o 2.1)
De i):
Como o seno e o cosseno teˆm per´ıodo 2pi essas func¸o˜es tambe´m teˆm esse per´ıodo.
Pela derivada da soma e de seno e cosseno, obtemos
f ′′(x) = (f ′(x))′ = (a(− sin(x)) + b cos(x))′ =
= −a cos(x)− b sin(x) = −f(x).
Ademais, f(0) = acos(0) = a e f ′(0) = b cos(0) = b.
De ii):
Note para o que segue que, se cos(q) = a√
a2+b2
, enta˜o
sin(q) =
b√
a2 + b2
.
Temos enta˜o
A · cos(x− q) = A · [cos(x) · cos(−q)− sin(x) · sin(−q) =
CAPI´TULO 12. DERIVADAS DE SENO E COSSENO E AS LEIS DE HOOKE165
= A · [cos(x) · cos(q) + sin(x) · sin(q)] =
=
√
a2 + b2 · a√
a2 + b2
· cos(x) +
√
a2 + b2 · b√
a2 + b2
· sin(x) =
= a · cos(x) + b · sin(x),
�
Na figura a seguir note que na˜o so´ a posic¸a˜o f(0) e´ relevante, mas que tambe´m a
inclinac¸a˜o f ′(0) determina o tipo de oscilac¸a˜o que havera´.
-2
2
1
-1
0
x
6210 4 53
Figura: Gra´ficos de y = a sin(θ) + b cos(θ) para alguns a, b e θ ∈ [0, 2pi].
Claro que na realidade f´ısica sempre ha´ algum atrito entre o objeto e a superf´ıcie
e sabemos que com o tempo o objeto pa´ra. Uma lei de Hooke mais realista levaria
em conta o atrito que surge com o deslocamento do objeto, ou seja, dependente da
velocidade f ′(x) do objeto e seria do tipo
f ′′(x) = −f(x)− kf ′(x).
Na Figura a seguir ponho uma func¸a˜o satisfazendo f ′′(x) = −f(x) ao lado de uma
func¸a˜o satisfazendo f ′′(x) = −f(x)−0.1·f ′(x). Uma func¸a˜o deste u´ltimo tipo envolve
senos e cossenos e a func¸a˜o exponencial, que veremos mais adiante.
0,5
1
0
-1
-0,5
x
353025150 10 205
Figura: Func¸o˜es satisfazendo a lei de Hooke
sem atrito (vermelho) e com atrito (verde).
3. EXERCI´CIOS 166
E se o atrito for maior, por exemplo, em f ′′(x) = −f(x)− 0.3 · f ′(x), enta˜o nesse
caso o objeto vai parar bem mais ra´pido, como na Figura a seguir:
1
0
0,5
-0,5
-1
x
0 355 3010 15 2520
Figura: Func¸o˜es satisfazendo a lei de Hooke
sem atrito (vermelho) e com muito atrito (verde).
Resolveremos explicitamente a equac¸a˜o diferencial:
f ′′(x)− f(x)− kf ′(x)
na Sec¸a˜o 2 do Cap´ıtulo 40.
3. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 3.1. Determine se o ponto (0, 0) e´ ma´ximo/mı´nimo ou inflexa˜o de f,
sabendo que f ′(x) = sen5(x) · cos(x).
CAP´ıTULO 13
Derivada do produto, induc¸a˜o e a derivada de xn, n ∈ Z.
Ja´ vimos que a derivada de f(x) = 1 = x0 e´ f ′(x) = 0, que a de f(x) = x = x1 e´
f ′(x) = 1 = 1x0, que a de f(x) = x2 e´ f ′(x) = 2x1 e ate´ mesmo que a de f(x) = x4 e´
f ′(x) = 4x3.
Ou seja, nos sentimos motivados a conjecturar que ∀n ∈ N, f(x) = xn tem
f ′(x) = nxn−1.
Como podemos provar isso, se na˜o podemos percorrer todos os Naturais ? Isso se
faz atrave´s do princ´ıpio de induc¸a˜o matema´tica.
1. Princ´ıpio de induc¸a˜o matema´tica
Em geral a palavra induc¸a˜o e´ usada nas cieˆncias experimentais para referir ao
processo pelo qual algue´m tenta concluir apo´s um certo nu´mero de evideˆncias que
certo fenoˆmeno valera´ sempre (ou qual a probabilidade disso ocorrer).
Ja´ em matema´tica o significado e´ o seguinte: quando queremos provar uma certa
propriedade para todo n ∈ N, o que fazemos e´:
• prova´-la para n = 1,
• supoˆ-la va´lida ate´ n− 1 e
• prova´-la para o pro´ximo natural, ou seja, para n.
(A etapa em que supomos a propriedade va´lida ate´ n − 1 e´ chamada de hipo´tese de
induc¸a˜o).
Se conseguimos fazer essa u´ltima etapa, a propriedade vale para todo n ∈ N.
A validade deste princ´ıpio esta´ ligada a` pro´pria natureza (axiomas) dos nu´meros
Naturais.
Vejamos treˆs exemplos, que ale´m de bonitos em si mesmos, sera˜o u´teis mais adiante
no Cap´ıtulo 21:
Afirmac¸a˜o 1.1. ∀n ∈ N:
i) 1 + 2 + . . .+ (n− 1) + n = (n+1)·n
2
.
ii) (1 + 2 + . . .+ (n− 1) + n)2 = 13 + 23 + . . .+ (n− 1)3 + n3.
iii) 12 + 22 + . . .+ n2 = n(n+1)(2n+1)
6
Demonstrac¸a˜o.
Prova de i): Para n = 1 a fo´rmula diz simplesmente 1 = 2·1
2
o que e´ o´bvio.
A hipo´tese de induc¸a˜o e´
1 + 2 + . . .+ (n− 1) = ((n− 1) + 1) · (n− 1)
2
=
n(n− 1)
2
.
167
1. PRINCI´PIO DE INDUC¸A˜O MATEMA´TICA 168
De agora em diante temos que fazer algo para mostrar quanto vale 1 + 2+ . . .+ (n−
1) + n. Ora1 + 2 + . . .+ (n− 1) + n = (1 + 2 + . . .+ (n− 1)) + n =
=
n(n− 1)
2
+ n =
n(n− 1) + 2n
2
=
=
(n+ 1) · n
2
,
como quer´ıamos.
Prova de ii): Para n = 1 a fo´rmula diz simplesmente que 12 = 13 o que e´ o´bvio.
Fac¸o a hipo´tese de induc¸a˜o:
(1 + 2 + . . .+ (n− 2) + (n− 1))2 = 13 + 23 + . . .+ (n− 2)3 + (n− 1)3,
e quero saber se vale tambe´m:
(1 + 2 + . . .+ (n− 1) + n)2 = 13 + 23 + . . .+ (n− 1)3 + n3.
Agora vamos ter que fazer algo, trabalhar um pouco. Escrevo pelo binoˆmio:
(1+2+ . . .+(n−1)+n)2 = (1+2+ . . .+(n−1))2+2 · (1+2+ . . .+(n−1)) ·n+n2
e para continuar uso a hipo´tese de induc¸a˜o:
(1+2+ . . .+(n−1)+n)2 = 13+23+ . . .+(n−1)3+2 · (1+2+ . . .+(n−1)) ·n+n2.
Para terminar onde gostaria, preciso ver que
2 · (1 + 2 + . . .+ (n− 1)) · n+ n2 = n3.
Mas posso usar a parte i) ja´ provada para qualquer n, mesmo que da forma n − 1,
obtendo:
(1 + 2 + . . .+ (n− 1)) = n · (n− 1)
2
,
e portanto:
2 · (1 + 2 + . . .+ (n− 1)) · n+ n2 = (n · (n− 1)) · n+ n2 =
= n3,
como precisa´vamos.
Prova de iii): para n = 1 a fo´rmula esta´ correta 1 = 1(1+1)(2+1)
6
.
suponha va´lida ate´ n− 1 e fac¸o:
12 + 22 + . . . (n− 1)2 + n2 = (n− 1)(n− 1 + 1)(2n− 2 + 1)
6
+ n2 =
=
2n3 − 3n2 + n
6
+ n2 =
=
2n3 − 3n2 + n+ 6n2
6
=
2n3 + 3n2 + n
6
=
n(n + 1)(2n+ 1)
6
,
como quer´ıamos.
CAPI´TULO 13. DERIVADA DO PRODUTO, INDUC¸A˜O E A DERIVADA DE
XN , N ∈ Z. 169
�
2. Derivada do Produto
Voltemos ao problema original: como derivar f(x) = xn ? Para n = 1 ja´ sabemos
que a fo´rmula x′ = 1x0 esta´ ok.
Gostariamos de supor a fo´rmula ate´ n− 1 e prova´-la enta˜o para n, de acordo com
o princ´ıpio de induc¸a˜o.
Mas quando escrevo xn e tento relaciona´-lo com xn−1 so´ consigo imaginar a
seguinte relac¸a˜o:
xn = x · xn−1.
Quando for derivar o lado esquerdo dessa expressa˜o terei que derivar, no lado
direito, um produto de func¸o˜es.
Como fazeˆ-lo ? Certamente a derivada do produto na˜o e´ o produto das derivadas,
pois (x2)′ 6= x′ · x′ = 1 · 1.
Por isso precisamos de:
Teorema 2.1. Sejam f(x) e g(x) duas func¸o˜es deriva´veis com mesmo domı´nio de
definic¸a˜o. Enta˜o a func¸a˜o produto (f · g)(x) := f(x) · g(x) tambe´m e´ deriva´vel e
(f · g)′(x) := f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x).
Demonstrac¸a˜o.
Seja x e considere a definic¸a˜o de derivada:
(f · g)′(x) = lim
h→0
f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x)
h
.
Agora vou fazer um truque, para fazer aparecer f ′(x) e g′(x) nessa esto´ria. Escrevo
f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x) =
= f(x+ h)g(x+ h)−f(x)g(x+ h) + f(x)g(x+ h)︸ ︷︷ ︸
0
−f(x)g(x) =
= (f(x+ h)− f(x)) · g(x+ h) + f(x) · (g(x+ h)− g(x)).
Portanto atrave´s deste truque obtemos que
(f · g)′(x) = lim
h→0
[
(f(x+ h)− f(x))
h
· g(x+ h) + f(x)(g(x+ h)− g(x))
h
].
Mas limh→0 g(x+ h) = g(x) pela continuidade de g e
lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= f ′(x) e lim
h→0
g(x+ h)− g(x)
h
= g′(x),
portanto juntando isso (e lembrando que o produto de limites e´ o limite do produto):
(f · g)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)
�
3. DERIVADAS DE X−N , ∀N ∈ N 170
Agora estamos em condic¸o˜es de terminar a prova de que
(xn)′ = nxn−1.
Pra n = 1 vale, suponho va´lida ate´ n− 1.
Escrevo xn = x · xn−1 e aplico o teorema da derivada do produto:
(x · xn−1)′ = 1 · xn−1 + x · (xn−1)′ =
= xn−1 + x · (n− 1) · xn−1−1 =
= xn−1 + (n− 1) · xn−1 =
= n · xn−1.
3. Derivadas de x−n, ∀n ∈ N
Se define x−n := 1
xn
, ∀n ∈ N, onde claramente x 6= 0.
Com essa definic¸a˜o se obtem:
x−n · xn = 1
n
· n = 1
e portanto x−n · xn = xn−n.
Queremos derivar essas func¸o˜es x−n, e novamente o faremos via a induc¸a˜o matema´tica.
Vimos a derivada de f(x) = x−1 = 1
x
, x 6= 0 diretamente pela definic¸a˜o, na Parte 1
deste Curso. Como um Exerc´ıcio, vejamos agora como re-obter a derivada de x−1 = 1
x
usando a regra da derivada do produto.
Escrevo a identidade para x 6= 0:
1 = x−1 · x
e derivo. A´ esquerda na identidade obtenho 0 e a` direita a regra do produto da´:
0 = (x−1)′ · x+ x−1 · 1,
ou seja (x−1)′ = − 1
x2
= −x−2.
Ou seja, que vale (x−1)′ = −1 · x−1−1.
Suponha provada a fo´rmula ate´ n− 1 > 1: ou seja, que a derivada de x−(n−1) e´
−(n− 1) · x−(n−1)−1 = −(n− 1) · x−n.
Enta˜o escrevo x−n = x−(n−1) · x−1 e pela derivada do produto:
(x−n)′ = (x−(n−1))′ · x−1 + x−(n−1) · (−x−2) =
= −(n− 1) · x−n · x−1 − x−(n−1)−2 =
= −(n− 1) · x−n−1 − x−n−1 = −n · x−n−1,
como quer´ıamos.
CAPI´TULO 13. DERIVADA DO PRODUTO, INDUC¸A˜O E A DERIVADA DE
XN , N ∈ Z. 171
4. Ra´ızes mu´ltiplas e fatorac¸a˜o de polinoˆmios
Agora que sabemos derivar xn, para qualquer n ∈ N, tambe´m saberemos derivar
qualquer polinoˆmio de grau n:
f(x) = anx
n + an−1xn−1 + . . .+ a0, an 6= 0,
bastando para isso usar (n vezes) a regra da derivada da soma/subtrac¸a˜o:
f ′(x) = ( anxn + an−1xn−1 + . . .+ a0 )′ =
= (anx
n)′ + (an−1xn−1)′ + . . .+ a′0 =
= nanx
n−1 + (n− 1)an−1xn−2 + . . .+ a1.
Sera´ conveniente chamar de derivada de ordem zero de uma f(x) a pro´pria
func¸a˜o, em s´ımbolos: f (0)(x) := f(x).
Tambe´m chamar de derivada de ordem 1 a derivada usual: f (1)(x) := f ′(x), bem
como f (2)(x) := f ′′(x) e assim por diante.
E´ fundamental o fato seguinte:
Teorema 4.1. Seja f(x) um polinoˆmio de grau n a coeficientes Reais.
Sa˜o equivalentes as seguintes afirmac¸o˜es:
• i) f(x) = (x− x)k+1 · g(x), onde g(x) e´ um polinoˆmio de grau n− (k + 1) a
coeficientes Reais.
• ii) f (0)(x) = f (1)(x) = . . . = f (k)(x) = 0 , onde 0 ≤ k ≤ n− 1.
Demonstrac¸a˜o.
i) implica ii) :
Suponho f(x) = (x− x)k+1 · g(x), onde g(x) e´ um polinoˆmio de grau n− (k + 1).
Note que f ′(x) = (k+1)(x−x)kg(x)+(x−x)k+1g′(x) e´ uma soma e cada parcela
dessa soma tem um fator (x−x)k ou (x−x)k+1. Asssim tambe´m ocorre com qualquer
das derivadas f (i)(x), com 0 ≤ i ≤ k ≤ n− 1: sa˜o somas onde cada parcela da soma
tem algum fator dentre:
(x− x)k+1, (x− x)k, . . . , (x− x)2, (x− x).
Logo f (i)(x) = 0, se 0 ≤ i ≤ k.
ii) implica i) :
Procederemos por induc¸a˜o em k.
Se k = 0, ou seja, k + 1 = 1, ja´ vimos no Teorema 7.1 do Cap´ıtulo 6 que
f (0)(x) := f(x) = 0 ⇒ f(x) = (x− x) · g(x),
onde o grau de g e´ n− 1.
Tentemos provar para k = m ≤ n − 1, supondo va´lido o resultado para todo
k ≤ m− 1.
Nossa hipo´tese sera´ que
f (0)(x) = f (1)(x) = . . . = f (m)(x) = 0.
4. RAI´ZES MU´LTIPLAS E FATORAC¸A˜O DE POLINOˆMIOS 172
Em particular:
f (0)(x) = f (1)(x) = . . . = f (m−1)(x) = 0
e a hipo´tese de induc¸a˜o da´:
f(x) = (x− x)m · g(x)
para um polinoˆmio g(x) de grau n−m. Precisamos ver que
g(x) = (x− x) · g(x)
para termos o resultado desejado:
f(x) = (x− x)m · [(x− x) · g(x)] = (x− x)m+1 · g(x).
Pensemos por absurdo, que
g(x) 6= (x− x) · g(x)
para todo g(x) de grau n−m− 1.
Pelo Teorema 7.1 do Cap´ıtulo 6 aplicado ao g(x):
g(x) 6= 0.
Mas como
f(x) = (x− x)m · g(x) = (x− x)k · g(x)
enta˜o a derivada f (m)(x) = f (k)(x) e´ uma soma onde cada parcela tem algum fator
dentre
(x− x)k, . . . , (x− x)2, (x− x)
exceto uma u´ltima parcela que e´ do tipo C · g(x), C ∈ R \ {0}.
As parcelas todas que formam f (m)(x) = f (k)(x) se anulam x, exceto a parcela
que conte´m o fator C · g(x). Logo f (m)(x) 6= 0: contradic¸a˜o.
Portanto, como quer´ıamos:
g(x) = (x− x) · g(x).
�
Para entender o que acontece num entorno de uma ra´ız mu´ltipla x de um polinoˆmio
y = p(x) temos:
Afirmac¸a˜o 4.1. Se x e´ uma ra´ız de ordem exatamente 2n, n ∈ N, enta˜o (x, 0) e´
ponto de ma´ximo ou de mı´nimo local de y = p(x).
Se x e´ uma ra´ız de ordem exatamente 2n + 1, n ∈ N, enta˜o (x, 0) e´ ponto de
inflexa˜o de y = p(x).
Demonstrac¸a˜o.
A suposic¸a˜o de que x e´ uma ra´ız de ordem exatamente 2n, n ∈ N significa que:
f(x) = (x− x)2n · g(x),
onde g(x) e´ um polinoˆmio a coeficientes Reais tal que
g(x) 6= 0.
Enta˜o, como vimos na Afirmac¸a˜o anterior,
p(x) = p′(x) = p′′(x) = . .. = p(2n−1)(x) = 0
CAPI´TULO 13. DERIVADA DO PRODUTO, INDUC¸A˜O E A DERIVADA DE
XN , N ∈ Z. 173
mas se fizermos a derivada de ordem 2n temos algo do tipo:
p(2n)(x) = (2n)! · g(x) + (x− x) · h(x)
e portanto
p(2n)(x) 6= 0.
A Afirmac¸a˜o 8.1 do Cap´ıtulo 11 diz que ha´ ma´ximo ou mı´nimo local.
Ja´ a suposic¸a˜o de que x e´ uma ra´ız de ordem exatamente 2n+ 1, n ∈ N significa
que:
f(x) = (x− x)2n+1 · g(x),
onde g(x) e´ um polinoˆmio a coeficientes Reais tal que
g(x) 6= 0.
Enta˜o
p(x) = p′(x) = p′′(x) = . . . = p(2n)(x) = 0
mas se fizermos a derivada de ordem 2n+ 1 temos algo do tipo:
p(2n+1)(x) = (2n+ 1)! · g(x) + (x− x) · h(x)
e portanto
p(2n+1)(x) 6= 0.
A Afirmac¸a˜o 8.1 do Cap´ıtulo 11 diz que ha´ uma inflexa˜o.
�
5. A Regra de Sinais de Descartes para as ra´ızes de um polinoˆmio
Neste Cap´ıtulo, que trata da induc¸a˜o matema´tica poderemos provar uma regra
cla´ssica, que possivelmente remonta a Harriot (1631) e que teria chegado a Descartes
via a obra de Cardano.
Trata-se de uma estimativa dos nu´mero de ra´ızes Reais de um polinoˆmio. Inicial-
mente se estima as ra´ızes positivas, mas facilmente se adapta para as negativas.
Precisaremos da induc¸a˜o matema´tica sobre o grau n do polinoˆmio. O procedi-
mento para recair em grau n− 1 sera´ derivar o polinoˆmio dado.
Comec¸emos introduzindo algumas convenc¸o˜es e notac¸o˜es.
Quando x e´ uma ra´ız de p(x) de ordem exatamente n diremos que, contada com
multiplicidade, ela vale por n ra´ızes. O nu´mero de ra´ızes positivas de um polinoˆmio
p(x) contadas com multiplicidade sera´ denotado a seguir ZP(p).
Ordenados pelo grau crescente de cada monoˆmio, considere o nu´mero de vezes
que muda o sinal dos coeficientes sucessivos de um polinoˆmio p(x). Esse nu´mero sera´
denotado por MS(p). Por exemplo,
MS(−1 + 3x− 3x2 + x3) = 3 e ZP(p) = 3, 0 < x = 1
MS(−1− 3x− 3x2 + x3) = 1 e ZP(p) = 1, 0 < x = 22/3 + 21/3 + 1
MS(1 + x2) = 0 e ZP(p) = 0,
MS(−1 + x) = 1 e ZP(p) = 1, 0 < x = 1.
5. A REGRA DE SINAIS DE DESCARTES PARA AS RAI´ZES DE UM
POLINOˆMIO 174
Em seu livro Geometria, Descartes da´ como exemplo:
p(x) = −120 + 106 · x− 19 · x2 − 4 · x3 + x4
para o qual
MS = 3 e ZP(p) = 3, 0 < x = 2, 3, 4.
Posso dar mais dois exemplos:
p(x) = 2− 3 · x+ 3 · x2 − 3 · x3 + x4
tem
MS = 4 e ZP(p) = 2, 0 < x = 1, 2;
p(x) = 8− 12 · x+ 14 · x2 − 15 · x3 + 7 · x4 − 3 · x5 + x6
tem
MS = 6 e ZP(p) = 2, 0 < x = 1, 2.
Afirmac¸a˜o 5.1. (parte da Regra de sinais de Descartes)
Seja p(x) = a0 + ak1 · xk1 + ak2 · xk2 + . . .+ an · xn, polinoˆmio a coeficientes Reais
de grau n ≥ 1 com
a0 · aki 6= 0 e 1 ≤ k1 ≤ k2 ≤ . . . ≤ n.
Enta˜o:
i) Se a0 · an > 0 enta˜o ZP(p) e´ um nu´mero par1. Se a0 · an < 0 enta˜o ZP(p) e´
um nu´mero ı´mpar.
ii) ZP(p) =MS(p) ou ZP(p) =MS(p)− 2 · j para algum j ∈ N.
Claro que o nu´mero de ra´ızes negativas de p(x) pode tambe´m ser estimado,
considerando-se a mesma Afirmac¸a˜o 5.1, mas aplicada agora para o novo polinoˆmio:
q(x) := p(−x).
Demonstrac¸a˜o. (da Afirmac¸a˜o2 5.1)
Prova do item i):
Caso a0 · an > 0:
Apo´s poss´ıvel multiplicac¸a˜o por −1, posso supoˆr que
a0 > 0 e an > 0.
Ou bem o gra´fico de y(x) na˜o intersecta o eixo dos x > 0 - e nesse caso ZP(p) = 0
- ou bem o faz de dois modos poss´ıveis:
1Adoto a convenc¸a˜o de considerar 0 como nu´mero par.
2A prova que dou desta Afirmac¸a˜o expo˜e o que se aprende no artigo de Xiaoshen Wang, A
simple proof of Descartes’s rule of signs, The American Mathematical Monthly, Vol. 111, No. 6, p.
525-526. 2004
CAPI´TULO 13. DERIVADA DO PRODUTO, INDUC¸A˜O E A DERIVADA DE
XN , N ∈ Z. 175
• i): tangenciando o eixo. Formando portanto ma´ximos ou mı´nimos locais de
y = p(x): nesse caso a ra´ız tem multiplicidade par (compare com a Afirmac¸a˜o
4.1). A contribuc¸a˜o a ZP(p) dessas tangeˆncias e´ par.
• ii): atravessando o eixo x > 0. O que pode ser feito transversalmente ou
formando inflexo˜es. Neste caso cada ra´ız tem multiplicidade ı´mpar (compare
com a Afirmac¸a˜o 4.1). Mas como
p(0) = a0 > 0 e lim
x→+∞
p(x) = +∞,
pois an > 0, concuimos que cada vez que o eixo x > 0 e´ atravessado pelo
gra´fico no ponto x1 no sentido do semi-plano y > 0 ao semiplano y < 0
devera´ haver uma outra ra´ız x2 em que o gra´fico atravessa o eixo x > 0 no
sentido do semi-plano y < 0 ao semiplano y > 0. Enta˜o as ra´ızes x1 e x2
contribuem juntas para ZP(p) com um nu´mero par, soma de dois ı´mpares.
Logo ZP(p) e´ par (incluindo o 0).
Caso a0 · an < 0:
Apo´s poss´ıvel multiplicac¸a˜o por −1, posso supoˆr que
a0 > 0 e an < 0.
Como
p(0) = a0 > 0 e lim
x→+∞
p(x) = −∞,
pois an < 0, o T.V.I. nos garante que ha´ alguma ra´ız e portanto ZP(p) ≥ 1. O
mesmo tipo de argumento do Caso anterior agora da´ que ZP(p) e´ ı´mpar.
Prova do item ii):
Sera´ feita por induc¸a˜o no grau n.
Para n = 1 temos p(x) = a0 + a1 · x.
A condic¸a˜o MS(p) = 0 equivale a a0 · a1 > 0. E nesta situac¸a˜o a ra´ız
x = −a0
a1
< 0
da´ que ZP(p) = 0.
A condic¸a˜o MS(p) = 1 equivale a a0 · a1 < 0. E nesta situac¸a˜o a ra´ız
x = −a0
a1
> 0
da´ que ZP(p) = 1.
Portanto ZP(p) =MS(p) e o item ii) vale para n = 1.
Suponhamos como hipo´tese de induc¸a˜o que a afirmac¸a˜o do item ii)
ZP(p) =MS(p) ou ZP(p) =MS(p)− 2 · j, j ∈ N
valha para quaisquer polinoˆmios de grau ≤ n− 1.
Sera´ u´til re-enunciar esta hipo´tese da seguinte maneira equivalente:
5. A REGRA DE SINAIS DE DESCARTES PARA AS RAI´ZES DE UM
POLINOˆMIO 176
Hipo´tese: para quaisquer polinoˆmios de grau ≤ n− 1 vale ZP(p) ≤MS(p) e, ou
bem ZP(p) e MS(p) sa˜o pares ou bem ZP(p) e MS(p) sa˜o ı´mpares.
Seja agora o polinoˆmio a coeficientes Reais de grau n ≥ 2:
p(x) = a0 + ak1 · xk1 + ak2 · xk2 + . . .+ an · xn,
a0 · aki 6= 0 e 1 ≤ k1 ≤ k2 ≤ . . . ≤ n.
Se divide o resto da prova em dois casos:
Caso 1) a0 · ak1 > 0:
Considero a derivada de p(x)
p′(x) = (k1 · ak1 · xk1−1 + k2 · ak2 · xk2−1 + . . .+ n · an · xn,
Note que a0 · ak1 > 0 garante que
MS(p) =MS(p′).
Ademais, como a0 e ak1 teˆm o mesmo sinal e como o sinal do coeficiente do termo
de ordem mais alta de p e de p′ e´ o mesmo, a aplicac¸a˜o do Item i) ja´ provado a p(x)
e depois a p′(x) dira´ que ou bem ZP(p) e ZP(p′) sa˜o nu´meros pares ou bem ZP(p)
e ZP(p′) sa˜o nu´meros ı´mpares.
