Unidade IV

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UERJ - CTC - IME - Departamento de Informática e Ciência da Computação 
Cálculo Numérico — Professora Mariluci Ferreira Portes 
 
 
 
 
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Unidade IV - Sistemas Lineares 
IV.1 - Introdução 
 
O Problema que aparece no cálculo de estruturas, em redes elétricas, e em solução de 
equações diferenciais é o da resolução de um sistema linear de “ n ” equações a “ n ” incógnitas. Sn 
é um sistema tal que: 
S
a x x x
a x x x
a x x x
n
n
n n
n n nn n

 
 
 







11 1 12 2
21 1 2 2
1 1 2 2
 a + a = b
 a + a = b
+ 
 a + a = b
1n 1
22 2
n


    

 
S an
j
n
  

 i j j x (1 i n)
1
 
 
Sob a forma matricial Sn pode ser escrito como A x = b, onde A é uma matriz de ordem 
“ n ” , b e x são matrizes n  1. 
A matriz B = 
a a a b
a a a b
a a a b
n
n
n n nn n
11 21 1 1
21 22 2 2
1 2


    













 é chamada de matriz estendida do sistema Sn . 
 
Definição: 
O vetor 
x
 = ( 
x 1 , x 2 , ... , x n ) 
t
 constitui uma solução para Sn se para xi = x i 
(1 i  n) as equações de Sn forem satisfeitas. 
Um sistema linear pode ser classificado do seguinte modo: 
1. Compatível (quando possuí solução): 
a. Determinado (única solução) 
b. Indeterminado (infinitas soluções) 
2. Incompatível (quando NÃO possuí solução) 
 
Exemplos: 
 
1) O sistema Ax = 0 é homogêneo e todo sistema homogêneo é compatível, pois admite 
pelo a solução trivial. 
2) O sistema S2 = x x
x x
1 2
1 2
0
1
 
 



 é incompatível. Geometricamente temos: 
 x 2 
x1 + x2 = 0 
 
 x 1 
 x1 + x2 = 1 
As retas são paralelas 
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45 
3) O sistema S2 = x x
x x
1 2
1 2
0
0
 
 



 
O sistema é incompatível e determinado. Geometricamente temos: 
 x 2 
 
 
 x1 - x2 = 0 
 
 
 x 1 
 
 
 x1 + x2 = 0 
 
 
 
 
4) O sistema S2 = x x1 2
1 2
0
2 2 0
 
 


 x x
 é incompatível indeterminado. Geometricamente 
temos: 
 x 2 
 
 
 
 
 
 x 1 
 
 
Retas Coincidentes 
 x1 + x2 = 0 
 2x1 + 2x2 = 0 
 
 
 
 
 
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IV.1.1 - Sistemas triangulares 
 
Seja Sn um sistema da forma Ax = b, onde A = ai j tal que: 
aij  0 se j < i com i, j = 1, n ou:
 
S
 a
 
 a
n
22
nn

   
  








a x a x a x b
x a x b
x b
n n
n n
n n
11 1 12 2 1 1
2 2 2
...
...
   
 Um sistema deste tipo é dito triangular superior. 
 
Observe que os sistemas triangulares superiores determinados, isto é, quando a i j  0 
(i, j = 1,n) são facilmente resolvidos pelo processo retroativo, que consiste em: 
 
a) Obter o valor de xn da n-ésima equação por meio da relação: 
xn = b
a
n
nn
 (ann  0)
 
 
b) Substituir o valor de xn na equação de ordem (n-1) para obter xn - 1 . E assim 
sucessivamente, até calcular x1 . 
 
