Atividade 1

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DA GRANDE DOURADOS 
Curso: Engenharia de Produção 
Semestre: 6º 
Disciplina: Pesquisa Operacional 
Professor: Bárbara Helen Rodrigues Ramires Seribeli 
 
ATIVIDADE 1 - REFERENTE AS AULA 01 A 04 
 
Construção de modelos 
 
1) A empresa NYZ, fez uma recente pesquisa onde aponta que a necessidade mínima de vitaminas 
na alimentação é de 37 unidades por dia e a de proteínas de 31 unidades por dia. Considerando 
que uma pessoa tem disponível carne e ovo para se alimentar e que cada unidade de carne 
contém 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas e cada unidade de ovo contém 8 
unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Construa o modelo matemático que representa 
qual a quantidade de carne e ovo que deve ser consumida de forma a ter o “Menor custo 
possível”. Cada unidade de carne custa R$ 3,00 e cada unidade de ovo custa R$ 2,5. 
 
R: 
Necessidade mínima de vitamina: 37 unidades/dia 
Necessidade mínima de proteína: 31 unidades/dia 
 1 Unidade de carne: 4 unidades de vitamina; 6 unidades de proteínas, custo de R$ 3,00. 
 1 unidade de ovo: 8 unidades de vitamina; 6 unidades de proteínas, custo de R$ 2,50. 
 Determinação das variáveis de decisão: 
 Unidade de carne consumida: x1 
 Unidade de ovo consumida: x2 
Determinação da minha função objetivo: (minimizar custo) 
Min Z=3x1 +2,5x2 
Sujeito as restrições 4x1 + 6x2 ≥ 37 (unidade de carne) 
 8x1 + 6x2 ≥ 31(unidade de ovo) 
X1, x2 ≥ 0 
 
 
2) A Só Janelas Ltda. é uma empresa com apenas três funcionários que fazem dois tipos 
diferentes de janelas feitas à mão: uma com esquadria de madeira e outra com esquadria de 
alumínio. Eles têm um lucro de R$ 60,00 por janela com esquadria de madeira e de R$ 30,00 
para janela com esquadria de alumínio. João faz as de esquadria de madeira e é capaz de 
construir seis delas por dia. Maria faz as janelas com esquadrias de alumínio e é capaz de 
construir quatro delas por dia. Roberto monta e corta os vidros e é capaz de fazer 48 m²/dia. 
Cada janela com esquadria de madeira usa 6 m² de vidro e cada janela com esquadria de 
alumínio usa 8 m² de vidro. A empresa quer determinar quantas janelas de cada tipo de 
esquadria podem ser fabricadas diariamente para maximizar o lucro total. 
(a) Formule um modelo de programação linear para este problema. 
 
R: 
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Max Z = 60x1+30x2 
x1 ≤ 6 
x2 ≤ 4 
6x1 + 8x2 ≤ 48 
x1,x2 ≥ 0 
 
(b) Use o método gráfico para solucionar esse modelo. 
R: 
 
 
 
3) Um fazendeiro precisa decidir quantos hectares plantar de milho e arroz. Para cada hectare 
de milho plantado o fazendeiro recebe o lucro de R$ 5,00 e para arroz R$ 2,00. Por razões 
técnicas a área do milho não pode exceder 03 hectares e a de arroz não deve ser maior que 04 
hectares. O milho necessita do cuidado de 01 pessoa por hectare e o arroz de 02 pessoas. O 
número total de pessoas disponíveis é 09. Qual deve ser a decisão do fazendeiro para obter 
lucro máximo? 
 
Observações quanto a resolução deste problema: 
Resolva esta questão utilizando o método do Solver do Excel, tire print da caixa de 
configuração do modelo com as variáveis configuradas no solver e da planilha montada com 
o resultado final. Resoluções feitas por outro método não serão aceitas. 
 