Aplico a hipo´tese de induc¸a˜o a p′(x), cujo grau e´ n − 1: ZP(p′) ≤ MS(p′) e, ou
bem ZP(p′) e MS(p′) sa˜o pares ou bem ZP(p′) e MS(p′) sa˜o ı´mpares.
Concluo por enquanto que ou bem ZP(p) e MS(p) sa˜o pares ou bem ZP(p) e
MS(p) sa˜o ı´mpares. Isso ja´ prova parte do Item ii).
Agora, pelo Teorema de Rolle:
ZP(p′) ≥ ZP(p)− 1
pois na˜o podem haver duas ra´ızes sucessivas de p(x) sem que entre elas haja uma ra´ız
de p′(x).
Enta˜o:
MS(p) =MS(p′) ≥ ZP(p′) ≥ ZP(p)− 1,
ou seja,
MS(p) + 1 ≥ ZP(p).
Como sabemos que ou bem ZP(p) e MS(p) sa˜o pares ou bem ZP(p) e MS(p) sa˜o
ı´mpares isso forc¸a que:
MS(p) ≥ ZP(p),
como quer´ıamos para completar o Item ii).
Caso 2) a0 · a1 < 0: a prova e´ bem parecida.
�
CAPI´TULO 13. DERIVADA DO PRODUTO, INDUC¸A˜O E A DERIVADA DE
XN , N ∈ Z. 177
6. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 6.1. (resolvido)
Prove por induc¸a˜o: n! ≥ 2n−1, ∀n ≥ 2.
Exerc´ıcio 6.2. Derive o produto de treˆs func¸o˜es (deriva´veis):
( f(x) · g(x) · h(x) )′
Exerc´ıcio 6.3. Produza 4 exemplos de polinoˆmios p de grau 6 em que, no item ii)
da Afirmac¸a˜o 5:
ZP(p) =MS(p)− 2 · j,
o nu´mero j ∈ N vale j = 0, 1, 2, 3.
CAP´ıTULO 14
Derivada da composic¸a˜o de func¸o˜es
A composic¸a˜o de func¸o˜es simples produzindo func¸o˜es complicadas e´ o ana´logo
matema´tico da composic¸a˜o de processos simples que produzem efeitos complicados
na natureza, nas reac¸o˜es qu´ımicas, nos processos biolo´gicos, etc.
Da´ı a importaˆncia de sabermos derivar composic¸o˜es.
1. Regra da composta ou da cadeia
A palavra que costuma se usar regra cadeia poderia ser substitu´ıda pelo sinoˆnimoregra da corrente, pois uma corrente e´ algo feito de elos simples.
A regra de derivac¸a˜o da func¸a˜o composta combina as derivadas de cada constitu-
inte da corrente de um modo bem determinado, como veremos.
Antes de enuncia´-la em geral, considero algumas composic¸o˜es espec´ıficas, que nos
ajudara˜o a entender a regra geral.
Considere as func¸o˜es fn(x) := n·x, com n ∈ N fixado, g(x) = sin(x) e as compostas
(g ◦ fn)(x) = sin(n · x ). Suponha que fazemos a restric¸a˜o g : [0, 2pi] → R. Enta˜o
quando x percorre [0, 2pi] o paraˆmetro z := n · x percorre n vezes esse intervalo. Ou
seja que o gra´fico da a func¸a˜o sin(n · x ) e´ formado por n co´pias do gra´fico do seno,
claro que mais comprimidas. Abaixo pot o seno e sin(3x):
1
0
x
0,5
621 53
-1
-0,5
40
Figura: Gra´fico de y = sin(x) (vermelho) e de y = sin(3x)
(verde) para x ∈ [0, 2pi].
Como vimos no Cap´ıtulo 12, o cosseno e´ a derivada do seno: onde o cosseno e´
positivo (negativo) o seno e´ crescente (decrescente), onde o cosseno se anula o seno
tem seus ma´ximos ou mı´nimos, etc. Ora, a func¸a˜o cos(nx) satisfaz qualitativamente
todas essas exigeˆncias, ou seja, se comporta qualitativamente como se fosse a derivada
de sin(nx). Ou seja, como fizemos na Parte 1 deste curso, onde os gra´ficos de f ′ e f
eram corretos apenas qualitativamente.
179
1. REGRA DA COMPOSTA OU DA CADEIA 180
Veja isso na pro´xima Figura, com n = 3:
1
0
0,5
-0,5
x
21,50,5 10
-1
Figura: Gra´fico de y = sin(3x) (vermelho) e de y = cos(3x)
(verde) para x ∈ [0, 2pi].
Mas o que esta Figura na˜o tem de quantitativamente correto e´ o fato de que para
que sin(3x) fac¸a 3 vezes o que o seno usual faz quando x percorre [0, 2pi], sin(3x) tem
que ser mais ra´pido que o seno usual. Ou seja, em cada ponto as inclinac¸o˜es das
tangentes de sin(3x) sa˜o maiores que as do seno usual. Quanto maiores? Exatamente
3 vezes maiores.
Por isso a derivada de sin(3x) quantitativamente correta na˜o e´ cos(3x) mas sim:
sin(3x)′ = 3 cos(3x)
e mais em geral:
sin(nx)′ = n cos(nx)
Mostro isso na Figura a seguir:
3
1
-3
2
0
-2
-1
x
1,510,50 2
Figura: Gra´fico de y = sin(3x) (vermelho) e de sua
derivada (verde) para x ∈ [0, 2pi].
Agora consider uma outra composic¸a˜o: f(x) = x2 e g(x) = sin(x), ou seja (g ◦
f)(x) = sin(x2). A diferenc¸a para o exemplo anterior, sin(3x) e´ que a` medida que x
se aproxima de 2pi x2 cresce cada vez mais ra´pido e a func¸a˜o sin(x2) faz aquilo que o
seno faz em cada vez menores intervalos, como mostra a figura a seguir:
CAPI´TULO 14. DERIVADA DA COMPOSIC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES 181
1
0
0,5
6
-0,5 x
53 4
-1
0 1 2
Figura: Gra´fico de y = sin(x) (vermelho) e
de y = sin(x2) (verde) para x ∈ [0, 2pi].
Qualitativamente falando, cos(x2) se comporta como esperamos da derivada de
sin(x2):
1
0
0,5
6
-0,5 x
53
-1
0 1 2 4
Figura: Gra´fico de y = sin(x2) (vermelho) e
de y = cos(x2) (verde) para x ∈ [0, 2pi].
De novo, o que esta´ quantitativamente errado: as inclinac¸o˜es do gra´fico de y =
sin(x2) esta˜o ficando cada vez maiores quando x se aproxima de 2pi. De quanto pre-
cisamos multiplicar a func¸a˜o qualitativamente correta da derivada para termos uma
func¸a˜o quntitativamente exata da derivada ? A resposta como vermos e´: precisamos
multiplicar pela func¸a˜o 2x ! Ou seja, para cada x > 0 a correc¸a˜o muda neste exemplo:
A Figura a seguir superpo˜e os gra´ficos y = sin(x2) e de sua derivada, que veremos
e´ cos(x2) · 2x, e, ademais da´ os gra´ficos de y = 2x e y = −2x. Essas retas passam
pelos pontos de ma´ximo e mı´nimo locais da derivada.
1. REGRA DA COMPOSTA OU DA CADEIA 182
10
0
5
-5
-10
x
630 21 54
Figura: y = sin(x2) (vermelho), sua derivada (verde), y = 2x e
y = −2x, para x ∈ [0, 2pi].
Por u´ltimo, volto num limite calculado como Exerc´ıcio 5.4 do Cap´ıtulo 8:
lim
x→0
sin(k · x)
x
= k.
Podemos olha´-lo do seguinte modo:
lim
x→0
sin(k · x)− sin(k · 0)
x
= k
e reconhecemos enta˜o a definic¸a˜o da derivada da composta sin(k · x) em x = 0.
O Teorema a seguir generaliza essas observac¸o˜es:
Teorema 1.1. Sejam f : I → J e g : K → L func¸o˜es definidas em intervalos, com
a imagem J de f contida no domı´nio K de g, J ⊂ K. Se f e g sa˜o seriva´veis enta˜o
a func¸a˜o composta (g ◦ f) : I → L, definida por (g ◦ f)(x) := g(f(x)) tambe´m e´
deriva´vel e ademais:
(g ◦ f)′(x) = g′(f(x)) · f ′(x).
A notac¸a˜o de Leibniz:
A notac¸a˜o de G. Leibniz para a derivada de y = f(x) e´ dy
dx
. O valor de sua notac¸a˜o
fica claro quando escrevemos a regra da derivada da composta. Para y = f(x),
u = g(y) e u = g(f(x)):
du
dx
=
du
dy
· dy
dx
.
O leitor vera´, por exemplo no Cap´ıtulo 37, como e´ u´til e conforta´vel a notac¸a˜o de
Leibniz.
A prova da Afirmac¸a˜o 1.1 e´ te´cnica, prefiro tirar consequeˆncias.
A primeira consequeˆncia e´ que se pode derivar um nu´mero qualquer de com-
posic¸o˜es. Por exemplo, para tres func¸o˜es podemos afirmar:
CAPI´TULO 14. DERIVADA DA COMPOSIC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES 183
Afirmac¸a˜o 1.1. Sejam f : I → J , g : K → L e h : M → N , com J ⊂ K e L ⊂ M .
Se f, g, h sa˜o deriva´veis, enta˜o a func¸a˜o composta (h ◦ g ◦ f) : I → L, definida por
(h ◦ g ◦ f)(x) := h(g(f(x))) e´ deriva´vel e ademais:
(h ◦ g ◦ f)′(x) = h′(g(f(x))) · g′(f(x)) · f ′(x).
Demonstrac¸a˜o. De fato, associo h ◦ g ◦ f = h ◦ (g ◦ f) e uso o Teorema 1.1 duas
vezes:
(h ◦ (g ◦ f))′(x) = h′(g(f(x))) · (g ◦ f)′(x) =
= h′(g(f(x))) · g′(f(x)) · f ′(x).
�
No Cap´ıtulo 16 sobre func¸o˜es inversas vamos dar aplicac¸o˜es importantes da derivada
da composta.
Vejamos agora alguns exemplos simples:
• f = sin(x), g = x2, enta˜o (g ◦ f)′ = 2 · (sin(x)) · cos(x)
• f = cos(x), g = x2, (g ◦ f)′ = 2 · (cos(x)) · (− sin(x)) = −2 · cos(x) · sin(x).
• como consequeˆncia desse dois itens e da derivada da soma:
(sin(x)2 + cos(x)2)′ = 2 · sin(x) · cos(x)− 2 · cos(x) · sin(x) ≡ 0,
o que e´ natural ja´ que sin(x)2 + cos(x)2 ≡ 1.
• f(x) = x2 e g(x) = sin(x), enta˜o (g ◦ f)′(x) = cos(x2) · 2 · x.
2. A derivada do quociente
Agora uma aplicac¸a˜o da regra da composta aos quocientes de func¸o˜es:
Afirmac¸a˜o 2.1. Sejam f e g func¸o˜es deriva´veis com g nunca nula. Enta˜o
(
f(x)
g(x)
)′(x) =
f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)
g2(x)
.
Em particular:
(
1
g
)′(x) = − g
′(x)
g2(x)
.
Demonstrac¸a˜o.
Vou escrever primeiro
f(x)
g(x)
= f(x) · 1
g(x)
e derivar esse produto:
(
f(x)
g(x)
)′(x) = f ′(x) · 1
g(x)
+ f(x) · ( 1
g(x)
)′(x),
Agora olho 1
g(x)
como a composic¸a˜o de duas func¸o˜es f1(x) = g(x) e f2(x) =
1
x
= x−1:
1
g(x)
= (f2 ◦ f1)(x).
2. A DERIVADA DO QUOCIENTE 184
Ja´ sabemos derivar f2(x) =
1
x
= x−1, de fato: f ′2(x) = − 1x2 = −x−2. Enta˜o a regra
da composta da´:
(
1
g(x)
)′(x) = (f2 ◦ f1)′(x) =
= f ′2(f1(x)) · f ′1(x) =
= − 1
g2(x)
· g′(x).
Junto tudo:
(
f(x)
g(x)
)′(x) = f ′(x) · 1
g(x)
+ f(x) · ( 1
g(x)
)′(x) =
= f ′(x) · 1
g(x)
+ f(x) · (− 1
g2(x)
· g′(x)) =
=
f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)
g2(x)
,
como quer´ıamos. �
Exemplos:
• Func¸o˜es racionais sa˜o quocientes de polinoˆmios f
g
. Onde g na˜o se anula, a
fo´rmula da Afirmac¸a˜o 2.1 nos diz como deriva´-las.
• A tangente e´ um quociente de func¸o˜es deriva´veis tan(x) = sin(x)
cos(x)
. Onde o
cosseno na˜o se anula podemos deriva´-la obtendo:
tan′(x) =
cos(x) · cos(x)− sin(x) · (− sin(x))
cos2(x)
=
=
1
cos2(x)
e com a nomenclatura conhecida sec(x) := 1
cos(x)
o que temos e´
tan′(x) = sec2(x).
Enta˜o claramente tan′(0) = 1
cos2(0)
= 1 e
lim
x↗pi
2
tan′(x) = lim
x↙−pi
2
tan′(x) = +∞.
A seguir plotei os gra´ficos da tangente e de sua derivada restritas ao
intervalo (−1, 1). Na˜o pude usar um intervalomais parecido com o domı´nio
(−pi
2
, pi
2
) porque os valores da tangente ficam muito grande em mo´dulo.
CAPI´TULO 14. DERIVADA DA COMPOSIC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES 185
-1
3
1
2
0
-1
x
10,50-0,5
Figura: A func¸a˜o tangente (vermelho) e sua derivada (verde) restritas a (−1, 1).
3. Uma func¸a˜o que tende a zero oscilando
Afirmac¸a˜o 3.1. A func¸a˜o f : [1,+∞)→ R dada por f(x) = sin(x2)
x
tem limx→+∞ f(x) =
0 mas na˜o existe limx→+∞ f ′(x).
Demonstrac¸a˜o.
Como | sin(x2)| ≤ 1 e limx→+∞ 1x = 0 enta˜o limx→+∞ sin(x
2)
x
= 0.
Para x > 0, a derivada do quociente da´:
f ′(x) =
cos(x2) · 2x− sin(x2) · 1
x2
= 2 cos(x2)− sin(x
2)
x2
e portanto quando x e´ muito grande f ′(x) ≈ 2 cos(x2), ou seja, f ′(x) percorre muitos
valores no intervalo [−1, 1], portanto f ′(x) na˜o tende a nenhum valor espec´ıfico.
�
A Figura a seguir ilustra em vermelho a f e em verde f ′, com x ∈ [1, 10]:
2
0
1
104 8
-2
-1
2 6
x
4. CONFECC¸A˜O DE GRA´FICOS DE FUNC¸O˜ES RACIONAIS 186
Ja´ o comportamento de f(x) = sin(x
2)
x
quando x→ 0 sera´ tema do Exerc´ıcio 16.10
no Cap´ıtulo 22.
4. Confecc¸a˜o de gra´ficos de func¸o˜es racionais
Exemplo: Considere y = f(x) = 1
2
− 4
x2+4
.
Talvez a primeira coisa a se observar e´ que f(x) e´ uma func¸a˜o par, f(x) = f(−x),
pois essa simetria em relac¸a˜o ao eixo dos y ajuda muito para confeccionar o gra´fico.
Como f(x) = x
2−4
2(x2+4)
, essa func¸a˜o se anula quando x = ±2 e e´ positiva exatamente
quando |x| > 2.
Ademais, uma bonita simplificac¸a˜o da´ f ′(x) = 8x
(x2+4)2
. Ou seja que, x = 0 e´ ponto
cr´ıtico e, ademais, e´ mı´nimo local pois nele a f ′(x) passa de negativa para positiva.
Tambe´m e´ fa´cil ver que:
lim
x→+∞
f(x) = lim
x→−∞
f(x) =
1
2
,
embora sempre f(x) < 1
2
; ou seja, y = 1
2
e´ ass´ıntota horizontal.
Para ver se ha´ inflexo˜es fac¸o uma conta um pouco maior e obtenho:
f ′′(x) = −8(3x
2 − 4)
(x2 + 4)3
que se anula em x = ±2
3
√
3. Ou seja, a concavidade de y = f(x) e´ para baixo
em (−∞,−2
3
√
3), muda para cima em (−2
3
√
3, 2
3
√
3) e volta a ser para baixo em
(2
3
√
3,+∞).
A figura a seguir ilustra tudo isso (apenas qualitativamente, ja´ que as escalas nos
eixos sa˜o diferentes):
0
-0,2
-0,4
0,4
0,2
x
105-5 0-10
Exemplo:
CAPI´TULO 14. DERIVADA DA COMPOSIC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES 187
Agora vamos fazer o gra´fico da func¸a˜o racional
f : R \ {−1, 1} → R, f(x) = x
3 + 8x
x2 − 1 .
Novamente queremos estar corretos apenas qualitativamente.
Como o numerador de f(x) e´ x ·(x2+8), temos que f(x) = 0 exatamente se x = 0.
O numerador de f e´ negativo se x < 0 e positivo se x > 0. Ja´ o denominador de f(x)
e´ negativo se −1 < x < 1 e positivo no resto do domı´nio.
Ou seja,
• f(x) = 0 exatamente se x = 0;
• f(x) > 0 se −1 < x < 0 ou x > 1.
• f(x) < 0 se x < −1 ou se 0 < x < 1.
Na˜o e´ dif´ıcil ver que:
lim
x↗−1
f(x) = −∞ lim
x↘−1
f(x) = +∞,
lim
x↗1
f(x) = −∞ lim
x↘1
f(x) = +∞.
Agora examino (derivando pela regra do quociente):
f ′(x) =
x4 − 11x2 − 8
(x2 − 1)2 .
O numerador e´ do tipo z2 − 11z − 8, com z = x2.
Enta˜o f ′(z) = 0 exatamente se
z =
11±√(11)2 + 4 · 8
2
=
11±√153
2
=
11± 3 · √17
2
.
Mas 11−3·
√
17
2
< 0, portanto, se queremos determinar x ∈ R onde f ′(x) = 0, devemos
tomar:
x = ±
√
11 + 3 · √17
2
.
Podemos aproximar grosseiramente
√
17 ≈ 4 e
√
11+3·√17
2
≈ √15 ≈ 3.
Ou seja que a derivada f ′(x) se anula num ponto x1 ≈ 3 e noutro x2 ≈ −3.
Antes de examinar f ′′(x), note que na˜o e´ dif´ıcil se convencer de que:
lim
x→+∞
f(x) = +∞,
Como limx↘1 f(x) = +∞ isso indica que x1 ≈ 3 e´ ponto de mı´nimo local da f (sem
usar qualquer teste).
Por outro lado como
lim
x→−∞
f(x) = −∞
e limx↗−1 f(x) = −∞, isso indica que x2 ≈ −3 e´ ma´ximo local da f (sem usar
qualquer teste).
4. CONFECC¸A˜O DE GRA´FICOS DE FUNC¸O˜ES RACIONAIS 188
Agora, com a regra da derivada do quociente, da composta e apo´s simplificac¸o˜es,
obtemos:
f ′′(x) =
18x(x2 + 3)
(x2 − 1)3 .
Claramente f ′′(x) se anula apenas em x = 0 e nesse ponto muda de sinal. Logo
x = 0 e´ um ponto de inflexa˜o.
Para −1 < x < 0 ou para x > 1 temos f ′′(x) > 0 e concavidade para cima.
Mas para x < −1 ou 0 < x < 1 temos concavidade para baixo.
Em particular, f ′′(x1) > 0 e f
′′(x2) < 0 o que comprova que sa˜o mı´nimo e ma´ximo
locais respectivamente.
As treˆs Figuras a seguir resumem essas observac¸o˜es: a primeira pega parte da
regia˜o x < −1, a segunda, parte da regia˜o −1 < x < 1 e a terceira, parte da regia˜o
x > 1.
-8
-10
-12
x
-1,5-2-2,5-3-4-4,5-5
-7
-3,5
-9
-11
Figura: O gra´fico de y = x
3+8x
x2−1 , x ∈ [−5,−1.5].
15
10
5
0
-5
-10
-15
x
0,80,40-0,4-0,8
CAPI´TULO 14. DERIVADA DA COMPOSIC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES 189
Figura: O gra´fico de y = x
3+8x
x2−1 , x ∈ [−0.8, 0.8].
x
765432
12
11
10
9
8
7
Figura: O gra´fico de y = x
3+8x
x2−1 , x ∈ [1.5, 5].
5. Involuc¸o˜es fracionais lineares
Vimos nos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 7 que f(x) = 1
x
tem f = f−1, ou seja, e´ uma
involuc¸a˜o.
Agora que sabemos derivar as func¸o˜es racionais, vamos poder mostrar que ha´
involuc¸o˜es que sa˜o quocientes de func¸o˜es lineares:
Afirmac¸a˜o 5.1. As func¸o˜es racionais f : R \ {α
γ
} → R dadas por
f(x) =
α · x+ β
γ · x− α, com α
2 + β · γ 6= 0
(onde α, β, γ ∈ R) sa˜o invers´ıveis, sa˜o involuc¸o˜es e portanto teˆm gra´ficos sime´tricos
relativos a` diagonal.
Ademais, func¸o˜es racionais do tipo
f(x) =
α · x+ β
γ · x+ δ , com α · δ − β · γ 6= 0
(onde α, β, γ, δ ∈ R) sa˜o invers´ıveis e sa˜o involuc¸o˜es somente se δ = −α.
Demonstrac¸a˜o.
Note que as func¸o˜es
f(x) =
α · x+ β
γ · x− α
na˜o esta˜o definidas em α
γ
. De fato so´ estariam definidas a´ı se αx + β se anulasse
tambe´m em α
γ
. Mas enta˜o −β
α
= α
γ
, ou seja, α2 + β · γ = 0 contrariando a hipo´tese.
Agora calculo a derivada, pela regra do quociente e obtenho apo´s simplificac¸a˜o:
f ′(x) = − α
2 + β · γ
(γ · x− α)2 < 0,
portanto f(x) e´ estritamente decrescente, logo invert´ıvel.
6. UM PROBLEMA DA PUTNAM COMPETITION, N. 1, 1938 190
Sua inversa e´ obtida:
y =
α · x+ β
γ · x− α ⇔ y · γ · x− y · α = α · x+ β ⇔
⇔ y · γ · x− α · x = y · α+ β ⇔ x = α · y + β
γ · y − α,
ou seja, x = x(y) tem exatamente a mesma expressa˜o de y = y(x).
Por isso sa˜o involuc¸o˜es e por isso sa˜o sime´tricas em relac¸a˜o a` diagonal.
Ademais, se
f(x) =
α · x+ β
γ · x+ δ
enta˜o
f ′(x) =
α · δ − β · γ
(γ · x+ β)2 6= 0.
Se obte´m, como antes, de y = y(x):
x = x(y) =
−δ · y + β
γ · y − α .
Portanto se queremos um involuc¸a˜o precisamos que δ = −α.
�
A Figura a seguir da´ treˆs exemplos:
5
3
4
2
x
43
1
1 52
Figura: Em vermelho a diagonal, em verde y = 1
x
amarelo y = 0.1·x+2
3·x−0.1 e em azul y =
0.1·x+4
9·x−0.1 .
6. Um problema da Putnam Competition, n. 1, 1938
Dada a para´bola y = 1
2m
· x2, determine a menor corda ortogonal ao gra´fico em
um dos extremos.
Soluc¸a˜o:
Minha soluc¸a˜o na˜o e´ das mais elegantes, pois e´ na forc¸a bruta. Farei o seguinte:
CAPI´TULO 14. DERIVADA DA COMPOSIC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES 191
• determinarei os pontos que sa˜o os extremos (x0, x
2
0
2m
) e (x1,
x21
2m
) de uma corda
ortogonal ao gra´fico em (x0,
x20
2m
),
• pensarei no quadrado do comprimento1 da corda:
(x1 − x0)2 + ( x
2
1
2m
− x
2
0
2m
)2
como uma func¸a˜o f(x0) de x0.
• procurarei f ′(x0) = 0 e depois verei se f ′′(x0) > 0.
A reta que passa por (x0,
x20
2m
) e e´ ortogonal ao gra´fico da para´bola dada tem
equac¸a˜o:
y =
−m
x0
· x+ 2m
2 + x20
2m
.
(posso supor x0 6= 0pois a reta ortogonal ao gra´fico pela origem e´ vertical e na˜o
intersecta o gra´fico da para´bola em nenhum outro ponto).
Essa reta intersecta de novo a para´bola em
x1 = −x0 −
2 ·m2
x0
,
como se descobre resolvendo uma equac¸a˜o quadra´tica.
A expressa˜o do quadrado da distaˆncia entre esses dois pontos admite um boa
simplificac¸a˜o:
φ(x0) := (x1 − x0)2 + ( x
2
1
2m
− x
2
0
2m
)2 =
= (2x0 +
2m2
x0
)2 + (
(x0 +
2m2
x0
)2
2m
− x
2
0
2m
)2 =
=
4(x20 +m
2)3
x40
.
Agora derivo φ(x0) como func¸a˜o de x0, obtendo:
φ′(x0) =
−8 · (x20 +m2)2 · (−x20 + 2m2)
x50
.
Portanto φ′(x0) = 0 para dois valores:
x = ±
√
2 ·m.
Para ver que esses pontos sa˜o mı´nimos locais de φ(x0) (e portanto globais, por falta
de outros candidatos) podemos analisar o sinal de φ′(x0) a` esquerda e a` direita deles.
Para x =
√
2 ·m: note que para x0 < x e pro´ximo dele, temos
−x20 +m2 > 0
e portanto φ′(x0) < 0; para x0 > x e pro´ximo dele, temos φ′(x0) > 0.
Analogamente para x = −√2m.
1 A Afirmac¸a˜o 2.1 do Cap´ıtulo 16 justificara´ essa troca do comprimento pelo quadrado do
comprimento. O que ganhamos nessa troca e´ na˜o precisar derivar a ra´ız quadrada
7. UMA FUNC¸A˜O COM DERIVADA, MAS SEM A SEGUNDA DERIVADA 192
7. Uma func¸a˜o com derivada, mas sem a segunda derivada
Agora que ja´ sabemos derivar quocientes, podemos considerar novamente a func¸a˜o
f : R→ (−1, 1 ), f(x) = x|x|+ 1 ,
estudada na Sec¸a˜o 4 do Cap´ıtulo 5.
Afirmac¸a˜o 7.1. Seja f : R→ (−1, 1 ) dada por f(x) = x|x|+1.
• f ′(x) = 1
(x+1)2
se x > 0; f ′(x) = 1
(−x+1)2 se x < 0 e f
′(0) = 1.
