Unidade III - Produto Escalar

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Geometria Analítica 
e Álgebra Linear
Produto Escalar
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Me. João Dimas Saraiva dos Santos
Revisão Técnica:
Profa. Me. Adriana Domingues Freitas
Revisão Textual:
Prof. Me. Selma Aparecida Cesarin
5
• Produto Escalar
• Definição geométrica de produto escalar
• Definição Algébrica
• Cálculo do ângulo de dois vetores
• Projeção de um vetor sobre outro
• Propriedades do produto escalar
• Ângulos diretores e cossenos diretores de um vetor
• Interpretação geométrica do módulo do produto escalar
A leitura dos textos indicados será de grande auxílio na interpretação e compreensão dos 
conteúdos desenvolvidos. Outro hábito auxiliar no aprendizado é o de refazer os exercícios 
resolvidos e as Atividades Práticas disponibilizadas ao final do conteúdo com as suas 
respectivas resoluções. 
 Fique atento (a) às atividades avaliativas propostas e ao prazo de realização e envio. 
 · Nas Unidades anteriores, estudamos vetores sob os pontos de 
vista geométrico e algébrico, nessa ordem. Vamos, a partir de 
agora, estudar o produto escalar.
Produto Escalar
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Unidade: Produto Escalar
Contextualização
Ao longo do desenvolvimento do conteúdo sobre vetores, discutiu-se a importância da 
Álgebra Vetorial na Física e na Engenharia. Vamos, a partir de agora, analisar uma situação 
problema que contextualize o produto escalar. 
Fique atento(a) para não confundir produto escalar de dois vetores com produto de escalar 
por um vetor, visto na Unidade I. O nome produto escalar sugere que se trata de um número 
real, isto é, de um escalar. 
O produto escalar é utilizado para calcular o trabalho realizado por uma força u cujo ponto 
de aplicação sofre um deslocamento v . 
O produto escalar é assim apresentado: u ⦁ v = | u | | v | cosθ. Essa igualdade mostra 
que esse número, que está associado a módulos e medida angular, pode ser calculado a partir 
de coordenadas em uma base ortonormal.
A palavra ortonormal refere-se à base ortogonal em que os vetores são todos unitários, ou 
seja, têm módulo 1. 
Maiores detalhes e esclarecimentos sobre o significado dessa fórmula serão fornecidos ao 
longo da Unidade.
Vamos utilizar o produto escalar para resolver o seguinte problema: um caixote de madeira é 
puxado 8 m acima em uma rampa sob uma força constante de 200 N aplicada em um ângulo 
de 25o com a rampa. Calcule o trabalho realizado. 
Resolução
A grandeza física trabalho, notada por W, é uma grandeza escalar e tem como unidade no 
Sistema Internacional o joule, notado por J. A expressão para o cálculo do trabalho W é W = 
F

 ⦁ d

 ou W = | F

| | d

| cosθ e 1J = 1N • 1m (1 Newton vezes um metro).
Analise o desenho a seguir que representa a situação enunciada. 
 
F
250 d
W = | F

| | d

 | cosθ ⇒ W = 200(8)cos25o = 1450 N•m = 1.450 J
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Produto Escalar
O produto escalar tem representação u ⦁ v (o símbolo “⦁” entre os vetores significa “escalar”). 
Então, u ⦁ v é lido como u escalar v . Tenha o cuidado de não confundir o símbolo de escalar 
“⦁” com o símbolo associado à multiplicação comum “•”. Note que, quando fizermos referência 
ao produto escalar, o símbolo entre os dois vetores terá mais destaque: u ⦁ v . 
 O produto escalar sempre resulta em um número real, que pode ser positivo, negativo ou 
nulo (zero). Isso se deve ao ângulo formado pelos dois vetores, que pode ser um ângulo agudo, 
ou seja, menor do que 90o, um ângulo obtuso, isto é, maior do que 90o, ou ainda o ângulo pode 
ser 0o. Adiante, vamos analisar o comportamento de ângulos formados por dois vetores. 
Defi nição Algébrica
Chama-se produto escalar de dois vetores u = x1 i

 + y1 j

+ z1 k

 e v = x2 i

 + y2 j

 + z2 k

, 
e se representa por u ⦁ v ao número real u ⦁ v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2.
O produto escalar de u por v também é indicado por <u , v> e se lê “u escalar v”.
Atividades
1) Dados os vetores u = 2 i

