exercícios resolvidos - apostila mjpd mhrb

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
 
 
1) 
P(A) = 0,3, faça o diagrama de Venn e determine: 
a) )(BP b) )( BAP c) )( BAP d) )( BAP e) )/( BAP f) )( BAP 
Resolução: 
 
 
 
a) )(BP = (T2) 1 - 0,5 = 0,5 b) 0,6 = 0,2 
 
c) )( BAP = (T4) 0,5 0,2 = 0,3 d) )( BAP = (T2) 1 0,6 = 0,4 
 
 e) )/( BAP = (P.C.) 0,3 : 0,5 = 0,6 
 
f) )( BAP = (Morgan) )( BAP = (T2) 1 0,2 = 0,8 
 
 
 
 
2) 
 a) mutuamente exclusivos? b) eventos independentes? 
 
Resolução: 
 
a) Para serem ME a 0)( BAP , então pelo axioma 3 temos: P(AUB) = P(A) + P(B) 
P(AUB) = 0,3 + 0,5 P(AUB) = 0,8 
 
b) Para serem E.I. a )().()( BPAPBAP , então pelo teorema 5 temos: 
 P(AUB) = P(A) + P(B) B) P(AUB) = 0,3 + 0,5 0,3.0,5 = 08 0,15 P(AUB) = 0,65 
 
 
 
3) Dos 500 alunos matriculados, 155 mulheres cursam Cálculo (C), 150 cursam Estatística (E), 10 
Física (F) e 35 Química (Q). 45 homens (H) cursam Cálculo e 70 Estatística. Os alunos matriculados 
em Física são 30 e 50 em Química. Um aluno é sorteado ao acaso. 
 a) Apresente esses dados em uma tabela. 
 Encontre a probabilidade de: 
 b) não ser mulher. c) ser do curso de Estatística. 
 d) ser mulher do curso de Química. e) ser mulher, se é de Física. 
 f) ser do curso de Cálculo, dado que é homem. g) ser homem ou do curso de Química. 
 
Resolução: 
 
 16 
 _ 
a) b) P(M) = 150 / 500 = 0,3 
 C E F Q Total 
Mulher (M) 155 150 10 35 350 c) P(E) = 220 / 500 = 0,44 
Homem (H) 45 70 20 15 150 
Total 200 220 30 50 500 d) 
 
e) P(M/F) = 10 / 30 = 0,3333 f) P(C/H) = 45 / 150 = 0,3 g) P(HUQ)= (150+50 15)/500=0,37 
 
 
4) O sistema mostrado aqui opera somente se houver um caminho de componentes funcionais da 
esquerda para a direita. A probabilidade de cada componente funcionar é mostrada a seguir. 
Considere que os componentes funcionem ou falhem independentemente. Qual a probabilidade de 
que o sistema opere (O)? 
 Bloco A = A Bloco B = B Bloco C = C 
 
 
 0,9 
 C1 0,9 
 C4 
 0,8 0,99 
 C2 C6 
 0,95 
 0,9 C5 
 C3 
 
 
OBS.: O sistema pode ser dividido em blocos (A e B) que sejam exclusivamente subsistemas em 
paralelo. O resultado para um sistema em paralelo pode ser aplicado a cada bloco e os resultados dos 
blocos podem ser combinados pela análise para um sistema em série. Para o bloco A = A, a 
confiabilidade é obtida a partir do resultado para um sistema em paralelo como P(A) = P(C1UC2UC3) 
= 1 )( 321 CCCP = 1 )().().( 321 CPCPCP = 1 0,1 . 0,2 . 0,1 = 1 0,002 = 0,998. 
 Similarmente, para o bloco B = B, a confiabilidade é P(B) = P(C4UC5) = 1 )( 54 CCP = 
1 )().( 54 CPCP = 1 0,1 . 0,05 = 1 0,005 = 0,995. 
 
 A confiabilidade do sistema é determinada a partir do resultado para um sistema em série. O 
sistema em série só opera(O) se: 
 
 . 
 
 
 
5) Um supermercado com o intuito de controlar a validade de seus produtos, toma diariamente e de 
forma aleatória, 3 embalagens de cada produto. O lote é todo vistoriado se for encontrado pelo menos 
1 com data vencida. Na seção de frios tem 10 hamburguês, dos quais 2 estão vencidos. Ache a 
probabilidade deste lote ser totalmente vistoriado. R. 0,5333 
 
Resolução: 
 
2 vencidos (V) + 8 não vencidos )(V = 10 hamburguês 
 17 
 )( VVVP = 5333,0
15
7
1
8
6
.
9
7
.
10
8
1 
6) Três máquinas A , B e C produzem respectivamente 40%, 50% e 10% da produção da 
empresa X. Historicamente as porcentagens de peças defeituosas (F = fora das especificações) 
produzidas em cada máquina são de: 5%, 3% e 3%. A empresa contratou um Engenheiro para fazer 
uma revisão das máquinas e no processo de produção. O Engenheiro pretende utilizar conhecimentos 
de Estatística para formalizar, calcular probabilidades e tomar decisões. 
a) Faça a árvore de possibilidades. 
b) Qual é a probabilidade de que um item da produção, selecionado ao acaso, esteja dentro 
das especificações? 
 c) Se um dos engenheiros pretende escolher uma máquina para manutenção durante o período 
de férias coletivas, qual deve ser escolhida? Justifique sua resposta. 
 
Resolução: 
 
 F = fora das especificações = dentro das especificações 
 
a) b) P(F ) = P(A).P(F /A) + P(B).P(F /B) + P(C).P(F /C) 
 P(F/A) = 0,05 P(F ) = 0,4.0,95 + 0,5.0,97 + 0,1.0,97 
 P(F /A) = 0,95 P(F ) =0,38 + 0,485 + 0,097 
 P(A) = 0,4 P(F ) = 0,962 
 P(F/B) = 0,03 
 P(B) = 0,5 P(F /B) = 0,97 c) P(A/F) = P(A).P(F/A) : P(F) 
 P(C) = 0,1 P(A/F) = (0,4.0,05) : (1 - 0,962) 
 P(F/C) = 0,03 P(A/F) = 0,02 : 0,038 
 P(F /C) = 0,97 P(A/F) = 0,5264 
 
 
 P(B/F) = P(B).P(F/B) : P(F) P(C/F) = P(C).P(F/C) : P(F) 
 
 P(B/F) = (0,5.0,03) : 0,038 P(C/F) = (0,1.0,03) : 0,038 
 
 P(B/F) = 0,015 : 0,038 P(B/F) = 0,3947 P(C/F) = 0,003 : 0,038 P(C/F) = 0,0789 
 
 
R. Escolher a máquina "A" para manutenção, pois a probabilidade de fora das especificações é 
maior. 
 
 
 
 Exercício para fixação: 
 __ 
Se P(A) = 0,55 e P(B) = 0,40, ache 
Responda todos os itens do exercício nº 11, da pág. 18, exceto m, n, o. 
 
 
 
 
 
 Neste texto (Notas de aula) discutimos os resultados introdutórios da teoria das 
probabilidades. Em seguida vamos estudar as variáveis aleatórias e alguns modelos de 
probabilidade discretos e contínuos (Notas de aula). Para o estudo dos modelos discretos vamos 
usar resultados da análise combinatória e para o estudo dos modelos contínuos resultados do 
cálculo integral e diferencial.