Se algum elemento da diagonal principal for zero, teremos a situação: 
ax , se:1  
 
b a xij j
j i
n
1
1
 
b a xij j
j i
n
1
1

 

  sistema indeterminado 
b1 
 
 a xij j
j i
n
1
  sistema incompatível 
Exemplo: 
Resolver o S4 pelo processo retroativo: S
 
 x x - 2x 
 4x - 5x 
 2 
4
4
3 4

    
  









3 4 5 10
1
3
2
1 2 3 4
2 3
4
x x x x
x
 
Solução: 
Da 4
a
. equação vem: 
x4
2
2
1 
 
Da 3
a
. equação vem: 
x3
3 5
4
2


 
Da 2
a
. equação vem: 
x2
1 2 2
1
1
  
 
 
Da 1
a
. equação vem: 
x1
10 4 10 1
3
1
   

 Resposta : 
x
 = (1 -1 2 1) 
 
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IV.1.2 - Norma de um vetor 
 
Norma de um vetor x = (x1 , x2 , x3 ,..., xn) é todo número real denotado por || ||, 
associado a x, que satisfaz a: 
 || x || > 0 e || x || = 0  x = 
0
 
 || x + y ||  || x || + || y || onde x, y  rn 
 || c · x || = | c | · || x || onde c  r 
 
Definição 1: A maior componente em módulo do vetor x é uma norma para x. 
|| x || = máx | xi | onde 1  i  n 
 
x = (3 – 50) x + y = (5 – 4 3 ) x = 5 x + y = 5  ... x + y = 8 
y = (2 1 3) y = 3 
 
Seja c = -2 
c · x = (-6 10 0) || c x || = 10 = | c | · || x || 
 
Definição 2: O 
| |xi
i
n


1
 também é uma norma para o vetor x. É conhecida como norma c. 
 
IV.1.3 - Transformações elementares 
 
São operações sobre as equações dos sistemas lineares, tais como: 
a) Trocar a ordem de duas equações do sistema; 
b) Multiplicar uma equação do sistema por uma constante não nula; 
c) Adicionar duas equações do sistema. 
Definição : Dois sistemas lineares Sn e Sn’ são equivalentes quando Sn’ é obtido de Sn 
por meio de transformações elementares. Nesse caso, Sn tendo solução, Sn’ também terá. 
Os métodos para resolução de sistemas lineares são: 
I - Métodos de eliminação. 
II - Métodos iterativos. 
 
IV.2 - Método de eliminação de Gauss 
Dado o sistema Sn , a matriz estendida é: B
a a a b
a a a b
a a a b
n
n
n n nn n













11 12 1 1
21 22 2 2
1 2


    

 
O método de Gauss consiste em transformar a matriz B em uma matriz triangular 
superior, da seguinte forma: 
1
0 1
0 0 1
0 0 0 1
12
1
13
1
1
1
1
1
23
2
2
2
2
2
3
3
3
3
a a a b
a a b
a b
b
n
n
n
n
n
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )



     

















, onde os índices superiores 
indicam o número de modificações realizadas em cada linha. 
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Aplica-se o processo retroativo para se obter a solução desejada. 
Algoritmo do método: 
Eliminação de ordem k: 
 Supondo akk
( k - 1)
  0, dividir a linha lk
( k -1)
 por akk
( k - 1)
 (“pivô”), obtendo-se assim uma nova 
linha lk
( k )
 . 
 “Zerar” os elementos aik (i = i +1, n) usando-se a transformação: 
li 
(k)
 = li 
(k - 1)
 - ai k · lk 
(k)
 , com (k = i +1, n) e (i = 2, n) . 
 
IV.2.1 - Condensação pivotal parcial 
 
Os métodos de eliminação são exatos, mas podem conduzir a soluções errôneas devido 
ao erro de arredondamento. 
Para evitar isto, usaremos a condensação pivotal parcial, cujo procedimento é redispor 
as linhas de tal forma que a linha do elemento pivô permaneça fixa e que o elemento pivô seja 
escolhido dentre os elementos da coluna que tem o maior valor absoluto. 
A finalidade da condensação pivotal parcial é: 
 Minimizar o erro de arredondamento. 
 Evitar a divisão por zero. 
 Testar a singularidade do sistema. 
Exemplo: Resolver o sistema 
S
x x x
x x x
x x x
3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 40 39
36 106 7 63
25 5 12 32

