05 Matematica 2015 ok

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Matemática e suas Matemática e suas Matemática e suas 
tecnologiastecnologiastecnologias
227
Matemática
CONJUNTO
Agrupamentos onde os elementos (representados 
por letras minúsculas) tem alguma característica em 
comum. Exemplos: conjunto (representado por letra 
maiúscula) de consoantes em um alfabeto: C={b, c, d, 
f, ...}; Outra forma de representar um conjunto é atra-
vés do diagrama de Venn Euler, observe: 
A={1, 2, 3, 4, 5}; B={2, 3, 4} e D={1, 3}
A
B D
Diagrama de Veen
Nesse caso o conjunto universo é o A, e observa-
mos:
BUD = {1, 2, 3, 4}; (lê-se B união de D, todos os 
elementos de ambos).
B∩D = {3}; (lê-se B intersecção de D, todo elemen-
to que se repete em ambos os conjuntos).
BC= {1, 5}; (lê-se complemento de B, todo elemen-
to do conjunto universo que não pertença (∉) a B).
Todo conjunto tem subconjuntos, e quando esse 
conjunto é fi nito sabemos o número de subconjuntos 
através de 2n, onde n representa o numero de elemen-
tos do conjunto principal. Exemplo: no conjunto D te-
mos n= 2, aplicando 2n, teremos 4 subconjuntos que 
serão: F=∅, G={1}, H={3} e J= {1, 3}.
CONJUNTOS NUMÉRICOS:
São conjuntos cujos elementos são números. Serão 
estudados a seguir conjuntos de números naturais (N), 
inteiros (Z), racionais (Q), irracionais (I) e reais (R).
Conjunto dos Números Inteiros (Z) 
Pertencem (∈) a este conjunto todos os números in-
teiros.
Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
Z*: inteiros diferentes de zero.
Z+: inteiros positivos e zero.
Z-: inteiros negativos e zero.
Conjunto dos Números Naturais (N) 
Pertencem (∈) a este conjunto todos os números in-
teiros positivos e zero.
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
N*: naturais não nulos (≠0).
 Conjunto dos Números Irracionais 
(I) 
Números que não tem representação decimal fi nita 
ou infi nita e periódica.
Exemplos:
π= 3,1415926535...
√2= 1,414213562...
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q) 
Sejam p e q dois números inteiros e primos entre si 
(o número 1 é o único divisor comum). Q é o conjun-
to dos números que podem ser representados na forma 
p/q, ou seja, como a razão entre dois inteiros. O con-
junto dos números racionais defi ne-se assim: Q={p
qp,q∈ Z e q ≠0}
1
4
= 0,25 (representação decimal fi nita)
1
3
 = 0,333.... ( representação decimal infi nita e perió-
dica
Q*: racionais diferentes de zero.
Q+: racionais não negativos.
Q-: racionais não positivos.
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R)
Formado pela união (U) dos racionais e irracionais.
R = Q U I
R*: reais diferentes de zero.
R+: reais não negativos.
R-: reais não positivos.
Q
Z
N
I
228
1) O valor da expressão a3 – 3a2x2y2, para a = 
10, x = 2 e y = 1 é:
a) 100 b) 50
c) 250 d) -150 e) -200
2) Simpli� cando a expressão [29:(22.2)3]3, obtém-
-se:
a) 236 b) 2-10 
c) 2-6 d)1 e.) 13 
EXERCÍCIOS
3) Considere que a massa de um próton é 1,7 x 1027 
kg, o que corresponde a cerca de 1800 vezes a 
massa de um elétron. Dessas informações, é 
correto concluir que a massa do elétron é apro-
ximadamente:
a) 9 x 10-30 kg b) 0,9 x 10-30 kg 
c) 0,9 x 10-31 kg d) 2,8 x 10-31 kg
e) 2,8 x 10-33 kg
Respostas: 1: e; 2: d; 3: b.
POTENCIAÇÃO
Defi nição:
É a multiplicação da base por ela mesma o número 
de vezes que o expoente indicar.
ab (a elevado a b) {(a: baseb: expoente
Exemplos:
a) 23= 2.2.2=8
b) 72= 7.7=49
c) (-3)2= (-3).(-3)= +9 (todo número negativo elevado 
a um número par é positivo)
d) (-3)3= (-3).(-3).(-3)= -27 (todo número negativo 
elevado a um número impar é negativo)
Observe que: (-3)2≠ - 32
PROPRIEDADES:
Multiplicação de bases iguais
Mantém a base e soma os expoentes.
ab.ac= ab+c
Ex.:
23.24= 23+4= 27
Divisão de bases iguais
Mantém a base e subtrai os expoentes.
ab
ac = a
b-c (a≠ 0)
Ex.:
24
23
= 24-3= 21 = 2
24
23 = 2
3-4= 2-1
Potência de potência
Mantém a base e multiplicar os expoentes.
(ab)c= ab.c
Ex.:
(23)4= 23.4= 212
Observe que: (23)4≠ 234
Multiplicação de bases diferentes 
elevados à mesma potência
Eleva-se cada base ao expoente e depois multiplica.
(a .b)c= ac . bc
Ex.:
(2.4)3= 23.43= 512
Divisão de bases diferentes 
elevados à mesma potência
Eleva-se cada base ao expoente e depois divide.
(ab )
c = ac
bc
Ex.:
(23 )
4 = 24
34
 = 27
81
Potências especiais
a0 = 1 (todo número elevado a “0” é “1”).
a1 = a (todo número elevado a “1” é ele mesmo).
a-b= 1
ab
(a≠0) (todo número com expoente negativo é o 
seu inverso)
10n = 1 seguido/ antecedido por n zeros
Ex.: 104= 10000
10-4= 0,0001
229
1) Efetuando 3√14 + √(3/5- 11/25)) , obtém-
-se:
 125
a.) 3√14+ 2 
 5 
b.) 3√114 
 5 
c.) 6
 5 
 d) 4
 5 
EXERCÍCIOS
e) 3
 5 
2) O valor da expressão 92,5 – 10240,1 é:
a) -83 b) -81
c) 241 d) 243
e) 254
Respostas: 1: d; 2: c.
q
RADICIAÇÃO
Defi nição:
Na verdade a radiciação é como a potenciação, po-
rém com o expoente racional, em forma de fração:
a p
q
= √(ap ) {a:radicandoq:índice da raizp:expoente do radicando
Devemos então decompor o radicando de forma que 
o índice da raiz e o expoente do radicando facilite na 
hora da divisão.
Exemplos:
3√8 = 3√23 = 2 33 = 2
1 = 2
3√(64 )= 3√26 )= 2 6
3
 = 22 = 4
√81 = √(34 )= 3 42 = 3
2 = 9
PROPRIEDADES:
Multiplicação de mesmo índice
Multiplica o radicando e mantém o índice.
n√a . n√b = n√a.b
Ex.:
3√27 . 3√8= 3√27.8 = 6
Divisão de mesmo índice
Divide o radicando e mantém o índice.
n√a
n√b 
=
 
n√a
 b
Ex.:
√16 = √16 = 2√4 4
Raiz de Raiz
Mantém o radicando e multiplica os índices.
n√m√a = n.m√a
Ex.: 
2√3√64 = 2.3√64 = 6√64 = 2
Potência de raiz
Mantém o índice e eleva o radicando a potência.
(n√a)m = n√am
Ex.:
(3√8)2= 3√82
Multiplicação de índice
Se for necessário multiplicar o índice da raiz por al-
gum motivo, podemos multiplica-lo contanto que mul-
tiplique também o expoente do radicando; pois isso não 
irá alterar o resultado:
n√am = n.p√am.p
Ex.:
3√8 = 3.2√82
Índice par
Toda vez que o índice da raiz for par o resultado 
dado será em módulo.
Ex.: 
4√16 = | 2 |
Relembrar: módulo, inverso e oposto.
230
RACIONALIZAÇÃO DE 
DENOMINADORES
Racionalizar denominadores é transformar frações 
com denominadores irracionais em frações equivalen-
tes com denominadores racionais.
FRAÇÕES EQUIVALENTES:
Observe que:
2 = 4 = 6 = 2x, sendo x um número real e não nulo.
5 10 15 5x 
Quando multiplicamos uma fração por outra com 
numerador e denominador iguais estamos transforman-
do-a em uma fração equivalente, pois isso equivale a 
uma multiplicação por 1.
Exemplos:
a) Fração do tipo x:
 √a
Multiplicar por uma fração do tipo √a .
 √a
 1 . √3 = √3
 √3 √3 3
b) Fração do tipo x
 y+ √a:
Multiplicar por uma fração do tipo y- √a .
 y- √a
 3 . 2- √5 = 6- 3√5 = _____ _____ ______
 2+ √5 2- √5 22- √52 
6- 3√5 = 6- 3√5______ ______
 4- 5 -1
c) Fração do tipo x :
 