• f ′′(x) = −2
(x+1)3
se x > 0; f ′′(x) = −2
(−x+1)3 se x < 0; mas na˜o existe f
′′(0).
Demonstrac¸a˜o.
No Exerc´ıcio 6.4 do Cap´ıtulo 9 ja´ vimos que f ′(0) = 1.
Se x > 0 podemos usar a regra da derivada do quociente:
f(x)′ = [
x
x+ 1
]′ =
x · (x+ 1)′ − x′ · (x+ 1)
(x+ 1)2
=
1
(x+ 1)2
e analogamente, se x < 0:
f(x)′ = [
x
−x+ 1]
′ =
1
(−x+ 1)2 .
Agora sobre f ′′(x). Se existisse
f ′′(0) := lim
h→0
f ′(h)− f ′(0)
h
.
teriam que exister ambos lmites laterais
lim
h↘0
f ′(h)− f ′(0)
h
e lim
h↗0
f ′(h)− f ′(0)
h
e ademais serem iguais !
Pore´m, ja´ que f ′(0) = 1:
lim
h↘0
f ′(h)− f ′(0)
h
= lim
h↘0
1
(h+1)2
− 1
h
=
= lim
h↘0
(−h− 2) = −2,
enquanto que
lim
h↗0
f ′(h)− f ′(0)
h
= lim
h↗0
1
(−h+1)2 − 1
h
=
= lim
h↗0
(2− h) = 2.
�
CAPI´TULO 14. DERIVADA DA COMPOSIC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES 193
Os gra´ficos de f ′ e de f ′′ sa˜o mostrados a seguir:
2
0
1
-1
-2
x
21 30-2-3 -1
Figura: Note que f ′(x) (vermelho) tem um bico em (0, 1).
Em verde esta´ f ′′(x). Note que f ′′(0) na˜o esta´ definido.
8. Ma´ximos e mı´nimos: o problema do freteiro
Agora que ja´ sabemos derivar um conjunto grande de func¸o˜es, podemos nos colocar
problemas de ma´ximos e mı´nimos mais interessantes.
Imagine que voceˆ esta´ transportando, numa mudanc¸a, um objeto retangular de
largura L dada. Durante o transporte ele na˜o podera´ ser deformado, nem vergado.
Voceˆ vem com ele por um corredor que mede l1 de largura e que dobra em aˆngulo
reto, chegando numa sala de largura l2 = k · l1 ≥ l1, como mostra a Figura a seguir:
Pensando o problema como um problema no plano, na˜o espacial, trata-se de de-
terminar o comprimento ma´ximo do objeto retangular para que voceˆ consiga passa´-lo
para a sala.
8.1. Caso L ≈ 0. Vamos primeiro considerar o caso em que a largura L do
objeto retangular e´ muito pequena (por exemplo, uma vara de alumı´nio de diaˆmetro
muito pequeno mas bem comprida). Vamos pensar enta˜o que L = 0 e o objeto e´
uni-dimensional.
8. MA´XIMOS E MI´NIMOS: O PROBLEMA DO FRETEIRO 194
Primeiro noto que, se consigo passar uma vara de um certo tamanho para a sala
sem ter tocado o ponto C da Figura, enta˜o certamente passaria uma vara um pouco
maior, apoiando-me e pivotando em C.
Por isso, de agora em diante, posso pensar que me apoiarei em C, pivotando nesse
ponto.
A chave da resoluc¸a˜o do problema e´ a seguinte: e´ notar que a restric¸a˜o, o im-
pedimento, para se passar a vara esta´ no mı´nimo da distaˆncia do segmento P1P2, a`
medida que muda θ ∈ [0, pi
2
]. Veja a Figura que segue:
θ
θ
l 1
d 2
C
d 1
P 2
P 1
l 2
Portanto trata-se de descobrir qual o mı´nimo de P1P2. Para isso, penso em
P1P2 = P1C + CP2
e ademais noto (identificando aˆngulos opostos pelo ve´rtice) que:
cos(θ) =
l1
P1C
e sin(θ) =
l2
CP2
.
Ou seja:
P1P2(θ) = P1C(θ) + CP2(θ) =
=
l1
cos(θ)
+
l2
sin(θ)
.
Repare que e´ natural que quando θ ≈ pi
2
(antes de comec¸ar a esquina) tenhamos
CP2(θ) ≈ l2 mas P1C(θ) fique arbitrariamente grande, ou seja na˜o ha´ retric¸o˜es sobre
ele. Pore´m se θ ≈ 0 (apo´s vencer a esquina) a´ı P1C(θ) ≈ l1 enquanto CP2(θ) fica
arbitrariamente grande.
Agora:
P1P2
′
(θ) =
l1 · sin(θ)
cos2(θ)
+
−l2 · cos(θ)
sin2(θ)
=
=
l1 · sin3(θ)− l2 · cos3(θ)
sin2(θ) cos2(θ)
,
e portanto
P1P2
′
(θ) = 0⇔ tan(θ) = ( l2
l1
)
1
3 = k
1
3 .
CAPI´TULO 14. DERIVADA DA COMPOSIC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES 195
Ou seja, a derivada se anula em um u´nico ponto: θ0 = arctan(k
1
3 ).
Para concluir que θ0 e´ o ponto de mı´nimo, basta conferir que
lim
θ↘0
l1
cos(θ)
+
l2
sin(θ)
= +∞
e
lim
θ↗pi
2
l1
cos(θ)
+
l2
sin(θ)
= +∞.
Assim o valor ma´ximo do comprimento da vara que poderemos passar e´
P1P2(θ0) =
l1
cos(θ0)
+
l2
sin(θ0)
.
Vejamos Exemplos:
A Figura a seguir mostra a func¸a˜o P1P2
′
(θ), para l1 = 1.2 e l2 = 2.4, quando
θ0 = arctan(2
1
3 ) ≈ 0.8999083481 e o valor ma´ximo de comprimento e´ 4.99432582244
(plotado como reta horizontal em verde)
0,92
5,06
5,02
0,88
5
x
0,960,8 0,84
5,04
Ja´ a pro´xima figura da´ a func¸a˜o P1P2
′
(θ) no caso l1 = l2 = 1.2, em que θ0 =
arctan(1) = pi
4
≈ e o valor ma´ximo da vara e´ 3.394112550 (horizontal em verde).
3,56
3,48
3,52
3,44
3,4
x
0,850,65 0,90,80,7 0,75
8. MA´XIMOS E MI´NIMOS: O PROBLEMA DO FRETEIRO 196
8.2. Para um objeto retangular. Agora vamos para o caso em que a largura
na˜o pode ser considerada zero, ou seja L > 0, quando o objeto e´ bi-dimensional.
A Figura a seguir da´ a geometria da situac¸a˜o (note que paralelismo/ortogonalidade
de retas transportam o aˆngulo θ para dois triaˆngulos retaˆngulos):
θ
θ
θ
θ
P 1
l 2
P 2
d 1
d 2
D2 − d2 
D1− d1 
C
l 1
Note que
cos(θ) =
l1
D1
e sin(θ) =
l2
D2
,
de onde:
D1 = (D1 − d1) + d1 = l1
cos(θ)
e D2 = (D2 − d2) + d2 = l2
sin(θ)
,
e portanto:
L · tan(θ) + d1 = l1
cos(θ)
e
L
tan(θ)
+ d2 =
l2
sin(θ)
,
o que da´:
(d1 + d2)(θ) =
l1
cos(θ)
+
l2
sin(θ)
− L · (tan(θ) + 1
tan(θ)
) =
=
l1
cos(θ)
+
l2
sin(θ)
− L
sin(θ) · cos(θ) .
Essa e´ a func¸a˜o que quero minimizar, pois seu mı´nimo e´ o impedimento, a obstruc¸a˜o
para que continue se movendo a face externa (relativa a C) do objeto retangular.
A sua derivada e´:
(d1 + d2)
′(θ) =
l1 · sin3(θ)− l2 · cos3(θ)− L · (2 · cos2(θ)− 1)
sin2(θ) cos2(θ)
.
Queremos saber onde (d1 + d2)
′(θ) = 0, e no caso L > 0 devemos usar me´todos
nume´ricos (aproximac¸o˜es). Os programas como Maple/ Xmaxima , etc a resolvem
numericamente.
Aparecem algumas soluc¸o˜es complexas e uma soluc¸a˜o Real positiva.
Para concluir que θ0 e´ o ponto de mı´nimo, basta conferir que
lim
θ↘0
(d1 + d2)(θ) = +∞
CAPI´TULO 14. DERIVADA DA COMPOSIC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES 197
e
lim
θ↗pi
2
(d1 + d2)(θ) = +∞.
Como
lim
θ→0
l1
cos(θ)
= l1
basta analisar
lim
θ→0
l2
sin(θ)
− L
sin(θ) · cos(θ) =
= lim
θ→0
1
sin(θ)
· (l2 − L
cos(θ)
).Mas
lim
θ→0
L
cos(θ)
= L
e como l2 ≥ l1 > L, enta˜o
lim
θ→0
1
sin(θ)
· (l2 − L
cos(θ)
) = lim
θ→0
1
sin(θ)
= +∞.
Quando θ se aproxima de pi
2
pela direita enta˜o e´ o sin(θ) que se aproxima de 1 e o
cos(θ) se aproxima de 0. Analogamente com o caso anterior, se obte´m:
lim
θ↗pi
2
(d1 + d2)(θ) = lim
θ↗pi
2
1
cos(θ)
= +∞.
Tambe´m se pode avaliar (d1 + d2)
′′(θ0) e o valor da´ positivo.
Uma questa˜o aparece naturalmente:
Questa˜o 1: havera´ outro modo de resolver o problema com L > 0 em que a soluc¸a˜o
(θ0) seja dada por um expressa˜o exata ?
Um Exemplo: a figura a seguir da´ a func¸a˜o P1P2(θ), para um objeto de largura
L = 1, quando l1 = 1.2, l2 = 2.4. Nesse caso o ponto θ0 onde P1P2
′
(θ0) = 0 e´
θ0 ≈ 1.065134018 e o valor ma´ximo de comprimento do objeto e´ 2.860890636 (plotado
como reta horizontal em verde).
8. MA´XIMOS E MI´NIMOS: O PROBLEMA DO FRETEIRO 198
2,94
2,9
2,92
1,15
2,88
2,86
x
1,21,11 1,050,950,9
Outra questa˜o e´ natural:
Questa˜o 2: Qual a modelagem matema´tica do problema em dimensa˜o 3 ? Ou seja,
quando damos largura e espessura fixadas, mas podemos girar o objeto no espac¸o ?
Dito de outro modo, o que fazer quando queremos passar um objeto como uma escada
bem comprida numa esquina ?
8.3. A´rea ma´xima do retaˆngulo que dobra a esquina? Qual a a´rea ma´xima
de uma figura retangular que consiga dobrar a esquina, no caso l1 = l2 = 1 ?
Se a figura e´ um quadrado de lado l e´ fa´cil de ver que l = 1 e´ o ma´ximo, como na
Figura a seguir.
C
1
1
Portanto a a´rea ma´xima de um quadrado que dobra essa esquina e´ 1. Mas, e se
fosse um retaˆngulo na˜o-quadrado ?
Como antes vou imaginar os retaˆngulos se apoiando em C.
Pela simetria (l1 = l2 = 1 e o aˆngulo reto na esquina), posso pensar que a figura
retangular que se apoia em C e´ formada de duas partes de mesma a´rea e formato,
uma para a direita de C e outra para a esquerda de C.
CAPI´TULO 14. DERIVADA DA COMPOSIC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES 199
Ademais, para um mesmo per´ımetro, o quadrado e´ o retaˆngulo de maior a´rea (ver
Exerc´ıcio 10.10). Por isso, imagino a` esquerda de C um quadrado de lado l e a` es-
querda de C, outro, tambe´m de lado l, formando enta˜o um retangulo de comprimento
2l e largura l. Veja a Figura:
P 2
C
P 1
l
l
l
l
Agora continuo o lado da figura, de modo a obter triaˆngulos como na figura que
segue:
θ
θ
P 1
C
P 2
l
r
l
1
l
l
Dos triaˆngulos formados obtemos:
1
l + r
= sin(θ) e
l
r
= tan(θ).
Logo
r =
l
tan(θ)
e l + r =
1
sin(θ)
,
ou seja:
l · (1 + 1
tan(θ)
) =
1
sin(θ)
de onde:
l(θ) =
tan(θ)
sin(θ) · (1 + tan(θ)) ,
8. MA´XIMOS E MI´NIMOS: O PROBLEMA DO FRETEIRO 200
Se encontramos um mı´nimo dessa func¸a˜o l(θ), para 0 < θ < pi
2
, esse sera´ o imped-
imento a passar a figura retangular pela esquina, ou seja, dara´ o ma´ximo da medida
l do retaˆngulo (e com esse valor saberemos a a´rea ma´xima da figura retangular).
Mas
l′(θ) =
sin(θ)− cos(θ)
1 + 2 · sin(θ) cos(θ) .
Claramente, para 0 < θ < pi
2
:
l′(θ) = 0 ⇔ sin(θ) = cos(θ)⇔ θ = pi
4
.
Como limθ→0 11+tan(θ) = 1, enta˜o
lim
θ↘0
l(θ) = lim
θ↘0
tan(θ)
sin(θ)
= lim
θ↘0
1
cos(θ)
= 1,
e como limθ→pi
2
1
sin(θ)
= 1, enta˜o
lim
θ↗pi
2
l(θ) = lim
θ↗pi
2
tan θ
1 + tan(θ)
= 1.
Enta˜o
l(
pi
4
) =
1√
2
e´ o mı´nimo global de l(θ). Veja a Figura:
0,9
0,85
0,8
0,75
theta
1,41,210,80,40,2 0,6
Figura: Gra´fico de y = l(θ), θ ∈ (0.1, pi
2
− 0.1), onde pi
4
≈ 0.78
Portanto a a´rea ma´xima da figura retangular que dobra a esquina e´:
2 · ( 1√
2
)2 = 1,
a mesma que encontramos para o quadrado de a´rea ma´xima que dobra essa esquina.
Esta´ ainda um problema em aberto determinar a a´rea ma´xima da figura capaz de
dobrar a esquina, mesmo no caso l1 = l2 = 1, se deixamos livre o formato da figura.
Ou seja, valem figuras feitas de pedac¸os distintos, alguns curvados , etc.
CAPI´TULO 14. DERIVADA DA COMPOSIC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES 201
Ha´ cotas ma´ximas para a a´rea, mas na˜o se obteve ainda explicitamente uma figura
da qual se possa dizer: e´ esta ! E´ conhecido na literatura como o problema do sofa´.
8.4. O caso L ≈ 0, mas com uma parede suave. Retomo o caso em que
L ≈ 0 e ainda na situac¸a˜o bem simples em que l1 = l2 = 1.
Coloque a Figura de um corredor que dobra em aˆngulo reto num sistema de
coordenadas cartesianas (x, y) de modo que:
• o ponto C seja C = (1, 1),
• a parede vertical externa fac¸a parte da reta x = 0,
• a vertical interna, de x = 1,
• a parede horizontal externa fac¸a parte de y = 2 e
• a vertical interna, de y = 1.
Imagine agora que as paredes internas (vertical e horizontal) da Figura sejam
derrubadas e substitu´ıdas por uma parede suave, curvada, que fac¸a parte do gra´fico
de:
y = f�(x) := 1− �
1− x, x > 1,
onde sempre � > 0.
A figura a seguir mostra o que acontece para treˆs escolhas de �:
Gra´ficos de y = 1− �
1−x com � = 1 (vermelho)
� = 0.5 (verde), � = 0.2 (amarelo), y = 1 em azul
Diminuindo � o gra´fico de y = 1− �
1−x vai se apertando sobre a parede horizontal
interna (em azul y = 1): de fato, cada x > 1 fixado,
f�(x) > f�′(x), se � < �
′.
E tambe´m e´ claro que, fixado qualquer � > 0,
lim
x→+∞
f�(x) = 1
Note que se � 6= 0, ainda que pequeno, a func¸a˜o e´ deriva´vel e
f ′�(x) =
�
(x− 1)2 .
8. MA´XIMOS E MI´NIMOS: O PROBLEMA DO FRETEIRO 202
Enta˜o
lim
x↘1
f ′�(x) = +∞,
o que mostra que os gra´ficos de f� va˜o ficando cada vez mais verticais pro´ximos de
x = 1.
Voceˆ tambe´m pode escrever a partir de f�(x):
(y − 1) · (x− 1) = −�,
o que mostra que quando �→ 0 obtemos2:
(y − 1) · (x− 1) = 0
que e´ a unia˜o de retas x = 1 e y = 1.
Ou seja que as paredes internas foram substitu´ıdas por um curvada como na
Figura a seguir (fixado um �) e que a medida que o � fica pequeno mais vai ficando
pro´xima da parede interna original em formato de letra L.
O Problema agora para o freteiro:
Problema: passar a maior vara poss´ıvel, sem entorta´-la, possivelmente apoiando
a vara em algum ponto da parede interna suavizada.
A soluc¸a˜o que proponho e´ a seguinte:
Estrate´gia: usar a resposta do caso original, com parede em forma de letra L,
para solucionar o caso em que a parede e´ suave
Comecemos com l1 = l2 = 1 (depois passo ao geral, l1, l2 quaisquer).
Quero encontrar o ponto C� = (x, f�(x)) e a inclinac¸a˜o da vara V em C� tais que
seja minimizada a distaˆncia P1P2 onde
P1 := V ∩ (x = 0) e P2 := V ∩ (y = 2).
2A curvatura κ� desses gra´ficos e seu limite quando �→ 0 sera˜o estudados na Sec¸a˜o 7 do Cap´ıtulo
28
CAPI´TULO 14. DERIVADA DA COMPOSIC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES 203
Meu candidato a ponto C� sera´ o ponto (x�, f�(x�)) do gra´fico de y = f�(x) que
tem
f ′�(x�) = (
l2
l1
)
1
3 = 1
ja´ que a soluc¸a˜o do caso original era em
θ0 = arctan((
l2
l1
)
1
3 ) = arctan(1) =
pi
4
.
E as retas que se apoiam na parede curvada sera˜o as suas retas tangentes.
As soluc¸o˜es de f ′�(x) = 1 sa˜o
1 + �1/2 e 1−√�.
Fico apenas com
x� := 1 +
√
�,
pois a outra soluc¸a˜o esta´ a` esquerda da reta x = 1.
As retas tangentes de y = f�(x) num ponto geral (x, f�(x)) sa˜o:
y =
�
(x− 1)2 · x+
x2 − 2(1 + �) · x+ 1 + �
(x− 1)2 .
e em particular em (x�, f�(x�)) a reta tangente e´:
y = x− 2�1/2.
A intersecc¸a˜o de y = x− 2√� com y = 2 e´ o ponto:
P2 := (2 + 2
√
�, 2)
enquanto que a intersecc¸a˜o dela com x = 0 e´:
P1 := (0,−2
√
�).
A distaˆncia P1P2 e´ (para l1 = l2 = 1):
m� :=
√
(2 + 2
√
�)2 + (2 + 2
√
�)2 =
√
2 ·
√
(2 + 2
√
�)2,
e note que
lim
�→0
m� = 2
√
2 ≈ 2.828427124,
o comprimento da diagonal do quadrado de lado 2, soluc¸a˜o do casooriginal na figura
em forma de L.
Queremos ver se m� e´ o mı´nimo das distaˆncias P1P2 onde P2 e´ a intersecc¸a˜o de
uma reta tangente gene´rica de y = f�(x) com y = 1 + l2 = 2 e P1 a intersecc¸a˜o da
reta tangente gene´rica com x = 0.
Ora,
P1 = (0,−2�x− �− x
2 + 2x− 1
(x− 1)2 ),
P2 = (
2�x− �+ x2 − 2x+ 1
�
, 2),
e
P1P2(x) =
√
(2�x− �+ x2 − 2x+ 1)2
�2
+ (2 +
2�x− �− x2 + 2x− 1
(x− 1)2 )
2.
8. MA´XIMOS E MI´NIMOS: O PROBLEMA DO FRETEIRO 204
O numerador da frac¸a˜o3 que e´ P1P2
′
(x) e´ dado pelo polinoˆmio de grau 8 em x:
(�x5− 5�x4+10�x3− 10�x2+5�x− �+x6− 6x5+15x4− 20x3+15x2− 6x+1− �3x)·
·2 · (2�x− �+ x2 − 2x+ 1),
e verifica-se que em x0 = 1 +
√
�:
P1P2
′
(1 +
√
�) = 0
pois x0 = 1 +
√
� e´ raiz do fator de grau 5 em x:
�x5 − 5�x4 + 10�x3 − 10�x2 + 5�x− �+ x6 − 6x5 + 15x4 − 20x3 + 15x2 − 6x+ 1− �3x.
Ja´ a enorme frac¸a˜o que e´ P1P2
′′
(x) avaliada em x0 = 1 +
√
� vale:
2
√
2(2�2 + 3 + 15�+ 11
√
�+ 9�3/2)
�(1 +
√
�)3
> 0.
Logo x0 = 1 +
√
� e´ minimo local de P1P2(x).
Mas e´ bem claro que, para cada � fixado:
lim
x↘1
P1P2(x) =
= lim
x↘1
√
(2�x− �+ x2 − 2x+ 1)2
�2
+ (2 +
2�x− �− x2 + 2x− 1
(x− 1)2 )
2 = +∞
assim como
lim
x→+∞
P1P2(x) =
= lim
x→+∞
√
(2�x− �+ x2 − 2x+ 1)2
�2
+ (2 +
2�x− �− x2 + 2x− 1
(x− 1)2 )
2 = +∞.
400
100
300
200
0
x
3,53 42,51,5 2
As func¸o˜es P1P2(x) para � = 1 (vermelho) e � = 0.1 (verde)
x0 = 2 e 1.316227766 resp., m1 = 5.656854249 e m0.1 = 3.722854312.
3Conferi as contas que seguem no Maple, pois ficam grandes.
CAPI´TULO 14. DERIVADA DA COMPOSIC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES 205
9. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 9.1. Usando a regra do quociente e definic¸o˜es/relac¸o˜es trigonome´tricas,
prove que
cot′(x) = − csc2(x),
onde cot(x) = 1
tan(x)
e csc(x) := 1
sin(x)
.
Tambe´m mostre que:
sec′(x) = tan(x) sec(x),
onde sec(x) := 1
cos(x)
.
Exerc´ıcio 9.2. Considere f(x) = x
x2+1
.
i) note que ela esta´ definida em todos os reais.
ii) mostre que limx→+∞ f(x) = limx→−∞ f(x) = 0.
iii) determine seus pontos de ma´ximo e mı´nimo locais (usando f ′(x) e/ou f ′′(x)).
iv) com o item ii) e iii) conclua que os ma´ximos e mı´nimos locais sa˜o globais.
v) determine seus dois pontos de inflexa˜o. (Dica: se voceˆ fizer cuidadosamente o
ca´lculo de f ′′(x) vera´ que ha´ simplificac¸o˜es no numerador e que fica fa´cil determinar
onde f ′′(x) = 0.)
Exerc´ıcio 9.3. Considere o gra´fico da func¸a˜o y = A
x
, onde A > 0 fixado, para x > 0.
Considere retaˆngulos formados pelos pontos (0, 0), P1.P2, P3, onde P1 = (x, 0),
P2 = (x,
A
x
) e P3 = (0,
A
x
).
i) Note que todos eles teˆm a mesma a´rea = A.
ii) Qual deles tem o menor per´ımetro ? (Dica: determine um mı´nimo local e prove
que ele e´ de fato mı´nimo global)
Exerc´ıcio 9.4. Considere as func¸o˜es y = fn(x) := x
2n + 1
x2n
, onde n ∈ N.
i) Determine limx→0 fn(x), limx→+∞ fn(x) e limx→−∞ fn(x).
ii) Determine seus pontos de mı´nimos locais / globais.
iii) Prove que a concavidade desses gra´ficos e´ sempre para cima.
Exerc´ıcio 9.5. Calcule a segunda derivada da func¸a˜o
tan(x) :=
sin(x)
cos(x)
.
Exerc´ıcio 9.6. (resolvido)
Imagine que voce se lembra de cor da fo´rmula do seno da soma:
sin(x+ y) = sin(x) · cos(y) + cos(x) · sin(y),
mas que se esqueceu completamente da fo´rmula do cosseno da soma.
i) Como o Ca´lculo pode obter a formula para o cosseno? Ou seja, como saber
derivar pode ajudar ?
ii) E se sei a do cosseno da soma, como obter a do seno da soma via Ca´lculo ?
Exerc´ıcio 9.7. Um ponto P move-se sobre a curva de equac¸a˜o y3 − x2 = 0.
Determine a taxa de variac¸a˜o da coordenada y no instante em que P = (8, 4), se
a taxa de variac¸a˜o da coordenada x no mesmo instante e´ 1cm/s.
9. EXERCI´CIOS 206
Em outras palavras, a coordenada y ao longo dessa curva aumenta ou diminui, no
ponto P , quando aumentamos a coordenada x.
Obs. voceˆ na˜o precisa esboc¸ar a curva.
CAP´ıTULO 15
Derivadas de func¸o˜es Impl´ıcitas
1. Curvas versus gra´ficos
Comecemos com a equac¸a˜o do c´ırculo de raio r:
x2 + y2 = r2.
E´ importante nos darmos conta de que o c´ırculo como um todo na˜o e´ gra´fico de
nenhuma func¸a˜o f : R→ R1.
Mas, dado um ponto P (x, y) do c´ırculo, uma porc¸a˜o do c´ırculo perto de P pode
ser descrita:
• como gra´fico de y = y(x), para x num intervalo centrado em x, ou
• como gra´fico de x = x(y), para y num intervalo centrado em y.
De fato, ha´ dois casos a considerar:
Caso 1: se P = (x, y) no c´ırculo tem coordenada
x 6= −r, r,
enta˜o perto de P o c´ırculo e´ gra´fico de y =
√
1− x2 ou de y = −√1− x2.
Caso 2: se P e´ (−r, 0) ou P = (r, 0), enta˜o perto de P o c´ırculo e´ gra´fico de x =√
1− y2 ou de x = −√1− y2.
No Caso 1 podemos calcular a derivada da func¸a˜o y = y(x), para x num intervalo,
do seguinte modo: derivo a expressa˜o x2 + y(x)2 = r2 pela regra da composta:
(x2 + y(x)2)′ = (r2)′ ⇔ 2x+ 2y(x)y′(x) = 0⇔
⇔ y′(x) = −2x
2y(x)
.
E agora substituindo y(x) por
√
1− x2, se y > 0, ou por y = −√1− x2 se y < 0,
temos:
y′(x) =
−2x
2y(x)
=
−x√
1− x2 , se y > 0,
ou
y′(x) =
−2x
2y(x)
=
x√
1− x2 , se y < 0.
