Livro IVC - Capítulo 1

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TEXTOS 
UNIVERSITÁ RIOS 
Cecília S. Fernandez 
Nilson C. Bernardes Jr. 
Introdução às 
Funções de 
uma Variável 
Complera 
0 
P(V) 
C 
soCIEDADE 
BRASILEIRA 
DE MATEMÁTICA 
1 
Numeros Complexos 
1 Introdução 
Os números complexos surgiram no século 16, motivados pelo interesse em se calcular 
soluções de equações polinomiais. Por um longo tempo, eles não foram considerados como 
números legítimos, mas existentes apenas na imaginação humana. E interessante observar 
que ainda hoje chamamos o número complexo i = -I de "algarismo imaginário'". O 
passo decisivo no sentido de formalizaro conceito de número complexo foi a representação 
geométrica desses números como pontos do plano. O primeiro matemático a ter uma visão 
clara de tal representação e explorá-la em suas investigações foi Gauss, conforme fica claro, 
embora de modo implícito, em sua dissertação escrita em 1797. Todavia, Gauss expôs 
ao 
público suas idéias a esse respeito de modo explícito apenas em 1831, 
com o propósito 
de introduzir os "inteiros Gaussianos". O corpo dos números complexos C foi finalmente 
definido de modo rigoroso por Hamilton em 1837. 
A famosa fórmula de Bh�skara (século 12) 
-bt Vb2 - 4ac 
2a 
para o cálculo das soluções da equação do 2 grau 
a2+br +c= 0 (a # 0), 
que na verdade já era conhecida pelos 
babilônios há quase 2000 anos a.c., nos mostra que 
uma tal equação sempre possui soluções 
em. Um fato notavel sobre os números com- 
plexos é que toda equação polinomial não 
constante com coeficientes reais (ou complexos) 
possui pelo menos uma soluç�ão em C. 
Este fato, conhecido como teorema fundamental da 
agebra, foi provado por Gauss em 1797. Apresentaremos 
uma demonstração deste teorema 
no Capítulo 5. 
NumerOs Commplexos Cap. 1 
Na Seção 2 definimos de modo rigoroso os numeros complexos e apresentam aginário ie ex- 
plicamos como a definição formal de número complexo se relaciona com a represent. amos 
apresentamos súas 
propriedades 
aritméticas básicas. 
Além disso, 
definimos o algarismo 
imaginário 
ntação 
desses números na 
forma a +yi (x e y reais), que 
éa forma como 
normalmente trabalha 
com eles. 
lor 
absoluto de um número complexo. 
Também estabelecemos 
diversas propriedades deso 
conceitos, incluindo a desigualdade triangular. 
Na Seção 4 definimos o conceito de argumento 
e apresentamos a forma polar de um 
número complexo. 
Na Seção 3 definimos os 
conceitos de parte real, parte 
imaginária, conjugado e val.. 
ses 
Na Seção 5 consideramos o problema de extração 
de raizes de numeros complexos 
Mostramos que todo número complexo não nulo possui 
exatamente n raízes n-ésimas dis- 
tintas, para cada n E N', e exibimos uma fórmula para 
o cálculo dessas raízes. 
Nas Seções 6 e 7 introduzimos os conceitos de exponencial e de logaritmo para números 
complexos, e estabelecemos algumas de suas propriedades. 
Na Seção 8 definimos e estudamos as potências com expoentes complexos. 
2 O corpo dos números complexos 
Definimos o corpo dos números complexos como sendo o conjunto 
C= {(7,y):r¬ Reye R}, 
com as seguintes operações de adição e multiplicação: se z = (r,y) e w = (a, b) perten- cem a C, então 
z+w = (s +a, y + b) e zuw = (xa- Yb, zb + Ya). (1) 
Os elementos de C são chamados de números complexos. Denotamos o número complexo (0,0) simplesmente por 0 e o número complexo (1,0) simplesmente por 1. Para caua z = (r,y) E C, definimos 
-z = (-z,-y) e + 2+yT2+?) se z #0. 
O númeroz também é denotado por - ou 1/z. 
Proposição 1. As seguintes propriedades se verificam para quaisquer z, w,t E (a) z +(w +t) = (z +w) +t (associatividade da adição). 
O corpo dos 
numeos complexos 
3 
alz+w = w+z(comutatividade da adicão) 
c)0+z 
= z (elemento neutro) 
d)z +(-z) = 0 (elenmento oposto). 
(e) z(wt) =(zw)t (associatividade da multiplicação). 
( zw = wz (comutatividade da multiplicação). 
(g)lz= z (elemento unidade). 
(h) zz=1 se z # 0 (elemento inverso). 
6) z(w +t) = zw + zt (distributividade da multiplicação em relação à adição). 
Demonstração. Todas as propriedades acima decorrem diretamente das definições das 
operações de adição e multiplicação em C. Por esta razão, provaremos apenas o item (a) e 
deixaremos os demais como exercício (veja EP 1). 