i√ae
Multiplicar por uma fração do tipo i√ai-e) :
 i√ai-e
 3 . 5√25-1 = 35√24 = 35√24_________ _________ __________ _________
 5√2 5√25-1 5√21·24 2
FATORAÇÃO
Fatorar é transformar parcelas de uma soma em fa-
tores de uma multiplicação. Usada para facilitar a sim-
plifi cação de outras expressões:
Exemplos:
1) 6 + 10 = 2.3 + 2.5 = 2 . (3+ 5)
Soma: parcela 6 e parcela 10
Multiplicação: fator 2 e fator (3 + 5)
2) 6x + 3 = 3.2.x + 3 = 3.( 2x + 1)
Soma: parcela 6x e parcela 3
Multiplicação: fator 3 e fator (2x + 1).
Casos de fatoração:
Fator comum
Relembrando a propriedade distributiva:
x (a + b) = ax + bx
Fazendo o raciocínio inverso:
ax + bx = x (a + b)
AgrupamentoÉ a aplicação continuada do fator comum, quando 
aplicamos o fator comum e observamos que pode con-
tinuar sendo aplicado.
ax + bx + ay + by =
x(a + b) + y(a + b) =
(a + b)(x + y)
Diferença entre quadrados
Fazendo o raciocínio inverso, com produto entre 
dois conjugados (binômios com sinais diferentes).
(a + b)(a - b) =
a.a –a.b +b.a – b.b =
a2 – ab + ab – b2 =
a2 – b2 
Portanto: a2 – b2 = (a+b)(a-b)
Trinômios
São expressões compostas por três parcelas.
ax2 + bx + c
Os que estudaremos são chamados de trinômios 
quadrados perfeitos. 
Para reconhecer um trinômio quadrado perfeito fa-
remos o inverso:
(a ± b)2=
(a±b)(a±b)=
a2 ± 2.(ab) + b2
Ex.:
x2 ± 10x + 25 =
x.x ± 2.(5x) + 5.5=
(x ± 5)2
231
1) O cubo de um número real não nulo, soma-
do ao quíntuplo de seu quadrado, resulta 
zero; esse número é?
2) A expressão que deve ser somada a 
a2+6a2b2-12a2b, para que resulte o quadra-
do de (2a – 3ab) é?
EXERCÍCIOS
3) O valor de 3√228+ 230 é?
 10 
4) Seja x um número real diferente de 2 e -2.
Efetuando x+1 + 2-7x , obtém-se:
 x-2 x2- 4
5) Relacione as colunas: 
(a) x2- 25
(b) 9x2-12x + 4
(c) 2x3-5x2+2x-5
(d) 3x+9x2+27
(e) √2 + 3
 3 2
(f) x2-10x+25
Respostas: 1: 5; 2: 3a2+3a2b2; 3: 29; 4: (x-2)/(x+2); 5: (1)(d)(IV), (2)(c)(VI), (3)(a)(II), (4)(b)(I), (4)(f )(V), (5)(e)(III).
(I) (3x-2)2
(II) (x-5)(x+5)
(III) (5√6)/6
(IV) 3(3x2+x+9)
(V) (x-5)2
(VI) (2x-5)(x2+1)
1) Fator Comum
2) Agrupamento
3) Diferença entre quadrados
4) Trinômio quadrado perfeito 
5) Racionalização de denominadores
 Trinômio quadrado perfeito da soma
x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
Ex.: 
4x2+ 12x + 9 =
(2x)2 + 2 (2x.3) + 32=
(2x + 3)2 
Trinômio quadrado perfeito da diferença
x2 - 2xy + y2 = (x - y)2
Ex.: 
4x2- 12x + 9 =
(2x)2 - 2 (2x.3) + 32=
(2x - 3)2
232
{a →coefi cienteb→coefi cientex→incógnita
{-b a}S =
1) Duas empreiteiras farão conjuntamente a 
pavimentação de uma estrada, cada uma 
trabalhando a partir de uma das extremi-
dades. Se uma delas pavimentar da es-
trada e a outra, os outros 81 km restantes, 
a extensão dessa estrada é de :
a) 125km b) 135 km c) 142 km
d) 145 km e) 160 km.
EXERCÍCIOS
2.) Uma pessoa, pesando atualmente 70 kg, 
deseja voltar ao peso normal de 56 kg. Su-
ponha que uma dieta alimentar resulte em 
um emagrecimento de exatamente 200 g 
por semana. Fazendo essa dieta, a pessoa 
alcançará seu objetivo ao � m de quantas 
semanas: 
a) 67 b) 68 c) 69 d) 70 e) 71
Respostas: 1: b; 2: d.
2
5
EQUAÇÕES
Uma equação é uma sentença matemática com uma 
ou mais incógnitas que, ao assumir um determinado 
valor, torna a sentença verdadeira. Esses valores são 
denominados de raízes ou zeros da equação. 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU:
É toda equação redutível ao tipo:
ax + b = 0
Os coefi cientes são números reais e a incógnita o valor 
a ser encontrado.
Exemplo:
2x = 10, Podemos interpretar como, existe um número cujo 
dobro é igual a 10? Se sim, qual é o número? Nesse caso 
x = 2.
Resolução de uma equação do 1º grau:
ax + b = 0
ax = 0 – b
ax= -b
x= -b
 a 
Exemplos:
2x + 7 = 21
2x = 21 – 7
2x = 14
x = 14 
 2
x = 7 
S = {7}
2(x+3) = 7 – 3x
 2
2x + 6 + 3x = 7
 2
2x +3x = 7 – 6 2
2x + 3x = 1
 2
4x/2 + 3x = 1
 2
7x = 1
 2
7x = 1 . 2
x = 2
 7 
 S = {2}
 
7
6x + 5 = 7x + 8
6x – 7x = 8 – 5
- x = 3
x = -3
S = { -3}
233
{a, b, c →coefi cientesx→incógnitas {∆ = b
2- 4ac
x= -b±√∆
 2a
{∆ = -b + √∆ ; -b-√∆ 2a 2a
EQUAÇÃO DO 2O GRAU: 
É toda a equação redutível ao tipo: 
ax2 + bx + c = 
Uma equação de 2º grau tem no máximo duas ra-
ízes reais, podendo ter uma ou nenhuma. Existem as 
equações do 2º grau completas (tipo mostrado acima) e 
outros dois tipos de incompletas.
Casos e formas de resolução de equações do 2º 
grau incompletas: 
I) ax2 + bx = 0 (a≠0, b≠0 e c = 0)
 x(ax + b) =0
Como é um produto resultando em 0, podemos ter 
dois casos, ou um dos fatores é 0 ou os dois é 0, e assim 
então igualamos os fatores a 0.
x = 0 ou ax + b = 0
 ax = -b
 x = -b
 a
S = {0; -b }
 a
Ex.:
2x2 + 4x = 0
2x(x + 2) = 0
2x = 0 ou x+2 = 0
x= 0 ; x = -2
S = {0; -2)
II) ax2 + c = 0 (a≠0, b = 0 e c≠0)
ax2 =-c
x2 = -c (extraindo a raiz quadrada de ambos os 
lados)
 a
|x|= √-c
 
a
 
x = ± √-c a
S = {-√-c ; √-c} (observe que “–c” não indica 
“c”
 
a a
 negativo)
Ex.:
x2 – 9 = 0
x2 = 9
|x| = √9
x = 9 ou x= -9
S = {-9; 9 }
Na forma completa ax2 + bx + c = 0, com a≠0, re-
solvemos através da fórmula de Bháskara:
S: 
S = 
∆>0 (delta positivo e não nulo)
A equação admite duas raízes reais e distin-
tas. 
∆<0 (delta negativo e não nulo)
A equação não admite raízes reais.
∆=0 (delta nulo)
A equação admite duas raízes reais e iguais.
Exemplo:
a) x2 – 5x + 6 = 0
a = 1; b = -5 e c = 6 
∆ = b2- 4ac
∆ = (-5)2- 4(1)(6)
∆ = 25- 24
∆ = 1
x= -b±√∆
 2
a
x= -(-5)±√1)
 2(1)
x=(5±1)
 2
x’=(5-1) = 4 = 2
 2 2
x’’=(5+1) =6 = 3
 2 2
S = {2; 3}
Outra forma de resolver:
Através das chamadas relações de Girard, que são 
obtidas das raízes e coefi cientes de uma equação. Co-
nhecida por soma e produto:
Soma das raízes
Somando as raízes da equação, obtemos:
b+√∆ + -b-√∆ =
 2a 2a
-2b = -b
 2a a
Portanto: x’+ x’’ = -b
 a
234
Respostas: 1: 2; 2:a=2, b= -7 e c= 3, x’=1/2 e x’’ =3.
1) Determine o valor de “x” para o qual o vo-
lume do paralelepípedo retângulo seja 20:
EXERCÍCIOS
2.) Quais os coe� cientes e as raízes de uma 
equação do 2º grau cuja a soma de suas ra-
ízes é 7/2 e o produto é 3/2? 
X =+ 3
x
2
Produto das raízes
Multiplicando as raízes da equação, obtemos:
-b+√∆ . -b-√∆ =
 2a 2a
b2-b√∆+b√∆-(b√∆)2 =
 4a2
b2-∆ = b2-(b2-4ac) =
 4a2 4a2
4ac = c
4a2 a
Portanto: x’ . x’’ = c
 a
Com a soma (S) e o produto (P) observamos que: 
x2 – Sx + P = 0
Exemplo:
2x2 – 10x + 12 = 0, encontramos a equação semelhan-
te dividindo todos os coefi cientes por 2 (termo a): 
x2 – 5x + 6 = 0
a = 1; b = -5 e c = 6.
Soma x’ + x’ (-b)/a 5
Produto x’ . x’’ c/a 6
Agora pensamos: Quais dois números que somados 
resultam em 5 e se multiplicados em 6?
Para responder analisamos alguns detalhes: 1º um 
produto só é positivo quando os dois fatores são ne-
gativos ou os dois fatores são positivos; 2º uma soma 
só é positiva quando as duas parcelas são positivas ou 
quando a maior parcela é positiva; já que estamos fa-
lando dos mesmos números no 1º e 2º então ambas as 
raízes são positivas.
Pensando inicialmente em inteiros:
Dois números positivos que somados é 5: (0+5) ou 
(1 + 4) ou (2+3)
Desses a única dupla que multiplicada é 6 é: (2;3)
S = {2; 3} 
Sistemas de equações 
Consiste em uma conexão de mais de uma equação 
com mais de uma incógnita, em que as incógnitas têm 
equivalência entre as equações.
{ax+by = wcx+dy = v
Onde a, b, c, d, w e v: são números reais; e x e y: 
são incógnitas. Podemos imaginar facilmente uma situ-
ação em que usamos sistemas de equação no cotidiano; 
Na feira duas amigas compram banana (x) e maçã (y) 
sem conhecimento do valor, em quantidades conheci-
das e diferentes (a, b, c e d), o valor de suas compras (w 
e v) também é conhecido, depois querem saber qual o 
valor que pagaram nas bananas e maçãs, assim aplicam 
sistemas de equações.
Exemplo: 
Maria e Clara foram à feira para suas mães, lá com-
praram bananas e maçãs. Maria comprou 1 dúzia de ba-
nanas e 5 maçãs, Clara comprou meia dúzia de bananas 
e 3 maçãs. A compra de Maria custou R$3,70, enquanto 
a de Clara custou R$2,10. Quanto as meninas pagaram 
a dúzia da banana e cada maçã?
{12x + 5y = 3,76x + 3y = 2,1
Temos dois métodos de resolver um sistema de equa-
ções:
Método de substituição: Resolveremos isolada-mente cada equação e depois vamos substituindo as 
incógnitas.
{12x + 5y = 3,76x + 3y = 2,1
235
1) Em um encontro de professores a inscrição 
dos de ensino médio custava R$50,00 e de 
superior custava R$75,00. A arrecadação 
total foi de R$68725,00 de um total de 1208 
inscritos. Quantos eram os professores do 
ensino médio presente?
EXERCÍCIOS
2) Num quintal há 36 animais entre porcos e 
galinhas. Sabe-se que há ao todo, 112 pés. 
Quantos são os porcos e quantas são as ga-
linhas? 
Respostas: 1: 875; 2: 20 porcos e 16 galinhas.
12x + 5y = 3,7
12x = 3,7 – 5y
x= (3,7-5y) (Substituir pelo x na outra equação)
 
