Unidade VI

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Cálculo Numérico — Professora Mariluci Ferreira Portes 
 
 
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 Unidade VI - Diferenciação Numérica 
 
VI.1 - Introdução 
A aplicação da matemática à física e as ciências sociais frequentemente requer a determi-
nação da derivada da função. Algumas vezes é fácil encontrar a derivada fechada. 
Exemplo: f (x) = sen x  f ’(x) = cos x 
Mas na prática ocorre: 
 Não se encontrar a solução em forma fechada; 
 A solução em fórmula fechada existir e, no entanto, pode ser muito difícil de 
encontrar; 
 A solução em fórmula fechada pode ser de pouco valor prático. 
Suponha que tenhamos a tabela da velocidade (m / seg) de um móvel em vários intervalos 
de tempo t (em segundos), ou seja: 
 
 
 
 
 
 
e que precisemos determinar a aceleração do móvel em um instante t. 
Matematicamente, 
a
dv
dt

. 
No entanto, para se calcular a aceleração com os valores da Tab. 1 precisaríamos recorrer aos 
métodos numéricos. 
 
VI.2 - Diferenciação Numérica 
 
A derivada de uma função f (x) em x = x0 é definida por: 
 
 
x
xfxxf
xf
x 



)()(
lim)(' 00
0
0
 quando o limite existe. 
Logo se calcularmos: 
 
(1) f x x f x
x
( ) ( )0 0 

 
 para um valor bem pequeno de x teremos uma boa aproximação f ’(x0). 
t v 
0,5 9,375 
0,6 9,488 
0,8 10,296 
0,9 11,027 
1,1 13,233 
1,2 14,744 
 Tab. 1 
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Convém lembrar que x < 0, então (1) fica da seguinte forma: 
(2) 
x
xxfxf
x
xfxxf




 )()()()( 0000
 
Graficamente temos: 
 
 
 
P 
P[p 
 
 
 
 
 x0 - x x0 x0 + x 
 
 
L+ tem curvatura dada por (1) e L - tem curvatura dada por (2) 
A derivada f ’(x0) é dada pela curvatura da reta tangente à curva f (x) em (x0, f (x0)). 
Quando x  0 , L + e L -  para reta tangente. 
 
Traçando a corda PQ, a curvatura da reta que contém PQ se aproxima da curvatura da reta 
tangente, quando x 0. Logo: 
(3) 
f x
f x x f x x
x
'( )
( ) ( )
0
0 0
2

   

 
 
Fazendo 2x = h, temos: 
(4) 
f x
f x h f x h
h
'( )
( ) ( )
0
0 02 2
   
 
Raciocínio análogo nos leva a fórmula para 2
ª
.derivada. 
(5) 
f x
f x h f x h
h
' ' ( )
' ( ) ' ( )
0
0 02 2
   
(6) 
f x h
f x h f x
h
'( )
( ) ( )
0
0 0
2 
  
(7) 
f x h
f x f x h
h
'( )
( ) ( )
0
0 0 
  
(8) 
f x
f x h f x f x h
h
' ' ( )
( ) ( ) ( )
0
0 0 0
2
2

    
E assim sucessivamente para se obter as fórmulas para derivadas de ordem superior a 2. 
 
 
VI.2.1 - Erro de Truncamento 
 
Desenvolvendo-se f (x) em Série de Taylor e considerando só os 3 primeiros termos, te- 
mos : 
P 
Q 
L- 
 
L+ 
L 
 
 
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(9) 
f x f x f x x x
f x
x x
f x x
( ) ( ) ' ( )( )
' ' ( )
!
( )
' ' ' ( )( )
!
     