(a): Se z = (,y), w = (a,6) et = (c, d), então 
z+ (w+t) = (z, v) + (a+c,b+d) = (r + (a + c), y + (b+ d) 
= ((r +a) +c, (y +b) + d) = (r +a, y + b) + (c, d) 
= (z+w) +t, 
onde usamos a associatividade da adiçãão de números reais. 
Tendo definido as operações de adição e multiplicação em C, definimos as operações 
ae subtração e divisão da maneira usual: dados z, w E C, 
e = zw se w#0. z- w = z +(-w) 
W 
disso, a potenciação também é definida 
da maneira usual: 
=1, z" =z.. e = sez #0 
(n2 1). 
n-vezes 
n-vezeS 
re So válidas para números complexos. Por exemplo, a soma e o produto de duas frações Corre da Proposição 1 que 
diversas propriedades das operações 
aritméticas de números 
2/w2 de números complexos podem ser obtidas 
pelas fórmulas 
2 21W2 + 22w1 
w1W2 
1 22 2122 
w1w2 
e 
W1 W2 
W1 W2 
Números Complexos Cap. 
exatamente como 
ocorre no caso 
real (veja EP 3). 
DestacamoS outras propriedadas 
exercícios ER 1 e EP 2. 
4 
opriedades nos 
Um conjunto no qual estão 
definidas uma operação de adiçao 
e uma operação de muls 
orpo. 
por que muitas vezes R é chamado corpo dos números reais ee chamado corpo doo a 
multi- 
plicação satisfazendo 
as propriedades 
mencionadas na Proposição 1 
é chamado um co 
Por esta razão é que chamamos C 
de corpo dos 
números complexos. Isto também explina a 
s 
números racionais. A Teoria dos Corpos é um ramo 
da Algebra Abstrata, e assim está fora 
do objetivo do presente livro. Aqui, Q, ReCserão os 
únicos corpos que nós encontraremos 
O leitor certamente lembra de ter visto no ensino 
médio os nümeros complexos como 
sendo os "números" da forma 
+y0, 
onde c e y são números reais e i é um "algarismo imaginário , que satisfaz à estranha 
igualdade 2 = -1. Vejamos como obter tal representação dos números complexos. Pti- 
meiramente, denotamoso número complexo (7, 0), com r E R, simplesmente por t. Note 
que isto está de pleno acordo com o que já fizemos com o elemento neutro 0e o elemento 
unidade 1 (0 = (0,0) e l=(1,0). Em outras palavras, fazemos a seguinte convenção: 
(2) = (x,0) para todo z E R. 
Dessa forma, passamos a ver R como um subconjunto de C, ou seja, todo número real é 
considerado um número complexo. A princípio, a inclusão R CC pode gerar uma certa 
ambigüidade: dados a E Rea E R, o que entendemos por 
T+a e ca? 
A soma eo produto dos números reaisrea ou a soma e o produto dos números complexos tea? A resposta é que tanto faz, uma vez que os valores são os mesmos. De fato, 
(r,0) +(a,0) = (r +a,0) = r +a 
(r,0)(a,0) = (xa - 0 0, 0+0 a) = (xa, 0) = rca, 
por (1) e nossa convenção (2). Agora, note que (0,1)2 = (0,1)(0, 1) = (-1,0)= -l ou seja, o número -1 possui uma "raiz quadrada" em C! O número complexo (0,1) * denotado por i e é chamado de algarismo imaginário. Assim, temos a propriedade basia do algarismo imaginário: 
2=-1. (3) Finalmente, dado um número complexo qualquer z = (:,y), temos 
z = (7,y) = (7,0) + (0, y) = (r,0) + (y,0)(0, 1), 
5 
Conjugadoe valor absoluto 
isto é. 
z = t+ Yi. (4) 
Logo, o par (T, y) e a expressao z+ yi representam o mesmo número complexo. A ex- 
pressão (4) é chamada a forma algébrica de z; essa é a forma na qual os números complexos 
são usualmente denotados. 
Sempre que tomarmos um número complexo na forma z =r + yi assumiremos impli- 
citamente que r e y são nümeros reais. 
Observamos que com a forma algébrica não precisamos nos preocupar em memorizar 
as definições de z +we zw dadas em (1). De fato, basta usarmos algumas das propriedades 
da adiçãoe da multiplicação em C já apresentadas: se z = r+yie w = a+bi são numeros 
complexOs, então 
z +W = (r + yi) + (a + bi) = r +a + yi + bi = (x + a)+(y+b) 
e 
zw = (r + yi)(a + bi) = ra + yia + rbi+ ybi = (ra - yb) + (xb + ya) i. 
3 Conjugado e valor absoluto 3 
Dado um número complexo z = r + yi, definimos a parte real e a parte imaginária de 
por 
Rez = r e Imz = y 
respectivamente. Quando Rez = 0, dizemos que z é imaginário puro. 
