EQUAÇÃO BIQUADRADA, IRRACIONAL, SISTEMAS DO 2 GRAU - COM GAB

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EQUAÇÃO BIQUADRADA, IRRACIONAL, SISTEMAS DO 2 GRAU 
Equações biquadradas é uma equação escrita da seguinte forma geral: ax4 + bx2 + c = 0. Para resolver (encontrarmos as suas raízes) é preciso transformá-las em uma equação do segundo grau.
Para melhor compreensão veja no exemplo abaixo como essa transformação acontece e como chegamos às raízes da equação biquadrada.
y4 – 10y2 + 9 = 0 → equação biquadrada
(y2)2 – 10y2 + 9 = 0 → também pode ser escrita assim.
Substituindo variáveis: y2 = x, isso significa que onde for y2 iremos colocar x.
x2 – 10x + 9 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau encontrando x` e x``
a = 1    b = -10     c = 9
∆ = b2 – 4ac
∆ = (-10)2 – 4 . 1 . 9
∆ = 100 – 36
∆ = 64
x = - b ± √∆
            2a
x = -(-10) ± √64
             2 . 1
x = 10 ± 8
           2
x’ = 9
x” = 1
Essas são as raízes da equação x2 – 10x + 9 = 0, para encontrarmos as raízes da equação biquadrada y4 – 10y2 + 9 = 0 devemos substituir os valores de x’ e x” em y2 = x.
Para x = 9
y2 = x
y2 = 9
y = ± √9
y = ± 3
Para x = 1
y2 = x
y2 = 1
y = ± √1
y = ±1
Portanto, a solução da equação biquadrada será:
S = {-3, -1, 1, 3}.
Determine o conjunto solução da seguinte equação biquadrada: x4 – 5x² + 4 = 0.
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QUESTÃO 2
Calcule as raízes da seguinte equação: 4x4 – 9x² + 2 = 0. 
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QUESTÃO 3
Calcule as raízes da seguinte equação x6 + 117x³ – 1000 = 0. 
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QUESTÃO 4
Resolva a equação 3x² * (x² – 5) = 5 – x².
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RESPOSTAS
Questão 1
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Questão 2
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Questão 3
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Questão 4
Como resolver uma equação irracional
Para resolver uma equação irracional, devemos utilizar o princípio da equivalência a fim de “eliminarmos” os radicais, isto é, devemos elevar ambos os lados da equação ao índice da raiz, uma vez que, quando essa propriedade é utilizada, o radical “desaparece”. Veja:
Realizado esse procedimento, a equação deixa de ser irracional e passa a ser racional, e, assim, para resolvê-la, utilizamos os métodos já conhecidos. Veja o exemplo a seguir:
Observe que o índice do radical é o número 5, assim sendo, para resolvermos essa equação, devemos elevar ambos os lados à quinta potência. Veja:
Portanto, o conjunto solução é dado por:
S = {32}
Claro que existem casos mais complexos, mas o método de resolução sempre será o mesmo. Observe mais um exemplo:
Note que, para resolver tal equação irracional, devemos achar uma maneira de eliminar o radical que possui índice 2, ou seja, devemos elevar ambos os lados da equação ao quadrado e, em seguida, resolver a equação, confira:
Observe que de uma equação irracional caímos em uma equação do segundo grau, bastando agora resolvê-la utilizando o método de Bhaskara.
Portanto, o conjunto solução é dado por:
S = {7, 1}
Questão 1 – (PUC-Rio) O número de soluções da equação, com x > 0, é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Solução
Alternativa b. Para resolvermos a seguinte equação, devemos elevar seus lados ao quadrado, uma vez que o índice do expoente é igual a 2.
Observe que o enunciado pergunta-nos a quantidade de soluções maiores que zero, portanto, temos uma solução maior que zero.
Questão 2 – (UTF-PR) Adriana e Gustavo estão participando de uma gincana na cidade de Curitiba e receberam a seguinte tarefa: trazer a fotografia da construção localizada na rua XV de Novembro, número N, tal que a e b são as raízes da equação irracional.
Solução
Para que Adriana e Gustavo consigam levar a fotografia, eles devem determinar o número da construção, ou seja, o número N. Para isso, determinamos os números a e b, que são soluções da equação irracional.
Segundo o enunciado, os valores de a e b são as respectivas raízes da equação irracional, assim temos que:
a = 4 e b = – 1
Agora, para descobrir o valor de N, basta substituir os valores de a e b na expressão dada.
Portanto, o número do edifício é o 971.
Resolva a equação irracional a seguir:
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QUESTÃO 2
Na equação irracional , determine o valor de x.