12
6x + 3y = 2,1
6 (3,7-5y) + 3y = 2,1
 
12
3,7-5y + 3y = 2,1
 2
3,7 – 5y + 6y = 4,2
y = 0,5 (voltar no outro resultado)
x = 3,7-5y
 12
x = 3,7-5(0,5)
 12
x = 1,2 = 0,1
 12
Assim observamos S ={ 0,1; 0,5}
R: Pagaram R$1,20 na dúzia de bananas e 
R$0,50 em cada maçã.
Método de adição: transformamos cada equação 
em uma equivalente de modo que quando as duas fo-
rem somadas uma incógnita seja eliminada.
{12x + 5y = 3,76x + 3y = 2,1
Se multiplicarmos toda a segunda equação por (-2) 
o “x” vai ser eliminado quando somada a primeira
{12x + 5y = 3,7-12x - 6y = 4,2
Somando as duas temos,
0 –y = -0,5
-y = -0,5
Y = 0,5 (Substituindo esse valor em qualquer equação do sistema ante-
rior)
12x + 5y = 3,7
12x + 5 (0,5) = 3,7
12x = 3,7 – 2,5
x = 0,1
S= {0,1; 0,5}
Equação exponencial
Uma equação exponencial é toda aquela que tem a 
incógnita no expoente. Dessa forma deverão ser relem-
bradas as propriedades da potenciação.
abx = ac, bx = c, (a > 0; a≠1)
Resolução: Se dará através da redução a uma base 
comum:
Exemplo: 
102x-4 = 1
102x =100
104
102x = 100 . 104
102x = 100 + 4
2x = 4
x = 2,
S={2}
22x – 6 (2x) + 8 = 0
(Substituimos 2x por y) (2x)2 – 6(2x) + 8 = 0
y2 – 6y + 8 = 0 (resolvendo a equação de 2º grau)
y= 2; y=4
 y=2 y = 4
 2x = y 2x = y
 2x = 2 2x = 22
 x = 1 x = 2
S = {1; 2}
236
1) A soma das raízes da equação 9.5x2 - 2x+1 = 
5625 é:
a) -4 b) -2
c) -1 d) 2 
e) 4
EXERCÍCIOS
2) Sabendo-se que 5x+2 = 72, tem-se que 6 –x 
vale:
a) -4 b) -2
c) 0 d) 1
 2 
e) 2
Respostas: 1: d; 2:d.
Logaritmo
É um estudo que também depende das propriedades 
da potenciação, assim como as equações exponenciais.
logba = c ↔ bc = a
Onde, 
{a = logaritmandob = basec = logaritmo
(lê-se: “Log de a na base b é igual a c, se e somente 
se, b elevado a c é igual a a”
Exemplo: 
log5125 = 3, pois 53 = 125
Propriedade: (todas as propriedades derivam das 
de potenciação e podem ser facilmente demonstradas).
logb(a·c) =x ↔ bx = (ac)
logba =y ↔ by = a
logbc =z; ↔ bz = c
Daí: bx = by . bz → bx = by + z → x = y + z.
Segue equivalente em todas as propriedades:
Logaritmo do produto
logb(a . c)= logba+ logbc , (a, b, c > 0; b≠1)
Ex.:
log2(4·8)= log24+ log28 = 2 + 3 = 5
Logaritmo do quociente
logb = logba- logbc , (a, b, c > 0; b≠1)
Ex.:
log5 (25/125)= log525- log5125 = 2 – 3 = -1
Logaritmo da potência
logba
c= c ·logba, (a, b > 0; b≠1, c ∈ R)
Ex.:
log327
2 = 2 ·log327 = 2 . 3 = 6
log3√27=log327 = · log327= . 3 = 
Mudança de base
Às vezes convém mudar a base de um logaritmo.
logba= logca (a, b, c > 0; b≠1)
 /logcb 
Ex.:
log
9
27= log327 = 3
 log39 2
Observação: O logaritmo de 1 em qualquer base vá-
lida é igual a zero.
Exemplo: 
O número real x que satisfaz a equação log2(12-2x) =2x é:
Resolução: 22x = 12 – 2x
Faço: 2x = y
y2 + y – 12 =0 ( resolvendo a equação do 2º grau)
y = -4 e y = 3, 
Volto: 2x = y, como logaritmo não admite valor nega-
tivo, y = 3
2x = 3 ↔ x = log23 
S = {log23}
237
1) Se a e b são raízes da equação x2 – px + q = 
0 (p, q > 0 e q diferente de 1), calcule:
 logqa
a+ logqb
b + logqa
b+ logqb
a.
2) Se log32 = u e log53 = v, então log5
5√10000 
é igual a:
1) (10%)2 = x:
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
3) Resolva o sistema: 
 {log2x + log4y = 4 xy = 8
Respostas: 1: p; 2: ∙(uv+1); 3: S= {32; ¼}
Respostas: 1: 1%.
Porcentagem
Defi nição: 
Porcentagem é uma fração de denominador centesi-
mal, ou seja, é uma fração de denominador 100.
Representamos porcentagem pelo símbolo % e lê-
-se: “por cento”. Deste modo, a fração 20/100 é uma 
porcentagem que podemos representar por 20%. É 
comum representarmos uma porcentagem na forma 
decimal, por exemplo, 75% na forma decimal seriam 
representados por 0,75. 
 
75%= 75 = 0,75
100
Resolução de uma porcentagem: Para calcularmos 
uma porcentagem p% de V, basta multiplicarmos a fração
 p por V.
100 
p% de V = p · V
 100
Juros
Juros representam a remuneração do capital empre-
gado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser 
empregados segundo dois regimes: simples e compostos.
Juros Simples:
Onde os juros de cada intervalo de tempo são cal-
culados sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. 
O nome dado ao valor fi nal (capital inicial + juros) é 
montante.
J = Pin e M = P + J
Onde,
J: juros; P: principal (capital);
i: taxa de juros; n: número de períodos;
M: montante.
Exemplo:
João aplicou suas economias em ações por um pe-
ríodo de 145 dias, através de rendimentos calculados 
sobre juros simples de 10,5% a.a.. Se o valor aplicado 
foi de R$70000,00, quanto ela vai retirar ao fi nal da 
aplicação?
Inicialmente temos que deixar o período de aplicação e o 
número de períodos dos juros na mesma unidade. Nesse caso 
ele aplicou em dias e a taxa foi dada em anos (a.a.: ao ano). 
1 ano tem 365 dias, então devemos dividir a taxa por 365.
10,5 =0,029
 365
Aplicando: M = P + J ↔ M = 70000 + (70000 . 
0,029%. 145) = 70000 + 2943,50 = 72943,50
S= { R$72943,50}
Juros Compostos
Onde os juros calculados são incorporados aos juros 
a serem calculados, ou seja, juros sobre juros.
J = M – P e M = P.(1 + i)n
Exemplo:
Calcule o montante de um capital de R$6000,00 
aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 
3,5% a.m.. Nesse caso é mais fácil transformar 1 ano 
em meses, por isso, vamos trabalhar com n= 12meses. 
M = P.(1 + i)n
M= 6000 . (1 + 0,035)12
M = 6000 . (1,035)12
M= 6000 . 1,51
M = 9060
S = {R$9060,00}
Para calcular os juros: J = M – P
J = 9060 – 6000 = 3060.
Isso que dizer que se uma pessoa tomou emprestado 
R$6000,00, por 1 ano à taxa de 3,5% a.m. ela pagaria 
no fi nal do período R$3060,00 a mais de juros.
238
1) Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado 
à taxa mensal de 2%, num regime de capi-
talização composta. Após um período de 2 
meses, os juros resultantes dessa aplicação 
serão:
 DADOS: C = R$ 2.500,00 i = 2% a.m. 
 n = 2 meses J = ?
a) R$ 98,00 b) R$ 101,00 
c) R$ 110,00 
d) R$ 114,00 e) R$ 121,00
2) A que taxa anual foi empregado o capital 
de R$ 108.000,00 que, em 130 dias, rendeu 
juros simples de R$ 3.900,00?
3) Quais são os juros simples produzidos por 
EXERCÍCIOS
um capital de R$ 7200,00 empregados a 
10% ao ano, durante 5 anos?
4) Em uma promoção numa revenda de car-
ros, está sendo dado um desconto de 18% 
para pagamento à vista. Se um carro é 
anunciado por R$ 16.000,00, então o preço 
para pagamento à vista desse carro será:
a) R$ 13.120,00 b) R$ 13.220,00
c) R$ 13.320,00 d) R$ 13.420,00
e) R$ 13.520,00 
5) Se x% de y é igual a 20, então y% de x é 
igual a:
a) 2 b) 5 c) 20
d) 40 e) 80
Respostas:1:b; 2: 10%a.a.; 3: R$3600,00; 4:a; 5: c.
Inequação do 1º Grau
Uma inequação tem a resolução exatamente como 
às das equações, a única coisa que difere é que quan-
do multiplicamos ou dividimos a expressão inteira por 
um número negativo o sinal de desigualdade muda de 
sentido. Sinais de desigualdade: > maior que; < menor 
que; > maior e igual e < menor e igual. Quando faze-
mos a representaçãogeométrica, a “bolinha” fechada 
signifi ca também igual e a “bolinha” aberta que aquele 
valor não faz parte. 
Inequações do 1º grau:
Exemplo: 
(x + 3) > (-x-1)
x + x > -1 -3
2x > -4
x> -2
S={ x∈ R/x> -2}
-2
[1 - 2(x-1)] < 2
1 – 2x +2 < 2
-2x < 2 -1 -2
-2x < -1
x> 1
 2
S={ x∈ R/x> 1}
 2
1
2
2 - 3x ≥ x + 14
-3x –x ≥ 14 – 2
-4x ≥ 12
x ≤ -3
S={ x∈ R/x≤ -3}
-3
{3x+1>0
 5x-4 ≤0)
Como é um sistema de inequações, temos que resol-
ver uma de cada vez.
3x + 1 > 0 5x – 4 ≤ 0
x> -1 x < 4
 3 5
1 
2 
1∩ 2
S = {x∈ R/-1 < x ≤ 4} 3 5
ou
[–1; 4 ]
 3 5
239
5
1) O menor número inteiro k que satisfaz a ine-
quação 8 - 3 (2k-1) < 0: 
2) Um engenheiro, ao realizar seus cálculos 
para o seu projeto de construção, obtém 
uma desigualdade. Então ele precisa obter 
EXERCÍCIOS
qual intervalo que satisfaz essa desigual-
dade para completar o seu projeto, ajude-
-o a obter esta solução. A inequação obti-
da é: 4x -20 > 12.
Respostas: 1: 2; 2: x>8.
1 – 2x ≥ 2(x + 1) ≥ 5x
Resolver da mesma forma que um sistema:
1 – 2x ≥ 2(x + 1) 2(x + 1) ≥ 5x
-2x -2x ≥ 2 – 1 2x – 5x ≥ -2
-4x ≥ 1 -3x ≥ -2
x ≤ -1 x ≤ 2
 4 3
 1
 2 
1) 1∩ 2
S = {x∈ R/ x ≤ -1 4
ou
]-∞ ; -1 ]
 4
{10x-2 ≥4 4x+8 <10
10x-2 ≥ 4 4x+8 <10
10x > 6 4x< 2
x > 3 x < 1
 5 2
 