Como um número complexo z = r+yi é o par ordenado (r, y), podemos representá-lo 
graficamente como o ponto do plano cartesiano de abscissa r e ordenada y, ou comoo vetor 
que liga a origem a este ponto (Figura 1). Neste contexto, chamamos o plano cartesiano de 
plano complexo, o eixo dos r de eixo real e o eixo dos y de eixo imaginário. 
Im 
z = (x,y) 
X 
Re z 
Figura 1 
Números Complexos Cap. 1 
Abaixo indicamos as 
interpretações gráficas 
da adição e da 
subtração de números con 
plexos. 
om- 
Z+ w 
W 
Z - w 
Figura 2 
Definimos o conjugado de um número complexo 
z = t + yi como sendo o número 
complexo 
Z -yi. 
Graficamente, z é o ponto do plano complexo obtido 
através da reflex�ão de z em relação a0 
eixo real (Figura 3). 
Proposição 2. As seguintes propriedades se verificam para quaisquerz, 
w E C: 
(a) =z, z tw = te zu = zk. 
(b) z/w Z/W se w #0. 
(c) z + = 2 Rez ez-z= 2i Im z. 
(d) z E R se e somente se z = z. 
(e) z é inmaginário puro se e somente se z = -z. 
Demonstração. Provaremos apenas que z +w =z+ we deixaremos a demonstração das 
demais propriedades ao leitor (veja EP 6). De fato, se z = s + yie w =a+bi, então 
z+ = (T +a) +(y +b}i = (r + a)- (y +b)i = z+w. 
Através da noção de conjugado, podemos deduzir a expressão do inverso de um número 
complexo z = a + yi # 0 da seguinte maneira: 
- - y 
$3 Conjugadoe valor absoluto 7 
O valor absoluto (ou módulo) de um número complexo z = r +yi é definido por 
a=r2+ 
Graficamente, o número real |z| nos dá o comprimento do vetor correspondente a z no 
plano complexo (Figura 3). Mais ainda, |z -wé a distância entre os pontos do plano que 
representam z e w. 
Z 
Z 
* 
Figura 3 
Proposição 3. As seguintes propriedades se verificam para quaisquer z, w E C: 
(a) Rez |Re z| < |a| e Imz < | Imz|< |z 
(b)lal= z2E, |z| = |a| e lzwl = |z||ul 
(c) la/wl = lal/|w| se w #0. 
(d) la +wl |zl + |uw. 
(e) lz+2 ||2l-|wl|. 
A desigualdade (d) é conhecida como desigualdade triangular. 
Demonstração. Provaremos apenas as duas últimas propriedades, deixando as demais para 
o leitor (veja EP 9). 
(d): Afirmamos que 
z+w= |z|2 + 2 Re(z0) + |u|. (5) 
Com efeito, 
z +w = (z+ w)(z + w) = (z +w)7 +w) 
= z + zk + wz +w = 27 + 20+ 2W + ww 
= |+2 Re(zu) + w|, 
COnplexOS 
Cap. 
onde usamos o 
item (b) e a Proposição 
2. Como 
+2 Re(z0) + |uls 
Il+22m|+ Ju2 
= l+2||w| + Jw|" 
= (l2| + Ju|)2 
(pelos itens (a) e (b), segue de (5) que 
la +u((zl + Jul). 
Extraindo as raízes quadradas de ambos os lados da desigualdade 
acima obtemos . 
gualdade desejada. 
(e): Pela desigualdade triangular, 
desi- 
z= |(2 + u) - wl z + w+|--w| = lz + w +lw, 
donde 
z+w 2 zl- |w|. 
Trocando os papéis de z e w na desigualdade acima, obtemos 
Como |- |wl| = lzl - Jwl se lz| 2 lwle ||a] - |w|| = |w - |z| se lwl 2 |z], vemos que em qualquer caso, jz -+w2 ||z|- w. 
Se z # 0, a Proposição 3(b) implica que 
(6) -= lz|2 
Em particular, z Z se lz| =1. A identidade (6) mostra como z e z se con aram graficamente: z aponta na direção de z e tem valor absoluto 1/|z| (Figura 4). 
1/z 
Figura 4 
9 
S4 A forma polar 
4 A forma polar 
Consideremos um número complexo z =r +yi # 0. Seja 6o o ângulo que o eixO real 
positivo forma como vetor correspondente a z no sentido anti-horário (Figura 5). 
Figura 5 
Como cos Go = r/|z| e senGo = y/|z], temos que 
= z|(cos do +i sen do). 
Assim, é sempre possível representar z na forma 
(7) = lal(cos 0+i sen ), 
onde E R. Uma tal representação é chamada uma representação polar de z. Se 0 E 
R satisfaz (7), dizemos que 6 é um argumento de z. Assim, 6 é um argumento de z. 