 - 4 j

 + 6 k

 e v = 3 i

 - 6 j

 - k

, determine u ⦁ v ;
2) Sejam os vetores u = (-1, 3, 2) e v = (2, 4, -3). Calcular:
a) (u - v) ⦁ (3u - 2 v) b) v ⦁ v c) 0

 ⦁ u ;
3) Dados os vetores u = (4, a, -1) e v = (a, 2, 3) e os pontos A(4, -1, 2) e B(3, 2, -1) determinar 
o valor de a tal que u ⦁ ( v + BA

) = 5.
Resoluções
1) u ⦁ v = 2(3)+(-4)(-6)+6(-1) = 6 + 24 – 6 = 24;
2) a) (u – v) ⦁ (3u – 2 v) = 
 u – v = (–1, 3, 2) – (2, 4, –3) = (–3, 1, 5)
 3u – 2 v = 3 (–1, 3, 2) – 2 (2, 4, –3) = (–3, 9, 6) + (–4, –8, 6) = (–7, 1, 12)
 (u – v) ⦁ (3u – 2 v) = (–3, –1, 5) ⦁ (–7, 1, 12) = 21 – 1 + 60 = 80
 b) v ⦁ v = (2, 4, –3) ⦁ (2, 4, –3) = 4 + 16 + 9 = 29
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Unidade: Produto Escalar
c)0

 ⦁ u = (0, 0, 0) ⦁ (-1, 3, 2) = 0 + 0 + 0 = 0;
3) u= (4, a, -1) e v = (a, 2, 3) e os pontos A(4, -1, 2) e B(3, 2, -1) determinar o valor de a tal 
que u ⦁ ( v + BA

) = 5.
BA

 = A – B = (4, -1, 2) – (3, 2, -1) = (1, -3, 3)
v + BA

 = (a, 2, 3) + (1, -3, 3) = (a+1, -1, 6)
u ⦁ ( v + BA

) = 5 
(4,a,-1) ⦁ (a+1, -1, 6) = 5
4(a+1) - a – 6 = 5
4a+4 - a – 6 = 5
3a−2 = 5 ⇒ 3a = 7 ⇒ a = 7
3
.
Propriedades do produto escalar
Para quaisquer vetores u , v e w e o número real a, é simples verificar que:
I) u ⦁ v = v

 ⦁ u ;
II) u ⦁ ( v + w ) = u

 ⦁ v + u

 ⦁ w e (u

 + v) ⦁ w = u

 ⦁ w + v

 ⦁ w ;
III) a(u ⦁ v) = (au ) ⦁ v = u ⦁ (a v);
IV) u ⦁ u > 0 se u ≠ 0

 e u ⦁ u = 0, se u = 0

 = (0, 0, 0);
V) u ⦁ u = |u |2.
De fato, vimos que o módulo do vetor u = (x, y, z) é dado por |u |2 = 2 2 2 x y z+ + . Tendo 
em vista que u ⦁ u = (x, y, z) ⦁ (x, y, z) = x2 + y2 + z2, conclui-se que |u | = u u  ou de 
modo equivalente u .u = |u |2.
Atividades
1) Sendo |u | = 6, | v| = 3 e u ⦁ v = 2, calcular (3u - 2 v) ⦁ (-u+ 4 v);
2) Mostrar que |u+ v|2 = |u |2+ 2u ⦁ v + | v|2.
9
Resoluções
1) (3u – 2 v) ⦁ (–u

+ 4 v). Vamos, primeiramente, aplicar a propriedade distributiva: 
3u ⦁ (–u + 4 v) – 2 v ⦁ (-u

 + 4 v) = – 3u

 ⦁ u + 12u ⦁ v + 2 v ⦁ u

 - 8 v ⦁ v = 
= – 3|u |2 + 14u ⦁ v – 8|v|2= – 3(6)2 + 14(2) – 8(3)2 = – 108 + 28 – 72 =
= – 152
2) |u+ v |2 = (u+ v) ⦁ (u+ v) = u ⦁ (u+ v )+ v ⦁ (u+ v) = 
= u ⦁ u + u ⦁ v + v ⦁ u + v ⦁ v = |u |2 + 2u ⦁ v + | v|2.
Observação: De forma análoga, demonstra-se que |u - v|2 = |u |2 - 2u ⦁ v + | v|2.
Defi nição geométrica de produto escalar
Se u e v são vetores não nulos e θ o ângulo entre eles, então 
u ⦁ v = |u || v|cos θ
A conclusão que tiramos a partir da fórmula é que: o produto escalar de dois vetores 
não nulos é igual ao produto de seus módulos pelo cosseno do ângulo por eles formado. 
Observação: θ (teta) é o nome da oitava letra do alfabeto grego, muito utilizada quando nos 
referimos a ângulos.
Para entender como foi obtida a fórmula u ⦁ v = | u || v|cos θ, devemos recorrer à lei 
dos cossenos.
 