1Na˜o confunda essa afirmac¸a˜o com o fato do c´ırculo ser uma curva de n´ıvel r2 da func¸a˜o F :
R2 → R, F (x, y) = x2 + y2.
207
1. CURVAS VERSUS GRA´FICOS 208
No Caso 2 podemos obter a derivada da func¸a˜o x = x(y), para y num intervalo , do
seguinte modo: derivo a expressa˜o (x(y))2 + y2 = r2 em y, pela regra da composta:
( (x(y))2 + y2 )′ = (r2)′ ⇔ 2x(y)x′(y) + 2y = 0⇔
⇔ x′(y) = −2y
2x(y)
.
E agora substituindo x(y) por
√
1− y2, se x > 0, ou por x = −√1− y2 se x < 0:
x′(y) =
−2y
2x(y)
=
−y√
1− y2 , se x > 0,
ou
x′(y) =
−2y
2x(y)
=
y√
1− y2 , se x < 0.
Isso que fizemos se chama derivac¸a˜o impl´ıcita. E´ u´til mesmo quando na˜o sabemos
a expressa˜o expl´ıcita de y = y(x) ou de x = x(y).
Por exemplo, se nos damos uma curva no plano atrave´s de uma equac¸a˜o do tipo:
x2y2 − 3y2 + y4 − 8y + 2y3 − 4 = 0
verificamos facilmente que (0, 2) e´ um ponto dessa curva.
Sera´ que, num pequeno trecho perto de (0, 2) temos a curva dada como um gra´fico
y = y(x) ? Ou seja, ∀x num intervalo aberto centrado em x = 0, sera´ que
x2y(x)2 − 3y(x)2 + y(x)4 − 8y(x) + 2y(x)3 − 4 = 0 ?.
Veremos que neste Exemplo esse e´ o caso (grac¸as ao Teorema 2.1 a seguir).
Enta˜o supondo por um momento que sabemos que ha´ um gra´fico y = y(x) perto
de (0, 2) qual o valor de y′(x) em (x, y) = (0, 2) ?
Fazemos a derivada em x:
(x2y(x)2 − 3y(x)2 + y(x)4 − 8y(x) + 2y(x)3 − 4)′ = 0⇔
2xy(x)2 + x22y(x)y′(x)− 6y(x)y′(x) + 4y(x)3y′(x)− 8y′(x) + 6y(x)2y′(x) = 0
⇔ 2xy(x)2 + y′(x)[x22y(x)− 6y(x) + 4y(x)3 − 8 + 6y(x)2] = 0
⇔ y′(x) = −2xy(x)
2
x22y(x)− 6y(x) + 4y(x)3 − 8 + 6y(x)2
que da´ em (x, y) = (0, 2)
y′(0) =
0
48
= 0,
ou seja que o gra´fico y = y(x) em torno de (x, y) = (0, 2) tem reta tangente horizontal
nesse ponto.
CAPI´TULO 15. DERIVADAS DE FUNC¸O˜ES IMPLI´CITAS 209
2. Teorema da func¸a˜o impl´ıcita
Como saberemos se lidamos com y = y(x) ou x = x(y) em torno de um ponto
P = (x, y) de uma curva F (x, y) = 0 ?
O Teorema 2.1 a seguir da´ uma resposta (sua prova se veˆ em Ana´lise Matema´tica):
Para poder enuncia´-lo vamos introduzir um s´ımbolo novo: dada uma expressa˜o
F (x, y) em duas varia´veis, defino ∂F (x,y)
∂x
como sendo a derivada dessa expressa˜o em
x (se houver), onde se considera y fixado. Por exemplo: se F (x, y) = yx2 + y2 enta˜o
∂F (x,y)
∂x
= 2yx. Se F (x, y) = y2 enta˜o ∂F (x,y)
∂x
≡ 0. Se F (x, y) = exp(x)y2, enta˜o
∂F (x,y)
∂x
= exp(x)y2.
E analogamente, ∂F (x,y)
∂y
se define como a derivada dessa expressa˜o em y (se hou-
ver), onde se considera x fixado.
Teorema 2.1. (Teorema da func¸a˜o Impl´ıcita).
Seja F(x, y) um polinoˆmio em duas varia´veis.2
Suponha que exista (x, y) com F (x, y) = 03
Se ∂F (x,y)
∂y
6= 0 quando avaliada em (x, y), enta˜o para x, y em (possivelmente pe-
quenos) intervalos abertos centrados em x, y:
• a curva F (x, y) = 0 e´ um gra´fico do tipo y = y(x) e
• y′(x) = −
∂F (x,y)
∂x
∂F (x,y)
∂y
.
Se ∂F (x,y)
∂x
6= 0 quando avaliada em (x, y), enta˜o para x, y em (possivelmente pe-
quenos) intervalos abertos centrados em x, y::
• a curva F (x, y) = 0 e´ um gra´fico do tipo x = x(y) e
• x′(y) = −
∂F (x,y)
∂y
∂F (x,y)
∂x
.
Esse Teorema tem va´rios detalhes, que se veˆem melhor nos Exemplos.
Exemplo 2.1. No c´ırculo F (x, y) = x2+y2−r2 = 0 temos ∂F (x,y)
∂y
= 2y 6= 0 se y 6= 0.
Nesse caso:
y′(x) = −
∂F (x,y)
∂x
∂F (x,y)
∂y
= − 2x
2y(x)
,
como vimos antes.
Mas se P no c´ırculo tem y = 0 enta˜o P = (−r, 0) ou P = (r, 0) e nesse caso
∂F (x,y)
∂x
= 2x 6= 0. Enta˜o e´ preciso usar func¸o˜es x = x(y) para descrever o c´ırculo
como gra´fico.
O Teorema 2.1 tem sutilezas que ficam evidentes no Exemplo a seguir:
2ha´ verso˜es mais gerais desse enunciado, onde F e´ muito geral, sujeito apenas a certas exigeˆncias
de derivabilidade
3Na˜o queremos ter conjuntos vazios como F (x, y) = x2 + y2 + 3 = 0.
2. TEOREMA DA FUNC¸A˜O IMPLI´CITA 210
Exemplo 2.2. Voltando ao exemplo que analisamos acima,
F (x, y) = x2y2 − 3y2 + y4 − 8y + 2y3 − 4 = 0
temos
∂F (x, y)
∂x
= 2xy2,
que se anula em P = (0, 2), mas temos
∂F (x, y)
∂y
= x22 y − 6 y + 4 y3 − 8 + 6 y2
que na˜o se anula em P = (0, 2). Logo ha´ um gra´fico y = y(x) em torno de (0, 2) e ja´
calculamos y′(0) = 0 acima.
Ate´ agora na˜o comentei o fato de que P = (0,−1) tambe´m satisfaz:
x2y2 − 3y2 + y4 − 8y + 2y3 − 4 = 0.
Isso e´ interessante pois diz que para o mesmo valor x = 0 ha´ dois valores y que
satisfazem F (x, y) = 0 !
Ou seja que e´ so´ num pequeno entorno de (0, 2) que pode ser descrito como gra´fico
de y = y(x) , mas na˜o todo o conjunto F (x, y) = 0.
Por outro lado, em (0,−1) tanto ∂F (x,y)
∂x
= 2xy2 quanto
∂F (x, y)
∂y
= x22 y − 6 y + 4 y3 − 8 + 6 y2
se anulam !
Nessa caso o Teorema 2.1 na˜o tem nada a dizer ! Ele na˜o pode garantir nenhum
tipo de gra´fico local y = y(x) ou x = x(y).
Ainda bem que o Teorema se calou nessa caso, pois em (0,−1) a curva F (x, y) = 0
tem uma espe´cie de lac¸o, que na˜o se deixa descrever nem como gra´fico de y = y(x)
nem como gra´fico de x = x(y).
A Figura a seguir da´ uma ide´ia da curva, que na˜o por acaso se chama concho´ide:
y
1
2
x
0
40 2-2
-2
-1
-4
CAPI´TULO 15. DERIVADAS DE FUNC¸O˜ES IMPLI´CITAS 211
Figura: Em (0, 2) vemos um pequeno gra´fico horizontal y = y(x). Mas
em (0,−1) forma-se um lac¸o.
Exemplo 2.3. O caso de
x3 + xy2 − 3x
2
2
− y2 = 0
expo˜e outra sutileza do Teorema 2.1.
Note que essa curva tem sobre o eixo dos x exatamente dois pontos: (0, 0) e (0, 3
2
).
Em (0, 3
2
) temos (como o leitor pode verificar)
∂F (x, y)
∂y
= 0,
∂F (x, y)
∂x
=
9
4
e o Teorema 2.1 diz que a curva F (x, y) = 0 se representa localmente como gra´fico
x = x(y). Ademais calcula x′(3
2
) como
x′(
3
2
) = − 0
(9
4
)
= 0,
ou seja que o gra´fico e´ vertical.
Mas em (0, 0) temos
∂F (x, y)
∂y
=
∂F (x, y)
∂x
= 0.
De fato esse ponto e´ completamente isolado do resto da curva ! Ou seja, na˜o pode
ser visto como gra´fico de uma func¸a˜o cujo domı´nio e´ um intervalo aberto em torno de
x = 0.
Na Figura a seguir o Maple na˜o enxerga o (0, 0) na curva !
2
0
-2
x
1,51,41,31,21,1
y
3
1
-1
-3
3. RETA TANGENTE DE CURVA E PLANO TANGENTE DE SUPERFI´CIE212
3. Reta tangente de curva e plano tangente de superf´ıcie
O Teorema 2.1 nos diz que, se uma curva F (x, y) = 0 e´ localmente, em torno de
(x, y), da forma y = y(x) enta˜o
y′(x) = −
∂F
∂x
(x, y)
∂F
∂y
(x, y)
.
A reta tangente em (x, y) ao pedac¸o de gra´fico y = y(x) foi definida na Sec¸a˜o 2 do
Cap´ıtulo 8 como:
y = y′(x) + (y − y′(x) · x),
ou seja,
y = −
∂F
∂x
∂F
∂y
· x+ (y −
∂F
∂x
∂F
∂y
· x).
Multiplicando por ∂F
∂y
(x, y) e simplificando obtemos:
∂F
∂x
(x, y) · (x− x) + ∂F
∂y
(x, y) · (y − y) = 0,
por isso defino:
Definic¸a˜o 3.1. Seja F (x, y) = 0 curva contendo o ponto (x, y) para o qual ∂F
∂x
(x, y) 6=
0 ou ∂F
∂y
(x, y) 6= 0. Enta˜o sua reta tangente em (x, y) e´ definida por:
∂F
∂x
(x, y) · (x− x) + ∂F
∂y
(x, y) · (y − y) = 0,
Podemos dar uma definic¸a˜o ana´loga quando ao inve´s de uma curva no plano (x, y)
tivermos uma superf´ıcie no espac¸o (x, y, z), dada em forma impl´ıcita pela equac¸a˜o
F (x, y, z) = 0:
Definic¸a˜o 3.2.
Seja F (x, y, z) = 0 contendo o ponto (x, y, z).
Se ∂F
∂x
(x, y, z)) 6= 0 ou ∂F
∂y
(x, y, z) 6= 0 ou ∂F
∂y
(x, y, z) 6= 0, enta˜o seu plano tangente
em (x, y, z) e´ definido por:
∂F
∂x
(x, y, z) · (x− x) + ∂F
∂y
(x, y, z) · (y − y) + ∂F
∂z
(x, y, z) · (z − z) = 0.
Exemplos:
• por essa definic¸a˜o a esfera de raio 1 dada por x2 + y2 + z2 − 1 = 0 tem em
(0, 0, 1) o plano tangente
∂F
∂z
(0, 0, 1) · (z − 1) = 2 · (z − 1) = 0,
que e´ o mesmo que o plano horizontal z = 1 no espac¸o (x, y, z).
CAPI´TULO 15. DERIVADAS DE FUNC¸O˜ES IMPLI´CITAS 213
• a equac¸a˜o z2 − x2 − y2 = 0 define uma superf´ıcie conhecida como cone de
duas folhas. No ponto (0, 0, 0):
∂F
∂x
=
∂F
∂y
=
∂F
∂x
= 0,
e nele portanto na˜o esta´ definido um plano tangente. Por isso esse ponto e´
especial ou singular.
4. Tangentes, pontos racionais de cu´bicas e co´digos secretos
Consideremos uma cu´bica em forma impl´ıcita, ou seja, uma curva dada por:
y2 − x3 − b x− a = 0, a, b ∈ R,
ou equivalentemente:
y2 = x3 + b x+ a a, b ∈ R.
Quando se trabalha com computadores, o melhor dos mundos e´ lidar com nu´meros
Racionais. E duas questo˜es muito importantes e atuais, que esta˜o relacionadas com
a aplicac¸a˜o da matema´tica a` criptografia, sa˜o:
Questa˜o 1: Seja a curva dada por
y2 = x3 + b x+ a a, b ∈ Q.
Quem sa˜o ou quantos sa˜o os pontos P = (x, y) da curva que teˆm ambas coordenadas
Racionais ?
Questa˜o 2: Dado um ponto P dessa curva com coordenadas Racionais, como
produzir outros pontos dela que tambe´m tenham coordenadas Racionais ?
Usaremos a notac¸a˜o P = (x, y) ∈ Q×Q para dizer que ambas as coordenadas sa˜o
Racionais.
A seguinte Afirmac¸a˜o e´ um me´todo para atacar a segunda questa˜o:
Afirmac¸a˜o 4.1. (Me´todo das secantes e das tangentes)
Considere uma cu´bica com coeficientes Racionais da forma
F (x, y) = y2 − x3 − b x− a a, b ∈ Q.
• i) sejam P1 = (x1, y1) ∈ Q × Q e P2 = (x2, y2) ∈ Q × Q de F (x, y) = 0,
distintos. Se a reta que os liga na˜o e´ vertical enta˜o ela intersecta a cu´bica
em P3 = (x3, y3) ∈ Q×Q.
• ii) Suponha que ∂F
∂y
= 2y na˜o se anula em P = (x, y) ∈ Q×Q. Enta˜o a reta
tangente a F (x, y) em P intersecta a cu´bica num ponto Q que tambe´m tem
coordenadas Racionais.
Demonstrac¸a˜o.
De i):
4. TANGENTES, PONTOS RACIONAIS DE CU´BICAS E CO´DIGOS
SECRETOS 214
A reta ligando P1 e P2 e´:
y = (
y
2
− y
1
x2 − x1
) · x+ x2y1 − x1y2
x2 − x1
=
= A · x+ b,
ou seja, tem coeficientes angular A e linear B Racionais.
Queremos resolver a equac¸a˜o
(Ax+B)2 − x3 − b x− a = 0,
mas
(Ax+B)2 − x3 − b x− a = (x− x1) · (x− x2) · q(x),
onde o grau do polinoˆmio q(x) e´ 3− 2 = 1.
Mas, como se viu na prova do Teorema 7.1 do Cap´ıtulo 6 e na Digressa˜o que se
seguiu, os coeficientes de q(x) sa˜o Racionais.
Logo a terceira soluc¸a˜o e´ a ra´ız de
p(x) =
p1
q1
· x+ p2
q2
= 0
e portanto produz um ponto P3 da cu´bica com coordenadas Racionais.
De ii):
Pelo Teorema 2.1, F (x, y) localmente em torno de P e´ um gra´fico de y = y(x),
com
y′(x) = −
∂F
∂x
∂F
∂y
= −−3x
2 − b
2y.
Como b, x, y ∈ Q enta˜o y′(x) avaliada em P = (x, y) e´ um nu´mero Racional, que
denoto aqui de A.
A equac¸a˜o da reta tangente e´ do tipo:
rP : y = Ax+B
onde o valor do coeficiente linear B se obteˆm de:
y = Ax+B ⇔ B = y − Ax,
e portanto B tambe´m e´ um nu´mero Racional.
As coordenadas x dos pontos na intersecc¸a˜o F (x, y) ∩ rP sa˜o as soluc¸o˜es de:
F (x, y) = 0 e y = Ax+B,
ou seja, soluc¸o˜es de
(Ax+B)2 − x3 − b x− a = 0,
ou, equivalentemente,
−x3 + A2 x2 + (2AB − b) x+B2 − a = 0.
Agora e´ o momento de lembrar que a coordenada x de P = (x, y) e´ uma ra´ız dupla
ou tripla desse polinoˆmio, ja´ que rP e´ tangente a` curva F (x, y) nesse ponto (tripla
seria o caso de um ponto de inflexa˜o).
CAPI´TULO 15. DERIVADAS DE FUNC¸O˜ES IMPLI´CITAS 215
No caso em que x e´ ra´ız dupla exatamente, pelo Teorema 4.1 do Cap´ıtulo 13:
−x3 + A2 x2 + (2AB − b) x+B2 − a = (x− x)2 · q(x).
onde o grau do polinoˆmio q(x) e´ 3 − 2 = 1. Ademais os coeficientes de q(x) sa˜o
Racionais (Teorema 7.1, Cap´ıtulo 6 e Digressa˜o).
Ou seja, q(x) = q1 x+ q0, com q0, q1 ∈ Q e a ra´ız de q(x) e´
−q0
q1
.
O ponto Q 6= P buscado e´ portanto:
Q = (
−q0
q1
, A (
−q0
q1
) +B ),
que nitidamente tem coordenadas Racionais.
Se P e´ ponto de inflexa˜o, enta˜o Q = P , ou seja,
rP ∩ F (x, y) = {P,Q} = {P}.
�
Exemplo 4.1. Considere a curva analisada por Billing, em 1937:
y2 − x3 + 82 x = 0.
Fora o o´bvio (0, 0) ha´ treˆs pontos com coordenadas Racionais relativamente simples
P1 = (−1, 9), P2 = (−8, 12), P3 = (49
4
,
231
8
).
A Figura a seguir mostra como o Maple plota para essa curva:
15
y
50
10
x
5-5
0
-50
20
100
-100
0
Vou implementar neste Exemplo o que a prova da Afirmac¸a˜o 4.1 nos ensinou (as
contas tediosas foram feita com o Maple).
4. TANGENTES, PONTOS RACIONAIS DE CU´BICAS E CO´DIGOS
SECRETOS 216
A reta tangente ao gra´fico local y = y(x) de F (x, y) = 0 em P1 = (−1, 9) e´:
rP1 : −
79
18
x+
83
18
.
A intersecc¸a˜o rP1 ∩ F (x, y) = {P1, Q1} tem
Q1 = (
6889
324
,−517339
5832
) ∼ (21,−88).
Ver a Figura:
y
50
100
0
-100
x
1510 205-5-10
-50
0
Agora podemos continuar o processo.
Tomo Q1, a tangente rQ1 e determino rQ1 ∩ F (x, y) = {q1, Q2} onde Q2 tera´
coordenadas Racionais.
Fac¸o as contas e obtenho:
rQ1 : −
44588977
6208068
x+
4653507299
72701712
Q2 = (
3143435938720609
346860974633616
, −6994054838592555031151
6460009551215289641664
) ∼ (9,−1).
A Figura a seguir mostra isso:
CAPI´TULO 15. DERIVADAS DE FUNC¸O˜ES IMPLI´CITAS 217
y
50
100
x
0
2010-10 155
-100
-50
-5 0
Um Teorema de Billing diz que se continuamos o processo, agora em Q2 e assim
sucessivamente, produzimos uma infinidade de pontos da curva com coordenadas
Racionais.
O mesmo ocorreria se tive´ssemos comec¸ado com P2 ou P3.
4.1. Co´digos secretos.
Agora imagine que algue´m quer criar uma operac¸a˜o de duplicac¸a˜o muito estranha.
Poderia definir que, para4
P1 := (−1, 9),
2 ? P1 := Q1 = (
6889
324
,−517339
5832
).
E depois, do mesmo modo5
2 ? Q1 := Q2
Ou seja:
4 ? P1 = (
3143435938720609
346860974633616
, −6994054838592555031151
6460009551215289641664
).
Agora note que:
• 4 ? P1 e´ obtido a partir de P1 de modo exato (por ser Racional), computa-
cionalemte de modo ra´pido, apesar de ser completamente diferente de P1
• mas a natureza de 4 ? P1 torna-se impenetra´vel se na˜o digo quem e´ P1 ou
qual a equac¸a˜o da cu´bica que usei.
4De fato na teoria de curvas el´ıpticas se tomaria no lugar de Q1 o ponto da cu´bica que e´ sime´trico
de Q1 em relac¸a˜o ao eixo dos x.
5Novamente, se usa de fato que o ponto da cu´bica que e´ sime´trico de Q2 em relac¸a˜o ao eixo dos
x.
5. DERIVAC¸A˜O IMPLI´CITA DE SEGUNDA ORDEM 218
• essa enorme assimetria entre a passagem
P1 7→ 4 ? P1
e a passagem
4 ? P1 7→ P1
e´ a base de um co´digo secreto poderoso.
O leitor que se sentiu instigado deve procurar enta˜o estudar a teoria de criptografia
sobre as chamadas cu´bicas na forma de Wierstrass.
5. Derivac¸a˜o impl´ıcita de segunda ordem
Na Sec¸a˜o 5 do Cap´ıtulo 3 associamos a Figura:
y
1
2
0
-2
-1
x
21,50,50 1-1 -0,5
a` curva y2 − x3 − 1 = 0. Mas tem algo que na˜o ficou plenamente justificado. Parece
na Figura que ha´ 2 pontos de inflexa˜o, em torno de x ∼ 0.8.
Vamos considerar ao inve´s daquela curva, outra bem parecida (mas mais adequada
para nossas contas):
F (x, y) = y2 − x3 − 4x = 0.
A inflexa˜o deve aparecer onde a segunda derivada y′′(x) muda de sinal, ou seja
onde y′′(x) = 0.
So´ que ja´ sabemos que aqui na˜o se trata de um gra´fico, mas apenas de uma curva.
Por isso precisamos da derivac¸a˜o impl´ıcita, so´ que agora para calcular a segunda
derivada.
Ja´ sabemos que se y 6= 0:
y′(x) = −
∂F
∂x
∂F
∂y
=
3x2 + 4
2y
.
Enta˜o calculo
y′′(x) = (
3x2 + 4
2y
)′
pela regra do quociente, obtendo:
y′′(x) =
12x · y − (3x2 + 4) · 2y′(x)
4y2
=
CAPI´TULO 15. DERIVADAS DE FUNC¸O˜ES IMPLI´CITAS 219
=
12x · y − (3x2 + 4) · 2( 3x2+4
2y
)
4y2
=
=
12xy2 − 9x4 − 24x2 − 16
4y3
.
Preciso ver as ra´ızes de y′′(x), ou seja, as ra´ızes de
12x(x3 + 4x)− 9x4 − 24x2 − 16
ja´ que posso substituir
y2 = x3 + 4x.
Ora,
12x(x3 + 4x)− 9x4 − 24x2 − 16 = 3x4 + 24x2 − 16,
que sabemos resolver (pense em z = x2 e resolva 15z2 + 72z − 16 = 0).
Assim obtenho as ra´ızes:
−2
3
√
−9 + 6
√
3,
2
3
√
−9 + 6
√
3, −2
3
√
−9− 6
√
3,
2
3
√
−9− 6
√
3,
das quais a u´nica Real e positiva e´
x :=
2
3
√
−9 + 6
√
3 ∼ 0.78.
Para este valor de x ha´ dois valores de y na curva y2 = x3 + 4x:
2
9
√
6(−9 + 6
√
3)3/2 + 54
√
−9 + 6
√
3 ∼ 1.9
e
−2
9
√
6(−9 + 6
√
3)3/2 + 54
√
−9 + 6
√
3 − 1.9
Agora, ja´ que ja´ temos y′(x), e´ um trabalho tedioso achar a equac¸a˜o da reta tangente
em por exemplo:
(
2
3
√
−9 + 6
√
3 ,
2
9
√
6(−9 + 6
√
3)3/2 + 54
√
−9 + 6
√
3 ).
Com essa equac¸a˜o posso plotar a cu´bica e sua tangente, que mostra bem que ha´
uma inflexa˜o nesse ponto:
6. EXERCI´CIOS 220
y
4
8
0
-8
x
51 40-2
-4
2 3-1
6. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 6.1. (resolvido)
Considere F (x, y) = y2 − x3 = 0. Considere o ponto (1, 1) dessa curva.
i) usando o Teorema 2.1 verifique que perto de (1, 1) essa curva e´ o gra´fico de uma
func¸a˜o y = y(x).
ii) calcule a derivada da func¸a˜o do item i) em (1, 1).
iii) note que (1,−1) tambe´m esta´ na curva F (x, y) = y2 − x3 = 0 e portanto ela
na˜o e´ globalmente um gra´fico de y = y(x).
Exerc´ıcio 6.2. Considere a cu´bica F (x, y) = y2 − x3 − 4x = 0.
Um fato muito bonito e´ que esta curva so´ tem 3 pontos com coordenadas Racionais:
(0, 0), (2, 4) e (2,−4).
Suponha esse fato.
Por outro lado ∂F (x,y)
∂y
= 2y na˜o se anula em (2, 4) nem em (2,−4), o que nos da´
a oportunidade de usar o me´todo das tangentes (Afirmac¸a˜o 4.1) para obter pontos
racionais a partir deles.
i) conclua sem fazer nenhuma conta que as retas tangentes a F (x, y) em (2, 4) e
em (2,−4) passam pela origem (0, 0).
ii) fac¸a as contas e obtenha as equac¸o˜es dessas duas retas tangentes.
CAP´ıTULO 16
Func¸o˜es inversas e suas derivadas
Vimos na Sec¸a˜o 1.2 do Cap´ıtulo 5 da Parte 1, que quando referidos ao mesmo
sistema cartesiano os gra´ficos de y = f(x) e de sua inversa y = f−1(x) , enta˜o elas se
relacionam por uma reflexa˜o na diagonal y = x.
Logo uma reta tangente ao gra´fico y = f(x) de coeficiente angular a = B/A 6= 0 se
transforma numa reta tangente ao gra´fico refletido, mas agora de coeficiente angular
1
a
= A/B (ja´ que os acre´scimos na coordenada x e y que definem A e B ficam
invertidos quando refletimos na diagonal).Ilustro isso nas Figura a seguir:
1
0,6
-0,2
0,8
0,4
-0,4
x
0,80,60,40
0
0,2
0,2
Figura: Reflexa˜o na diagonal de um gra´fico e de sua reta tangente
Quero motivar com isso o seguinte fato:
Teorema 0.1. Seja y = f(x) deriva´vel com f ′(x) 6= 0 e com uma func¸a˜o inversa
f−1(x) tambe´m deriva´vel. Enta˜o:
f−1
′
(x) =
1
f ′(f−1(x))
.
Demonstrac¸a˜o. Considero a composic¸a˜o entre f e g = f−1, que resulta em uma
anular o efeito da outra:
(f ◦ f−1)(x) ≡ x.
Enta˜o o Teorema 1.1 da´:
(f ◦ f−1)′(x) = f ′(f−1(x)) · (f−1)′(x).