 
   
  





 +
 
 
 pelo método de 
eliminação de Gauss com condensação pivotal parcial. 
Solução: 
2 3 40 39
36 106 7 63
25 5 12 32
36 106 7 63
2 3 40 39
25 5 12 32
36
2
25
1 2 94 019 1 75
0 2 88 39 62 42 5
0 68 5 7 25 75 5
1
1
1
2
1
2 1
1
3
1
3 1
1
























 
 















CPP
L L
L L L
L L L
( )
( ) ( )
( ) ( )
/ , , ,
, , ,
, , ,















 
 


 










CPP L L
L L L
1 2 94 0 19 1 75
0 68 5 7 25 75 75
0 2 88 39 62 42 5
68 5
2 88
1 2 94 0 19 1 75
0 1 0 106 1106
0 0 39 315 39 315
2
2
2
1
3
2
3
1
2
2
, , ,
, , ,
, , ,
/ ( , )
,
, , ,
, ,
, ,
( ) ( )
( ) ( ) ( )
 
  

 










L L3
3
3
1
39 315
1 2 94 019 1 75
0 1 0 106 1106
0 0 1 1
( ) ( )
/ ,
, , ,
, ,
 
Pelo Processo Retroativo: 
x3 = 1 
x2 = - 1,106 + 0,106 = -1 
x1 = -1,75 - 0,19 + 2,94 = 1 Resp.: x = (1 -1 1)
t
 
 
IV.3 - Métodos Iterativos 
 
A solução 
x
 de um sistema linear AX = B pode ser obtida utilizando-se um método 
iterativo, que consiste em gerar uma seqüência de soluções x
(1)
, x
(2)
, x
(3)
, ..., x
(k)
, aproximações de 
x
, sendo dada uma aproximação inicial x
(0)
. 
 
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Para se aplicar o método é necessário transformar o sistema dado em: x = F (x) + d , 
onde: 
* F é uma matriz de ordem n, chamada de matriz iteração; 
* x, d são matrizes n  1 
 
 
Sendo x
(0)
 = (x1
(0)
, x2
(0)
, ..., xn
(0)
) a aproximação inicial, determinamos: 
x Fx d
x Fx d
x Fx d
x Fx dk k
(1) ( )
( ) (1)
( ) ( )
( ) ( )
 
 
 
 
0
2
3 2
1
  
 
O critério de parada é dado por 
lim ( )
k
kx x

  0
. Neste caso, temos x
(k)
 como solução 
aproximada. 
Obs.: 
x x má x x xk i
k
i
( ) ( )  
 1 i n
 
 
IV.3.1 - Método de Jacobi 
 
Considere o sistema: S
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
n
n n
n n
n n nn n n

   
   
   







11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
     
 
Explicitemos x1 na 1ª equação 
 x2 na 2ª equação 
   
 x n na n-ésima equação 
Daí resulta: 
x )(
1
k = 1 (b1 – a12 x2 – a13 x )1( k
x
 - ... – a1n x
)1( k
n
 
 
a
11 
 
x
)(
2
k
 = 1 (b2 – a21 x )1(
1
k – a23 x )1( k
x
 - ... – a2n x
)1( k
n
 É necessário que aii  0 (i = 1,n). 
 
a
22 
 . 
 . 
 . 
 
xn
(k)
 = 1 (bn– an1 x )1(
1
k – an2 x2
(k-1)
 - ... – an n-1 x
)1(
1


k
n
 
 a
nn 
 
Desse modo, podemos escrever o sistema da forma x = F x + d. 
x = (x1 , x2, ..., xn )
t
 
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50 
F
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
n
nn
n
nn
n
nn

  
  
  
















0
0
0
12
11
13
11
1
11
21
22
23
22
2
22
1 2 3


    

 
d
b
a
b
a
b
a
n
nn
t







1
11
2
22
 
 
O método de Jacobi consiste em: 
 partindo-se da aproximação inicial x(0) 
 gera-se a seqüência de aproximações x(1), x(2), ..., x(k) 
 como critério de parada, utilizamos 
x xk k( ) ( ) 1 
 , onde  = precisão desejada para 
raiz. 
 