 
 
 
 
Método Gráfico 
 
4) Considere o modelo: 
Maximizar Z = 2x1 + 3x2 
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Sujeito as restrições: 
x1 + 5x2 ≤ 20 
2x1 + x2 ≤ 10 
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 
a) Use o método gráfico para construir a região de soluções do modelo (construir o gráfico a 
mão, indicar no gráfico a região de solução factível). 
 
 
 
b) Testar a função objetivo em cada uma das soluções básicas e escolher o ponto mais 
favorável. 
R: 
Pontos de referência (0,0) 
Para restrição 1=x1+5x2=20 Para restrição 2=2x1+x2=10 
Ponto A (0,4) Ponto D (0,10) 
Ponto B (20,0) Ponto E (5,0) 
Ponto C (3,35 ; 3,33) 
 
Teste do lado direito das restrições, tomando um ponto de referência dentro da zona factivel 
Ponto F (1,1) 
 
Restrição 1.1+5=6≤ 20 - verdadeira 
Restrição 2.2+1=3≤ 10 - verdadeira 
Região factivel: ACE 
Função objetivo:2x1+3x2 
Ponto A: 2.0+3.4=12 (valor de Z) 
Ponto E: 2.5+3.0=10 (valor de Z) 
Ponto C: Intersecção do segmento das retas 1 e 2. 
(I) x1+5x2 = 20 
(II) 2x1+x2=10 
Isolamento de x1:20-5x2 
Substituir na 2 equação obten-se o valor de x2 na equação isolada temos: x1=3,35 
Ponto C; 2.3,35+3.3,33=16,66 
 
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Método Simplex 
 
5) Resolva o exemplo de um modelo abaixo utilizando as regras e tabelas do simplex. 
Apresentar as tabelas do simplex para validação da resposta (fazer a mão apresentando o 
passo a passo na forma de tabela). 
 
Maximizar Z = 3x1 + 5x2 
 Sujeito a: 
4x1 ≤ 12 
5x1 + 5x2 ≤ 21 
2x1 + x2 ≤ 8 
x1 , x2 ≥ 0 
Análise de Sensibilidade e Dualidade 
 
6) A ElectraPlus produz dois tipos de motores elétricos em duas máquinas. Uma unidade do 
motor 1 requer duas horas na máquina 1 e uma hora na máquina 2. Para o motor 2, uma 
unidade requer uma hora da máquina 1 e três horas da máquina 2. As receitas por unidade dos 
produtos 1 e 2 são $30 e $20, respectivamente. O tempo de processamento diário disponível 
para cada máquina é oito horas. 
Desta forma, representando o número diário de unidade dos motores 1 e 2 por x1 e x2, 
respectivamente, o modelo de programação linear é dado como: 
Max z = 30x1 + 20x2 
Sujeito a 
2x1 + x2 ≤ 8 (máquina 1) 
x1 + 3x2 ≤ 8 (máquina 2) 
x1, x2 ≥ 0 ( não-negatividade) 
Logo, pede-se: 
(a) Determine o mix ótimo de produção diária. 
R: 
Determinação dos pontos para os valores (0,0) 
1.2x+x2=8 2.x1+3x2=8 Ponto teste da região factível (1,1) 
A (0, 8) D (0,2,67) 2.1+1≤ 8=3≤ 8 -Verdadeiro 
B (4, 0) E (8, 0) 1+3≤8=4 ≤ 8 - verdadeiro 
 Determinação do ponto C que se dá na intersecção das retas I e II 
 
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 Resolvido pelo sistema de equação 
 
(i) 2x1+x2 =8 
(ii) X1+3x2 =8 
Isolado x1 para encontrar o valor de x2 
 
Escolhido a ii equação x1=8.3x2 
Substituído x1 na equação i 
Substituído x1 na equação i 
2(8+3x2) +x2 =8 
X2 =8/5 =1,6 
Trocado o valor de x2 na equação isolada x1 =8-3. (1,6)= 3,2 
Logo, ponto C (3,2 ; 1,6) 
TESTANDO SO VALORES DE Z: 
Ponto D (0,2,67) 
30x1+20x2=30.0+20. (2,67) =53,4 (Valor do ponto C (3,2 ;1,6) =128 (Valor de Z) 
Ponto B (4,0) 
30.4+20.0=120(Valor de Z) 
Solução ótima/: Z=128; x1=3,2 e x2=1,6 
 