Entretanto, qualquer 0 da forma 6o +2kT, comke Z, também satisfaz (7). Em particular, 
z possui infinitos argumentos. Por outro lado, se 0 satisfaz (7) então cos = cos o e 
sen= sen Gg, o que implica que 6 = 6o t 2kT para algum k e Z. Assim, o conjunto 
arg z de todos os argumentos de z é dado por 
argz = {0o +2kr: ke Z}. 
Por exemplo, 
1+i= v2 (cos+isen ) e 1+i = V2 (cos +isen 
são representações polares do número 1+i, note que arg(1+i) = {r/4+ 2kT : k E Z} O 
único argumento dez que pertence ao intervalo (-T, T| é chamado o argumento principal 
de z e é denotado por Arg z. Por exemplo, 
T T 
Argi = Arg(-1-i) = -e Arg(-2) = T. 4 
10 
A identidade 
a 
= 
|z|(cos 
Argz + 
isen Arg z) 
é chamada 
aforma polar 
de 2. 
Sejam 
representações 
polares de 
dois 
números 
complexos 
não nuloS 
e w. Vamos an 
representações polares para z 
e zw. 
Por (6), 
= la|(cos + i sen 0) 
e w 
= lw|(cos 
+ i sen ) 
obter 
9 
z= |a|(cos(-0) 
+ isen(-4)]. 
Além disso, 
zw = |z||uw|(cos 6+isen 6) (cos b + i 
sen b) 
= |=||w|[(cos0 cos sen & sen )) + i(cos 6 seny 
+ sen & cos b)], 
donde concluímos que 
20 = lz||w|[cos(6 +6)+i sen(9 + )]. (10) 
Esta igualdade nos dá a interpretação gráfica do produto de dois números complexos: zw 
tem valor absoluto |a||w| e tem &+b como um argumento (Figura 6). Definindo 
-A = {-a; a ¬ A} e A+B = {a + b; a E A ebEB} (A, B CC), 
decorre das fórmulas (9) e (10) que 
arg(z ") = -arg z e arg(zw) = arg z + arg w. (11) Porém, n�o é sempre verdade que Arg(z1) = - Arg z nem que Arg(zw) = *"b 
Arg w (veja ER 9). De (9) e (10) obtemos que 
rgz f 
z = \z"[cos(nb) + i sen(n0)) para todo nE Z. No caso em que |z| = 1, a igualdade (12) nos diz que 
(12) 
cos +i sen 6)"= cos(n6) + i sen(nt0). Esta igualdade é conhecida como a fórmula de De Moivre. 
(13) 
Extração de raízes 11 
Z W 
W K0+ 
Z 
Figura 6 
5 Extração de raízes 
Dados um número complexo w e um número natural n 2 1, dizemos que z E Cé uma 
raiz n-ésima de w se 
W. 
Se w = 0, é claro quez = 0 é aúnica soluç�ão da equaç�ão " = w. Logo, o número 0 
possui uma única raiz n-ésima que é o próprio 0. Veremos a seguir que se w # 0 então 
existem exatamente n soluções distintas da equação z" = w. 
Teorema 4. Fixe n E N*. Todo nmero complexo não nulo w possui exatamente n raízes 
n-ésimas complexas distintas, a saber, 
( Arg(w) +2kT\1. (14) Vru cos(Arg(u) + 2ET) +i sen (ATg(UtEN)|, n 
onde k = 0,1,... ,n-1. 
Demonstração. Para cada k ¬ Z, denotemos por *k o número complexo dado em (14). 
Escreva w = Jw](costh + isen t), onde = Argw. Nós estamos procurando todos os 
números complexos z = |z|(cos 6+i sen 0) para os quais é verdade que 
= W. 
Pela fórmula (12), a equação acima se transforma em 
la"cos(n6) +i sen(n0)] = |w|(cos y + i sen/) 
o que equivale a dizer que 
= Jwl, cos(n6) = cOs e sen(n0) = sen . 
mz. 
12 
Niúmeros Complexos Cap. 1 
A primeira condição é satisfeita precisamente quando |z|= Vw|, enquanto as duas 
últimas sao satisfeitas quando n6 = v + 2kT com k E Z, isto é, 6 = * com k e Z. Assim, as raízes n-ésimas de w são os números z para k E Z. Fazendo k ==0,1,... , n-1 obtemos distintas raízes n-ésimas de w. Entretanto, os demais valores de k nos dão apenas repetições das raízes z0, 21,... , Z-1. De fato, tome ke Zarbitrário. Escreva 
+2TI com k E Z. 
n 
k= qn +T comq E Ze0 T< . 
Como 
+2km +2(qn + r)T + 2rT +2qTm 
vemos que z = ZrE {z0,21, ... ,Zn1. 
