Equação da Linha Elastica Exemplo Viga Engastada

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Viga engastada (Ponto B), comprimento L e módulo de elasticidade E, possui seção transversal uniforme (prismática) e suporta carga concentrada P (Ponto A). 
 Considere uma seção da viga de comprimento x. 1° Equação Genérica do Momento Fletor, sendo P negativo porque traciona a viga em cima. 
ܯ(௫) = −ܲݔ 2° Equação Genérica da Inclinação ߠ. 
ܧ݈.ߠ(௫) = නܯ(௫)݀ݔ + ܥଵ௫
଴
 
Integrando 
ܧ݈.ߠ(௫) = −ܲݔ²2 + ܥଵ El constante, pois a seção é uniforme, para determinar ܥଵ precisamos arbitrar um par ordenado conhecido ൣ ݔ ,ߠ(௫)൧ em algum ponto da viga e depois concluir a função de inclinação. No ponto B da viga onde ocorre o engaste, lembramos que o engaste restringe o giro e deslocamento logo também a inclinação é nula, este ponto serve de referência, [x=L,	ߠ=0]. 
ܧ݈. 0 = −ܲܮ²2 + ܥଵ			 ∴ 			ܥଵ = ܲܮ²2 Equação Genérica da Inclinação para esta viga engastada e em balanço. 
ܧ݈.ߠ(௫) = −ܲݔ²2 + ܲܮ²2 		 ∴ 	ߠ(௫) = − ܲ2ܧ݈ (−ݔଶ + ݈ଶ)	 
݀ݕ
݀ݔ
= − ܲ2ܧ݈ (−ݔଶ + ݈ଶ)	 Calculando a inclinação no ponto A, lembrando que ࢞࡭ = ૙. 
ߠ(௫) = ݈ܲ22ܧ݈ O Sinal da flecha ߠ(஺) pode ser positivo ou negativo, depende da inclinação da reta tangente ao gráfico da função y, representada por ௗ௬
ௗ௫
 sendo crescente ou decrescente. 
 Determinando a Equação Genérica da Linha Elástica 
ܧ݈.݀ݕ
݀ݔ
= −ܲݔ²2 + ܲܮ²2 		 
ܧ݈.න݀ݕ = −නܲݔ²݀ݔ2 + නܲܮ²݀ݔ2 		 
ܧ݈.ݕ = −ܲݔ³6 + ܲܮ²ݔ2 + ܥଶ Para determinar ܥଶ precisamos arbitrar um par ordenado conhecido ൣݔ,ݕ(௫)൧ em algum ponto da viga e depois concluir a função de deflexão. No ponto B da viga onde ocorre o engaste, lembramos que o engaste restringe o giro e deslocamento logo também à deflexão é nula, este ponto serve de referência, [x=L,	ݕ=0]. 
ܧ݈.ݕ = −ܲݔ³6 + ܲܮ²ݔ2 + ܥଶ 
ܧ݈. 0 = −ܲܮ³6 + ܲܮ²ܮ¹2 + ܥଶ 
ܥଶ = −ܲܮ³3 
ܧ݈.ݕ = −ܲݔ³6 + ܲܮ²ݔ2 − ܲܮ³3 Finalmente a equação da L.E. 
ݕ(௫) = ܲ6ܧ݈ (−ݔଷ + 3ܮଶݔ − 2ܮ³) O Cálculo da Flecha no ponto A, lembrando que ࢞࡭ = ૙. 
ݕ(஺) = −2ܲܮ³6ܧ݈ = −ܲܮ³3ܧ݈