(b) A Electraplus decidiu realizar alterações na máquina 1 em relação a capacidade de horas de 
8 horas para 9 horas diária. Use análise de sensibilidade para determinar se a solução ótima 
permanecerá inalterada e determine o seu preço dual. 
R: 
Max Z =30x1.20x2 Max Z=30x1+20x2 
 
2x1+x2≤8 (máqina1) 2x1+x2≤ 9(máquina 1) 
X1+3x2≤8(máquina 2) x1+3x2≤ 8(máquina2) 
X1, x2≤0(não negatividade) x1, x2 ≥ 0 (não negatividade 
 
 
 
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Pontos a considerar usando como referência os valores (0,0) 
1. 2x1+x2 = 9 2. X1+3x2 = 8 
A (0, 9) D (0,2,67) 
B (4,5,0) E (8,0) 
Determinando os pontos usando a referência dos valores (0,0) 
 
3.2x1+x2=9 2.x1+3x2=8 
G (0,9) D (0,2,67) 
H (4,5,0) E (8,0) 
Ponto F (intersecção das retas 2 e 3) 
Se a capacidade diária d a máquina 1 for aumentada de 08 para 09 horas, a solução antes 
que era em C ocorrerá agora em F. 
 
 
Para determinar o ponto F (intersecção das retas 2 e 3) 
(i) 2x1+x2=9 
(ii) X1+3x2=8 
Isolando o x1 encontra-se o valor de x2 
Escolhido a reta ii=x1= (8-3x2) 
Substituído na equação i 
2.(8-3x2)+x2=9 
X2=1,4 
p/x1=8-(3.1,4)=3.8Ponto F (3,8;1,4) 
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Conclusão 
Ponto F (3,8 ;1,4) 
Substituir na função objetivo: 
Z=30.3,8+20.1,4=142 
Taxa de variação na receita resultante do aumento de uma hora na capacidade da máquina 
(ponto C para ponto F) 
 
O preço dual pode ser determinado através da taxa de variação na receita resultante 
do aumento de uma hora na capacidade da máquina do ponto C para o ponto F, log o 
temos, $14/h. Isso significa qu e uma unidade de aumento na capacidade d a máquina 1 
aumentará a receita em $14. 
Faixa de aplicabilidade: Em relação as variações na capacidade da máquina 1 
Capacidade mínima da máquina 1(em D=0, 2.67))=2x0+1x2.67=2.67/h 
Capacidade máxima da máquina 1(em E=(8,0))=2x8+1x0=16/h 
Conclusão Preço dual permanecerá válido para a faixa. 
2.67/h≤16/h 
Fora dessa faixa produzirão um preço dual (equivalente por unidade) diferente 
7) Escreva o dual dos problemas primais abaixo: 
 
a) Min Z = 10x1 + 20x2 
Sujeito a: 
x1 + 2x2 ≥ 3 
2x1+ 5x2 ≥ 60 
x1, x2 ≥ 0 
R: 
Max W=3y1+60y2 
Sujeito a: 
Y1+2y2 ≤ 10 
2Y1+5Y2 ≤ 20 
Y1,Y2 ≥ 0 
 
 
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b) Max Z = 5x1 + 6x2 
Sujeito a: 
x1 + 2x2 ≤ 5 
x1 + 5x2 ≤ 3 
4x1 + 7x2 ≤ 8 
x1, x2 ≥ 0 
 
R: 
 Max W=5y1+3y2+8y3 
 Sujeito a: 
 Y1+y2+4y3 ≥ 5 
 2Y1+5Y2+7Y3 ≥ 6 
 2Y+5Y2+7Y3 ≥ 6 
 Y1, Y2, Y3 ≥ 0 
 