Mas por outro lado:
1 ≡ (f ◦ f−1)′(x)
221
1. DERIVADA DE Y =
√
X 222
pois (f ◦ f−1)(x) ≡ x. Asim que:
1 ≡ f ′(f−1(x)) · (f−1)′(x),
de onde
(f 1)
′
(x) =
1
f ′(f−1(x))
.
�
1. Derivada de y =
√
x
Vejamos o que e´ a derivada de y =
√
x de dois modos distintos, um pela definic¸a˜o
e outro lembrando que
√
:R>0 → R>0 e´ a inversa de y = x2 : R>0 → R>0.
Pela definic¸a˜o temos:
√
x
′
(x) := lim
h→0
√
x+ h−√x
h
e para x > 0 e h com |h| suficientemente pequeno para que x+ h > 0, escrevo:
lim
h→0
√
x+ h−√x
h
= lim
h→0
√
x+ h−√x
h
·
√
x+ h+
√
x√
x+ h+
√
x
.
Agora uso que (�+4) · (�−4) = �2 −42, para obter que:
√
x
′
(x) = lim
h→0
x+ h− x
h · (√x+ h+√x) =
= lim
h→0
1√
x+ h+
√
x
.
E agora uso a continuidade de y =
√
x (por ser inversa de func¸a˜o cont´ınua definida
num intervalo) para fazer:
√
x
′
(x) = lim
h→0
1√
x+ h+
√
x
=
1
2 · √x.
Observe que
lim
x↘0
1
2 · √x = +∞
o que diz que o gra´fico de y =
√
x fica vertical na origem.
Agora quero comparar esse resultado com o que obtemos pelo Teorema 0.1 sobre
a derivada da inversa.
Seja f : R>0 → R>0 dada por f(x) = x2 e sua inversa f−1(x) = √x. Como
f ′(x) = 2x, enta˜o
f ′(
√
x) = 2 · √x
e portanto pelo Teo 0.1:
√
x ′(x) =
1
2 · √x,
como quer´ıamos.
CAPI´TULO 16. FUNC¸O˜ES INVERSAS E SUAS DERIVADAS 223
2. Distaˆncia versus quadrado da distaˆncia
No Cap´ıtulo 11 usamos a func¸a˜o que dava o quadrado da distaˆncia desde um
ponto, ao inve´s da distaˆncia ela mesma, para evitar derivar a ra´ız quadrada, que
aparece na definic¸a˜o de distaˆncia (euclidiana) entre dois pontos.
A Afirmac¸a˜o a seguir justifica isso:
Afirmac¸a˜o 2.1. Seja f : [a, b]→ R, deriva´vel, com f(x) > 0 ∀x ∈ [a, b].
Enta˜o f tem ponto de mı´nimo/ma´ximo global em x ∈ [a, b] se e somente se f 2(x)
tem tem ponto de mı´nimo/ma´ximo global em x ∈ [a, b].
Demonstrac¸a˜o.
Se a e´ tal que 0 < f(a) ≤ f(x) ∀x ∈ [a, b] enta˜o 0 < f 2(a) ≤ f 2(x), pois a func¸a˜o
y = z2 e´ estritamente crecente em (0,+∞).
Se a e´ tal que 0 < f 2(a) ≤ f 2(x) ∀x ∈ [a, b] enta˜o
0 <
√
f 2(a) ≤
√
f 2(x),
pois a func¸a˜o y =
√
z e´ estritamente crescente em (0,+∞), ja´ que sua derivada e´
1
2
√
z
> 0. Ou seja, 0 < f(a) ≤ f(x) ∀x ∈ [a, b].
Analogamente para o caso 0 < f(x) ≤ f(a) e para o caso do outro extremo b de
[a, b].
Se x e´ ponto do intervalo aberto (a, b) que e´ mı´nimo global de f enta˜o f ′(x) = 0,
f ′(x) ≤ 0 num pequeno intervalo a` esquerda de x e f ′(x) ≥ 0 num pequeno intervalo
a` direita de x. Mas enta˜o
(f 2)′(x) = 2 · f(x) · f ′(x) = 0
e (f 2)′ tem os mesmo sinais que f ′ pro´ximos de x. Logo x e´ mı´nimo global de f 2(x).
Reciprocamente, se x ∈ (a, b) e´ mı´nimo global de f 2(x) enta˜o (f 2)′(x) = 0, com
(f 2)′ ≤ 0 a` esquerda de x e (f 2)′ ≥ 0 a` direita de x. Mas como
(f 2)′(x) = 2 · f(x) · f ′(x) e f(x) > 0,
enta˜o f ′(x) = 0 e os sinais de f ′ pro´ximo a x sa˜o os mesmos de (f 2)′: concluo que x
e´ mı´nimo global de f(x).
Analogamente para ponto do intervalo aberto (a, b) que seja ma´ximo global de f
ou f 2. �
O Exerc´ıcio 6.10 usa de outro modo o que aprendemos na prova da Afirmac¸a˜o 2.1.
3. Derivada da “func¸a˜o”x
1
n , de x
m
n e de x
−m
n
Seja a func¸a˜o f(x) = xn. Se n e´ par, precisamos restringir f a um semi-eixo para
termos uma func¸a˜o inversa f−1 (uma ra´ız n-e´sima).
Com essa ressalva, considere g = f−1 a inversa de f(x) = xn. Ou seja g(f(x)) = x.
A notac¸a˜o usual para g(x) e´ g(x) = x
1
n , feita de propo´sito a que valha
g(f(x)) = (xn)
1
n = x = x
n
n .
3. DERIVADA DA “FUNC¸A˜O”X
1
N , DE X
M
N E DE X
−M
N 224
Afirmac¸a˜o 3.1. Considere a func¸a˜o x
1
n , para n ∈ N, (com a ressalva acima). Enta˜o
para x 6= 0 vale que
(x
1
n )
′
(x) =
1
n
x
1
n
−1.
Demonstrac¸a˜o.
O Teorema 0.1 diz que para x 6= 0, combinado com a derivada de xn, da´:
(x
1
n )
′
=
1
n · (x 1n )n−1
.
De a´ı em diante basta fazer algumas manipulac¸o˜es (usando (x
1
n )k = x
k
n ):
x
1
n
′
=
1
n
· 1
x
n−1
n
=
1
n
· x−n−1n = .
=
1
n
· x 1−nn = 1
n
· x 1n−1.
�
Podemos agora derivar func¸o˜es do tipo x
m
n com m,n ∈ N usando as regras da
composta e da inversa, pois
x
m
n = (x
1
n )m.
Enta˜o pelo Teorema 1.1 (a regra da composta) e o que ja´ sabemos para x
1
n :
(x
1
n )
m′
= m · (x 1n )m−1 · ( 1
n
· x 1n−1) =
=
m
n
· xm−1n · x 1n−1 = m
n
· xmn −1
Para podermos derivar func¸o˜es do tipo x−
m
n com m,n ∈ N podemos escrever
x−
m
n = 1
x
m
n
e usar o que sabemos de quocientes e de x
m
n :
(
1
x
m
n
)
′
=
−m
n
x
m
n
−1
x
2m
n
= −m
n
· xmn −1− 2mn =
−m
n
· x−mn −1.
Qual o sentido de dizermos que em geral se f(x) = xα enta˜o f ′(x) = αxα−1 ?
E se α 6∈ Q? Por exemplo α = √2 ou α = pi? Apo´s darmos um sentido a essa
expressa˜o (e precisaremos da func¸a˜o exponencial para isso), sera´ que essa func¸a˜o e´
deriva´vel ? Sera´ que sua derivada tambe´m e´ α · xα−1 ? Voltaremos...
CAPI´TULO 16. FUNC¸O˜ES INVERSAS E SUAS DERIVADAS 225
4. Derivadas do arcoseno e do arcocosseno
E´ claro que o seno visto como func¸a˜o perio´dica sin : R → R ou mesmo visto em
sin : [0, 2pi]→ R na˜o tem uma func¸a˜o inversa.
Mas sua restric¸a˜o sin : (−pi
2
, pi
2
) → (−1, 1) mostrada na Figura a seguir sim tem
func¸a˜o inversa ! De fato, nessa regia˜o (−pi
2
, pi
2
) o seno e´ uma func¸a˜o injetora, pois sua
derivada sin′(x) = cos(x) e´ sempre positiva em (−pi
2
, pi
2
), logo sin(x) e´ estritamente
crescente e portanto uma func¸a˜o injetora.
0,5
1
-0,5
0
-1
x
1,510,50-0,5-1,5 -1
Figura: Restric¸a˜o do seno ao intervalo ((−pi
2
, pi
2
).
A inversa de sin : (−pi
2
, pi
2
) → R e´ chamada de valor principal do arco seno ou
apenas arcoseno, no sentido de que dado sin(θ) em (−1, 1) ela diz de que arco θ ele
proveio, pi
2
< θ < pi
2
.
E´ denotada arcsin. Guardaremos o s´ımbolo sin(x)−1 para denotar 1
sin(x)
.
1
1,5
0
0,5
-0,5
-1
-1,5
x
10,50-0,5-1
Figura: Gra´fico de arcoseno, domı´nio (−1, 1) e imagem (−pi
2
, pi
2
).
Como explicado no Teorema que trata da inversa de func¸o˜es cont´ınuas, o arcoseno
e o arcocosseno sa˜o func¸o˜es cont´ınuas. Mas vamos assumir que seja deriva´vel, para
calcularmos sua derivada.
Agora considere na Figura a seguir a restric¸a˜o do cosseno ao intervalo [0.pi].
4. DERIVADAS DO ARCOSENO E DO ARCOCOSSENO 226
0,5
1
-0,5
0
-1
x
32,521,510 0,5
E´ uma func¸a˜o estritamente decrescente, cuja inversa (tambe´m estritamente de-
crescente) e´ denotada arccos : [−1, 1]→ [pi, 0].
Afirmac¸a˜o 4.1.
i) A derivada de arcsin : (−1, 1)→ (−pi
2
, pi
2
) e´
arcsin′(x) =
1√
1− x2 .
Para a > 0, a derivada de arcsin(x
a
) : (−a, a)→ (−pi
2
, pi
2
) e´:
arcsin′(
x
a
) =
1√
a2 − x2 .
ii) A derivada de arccos : (−1, 1)→ [pi, 0] e´
arccos′(x) = − 1√
1− x2 .
iii) arccos(x) = pi
2
− arcsin(x), ∀x ∈ [−1, 1].
Demonstrac¸a˜o.
De i):
Pelo Teorema 0.1:
arcsin′(x) =
1
sin′(arcsin(x))
.
Mas ja´ sabemos que a derivada do seno e´ o cosseno,logo:
arcsin′(x) =
1
cos(arcsin(x))
.
Agora uso a relac¸a˜o trigonome´trica
cos2(arcsin(x)) + sin2(arcsin(x)) ≡ 1
e
sin2(arcsin(x)) = ( sin(arcsin(x) )2 = x2
para obter:
cos2(arcsin(x)) = 1− x2,
e como cos(arcsin(x)) > 0 quando arcsin(x) ∈ (−pi
2
, pi
2
) enta˜o obtenho:
cos(arcsin(x)) = +
√
1− x2
CAPI´TULO 16. FUNC¸O˜ES INVERSAS E SUAS DERIVADAS 227
e portanto
arcsin′(x) =
1√
1− x2 ,
como quer´ıamos.
Quando tomo a > 0, enta˜o pela regra da derivada da composta:
arcsin′(
x
a
) =
1√
1− (x
a
)2
· 1
a
=
=
1√
a2
1√
1− (x
a
)2
=
1√
a2 − x2 .
De ii):
Pelo Teorema 0.1:
arccos′(x) =
1
cos′(arccos(x))
.
Mas ja´ sabemos a derivada do cosseno, logo:
arccos′(x) =
−1
sin(arccos(x))
.
Exatamente como fizemos antes, a relac¸a˜o trigonome´trica entre seno e cosseno e o
fato de que o seno restrito a [0, pi] e´ ≥ 0, da˜o:
arccos′(x) =
−1√
1− x2 .
De iii):
Os itens i) e ii) ja´ provados da˜o que:
arccos′(x) = − arcsin′(x), ∀x ∈ (−1, 1).
Portanto existe uma constante C ∈ R tal que:
arccos(x) = − arcsin(x) + C, ∀x ∈ (−1, 1).
Mas
pi
2
= arccos(0) = − arcsin(0) + C = 0 + C,
o que nos diz que
C =
pi
2
.
Ademais tambe´m:
pi = arccos(−1) = pi
2
+
pi
2
= − arcsin(−1) + pi
2
,
bem como:
0 = arccos(1) = −pi
2
+
pi
2
= − arcsin(1) + pi
2
.
�
5. DERIVADA DO ARCOTANGENTE 228
O Exerc´ıcio 6.8 propo˜e comprovar geometricamente (qualitativamente ao menos)
que arccos(x) = − arcsin(x) + pi
2
.
Note agora que a func¸a˜o 1√
1−x2 para x ∈ (−1, 1) e´ sempre positiva, vale 1 na
origem e tem
lim
x↗1
1√
1− x2 = +∞, e limx↘1
1√
1− x2 = +∞.
Tudo isso se veˆ na figura abaixo, onde plotei o arcoseno e sua derivada, para
x ∈ [−0.95, 0.95] (na˜o posso me aproximar demais de −1 ou de 1 se na˜o o gra´fico fica
muito alto !)
3
1
2
0
-1
x
0,4 0,80-0,8-0,4
Figura: Gra´fico de y = arcsin(x) (vermelho) e de sua derivada y = 1√
1−x2 (verde).
Essa figura e´ ta˜o parecida (qualitativamente) com a que ja´ vimos no Cap´ıtulo
anterior da func¸a˜o y = tan(x) e sua derivada que resolvi plota´-las juntas, para que o
leitor possa fazer comparac¸o˜es:
2
0
1
-1
0,8
x
-0,8-0,4 0,40
Figura: y = tan(x) (vermelho), sua derivada (verde), y = arcsin(x)
(amarelo) e sua derivada (azul) restritas a (−0.9, 0.9).
5. Derivada do arcotangente
Se x ∈ (−pi
2
, pi
2
) enta˜o
tan′(x) =
1
cos2(x)
> 0,
CAPI´TULO 16. FUNC¸O˜ES INVERSAS E SUAS DERIVADAS 229
o que diz que para x ∈ (−pi
2
, pi
2
) a func¸a˜o y = tan(x) e´ estritamente crescente.
Logo e´ injetora e tem func¸a˜o inversa denotada:
arctan : R→ (−pi
2
,
pi
2
).
Afirmac¸a˜o 5.1.
arctan′(x) =
1
1 + x2
, ∀x ∈ R
e para a > 0 :
1
a
· arctan′(x
a
) =
1
a2 + x2
, ∀x ∈ R
Demonstrac¸a˜o.
Pelo Teorema 0.1 e pela derivada da func¸a˜o tan(x):
arctan′(x) =
1
tan′(arctan(x))
=
=
1
( 1
cos2(arctan(x))
)
=
= cos2(arctan(x)).
Agora arctan(x) e´ um arco/aˆngulo e portanto vale para ele a relac¸a˜o trigonome´trica
ba´sica:
sin2(arctan(x)) + cos2(arctan(x)) = 1
e da´ı, dividindo por cos2(arctan(x)) > 0, temos:
sin2(arctan(x))
cos2(arctan(x))
+ 1 =
1
cos2(arctan(x))
ou seja
tan2(arctan(x)) + 1 =
1
cos2(arctan(x))
,
e como
tan2(arctan(x)) = (tan(arctan(x)))2 = x2,
x2 + 1 =
1
cos2(arctan(x))
quer dizer:
cos2(arctan(x)) =
1
1 + x2
Logo
arctan′(x) =
1
1 + x2
.
Se a > 0 a derivada da composta da´:
arctan′(
x
a
) =
1
1 + (x
a
)2
· 1
a
= a · 1
a2 + x2
.
�
5. DERIVADA DO ARCOTANGENTE 230
1
0
0,5
-0,5
-1
x
2-2 31-3 -1 0
Figura: A func¸a˜o arcotangente (vermelho) e sua derivada
(verde) restritas a (−4, 4)
Exemplo:
Para completar essa Sec¸a˜o, vou mostra neste Exemplo como informac¸a˜o qualita-
tiva pode servir para dar informac¸a˜o quantitativa !
Considere
y = F (x) =
x
2
− 2 arctan(x
2
).
A pergunta e´: em que pontos F (x) se anula, ale´m do x = 0 ? Ou pelo menos, como
dar uma aproximac¸a˜o dessas ra´ızes ? Nem pensar em tentar resolver explicitamente
F (x) = 0 ...
Ja´ inicialmente e´ bom observar que F (x) e´ uma func¸a˜o ı´mpar, F (−x) = −F (x).
Portanto vamos pensar no eixo x > 0 apenas, depois fica fa´cil o eixo x < 0.
Note que
F ′(x) =
1
2
− 2 · 1
2
· 1
1 + (x
2
)2
=
1
2
− 4
x2 + 4
e esta u´ltima func¸a˜o teve seu gra´fico esboc¸ado na Sec¸a˜o 4 do Cap´ıtulo 14.
Vimos la´ naquela Sec¸a˜o que F ′(x) se anula, no eixo x > 0, em x = 2, que F ′(x) < 0
em (0, 2) e que F ′(x) > 0 em (2,+∞).
Enta˜o, como F (0) = 0, concluo que y = F (x) < 0 em (0, 2), assume um mı´nimo
em x = 2 e depois comec¸a a crescer.
Como
lim
x+∞
arctan(
x
2
) =
pi
2
temos
lim
x+∞
F (x) = +∞.
Ou seja, como F (x) e´ cont´ınua, tem que voltar a se anular em algum ponto a` direita
de x = 2.
So´ que, para x > 0,
F (x) =
x
2
− 2 arctan(x
2
) >
x
2
− 2 · pi
2
.
CAPI´TULO 16. FUNC¸O˜ES INVERSAS E SUAS DERIVADAS 231
Como a reta y = x
2
− pi corta o eixo x > 0 em x = 2pi ∼ 6.3, concluo que F (x) se
anula1 em x ∈ (2, 6.3).
Pela propriedade ı´mpar, F (x) se anula em −x ∈ (−6.3, 2).
Note que:
lim
x+∞
F ′(x) = lim
x−∞
F ′(x) =
1
2
ou seja que a inclinac¸a˜o tende a 1/2 quando |x| → ∞.
Como
lim
x−∞
arctan(
x
2
) = −pi
2
vemos que o gra´fico de y = F (x) se aproxima de
y =
x
2
+ pi
quando x→ −∞.
A figura a seguir ilustra F (x) em vermelho, F ′(x) em verde, y = y = x
2
+ pi em
azul e y = x
2
− pi em amarelo.
8
0
4
-4
x
-8
-5-10 5 100
6. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 6.1. (resolvidos: iii, iv, v, xv.)
Derive usando regras de derivac¸a˜o de +,−, x, /,√ e a derivada da composta:
i)
√
sin(x3), se sin(x3) > 0 ii) cos5(x) + sin(x5),
1Com o me´todo de Newton do Cap´ıtulo 18, comec¸ando com 6.3 obtive na quinta iterac¸a˜o x ∼
4.662244741
6. EXERCI´CIOS 232
iii) sin3(x3), iv) sin(x) cos(x), v)
x4 + x2 + 1
3x4 + 4x2 + 1
,
vi)
√
1− x2, se |x| < 1, vii) sin(x3), viii) cos3(x) + sin3(x),
ix)
x7 − x2 − 1
x4 + 4x2 + 8
, x)
x3 − x+ 1
x4 − x3 + x2 − 1 ,
xi) sin3(x)− sin(x3), xii) 2
x3
, 0 < x,
xiii) (sin(x) · cos2(x))2, xiv) (x+ 3)100, xv) (3x+ 4)100.
Exerc´ıcio 6.2. Determine o domı´nio de cada uma das quatro func¸o˜es a seguir e em
que que pontos do domı´nio existe a derivada. Derive-as usando as regras de derivac¸a˜o
(produto, soma, composic¸a˜o, etc).
i) y =
√
x
x2 − 1 , ii) y =
1
sin(x)
,
iii) y = tan(x) · sin(cos(x)), iv) y = x4 · x 14 .
Exerc´ıcio 6.3. No Cap´ıtulo 28 vamos definir
κ(x) :=
| f ′′(x) |
(1 + (f ′(x))2)
3
2
como sendo a curvatura do gra´fico de y = f(x) em cada ponto x.
Verifique que
i) κ(x) ≡ 0 para uma reta y = a · x+ b e
ii) κ(x) ≡ 1
r
para a parte do c´ırculo x2 + y2 = r2 que fica no primeiro quadrante.
Exerc´ıcio 6.4. Suponha que voceˆ so´ conhece a reta tangente ao C´ırculo como o
fizemos aqui neste curso de Ca´lculo, ou seja, como reta cujo coeficiente angular e´
dado por uma derivada, etc.
Prove que essa reta tangente e´ ortogonal ao raio do C´ırculo, ou seja, que coincide
com a definic¸a˜o do Ensino Me´dio (dica: basta considerar pontos do c´ırculo x2+y2 = 1
com coordenada y > 0).
Exerc´ıcio 6.5. Considere a func¸a˜o f : R>0 → [−1, 1] dada por f(x) = sin( 1
x
).
i) derive-a pela regra da composta, ii) comprove que |f ′(x)| fica arbitrariamente
grande quando x tende a zero, iii) interprete geometricamente o resultado, sobre o
que acontece com o gra´fico de f pro´ximo a` origem, iv) agora considere a func¸a˜o dada
por f(x) = x2 · sin( 1
x
) (para x > 0). v) derive-a , vi) veja se o mo´dulo da derivada
f ′(x) fica arbitrariamente grande pro´ximo a`origem, ou na˜o.
Exerc´ıcio 6.6. Considere a Figura a seguir, que da´ o gra´ficos de f(x) = arctan(x)
(func¸a˜o inversa da tangente), de sua derivada f ′(x) = 1
1+x2
(assuma que sua derivada
CAPI´TULO 16. FUNC¸O˜ES INVERSAS E SUAS DERIVADAS 233
e´ essa) e de sua segunda derivada f ′′(x), restritas ao eixo positivo x > 0.
1
0
0,5
2,5
-0,5
x
3,5321 1,50,50
Vemos que o gra´fico de f ′(x) = 1
1+x2
tem um ponto de inflexa˜o, ou seja, onde as
inclinac¸o˜es de suas tangentes tem um mı´nimo e depois va˜o aumentando, ficando cada
vez mais pro´ximas de zero quando x >> 1. Dito de outro modo, um ponto onde a
segunda derivada f ′′(x) = (f ′(x)′) teˆm um mı´nimo.
Para encontrar onde e´ esse mı´nimo de f ′′(x), calcule pela regra do quociente a
terceira derivada f ′′′(x) e procure por seus zeros ! (Va˜o ser duas soluc¸o˜es, uma positiva
e outra negativa, pois o gra´fico de f ′(x) = 1
1+x2
e´ sime´trico em relac¸a˜o ao eixo dos y).
Exerc´ıcio 6.7. Considere a func¸a˜o g : (−1, 1)→ R dada por
g(y) =
y
1− y , se y ∈ [0, 1),
g(y) =
y
1 + y
, se y ∈ (−1, 0].
(Chamo a varia´vel de y pois foi assim que a vimos na Parte 1 do Curso). Ja´ vimos
que g e´ uma tremenda expansa˜o, pois a imagem do intervalo pela g e´ toda a reta R !
Prove que a derivada da g em y ∈ [0, 1) e´ 1
(1−y)2 e que a derivada da g em y ∈ (−1, 0]
e´ de 1
(1+y)2
. Chamamos essas derivadas de taxas de expansa˜o.
Exerc´ıcio 6.8. Comprove geometricamente que:
arccos(x) = − arcsin(x) + pi
2
, ∀x ∈ [−1, 1].
Para isso:
i) fac¸a o gra´fico qualitativamente correto do seno restrito a [−pi
2
, pi
2
],
ii) reflita o gra´fico de i) na diagonal para obter o de arcsin.
iii) reflita no eixo dos x o gra´fico de ii) para obter o de − arcsin
iv) Translade o gra´fico de iii) verticalmente por pi
2
para obter o de − arcsin+pi
2
.
v) reflita o gra´fico de iv) na diagonal para obter um gra´fico qualitativamente
correto do cosseno a [0, pi].
Exerc´ıcio 6.9. Descreva de modo qualitativamente correto a curva x
1
2 + y
1
2 = a
1
2 ,
para a > 0 fixado e x, y ≥ 0.
Para isso mostre que:
i) y = y(x) = (a
1
2 −x 12 )2 e´ deriva´vel para 0 < x ≤ a e tem y′(x) ≤ 0 em 0 < x ≤ a.
ii) y′(a) = 0, ou seja, o gra´fico tangencia o eixo x em x = a.
iii) por simetria se obte´m o mesmo tipo de fenoˆmeno para x = x(x) = (a
1
2 − y 12 )2.
6. EXERCI´CIOS 234
iv) a inclinac¸a˜o da curva no ponto (a
4
, a
4
) e´ −1.
v) sempre o gra´fico y = y(x) tem concavidade para cima.
Exerc´ıcio 6.10. Se algue´m pede para trac¸armos qualitativamente o gra´fico de y =
x6 − 6x4 + 9x2 pode parecer muito dif´ıcil.
Mas se notamos que y = x6 − 6x4 + 9x2 = (x3 − 3x)2 enta˜o o que aprendemos na
prova da Afirmac¸a˜o 2.1 torna a tarefa fa´cil, desde que saibamos o de y = x3 − 3x.
CAP´ıTULO 17
Taxas relacionadas
Uma utilidade da regra da derivada da composta e´ a de permitir estabelecer de
modo quantitativamente exato como a variac¸a˜o de uma grandeza afeta a variac¸a˜o de
outra.
1. Como varia um aˆngulo
Vou considerar primeiro uma interessante aplicac¸a˜o da derivada do arcotangente,
que vimos no Cap´ıtulo anterior.
Um objeto tem posic¸a˜o P (t) = (x(t), y(t)) no plano em cada instante t. Ambas
coordenadas podem mudar com o tempo e suas velocidades em cada instante - suas
derivadas - sa˜o denotadas x′(t) e y′(t) (que suponho existem).
Na origem algue´m observa o objeto com uma caˆmera e o aˆngulo anti-hora´rio que a
caˆmera faz com o eixo dos x sera´ denotado θ(t). Que suponho e´ uma func¸a˜o deriva´vel
de t.
Como mostra a figura, onde o vetor em preto da´ a posic¸a˜o em cada instante e o
vetor em vermelho indica a velocidade em cada instante:
A questa˜o e´: como muda a caˆmera quando o objeto muda de posic¸a˜o ? Ou seja,
como x′(t) e y′(t) e a posic¸a˜o do objeto em cada instante afetam θ′(t) ?
Supondo para simplificar que
x(t) > 0, y(y) ≥ 0 e 0 ≤ θ(t) < pi
2
∀t,
enta˜o:
θ(t) = arctan(
y(t)
x(t)
).