A aplicação da lei dos cossenos
Acompanhe a resolução de uma situação-problema, para entender a aplicação da lei dos 
cossenos (Figura 3.1): uma companhia área realiza voos diretos entre as cidades A e B e entre A 
e C. Porém, essa companhia pretende criar uma nova linha, na qual realizará voos partindo de 
A com destino a C, fazendo conexão em B. 
Para calcularmos a distância em linha reta entre B e C, podemos utilizar a lei dos cossenos, 
que é enunciada da seguinte maneira.
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Unidade: Produto Escalar
Figura 3.1
A
Â
B
B̂
CĈ
bc
a
 
a2 = b2 + c2 - 2bc . cos  b2 = a2 + c2 - 2ac . cos ̂B c2 = a2 + b2 - 2ab . cos ̂C
Para todo triângulo ABC, o quadrado da medida de um lado qualquer é igual à soma dos 
quadrados das medidas dos outros dois lados subtraída do dobro do produto desses dois lados 
pelo cosseno do ângulo formado por eles. 
Observação
Para verificara demonstração da lei dos cossenos, visite os sites recomendados anteriormente. 
Vamos aplicar a lei dos cossenos para resolver a questão proposta.
Verifique a representação gráfica (Figura 3.2) da situação-proposta acima.
Figura 3.2
A
B
C 800 km
620 km
600
 
Vamos tratar essa situação por meio de vetores.
Figura 3.3
A
B
C= 800 km
- 
620 km =
600
u
u
v
v
 
11
Lembre-se de que a distância de A até C é a mesma que de C até A. A distância de A até 
B é a mesma que de B até A. O mesmo se aplica á distância entre B e C. Afinal, estamos 
tratando de módulo.
Primeiramente, vamos utilizar a lei dos cossenos para calcular a distância de B até C:
|u - v|2 = |u |2 + | v|2 - 2 |u | | v| cos 60o
|u - v|2 = 8002 + 6202 – 2 • 800 • 620 • 
1
2
|u - v|2 = 640.000 + 384.400 – 496.000 = 528.400
|u - v| = 528.400 = 726,91 km
Agora, vamos aplicar a lei dos cossenos ao triângulo acima, para determinar o produto 
escalar u ⦁ v :
|u - v|2 = |u |2 + | v| - 2 |u | • | v| cos 60o (I)
Por outro lado, como visto na observação feita no item 2, anterior:
|u - v|2 = |u |2 - 2u ⦁ v + | v|2 (II)
Comparando (I) e (II), temos:
|u |2 + | v| - 2 |u | • | v| cos 60o = |u |2 - 2u ⦁ v + | v|2
- 2 |u | • | v| cos 60o = - 2u ⦁ v
u ⦁ v = |u | • | v| cos 60o
u ⦁ v = 800 • 620 • 
1
2 = 248.000
Generalizando, temos: u ⦁ v = |u | • | v| cos θ
Atividade
Sendo |u | = 4, | v| = 3 e 120o, o ângulo entre u e v , calcular:
a) u ⦁ v b) |u+ v| c) |u - v|
Resolução
a) u ⦁ v = |u | | v| cos120o = (4) (3) (- 1
2
) = - 6
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Unidade: Produto Escalar
b) Vimos que |u+ v|2 = |u |2 + 2 |u | | v| ⦁ cos120o + | v|2
|u+ v|2 = 42 + 2 (-6) + 32 = 16 – 12 + 9 = 13
|u+ v| = 13
c) De modo análogo, temos:
|u - v|2 = |u |2 - |2u | | v| ⦁ cos120o + | v|2 
|u - v|2 = 42 – 2(-6) + 32 = 16 + 12 + 9 = 37
 |u - v| = 37
Observações:
a) Vamos exemplificar com um caso particular a equivalência das expressões do produto 
escalar apresentadas por u ⦁ v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
e u ⦁ v = |u || v|cos θ. 
Acompanhe a representação gráfica a seguir (Figura 3.4).
Figura 3.4
y
x
z
1
1
u
v
 
 
|u | = 2 2 21 1 0+ + = 2
|v| = 2 2 20 1 0+ + = 1
u = (1, 1, 0) e v= (0, 1, 0)
u ⦁ v = (1) (0) + (1) (1) + (0) (0) = 1
u ⦁ v = 2 (1) cos 450 = 2
2
2
 