1)
2)
1) ∩ 2
Como não houve intersecção, então:
S = {}
Função
Defi nimos função como a relação entre dois ou mais 
conjuntos, estabelecida por uma lei de formação, isto é, 
uma regra geral. Os elementos de um grupo devem ser 
relacionados com os elementos do outro grupo, através 
dessa lei.
Exemplo: Considerando o conjunto A ={1; 2; 3; 4}, 
em que os elementos irão se relacionar com os do con-
junto B através da lei de formação: y = 20x e B ={20; 
40; 30; 40}; C={20; 40; 60; 80; 100}, assim temos os 
seguintes pares ordenados: {(1; 20); (2; 40); (3; 60); 
(4; 80)}. Pode-se observar claramente isso através do 
diagrama de fl echas.
1
2
3
4
20
40
60
80
100
 
Conceitos importantes:
Domínio (A): Representado por todos os elementos de 
A.
Contradomínio (C): Representado por todos os 
elementos de C.
Imagem (B): Representada por todos os elementos 
de C que possuem correspondência com A.
Função: Relação em que todo elemento do domínio 
(A) tem um único correspondente no conjunto imagem 
(B). (o exemplo acima é uma função, observe outros).
Função
Não é função
Não é função
240
y
(-3,1)
(-1,5, -2.5)
(0,0)
(2,3)
3
2
1
–1
–2
–3
–3 –2 –1 1 2 3
A reta horizontal é o eixo das abcissas, ou eixo x, 
ou Ox. A reta vertical é o eixo das ordenadas, ou eixo 
y, ou Oy. Esses eixos dividem o plano cartesiano em 
quatro quadrantes, sendo o 1º Quadrante: valores de x 
e y positivos, 2º Quadrante: valores de x negativos e 
y positivos, 3º Quadrante: valores de x e y negativos 
e 4º Quadrante: valores de x positivos e y negativos. 
Como pode ser visto na fi gura acima representamos os 
pares ordenados através do plano, sempre com os valo-
res de x (elementos do domínio) antes dos valores de y 
(elementos da imagem), exemplo: (2, 3); (-3, 1); (-1,5 ; 
-2,5); (0,0) esse ultimo conhecido como origem.
Da mesma forma que uma função pode ser reconhe-
cida através de um diagrama, ou por sua lei de forma-
ção, também pode se conhecer uma função através de 
seu gráfi co.
1
0 2 4
5
gráfi co de f
domínio
imagem
x y=f(x)=x+1
-2 -1
-1 0
0 1
1 2
2 3
y
x
1
2
3
0 1 2 3 4
O conjunto dos pares 
ordenados determinados é 
f= {(-2, -1), (-1,0), (0,1), (1,2), (2,3)}.
Uma função também pode ser representada grafi ca-
mente através do plano cartesiano:
Função do 1º grau: Chama-se função polinomial 
do 1º grau, ou função afi m, a qualquer função f de IR 
em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e 
b são números reais dados e a≠0. Na função f(x) = ax + 
b, o número a é chamado de coefi ciente de x e o núme-
ro b é chamado termo constante. Veja alguns exemplos 
de funções polinomiais do 1º grau:
 f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0
O coefi ciente de x a é chamado coefi ciente angular 
da reta e, como veremos adiante, está ligado à inclina-
ção da reta em relação ao eixo Ox. O termo constante 
b, é chamado coefi ciente linear da reta. Para x = 0, te-
mos y = a • 0 + b = b. Assim, o coefi ciente linear é a 
ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.
Gráfi co: reta 
Dada uma função podemos desenhar seu gráfi co, para 
gerar o gráfi co de uma função, basta ligarmos os pontos.
Exemplo:
1) Construa o gráfi co da função determinada por 
f(x)=x+1:
Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valo-
res correspondentes para y.
2) Construa o gráfi co da função determinada por f(x)=-x+1.
Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valo-
res correspondentes para y.
241
x
y
1
2
3
0 1 2 3 4
x
y
3
2
1
0 1 2 3 4
x y=f(x)=x+1
-2 3
-1 2
0 1
1 0
2 -1
O conjunto dos pares ordenados determinados é 
f= {(-2,3), (-1,2), (0,1), (1,0), (2,-1)}.
y
x
3
2
1
0 1 2 3 4
y
x
3
2
1
0 1 2 3 4
Função crescente
y = x+1 ( a> 0 ) ; onde a = 1
Função decrescente
y = -x+1 ( a<0 ); onde a=-1
Exatas Exatas
- b
 a
- b
 a
xx
+ +
– –
a>0 a>0
y
x
3
2
1
0 1 2 3 4
x+1=0
x=-1
0 = -x+1
x = 1
1) Um grupo de amigos “criou” uma nova uni-
dade de medida para temperaturas: o grau 
Patota. Estabeleceram, então, uma corres-
pondência entre as medidas de tempera-
turas em graus Celsius (°C), já conhecida, 
e em graus Patota (°P), mostrada na tabela 
abaixo:
EXERCÍCIOS
ºC ºP
20 40
60 48
Gráfi cos crescente e 
decrescente respectivamente: 
Raiz ou zero da função do 1º grau: 
Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função. Note que 
o gráfi co da função y=x+1, interceptará (cortará) o eixo 
x em -1, que é a raiz da função.
2) Determine a raiz da função y=-x+1 e esboce o gráfi co.
Fazendo y=0, temos:
Para determinarmos a raiz ou zero de uma função do 
1º grau, defi nida pela equação y=ax+b, como a ≠0, bas-
ta obtermos o ponto de intersecção da equação com o 
eixo x, que terá como coordenada o par ordenado (x,0).
Sinal de uma função de 1º grau:
Exemplo:
1) Considere a função dada pela equação y=x+1, de-
termine a raiz desta função.
Basta determinar o valor de x quando temos: y=0
Note que o gráfi co da função y=-x+1, interceptará 
(cortará) o eixo x em 1, que é a raiz da função.
242
 Lembrando que a água ferve a 100°C, en-
tão, na unidade Patota ela ferverá:
a) 96° b) 88° c) 78° d) 64° e) 56°
 Segue solução: Sabemos que uma função 
tem o formato: ax + b = y, substituindo os 
valores ºC em x e ºP em y, teremos:
{20a+ b = 40 60a + b = 48
 Resolvendo o sistema: a=1/5 e b=36, mon-
tamos a função. f(x) = 1/5a + 36; para des-
cobrir qual a temperatura de qualquer 
valor em patota, basta substituir o x pelo 
valor de celsius que desejar. e)
2) Carlos trabalha como disc-jóquei (dj) e cobra 
uma taxa � xa de R$ 100,00, mais R$ 20,00 
por hora, para animar uma festa. Daniel, 
na mesma função, cobra uma taxa � xa de 
R$ 55,00, mais R$ 35,00 por hora. O tempo 
máximo de duração de uma festa, para que 
a contratação de Daniel não � que mais cara 
que a de Carlos, é:
a) 6 b)5 c)4 d)3 e)2
 Segue solução: Montando uma função 
para os valores de Carlos e os de Daniel, te-
remos:
{C(h) = 20h + 100 D(h) = 35h + 55
 Sabemos que para a contratação de Daniel 
� car mais barata que a de Carlos, temos 
que relacionar as duas funções através de: 
D(h) < C(h). Bastaresolver a inequação e 
encontramos a resposta. d) 
Função do 2º grau:
A função do 2º grau, também denominada função 
quadrática, é defi nida pela expressão do tipo:
y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes 
reais.
Exemplos:
a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )
b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )
c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )
Gráfi co: Parábola
Dada uma função podemos desenhar seu gráfi co, 
para gerar o gráfi co de uma função, basta ligarmos os 
pontos.
Exemplo: Construa o gráfi co da função y=x²:
Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais 
para x, obtemos seus valores correspondentes para y.
x y = f(x) = x²
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
Coordenadas do vértice:
 ( )-b ; -∆2a 4a
Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são si-
métricos (estão a mesma distância do eixo de simetria). 
O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir 
dele que determinamos todos os outros pontos.
-4 -2 V 0 2 4
0
A´
2
A
B 4 0
6
8
yC C´
Coordenadas do vértice
A coordenada x do vértice da parábola pode ser de-
terminada por x = -b
 2a
.
Exemplo:
Determine as coordenada do vértice da parábola 
y=x²-4x+3
Temos: a=1, b=-4 e c=3
Xv= -b = -(-4) = 4 = 2
 2a 2(1) 2
yv = -(b2- 4ac) = -(4) = -1
 4(1) 4
Logo o vértice dessa parábola tem coordenadas: V(2; 
-1) 
243
1) O movimento de um projétil, lançado para 
cima verticalmente, é descrito pela equa-
ção y=-40x2+200x. Onde y é a altura, em 
metros, atingida pelo projétil x segundos 
após o lançamento. Qual altura máxima 
atingida e o tempo que esse projétil per-
manece no ar?
2) Para que a parábola da equação y=ax2+bx-1 
contenha os pontos (-2; 1) e (3;1), Quais os 
valores de a e b respectivamente?
Respostas: 1: 250m e 5s; 2: 1/3 e -1/3.
EXERCÍCIOS
Inequação do 2º grau
As inequações do 2º grau são resolvidas utilizando 
o teorema de Bháskara. O resultado deve ser compara-
do ao sinal da inequação, com o objetivo de formular o 
conjunto solução.
3x² + 10x + 7 < 0 
 
S = {x Є R/ -7 < x < -1}
 3
–2x² – x + 1 ≤ 0
 
Raízes (ou zeros) da função do 2º grau:
Denominam-se raízes da função do 2º grau os valo-
res de x para os quais ela se anula.
y=f(x)=0
Exemplo: y=x²-4x+3 acabamos de determinar as 
coordenadas de seu vértice, as raízes da função serão 
x=1 e x’=3.
Observe o gráfi co: Notem que quando x=1 e x’=3, a 
parábola intercepta (“corta”) o eixo x, ou seja, quando
y=0↔ x²- 4x+3 = 0
Basta resolver a equação do 2º grau para encontrar 
as raízes da função.
8
6
4
2
0
y
2 0 1 2 3 4 x
-2
 
Concavidade da parábola:
Como demonstrado anteriormente as raízes da fun-
ção são as mesmas da equação de 2º grau, então relem-
bre do que acontecia com as raízes de acordo com o 
“sinal” do Δ.
 a > 0 a < 0
a > 0
a < 0
a < 0
a < 0
a > 0
a > 0
x´ x´´
x´ x´´
x´ = x´´
x´ = x´´
∆>0 
∆<0 
∆ =0
Máximo e mínimo de uma função do 2º grau: 
é determinado pela ordenada (valor de y) do vértice, 
se concavidade para cima então a função tem valor de 
mínimo e se a concavidade é para baixo a função tem 
valor de máximo.
O Domínio e a Imagem da função se não são dados 
são: Domínio: R (conjunto dos números reais); Ima-
gem: Será limitado pelo vértice da parábola.
a < 0 (admite valor de máximo): Im(f) = [-∆ ; -∞[
 
4a
a > 0 (admite valor de mínimo): Im(f) = ]+∞; -∆[ 4a
244
1) O conjunto-solução da inequação (x - 2)2 < 
2x - 1, considerando como universo o con-
junto IR, está de� nido por:
a) 1 < x < 5 
b) 3 < x < 5
c) 2 < x < 4
d) 1 < x < 4
e) 2 < x < 5
EXERCÍCIOS
2) O trinômio y = x2 + 2kx + 4k admitirá duas 
raízes reais e distintas se, e somente se:
a) k > 4
b) k > 0 e k 4
c) k < 0 ou k > 4 
d) k 0 e k 4
e) 0 < k < 4
Respostas: 1: a; 2: c.
 
