SLIDES - PAR ORDENADO E PLANO CARTESIANO

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PAR ORDENADO 
E PLANO 
CARTESIANO
Prof. Aruã Dias
* Relembrando Conjuntos - Classificação
Conjuntos Finitos:
𝐕 = 𝐚, 𝐞, 𝐢, 𝐨, 𝐮
𝐒 ={ domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado }
𝐀 = {𝟐, 𝟓, 𝟕, 𝟗}
Conjunto Infinitos:
𝐃 = {𝟐, 𝟏𝟐, 𝟐𝟐, 𝟑𝟐, 𝟒𝟐,… }
𝐏 = {𝟐, 𝟑, 𝟓, 𝟕, 𝟏𝟏, 𝟏𝟑, 𝟏𝟕, 𝟏𝟗,… }
Conjunto Unitário – É o conjunto que possui apenas um elemento.
Exemplo:
𝐀 = 𝐱 ∈ ℕ 𝐱 é 𝐩𝐚𝐫 𝐞 𝐩𝐫𝐢𝐦𝐨} = {𝟐}
Conjunto Vazio – É o conjunto que não possui elemento.
Exemplo:
𝐁 = 𝐱 ∈ ℝ 𝐱𝟐 = −𝟏} = ∅
• O conjunto vazio possui as notações: ∅ 𝐨𝐮 { }.
• A representação ∅ não indica conjunto vazio, mas é um
exemplo de conjunto unitário.
* Relembrando Conjuntos - Classificação
Tabular:
𝐀 = 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕
Na forma de uma propriedade:
𝐀 = 𝐱 𝐱 é 𝐧𝐚𝐭𝐮𝐫𝐚𝐥 𝐦𝐚𝐢𝐨𝐫 𝐪𝐮𝐞 𝟐 𝐞𝐦𝐞𝐧𝐨𝐫 𝐪𝐮𝐞 𝟖
Na forma de intervalo:
𝐀 = 𝐱 ∈ ℕ 𝟐 < 𝐱 < 𝟖}
* Relembrando Conjuntos - Representação
𝐀 = 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕
Diagrama de Venn:
4
5
3
6
7
𝐀
Número de Elementos de um 
Conjunto:
𝐧 𝐀 = 𝟓
✓ Observação:
Elementos repetidos não são 
considerados na contagem.
Exemplo:
Para o conjunto E = {2, 3, 3, 4, 5, 6, 7},
temos:
𝐧 𝐄 = 𝟔.
* Relembrando Conjuntos - Representação
1. Par Ordenado
Um par ordenado de números é o conjunto formado por dois números 
em certa ordem. Usa-se a notação (a, b) para indicar o par ordenado 
em que a é o primeiro elemento e b é o segundo.
✓ Exemplos:
(1, 3) é o par ordenado em que o primeiro elemento é 1, e o segundo é 3.
(3, 1) é o par ordenado em que o primeiro elemento é 3, e o segundo é 1.
▪ Note que os pares (1, 3) e (3, 1) diferem entre si pela ordem de seus elementos.
▪ Dois pares ordenados são iguais se e somente se tiverem os primeiros e os 
segundos termos iguais entre si:
𝐚, 𝐛 = 𝐜, 𝐝 ⇔ 𝐚 = 𝐜 𝐞 𝐛 = 𝐝
2. Plano Cartesiano
Um sistema de eixos ortogonais (ou plano cartesiano) é constituído por dois
eixos perpendiculares, eixo x e eixo y, que têm a mesma origem. Os eixos
ortogonais dividem o plano cartesiano em quatro regiões chamadas de
quadrantes.
x
y
Origem O
(Eixo das abscissas)
(Eixo das ordenadas)
1º 
Quadrante
2º 
Quadrante
3º 
Quadrante
4º 
Quadrante
2. Plano Cartesiano
A cada ponto P do plano cartesiano, corresponde um par ordenado de 
números reais (a, b) associado às projeções ortogonais de P sobre o eixo 
x e sobre o eixo y.
x
y
Origem O
P (a, b)
𝒂
𝒃
(Eixo das abscissas)
(Eixo das ordenadas)
2. Plano Cartesiano
A cada ponto P do plano cartesiano, corresponde um par ordenado de 
números reais (a, b) associado às projeções ortogonais de P sobre o eixo 
x e sobre o eixo y.