   = 1
Observe que ambas as expressões do produto escalar geraram o mesmo valor 1, portanto, 
são equivalentes. 
b) Vamos apresentar, sem a demonstração, dois resultados válidos para todos os vetores u e v :
1) |u ⦁ v| ≤ |u | | v| (Desigualdade de Schwarz)
2) |u+ v| ≤ |u | + | v| (Desigualdade Triangular)
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A igualdade somente ocorre quando u e v forem paralelos e de mesmo sentido. 
1) u ⦁ v > 0 ⇔ cos θ > 0 ⇔ 0o ≤ θ ≤ 90o (Figura 3.5(a))
2) u ⦁ v < 0 ⇔ cos θ < 0 ⇔ 90o < θ ≤ 180o (Figura 3.5(b))
3) u ⦁ v = 0 ⇔ cos θ = 0 ⇔ θ = 90o (Figura 3.5(c))
uuu
v
v
v
•
A condição u ⦁ v = 0 ⇔ cos θ = 0 ⇔ θ = 90o estabelece a condição de ortogonalidade de 
dois vetores:
Dois vetores u e v são ortogonais se, e somente se, u ⦁ v = 0.
Atividades
1) Mostrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais:
a) u = (1, -2, 3) e v= (4, 5, 2)
b) i

 ⦁ j ;
2) Provar que o triângulo de vértices A(2, 3, 1), B(2, 1, -1) e C(2, 2, -2) é um triângulo retângulo;
3) Determinar um vetor ortogonal aos vetores v1 = (1, -1, 0) e v2 = (1, 0, 1);
4) Demonstrar que as diagonais de um losango são perpendiculares entre si. 
Resoluções
1) a) Para que os vetores sejam ortogonais, ou seja, formem 90o, o produto escalar entre eles 
deve dar zero. 
 u ⦁ v = (1, -2, 3) ⦁ (4, 5, 2) = 1(4) + (-2)(5) + 3(2) = 4 – 10 + 6 = 0
b) i

 ⦁ j = (1, 0, 0) ⦁ (0, 1, 0) = 1(0) + 0(1) + 0(0) = 0
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Unidade: Produto Escalar
2) Para provar que um triângulo é retângulo, temos de mostrar que existem dois vetores que 
determinam os lados do triângulo cujo produto escalar é zero.
Consideremos os vetores:
AB

= B – A =(2, 1, -1) - (2, 3, 1) = (0, -2, -2)
AC

= C – A = (2, 2, -2) – (2, 3, 1) = (0, -1, -3)
BC

 = C – B = (2, 2, -2) – (2, 1, -1) = (0, 1, -1)
Note que AB

 ⦁ BC

 = (0, -2, -2) ⦁ (0, 1, -1) = 0(0) + (-2)(1) + (-2)(-1) = 0 -2+2=0
Tendo em vista que AB

 ⦁ BC

 = 0, o triângulo é retângulo em B. 
3) O vetor procurado é u= (x, y, z) e como ele deve ser ortogonal aos vetores v1 = (1, -1, 0) e 
v2 = (1, 0, 1), devemos ter:
u ⦁ v 1 = (x, y, z) ⦁ (1, -1, 0) = x – y = 0
u ⦁ v 2 = (x, y, z) ⦁ (1, 0, 1) = x + z = 0
0 
0 
x y x y y x
x z x z z x
− = ⇒ = ⇒ =
 + = ⇒ =− ⇒ =−
Logo, os vetores ortogonais a v 1 e v

2 são da forma u

= (x, x, -x) ou 
u= x(1, 1, -1), x ∈ ℝ, isto é, são todos múltiplos de (1, 1, -1), conforme sugere a Figura 3.6.
Figura 3.6
v1
v2
(1, 1, -1)
4) Vamos relembrar que todo losango é um paralelogramo, cujos lados têm medidas iguais. 
Considere o losango ABCD ao lado 
A
BD
C
uv
- u v
+u v
 (Figura 3.7)
15
Se as diagonais do losango são perpendiculares, logo o produto escalar entre elas deve ser 
0. AC