S = { xЄ R/ x ≤ –1 ou x ≥ 1} 2
x² – 4x ≥ 0
 
 S = {xЄ R/ x ≤ 0 ou x ≥ 4}
x² – 6x + 9 > 0
 
 S = {x Є R / x < 3 e x > 3}
Observe que a concavidade da parábola é decidida 
pelo sinal de a e os valores “procurados” pelo sinal da 
desigualdade, se menor ou menor e igual então valores 
que estão no espaço negativo, ou, se maior ou maior e 
igual então valores que estão no espaço positivo.
Matriz e determinante
Matriz e determinantes são conteúdos estudados 
dentro de matemática, mas abordados em vários outros 
ramos, como na informática, engenharia. O estudo dos 
determinantes depende do conhecimento prévio sobre 
matrizes.
De uma forma geral podemos dizer que matriz é 
um conjunto de elementos organizados em linhas e co-
lunas. O número de linhas é representado por m e o 
número de colunas é representado por n, essas quanti-
dades devem ser maiores ou iguais a um.
A quantidade de linhas de colunas e os elementos 
que pertencem à matriz são identifi cados através de 
uma fórmula.
Determinante é uma matriz quadrada representada 
de uma forma diferente, pois calculamos o seu valor 
numérico, o que não acontece com a matriz. Nela apli-
camos as quatro operações, ou seja, somamos, multipli-
camos, dividimos e subtraímos obtendo outra matriz.
Matriz:
Representação:
Uma matriz m x n com m N* e n N* será disposta 
em m linhas e n colunas. 
A representação de matrizes é feita de três formas 
diferentes: 
• Os elementos são colocados entre parênteses:
245
 • Os elementos são colocados entre colchetes:
 • Os elementos são colocados entre duas barras 
paralelas:
 Observado as matrizes acima percebemos que to-
das são compostas por números e esses são os elemen-
tos das matrizes. Todos os elementos pertencem a uma 
determinada linha e coluna de uma matriz. 
Dada uma matriz qualquer A3x2 (lê-se matriz A de 
ordem dois por três), veja como é feita a sua represen-
tação.
 
O elemento a11 pertence a 3° linha e 2° coluna.
O elemento a21 pertence a 2º linha e 3° coluna. 
O elemento a31 pertence a 3° linha e 1° coluna. 
O elemento a12 pertence a 1º linha e 2° coluna. 
O elemento a22 pertence a 2º linha e 2º coluna. 
O elemento a32 pertence a 3º linha e 2º coluna. 
Podemos dizer que aij, i representa a linha e j repre-
senta a coluna. 
Exemplo:
Escreva a matriz B = (bij)2x3 que bij = i . j. 
Devemos construir uma matriz B com duas linhas e 
três colunas:
 
Cada elemento deverá obedecer a seguinte regra bij 
= i . j. 
b11 = 1 . 1
b11 = 1
b21 = 2 . 1 
b21 = 2 
b12 = 1 .2 
b12 = 2 
b22 = 2 . 2 
b22 = 4 
b13 = 1 . 3 
b13 = 3 
b23 = 2 . 3 
b23 = 6 
Colocando cada valor em seu determinado elemen-
to na matriz b, podemos concluir que a matriz B será 
determinada pelos seguintes elementos:
 
Matriz Quadrada
Matriz quadrada é um tipo especial de matriz que 
possui o mesmo número de linhas e o mesmo de colu-
nas. Ou seja, dada uma matriz A n x m será uma matriz 
quadrada se, somente se, n = m. 
Exemplo: 
B = (5) 1x1
A matriz B possui apenas um elemento e é uma ma-
triz quadrada, pois o mesmo número de linha é o mes-
mo número de colunas, podendo ser chamada de matriz 
de ordem 1.
246
1) Encontre os valores numéricos de a, b, x e 
y sabendo que a igualdade das matrizes 
abaixo é verdadeira. 
 
Resolução
Como as duas matrizes são iguais os seus elementos 
correspondentes também devem ser iguais, assim ire-
mos formar um sistema que nos possibilitará a encon-
trar os valores desconhecidos. 
{a + b = 12 e {x – y = 3
 
-3a + 2b = 9 -x + 2y = 2
Resolvendo os sistemas de equações teremos:
a = 3; b =9; x=8 e y =5.
Matriz Oposta
Se a soma entre duas matrizes resultar em uma ma-
triz nula, temos que as matrizes são opostas. Uma ma-
triz é oposta à outra quando observamos simetria entre 
seus elementos. 
Exemplo: 
A matriz oposta de e a matriz de 
Se reali zarmos a soma entre essasduas matrizes, 
constituímos uma matriz conhecida como nula.
 A matriz A é uma matriz quadrada, pois o número de 
linha é igual a 4 e o número de colunas também é igual a 
4, podendo ser chamada de matriz de ordem quatro. Se 
fosse uma matriz B3x3 poderia ser chamada de matriz de 
ordem 3.
Toda matriz quadrada possui duas diagonais: Dia-
gonal Principal e Diagonal Secundária. 
 a11 = 12, a22 = 6, a33 = 0 e a44 = 7, formam a 
diagonal principal. 
a14 = 6, a23= 20, a32 = -4 e a41 = -1, formam a diago-
nal secundária. 
Podemos concluir que uma matriz quadrada pode 
ser defi nida por: 
Numa matriz quadrada de C de ordem n, os elementos 
aij tais que i = j formam a diagonal principal da matriz, e 
os elementos aij tais que i + j = n + 1 formam a diagonal 
secundária. 
Exemplo:
Dada uma matriz A qualquer de ordem 2: 
 
A defi nição diz que os elementos da diagonal prin-
cipal têm i = j, observando o exemplo percebemos que 
os elementos a11 e a22 que pertencem à diagonal prin-
cipal realmente tem i = j. 
A defi nição também conclui que a diagonal secun-
dária é formada por i + j = n + 1, observando o exemplo 
percebemos que os elementos a12 e a21 que pertencem 
à diagonal secundária seguem a mesma regra: a12 = 1 
+ 2 = 2 + 1 e a21 = 2 + 1 = 2 + 1.
Igualdade
Para que duas ou mais matrizes sejam consideradas 
iguais elas devem obedecer a algumas regras: 
• Devem ter a mesma ordem, ou seja, o mesmo nú-
mero de linhas e o mesmo número de colunas. 
• Os elementos devem ser iguais aos seus correspon-
dentes. 
Portanto, podemos concluir que: 
A matriz A2x2 é igual a matriz B se, somente se, a 
matriz B tiver também a ordem 2x2 e os elementos a11 
= b11, a21 = b21, a12 = b12 e a22 = b22. 
Exemplo:
 
As matrizes A e B são iguais, pois preenchem todos 
os requisitos de igualdade de matrizes. 
EXERCÍCIO
247
Matriz Transposta
A matriz transposta de uma matriz qualquer é dada 
pela troca entre os elementos da linha e os elementos 
da coluna. Portanto, se temos uma matriz A, dada por 
m x n, temos que a transposta de A será dada por n x m. 
Veja:
 
Representamos uma matriz transposta por: At.
Operações:
 Adição
Para adicionarmos duas ou mais matrizes é preciso 
que todas elas tenham o mesmo número de linhas e de 
colunas. A soma dessas matrizes irá resultar em outra 
matriz que também terá o mesmo número de linhas e de 
colunas. Os termos deverão ser somados com os seus 
termos correspondentes. 
Concluímos que: 
Dada duas matrizes, A e B, as duas de ordem m x 
n. Então, A + B = C, com C de ordem m x n ↔ a11 + 
b11 = c11. 
Exemplo:
Dado a matriz A = e matriz B = , 
se efetuarmos a soma dessas matrizes teremos: 
Somaremos os termos correspondentes em cada 
matriz:
 
Com a soma das duas matrizes obtivemos outra matriz C = 
Subtração
Para efetuarmos a subtração de duas matrizes, as 
matrizes subtraídas devem ter a mesma ordem (mesmo 
número de linhas e colunas) e a matriz obtida com a 
subtração (matriz diferença) também deve ter o mesmo 
número de linhas e colunas que as matrizes subtraídas. 
Cada elemento de uma matriz deve ser subtraído 
com o elemento correspondente da outra matriz. 
Concluímos que: 
Dada duas matrizes, A e B, as duas de ordem m x 
n. Então A – B = C de ordem m x n ↔ a11 – a11 = c11 
Veja o exemplo abaixo: 
Dada a matriz A = e a matriz B = 
, se efetuamos a subtração dessas matrizes, 
temos:
Subtraindo os termos correspondentes das matrizes:
 
Com a subtração das duas matrizes obtivemos uma 
matriz C = . 
Multiplicação
A multiplicação de uma matriz por um núme-
ro real funciona da seguinte forma: considerando 
uma matriz qualquer C de ordem mxn e um núme-
ro real qualquer p. 
Quando multiplicamos o número real p pela ma-
triz C encontraremos como produto outra matriz p.C 
de ordem mxn e seus elementos é o produto de p por 
cada elemento de C. 
Exemplo: 
Dada a matriz C = e o número real p = 3. 
O produto p . C será: 
p . C = p . C = p . C = 
Veja o exemplo que trabalha tanto com a multiplica-
ção de número real por matriz como adição e subtração 
de matrizes. 
Exemplo:
Dada as matrizes A = , B = , 
C = calcule: 
3A + 2B – 5C 
248
 
Portanto, 3A + 2B – 5C = 
Multiplicação entre duas matrizes
A multiplicação de matrizes é realizada de acordo 
com a seguinte condição: o número de colunas da 1ª 
matriz deve ser igual ao número de linhas da 2ª matriz. 
Observe alguns modelos de matrizes que podem ser 
multiplicadas, considerando o formato m x n. 
A4x3 * B3x1 ; A4x2 * B2x3 ; A1x2 * B2x2 ; A3x4 * B4x3 
Nesse modelo de multiplicação, os métodos são 
mais complexos. Dessa forma, precisamos ter muita 
atenção na resolução de uma multiplicação de matri-
zes. Vamos através de exemplos, demonstrar como efe-
tuar tais cálculos. 
A operação deverá ser feita multiplicando os 
membros da linha da 1º matriz pelos membros da 
coluna da 2º matriz, onde os elementos devem ser 
somados, constituindo um único item posicional 
da matriz resposta. Observe um modelo padrão de 
multiplicação:
 