0 0 0
0
0
2 0
3
2 3
 
 
onde 
 ( , )x x0
 
 
Substituindo x por 
x
h
0 2

 em (9), vem: 
(10) 
f x f x
h
f x
h f x h f
h( ) ( ) ' ( )
' ' ( )
!
' ' ' ( )
!0
2 0 0
2
0
3
1
2 4 2 8 3
    
 
 
1 0 0 2 ( , )x x
h
 
Substituindo x por 
x
h
0
2

 em (9), vem: 
(11) 
f x f x
h
f x
h f x h f
h( ) ( ) ' ( )
' ' ( )
!
' ' ' ( )
!0
2 0 0
2
0
3
2
2 4 2 8 3
    
 
 
2 0 2 0 ( , )x x
h
 
 
Subtraindo (11) de (10), vem: 
(12) 





 


!2
)(''')('''
!34
)(')()( 21
3
02020
 ffh
xhfxfxf hh
 
 
Se f ’”(x) for contínua, pelo teorema da valor médio 
 ( , ) 1 2
 tal que 
 
f
f f
' ' ' ( )
' ' ' ( ) ' ' ' ( )

 

1 2
2
 
De (12) vem: 
 
(13) 
f x
f x f x
h
h
f
h h
' ( )
( ) ( )
' ' ' ( )0
0 2 0 2
2
24

  
 
 
Comparando (9) com (4), concluímos que 
 
(14) 
)('''
24
2
f
h
et 
 
 
 De modo análogo o erro de truncamento ao utilizar a fórmula da 2
ª
.derivada é dado por: 
 
(15) 
)(
12
2
IVt f
h
e 
 
 
 
 
 
 
Observação: Os erros de truncamento são proporcionais a h
2
. Logo a convergência dos 
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métodos é quadrática. 
 
Exemplos: 
 
1º) Considere a tabela: 
 
x 0 2 4 6 
f(x) 1 9 65 217 
 
Determine: 
 
1) O valor de f’(3). 
2) O erro de truncamento cometido a utilizar o valor f’(3), por aproximação, sabendo 
que f(x) = x
3
 + 1. 
 
Solução: 
 
1) Ponto Médio 
f’(
0x
) = 
h
)f(x)f(x 2h02
h
0 
 
f’(3) = 
2
f(2) - f(4)
 
f’(3) 
28
2
9 . 65

 
 
2) Erro de Truncamento 
)(ξ''f'
24
h
E
2
T 
 
);( 2020
hh xx 
 
 
f(x) = x
3
 
f’(x) = 3x2 
f’’(x) = 6x 
f’’’(x) = 6 
 
)(3''f'
24
2
E
2
T 
 (
)4,2(
, ou seja, 

 é o ponto médio inteiro entre 2 e 4) 
16
24
4
ET 
 
 
Curiosidade: 
f'(x) = 3x
2
 
f’(3) = 3 . 32 = 27. 
Observação: O valor aproximado está próximo do valor real. 
 
2º) Suponha que se tenha a seguinte tabela de f(x), para f(x) = e
x
 
 
x 0,75 1 1,25 
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f(x) 2,11700 2,71828 3,49034 
Determinar o erro que se comete ao calcular f’(x) em x = 1, com os valores tabelados. 
 
Solução: 
 
f'(1) = 
5,0
f(0,75) - f(1,25)
= 
5,0
11700,249034,3 
 = 2,74668 
 
Apliquemos a fórmula do erro de truncamento 
 
)(ξ''f'
24
h
E
2
T 
 
)(0,75;1,25ξ
 
1
2
T e
24
(0,25)
E 
= 0,7078858 x 10-2 
 
Conclusão: O erro de truncamento é da ordem de 10
-2
, o que significa, ter 2 algarismos 
exatos em f’(1). Calculada pela regra de derivação numérica: 
 
e
24
h 2

< 10
-2
 
h
2
 < 24 . 10
-2
 : e 
h
2
 < 0,08889 
h < 0,297138 
 
Observação: Para que se tenha boa convergência nos métodos, a amplitude h deve ser 
exemplo acima h = 0,25 = 
n2
1
 satisfaz a condição de erro da forma 
n2
1
. No 
< 10
-2
. 
 
 
 
 
 
 
 
3º)Dada a tabela abaixo, determine f ’(0,85). 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
f
f f
' ( , )
( , ) ( , )
,
,0 85
0 95 0 75
0 2
0 6590


 
n h = 
n2
1
 
0 1 
1 0,5 
2 0,25 
3 0,125 
X(rd) 0,65 0,75 0,85 0,95 
sen x 0,6051 0,6816 0,7512 0,8134 
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Considerando o resultado abaixo como o mais aproximado , temos: 
f (x) = sen x 
f ’(x) = cos x 
f ’(0,85) = cos (0,85) = 0,6599 
O erro cometido usando o método numérico f ’(x) = | 0,6599 - 0,6590 | = 0,0009 
 
 
 
VI.3 - Diferenciação Numérica Generalizada 
Para reduzir o erro de truncamento é necessário desenvolver fórmulas numéricas 
para derivação envolvendo mais pontos. 
 