 ⦁ BD

 = 0.
Consideremos AB

 = u e AD

= v , conforme se observa na Figura 3.7.
AC

= u+ v e DB

 = u - v . Logo, AC

 ⦁ BD

 = (u+ v ) ⦁ (u - v ) = u u - u v + v u - v 
v = |u |2 - | v|2 = 0 pois |u | = | v|.
Cálculo do ângulo de dois vetores
Vamos isolar cosθ na fórmula u ⦁ v = |u | ⦁ | v| cosθ. Teremos cosθ=
 
 
u v
u v




 . Essa é a 
fórmula a ser utilizada para calcular a medida do ângulo entre dois vetores não nulos. 
Atividades
1) Calcular a medida do ângulo entre os vetores u= (1, 1, 0) e v= (0, 1, 1);
2) Sabendo que o vetor v=(2,1,-1) forma ângulo de 60o com o vetor AB

 determinado pelos 
pontos A(3, 1, -2) e B(4, 0, m), calcule m;
3) Determinar os ângulos internos ao triângulo ABC, sendo A(3, -3, 3), B(2, -1, 2) e C(1, 0, 2).
Resoluções
1) Primeiramente, temos de calcular :
u ⦁ v = (1, 1, 0) ⦁ (0, 1, 1) = 1(0) + 1(1) + 0(1) = 1
|u | = 2 2 21 1 0 2+ + = e 2 2 20 1 1 2v = + + =
cosθ=
 
 
u v
u v





 ⇒ cosθ= ( ) ( )1,1 , 0 0,1 ,1 
2 2
 ⇒ cosθ= 
1
 4 ⇒ cosθ= 
1
 2
É interessante que você memorize a seguinte tabela de valores trigonométricos notáveis:
300 450 600
sen
1
2
2
2
3
2
cos
3
2
2
2
1
2
tg
3
3
1 3
16
Unidade: Produto Escalar
Como 0o ≤ θ ≤ 180o, concluímos que θ= 60o. 
Note que cosθ= 
1
 2 , logo, temos de nos perguntar o seguinte: Qual o ângulo cujo cosseno é 
igual a 
1
 2 ? Recorrendo à tabela, fica evidente que esse ângulo mede 60
o. 
Você pode estar se perguntando. E se o valor do cosseno do ângulo não aparecer na tabela, 
ou seja, se esse ângulo não for notável? Como proceder?
A dica a seguir vale para qualquer ângulo, seja ele notável ou não.
Pegue uma calculadora científica e proceda assim:
  Procure e pressione uma das teclas “shift”, “2ndf” ou “arccos”, dependendo do modelo 
de sua calculadora. Isso indica que você estará trabalhando com a segunda função;
  Agora, pressione a tecla “cos”, em seguida “0,5”, que corresponde a 1 dividido por 2;
  Pressione a tecla “=” e aparecerá no visor o valor “60”. Isso significa que o cosseno de 
60o é 0,5 ou 1/2.
Esteja atento(a) para que a sua calculadora esteja configurada no modo “grau”. Na maioria 
das calculadoras, aparecerá “D” ou “deg” na parte superior do visor da calculadora, uma 
referência à palavra “degree” que em inglês significa “grau”.
Trocando Ideias
É importante que você leia o manual de instruções da sua calculadora. Lá, você descobrirá 
dicas importantes sobre o próprio manuseio, além de como utilizá-la como um excelente 
concretizador do aprendizado. 
2) Vamos adaptar a fórmula cosθ=
 
 
u v
u v





, para calcular cos60o = 
 
 
v AB
v AB




 .
Vamos, primeiro, determinarAB

= B-A=(4,0,m) - (3, 1, -2) = (1, -1, m+2). O próximo 
passo é calcular | v| = ( )22 22 1 1 6+ + − = e 
( ) ( )2 22 1 1 2AB m= + − + +

 = 2 21 1 4 4 4 6m m m m+ + + + = + + . 
Substituindo os resultados obtidos em cos60o = 
 
 
v AB
v AB






, temos: 
( ) ( )
( )2
 2,1 , 1 1, 1, m 21 
2 6 m 4m 6
− − +
=
+ +
 = ( ) ( ) ( )( )
2
2 1 1 1 1 2
6 24 36
m
m m
+ − + − +
+ +
=
2
2 1 2
6 24 36
m
m m
− − −
+ +
= 
2
1
6 24 36
m
m m
− −
+ +
17
2
1 1
2 6 24 36
m
m m
− −
=
+ +
(vamos elevar ambos os membros ao quadrado para eliminar a raiz 
quadrada, o que facilita a resolução)
( )
( )
222
22 2
11 1 1 
2 46 24 36 6 24 36
mm
m m m m
− +  − −   = ⇒ =      + + + +
⇒ 1
4
 = 
2
2
1 2
6 24 36
m m
m m
+ +
+ +
Agora, vamos fazer a multiplicação cruzada:
6m2 +24m +36 = 4(1 +2m +m2)
 6m2 +24m +36 = 4 +8m + 4m2
6m2 +24m +36 -4 -8m - 4m2 = 0
2m2+16m+32=0 (vamos dividir todos os termos da equação por 2, pois isso facilita a resolução).
m2+ 8m+16=0 (a=1,b=8 e c=16) 
Vamos utilizar a fórmula de Báskara para resolver a equação do 2^º grau:
2 4
2
b b ac
a
− ± −
x1 = 
( )( )
( )
28 8 4 1 16
2 1
− + −
 = 8 0 4
2
− +
= −
x2 = 
( )( )
( )
28 8 4 1 16
2 1
− + − = 8 0 4
2
− −
= −
A raiz é dupla e m= -4.
3) Observe a figura seguinte:
 