2. Plano Cartesiano
x
y
O
A (2, 3)
𝟐
𝟑
D (1, -4)
𝟏
−𝟒
B (-4, 2)
−𝟒
2
C (-2, -1)
−𝟐
−𝟏
1º Quadrante2º Quadrante
3º Quadrante 4º Quadrante
A cada ponto P do plano cartesiano, corresponde um par ordenado de 
números reais (a, b) associado às projeções ortogonais de P sobre o eixo 
x e sobre o eixo y.
E (3, 0)
𝟑
F (0, 4)
𝟒
G (-5, 0)
−𝟓
H (0, -5)−𝟓
Exercício – Plano Cartesiano:
x
y
x
y
Exercício – Plano Cartesiano:
(ENEM) Devido ao aumento do fluxo de passageiros,
uma empresa de transporte coletivo urbano está
fazendo estudos para a implantação de um novo
ponto de parada em uma determinada rota. A figura
mostra o percurso, indicado pelas setas, realizado
por um ônibus nessa rota e a localização de dois de
seus atuais pontos de parada, representados por P e
Q.
Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser
instalado, nesse percurso, entre as paradas já
existentes P e Q, de modo que as distâncias
percorridas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre
os pontos T e Q sejam iguais.
De acordo com os dados, as coordenadas do novo
ponto de parada são
A (290 ; 20). B (410 ; 0). C (410 ; 20).
D (440 ; 0). E (440 ; 20).
(ENEM) Devido ao aumento do fluxo de passageiros,
uma empresa de transporte coletivo urbano está
fazendo estudos para a implantação de um novo
ponto de parada em uma determinada rota. A figura
mostra o percurso, indicado pelas setas, realizado
por um ônibus nessa rota e a localização de dois de
seus atuais pontos de parada, representados por P e
Q.
Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser
instalado, nesse percurso, entre as paradas já
existentes P e Q, de modo que as distâncias
percorridas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre
os pontos T e Q sejam iguais.
De acordo com os dados, as coordenadas do novo
ponto de parada são
A (290 ; 20). B (410 ; 0). C (410 ; 20).
D (440 ; 0). E (440 ; 20).
(ENEM)
(ENEM)
➢Plano Cartesianio:
❑ Retas Notáveis:
a) Bissetriz do 1º e 3º Quadrantes (𝒚 = 𝒙):
Pertencem a esta reta todos os pontos que 
têm abscissa e ordenadas iguais.
✓ Exemplos: (-3, 3), (0, 0), (4, 4), etc.
b) Bissetriz do 2º e 4º Quadrantes (𝒚 = −𝒙):
Pertencem a esta reta todos os pontos que 
têm abscissa e ordenadas com valores 
opostos.
✓ Exemplos: (-2, 2), (0, 0), (3, -3), etc.
➢Plano Cartesianio:
❑ Retas Notáveis:
c) Reta vertical (𝒙 = 𝒌, 𝒌 ∈ ℝ):
Pertencem a esta reta todos os pontos que 
têm a mesma abscissa.
✓ Exemplos: reta x = 2 (2, 0), (2, 1), (2, 7), 
etc.
d) Reta horizontal (𝒚 = 𝒌, 𝒌 ∈ ℝ):
Pertencem a esta reta todos os pontos que 
têm a mesma ordenada.
✓ Exemplos: reta y = 2 (-3, 2), (0, 2), (1, 2), 
etc.
➢Plano Cartesianio:
❑ Retas Notáveis:
❖Observações:
Se o ponto tem abscissa nula 𝒙 = 𝟎, este 
está localizado sobre o eixo Oy
Se o ponto tem ordenada nula 𝐲 = 𝟎, este 
está localizado sobre o eixo Ox x
y