Exemplo: Resolver o sistema: 
S
x x
x x
2
1 2
1 2
2 1
2 3

 
 



 pelo método de Jacobi, com 2 casas 
decimais exatas. 
Solução: Equações de iteração: 
x x
x x
X
k k
k k
1 2
1
2 1
1
0
1
2
1
1
2
3
0 9
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ,
 
 



 0,9)
 
1ª. Iteração 
 
x
)1(
1
= ½ (1+0,9) = 0,95 
x
)1(
2
= ½ (3- 0,9) = 1,05 
 
x(1) – x(0) = 0,95 – 0,9) (1,05 – 0,9)  = (0,5) (0,15) = 0,15 > 10-3 
 
 
 
 
 
2ª. Iteração 
 
 x
)2(
1
 = ½ (1+1,05) = 1,025 
 x
)2(
2
 = ½ (3 – 0,95) = 1,025 
 x(2) – x(1) = 0,075 > 10-3 
 
 
 
 
 
 
3ª.Iteração 
 
 x
)3(
1
 = ½ (1+ 1,025) = 1,0125 
 x 
)3(
2
 = ½ (3 – 1,025) = 0,9875 
x3 – x2  = 0,0375 > 10-3 
 
 
 
 
 
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51 
 
4ª. Iteração 
 
 x1
(4)
 = ½ (1+ 0,9875) = 0,99375 
 x2
(4)
 = ½ (3 – 0,9875) = 0,99375 
 x4 – x3  = 0,01875 > 10-3 
 
 
5ª. Iteração 
 
 x1
(5)
 = ½ (1+ 0,99375) = 0,996875 
 x2
(5) 
= ½ (3 – 0,99375) = 1,003125 
 x(5) – x(4) = 0,009375 > 10-3 
 
 
6ª. Iteração 
 
 x1
(6)
 = ½ (1+ 1,003125) = 1,0015625 
 x2
(6) 
= ½ ( 3 – 0,996875) = 1,0015625 
 x(6) – x(5) = 0,0046875 > 10-3 
 
 
 
 
 
7ª. Iteração 
 
 x1
(7)
 = ½ (1 + 1, 003125) = 1,00078125 
 x2
(7)
 = ½ (3 – 0.996875) = 0,99921875 
x(7) – x(6) = 0,00234375 > 10-3 
 
 
8ª. Iteração 
 
x1
(8) 
= ½ (1 + 0,99921875) = 0,99960938 
x2
(8)
 = ½ (3 – 1,00078125) = 0,99960938 
x(8) – x(7) = 0,00117187 > 10-3 
 
 
9ª. Iteração 
 
x1
(9) 
= ½ (1 + 0,99960938) = 0,99980469 
x2
(9)
= ½ (3 – 0,99960938) = 1,00019531 
x(9) – x(8) = 0,00058593 < 10-3 
  
Resp: x = ( 0,99 1,00)
t
  (0,01 0,01)
t 
 
 
 
 
 
 
 
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52 
 
 
IV.3.2 - Método de Gauss-Seidel 
 
Seja o sistema AX = b, na forma X = F X + b. 
O método iterativo de Gauss-Seidel consiste em: 
 partindo-se da solução inicial x(0) = ( x1
(0)
 x2
(0)
 x3
(0)
 ... xn
(0)
 ) 
 gerar a seqüência de aproximações x(1), x(2), ..., x(k) através das equações 
de iteração: 
) ... (
1
 
) ... (
1
) ... (
1
) ... (
1
)(
1)1(
)(
22
)(
11
)(
)1(
3
)(
332
)(
2313
33
)(
3
)1(
2
)1(
323
)(
1212
22
)(
2
)1(
1
)1(
313
)1(
2121
11
)(
1
k
nnn
k
n
k
nn
nn
k
n
k
nn
kkk
k
nn
kkk
k
nn
kkk
xaxaxab
a
x
xaxaxab
a
x
xaxaxab
a
x
xaxaxab
a
x









 
 Como critério de parada utilizamos || x(k) - x(k - 1) || <   a precisão 
desejada. 
 Obs.: Este método converge mais rápido que o de Jacobi. 
 