A
Â
B
C
Temos de calcular os ângulos , ˆ ˆA B e C e, para isso, vamos utilizar a fórmula cosθ = 
 
 
u v
u v





( ) ( ) ( )2, 1, 2 3, 3, 3 1, 2, 1AB B A= − = − − − = − −

( ) ( ) ( )1, 0, 2 3, 3, 3 2, 3, 1AC C A= − = − − = − −

( ) ( )2 22 1 2 1 6AB = − + + − =

( ) ( )2 22 2 3 1 14AC = − + + − =

18
Unidade: Produto Escalar
 cos 
 
ˆ AB ACA
AB AC
=
 



( ) ( ) 1, 2, 1 2, 3, 1cos 
6 
ˆ
 14
A
− − − −
=

= 
( )( ) ( ) ( )( )1 2 2 3 1 1 
84
− − + + − −
 = 
2 6 1
84
+ +
 = 
9
84
 ≅ 0,982
 
cos  ≅ 0,982 ⇒ cos  = arc cos 9
84
 
  
 ≅ 10,89o = 10o 53’
Observação:
10,89o equivale a 10o + 0,89o e sabemos da correspondência 
1o = 60’ (um grau = 60 minutos)
Então, recorremos à regra de três simples:
Grau Minuto
1o 60’
0,89o x’
Fazendo a multiplicação cruzada, temos:
x’ = 0,89(60) ⇒ x’≅ 53’ 
Agora, vamos calcular o ângulo B
( ) ( ) ( )3, 3, 3 2, 1, 2 1, 2,1 BA A B= − = − − − = −

( ) ( ) ( )1, 0, 2 2, 1, 2 1,1 , 0BC C B= − = − − = −

( ) ( ) ( )2 2 2 1 2 1 6BA = + − + =

( ) ( )2 22 1 1 0 2BC = − + + =

( ) ( )1, 2,1 1,1 , 0 cos 
6 2
ˆ
 
BA BCB
BA BC
− −
= =
 




 = ( ) ( )( ) ( )1 1 2 1 1 0
12
− + − + = 
( )
1 2 0
4 3
− − +
 = 
3
2 3
−
Vamos racionalizar o denominador da expressão 
3
2 3
− .
19
3
2 3
− • 
3
3
 = 
3 3
2 9
− = ( )
3 3
2 3
− = 3 
2
− (note que racionalizar o denominador equivale a 
eliminar a raiz do denominador da fração)
B̂ = arc cos 
3
2
 
−  
 = 150o
Agora, vamos calcular o ângulo C
( ) ( ) ( )3, 3, 3 1, 0, 2 2, 3,1 CA A C= − = − − = −

( ) ( ) ( )2, 1, 2 1, 0, 2 1, 1, 0CB B C= − = − − = −

( ) ( ) ( )2 2 2 2 3 1 14CA = + − + =

( ) ( )2 22 1 ( 1) 0 2CB = + − + =

( ) ( )2, 3,1 1, 1, 0 cos 
14 2 
ˆ CA CBC
CA CB
− −
= =
 
 



= ( ) ( )( ) ( )2 1 3 1 1 0
28
+ − − +
=
2 3 0
28
+ +
 = 
5
28
 ≅ 0,9449
Ĉ = arc cos 5
28
 
  
 ≅ 19,11o ≅ 19o 7’. 
Observe que a soma dos ângulos internos de um triângulo dá 180o. Sendo assim, ˆ ˆ ˆA B C+ + 
= 180o ⇒ 10,89o + 150o + 19,11o = 180o.
Ângulos diretores e cossenos diretores de um vetor
Seja o vetor v= x i

 + y j

 + z k

 não nulo.
Observe, na Figura 3.8 a seguir, a indicação dos ângulos diretores. Ângulos diretores de v são 
os ângulos α, β e γ que v forma com os ângulos i