Exemplo 1:
 
Realizamos uma multiplicação entre uma matriz A 
de ordem 2 x 3 por uma matriz B de ordem 3 x 2. Ob-
serve que a condição “o número de colunas da 1ª matriz 
deve ser igual ao número de linhas da 2ª matriz”, foi 
válida, pois 3 = 3. O interessante é que a matriz, produ-
to da multiplicação, é de ordem 2 x 2, isto é, 2 linhas e 
2 colunas, possuindo o mesmo número de linhas da 1ª 
e o mesmo número de colunas da 2ª. 
Portanto, todas essas condições são observadas na 
multiplicação entre matrizes. Caso alguma dessas con-
dições não seja válida, a operação da multiplicação es-
tará efetuada de forma incorreta. Sempre que realizar 
multiplicação entre matrizes, faça de forma atenciosa, 
desenvolvendo completamente o processo, procurando 
não utilizar meios diretos para obter o resultado. 
Exemplo 2:
 
Determinante:
Podemos calcular o determinante de qualquer ma-
triz desde que essa seja quadrada, ou seja, que a ma-
triz tenha o mesmo número de linhas e de colunas (seja 
uma matriz de ordem n x n). Podemos dizer que deter-
minante de uma matriz quadrada é o seu valor numéri-
co. Os elementos de uma matriz podem ser colocados 
entre parênteses, colchetes ou entre duas barras duplas; 
e os elementos dos determinantes são colocados entre 
duas barras.
Matriz de ordem 1:
Quando uma matriz possui apenas um elemento ou 
possui apenas uma linha e uma coluna, dizemos que 
essa matriz é de ordem 1.
Exemplos:
Se A = [10], então o seu determinante será representado 
assim: det A = |10| = 10
Se B = (-25), então o seu determinante será representa-
do assim: det B = |-25| = -25
Podemos concluir que o determinante de ordem 1 
terá o seu valor numérico sempre igual ao seu elemen-
to.. 
Matriz de ordem 2:
Dada a matriz A de ordem dois A = , o 
seu determinante será calculado da seguinte forma:
O determinante de ordem dois possui uma diagonal 
principal e uma diagonal secundária.
 
249
O cálculo do seu valor numérico é feito pela dife-
rença do produto da diagonal principal com o produto 
da diagonal secundária.
det A = = - 3 – (- 10) = - 3 + 10 = 7
Matriz de ordem 3:
Dada a matriz de ordem 3, B = o va-
lor numérico do seu determinante é calculado da seguinte 
forma:
• Primeiro representamos essa matriz em forma de 
determinante e repetimos as duas primeiras colunas.
det B = 
• Depois calculamos os produtos das diagonais prin-
cipais e os produtos das diagonais secundárias.
det B = 
• Deve-se pegar o oposto dos produtos das diagonais 
secundárias e somar com os produtos das diagonais 
principais.
Det B = 0 – 40 + 0 – 15 + 0 – 4 = -59
Essa regra utilizada no cálculo do determinante de 
matriz de ordem 3 é chamada de Regra de Sarrus.Regra de Chió
Os conceitos aprendidos sobre o cálculo do deter-
minante se aplicam com facilidade em matrizes com 
ordem menor ou igual a três (Exemplo: A3x3). Contu-
do, nem todas as matrizes serão com esta ordem. Para 
isso, necessitamos de um dispositivo para nos auxi-
liar quanto aos determinantes de matrizes com ordem 
maior que três. 
A regra de Chió nos ajuda a construir uma matriz com 
determinante igual a uma matriz dada, entretanto com a 
ordem menor. Em uma linguagem matemática, a regra de 
Chió nos permite calcular o determinante de uma matriz 
de ordem n através de uma matriz de ordem n-1 (uma or-
dem abaixo). 
Existe uma condição importante para a aplicação 
do processo da regra de Chió, sendo que o primeiro 
elemento da matriz, o elemento a11 deve ser igual a 1. 
Tendo isso, é possível aplicar o processo da regra de 
Chió de modo a obter uma matriz com ordem menor. 
A regra de Chió é dada da seguinte forma: 
• Suprima a primeira linha e a primeira coluna da matriz. 
• Dos elementos que restaram na matriz, subtraia o 
produto dos dois elementos suprimidos (um da linha 
e o outro da coluna) correspondente a este elemento 
restante. Por exemplo, no elemento a23 você rea-
lizará o produto do elemento da segunda linha da 
coluna que foi suprimida pelo elemento da terceira 
coluna da linha que foi suprimida. 
• Com os resultados das subtrações realizadas no 
passo anterior, será obtida uma nova matriz, com 
ordem menor, entretanto com determinante igual 
à matriz original. 
Vale ressaltar novamente que para que o determi-
nante continue o mesmo, o a11 tem que ser igual a 1. 
Para uma melhor compreensão destes passos, vejamos 
um exemplo utilizando o processo da regra de Chió.
 
Temos uma matriz quadrada de ordem 5. Sabemos que 
não é possível aplicar a regra de Sarrus para calcular este 
determinante, com isso buscaremos baixar a ordem desta 
matriz. Desse modo, a fi m de encontrar seu valor, utiliza-
remos alguma propriedade de determinantes. 
O primeiro elemento da matriz equivale a 1 (a11=1), 
logo, é possível aplicar a regra de Chió. Façamos o proce-
dimento: 
 
Destacamos os elementos que serão suprimidos; 
agora iremos montar a nossa matriz de menor ordem 
seguindo o segundo passo da regra:
 
 
De tal modo, obtemos o determinante da matriz 
inicial A5x5. Note que nenhuma das matrizes é igual, 
mas, pela regra de Chió, podemos afi rmar que o deter-
minante de todas elas é o mesmo. 
250
 Veja que aplicamos duas vezes a regra de Chió, mas 
isso foi porque o primeiro elemento era igual a 1. Em 
casos em que o elemento não seja igual a 1, podemos 
aplicar algumas propriedades de determinantes de for-
ma a encontrar uma matriz em que o primeiro elemento 
seja igual a 1.
Matriz Inversa
Encontrar a matriz inversa de uma matriz conhecida 
é um processo que envolve multiplicação e igualdade 
de matrizes. Vejamos como ocorre este processo par-
tindo da defi nição de uma matriz inversa. Seja A uma 
matriz quadrada de ordem n, e X uma matriz tal que 
A.X = In e X.A = In (onde In é a matriz identidade). 
Caso isso ocorra, denominamos a matriz X de matriz 
inversa de A, tendo como notação A(-1).
Portanto, para encontrar a inversa de uma matriz 
dada, deveremos resolver a igualdade de matrizes (A.X 
= In). No caso em que sejam dadas duas matrizes e que 
seja pedido para verifi car se uma matriz é a inversa da 
outra, basta efetuar a multiplicação destas duas matri-
zes. Se o resultado desta operação for a matriz identi-
dade, afi rmaremos que se trata de uma matriz inversa. 
Existe um modo prático para descobrir se uma ma-
triz possui uma matriz inversa ou não. Basta calcular o 
determinante da matriz: caso o determinante dê igual a 
zero, não existe matriz inversa para ela. 
Exemplo: 
 A parte principal para matriz inversa é a parte onde 
se deve encontrá-la tendo como base uma matriz dada. 
Vejamos como proceder. 
Exemplo:
Encontre a matriz inversa da matriz A. 
 
Sabemos que a matriz A-1 será uma matriz quadra-
da de mesma ordem. Explicite uma matriz inversa com 
elementos quaisquer. Sendo assim, usaremos letras 
para representar estes elementos.
 
Sabemos que ao multiplicarmos estas duas matri-
zes, obteremos a matriz identidade.
 
Por fi m, teremos a seguinte igualdade:
 Para tanto, deveremos compreender o processo de 
multiplicação de matrizes para realizarmos estes cál-
culos.
 Através da igualdade de matrizes, obteremos 4 
igualdades muito importantes para os nossos cálculos. 
Agrupá-las-emos de forma que as igualdades com mes-
mas incógnitas fi quem juntas.
 
Em situações como estas devemos resolver estes 
sistemas de equações com duas incógnitas. 
Resolvendo os sistemas, obtemos: 
a = 5 ; c = -1;
 4 2
 
Como encontramos os valores para os elementos da 
matriz inversa, vamos esboçá-la:
 
Neste primeiro momento verifi caremos se de fato 
esta matriz corresponde à matriz inversa:
 De fato, a matriz obtida corresponde à matriz in-
versa, pois o produto das duas matrizes resultou na 
matriz identidade. 
Como vimos, o estudo da matriz inversa abarca di-
versos conceitos da matemática, desde operações bá-
sicas até a resolução de sistemas com duas incógnitas. 
Compreender todos estes conceitos é importante, 
pois ao resolver equações envolvendo matrizes será re-
querido tal aprendizado.
Números Complexos
Chama-se conjunto dos números complexos, e re-
presenta-se por C, o conjunto de pares ordenados, ou 
seja: z = (x,y) onde x pertence a R e y pertence a R.
251
Então, por defi nição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) 
onde i=(0,1), podemos escrever que:
z=(x,y)= x+yi
Exemplos:
(5,3)=5+3i
(2,1)=2+i
(-1,3)=-1+3i
Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) 
pode ser escrito na forma algébrica, onde temos: 
z=x+yi
x=Re(z), parte real de z;
y=Im(z), parte imaginária de z.
Conjugado de um número complexo:
Dado z=a+bi, defi ne-se como conjugado de z (re-
presenta-se por z-) = 
z=a+bi →z-= a-bi
Exemplo:
z=3 - 5i → z- = 3 + 5i
z = 7i → z- = - 7i
z = 3 → z- = 3 
Igualdade entre números complexos:
Dois números complexos são iguais se, e somente se, 
apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte 
imaginária. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1=z2 ↔a=c e b=d
Adição de números complexos:
Para somarmos dois números complexos basta somar-
mos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses 
números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1+z2=(a+c) + (b+d)
Subtração de números complexos:
Para subtrairmos dois números complexos basta 
subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginá-
rias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, te-
mos que:
z1-z2=(a-c) + (b-d)
Potências de i: Se, por defi nição, temos que i = - 
(-1)1/2, então:
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2.i = -1.i = -i
i4 = i2.i2=-1.-1=1
i5 = i4. 1=1.i= i, e assim por diante.
Observamos que no desenvolvimento de in (n per-
tencente a N, com n variando, os valores repetem-se de 
4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos in bas-
ta calcularmos ir onde r é o resto da divisão de n por 4.
Exemplo: i63 => 63 / 4 dá resto 3, logo i63=i3=-i
Multiplicação de números complexos:
Para multiplicarmos dois números complexos basta efe-
tuarmos a multiplicação de dois binômios, observando os 
valores das potências de i. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, 
temos que:
z1.z2 = a.c + adi + bci + bdi
2
z1.z2= a.c + bdi
2 = adi + bci
z1.z2= (ac - bd) + (ad + bc)
i
Observar que : i2= -1
Divisão de números complexos:
Para dividirmos dois números complexos basta mul-
tiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjuga-
do do denominador. Assim, se z1= a + bi e z2= c + di, 
temos que:
z1 / z2 = [z1.z2-] / [z2z2-] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-
di) ]
Módulo deum número complexo:
O módulo de um número real é a sua distância à 
origem. No caso dos complexos, não é diferente: o mó-
dulo de z=a+bi é a distância do afi xo (a;b) à origem. O 
módulo de z é representado por |z|.
Observe a interpretação geométrica do módulo.
Como dissemos, no início, a interpretação geomé-
trica dos números complexos é que deu o impulso para 
o seu estudo. Assim, representamos o complexo z = 
a+bi da seguinte maneira
 