Derivo em t, pela regra da composta:
θ′(t) = arctan′(
y(t)
x(t)
) =
1
1 + ( y(t)
x(t)
)2
· (y(t)
x(t)
)′(t) =
235
2. COMO VARIA UMA DISTAˆNCIA 236
=
y′(t) · x(t)− y(t) · x′(t)
x(t)2 + y(t)2
.
Essa fo´rmula da´ va´rias informac¸o˜es, que servem para resolver va´rios problemas
pra´ticos:
• se o objeto se move apenas verticalmente, enta˜o x ≡ x > 0, x′(t) ≡ 0 e
quando esta´ numa altura y(t) num instante t:
θ′(t) =
y′(t) · x
x2 + y(t)2
,
o que se simplifica ainda mais quando y(t) = 0 para:
θ′(t) =
y′(t)
x
.
• se o objeto se move apenas horizontalmente, enta˜o y ≡ y ≥ 0, y′(t) ≡ 0 e
quando esta´ numa posic¸a˜o x(t) num instante t:
θ′(t) =
−y · x′(t)
x(t)2 + y2
.
• quando o objeto se move radialmente temos:
y′(t)
x′(t)
=
y(t)
x(t)
e enta˜o:
θ′(t) = 0.
• quando objeto se move num c´ırculo de raio r > 0 centrado na origem enta˜o:
θ′(t) =
y′(t) · x(t)− y(t) · x′(t)
r2
.
Ha´ va´rios modos de descrever esse movimento, por exemplo com:
(x(t), y(t)) = (r · cos(k · t) , r · sin(k · t)), k ∈ R
pois claramente x2(t)+y2(t) ≡ r2. Enta˜o nesse caso teremos, usando de novo
a regra da derivada da composta:
θ′(t) =
y′(t) · x(t)− y(t) · x′(t)
r2
= k, ∀t
2. Como varia uma distaˆncia
Imagine dois objetos cujas posic¸o˜es P1 = (x1(t), y1(t)) e P2 = (x2(t), y2(t)) variam
ao longo de segmentos de retas c1 e c2 que se encontram em aˆngulo α (constante)
num ponto I, como na figura a seguir:
CAPI´TULO 17. TAXAS RELACIONADAS 237
α
P
P2
1
I
c
d
c 1
2
A questa˜o e´: como variam as distaˆncias relativas umas a`s outras ?
Denoto d(t) a distaˆncia entre P1 e P2. Temos pela lei dos cossenos (Afirmac¸a˜o
3.1, na pro´xima Sec¸a˜o):
d2(t) = c21(t) + c
2
2(t)− c1(t) · c2(t) cos(α).
Note que se α = pi
2
(aˆngulo reto) o tamanho d(t) e´ o que se espera por Pita´goras. Se
0 < α < pi
2
(aˆngulo agudo) enta˜o d(t) fica menor que o que se espera por Pita´goras,
mas se pi
2
< α < pi (aˆngulo obtuso) enta˜o d(t) fica maior que o que se espera por
Pita´goras.
Enta˜o:
2 · d(t) · d′(t) = 2 · c1(t) · c′1(t) + 2 · c2(t) · c′2(t)− [c′1(t) · c2(t) + c1(t) · c′2(t)] · cos(α),
ou seja:
d′(t) =
c1(t) · c′1(t) + c2(t) · c′2(t)− cos(α)2 · [c′1(t) · c2(t) + c1(t) · c′2(t)]
d(t)
.
Essa fo´rmula se presta para resolver va´rios problemas pra´ticos, mesmo em casos
bem particulares:
• Se
c2(t) ≡ C e α = pi
2
.
Enta˜o c′2(t) ≡ 0 e cos(α) = 0 e obtemos da expressa˜o acima:
2 · d(t) · d′(t) = 2 · c1(t) · c′1(t),
ou seja,
d′(t) =
c1(t)
d(t)
· c′1(t).
• quando uma escada desliza ao longo de uma parede enta˜o d(t) ≡ d > 0 e´ o
tamanho da escada e α = pi
2
. Enta˜o a expressa˜o acima vira:
0 = c1(t) · c′1(t) + c2(t) · c′2(t)
que diz como o aumento/diminuic¸a˜o da posic¸a˜o de um extremo repercute no
outro extremo da escada.
3. LEI DOS COSSENOS E PRODUTO ESCALAR DE VETORES 238
3. Lei dos cossenos e produto escalar de vetores
Falta explicar de onde surge a:
Afirmac¸a˜o 3.1. (Lei dos cossenos)
Considere um triaˆngulo 4ABC com aˆngulo α em A.
Enta˜o
BC2 = AB2 + AC2 − 2 · AB · AC · cos(α).
Demonstrac¸a˜o.
Como para aˆngulo reto a fo´rmula e´ o Pita´goras, o correto seria considerar aˆngulos
agudos e obtusos. Por brevidade considero apenas o caso de aˆngulo agudo α e deixo
o caso de obtuso como exerc´ıcio para o leitor.
Escolho H no segmento AC tal que BH seja ortogonal a AC em H , como mostra
a figura:
α
A
B
H
C
Enta˜o Pita´goras se aplica em dois triaˆngulos retaˆngulos:
AB2 = BH2 + AH2 e BC2 = BH2 + CH2.
De onde:
BC2 − AB2 = CH2 −AH2.
Mas
CH = CA−AH
e portanto:
BC2 − AB2 = (CA2 − 2 · CA · AH + AH2)−AH2 = CA2 − 2 · CA · AH,
ou seja:
BC2 = AB2 + AC2 − 2 · AC · AH.
Para terminar note que:
AH = AB · cos(α).
�
A lei dos cossenos embasa as propriedadesdo produto escalar de vetores.
Definic¸a˜o 3.1. Dados vetores v1 = (x1, y1) e v2 = (x2, y2) defino seu produto escalar
como:
v1 · v2 = x1 · x2 + y1 · y2.
CAPI´TULO 17. TAXAS RELACIONADAS 239
Observac¸a˜o:
Quando usar · entre vetores se trata desse produto. Mas. quando fizer, para
λ ∈ R, o produto λ · v trata-se enta˜o de multiplicar cada coordenada de v por λ.
Afirmac¸a˜o 3.2.
i):
v1 · v2 = v2 · v1, v1 · v1 = ||v1||2, e v1 · (v2 + v3) = v1 · v2 + v1 · v3.
ii) Dados vetores v1 = (x1, y1) e v2 = (x2, y2), enta˜o
v1 · v2 = ||v1|| · ||v2|| · cos(θ)
onde θ e´ o aˆngulo orientado de v1 para v2 (como cos(−θ) = cos(θ) da´ o mesmo que
considerar o aˆngulo de v2 para v1)
iii) Se ||v2|| = 1 enta˜o
(v1 · v2) · v2
e´ o vetor que corresponde a` projec¸a˜o ortogonal de v1 no eixo orientado gerado por v2.
Demonstrac¸a˜o.
O item i) e´ imediato das definic¸o˜es de mo´dulo, produto escalar e de soma de
vetores.
De ii):
O item i) aplicado ao vetor diferenc¸a v1 − v2:
||v1 − v2||2 = (v1 − v2) · (v1 − v2) = v1 · v1 + v2 · v2 − 2 · v1 · v2 =
= ||v1||2 + ||v2||2 − 2 · v1 · v2,
ou seja:
v1 · v2 = ||v1 − v2||2 − ||v1||2 − ||v2||2.
Mas como mostra a figura a seguir posso aplicar a Lei dos cossenos para ter o
mo´dulo de v1 − v2:
v1 − v2
v1
v2
θ
||v1 − v2||2 = ||v1||2 + ||v2||2 − 2 · ||v1|| cot ||v2|| · cos(θ),
de onde sai ii).
De iii):
O item ii) aplicado a um vetor unita´rio v2 da´
v1 · v2 = ||v1|| · cos(θ).
3. LEI DOS COSSENOS E PRODUTO ESCALAR DE VETORES 240
Enta˜o
(v1 · v2) · v2
esta´ no eixo gerado por v2 e tem mo´dulo:
||v1|| · | cos(θ)|.
Para comprovar que (v1 · v2) · v2 e´ realmente a projec¸a˜o ortogonal de v1 sobre o eixo
gerado por v2, podemos fazer uma conta:
v2 · [v1 − (v1 · v2) · v2] = v2 · v1 − (v1 · v2) · v2 · v2 = v2 · v1 − v1 · v2 = 0
o que diz pelo item ii) que v2 e v1 − (v1 · v2) · v2 sa˜o ortogonais.
Ilustro a seguir:
v1
θ
(v1.v2) . v2
v1 − (v1.v2).v2 
v2
�
3.1. Uma interpretac¸a˜o vetorial da Sec¸a˜o 1. A fo´rmula
θ′(t) =
y′(t) · x(t)− y(t) · x′(t)
x(t)2 + y(t)2
que demos na Sec¸a˜o 1 deste Cap´ıtulo admite uma interpretac¸a˜o vetorial importante,
que sera´ retomada na Sec¸a˜o 5 do Cap´ıtulo 39.
Considero o vetor velocidade V := (x′(t), y′(t)) e o vetor unita´rio
N :=
(−y(t), x(t))√
x(t)2 + y(t)2
,
que e´ ortogonal ao vetor posic¸a˜o P := (x(t), y(t)). O mo´dulo do vetor posic¸a˜o e´
||P || :=√x(t)2 + y(t)2.
O produto escalar de vetores:
V ·N = (x′(t), y′(t)) · (−y(t), x(t))√
x(t)2 + y(t)2
:=
y′(t) · x(t)− y(t) · x′(t)√
x(t)2 + y(t)2
da´ a projec¸a˜o do vetor V := (x′(t), y′(t)) na direc¸a˜o do vetor unita´rio N (item iii) da
Afirmac¸a˜o 3.2). Veja a figura a seguir:
CAPI´TULO 17. TAXAS RELACIONADAS 241
V
V
P
N
E podemos enta˜o escrever na linguagem vetorial:
θ′(t) =
1
||P || · V ·N =
=
y′(t) · x(t)− y(t) · x′(t)
x(t)2 + y(t)2
.
4. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 4.1. Considere um paralep´ıpedo reto (ou seja, um objeto com a forma de
um tijolo macic¸o), cuja largura x(t), profundidade 2x(t) e altura y(t) mudam com o
tempo t.
Suponha que, em um instante t0, sua altura e´ 1 cm e aumenta na taxa de 7 cm/s
e sua largura e´ 4 cm e decresce na taxa de −1 cm/s.
Qual a taxa de variac¸a˜o do Volume no instante t0 ? O Volume esta´ aumentando
ou diminuindo em t0 ?
CAP´ıTULO 18
O Me´todo de aproximac¸a˜o de Newton
No Exerc´ıcio 9.11 do Cap´ıtulo 6 vimos que o polinoˆmio
y = x5 − 2x4 + x3 + x2 + 1
tem uma ra´ız no intervalo [−1, 1]. Mas para isso de usa o Teorema do Valor Inter-
media´rio, que na˜o diz quanto e´ a ra´ız, apenas que ela existe.
Imagine quantas vezes Newton se viu defrontado com equac¸o˜es como essa, ale´m
de outras na˜o-polinomiais,1 por exemplo:
cos(x) + x · sin(x)− 1 = 0,
e certamente ele precisava ter informac¸a˜o sobre essas Ra´ızes.
A ide´ia do me´todo e´ bastante geome´trica. Se queremos determinar uma ra´ız de
f(x) = 0, trata-se de:
• escolher um ponto no eixo x, chamado de x0, tal que f ′(x0) 6= 0.
• determinar a reta tangente r0 ao gra´fico de y = f(x) em (x0, f(x0))
• intersectar r0 com o eixo dos x, chamando essa intersecc¸a˜o de x1
• recomec¸ar o processo a partir do ponto obtido.
Afirmac¸a˜o 0.1. O x1 obtido pelo me´todo e´ da forma:
x1 = x0 −
f(x0)
f ′(x0)
.
Demonstrac¸a˜o.
A reta tangente r0 ao gra´fico de y = f(x) em (x0, f(x0)) tem equac¸a˜o:
y = f ′(x0) · x+ (f(x0)− f ′(x0) · x0).
Intersecta´-la com y = 0 da´:
x =
f ′(x0) · x0 − f(x0)
f ′(x0)
=
= x0 −
f(x0)
f ′(x0)
.
�
1Como salienta S. Chandrasekhar na pa´gina 142 do seu livro Newton’s Principia for the common
reader, Oxford University Press , 1995.
243
244
Se a tangente num ponto (x, f(x)) do gra´fico for uma reta horizontal enta˜o
ter´ıamos que resolver a equac¸a˜o:
f(x) = f(x),
que e´ ta˜o dif´ıl como o problema original em geral. Ou seja, o me´todo pode parar se
f ′(x) = 0.
Exemplos:
• Para a ra´ız de
y = x5 − 2x4 + x3 + x2 + 1
em [−1, 1] comec¸o com
x0 := 1
e obtenho
x1 = 0.
Mas f ′(0) = 0 e pa´ro.
Nova tentativa, partindo agora de
x0 := 1/2,
obtenho
x1 := −0.7058823529, x2 := −0.8206076715,
x3 := −0.7982163995, x4 := −0.7970632182, x5 := −0.7970602776,
e a partir da´ı a calculadora na˜o muda mais o resultado. Enta˜o essa e´ a
aproximac¸a˜o buscada da ra´ız.
A Figura a seguir indica como e´ o gra´fico do polinoˆmio.
1
-1
-2
2
0
x
-0,5-1 10 0,5
• Agora quero uma ra´ız de cos(x)+x·sin(x)−1 = 0 no intervalo [0, pi] e comec¸o
com x0 = 3.14.
Enta˜o:
x1 := 2.504649576, x2 := 2.348555437,
x3 := 2.331341479, x4 := 2.331122406, x5 := 2.331122370
a partir da´ı a calculadora passa desse valor para
x6 := 2.331122371
CAPI´TULO 18. O ME´TODO DE APROXIMAC¸A˜O DE NEWTON 245
e depois volta para o x5, sucessivamente.
0,5
0
-0,5
-1
-1,5
-2
x
32,521,510 0,5
y = cos(x) + x · sin(x)− 1, x ∈ [0, pi].
CAP´ıTULO 19
O Princ´ıpio de Fermat e a refrac¸a˜o da luz
1. Princ´ıpio de Fermat
Suponhamos dois pontos P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) com coordenadas y > 0.
O problema e´: Encontrar o ponto P = (x, 0) no eixo dos x que minimiza a soma
das distaˆncias PP1 + PP2.
Na˜o e´ uma perda de generalidade muito grande supoˆr que P1 = (0, 1) (basta
escolher sistema de coordenadas adequado).
Chamemos o aˆngulo 1) formado em P pelo eixo dos x e a reta P P1 de aˆngulo de
incideˆncia; e de aˆngulo refletido o aˆngulo formado pelo eixo dos x e a reta P P2.
Afirmac¸a˜o 1.1. (Princ´ıpio de Fermat)
• i) o ponto no eixo dos x que minimiza a soma de distaˆncias a P1 := (0, 1) e
a P2 := (x2, y2), com y2 > 0, e´
P = (x, 0) = (
x2
1 + y
2
, 0).
• ii) os aˆngulos de incideˆncia e refletido formados nesse P sa˜o iguais.
3
2
0
2,5
1,5
x
2,521,510 0,5
0,5
1
3
Figura: Treˆs exemplos do princ´ıpio de Fermat, com P1 = (0, 1)
P2: (3, 1), (3, 2), (3, 3) e P : (
3
2
, 0), (1, 0), (3
4
, 0) respectivamente.
Demonstrac¸a˜o.
Do Item i):
Queremos encontrar o ponto P = (x, 0) no eixo dos x que minimiza a func¸a˜o:
d(x) :=
√
(x− 0)2 + (0− 1)2 +
√
(x− x2)2 + (0− y2)2 =
1convexo, ou seja, 0 ≤ θ ≤ pi, e na˜o-orientado, ou seja, na˜o distingo entre aˆngulos hora´rios e
anti-hora´rios.
247
1. PRINCI´PIO DE FERMAT 248
=
√
x2 + 1 +
√
(x− x2)2 + y22.
Queremos usar o crite´rio da segunda derivada (Afirmac¸a˜o 2.1 do Cap´ıtulo 10)
para determinar o mı´nimo de d(x).
Para isso precisamos calcular d ′(x), o que ainda na˜o sabemos fazer.
Enta˜o, adiantando o que aprenderemos sobre derivadas de func¸o˜es compostas e
da ra´ız quadrada, Afirmo que:
d ′(x) =
x√
x2 + 1
+
x− x2√
(x− x2)2 + y22
=
=
x ·
√
(x− x2)2 + y22 + (x− x2) ·
√
x2 + 1
√
x2 + 1 ·
√
(x− x2)2 + y22
,
e claramente:
d ′(x) = 0 ⇔ x·
√
(x− x2)2 + y22 + (x− x2) ·
√
x2 + 1 = 0.
Ao inve´s de resolver diretamente:
x ·
√
(x− x2)2 + y22 = (x2 − x) ·
√
x2 + 1,
elevo ambos os lados ao quadrado, obtendo:
x2 · [(x− x2)2 + y22] = (x2 − x)2 · (x2 + 1),
o que equivale, apo´s simplificac¸o˜es, a resolver:
(y2
2
− 1) x2 + 2x2 x− x22 = 0.
Aqui ha´ dois casos a considerar (dos quais daremos o significado geome´trico a seguir):
Caso y2
2
− 1 = 0, ou seja, y
2
= ±1, enta˜o a soluc¸a˜o buscada e´
P = (x, 0) = (
x2
2
, 0).
Caso y2
2
− 1 6= 0, enta˜o temos uma equac¸a˜o quadra´tica em x, cujas soluc¸o˜es sa˜o:
x2
1 + y
2
e
x2
1− y
2
.
Note que o ponto Q := (
x2
1−y
2
, 0) e´ colinear com (0, 1) e (x2, y2) (basta calcular os
coeficientes angulares das retas por dois deles). Enta˜o essa soluc¸a˜o na˜o nos interessa.
Pore´m a soluc¸a˜o
P = (x, 0) = (
x2
1 + y
2
, 0)
e´ interessante. Note que se y2 = 1 esse ponto se reduz a P = (
x2
2
, 0), ou seja, coincide
com a soluc¸a˜o obtida no caso y2
2
− 1 = 0.
Temos d ′( x2
1+y
2
) = 0 e agora precisar´ıamos ver que d ′′( x2
1+y
2
) > 0, para termos um
mı´nimo de d(x).
A segunda derivada d ′′(x) existe, como veremos nos Cap´ıtulos seguintes sobre
regras de derivac¸a˜o.
CAPI´TULO 19. O PRINCI´PIO DE FERMAT E A REFRAC¸A˜O DA LUZ 249
O ca´lculo de d ′′(x) e´ tedioso e ainda mais tedioso2 e´ obter:
d ′′(
x2
1 + y
2
) =
(1 + y
2
)4
y
2
√
(x22 + 1 + 2y2 + y
2
2
)3
,
e vemos que d ′′( x2
1+y
2
) e´ positivo se y
2
> 0.
Esta´ provado que o ponto minimiza a soma de distaˆncias.
Do Item ii):
Calculo o coeficiente angular da reta P P1:
a :=
1− 0
0− x2
1+y
2
= −(1 + y2)
x2
.
Agora calculo o coeficiente angular da reta P P2:
a′ :=
y
2
− 0
x2 − x21+y
2
=
1 + y
2
x2
,
logo a′ = −a, ou seja, formam o mesmo aˆngulo (na˜o-orientado) com a reta vertical.
Portanto tambe´m ha´ igualdade de aˆngulos formados em P com a horizontal.
�
2. Refrac¸a˜o, distaˆncias ponderadas e Lei de Snell
Na Sec¸a˜o anterior buscamos minimizar a soma das distaˆncias
PP1 + PP2,
onde P1, P2 esta˜o no semi-plano superior e P no eixo dos x
Agora imaginemos um problema um pouco mais geral.
Suponha que no semiplano superior nos movimentamos com uma velocidade con-
stante v1 enquanto no semiplano inferir nos movimentamos com uma velocidade con-
stante v2. E que queremos sair de P1 no semiplano superior, atingir P no eixo dos x
e da´ı, no semiplano-inferior, ir ate´ P2, fazendo isso no menor tempo poss´ıvel. Como
escolher P ?
Esse problema esta´ ainda relacionado com o princ´ıpio de Fermat, que em geral na˜o
e´ simplesmente de minimar distaˆncia entre dois pontos, mas de minimizar o tempo
gasto para ir de um a outro ponto.
Na pra´tica e´ o problema do salva-vidas, que, estando em P1, tem correr pela
areia (com velocidade v1) e escolher o ponto P na praia de onde sair nadando (com
velocidade v2 < v1) ate´ chegar em algum banhista P2. Veja Exerc´ıcio 3.1 abaixo.
2E´ u´til para essas contas tediosas usar algum programa como o Maple.
2. REFRAC¸A˜O, DISTAˆNCIAS PONDERADAS E LEI DE SNELL 250
Claro que se v2
v1
= 1, a soluc¸a˜o e´ seguir a reta que liga P1 a P2. E se
v2
v1
<< 1,
o ponto P ficara´ cada vez mais pro´ximo da projec¸a˜o vertical de P2 no eixo dos x.
Pore´m a resposta na˜o e´ ta˜o clara se v2
v1
∼ 1.
Como distaˆncia e´ o mesmo que velocidade multiplicada pelo tempo, podemos
pensar que no semiplano superior e inferior as medidas de distaˆncia sa˜o diferentes.
Como se tive´ssemos diferentes re´guas para medir distaˆncia: um certo trecho que mede
d no semiplano superior (onde sou mais ra´pido) dever ser considerado como medindo
k · d > d no semiplano-inferior, onde sou mais lento.
Podemos enta˜o reformular o problema do seguinte modo:
Como minimizar a soma das distaˆncias ponderadas
d1,k(x) := PP1 + k · PP2 ?
(onde P1, P2 esta˜o em semi-planos diferentes e P no eixo dos x)
Isso e´ o que acontece quando a luz passa de um meio para outro. Por exemplo, a
raza˜o entre velocidade da luz no ar (v1) e na a´gua (v2) e´ da ordem de
v2
v1
=
1
1.33
,
ou seja, devemos usar a soma de distaˆncias ponderadas3:
d1,1.33(x) := PP1 + 1.33 · PP2,
(onde P1 esta´ no ar e P2 na a´gua).
Suponha que P1 = (0, 1) e que por exemplo
P2 = (x2,−1), x2 > 0.
Imitando o que fizemos na Sec¸a˜o anterior, vamos querer derivar d1,k(x) e saber onde
d1,k
′(x) = 0.
Agora, derivando obtemos:
d1,k
′(x) =
x√
x2 + 1
+ k
(x− x2)√
(x− x2)2 + 1
=
=
x ·√(x− x2)2 + 1 + k√x2 + 1 · (x− x2)√
x2 + 1 ·√(x− x2)2 + 1 .
Como
d1,k
′′(x) = (
x√
x2 + 1
)′ + (k
(x− x2)√
(x− x2)2 + 1
)′ =
1
(x2 + 1)3/2
+
k
(x22 − 2x2x+ x2 + 1)3/2
> 0,
a soluc¸a˜o de d1,k
′(x) = 0 sera´ um ponto de mı´nimo de d1,k.
Mas
d1,k
′(x) = 0 ⇔ x ·
√
(x− x2)2 + 1 = k
√
x2 + 1 · (x2 − x)
3O chamado optical path length- OPL e´ definido como o produto da distaˆncia usual pelo ı´ndice
de refrac¸a˜o - suposto constante - do meio onde a luz se propaga. Enta˜o no nosso caso d1,1.33(x) =
OPL( ar ) + OPL( a´gua )
CAPI´TULO 19. O PRINCI´PIO DE FERMAT E A REFRAC¸A˜O DA LUZ 251
e elevando ao quadrado ambos os lados, obtenho:
x2 ( (x− x2)2 + 1 ) = k2 (x2 + 1) (x2 − x)2,
ou seja, temos que resolver uma equac¸a˜o de grau 4:
(1− k2) x4 + (−2x2 + 2k2x2) x3 + (x22 + 1− k2x22 − k2) x2 + 2k2x2 x− k2x22 = 0.
Claro que se k = 1 (ou seja, d1,1(x) e´ a soma de distaˆncias usuais), a equac¸a˜o
acima vira uma equac¸a˜o quadra´tica:
2x2 x− x2 = 0 ⇔ x =
x2
2
.
Logo P = (
x2
2
, 0) esta´ na reta ligando P1 e P2.
Mas se k 6= 1 temos uma verdadeira equac¸a˜o de grau 4.
Resovi fazer treˆs exemplos, com o k = 1.33 (´ındice de refrac¸a˜o da a´gua) onde
sempre P1 = (0, 1), mas P2 assume treˆs valores
(2,−1), (3,−1), (4,−1).
Nesses treˆs casos o Maple resolve as equac¸o˜es de grau 4 acima4, dando em cada
caso um par de soluc¸o˜es complexas, uma soluc¸a˜o real negativa e uma real positiva.
Listo as soluc¸o˜es reais positivas de cada um dos treˆs casos:
se P2 = (2,−1), P = (1.268409214, 0),
se P2 = (3,−1), P = (2.078744326, 0),
se P2 = (4,−1), P = (2.983414222, 0).
A Figura a seguir representa as linhas quebradas ligando P1 a P e da´ı passando
por P2, em cada um dos treˆs casos, com k = 1.33:
1
-1
0
-2
x
1 40 32
-3
A figura a seguir da´ os gra´ficos das d1,1.33 para
P2 = (2,−1), (3,−1), (4,−1).
4Pois existe a fo´rmula de Tartaglia para equac¸o˜es de grau 4.
2. REFRAC¸A˜O, DISTAˆNCIAS PONDERADAS E LEI DE SNELL 252
7
6
4
6,5
5,5
3,5
x
4310
4,5
5
2
Gra´ficos de y = d1,1.33(x) para treˆs escolhas de P2
Voltando ao que obtivemos como derivada:
d1,k
′(x) = 0 ⇔ x ·
√
(x− x2)2 + 1 = k
√
x2 + 1 · (x2 − x),
note que essa u´ltima expressa˜o equivale a:
x√
x2 + 1
= k
(x2 − x)√
(x− x2)2 + 1
.
Agora note que
sin(α) =
x√
x2 + 1
onde α e´ o aˆngulo em P = (x, 0) do triaˆngulo
∆P P1 (x, 1).
E veja que
sin(β) =
(x2 − x)√
(x− x2)2 + 1
onde β e´ o aˆngulo em P = (x, 0) do triaˆngulo
∆P P2 (x,−1).
Essa e´ a lei de refrac¸a˜o de Snell :
sin(α) = k · sin(β).
Para uso posterior, podemos reescrever a lei de Snell assim:
sin(α) =
v1
v2
,
ou seja
sin(α)
v1
=
sin(β)
v2
.