 , j

 e k

, respectivamente. 
20
Unidade: Produto Escalar
Figura 3.8
X
Y
Z
β
α
γ
v
i
k
j
 
Cossenos diretores de v são os cossenos de seus ângulos diretores, isto é, cos α, cos β e cos γ. 
Para o cálculo desses valores, utilizaremos as fórmulas a seguir.
cos α= 
 
 
v i
v i




 = ( ) ( )
( )
, , 1, 0, 0
1
x y z
v


 = 
( ) ( ) ( )1 0 0 x y z
v
+ +

 = 
x
v
cos β = 
 
v j
v j




 = ( ) ( )
( )
, , 0,1 , 0
1
x y z
v


 = ( ) ( ) ( )0 1 0 x y z
v
+ +

 = y
v
 
cos γ = 
 
v k
v k



 = ( ) ( )
( )
, , 0, 0,1 
1
x y z
v


 = ( ) ( ) ( )0 0 1 x y z
v
+ +

 = z
v
Observação:
Note que os cossenos diretores de v são exatamente as componentes do versor de v :
( ), , x y zv
v v
=

 
 = , , x y z
v v v
 
  
  
 = (cos α, cos β, cos γ)
Vimos anteriormente que o versor é um vetor unitário, daí conclui-se:
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
Atividades 
1) Calcular os ângulos diretores de v = (1, -1, 0);
2) Os ângulos diretores de um vetor são α, 30o e 60o. Determinar α.;
3) Um vetor v do espaço forma com os vetores i

 e j

 ângulos de 60o e 120o, respectivamente. 
Determinar o vetor v , sabendo que | v| = 2.
21
Resoluções
1) ( )22 2 1 1 0 2v = + − + =
cos α = 
1 cos 
2
x
v
α⇒ =

 ⇒ 
1cos 
2
α = 2
2
 = 
2
4
 = 
2
2
 
Verifique na tabela de valores trigonométricos notáveis, ou utilize a calculadora científica: 
α = arc cos 2
2
 
  
 = 45o
cos β= 1 cos 
2
y
v
β
−
⇒ =

 ⇒
1cos 
2
α = − 
2
2
 = - 
2
4
 = - 2
2
β = arc cos 
2
2
 
−  
 = 135o
cos γ= 0 cos 
2
y
v
γ⇒ =

 ⇒ 0cos 
2
γ = = 0
γ = arc cos(0) = 90o
Logo, α= 45o, β= 135o e γ = 90o
2) Vamos utilizar a relação:
cos2 α + cos2 β+cos2 γ=1
cos2 α + cos2 30o + cos2 60o = 1
cos2 α +
2 23 1
2 2
   +      
=1
cos2 α + 
3 1
4 4
+ =1
cos2 α + 1 = 1
cos2 α = 1-1
cos2 α = 0
cos α = ± 0
cos α= 0
a=arc cos 0 = 90o
 
22
Unidade: Produto Escalar
3) O vetor procurado é v =(x,y,z). No nosso exercício, α= 60o e β

 = 120o. Sabemos que 
cos α= 
x
v e 
� � � �60 60
1
2
º cos º
cos 60o = 
x
v ⇒ 
1
2
 = 
2
x
 ⇒ x = 1
Faremos o mesmo para y:
cos 120o = x
v
 ⇒ - 1
2
= 
2
x ⇒ x = - 1
Foi fornecido que | v| = 2, o que nos leva a ( )22 2 2 2 2 2 1 1 2x y z z+ + = ⇒ + − + = 
(vamos elevar ambos os membros ao quadrado para eliminar a raiz).
( )( )222 2 21 1 2z+ − + =
12 + (-1)2 + z2 = 4
1+1+ z2 = 4
z2 = 4 – 1 – 1
z2 = 2
z = ± 2
Logo, temos duas possibilidades para o vetor procurado:
v = (1, -1, 2 ) ou v

 = (1, -1, - 2 )
Projeção de um vetor sobre outro
Sejam os vetores u e v não nulos e θ o ângulo entre eles. Objetivamos decompor um dos 
vetores, digamos v , tal que v = v 1 + v