A raiz n-ésima de w obtida fazendo k = 0 em (14) é chamada a raiz n-ésima principal de w. A notação Vw é reservada para esta raiz. Note que esta notação e coerente com a 
notação Vwl que indica a única raiz real positiva de lw|. Portanto0, 
i- via)i sen 
(15) 
Como a única raiz. n-ésima do zero é o próprio zero, convencionamos que V0 = 0. O 
símbolo w também é usado em lugar de w. 
Observe que todas as 7n raízes n-ésimas de w possuem o mesmo módulo, a saber, V/w|. Logo, elas são representadas por n pontos sobre a circunferência com centro na origem e 
raio Vw|. Além disso, estes pontos estão igualmente espaçados ao longo desta circun- 
ferência devido à relação de seus argumentos. Como exemplo, consideremos asraizes 
cúbicas de 8. Pelo Teorema 4, elas são os números 
2kT 2kT 
2 cos sen 3 para k= 0,1,2. 
Calculando, obtemos z0= 2, z= -1+ iv3 e z -1i3. Temos que zo. 21e 2 
dividem a circunferência de centro (0,0) e raio 2 em trës partes congruentes (Figura 7). 
Figura 7 
A exponencial 13 
6 A exponencial 
Nosso objetivo nesta seção é definir a exponencial e de um número complexo z e 
derivar algumas de suas propriedades. 
Lembremos do Cálculo que a expansão em série de Taylor de e' para t real é 
2 t3 t 
1+t+t 4 T 
Substituindo t por iy (y E R) nesta série e computando formalmente (sem nos preocupar- 
mos com qualquer significado preciso de convergência), obtemos 
e=1 + iy- 2 + 4! 
-( 6 
Essas duas últimas séries devem novamente nos trazer lembranças do Cálculo 
- elas são 
as expansões em série de Taylor de cos y e de seny, respectivamente. Em outras palavras, 
e= cos y +i seny parece uma boa interpretação para eV, 
Além disso, como es*t = e'e 
se s,t E R, é natural esperarmos que etty 
= e"e, Motivados por estas considerações, 
damos a seguinte definição: dado um número complexo z = a+yi, 
definimos a exponencial 
de z por 
e = e(cos y +i seny). 
A notaçãão exp z é freqüentemente usada 
em lugar de e^. Com z = iy obtemos a fórmula 
de Euler: 
e= cos y +2 sen y. 
Como exemplo, 
e=i, eltTi -e e e* = -e"i. 
Vemos diretamente da definição que 
(16) 
le =eez e arg(e*) = {Imz +2kT: k¬Z}. 
Em particular, e z4 0 para todo número complexo 
z. A fórmula (12) implica diretamente 
que (17) (e)" = e 
para quaisquer z E Cene Z. Em particular, (e*) 
=ei para todo z EC. Sez = r+yi 
e w = a+ bi são dois números complexos, a fórmula (10) 
nos mostra que 
ee"= [e"(cos y +i sen y)][¬"(cos b +isen b)] 
= et"[cos(y +b) + i sen(y + 6)]= et" 
14 Nimeros Complexos Cap. 1 
Em outras palavras, 
e+ = ee" (18) 
para todo z, w E C. 
E interessante obsevarmos que, ao contrário do que acontece no casO real, é possível 
termos e = et" com z # w. Por exemplo, e" = e = 1. A proposiça0 abaixo esclarece 
por completo esse fenômeno. 
Proposiçãão 5. Para quaisquer z, w e C, temos que 
e =e se e somente se z = w+ 2kri para algum k E Z. 
Demonstração. Escreva z = r+ yi e w = a +bi com I, y, a, b E R. Se e = e", isto é. 
e(cosy + i sen y) = e" (cosb +i sen b), 
então e = e" (donde r = a) e y = b + 2kT para algumk ¬ Z. Daí, z = w + 2kTi, como 
desejado. 
Reciprocamente, se z = w + 2kTi com k e Z, então 
e= ew+2kmi e"e2ki e"(cos 2km +i sen 2kT) = e". 
Na Seção 4 vimos que todo número complexo n�ão nulo z tem uma representação polar 
z = r(cos 6+i sen 0), onde r = lz|e 6é um argumento de z. Com a noção de exponencial 
esta igualdade pode ser escrita de uma forma mais económica, a saber, 
2 re (19) 
Observemos também que as n raízes n-ésimas de um número complexo não nulo w 
(dadas por (14)) podem ser escritas da seguinte maneira: 
Vu Arg(w)+2km A para k = 0,1,.. . , m- 1. 
Em particular, as n raízes n-ésimas do número 1 (conhecidas como as raízes n-ésimas aa 
unidade) são dadas por 
2ki 
Sk=en para k = 0,1,... ,n-1. 