252
Exemplo:
1) Sejam os complexos z1=(2x+1) + yi e z2=-y + 2i. 
Determine x e y de modo que z1 + z2 = 0
Resolvendo:
z1 + z2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0
logo, é preciso que:
2x+1 - y =0 e y+2 = 0
temos que y = -2 e x = -3/2
2) Determine x, de modo que z=(x+2i)(1+i) seja 
imaginário puro. 
Resolvendo:
z = x + (x+2)i + 2i2
z= (x-2) + (x+2)i
Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, 
logo x=2
Polinômio
Defi nição:
São séries em uma variável, que por sua vez são ex-
pressões matemáticas na forma axn (que, no caso de n 
= 0, torna-se a constante a). Cada polinômio é caracte-
rizado por
• um coefi ciente, que na equação acima é representa-
do por a;
 uma variável, que na equação é representada por x; e
• um expoente natural, que na equação é representado 
por n. No caso particular n = 0, considera-se que xn 
= 1 e o termo axn torna-se simplesmente a.
Um polinômio qualquer pode ser representado pela 
expressão:
a0 x
n + a1 x
n – 1 + a2 x
n -2 + ... + an – 1 x + an
A função polinomial será defi nida por: 
P(x) = a0x
n + a1x
n – 1 + a2x
n -2 + ... + an – 1x + na
Onde,
a0 , a1 , a2, … , an – 1 e an ∈ números complexos e n ∈ 
N. 
Valor numérico de um polinômio:
Se observarmos um polinômio qualquer P(x) = 5x4 
– 3x3 + x2 – x + 2, para acharmos o seu valor numérico 
que é o valor de P(x), temos que ter um valor para a 
incógnita x. 
Então, se dissermos que x = 2. O valor que encon-
trarmos para P(2) quando substituirmos x por 2 será o 
valor numérico do polinômio.
P(2) = 5 . 24 – 3 . 23 + 22 – 2 + 2 
P(2) = 5 . 16 – 3 . 8 + 4 – 2 + 2 
P(2) = 80 – 24 + 4 
P(2) = 56 + 4 
P(2) = 60 
Concluímos que o valor numérico do polinômio 
P(x) = 5x4 – 3x3 + x2 – x + 2, quando x = 2 será P(2) 
= 60. 
Raiz ou zero do polinômio:
Raiz ou zero é um valor tal que, atribuído à variável 
da função polinomial, faz com que a função resulte em 
0. Ou seja, se a é dito raiz do polinômio P(x), então 
Um polinômio de grau n terá n raízes, sempre. Al-
gumas vezes uma mesma raiz se repete, sendo por isso 
chamada raiz dupla, tripla, quádrupla, etc.
Se pegarmos um polinômio qualquer P(x) = - 2x3 + 
5x2 – x + 1 = 0, a raiz dele será um número qualquer b 
se, somente se, o valor numérico do polinômio for zero 
quando x = b. 
Exemplo: 
P(x) = x2 - 1, para calcularmos o zero da função, deve-
mos colocar P(x) = 0, então:
x2 - 1 = 0 
x2 = 1 
x = + 1 ou - 1 
Concluímos que -1 e +1 é raiz do polinômio P(x) = 
x2 - 1. 
Grau de um polinômio:
Um polinômio é formado por vários monômios se-
parados por operações, então o grau de um polinômio 
corresponde ao monômio de maior grau. O único po-
linômio que não possui grau é o polinômio nulo P(x) 
= 0, por exemplo: 
• P(x) = x3 - x2 + 2x -3 → temos 3 monômios que 
possuem grau, o que tem maior grau é x3, então o 
polinômio tem o mesmo grau que ele. 
P(x) = x3 - x2 + 2x -3 é do 3º grau. 
• P(x) = 5x0 = 5 → grau zero.
 
Identidade de polinômios:
Dois polinômios são ditos idênticos se tiverem o 
mesmo grau e os monômios correspondentes idênticos, 
por exemplo:
253
A (x) = 3x2 + 3:
B (x) = 2x2 + 4x2 + 6 ⇒B (x) = 3x2 + 3
 2
Como o desenvolvimento de B(x) resultou num 
polinômio de termos correspondentes idênticos a 
A(x), então os polinômios são idênticos ou equivalen-
tes; indica-se: A(x) ≡ B(x) 
Polinômio nulo:
Um polinômio é dito nulo quando todos os seus co-
efi cientes são iguais a 0.
Operações com polinômios:
Dados dois polinômios f(x) e g(x).
Sendo f(x) = anx
n + an-1x
n-1 + … a2x
2 + a1x + a0 e g(x) 
= bnx
n + bn-1x
n-1 + … b2x
2 + b1x + b0
Adição
Para fazermos f(x) + g(x) deveremos ter como res-
posta:
f(x) + g(x) = (an + bn )x
n + (an-1 + bn-1 )xn-1 + … (a2 + b2 )x2 + (a1 + b1 )x + 
(a0 + b0)
Ex.: Sendo A(x) = 3x3 + 5x2 – 3x + 4, e B(x) = 4x3 – 2x2 + 5
A(x) + B(x) = 7x3 + 3x2 – 3x + 9
Subtração
Para fazermos f(x) – g(x) deveremos ter como res-
posta:
f(x) – g(x) = (an – bn )x
n + (an-1 – bn-1 )x
n-1 + … (a2 – b2 )x
2 + (a1 – b1 )x + 
(a0 – b0)
Ex.:
Sendo P(x) = 3x3 + 5x2 – 3x + 4, e Q(x) = 4x3 – 2x2 + 
2x + 5
P(x) – Q(x) = –x3 + 7x2 – 5x – 1
Multiplicação
Para fazermos f(x).g(x) deveremos ter como resposta:
f(x).g(x) = (anbn )x
n+m +… (a2b0 + a1b1 + a0b2 )x2 + (a0b1 + a1b0 )x + (a0b0)
Ex.: Sendo A(x) = 3x3 + 5x2 – 3x , e B(x) = 4x3 – 2x2 + 5
A(x).B(x) = 12x6 – 6x5 +15x3 + 20x5 – 10x4 + 25x2 – 
12x4 + 6x3 – 15x =
= 12x6 +14 x5 –22x4 + 21x3 + 25x2 – 15x
Divisão:
Dividir um polinômio f(x) (dividendo) por um 
g(x) (divisor diferente de 0) consiste em dividir f por 
g e determinar novos polinômios q(x) (quociente) e 
r (resto).
 
Assim temos que f(x) = g(x).q(x) + r(x) e que o grau 
de q(x) será sempre menor que f(x).
Se r(x) = 0 dizemos que a divisão é exata, ou ainda 
que o polinômio f(x) é divisível por g(x).
Método de divisão da chave (análogo ao numérico)
Exemplo:
• Primeiro deve-se escolher o primeiro termo do quocien-
te, que deve ser multiplicado pelos termos do divisor.
 
 
• Segundo passo é passar o inverso do resultado para 
subtrair do polinômio.
 
 
• Agora deve-se repetir o primeiro passo, escolher o ter-
mo conveniente para multiplicar pelo primeiro termo 
do divisor para que fi que igual ao primeiro termo do 
polinômio que foi resultado do primeira operação.
 
• Repetir o mesmo processo do segundo passo.
 
Assim temos que q(x) = x + 4 e que r(x) = – x -3.
Dispositivo prático de Briot-Ruffi ni:
Quando necessitarmos dividir um polinômio por 
um binômio podemos utilizar este dispositivo.
Exemplo: ao dividirmos o polinômio p(x) = 2x4 – 
2x2 + 3x +1 por x – 1.
 
254
• Devem ser colocados todos os coefi cientes na 1ª li-
nha. (nesse caso precisaremos adicionar o coefi cien-
te zero, que seria de x3).
• Na segunda linha, repetimos o primeiro coefi ciente 
da linha acima (no caso, o número 2).
• Em seguida, multiplica-se esse número pela raiz e 
somamos com o próximo coefi ciente.
 • Repetir essa operação até que acabem os números 
da linha superior.
• Assim o quociente da divisão é 2x3 + 2x2 + 0x1 + 3 
e o resto é 4.
Teoremas:
Teorema do resto:
O resto da divisão do polinômio P(x) por ax + b é 
dado por P(-b/a)
Exemplo:
3x4 – x2 + 2x – 5
 x – 2
1º passo: Determina-se x
x – 2 = 0 : x = 2
2º passo: Substitui-se os valores
3x4 – x2 + 2x – 5 : 3.24 – 22 + 2.2 – 5 : 3.16 – 4 + 4 – 5 :48 
– 5: 43
Portanto, o resto é 43.
Outra resolução:
O resto da divisão do polinômio A (x) pelo polinô-
mio de primeiro grau B(x) + ax + b é A(–b/a). 
Observações: Note que A(–b/a) é a raiz do divisor 
B(x) = ax + b 
Teorema de D’Alembert:
O teorema de D’Alembert é uma consequência 
imediata do teorema do resto, que são voltados para 
a divisão de polinômio por binômio do tipo x – a. O 
teorema do resto diz que um polinômio G(x) dividido 
por um binômio x – a terá resto R igual a P(a), para x = 
a. O matemático francês D’Alembert provou, levando 
em consideração o teorema citado acima, que um poli-
nômio qualquer Q(x) será divisível por x – a, ou seja, 
o resto da divisão será igual à zero (R = 0) se P(a) = 0. 
Esse teorema facilitou o cálculo da divisão de poli-
nômio por binômio (x –a), dessa forma não sendo pre-
ciso resolver toda a divisão para saber se o resto é igual 
ou diferente de zero. 
Exemplo:
1) Calcule o resto da divisão(x2 + 3x – 10) : (x – 3). 
Como diz o Teorema de D’Alembert, o resto (R) 
dessa divisão será igual a: 
P(3) = R 
32 + 3 * 3 – 10 = R 
9 + 9 – 10 = R 
18 – 10 = R 
R = 8 
Portanto, o resto dessa divisão será 8. 
2) Verifi que se x5 – 2x4 + x3 + x – 2 é divisível por 
x – 1. 
Segundo D’Alembert, um polinômio é divisível por 
um binômio se P(a) = 0. 
P(1) = (1)5 – 2*(1)4 + (1)3 + (1) – 2 
P(1) = 1 – 2 + 1 + 1 – 2 
P(1) = 3 – 4 
P(1) = – 1 
Como P(1) é diferente de zero, o polinômio não será 
divisível pelo binômio x – 1. 
3) Calcule o valor de m de modo que o resto da divi-
são do polinômio 
P(x) = x4 – mx3 + 5x2 + x – 3 por x – 2 seja 6. 
Temos que, R = P(x) → R = P(2) → P(2) = 6 
P(2) = 24 – m*23 + 5*22 + 2 – 3 
24 – m*23 + 5*22 + 2 – 3 = 6 
16 – 8m + 20 + 2 – 3 = 6 
– 8m = 6 – 38 + 3 
– 8m = 9 – 38 
– 8m = – 29 
m = 29/8
255
1) Seja p(x) um polinômio divisível por x-3. 
Dividindo p(x) por x-1, obtemos quocien-
te q(x) e resto r = 10. O resto da divisão de 
q(x) por x-3 é:
a) -5 b) -3
c) 0 d) 3
e) 5
2) O valor de k para que o polinômio 
p(x)=kx2+kx+1 satisfaça p(x)-1=p(x-1) é:
a) -1/2 b) 0
c) ½ d) 1
e) 3/2
3) Se P(x) = xn - xn-1 + xn-2 - ... + x2 - x + 1 e P(-1) 
= 19, então n é igual a:
a) 10 b) 12s
c) 14 d) 16
e) 18
1) Em computação grá� ca, quando um pro-
grama altera a forma de uma imagem, está 
transformando cada ponto de coordena-
das (x, y) , que forma a imagem, em um 
novo ponto de coordenadas (a,b) . A � gura 
abaixo ilustra a transformação da imagem 
1 na imagem 2. Um dos procedimentos que 
consiste em transformar o ponto (x, y) no 
ponto (a,b) é realizado, através de opera-
ções com matrizes, de acordo com as se-
guintes etapas:
 