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QUESTÃO 3
(UTFPR) A equação irracional  resulta em x igual a:
a) – 2
b) – 1
c) 0
d) 1
e) 2
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RESPOSTAS
Questão 1
Uma alternativa para resolver equações irracionais é elevar ambos os lados da equação ao quadrado. Veja:
2x + 3 = x – 5
2x – x = – 5 – 3
x = – 8
Portanto, a equação  apresenta uma única raiz: x = – 8.
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Questão 2
Vamos elevar os dois lados da equação ao quadrado:
Repetiremos o mesmo processo:
2x – 1 = 10201
2x = 10202
x = 10202
     2
x = 5101
A solução da equação irracional  é x = 5101.
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Questão 3
Para resolver essa equação irracional, vamos elevar os dois lados da equação ao expoente 2:
9x – 14 = 4
9x = 4 + 14
9x = 18
x = 18
      9
x = 2
Portanto, a alternativa correta é a letra e.
Exemplo 1
Isolando x ou y na 2ª equação do sistema:
x + y = 6
x = 6 – y
Substituindo o valor de x na 1ª equação:
x² + y² = 20
(6 – y)² + y² = 20
(6)² – 2 * 6 * y + (y)² + y² = 20
36 – 12y + y² + y² – 20 = 0
16 – 12y + 2y² = 0
2y² – 12y + 16 = 0 (dividir todos os membros da equação por 2)
y² – 6y + 8 = 0
∆ = b² – 4ac
∆ = (–6)² – 4 * 1 * 8
∆ = 36 – 32
∆ = 4
a = 1, b = –6 e c = 8
Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos:
Para y = 4, temos:
x = 6 – y
x = 6 – 4
x = 2
Par ordenado (2; 4)
Para y = 2, temos:
x = 6 – y
x = 6 – 2
x = 4
Par ordenado (4; 2)
S = {(2: 4) e (4; 2)}
Exemplo 2
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Isolando x ou y na 2ª equação:
x – y = –3
x = y – 3
Substituindo o valor de x na 1ª equação:
x² + 2y² = 18
(y – 3)² + 2y² = 18
y² – 6y + 9 + 2y² – 18 = 0
3y² – 6y – 9 = 0 (dividir todos os membros da equação por 3)
y² – 2y – 3 = 0
∆ = b² – 4ac
∆ = (–2)² – 4 * 1 * (–3)
∆ = 4 + 12
∆ = 16
a = 1, b = –2 e c = –3
Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos:
Para y = 3, temos:
x = y – 3
x = 3 – 3
x = 0
Par ordenado (0; 3)
Para y = –1, temos:
x = y – 3
x = –1 –3
x = –4
Par ordenado (–4; –1)
S = {(0; 3) e (–4; –1)}
Resolva o sistema de equações utilizando números reais:
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QUESTÃO 3
Resolva o sistema de equações a seguir utilizando números reais:
Questão 2
Para resolver este sistema é indicado que utilizemos o método da substituição. Portanto, na primeira equação vamos isolar a variável y:
2x - y = 3 => y = 2x - 3
Vamos agora substituir a expressão encontrada para y na segunda equação:
5x + y2 = 1
5x + (2x - 3)2 = 1 → Utilizando o quadrado da soma temos: (2x - 3)2 = 4x2 - 12x + 9
5x + 4x2 -12x +9 = 1
4x2 - 7x + 8 = 0 → Para utilizarmos Bháskara, façamos a = 4, b = - 7 e c = 8
∆ = b2 - 4 * a * c
∆ = 72 - 4 * 4 * 8
∆ = 49 - 128
∆ = - 79
Dentro do conjunto dos Reais, não conseguimos encontrar solução para . Portanto, não existe par ordenado de números reais que seja solução desse sistema, ou seja, os gráficos das equações não se interceptam em nenhum ponto.
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Questão 3
O método mais indicado para aplicarmos na resolução desse sistema é o método da substituição. Para tanto, vamos isolar a variável x na primeira equação:
x - y = 5 => x = 5 + y
Vamos agora substituir x na 2ª equação:
x2 + y2 = 13
(5 + y)2 + y2 = 13
25 + 10y + y2 + y2 = 13
2y2 + 10y + 12 = 0 → Para facilitar nossos cálculos, vamos dividir todos os números da equação por 2:
y2 + 5y + 6 = 0 → Para utilizarmos Bháskara, façamos a = 1, b = 5 e c = 6
∆ = b2 - 4 * a * c
∆ = 52 - 4 * 1 * 6
∆ = 25 - 24
∆ = 1
Temos então:
Se y = -3, então:                                                   Se y = -2, então:
x = 5 + y                                                                   x = 5 + y
x = 5 + (-3)                                                                x = 5 + (-2)
x = 2                                                                         x = 3
Portanto, o sistema possui duas soluções reais: (2, -3) e (3, -2).