Notemos também que as n raizes n-ésimas de w podem ser obtidas multiplicando-se a raiz 
n-ésima principal Vw de w pelas raízes n-ésimas da unidade. De fato, 
(Arku ) = C. w (k = 0,1,.. . , 7n 
Por exemplo, se n =2 ent�0 So=1e Si = -1. Logo, as raízes quadradas de w são 
Vw -w. 
$7 Logaritmos 
15 
7 Logaritmos 
Relembremos que um número real s é dito o logaritmo natural (ou o logaritmo na base e) de um número real positivo t (em símbolos, s = Int) quando es t. Imitando este conceito, dizemos que um número complexo uw é um logaritmo de um número complexo não nulo z se e = z. 
Existe uma diferença muito importante entre o caso real e o caso complexo. Enquanto no caso real todo número positivo possui um único logaritmo, veremos a seguir que todo número complexo não nulo possui uma infinidade de logaritmos. Denotamos por log 2 0 conjunto de todos os logaritmos do número complexo z # 0. Assim, para todo número complexo não nulo z, 
log z = {w ¬C:e" = z}. 
(20) 
Vamos agora determinar logz. Se w = In|z| + i6 com 6 E arg z, então et" = en zle20 = ze= z. Por outro lado, suponhamos w E log z. Ent�ão e" = z, o que equivale a dizer que 
ee = e"| = |z| e Imw = Argz + 2kT para algum k E Z, 
donde w = ln|z| + id com 6 E arg z. Portanto, 
log z = {ln |z| + i0:0 E arg z} 
= {ln|z| +i(Arg z +2kT) : k E Z}. (21) 
Fazendo k = 0 em (21) obtemos o logaritmo principal de z, que é denotado por Logz. Assim, 
Logz = ln |z| +i Arg z. 
(22) 
Por (21) e (22), 
log 2 = {Logz +2kTi : k e Z} 
(23) 
Notemos que Logr = lnz para todo número real positivo z. De agora em diante, escreve- 
remos Log r em vez de In a quando t for um número real positivo. Como exemplo, temos 
que 
Log(-1) = mi, Log(e*i) =2+5i, Log(1 + i) = Log V2 +i. 
Definindo 
A B {a -b:a EAebeB} e mA = {ma: a E A} 
para A, B cCem E Z, temos a seguinte 
Números Complexos Cap.1 
16 
Proposição 6. Dados dois 
números complexos 
n�o nulos z1 
e z2, temos que: 
(a) log(z12z2) = log z1 + log 2. 
(b) log(z1/22) = log 21- log 22 
(c) log(z") = mlog z1 para todo m E Z. 
Demonstração. Provaremos (a) e deixaremos (b) 
e (c) ao leitor (veja EP 19). 
(a): Tomemos w E log z1 + log z2. Então, w 
= w1 + w2 com wj 
E log 21 e W2 E log 22. 
Dai, e" =e"leD2 = z122, ou seja, w E log(z1z2). 
Tomemos agora w E lo8(2122). Então, 
por (21), w = Log |z12| + i0 com E arg(z122). Por (11), 
6 = 61 +62 com 61 E argz 
e 62 E arg z2. Assim, w = (Log |z1|+ i01) + (Log lz2| 
+ib2) E log 21 + log z2. 
Terminamos esta seção observando que n�o é sempre 
verdade que Log(z122) = Log z+ 
Log 2, nem que Log(z1/2) = Log21 
- Log 22 e nem que Log(z1) 
= m Log 21 (veja 
ER 9). 
8 Potências complexas 
Relembremos que se t é um número real positivo e a é um número real arbitrário, 
é 
usual definirmos a potência t" pela fórmula 
t= ealogt 
Ao tentarmos imitar esta definição no contexto dos números complexos, com o objetivo 
de definimos a potência z ondezé um número complexo não nulo e A é um número 
complexo arbitrário, nós nos deparamos com o seguinte problema: z tem uma infinidade de 
logaritmos! Qual deles devemos usar? A resposta: todos eles. Mais precisamente, para cada 
w E log z, o número complexo e" é chamado a A-potência de z associada ao logaritmo 
e w = Log 2, entãoo número complexo eu é chamado a A-potência principal de 
z. Para denotarmos esta A-potência especial de z, usaremos a notação familiar z*, Assim, 
neste livro, z^ denotará exclusivamente a A-potência principal de z, isto é: 
z= eLog z (24) 
Como exemplo, temos que 
(-i) = e* Log(-i) = ei)=* - V2-iv2. 2 
9 Exercícios resolvidos 
17 
Como todo logaritmo de z é da forma Log z + 2kri com kE Z, segue que as A-potências 
de z são os números da forma 
e2k7Ai (25) 
com k E Z. Analisaremos a seguir dois casos que merecem um comentário especial. Prl- 
meiramente, vejamos o que ocorre quando A é um número inteiro; digamos A = n. Com0 
eA= 1 para todok e Z, segue de (25) que todas as A-potências de z se reduzem a0 
número complexo z", a n-ésima potência usual dez definida na Seção 2. Com efeito, 
e2kTAi = 1e"Log = z", 
já que n Log z é um logaritmo de z" (Proposição « c). Vejamos agora o que ocorre quando 
A = 1/n com n ¬ N*. Segue de (25) que o conjunto das A-potências de z coincide com o 
conjunto das raízes n-ésimas de z apresentadas no Teorema 4, já que: 
2kA= exp 2kTi Log 
expl(Ars(a) +2kT\ 
exp(Log Vl=|) exp (Arg(z) +2kT )] 
= Elexp |: Arg()+2kr\ 
Em particular, 
z = E. (26) 
Embora seja verdade que zAt" = zAz" (veja ER 10), outras "regras de exponenciação" 
não são válidas em geral. Por exemplo, não é sempre verdade que (zw)^ = z*u e nem 
que (:A)" = z" (veja EP 23). 