 
 
Exemplo: Resolver o sistema: 2x x
 x
1  
 



2
1 2
1
2 3x
 pelo método de Gauss-Seidel com 2 
casas decimais. 
 
1ª. Iteração 
x
(0)
 = (0,9 0,9)  = 0,001 
 
3)0()1(
)1(
2
)(
1
)(
2
)1(
1
)1(
2
)(
1
10125,0
025,1)95,03(
2
1
)3(
2
1
95,0)9,01(
2
1
)1(
2
1





xx
xxx
xxx
kk
kk
 
 
2ª. Iteração 
x
x
x x
1
2
2
2
2 1 3
1
2
1 1 025 1 0125
1
2
3 1 0125 0 99375
0 0625 10
( )
( )
( ) ( )
( , ) ,
( , ) ,
,
  
  
   
 
 
3ª. Iteração 
x
x
x x
1
3
2
3
3 2 3
1
2
1 0 99375 0 996875
1
2
3 0 996875 1 0015625
0 015625 10
( )
( )
( ) ( )
( , ) ,
( , ) ,
,
  
  
   
 
 
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53 
 
4ª. Iteração 
3)3()4(
)4(
2
)4(
1
100039063,0
9996094,0)0007813,13(
2
1
0007813,1)0015625,11(
2
1



xx
x
x
 
 
5ª. Iteração 
3)4()5(
)5(
2
)5(
1
100009766,0
0009765,1)9992187,03(
2
1
9998047,0)9996094,01(
2
1



xx
x
x
 
 
 
Resp: 
x
 = (0,99 1,00)
t
  (0,01 0,01)t 
 
 
 
IV.3.3 - Convergência dos métodos iterativos 
 
Seja o sistema AX = b, na forma: 
(1) x = F x + d , e a iteração definida por: 
(2) x
 (k + 1)
 = F x
 (k)
 + d 
Subtraindo (1) de (2)  x (k + 1) - x = F (x (k) - x) 
Fazendo e
(k + 1)
 = x
 (k + 1)
 - x  e(k + 1) = F e(k) 
 
 
Teorema : A condição suficiente para que a iteração dada em (2) convirja é que os 
elementos f i j da matriz F satisfaçam a desigualdade: 
| |f Li j
i
n
 

 1
1
 j = 1, n
 
 
Corolário 1: (Critério das linhas) 
A condição suficientepara que a iteração dada em (2) convirja é que: 
| | | |a ai i i j
j
j i
n



 i = 1, n
1
 
Corolário 2: (Critério das colunas) 
A condição suficiente para que a iteração dada em (2) convirja é que: 
| | | |a aj j i j
i
i j
n



 j = 1, n
1
 
 
 
Observações: 
 A matriz que satisfaz a hipótese dos corolários 1 ou 2 é chamada de matriz diagonal 
dominante estrita. 
 Na prática são usados os critérios de suficiência expressos nos corolários 1 ou 2, tanto para 
o método de Jacobi quanto para o método de Gauss-Seidel. Basta que o sistema satisfaça 
apenas a um desses critérios para se ter a convergência garantida, independente da escolha do 
vetor inicial. 
 
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54 
IV.3.4 - Qual o método melhor ? 
 