CAPI´TULO 19. O PRINCI´PIO DE FERMAT E A REFRAC¸A˜O DA LUZ 253
Para terminar, e´ natural nos perguntarmos que acontece com a trajeto´ria da luz
ao viajar por um meio com ı´ndice de refrac¸a˜o varia´vel. Qual o formato da trajeto´ria
da luz, qual a sua equac¸a˜o ?
A resposta a esse tipo de pergunta depende de mais teoria matema´tica, por ex-
emplo do Ca´lculo de Variac¸o˜es.
3. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 3.1. (O Problema do salva-vidas)
Estando no ponto (8, 0), na areia da praia, o salva-vidas temque sair correndo
para salvar algue´m que se afoga no ponto B = (0, 5), dentro do mar. Veja a Figura.
Suponha que a velocidade do salva-vidas na praia e´ v1 m/s e na a´gua e´ v2 < v1,
com raza˜o:
k :=
v2
v1
< 1.
A questa˜o e´ a seguinte: para que ele chegue o mais ra´pido poss´ıvel, ate´ que ponto
(x, 0) com x ∈ [0, 8] ele deve correr pela praia, para da´ı enta˜o ir em linha reta nadando
ate´ B ?
Na soluc¸a˜o a coordenada x do ponto buscado sera´ func¸a˜o de k, ou seja, x(k).
Tambe´m mostre que:
i) se k verifica k2 · (k2 − 1) < 0 enta˜o sair ja´ de (8, 0) nadando na˜o e´ a melhor
estrate´gia para o salva-vidas.
ii) mostre que limk→0 x(k) = 0. Ou seja, para valores de k muito pequenos o
melhor e´ correr pela areia ate´ quase a origem e dali sair nadando em aˆngulo reto.
iii) Para um salva-vidas que corresse como Usain Bolt e nadasse como Ce´sar Cielo
ter´ıamos k ∼ 0.22. Mas se nadasse como Cielo e corresse como uma pessoa normal,
enta˜o5 k ∼ 0.55.
Confirme que nesses dois casos
x(k) = x(0.22) ∼ 1.12 e x(k) = x(0.55) ∼ 3.34.
5Esses valores de k foram calculados pelo estudante Rafael Kuch, a quem agradec¸o
CAP´ıTULO 20
As Coˆnicas e suas propriedades refletivas
1. Distaˆncia ate´ uma para´bola
Comec¸o este Cap´ıtulo considerando o seguinte problema: dada uma para´bola
y = C · x2, com C > 0 fixado, e dado um ponto (0, a) no eixo positivo dos y, qual a
distaˆncia mı´nima entre ele e os pontos do gra´fico da para´bola ? Ja´ o caso C = 1 e´
interessante:
Afirmac¸a˜o 1.1. Seja o ponto (0, a) do eixo dos y com a > 0 e seja da(x) a distaˆncia
entre esse ponto e os pontos (x, x2) do gra´fico da para´bola y = x2.
• i) se a > 1
2
enta˜o da(x) tem um ma´ximo local em x = 0 e dois pontos de
mı´nimo absoluto em x = ±
√
2a−1√
2
.
• ii) se a ≤ 1
2
enta˜o da(x) tem apenas um ponto de mı´nimo absoluto, em x = 0.
Ademais, se a = 1
4
enta˜o d 1
4
(x) = x2 + 1
4
.
A Figura a seguir ilustra a Afirmac¸a˜o: em vermelho y = d 3
4
(x), em verde y =
d 1
2
(x), em amarelo y = d 1
3
(x), em azul y = d 1
4
(x) e em lila´s y = d 1
9
(x).
1,4
1
0,2
1,2
0,8
x
1-1
0,4
0,6
-0,5 0 0,5
Veremos na pro´xima Sec¸a˜o 2, Definic¸a˜o 2.1, que
(0, a) = (0,
1
4
)
e´ o foco da para´bola y = x2 e que y = −1
4
e´ a sua reta diretriz.
Demonstrac¸a˜o.
255
1. DISTAˆNCIA ATE´ UMA PARA´BOLA 256
Temos
da(x) :=
√
(x− 0)2 + (x2 − a)2 =
√
x2 + (x2 − a)2,
cujo domı´nio sa˜o todos os Reais.
Enta˜o ma´ximos/mı´nimos sa˜o detectados por
d′a(x) =
x · (2x2 + 1− 2a)√
x2 + (x2 − a)2 = 0.
Ou seja, d′a(x) = 0 em
• i) x = 0 e em mais dois pontos x = ±
√
2a−1√
2
, desde que 2a− 1 > 0
• ii) apenas em x = 0, se 2a− 1 ≤ 0.
Podemos usar o Crite´rio da primeira derivada para detectar ma´ximos/mı´nimos
locais. Como claramente
lim
x→+∞
da(x) = lim
x→−∞
da(x) +∞
os mı´nimos locais sera˜o tambe´m globais.
No caso i),
d′a(x) < 0 se 0 < x <
√
2a− 1√
2
e
d′a(x) > 0 se −
√
2a− 1√
2
< x < 0.
o que diz que x = 0 e´ ponto de ma´ximo local de da(x).
Ainda no caso i),
d′a(x) > 0 se
√
2a− 1√
2
< x
e
d′a(x) < 0 se x < −
√
2a− 1√
2
,
o que diz que x = ±
√
2a−1√
2
sa˜o pontos de mı´nimo local da da(x).
Ja´ no caso ii), temos 2x2 + 1− 2a ≥ 0 e o sinal de d′a(x) e´ o mesmo sinal de x:
d′a(x) > 0 se 0 < x
e
d′a(x) < 0 se x < 0,
o que diz que x = 0 e´ ponto de mı´nimo local.
�
CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 257
2. Definic¸a˜o unificada das coˆnicas
No cole´gio se insiste em apresentar cada coˆnica separadamente, sem que se deˆ
uma definic¸a˜o unificada.
A Definic¸a˜o 2.1 a seguir englobara´ todas as coˆnicas, menos uma, o C´ırculo. Mas
veremos em seguida que a Definic¸a˜o 2.1 compreende a Definic¸a˜o 2.3, a qual se estende
naturalmente ao C´ırculo.
Lembre que a distaˆncia de um ponto P a uma reta r, denotada Pr a seguir, e´ a
distaˆncia do ponto P ao pe´ da perpendicular a r trac¸ada desde P .
Definic¸a˜o 2.1. Fixe uma reta r e um ponto F /∈ r. Uma coˆnica e´ o lugar geome´trico
no plano dos pontos P cuja distaˆncia PF esta´ numa raza˜o constante para a distaˆncia
P r. Ou seja:
PF
P r
= e, e > 0.
A grandeza e sera´ chamada de excentricidade da coˆnica, F , de foco e r, de diretriz.
Afirmac¸a˜o 2.1. Considere uma coˆnica de foco F , diretriz r e excentricidade e. Enta˜o
existe um sistema cartesiano de coordenadas em que
• a origem (0, 0) pertence a` conica,
• a diretriz vira a reta vertical x = −ρ, com ρ > 0,
• o foco e´ F = (eρ, 0)
• os pontos P = (x, y) da coˆnica satisfazem a equac¸a˜o:
(1− e2) · x2 − 2e(1 + e)ρ · x+ y2 = 0.
Ademais, se e = 1 a equac¸a˜o vira:
x =
1
4ρ
· y2
assim como o foco vira F = (ρ, 0) e a diretriz, x = −ρ.
Se e < 1 , a equac¸a˜o geral vira
x2
a2
− 2
a
· x+ y
2
b2
= 0,
onde
a :=
eρ
1− e > 0 e b :=
√
a2 · (1− e2) > 0.
Se e > 1, a equac¸a˜o geral vira:
x2
a2
+
2
a
· x− y
2
b2
= 0,
onde
a :=
eρ
e− 1 > 0 e b :=
√
a2(e2 − 1) > 0.
2. DEFINIC¸A˜O UNIFICADA DAS COˆNICAS 258
Definic¸a˜o 2.2. A coˆnica
x =
1
4ρ
· y2,
do caso e = 1 da Afirmac¸a˜o 2.1, e´ chamada para´bola.
• Ela tem o´bvia simetria no eixo dos y e o eixo x e´ chamado de eixo da para´bola.
• Um reta vertical pelo foco F = (ρ, 0) intersecta a para´bola em dois pontos
(ρ,±2ρ). A distaˆncia de F a cada um deles, que e´ 2ρ, e´ chamada semi-latus
rectum1 da para´bola.
• Num novo sistema cartesiano (x, y) em que o ve´rtice P0 esta´ em (x, y) = (h, k)
e o foco esta´ na reta y = k a para´bola
y2 = 4ρx
se escreve como:
(y − k)2 = 4ρ(x− h)
que expandido da´:
y2 − 2ky − 4ρx+ k2 + 4h = a1y2 + a2y + a3x+ a4 = 0.
Em Exerc´ıcios pode se pedir para, a partir de uma equac¸a˜o do tipo:
a1y
2 + a2y + a3x+ a4 = 0
determinar a para´bola, com o ve´rtice, o foco e a diretriz.
Tambe´m o papel de x e y pode estar trocado.
• A pista para chegar na para´bola esta´ em que so´ ha´ grau 2 em uma das
coordenas.
Para entendermos melhor as coˆnicas nos casos e 6= 1:
Afirmac¸a˜o 2.2. No caso 0 < e < 1 da Afirmac¸a˜o 2.1, existe um novo sistema de
coordenadas (x, y) dado por
x = x− a e y = y
em que a equac¸a˜o vira:
x
a2
+
y
b2
= 1
e no qual as coordenadas do foco sa˜o
F = (−
√
a2 − b2 , 0),
para
a :=
eρ
1− e > 0 e b :=
√
a2 · (1− e2) > 0.
Ademais2:
e =
√
a2 − b2
a
.
1semi largura ortogonal
2Na apostila c :=
√
a2 − b2 para elipses
CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 259
No caso 1 < e da Afirmac¸a˜o 2.1, existe um novo sistema de coordenadas (x, y)
dado por
x = x− a e y = y
em que a equac¸a˜o vira:
x
a2
− y
b2
= 1
e no qual as coordenadas do foco sa˜o
F = (
√
a2 + b2 , 0),
onde
a :=
eρ
e− 1 > 0 e b :=
√
a2(e2 − 1) > 0.
Ademais3:
e =
√
a2 + b2
a
.
Definic¸a˜o 2.3. A coˆnica do caso 0 < e < 1 da Afirmac¸a˜o 2.2 e´ chamada elipse.
Um reta vertical por F1 = (−
√
a2 − b2, 0) intersecta a elipse em dois pontos
(−√a2 − b2,± b2
a
). A distaˆncia de F1 a cada um deles, que e´
b2
a
, e´ o semi-latus rectum
da elipse.
Note que:
• A elipse tem simetria tanto no eixo dos x como no eixo dos y. Da´ı se obtem
que ela poderia ser definida tambe´m com base num segundo foco F2 :=
(
√
a2 − b2 , 0) como o foi com base em F1 := F = (−
√
a2 − b2, 0). Havera´
uma segunda diretriz, cuja distaˆncia ao foco F2 e´ a mesma da primeira diretriz
a F1.
ρ ρa a
b
b
F 1
r 1 r 2
F 2
• Se na equac¸a˜o
x2
a2
+
y2
b2
= 1
3Na apostila, c :=
√
a2 + b2 para hipe´rboles
2. DEFINIC¸A˜O UNIFICADA DAS COˆNICAS 260
fazemos a = b enta˜o os dois focos coincidem em (0, 0) e temos o C´ırculo de
raio a.
• O raio a = a2
a
do c´ırculo e´ um caso particularde semi-latus rectum.
• Num novo sistema cartesiano (x, y) em que o ve´rtice P0 esta´ em (x, y) = (h, k)
e os focos esta˜o na reta y = k, a elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1
se escreve como:
(x− h)2
a2
+
(y − k)2
b2
= 1
que expandido da´ uma expressa˜o do tipo:
a1x
2 + a2x+ a3y + a4y
2 + a5 = 0.
Em Exerc´ıcios pode se pedir para, a partir de uma equac¸a˜o de elipse do tipo
a1x
2 + a2x+ a3y + a4y
2 + a5 = 0
determinar focos, eixos e a excentricidade.
Tambe´m o papel de x e y pode estar trocado.
• A pista para chegar na elipse na forma (x−h)2
a2
+ (y−k)
2
b2
= 1 esta´ em completar
os quadrados, ou seja, agrupar os termos em x separadamente dos em y e
forc¸ar a parecer binoˆmios (x− h)2 e (y − k)2
Definic¸a˜o 2.4. A coˆnica do caso 1 < e da Afirmac¸a˜o 2.2 e´ chamada hipe´rbole e tem
simetria4 no eixo x e no eixo y.
Um reta vertical por F1 = (
√
a2 + b2, 0) intersecta a elipse em dois pontos
(
√
a2 + b2,±b
2
a
).
A distaˆncia de F1 a cada um deles, que e´
b2
a
, e´ o semi-latus rectum da hipe´rbole.
Demonstrac¸a˜o. (da Afirmac¸a˜o 2.1)
Seja enta˜o R ∈ r o pe´ da perpendicular a r trac¸ada desde F . Considere o segmento
de reta RF .
Afirmo que existe apenas um ponto5 P0 no segmento RF tal que
P0F = e · P0 r.
De fato, se identificamos a reta RF com os Reais, e se usamos a coordenada 0
para R e f > 0 para F , queremos resolver a equac¸a˜o:
f − x = e · (x− 0) = e · x,
o que da´:
(e + 1) · x = f,
cuja u´nica soluc¸a˜o e´ x0 =
f
e+1
. Noto que 0 < x0 < f , pois e > 0.
4Da´ı se obtem que poderia ser definida tambe´m com base num segundo foco F2 := (−
√
a2 + b2, 0)
como o foi com base em F1 := F = (
√
a2 + b2, 0).
5Sera´ chamado de ve´rtice
CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 261
Escolho como sistema cartesiano de coordenadas (x, y) aquele que tem origem em
P0, eixo horizontal P0F (orientado de R para F ) e eixo vertical a perpendicular a
P0F por P0.
Nesse sistema, P0 = (0, 0) e se ρ := P0r > 0 a diretriz e´
x = −ρ e F = (eρ, 0).
Ademais, pela sua Definic¸a˜o, qualquer ponto P = (x, y) da coˆnica verifica:√
(x− eρ)2 + y2 = e ·
√
(x+ ρ)2,
pois PF =
√
(x− eρ)2 + y2 e Pr = √(x+ ρ)2. Portanto os pontos da coˆnica satis-
fazem:
(x− eρ)2 + y2 = e2 · (x+ ρ)2,
ou seja, apo´s simplificar:
(1− e2) · x2 − 2e(1 + e)ρ · x+ y2 = 0.
Caso e = 1:
Nesse caso a equac¸a˜o acima vira:
4ρ · x = y2,
com F = (ρ, 0) e a diretriz vira x = −ρ.
Caso 0 < e < 1:
Nesse caso podemos dividir a equac¸a˜o
(1− e2) · x2 − 2e(1 + e)ρ · x+ y2 = 0
por 1− e2 obtendo:
x2 − 2eρ
1− e · x+
y2
1− e2 = 0.
Introduzo uma constante a e depois uma b pela regra:
a :=
eρ
1− e e b :=
√
a2 · (1− e2).
Ja´ e´ bom notar que:
0 < b < a, pois 0 < 1− e2 < 1.
Enta˜o a u´ltima equac¸a˜o vira:
x2 − 2ax+ a
2
b2
· y2 = 0
que dividida por a2 da´:
x2
a2
− 2
a
· x+ y
2
b2
= 0.
Caso 1 < e: Nesse caso, analogamente ao que fizemos no Caso anterior, mas com
a :=
eρ
e− 1 > 0 e b :=
√
a2(e2 − 1) > 0
obtemos a equac¸a˜o:
x2
a2
+
2
a
· x− y
2
b2
= 0.
2. DEFINIC¸A˜O UNIFICADA DAS COˆNICAS 262
�
Demonstrac¸a˜o. (da Afirmac¸a˜o 2.2)
No caso 0 < e < 1 ja´ temos a equac¸a˜o
x2
a2
− 2
a
· x+ y
2
b2
= 0
para a coˆnica, onde
a :=
eρ
1− e > 0.
Portanto vemos que essa coˆnica intersecta a reta y = 0 em P0 = (0, 0) e em
P1 := (2a, 0).
Considere o ponto me´dio do segmento P0P1:
C := (a, 0).
Vamos transladar a origem do sistema de coordenadas para C. Para isso esta-
belec¸amos um novo sistema de coordenadas (x, y) onde:
x = x− a e y = y.
Enta˜o a equac¸a˜o da coˆnica vira:
(x+ a)2
a2
− 2
a
· (x+ a) + y
2
b2
= 0,
ou seja:
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
O foco F tinha coordenada x dada por eρ e agora, no novo sistema, tera´ coorde-
nada x dada por:
eρ− a = eρ− eρ
1− e = −
e2ρ
1− e =
= −
√
e4ρ2
1− e = −
√
e2ρ2 − e2ρ2(1− e2)
1− e =
= −
√
e2ρ2
(1− e)2 −
e2ρ2(1− e2)
(1− e)2 =
= −
√
a2 − b2.
Das duas primeiras igualdades acima temos:
eρ− a = −ae
e do anterior:
e =
√
a2 − b2
a
.
Ja´ no caso 1 < e temos a equac¸a˜o
x2
a2
+
2
a
· x− y
2
b2
= 0
CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 263
para a coˆnica.
Portanto essa coˆnica intersecta a reta y = 0 em P0 = (0, 0) e em
P1 := (−2a, 0).
Considere o ponto me´dio do segmento P0P1:
C := (−a, 0).
ρ ρ
a a
C
r
F
r ’ 
F ’ 
Vamos transladar a origem do sistema de coordenadas para C. Para isso usamos
um novo sistema de coordenadas (x, y) onde:
x = x+ a e y = y.
Enta˜o a equac¸a˜o da coˆnica vira:
(x− a)2
a2
+
2
a
· (x− a)− y
2
b2
= 0,
ou seja:
x2
a2
− y
2
b2
= 1.
O foco F tinha coordenada x dada por eρ e agora, no novo sistema, tera´ coorde-
nada x dada por:
eρ+ a = eρ+
eρ
e− 1 =
e2ρ
e− 1 =
=
√
e4ρ2
e− 1 =
√
e2ρ2 + e2ρ2(e2 − 1)
e− 1 =
=
√
e2ρ2
(e− 1)2 +
e2ρ2(e2 − 1)
(e− 1)2 =
=
√
a2 + b2.
2. DEFINIC¸A˜O UNIFICADA DAS COˆNICAS 264
A simetria no eixo x da equac¸a˜o x
2
a2
− y2
b2
= 1 indica que a hipe´rbole poderia ser
definida em relac¸a˜o a um foco F ′ = (−√a2 + b2, 0) e uma diretriz r′, como mostra a
Figura acima.
A relac¸a˜o e =
√
a2+b2
a
e´ imediata das definic¸o˜es de a e b.
�
Uma observac¸a˜o final. Como para as elipses
e =
√
a2 − b2
a
e para as hipe´rboles
e =
√
a2 + b2
a
,
vemos que as expanso˜es/contrac¸o˜es dadas por
φ(x, y) = (λ · x, λ · y), λ > 0
na˜o mudam a excentricidade. A figuras a seguir mostram elipses e hipe´rboles com a
mesma excentricidade:
y
2
4
x
0
100 5
-4
-2
-10 -5
CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 265
Figura: Elipses de excentricidade igual a e =
√
9−1
3
y
2
4
0
-4x
10-10
-2 15-5 0-15 5
Figura: Hipe´rboles de excentricidade igual a e =
√
9+1
3
Voltaremos ao estudo das coˆnicas na Sec¸a˜o 7 do Cap´ıtulo 39, onde as descrevere-
mos em coordenas polares. Papel especial sera´ desempenhado pelas elipses.
3. A Para´bola e sua propriedade refletiva
A para´bola tambe´m aparecera´ com destaque mais adiante, na Sec¸a˜o 8 do Cap´ıtulo
35, associada a` bal´ıstica.
Um dos casos mais simples em que a reta tangente muda de acordo com o ponto
escolhido no gra´fico e´ o caso das para´bolas.
Mesmo assim ja´ podemos obter algumas informac¸o˜es interessantes, como o mostrara˜o
as Sec¸o˜es seguintes, desde que soubermos calcular essas tangentes.
Afirmac¸a˜o 3.1. Um ponto P satisfaz a equac¸a˜o
y = Cx2, C ∈ R
se e somente se P equidista da reta horizontal y = − 1
4C
e do ponto F = (0, 1
4C
)
(chamado de foco).
Demonstrac¸a˜o.
Para provarmos isso, basta usarmos o caso e = 1 da Afirmac¸a˜o 2.1, trocando x
por y e fazendo C = 1
4ρ
.
Mas tambe´m podemos fazer uma conta expl´ıcita, como segue.
Temos para P = (x, Cx2):
PF =
√
(x− 0)2 + (Cx2 − 1
4C
)2 =
=
√
x2 + C2x4 − x
2
2
+
1
42C2
=
3. A PARA´BOLA E SUA PROPRIEDADE REFLETIVA 266
=
√
C2x4 +
x2
2
+
1
42C2
=
=
√
(Cx2 +
1
4C
)2
e a distaˆncia de P ate´ a reta y = − 1
4C
e´ dada pelo tamanho√
(Cx2 +
1
4C
)2.
Reciprocamente, se P = (x, y) satisfaz√
x2 + (y − 1
4C
)2 =
√
(y +
1
4C
)2
enta˜o
x2 + (y − 1
4C
)2 = (y +
1
4C
)2
de onde
x2 + y2 − y
2C
+
1
42C2
= y2 +
y
2C
+
1
42C2
,
de onde:
x2 =
y
C
e y = Cx2.
�
Considere enta˜o a para´bola y = Cx2, com foco F := (0, 1
4C
) e reta diretriz hori-
zontal y = − 1
4C
.
Dado um ponto P = (x, Cx2) qualquer de seu gra´fico, denote p sua a projec¸a˜o
vertical na reta diretriz:
p := (x,− 1
4C
).
Afirmac¸a˜o3.2.
A reta rx que liga os pontos p = (x,− 14C ) e F = (0, 14C ) e´ ortogonal a` reta tangente
Tx ao gra´fico de y = Cx
2 em P = (x, Cx2).
Ademais, rx e Tx se intersectam emMx := (
x
2
, 0), que e´ o ponto me´dio do segmento
de p e F .
Em suma, Tx e´ a reta mediatriz do segmento ligando p e F .
As Figuras a seguir ilustram a Afirmac¸a˜o:
CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 267
4
2
0
-4
-2
x
420-4 -2
Fig: y = x
2
4
, tangente y = x− 1 em P = (2, 1),
onde F = (0, 1), M = (1, 0) e p = (2,−1).
4
0
-8
2
-2
x
40
-6
-4
-4 2-2
Fig: A Figura de antes e ademais a tangente y = 3
2
x− 9
4
em P = (3, 1), M = (3
2
, 0) e p = (3,−1).
Demonstrac¸a˜o.
Ja´ sabemos que a reta tangente Tx tem equac¸a˜o:
y = (2Cx) · x− Cx2.
E a reta rx ligando p e F tem coeficiente angular:
1
4C
− −1
4C
0− x =
−1
2Cx
,
logo rx e Tx sa˜o ortogonais.
Por passar por F = (0, 1
4C
) a equac¸a˜o de rx e´:
rx : y =
−1
2Cx
· x+ 1
4C
.
Avaliando ambas as equac¸o˜es de retas em Mx = (
x
2
, 0) vemos que Tx e rx conteˆm
Mx = (
x
2
, 0).
3. A PARA´BOLA E SUA PROPRIEDADE REFLETIVA 268
Ademais as coordenadas deMx sa˜o me´dia aritme´tica das coordenadas de (x,− 14C )
e (0, 1
4C
), logo Mx e´ ponto me´dio do segmento que os une.
�
Agora vamos extrair consequeˆncias da Afirmac¸a˜o 3.2.
Note que os triaˆngulos retaˆngulos ∆F P Mx e ∆p P Mx sa˜o congruentes: de fato,
PF = Pp ja´ que P esta´ na para´bola, FMx = Mxp por Mx ser ponto me´dio e PMx
ser lado comum a ambos.
Logo os aˆngulos ∠F P Mx e ∠Mx P p sa˜o congruentes.
Considere em torno de P os aˆngulos ∠Mx P p e seu aˆngulo oposto pelo ve´rtice.
Como sa˜o congruentes, temos que o aˆngulo que a reta vertical pP faz com a tangente
Tx e´ congruente com o aˆngulo ∠F P Mx.
PF
M
p
Em O´tica se postula que a luz se reflete numa curva da seguinte forma:
o aˆngulo de incideˆncia que se forma entre o raio de luz e a tangente da curva e´
igual ao aˆngulo (na˜o orientado) formado pelo raio refletido e a tangente da curva.
Pelo que vimos acima, isso quer dizer que raios de luz que chegam verticalmente
devem refletir na para´bola y = Cx2 e passar todos pelo ponto F = (0, 1
4C
) que por
isso merece o nome de foco, por concentrar a luz. Esse fato e´ usado em antenas,
microfones, espelhos de formato parabo´lico, para concentrar ondas, som, calor, luz
em um ponto, que e´ o Foco.
Como na˜o posso plotar retas verticais, na˜o pude fazer o Exemplo a seguir na
posic¸a˜o vertical. Tive que colocar na horizontal. E so´ pude usar metade da para´bola,
para ter um gra´fico. Enta˜o a Figura a seguir ilustra a concentrac¸a˜o de 5 raios hori-
zontais refletidos no Foco:
CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 269
2,5
1,5
2
1
0
x
0,8
0,5
0,20,4 10,60
Figura: Brac¸o da para´bola x = y
2
4
refletindo 5 raios horizontais no Foco F = (1, 0).
4. Prova anal´ıtica da propriedade do foco
Vou dar uma prova anal´ıtica do fato de que os raios verticais que incidem numa
para´bola sa˜o todos refletidos para o foco.
A afirmac¸a˜o a seguir sera´ u´til em outros contextos6:
Afirmac¸a˜o 4.1. Seja (x, y) ponto do gra´fico de y = f(x) em que o gra´fico na˜o tem
inclinac¸a˜o zero.
Se uma reta vertical por esse ponto e´ refletida no gra´fico de tal modo que o aˆngulo
de incideˆncia que forma com a reta tangente e´ igual ao aˆngulo que a reta refletida
forma coma reta tangente, enta˜o a equac¸a˜o da reta refletida e´:
y = (
f ′(x)2 − 1
2f ′(x)
) · x+ f(x)− (f
′(x)2 − 1
2f ′(x)
) · x.
Demonstrac¸a˜o.
Na figura a seguir em azul esta˜o os aˆngulos de incideˆncia e de reflexa˜o, supostos
iguais (congruentes). A reta horizontal e´ h.