9 Exercícios resolvidos 
ER 1. Sejam z e w dois números complexos não nulos. Mostre que: 
(a) Se zw = 1, ent�o w = z*ez = u. 
(b) (:l) = ze (zw)-l = :u 
ER 2. Sejam z = 2+3i e w = 4 -3i. Coloque os seguintes números complexos na forma 
algébrica: 
2+Zu, n(w*) +i Re(w) e 5z/u. 
18 NúmerosComplexos Cap 
ER 3. Mostre que se z = a + yi e w = a+ bi # 0, então 
ar +by ay- brc 
ER 4. Mostre que: 
(a) (2+5)(V2 - i)| = V3 |2 +5| para todo : E C. 
(b)(-1+i)= -8(1 +i). 
(c) (1 +iv3)-10 = 2-11(-1+iv3). 
ER 5. Descreva geometricamente o conjunto S dos números complexoS z que satisfazem 
à 
condição lz - 1|= 2|z + 1|. 
ER 6. Prove que as soluções da equação quadråtica 
az+bz +c = 0, 
onde a, b, c E Cea # 0, são dadas pela fórmula quadrática 
usual, isto é, por 
-b t V62 - 4ac 
2a 
Use esta fórmula para encontrar as soluções de z+4z 
+5 = 0. 
ER 7. É erdade que Vz2= (2) para todo z EC? 
ER 8. Determine os valores de z tais que exp(2z- 1) 
= 1. 
ER 9. Dê exemplos mostrando que 
é possível termos: 
(a) Arg(:) # 
- Argz. 
(b) Arg(zw) # Argz + Arg w. 
(c) Log(zw) # Logz+ Log w. 
(d) Log(z/w) # Logz 
- Log w. 
(e) Log(2) #2 Log z. 
ER 10. Mostre que zAtt = z^zH para quaisquer 
z, A, 4 E Ccom z 4 0. 
S10 Exercícios propostos 19 
10 Exercícios propostos 
EP 1. Conclua a demonstração da Proposição 1. 
EP 2. Sejam 2, w e C. Mostre que se zw =0, então z =0 ou w = 0. 
EP 3. Sejam z1, 22, w1, W2 ¬ C com w1 0e w2 # 0. Mostre que 
3122 -21W2 t 22W1 1 22 2122 
W1 W2 W1W2 W1 W2 w1w2 
EP 4. Sez =1 -iew = 4i, expresse os seguintes números complexos na forma r + y 
(a) 3z +iwz - z0 
(b) 21w+ (1 -i)z + lz21 
(c) (w+z)/(w- z). 
(d) Im(zw2) +16i Re (zw). 
(e) 5i sen(Arg w) + z cos(Arg(3z) 
EP 5. Mostre que a identidade1+z+...+z = (1-z*)/(1-z) vale para todon EN 
e para todo z ¬ C com 2 # 1. 
EP 6. Conclua a demonstração da Proposiç�o 2. 
EP 7. Prove e dê o significado geométrico da identidade 
z +w + |z -w = 21z| +2|w| (z,w E C).
EP 8. Dados dois números complexos não nulos ze w, mostre que |z -+w= |z|+|w se 
e somente se w = tz para algum t > 0. 
EP 9. Conclua a demonstração da Proposição 3. 
EP 10. Represente graficamente cada um dos seguintes subconjuntos do plano complexo: 
(a) {z eC: lz - 1| = lz - il} 
(b){z E C: lz - 1| = Rez). 
(c) EC: Im(2) > 0}.
(d)z eC: Re(1/2) < 1/2). 
Números Complexos Cap.1 
20 
(e){z eC: |a - 4|>|E|} 
(D {z ¬ C: |Argz - Argi| < T/6}. 
(g){z e C: |Arg(z- i)| <m/6. 
EP 11. Compute: 
(a) As raízes quadradas de 1 - iv3. 
(b) As raízes cúbicas de -27. 
(C) As raízes de ordem 4 de -1. 