Não se pode garantir de início que método será mais eficiente. 
Os métodos de eliminação se prestam a sistemas de pequeno porte com matrizes de 
coeficientes densos; também resolvem satisfatoriamente vários sistemas lineares com a mesma 
matriz de coeficientes. 
Os métodos iterativos, quando a convergência é garantida, são bastante vantajosos 
na resolução de sistemas de grande porte com matrizes de coeficientes esparsos ( grande 
quantidade de zeros entre seus elementos ). 
Os sistemas oriundos da discretização de equações diferenciais parciais são 
exemplos típicos. 
 
IV.3.5 - Noções de matrizes mal condicionadas 
 
Considere o sistema 
S
x
x
2
2
1
1 001 2 001
0 999 1999

 




 x
+ x
1
2
, ,
, ,
. 
Uma das soluções é 
x
 = (1 1)
t
 . 
 
Se utilizarmos o método de Jacobi, na 5ª. Iteração encontraríamos como solução 
aproximada 
x 1 = (2,000 0,001)
t
 , que diverge da solução. 
Isto aconteceu porque os coeficientes da matriz associada estão mal condicionados. 
Uma forma de se detectar o mal condicionamento é através do determinante 
normalizado de uma matriz. Se esse determinante for, sensivelmente, menor que 1 dizemos 
que a matriz está mal condicionada. 
 
Definição: Para a matriz A, associada ao sistema Sn , definimos determinante 
normalizado de A, e denotamos por det (norm A) a: 
det ( =
det A
 ... 1 n
norm A)
    2
, onde: 
n1,=i ... 223
2
2
2
1 iniiii aaaa 
 
 
Obs.: No sistema S2 dado: 
4135066,11999,0
4149208,1001,11
110105,0
000001,2
10,999
001,11
10,999
001,11
=A) (normdet 
22
2
22
1
66
21








 
 
 
 
 
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Lista de exercícios sobre a Unidade IV 
 
1) Resolva pelo processo retroativo os seguintes sistemas : 
 
a)
3 x1 + 4 x2 - 5 x3 + x4 = -10
 x2 + x3 - 2 x4 = -1
 4 x3 - 5 x4 = 3
 2 x4 = 2







 b)
3 x1 + 4 x2 - 5 x3 + x4 = -10
 x3 - 2 x4 = 0
 4 x3 - 5 x4 = 3
 2 x4 = 2







 
 
2) Resolva pelo método de Gauss, com condensação pivotal parcial. 
 
a)
2 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 7
 x1 - x2 + 2 x3 - x4 = 1
3 x1 + 2 x2 - 3 x3 - 2 x4 = 4 
4 x1 + 3 x2 + 2 x3 + x4 = 12







 
 
b)
 8,7 x1 + 3,0 x2 + 9,3 x3 + 11,0 x4 = 16,4
24,5 x1 - 8,8 x2 + 11,5 x3 - 45,1 x4 = - 49,7
52,3 x1 - 84,0 x2 - 23,5 x3 + 11,4 x4 = - 80,8
21,0 x1 - 81,0 x2 - 13,2 x3 + 21,5 x4 = -106,3 







 
 
c)
 x1 + x2 + 2 x3 = 4
2 x1 - x2 - x3 = 0
 x1 - x2 - x3 = -1





 
 
3) Resolva os sistemas abaixo usando o método de Gauss-Seidel. 
 
a) 
 x1 + x2 + x3 = 3
2 x1 - 2 x2 + x3 = 1
3 x1 - x2 + 2 x3 = 4





 b) 
 2 x1 - x2 + x3 = 3
 x1 + 3 x2 - 2 x3 = 1
 x2 + 2 x3 = 8





 
 
 
Trabalho Computacional: Programar o método de Gauss com condensação pivotal 
parcial para resolver o sistema: 
 
8,7 x1 + 3,0 x2 + 9,3 x3 + 11,0 x4 = 16,4
24,5 x1 - 8,8 x2 + 11,5 x3 - 45,1 x4 = - 49,7
52,3 x1 - 84,0 x2 - 23,5 x3 + 11,4 x4 = - 80,8
21,0 x1 - 81,0 x2 - 13,2 x3 + 21,5 x4 = -106,3