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES COM RESOLUÇÃO
4) Para que o polinômio 2x4 - x3 + mx2 - nx + 2 
seja divisível por x2 - x - 2, devemos ter: 
a) m = 1 e n = 6 b) m = -6 e n = -1
c) m = 6 e n = 1 d) m = -6 e n = 1
e) m = 6 e n = -1
5) Sejam m e n determinados de tal modo que 
o polinômio x4 - 12x3 + 47x2 + mx + n seja 
divisível por 
 x2 - 7x + 6. Então m + n é igual a:
 a) 72 b) 0
c) -36 d) 36
e) 58
6) Calcular o valor numérico do polinômio 
P(x) = x3 - 7x2 + 3x - 4 para x = 2.
Respostas: 1: a; 2:c; 3: e; 4:d; 5:c; 6: -18.
Etapa 1: Fixe duas matrizes invertíveis M e E , de or-
dem 2, e considere M−1 a matriz inversa de M.
Etapa 2: Tome P e Q as matrizes cujas entradas são as co-
ordenadas dos pontos (x, y) e (a,b), respectivamente,isto 
é, .
Etapa 3: Obtenha Q a partir de P por meio da expressão 
Q = E M−1 P. Considerando estas etapas e as matrizes 
,determine:
a) a inversa de M.
b) o ponto (a,b) que é obtido do ponto (2, 3) 
por meio da expressão Q = E M−1 P .
256
Resolução: 
2) Uma fábrica deseja produzir uma chapa retangular a partir de uma chapa metálica que tem a 
forma de um triângulo isósceles. Suponha que A, B e C são os vértices da chapa triangular; que 
D, E, F e G são os vértices da chapa retangular; e que AB = AC = 4 m e ABC = 60º, conforme ilustra 
a � gura abaixo.
 
Determine:
a) o coe� ciente angular da reta que passa pelos pontos A e B.
b) a área S da chapa retangular em função de xo , onde xo é a abscissa do ponto D.
c) as dimensões, em metros, da chapa retangular para que sua área seja máxima.
257
Resolução:
 
3) Durante uma tempestade, um pequeno avião saiu da cidade A com destino à cidade C, distan-
te 945 km. Quando o avião estava no ponto D, distante 700 km do ponto de partida, o piloto 
detectou que o avião se desviara do seu curso seguindo a trajetória , conforme ilustra a � gura 
ao lado. Sendo α = 30º o ângulo para um curso paralelo a e β o ângulo tal que α + β é o ângulo 
de correção para que o avião chegue à cidade C, calcule: (Considere = 1,7).
 a) a distância entre B e D.
 b) o ângulo de correção.
Resolução:
258
4) A � m de medir a magnitude de um terremoto, os sismólogos Charles Francis Richter e Beno 
Gutenberg desenvolveram a escala Richter em 1935. Nesta escala, o maior terremoto já re-
gistrado foi o Grande Terremoto do Chile, em 1960, atingindo a magnitude de 9,5, seguido 
do ocorrido na Indonésia, em 2004, que atingiu a magnitude de 9,3. Na escala Richter, a mag-
nitude M é dada por M = log A − log A0 onde log denota logaritmo decimal, A é a amplitude 
máxima medida pelo sismógrafo e A0 é uma amplitude de referência padrão. Sabe-se também 
que a energia E , em ergs (1 erg = 10-7 Joules), liberada em um terremoto está relacionada à 
sua magnitude M por meio da expressão log E = 11,8 + 1,5M .
 A partir das informações acima, faça o que se pede:
a) Sabendo que no litoral do Brasil, em 1955, foi registrado um terremoto de magnitude 6,3 na 
escala Richter, determine a razão entre as energias liberadas nos terremotos ocorridos na Indo-
nésia e no Brasil.
b) Considerando A1 a amplitude máxima de um terremoto e E1 sua energia, e A2 a amplitude 
máxima de outro terremoto e E2 sua energia, determine k tal que 
Resolução:
 
259
5) Durante um tratamento médico veri� cou-se que a concentração C , em miligramas por litro, de 
um certo medicamento na corrente sanguínea satisfaz a desigualdade (3 − C) . |C| − 2 |C − 3 | ≥ 
0
a) Veri� que se a concentração do medicamento na corrente sanguínea pode ser igual a 0,5 mili-
gramas por litro. Justi� que, mostrando seus cálculos.
b) Determine o menor valor da concentração deste medicamento na corrente sanguínea. Justi� -
que, mostrando seus cálculos.
Resolução:
260
 
6.) (Unicamp-SP) Como se sabe, os icebergs são enormes blocos de gelo que se desprendem das 
geleiras polares e � utuam pelos oceanos. Suponha que a parte submersa de um iceberg cor-
responda a 8/9 do seu volume total e que o volume da parte não submersa é de 135 000 m3. 
a) Calcule o volume total do iceberg.
b) Calcule o volume de gelo puro do iceberg supondo que 2% de seu volume total é constituído 
de “impurezas”, como matéria orgânica, ar e minerais. 
Resolução 
V = volume total do iceberg
a) 
b) Vimpurezas = 2% de V = 0,02 • 1 215 000 = 24 300 m
3
 Vgelo puro = V – Vimpurezas = 1 215 000 – 24 300 = 1 190 700 m
3 
261
1) No século 20, uma pessoa tinha x anos no ano x2. Essa pessoa nasceu em
a) 1878 b) 1892 c) 1912 d) 1924 e) 1932
2) Se x e y são números reais tais que 2x + y = 8, o valor máximo do produto x.y é
a) 24 b) 20 c) 16 d) 12 e) 8
3) Uma estação de tratamento de água (ETA) localiza-se a 600m de uma estrada reta. Uma es-
tação de rádio localiza-se nessa mesma estrada, a 1000m da ETA. Pretende-se construir um 
restaurante, na estrada, que � que à mesma distância das duas estações. A distância do restau-
rante a cada uma das estações deverá ser de
a) 575m b) 600m c) 625m d) 700m e) 750m
4) Seja o polinômio f = , no qual m é uma constante real. Se f admite a raiz –1, então as 
demais raízes de f são números
a) inteiros. b) racionais não inteiros.
c) irracionais. d) não reais.
e) imaginários puros.
5) Considere uma progressão geométrica crescente, cujo primeiro termo é diferente de zero, e 
uma progressão aritmética decrescente cujo primeiro termo é zero. Somando-se os termos 
correspondentes das duas progressões, obtém-se a seqüência (2, 1, 2, a4 ,a5 ...). A diferença 
a5 – a4 é igual a
a) 13 b) 15 c) 18 d) 20 e) 22
6) As equações das retas suportes dos lados de um triângulo são: x + 3y – 3 = 0,
x – 3y – 3 = 0 e x = –1. Esse triângulo é
a) escaleno.
b) eqüilátero.
c) isósceles e não retângulo.
d) retângulo e não isósceles.
e) retângulo e isósceles.
7) A energia nuclear, derivada de isótopos radiativos, pode ser usada em veículos espaciais para 
fornecer potência. Fontes de energia nuclear perdem potência gradualmente, no decorrer do
 tempo. Isso pode ser descrito pela função exponencial na qual P = P0 . é apotência ins-
tantânea, em watts, de radioisótopos de um veículo espacial; P0 é a potência inicial do veículo; 
t é o intervalo de tempo, em dias, a partir de t0 = 0; e é a base do sistema de logaritmos neperia-
nos. Nessas condições, quantos dias são necessários, aproximadamente, para que a potência 
de um veículo espacial se reduza à quarta parte da potência inicial?
(Dado: ln 2 = 0,693)
a) 336 b) 338 c) 340 d) 342 e) 346
8) Considere uma família numerosa tal que:
• cada fi lho do sexo masculino tem um número de irmãs igual ao dobro do número de irmãos;
• cada fi lho do sexo feminino tem um número de irmãs igual ao de irmãos acrescido de 2 unidades.
PROVA DO ENEM COM RESPOSTAS
262
Ao escolher-se ao acaso 2 � lhos dessa família, a probabilidade de eles serem de sexos opostos é
a) 4/13 b) 20/39 c) 7/12 d) 11/13 e) 11/12
09) Uma caixa sem tampa é feita com placas de madeira de 0,5cm de espessura. Depois de pronta, 
observa-se que as medidas da caixa, pela parte externa, são 51cm x 26cm x 12,5cm, conforme 
mostra a � gura abaixo. O volume interno dessa caixa, em metros cúbicos, é
a) 0,015 b) 0,0156 c) 0,15 d) 0,156 e) 1,5
1-B, 2-E, 3-C, 4-D,5-A,6-C,7-E,8B.9-A
GABARITO
51cm
20cm
12,5cm