2 sendo v

1 // u

 e v 2 ⊥ u

. 
A Figura 3.9 a seguir ilustra as duas situações possíveis. O ângulo θ pode ser agudo (Figura 
3.9(a)) ou obtuso (Figura 3.9(b)). 
23
uu
vv
v1 v1
v2v2
O vetor v 1 é chamado projeção ortogonal de v

 sobre u e indicado por v 1= proju v

. 
Sabemos que v 1//u

, logo v 1 = au

 e como v 2= v

 - v 1 = v

 - au é ortogonal a u , vem v - a
u ⦁ u = 0 ou v ⦁ u - au ⦁ u = 0.
Da expressão v ⦁ u - au ⦁ u = 0, vem:
v ⦁ u - au ⦁ u = 0 ⇒ - au ⦁ u = - v ⦁ u ⇒ (vamos multiplicar ambos os membros por 
-1) ⇒ au ⦁ u = v ⦁ u ⇒ a= 
 
v u
u u






. Vimos que v 1 = au

, logo concluímos que 


uproj v = 
  
  
 




 v u
u u
 u .
Interpretação geométrica do módulo do produto escalar
Vimos que uproj v

=
 
 
v u
u u
 
  
 
 


 u . Vamos supor que o vetor u seja unitário, isto é, |u| = 1, logo 
teremos uproj v

= ( v ⦁ u ) u pois u ⦁ u = |u |2 = 1 e, portanto, 
| uproj v

| = |( v ⦁ u ) u | = |( v ⦁ u )| |u | ou | uproj v

|= | v ⦁ u | 
Ideias-chave
Então, O comprimento do vetor projeção de v sobre u , sendo u unitário, é igual ao módulo do 
produto escalar de v por u . 
24
Unidade: Produto Escalar
Atividades 
1) Determinaro vetor projeção de v = (1, 1, 2) sobre u = (-2, 3, 1);
2) Dados os vetores v = (1, 3, -5) e u = (4, -2,8), decompor v como v = v1 + v

2, sendo v

1 // 
u e v2 ⊥ u

.;
Resoluções
1) v = (1, 1, 2) sobre u = (-2, 3, 1)
v ⦁ u=1(-2)+ 1(3)+ 2(1)= -2+3+2=3
u ⦁ u=(-2)2 + 32 + 12=14 
 uproj v

 = 
 
 
v u
u u
 
  
 
 


 u = 3
14
 (-2, 3, 1) = 
6 9 3, , 
14 14 14
− 
  
 = 
3 9 3, , 
7 14 14
 −  
2) Analise a Figura 3.9 e sabendo que v1= uproj v

 = 
 
 
v u
u u
 
  
 
 


 u , vamos determinar os produtos 
escalares v ⦁ u = 1(4) + 3(-2) + (-5)(8) = 4 – 6 – 40 = - 42 e
u ⦁ u = 42 + (-2)2 + 82 = 16 + 4 + 64 = 84. Daí, vem v1= uproj v

 = 
 
 
v u
u u
 
  
 
 


 u = 
= -42/84 (4, -2, 8) = -1/2 (4 -2 8) = (-2, 1, -4).
Após calcularmos o vetor v1=(-2,1,-4), vamos decompor o vetor v

.
Sendo v = v1 + v

2 ⇒ v

2= v

 - v1 = (1, 3, -5) – (-2, 1, -4) = (3, 2, -1)
Observamos que v2 ⊥ u

, pois o produto escalar entre eles é zero. Vejamos,
v2 ⦁ u

 = (3, 2, -1) ⦁ (4, -2, 8) = 12 – 4 - 8 = 0
25
Material Complementar
Para aprofundamento de estudos, consulte:
1) CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. 3.ed. São Paulo. 
Pearson Prentice Hall, 2005.
2) JULIANELLI, José Roberto. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica. Rio de Janeiro: 
Ciência Moderna, 2008.
3) WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: Makron Books 
do Brasil, 2000.
4) ANTON, H. Álgebra Linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001.
26
Unidade: Produto Escalar
Referências
BOULOS , Paulo, CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica: i, tratamento vetorial – São 
Paulo: Mc Graw-Hill 2005, 3 edição
LIMA, Elon Lages. Coordenadas no Espaço – Rio de Janeiro: Coleção do professor de 
Matemática, 1993.
SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica – São Paulo: Mc Graw-Hill 1987.
SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com geometria analítica – volume 2. São Paulo: Makron 
Books do Brasil Editora Ltda, 1994, 2 edição
VENTURI, Jaci J. álgebra Vetorial e Geometria Analítica – Curitiba: Scientia et Labor – 
Editora da UFPR, 1990, 3 edição
WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica – São Paulo: Makron Books Ltda, 2000
www.cruzeirodosulvirtual.com.br
Campus Liberdade
Rua Galvão Bueno, 868
CEP 01506-000
São Paulo SP Brasil 
Tel: (55 11) 3385-3000