VI.3.1 - Fórmula para três pontos não igualmente espaçados 
Considere x -1 < x 0 < x 1 três pontos tais que: 
 x -1 = x 0 - h 1 
 x 1 = x 0 + h 2 com h 1, h 2 > 0. 
Então: 
f '(x 0)  p -1 f (x -1 ) + p 0 f (x0) + p 1 f (x1) (16) 
f '(x 0)  p -1 f (x 0 - h 1 ) + p 0 f (x0) + p 1 f (x0 + h 2) (17) 
Precisamos determinar p -1 , p 0 , p 1 . 
Consideremos inicialmente f (x) constante e igual a 1. 
 f (x) = 1  f '(x) = 0 
(*) p -1 + p 0 + p 1 = 0 
 - Considere agora f (x) = x - x0 . Então f '(x) = 1 
(**) - h 1 p -1 + h 2 p 1 = 1 
 - Finalmente considere f (x) = (x - x0 ) 
2
 . Então f '(x) = 2 (x - x0 ) 
(***) (h 1 )
2
 p -1 + (h 2)
2
 p 1 = 0 
 
De (*), (**), (***) temos o seguinte sistema: 
p + p + p = 0
- h p + h p = 1
h
-1 0 1
1 -1 2 1
1
2p h p  





1 2
2
1 0
 
Cuja solução é: 
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p
h
h h h
p
h h
h h h h
p
h
h h h
  






1
2
1 1 2
0
2
2
1
2
1 2 1 2
1
1
2 1 2
( )
( )
( )
 
 
Levando esses coeficientes em (17), temos: 
(18) f '(x0) = h f x h h h f x h f x h
h h h h
1
2
0 2 2
2
1
2
0 2
2
0 1
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
    

 Observação: 
 
1. Se h 1 = h 2 = h, (18) é a própria fórmula dos dois pontos. 
 
2. Não há erro de truncamento se f (x) for um a função constante, linear ou quadrática 
pois utilizamos essas funções para deduzir a fórmula de aproximação. 
Exemplo: Dada a Tabela 1, dentro do item “VI.1 - Introdução”, determine a aceleração 
do móvel em t = 1,1 segundos. 
 
Solução: 
 0,9 < 1,1 < 1,2 
 
x -1 = 0,9  h 1 = 0,2 v (0,9) = 11,027 
x 0 = 1,1 v (1,1) = 13,233 
x 1 = 1,2  h 2 = 0,1 v (1,2) = 14,744 
a (1,1) 

  

h v x h h v x h v x
h h h h
1
2
1 2
2
1
1
0 2
2
1
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
 
a (1,1) 

     
  
[( , ) , ] [(( , ) ( , ) ) , ] [( , ) , ]
, , ( , , )
0 2 14 744 01 0 2 13 233 01 11 027
0 2 01 0 2 01
2 2 2 2 
 
a (1,1) 
13 75,
 m / s 
2
 
 
 
 
 
VI.3.2 - Erro de Truncamento 
Desenvolvendo-se f (x) em série de Taylor, temos: 
 
(19) 
)(
!3
)(
)(
!2
)(
)()()()(
3
0
0
2
0
000 fxxxfxxxfxxxfxf  
 onde 
 ( , )x x0
 
 
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Façamos x = x 0 + h2 em (19) e multipliquemos por h 
2
 : 
 
(20) 
h f x h h f x h h f x
h h
f x
h h
f1
2
0 2 1
2
0 1
2
2 0
1
2
2
2
0
1
2
2
3
1
2 3
( ) ( ) ( )
!
( )
!
( )        
 
 onde 
1 0 0 2 ( , )x x h
 
 
Façamos x = x 0 - h1 em (19) e multipliquemos por h 2
2
 : 
 
