Equação da Linha Elastica Exemplo Viga Biapoiada Carga Distribuida Retangular

Prévia do material em texto

Viga Biapoiada comprimento L e módulo de elasticidade E, possui seção transversal uniforme (prismática) e suporta carga uniformemente distribuída P por unidade. 
 Considere uma seção da viga de comprimento x. 1° Equação Genérica do Momento Fletor, sendo W negativo porque traciona a viga em cima. 
ܯ(௫) = + ஺ܴ . ݔ −ܹ. ݔ. ݔ2 Equação Genérica da Linha Elástica 
ܧ݈.݀ݕ
݀ݔ
= නܯ(௫)݀ݔ + ܥଵ௫
଴
 
Integrando 
ܧ݈.݀ݕ
݀ݔ
= නܹܮݔ2 −ܹݔ²2 ݀ݔ + ܥଵ௫
଴
 
ܧ݈.݀ݕ
݀ݔ
= ܹܮݔ²4 −ܹݔ³6 + ܥଵ 
ܧ݈.න݀ݕ = නܹܮݔ²݀ݔ4 −ܹݔ³݀ݔ6 + ܥଵ ݀ݔ 
ܧ݈.ݕ = ܹܮݔ³12 −ܹݔସ24 + ܥଵݔ + ܥଶ A viga biapoiada não tem inclinação apenas deflexão ݕ(௫), precisamos arbitrar um par ordenado conhecido ൣ ݔ ,ݕ(௫)൧ em algum ponto da viga e depois concluir a função de deflexão encontrando ܥଵ	݁	ܥଶ . No ponto A e B da viga tem-se restrição de deslocamento, então para x=0 e x=L temos y=0, estes pontos servem de referência, [x=0,	ݕ=0] e [x=L,	ݕ=0] agora temos um sistema de ordem dois. 1° Par (0, 0) 
ܧ݈. 0 = ܹܮ0³12 −ܹ0ସ24 + ܥଵ0 + ܥଶ 
ܥଶ = 0 
2° Par (L, 0) 
ܧ݈. 0 = ܹܮ¹ܮ³12 −ܹܮସ24 + ܥଵܮ + ܥଶ 0 = ܹܮସ12 −ܹܮସ24 + ܥଵܮ + 0 
ܥଵ = −ܹܮଷ24 
ܧ݈.ݕ = −ܹݔସ24 + ܹܮݔ³12 −ܹܮଷݔ24 + 0 
ݕ(௫) = ܹ24ܧ݈ (−ݔସ + 2ܮݔଷ − ܮଷݔ) Flecha máxima ocorre no ponto onde a carga é aplicada, neste caso no ponto médio: 
ݔ = ܮ2 Calculo da Flecha Máxima 
ݕ(௠௔௫) = ܹ24ܧ݈ ቆ−൤ܮ2൨ସ + 2ܮ ൤ܮ2൨ଷ − ܮଷ ܮ2ቇ 
ݕ(௠௔௫) = ܹ24ܧ݈ ቆ− ܮସ16 + 2ܮ8 ସ − ܮସ2 ቇ 
ݕ(௠௔௫) = 5ܹܮସ384ܧ݈ Equação Genérica da Inclinação Para encontrar os valores das inclinações das seções transversais nos apoios A e B. Para encontrar a expressão da inclinação ߠ(௫) = ௗ௬ௗ௫ Basta derivar a função de y, pois a derivada representa a inclinação da reta tangente. 
ݕ(௫) = ܹ24ܧ݈ (−ݔସ + 2ܮݔଷ − ܮଷݔ) 
ݕ′(௫) = ܹ24ܧ݈ (−4ݔଷ + 6ܮݔଶ − ܮଷ) Inclinação ponto A, ߠ(஺)(ݔ = 0) 
ߠ(஺) = ܹ24ܧ݈ (−0ସ + 2ܮ0ଷ − ܮଷ) 
ߠ(஺) = ܹܮ³24ܧ݈ 
Inclinação ponto B, ߠ(஻)(ݔ = ܮ) 
ߠ(஻) = ܹ24ܧ݈ (−4ܮଷ + 6ܮଷ − ܮଷ) 
ߠ(஻) = ܹܮ³24ܧ݈