Tambe´m t e n sa˜o as retas tangente e normal. Dois aˆngulos retos da˜o indicados.
6Aprendi isso no Tomo 3 do Traite´ des courbes speciales remarquables, planes et gauches, de F.
Gomes Teixeira, 1971, Chelsea Publishing Company
4. PROVA ANALI´TICA DA PROPRIEDADE DO FOCO 270
n
t
y = f(x)
h
Na figura a seguir veja: α = f ′(x) o aˆngulo que a reta tangente t faz com o eixo
horizontal, β o aˆngulo que o raio refletido faz com o eixo horizontal, α1 o aˆngulo que
a normal faz com a vertical e α2 o aˆngulo que o raio refletido faz com a normal.
n
t
y = f(x)
h
α
α
β
1
α
 2 
Note que que α1 e´ congruente com α. Ademais, da hipo´tese sai que α2 ≡ α1 E
da´ı:
α2 ≡ α1 ≡ α.
Enta˜o
β =
pi
2
+ α1 + α2 =
pi
2
+ 2 · α.
Na linha a seguir uso algumas identidades trigonome´tricas:
tan(β) = tan(
pi
2
− (−2α)) = cot(−2α) = − cot(2α) = − 1
tan(2α)
.
CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 271
Ou seja, usando agora a fo´rmula da tangente de 2α,
tan(β) = − 1
( 2 tan(α)
1−tan(α)2 )
.
Enta˜o o coeficiente angular da reta refletida e´:
tan(β) =
tan(α)2 − 1
2 tan(α)
=
f ′(x)2 − 1
2f ′(x)
e o coeficiente linear e´ imediato.
�
No caso da para´bola y = C · x2 a equac¸a˜o da reta refletida, de acordo com a
Afirmac¸a˜o 4.1, e´ enta˜o:
y = (
4C2x2 − 1
4Cx
) · x+ Cx2 − 4C
2x2 − 1
4C
=
= (
4C2x2 − 1
4Cx
) · x+ 1
4C
,
portanto todas passam por (0, 1
4C
), o foco.
5. A Elipse e sua propriedade refletiva
Afirmac¸a˜o 5.1. Um ponto P = (x, y) satisfaz a equac¸a˜o
x2
a2
+
y2
b2
= 1
se e somente se
PF1 + PF2 = 2a,
onde F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0) sa˜o os dois focos e
a2 = b2 + c2
.
Observe que esta Afirmac¸a˜o 5.1 da´ um me´todo pra´tico para trac¸ar uma elipse: fixe
dois pontos F1 e F2, com dois pregos, e ligue-os por um corda˜o maior que a distaˆncia
F1F2. Com um la´pis estique o corda˜o e agora mova o la´pis, sempre mantendo o
barbante esticado, trac¸ando pontos P . Voceˆ trac¸ara´ uma elipse, pois F1P + PF2 e´
constante.
Demonstrac¸a˜o. (da Afirmac¸a˜o 5.1)
Como notamos apo´s a Definic¸a˜o 2.3, uma elipse pode ser definida com relac¸a˜o a
dois pares Foco/diretriz: F, r ou F ′r′.
Para qualquer ponto P da elipse temos
PF = e · P r e PF ′ = e · P r′,
onde r, r′ sa˜o as retas diretrizes.
5. A ELIPSE E SUA PROPRIEDADE REFLETIVA 272
F F ’
ρ ρa a
r r ’
Logo
PF + PF ′ = e · r r′,
onde r r′ e´ a distaˆncia entre essas duas retas (paralelas).
Ou seja, que PF + PF ′ ≡ C e´ constante para pontos na elipse.
Na descric¸a˜o que demos, a excentricidade e da elipse verifica:
a =
eρ
1− e
ou seja, 2a− 2ae = 2eρ e portanto
2a = e · (2a+ 2p).
Ora, como nos lembra a Figura acima:
2a+ 2ρ = r r′
e´ a distaˆncia entre as duas retas diretrizes da elipse. Logo
PF + PF ′ ≡ 2a.
A Afirmac¸a˜o 2.2 e a simetria no eixo x da˜o que as coordenadas dos focos sa˜o
F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0), onde
c =
√
a2 − b2.
�
A elipse tem a nota´vel propriedade seguinte:
se P e´ um ponto da elipse e PF1, PF2 duas semiretas que ligam P aos focos,
enta˜o os aˆngulos formados por PF1 e a tangente em P e o formado por PF2 e a
tangente em P sa˜o iguais.
Em outras palavras, se um raio de luz sai de um foco e reflete na elipse enta˜o
ele passa no outro foco.
Para provar isso, notamos primeiro o seguinte:
CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 273
Afirmac¸a˜o 5.2. Se uma reta so´ intersecta uma elipse num u´nico ponto P , enta˜o
essa reta e´ a reta tangente a` elipse em P .
Demonstrac¸a˜o.
Considerarei apenas pontos da elipse x
2
a2
+ y
2
b2
= 1 com coordenada y > 0, ou seja,
onde posso representar a elipse pelo gra´fico de
y = b ·
√
1− x
2
a2
,
pois para os outros e´ ana´logo, usando outros gra´ficos do tipo y = y(x) ou x = x(y).
Uma reta y = A · x+B que passa por (x, b ·
√
1− x2
a2
) tem equac¸a˜o:
y = Ax+ (b ·
√
1− x
2
a2
− Ax).
Se a intersecto com a elipse x
2
a
+ y
2
b2
= 1 obtemos:x2
a2
+
(Ax+ b
√
1− x2
a2
− Ax)2
b2
− 1 = 0,
que e´ uma equac¸a˜o quadra´tica em x:
(
A2
b2
+
1
a2
) · x2 + (−2A
2x
b2
+
2
√
1− x2
a2
A
b
) · x+ a
2x2
b2
− x
2
a2
= 0
(note que de fato e´ quadra´tica em x, pois A
2
b2
+ 1
a2
> 0).
O dicriminante desta func¸a˜o quadra´tica em x e´:
4(−a4A2 + a2A2x2 − 2a2b
√
1− x2
a2
Ax− b2x2)
b2a4
,
e procuramos valores de A tais que, ∀x, anulem esse discriminante (pois isso dira´ que
para esses valores de A ha´ apenas 1 intersecc¸a˜o da reta com a elipse).
Ou seja, buscamos A que anulem o numerador
−a4A2 + a2A2x2 − 2a2b
√
1− x
2
a2
Ax− b2x2.
Uma conta tediosa prova que:
−a4A2 + a2A2x2 − 2a2b
√
1− x
2
a2
Ax− b2x2 =
= (−a4 + a2x2) · (A+ b x
a2
√
1− x2
a2
)2
e portanto
A =
−b x
a2
√
1− x2
a2
e´ o valor de A que anula o discriminante acima, ∀x.
5. A ELIPSE E SUA PROPRIEDADE REFLETIVA 274
Por outro lado reconhecemos que
−bx
a2
√
1− x2
a2
= f ′(x),
onde
f(x) = b ·
√
1− x
2
a2
.
Logo a reta que so´ corta a elipse em P e´ de fato a sua reta tangente.
�
A seguinte afirmac¸a˜o explica o fato de que um raio e luz saindo de um foco da
elipse e refletindo na elipse passara´ necessariamente pelo outro foco:
Afirmac¸a˜o 5.3. As semiretas que ligam um ponto P da elipse aos dois focos F1, F2
formam os mesmos aˆngulos (na˜o-orientados) com a tangente a` elipse passando por
P .
Demonstrac¸a˜o.
Considere P na elipse e o triaˆngulo ∆F1PF2 .
Tome um aˆngulo externo α desse triaˆngulo (veja a Figura).
F2
F2 ’
F1 
α
Considere a bissectriz desse aˆngulo (ou seja, uma semireta que o divide em dois
aˆngulos iguais, de valores α
2
).
Marque um ponto F ′2 no aˆngulo externo, cuja distaˆncia ate´ P seja a mesma de F2
(denote essas distaˆncias por PF2 = PF ′2). Veja a Figura:
F2
F2 ’
F1 
α/2
α/2
Q
β
r
CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 275
Tome qualquer ponto Q da reta r que conte´m essa bissectriz, Q 6= P . Ja´ que o Q
na˜o esta´ alinhado com F1 e F
′
2, temos:
F1Q +QF ′2 > F1P + PF
′
2 =
= F1P + PF2.
Ja´ que a elipse e´ o lugar dos pontos P com
F1P + PF2 ≡ 2a
vemos que Q na˜o esta´ na elipse.
Ou seja que o u´nico ponto da reta r que esta´ na elipse e´ P .
A Afirmac¸a˜o 5.2 anterior garante enta˜o que r e´ a tangente por P .
Mas o aˆngulo β e´ oposto pelo ve´rtice ao aˆngulo que mede α
2
.
Ou seja que as semiretas ligando P aos focos determinam aˆngulos com reta tan-
gente que medem ambos α
2
.
�
6. A Hipe´rbole e o ana´logo da propriedade refletiva
Afirmac¸a˜o 6.1. Um ponto P = (x, y) satisfaz a equac¸a˜o
x2
a2
− y
2
b2
= 1
se e somente se
|PF1 − PF2 | = 2a,
onde F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0) sa˜o os dois focos e b2 = c2 − a2.
Demonstrac¸a˜o.
Por exemplo suponhamos que PF1 − PF2 ≥ 0, como na Figura a seguir:.
F1 F2
P
ρ ρ
a a
Por definic¸a˜o
PF1 − PF2 = e · Pr1 − e · Pr2.
= e · r1r2
logo PF1 − PF2 ≡ C e´ constante.
6. A HIPE´RBOLE E O ANA´LOGO DA PROPRIEDADE REFLETIVA 276
Pela Afirmac¸a˜o 2.2,
a =
eρ
e− 1 ,
ou seja 2ae− 2a = 2eρ e
2a = e · (2a− 2ρ).
Mas
2a− 2ρ = r1r2,
como se veˆ na Figura acima.
Tambe´m a Afirmac¸a˜o 2.2 e a simetria da hipe´rbole no eixo x da˜o que os focos teˆm
essas coordenadas.
�
A hipe´rbole tem uma propriedade do mesmo tipo da elipse, a saber:
Os segmentos de reta que ligam um ponto de uma hipe´rbole aos seus dois focos
ficam bissectados pela reta tangente naquele ponto.
Para provarmos isso, como fizemos no caso da elipse, primeiro provaremos o
seguinte:
Afirmac¸a˜o 6.2. Se uma reta so´ intersecta uma hiperbole de equac¸a˜o x
2
a2
− y2
b2
= 1 (
a, b > 0 ) num u´nico ponto P , enta˜o
• i) essa reta e´ reta tangente a` hiperbole em P ou
• ii) e´ uma reta paralela a` reta y = b
a
· x ou
• iii) e´ uma reta paralela a` reta y = − b
a
· x.
y
2
-2
3
1
-3
x
640-4
-1
0
2-6 -2
Figura: a hipe´rbole x
2
22
− y2 = 1 e retas paralelas
a`s retas y = 1
2
· x e y = −1
2
· x.
Demonstrac¸a˜o. (Afirmac¸a˜o 6.2)
CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 277
Considero pontos da hipe´rbole x
2
a2
− y2
b2
= 1 com coordenada y > 0, ou seja, onde
posso representar a hipe´rbole pelo gra´fico de
y = b ·
√
x2
a2
− 1.
Quero intersectar com a hipe´rbole uma reta qualquer y = A · x+B que passa por
P = (x, b ·
√
x2
a2
− 1),
ou seja, uma reta da forma:
y = A · x+ b
√
x2
a2
− 1− Ax.
Obtenho enta˜o de
x2
a2
−
(A · x+ b
√
1− x2
a2
− Ax)2
b2
− 1 = 0,
a equac¸a˜o em x:
(
1
a2
− A
2
b2
) x2 + (
2A2x
b2
−
2
√
x2
a2
− 1A
b
) x− x
2
a2
− A
2x2
b2
+
2
√
x2
a2
− 1Ax
b2
= 0.
Essa equac¸a˜o deixa de ser uma equac¸a˜o quadra´tica em x quando
1
a2
− A
2
b2
= 0.
Ou seja, as retas passando por P com coeficientes angulares
A = ± b
a
so´ cortam a hipe´rbole em P .
Quando 1
a2
− A2
b2
6= 0 e a equac¸a˜o e´ quadra´tica, para termos P como u´nica inter-
secc¸a˜o da reta e da hipe´rbole precisamos ter a anulac¸a˜o do dicriminante da func¸a˜o
quadra´tica em x. Ou seja, buscamos a condic¸a˜o:
4(−a4A2 + a2A2x2 − 2a2b
√
x2
a2
− 1Ax+ b2x2)
b2a4
= 0,
onde procuramos por coeficientes angulares A tais que, ∀x, seja nulo esse discrimi-
nante.
Ou seja, queremos A que anule o numerador
−a4A2 + a2A2x2 − 2a2b
√
x2
a2
− 1Ax+ b2x2.
Mas uma conta tediosa mostra que:
−a4A2 + a2A2x2 − 2a2b
√
x2
a2
− 1Ax+ b2x2 =
6. A HIPE´RBOLE E O ANA´LOGO DA PROPRIEDADE REFLETIVA 278
= (−a4 + a2x2) · (A− b x
a2
√
x2
a2
− 1
)2
e portanto
A =
b x
a2
√
x2
a2
− 1
e´ o valor de A que anula o discriminante acima, ∀x.
Por outro lado reconhecemos que
b x
a2
√
x2
a2
− 1
= f ′(x),
onde
f(x) = b ·
√
x2
a2
− 1.
Logo, se uma reta corta a hipe´rbole em um u´nico P , enta˜o e´ a reta tangente em P
ou paralelas a y = b
a
· x ou y = − b
a
· x.
�
Afirmac¸a˜o 6.3. Quando |x| → ∞ os pontos da hiperbole x2
a2
− y2
x2
= 1 se aproximam
das reta y = b
a
· x ou da reta y = − b
a
· x (chamadas de ass´ıntotas).
Com esta Afirmac¸a˜o e a Afirmac¸a˜o 6.2 podemos dizer:
fora as tangentes, as u´nicas retas que so´ cortam a hipe´rbole em 1 ponto sa˜o as
retas paralelas a`s ass´ıntotas da hipe´rbole dada.
Demonstrac¸a˜o. (Afirmac¸a˜o 6.3)
Cada ponto da hipe´rbole x
2
a2
− y2
b2
= 1 pode ser descrito ou como ponto do gra´fico
de
f1(x) = b ·
√
x2
a2
− 1 = b
a
· √x2 − a2,
ou como ponto do gra´fico de
f2(x) = −b ·
√
x2
a2
− 1 = − b
a
· √x2 − a2.
Se vamos fazer |x| → ∞, obviamente podemos supoˆr |x| 6= 0 e escrever:
f1(x) =
b
a
√
x2(1− a
2
x2
) =
b
a
|x|
√
1− a
2
x2
,
f2(x) = − b
a
√
x2(1− a
2
x2
) = − b
a
|x|
√
1− a
2
x2
,
CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 279
e claramente:
lim
|x|→+∞
√
1− a
2
x2
= 1.
Ou seja, quando |x| → ∞ o gra´fico de f1 tende ao gra´fico de y = ba · |x| enquanto que
o de f2 tende ao de y = − ba · |x| .
Podemos ser mais detalhados:
Se x → +∞, temos o gra´fico de f1(x) se aproximando do de y = ba · x. Mas se
x→ −∞ temos f1(x) se aproximando de
y =
b
a
· (−x) = − b
a
· x.
Se x → +∞, temos o gra´fico de f2(x) se aproximando do de y = − bax. Mas se
x→ −∞ temos f2(x) se aproximando do de
y = − b
a
· (−x) = b
a
· x.
�
Afirmac¸a˜o 6.4. As semiretas que ligam um ponto P da hipe´rbole aos dois focos
F1, F2 formam os mesmos aˆngulos (na˜o-orientados) com a tangente a` hipe´rbole em
P .
Demonstrac¸a˜o.
Considere P um ponto da hipe´rbole.Como |PF1 − PF2 | ≡ C > 0 posso supor
que tomei P no ramo da hipe´rbole onde PF1 − PF2 ≡ C > 0 (seria ana´logo o outro
caso, trocando os pape´is de F1 e F2).
F1 F2
P
Q
F2 ’ 
α/2 α/2 
Marque no segmento de reta [F1P ] o ponto F
′
2 que tem PF2 = PF
′
2.
Considere a bissectriz r do aˆngulo α em P que faz parte do triaˆngulo ∆F1PF2.
6. A HIPE´RBOLE E O ANA´LOGO DA PROPRIEDADE REFLETIVA 280
Tome um ponto Q ∈ r, Q 6= P .
Caso 1: Suponhamos QF1 ≥ QF ′2:
Enta˜o como Q na˜o esta´ alinhado com F1, F
′
2, P , temos:
QF ′2 + F
′
2F1 > F1Q,
e portanto:
F ′2F1 > F1Q−QF ′2 ≥ 0.
Note que a nossa reta r funciona tambe´m como mediatriz do segmento [F ′2F2] (por
ser a bissectriz do triaˆngulo iso´sceles ∆F ′2PF
′
2). Logo
QF ′2 = QF2
e portanto:
F ′2F1 > F1Q−QF2.
Por outro lado, ja´ que o ponto F ′2 esta´ no segmento [F1P ], temos:
F ′2F1 = PF1 − PF ′2 =
= PF1 − PF2.
Como este u´ltimo valor e´ positivo, pela escolha de P ,
|PF1 − PF2 | = PF1 − PF2 ≡ C > 0
e
|PF1 − PF2 | > F1Q−QF2 ≥ 0
nos faz concluir que Q na˜o pertence a` elipse.
Ou seja, que da reta r somente o ponto P esta´ na elipse.
Vemos em seguida que r na˜o e´ paralela a nenhuma das ass´ıntotas da hipe´rbole.
Portanto, pela Afirmac¸a˜o 6.2, concl´ımos que r e´ a tangent a` hipe´rbole no ponto P .
Caso 2: Suponhamos QF ′2 ≥ QF1:
Enta˜o como Q na˜o esta´ alinhado com F1, F
′
2, P , temos:
QF1 + F1F ′2 > QF
′
2,
e portanto:
F ′2F1 > QF
′
2 −QF1 ≥ 0.
O Resto da prova neste Caso 2 e´ exatamente igual ao do Caso 1.
�
CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 281
7. Famı´lia de coˆnicas co-focais ortogonais
Considere a seguinte famı´lia de coˆnicas:
x2
λ
+
y2
λ− k2 = 1, k > 0,
com k fixado e o paraˆmetro λ > 0, λ 6= k2.
A Figura a seguir ilustra o caso em que k = 2, onde escolhi 10 valores
λ = 15, 10, 8, 6, 5, 3.5, 3, 2, 1, 0.3
0y
-4
2
4
x
4
-2
-4 -2 20
A Afirmac¸a˜o a seguir descreve a famı´lia em detalhe. O item iv) e´ surpreendente !
Afirmac¸a˜o 7.1.
• i ) todas as coˆnicas dessa famı´lia teˆm os mesmos Focos (k, 0) e (−k, 0). Se
λ − k2 > 0 a coˆnica correspondente ao λ e´ uma elipse com excentricidade
k√
λ
. Se λ − k2 < 0 a coˆnica correspondente ao λ e´ uma hipe´rbole com
excentricidade k√
λ
.
7. FAMI´LIA DE COˆNICAS CO-FOCAIS ORTOGONAIS 282
• ii) em cada ponto (x, 0) do eixo dos x, diferente dos dois Focos (k, 0) e (−k, 0)
e da origem, so´ passa um elemento da famı´lia de coˆnicas. De fato, se |x| > k
enta˜o passa so´ uma elipse cujo paraˆmetro e´ λ = x2 e cuja excentricidade e´
e = a|x| < 1. E se |x| < k enta˜o so´ passa uma hipe´rbole cujo paraˆmetro e´
λ = x2 e cuja excentricidade e´ e = a|x| > 1.
• iii) em cada ponto (0, y) do eixo dos y, diferente da origem so´ passa uma
elipse da famı´lia, com paraˆmetro λ = k2 + y2 e excentricidade k√
k2+y2
• iv) em cada ponto (x, y) com x · y 6= 0 passam dois elementos da famı´lia,
uma elipse e uma hipe´rbole, e a intersecc¸a˜o e´ ortogonal7
Demonstrac¸a˜o.
Do item i):
Basta aplicar a Afirmac¸a˜o 2.2 para encontrar os focos e a excentricidade. Note
que se λ− k2 < 0 as hipe´rboles sa˜o:
x2
λ
− y
2
k2 − λ = 1.
De ii):
Dado o ponto (x, 0) a expressa˜o:
x2
λ
+
y2
λ− k2 = 1, k > 0
produz a seguinte equac¸a˜o quadra´tica em λ:
λ2 − λ · (k2 + x2) + k2 · x2 = 0.
Se x2 − k2 > 0 (ou seja, |x| > k) o discriminante dessa equac¸a˜o vira:
x2 − k2
e obtemos duas soluc¸o˜es:
λ = x2 e λ = k2
mas por hipo´tese exclu´ımos λ− k2. Analogamente se x2 − k2 < 0.
De iii): Para um ponto (0, y) equac¸a˜o em λ agora e´ linear:
y2
λ− k2 = 1⇔ λ = k
2 + y2.
De iv):
Deixo para o leitor verificar que para cada ponto (x, y) com x · y 6= 0 passam duas
coˆnicas diferentes, uma com excentricidade > 1 e a outra < 1. A u´nica coisa que
quero destacar e´ que os paraˆmetros λ1, λ2 sa˜o as soluc¸o˜es da equac¸a˜o quadra´tica em
λ:
λ2 − λ · (k2 + x2 + y2) + x2 · k2 = 0
7Quando duas curvas se intersectam, o aˆngulo que formam e´ medido com base no aˆngulo formado
por suas retas tangentes.
CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 283
que sai de
x2
λ
+
y2
λ− k2 = 1.
Lembro que:
λ1 + λ2 = k
2 + x2 + y2 e λ1 · λ2 = x2 · k2,
ja´ que
λ2 − λ · (k2 + x2 + y2) + x2 · k2 = (λ− λ1) · (λ− λ2).
Nesses pontos (x, y) com x · y 6= 0, as duas curvas da famı´lia que passam pelo
ponto na˜o sa˜o verticais, ou seja, localmente em torno de cada ponto as duas curvas
sa˜o gra´ficos da forma y = fλ1(x) e y = fλ2(x). De fato,
∂( x
2
λ
+ y
2
λ−k2 − 1 )
∂y
= 0⇔ y = 0
e podemos usar o Teorema 2.1 do Cap´ıtulo 15.
Tambe´m por esse mesmo Teorema calculo:
f ′λ1(x) = −
(2x
λ1
)
( 2y
λ1−k2 )
=
−x
y
· (λ1 − k
2
λ1
),
enquanto que
f ′λ2(x) =
−x
y
· (λ2 − k
2
λ2
).
Agora noto que termos a condic¸a˜o:
f ′λ1(x) =
−1
f ′λ2(x)
equivale a termos
(x2 + y2) · λ1 · λ2 − x2 · k2 · (λ1 + λ2) + x2 · k4 = 0,
o que conseguimos que seja verdade se usamos:
λ1 · λ2 = x2 · k2 e λ1 + λ2 = k2 + x2 + y2.
Ora,
f ′λ1(x) =
−1
f ′λ2(x)
e´ a condic¸a˜o de ortogonalidade, por isso cada par elipse-hipe´rbole que se encontra
num ponto e´ ortogonal.
�
Para vermos exemplos de famı´lias de cu´bicas ortogonais precisaremos da Sec¸a˜o 3
do Cap´ıtulo 50.
8. EXERCI´CIOS 284
8. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 8.1.
Chamamos uma hipe´rbole x
2
a2
− y2
b2
= 1 de retangular se suas ass´ıntotas sa˜o ortog-
onais entre si.
Qual a relac¸a˜o entre a e b que e´ necessa´ria e suficiente para termos uma hipe´rbole
retangular ?
Exerc´ıcio 8.2. (resolvido)
Um planeta de move em trajeto´ria el´ıptica, em que o Sol e´ um dos focos da elipse.
Observado a partir de um ponto (x, y) = (0, 0), o planeta esta´, num certo instante
t0, na posic¸a˜o (x0, y0), onde x0 > y0 > 0.
Ademais, sua coordenada x tem em t0 uma taxa de variac¸a˜o de−1 UA/s, enquanto
que sua coordenada y tem taxa de variac¸a˜o de 1 UA/s.
i) Determine a equac¸a˜o (padra˜o) da elipse que descreve sua trajeto´ria.
ii) Determine as posic¸o˜es poss´ıveis do Sol.
iii) A distaˆncia do foco onde esta´ o Sol ate´ o ve´rtice mais pro´ximo e´ chamado de
perihe´lio do planeta. Determine-o.
CAP´ıTULO 21
Integrac¸a˜o e o Primeiro Teorema Fundamental
1. A´rea sob um gra´fico positivo
Dado um gra´fico de uma func¸a˜o cont´ınua y = f(x) ≥ 0 quero entender qual a
A´rea compreendida sob esse gra´fico e acima do eixo x, da vertical x = a ate´ a vertical
x = b.
Se y = f(x) = ax+b e´ uma reta tudo ok, ja´ sabemos o que sa˜o a´reas de triaˆngulos,
retaˆngulo, trape´zios, etc. Mas e se y = f(x) na˜o for uma reta ? Se f(x) na˜o e´ a
equac¸a˜o de uma reta, vemos que realmente precisamos definir de maneira matemati-
camente correta a intuic¸a˜o que temos de que ha´ uma figura sob esse gra´fico e que ela
tem uma certa a´rea.
A ide´ia de Bernard Riemann e´ de ir subdividindo o domı´nio da f e colocando lado
a lado retaˆngulos sob o gra´fico (vou chama´-los de retaˆngulos justapostos sob o gra´fico).
A soma das a´reas desses retaˆngulos e´ menor que a a´rea buscada, mas a medida que
se refina a subdivisa˜o do domı´nio a soma de a´reas dos retaˆngulos justapostos sob o
gra´fico se aproxima de um certo valor.
Isso funciona bem por exemplo se f : [a, b]]→ R e´ cont´ınua.
Se f na˜o fosse cont´ınua em [a, b], quem sabe os valores da f ficassem ta˜o altos
quanto quise´ssemos, o que levaria em muitos casos a que a a´rea da regia˜o sob seu
gra´fico devesse ser considerada infinita, na˜o um nu´mero determinado. 1
1Veremos mais adiante, quando tratarmos de integrais impro´prias que, a`s vezes, a integrac¸a˜o
consegue domar o infinito, tanto do tamanho do intervalo onde se integra, quanto dos valores da
func¸a˜o em [a, b].
285
2. QUAL FUNC¸A˜O DESCREVE AS A´REAS SOB GRA´FICOS?