(21) 
)(f
!3
hh
)x("f
!2
hh
)x('fhh)x(fh)hx(fh 2
3
1
2
2
0
2
1
2
2
01
2
20
2
210
2
2 
 
onde 
)x,hx( 0102 
 
 
Subtraindo (21) de (20), temos: 
(22) 
 )(fh)(fh
)hh(6
hh
)hh(hh
)hx(fh)x(f)hh()hx(fh
)x('f 2112
21
21
2121
10
2
20
2
1
2
220
2
1
0 





 
 
Comparando (22) com o resultado obtido em (18), concluímos que : 
 
 )(fh)(fh
)hh(6
hh
e 2112
21
21
t 


 
 
Se f ’’’(x) for limitada em (x 0 – h 1, x 0 + h 2 ) então M  tal que 
M)x(f 
. 
 
 )(fh)(fh
)hh(6
hh
e 2112
21
21
t 


 
 
(23) 
M
6
hh
e 21t 
 
 
 
 
 
 
Observação: O resultado obtido em (18) não leva a uma maior precisão, porém permite-
nos a trabalhar com pontos que não estejam igualmente espaçados. 
 
 
 
VI.3.3 – Aproximação de f ’(x) utilizando 5 (cinco) pontos 
 
Considerar 
21012 xxxxx  
 de tal forma que: 
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)x(fp)x(fp)x(fp)x(fp)x(fp)x('f
0h,h,h,h
hxx
hxx
hxx
hxx
22110011220
4321
402
301
201
102
















 
 
Na dedução da fórmula foram utilizados pontos igualmente espaçados, e se chegou a: 
 
24) 
 )h2x(f)hx(f8)hx(f8)h2x(f
h12
1
)x('f 00000 
 
 
Observação: Esta fórmula é exata para funções polinomiais de grau menor ou igual a 4. 
 
Uma análise do erro nos levaria a: 
)(fh
5
24
e IV4t 
 onde 
)h2x,h2x( 00 
 
 
Observação: 
1. Utilizando a fórmula dos 5 pontos diminuímos o erro de truncamento 
sem ter que diminuir h, mas no entanto precisamos ter mais dois pontos tabelados. 
2. Com a fórmula dos 5 pontos podemos deduzir fórmulas para derivadas 
de mais alta ordem. 
 
Exemplo: 
 
(25) 
 )h2x(f)hx(f16)x(f30)hx(f16)h2x(f
h12
1
)x("f 0000020 
 
 
(26) 
 )h2x(f)hx(f2)hx(f2)h2x(f
h2
1
)x(f 000030 
 
 
 
Observação: A soma dos coeficientes das aproximações f ’(x0), f ’’(x0), f ’”(x0) é sem-
pre zero, daí não devermos fazer h muito pequeno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Lista de Exercícios - Unidade VI 
 
 
TABELA 1 
 
x 100 102 104 106 108 
f (x) 2, 0000000 2, 0086002 2,0170333 2, 0253059 2, 0334238 
 
1) Considerando os dados da tabela 1 calcule : 
1.1) a derivada 1
ª
 f(x) em x =105 
 1.2) a derivada 1
ª
 f(x) em x = 107 
 1.3) uma cota superior de erro de truncamento ao utilizar o valor aproximado da 1ª derivada de 
 f(x) para x = 5. 
 1.4) uma cota superior de erro de truncamento ao utilizar o valor aproximado da 1ª derivada de 
 f(x) para x = 7. 
 
TABELA 2 
 
x 1 2 3 4 
f (x) 0 0,6931 1,0986 1,3836 
 
2) Considerando os dados da tabela 2 calcule : 
1.1) a derivada 1
ª
 f(x) em x =2 
 1.2) a derivada 1
ª
 f(x) em x = 3 
 1.3) uma cota superior de erro de truncamento ao utilizar o valor aproximado da 1ª derivada de 
 f(x) para x = 2. 
 1.4) uma cota superior de erro de truncamento ao utilizar o valor aproximado da 1ª derivada de 
 f(x) para x = 3. 
 1.5) o erro absoluto cometido ,comparando o resultado da 1ª derivada de f(x) = ln x para 
 x = 3 com o obtido em (1.2). 
 
 1.6) o valor de h, para que se tenha o cálculo da 1ª derivada com erro inferior a 10
-3 
. 
 .