 
Problemas com transporte 
 
 
8) A prefeitura de Dourados está fazendo obras em três bairros. O material para essas obras é 
transportado de três depósitos O1, O2 e O3 de onde são retiradas 57, 84 e 95 toneladas de 
material, respectivamente. As obras são destinadas para os bairros D1, D2 e D3, que 
necessitam diariamente de 49, 83 e 106 toneladas, respectivamente. Os custos unitários para o 
transporte desse material estão na tabela a seguir. 
Tabela 01 - Custos Unitários dos Transportes (R$/unidade) 
 Destino 01 Destino 02 Destino 03 
Depósito 01 7 9 6 
Depósito 02 5 7 5 
Depósito 03 8 5 12 
 Pede-se para determinar: 
a) O modelo de transporte que minimiza o custo de transporte. 
 R: 
 Os depósitos podem transportar 57+84+95 = 236 toneladas 
 Os depósitos podem transportar 49+83+106 = 238 toneladas 
 
 Temos um sistema equilibrado 
 
 
 
 
 
 
 
 Destino 01 Destino 02 Destino 03 
Depósito 01 X11 X12 X13 
Depósito 02 X21 X22 X23 
Depósito 03 X31 32 X33 
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 Função objetivo: Minimizar C =7x11+9x12+6x+13+5x21+7x21+5x23+8x31+5x32+12x33 
 Função da disponibilidade de transporte dos depósitos e o recebimento dos pontos de destino 
 
 
 
 
 
 
 
 Restrições da capacidade dos depósitos 
 X11-X12-X13≤ 57 
 X21-X22-X23≤ 76 
 X31-X32-X33≤ 93 
 Restrições da necessidade das demandas 
 X11+X21+X31= 40 
 X12+X22+X32= 80 
 X13+X23+X33= 105 
 Restrições de não negatividade 
 X11,X12,...X32,X33≤ 0 
 
b) O custo de transporte mínimo. 
 
9) O problema da designação é um tipo especial de problema de programação linear em 
que os “designados” estão sendo indicados para a realização de tarefas. Diante da frase afirmada, 
cite pelo menos 02 exemplos reais onde utilizou-se problemas de designação, e explique a maneira 
como estes foram formulados. 
R: 
O número de designados e o número de tarefas são o mesmo, geralmente representado pela letra n. 
Cada uma das tarefas deve ser realizada por um designado e sempre há um custo atrelado ao designado 
que executa a tarefa. O objetivo é determinar como todas as n designações devem ser feitas para 
minimizar o custo total. De acordo com Taha (2 008), a melhor pessoa para a tarefa é uma descrição 
adequada do problema de designação. A situação pode ser ilustrada pela designação de trabalhadores 
com graus variáveis de habilidade a determinadas tarefas. Uma tarefa que combine com a habilidade 
de um trabalhador custa menos do que uma tarefa para a qual o trabalhador não seja tão habilidoso. 
O objetivo do problema é determinar a designação de menor custo de trabalhadores a tarefas. O 
problema de designação é, na realidade, um caso especial do problema de transporte no qual os 
trabalhadores representam as origens e as tarefas representam os destinos. A quantidade fornecida 
(demandada) em cada origem (destino) é exatamente igual a 1. O custo de ‘transportar’ o 
trabalhador j para a tarefa j é Cjj. Na verdade, o problema de designação pode ser resolvido 
diretamente como um problema de transporte comum 
 
 Destino 01 Destino 02 Destino 03 
Depósito 01 X11 X12 X13 
Depósito 02 X21 X22 X23 
Depósito 03 X31 32 X33 
Necessidade das 
demandas 
49 83 106 
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10) Construa e coloque em gráfico um problema primal de sua escolha com duas variáveis 
de decisão e duas restrições funcionais que tenham soluções viáveis, após construa o problema dual 
e demonstre graficamente se ele também apresenta soluções viáveis ou não.