EP 12. Mostre que a igualdade Vzw = Vz/w não é 
necessariamente verdadeira para z e 
w quaisquer em C. Confirme, porém, que esta 
fórmula é valida se z ou w for um número 
real não negativo. 
EP 13. Ache as soluções das seguintes equações: 
(a) z- 4iz - 4 - 2i = 0. 
(b) iz- (2+4i)z2 -i = 0. 
EP 14. Prove que v2|z| 2 |Re zl+ |Imz| para todo z EC.
EP 15. Para que números complexos z 0 temos que /z/Z = z/|z|? 
EP 16. Sejam z e w dois números complexos não nulos. Mostre que 
Re(2u) = |z||w see somente se argw = arg z. 
EP 17. Seja c E C com |el< 1. Mostre que |z + cl < |1+cz| se e somente 
se |a| 1, 
com igualdade ocorrendo se e somente se z= 1. 
EP 18. Prove que e-E < le| < ell para todo zEC. 
EP 19. Conclua a demonstração da Proposição 6. 
EP 20. Verifique que 
Log(1-z) = Log(1 -z) + Log(1 +2) quando |z| < 1. 
O que podemos dizer de Logl(l Z)/(1+2)] para 
tais valores de z ? 
EP 21. Expresse os seguintes numeros complexos na forma t + yi: 
(a) Log(-e) +i. 
(b) -1)' Logs(-i). 
N
 
N
 
Apêndice 
Soluções dos Exercícios Resolvidos 
1.1. (a) Se zw = 1, então w-l = 1w-l = zuww-l = zezl = 12 = zwz = w. (6) Como2 *z = le (zw)(zw) = zz'wwl = 1, segue de (a) que z = (2")e w (zw)-. 
1.2. Temos que 
+Bw = (2+3i) (2 +3i) + (2 - 3i)(4- 3i) 
= (4 +6i + 6i +9i*) + (8 - 6i - 12i +9i ) 
= (-5+ 12i) +(-1 - 18i) = -6- 6i. 
Como w = (4 - 3i)(4- 3i) =7- 24i e w = w2 =7+ 24i, temos que 
Im(w) + i Re() = -24+7i. 
10+15 Finalmente, 4 3 10 +15i 4+3 
4 3 4+3i 
-5+90i 
25 W 
1.3. Temos que = 2 2W_+ye)(a -bi)ax +by, ay -br 
a2 +62 
= 
w wW w a2+2 a2+b2 
14. (a) Pelas Proposições 2 e 3 do Capítulo 1, 
(27 +5)(V2-i)| = |23 +5|/2-i| = V3 |27+5| = V3 |2: +5| = V3 |22 +5| 
(6) Pela fórmula de De Moivre, 
21T (-1+1) = [V2 (cos+ sen = (V2) (cos+isen 
4 
5T 82 (cos+isen) = -8(1 +i) 
dos 
Apêndice: Soluções dos Exercícios Resolvidoe 194 
(c) Pela fórmula de De Moivre, 
-10T -107 (1+iv3)10 = [2(cos+isen)]-10 = 2-1 (cos + sen 3 3 
=2-10(-1/2 + iv3/2) =2-1(-1+iv3). 
I.5. Escreva 2 = o + yi. Pelas Proposições 2 e 3 do Capítulo 1, 
zES |z - 1|2 = 4|2 + 112 
-2 Re(z) +1 = 41z| +8 Re(a) + 4 
3(c +y") +10z +3 = 0 
16 10 
+++= 9 
+ 5/3) + == 16/9. 
Logo, S é o círculo de raio 4/3 centrado no ponto (-5/3,0) do plano complexo. 
1.6. Usando a técnica de completar quadrados, temos que 
b 
az+bz +c= 0 2+~2 
+=-+ 
(+ = 4a2 
a 
6-4ac 
2a 
24 tV2- 4ac 
2a 2a 
-bt Vb2 - 4ac 
z= 
2a 
-4 tV16 20-4 +2i =-2 ti. Portanto. 
2 
Com a 1,b= 4ec = 5, obtemos 2 =- 
as soluções de z + 4z +5 = 0 são os números -2 +ie -2 -i. 
2 
1.7. Não. Por exemplo, consideremos z =-i. Então 
=- +i sen 22 3 
donde (=;-i Mas 
==-(c+isen +i+ ( 
Apêndice: Soluções dos Exercicios Resolvidos 
195 
1.8. Pela igualdade (23) do Capítulo 1, 
exp(2z 1) = 1 2z -1E log 1 
2z - 1 = Log 1 +2kTi para algum k ¬ Z 
z= 1/2+kri para algum ke Z. 
1.9. (a) Tome z =-1. Então, Arg(z-l) = T# -T = - Arg z. 
(b), (c), (e): Tome z == w = -i. Então Arg(zw) = T # -T = Arg z + Arg we 
Log(zw) = Log(z*) = Ti#-Ti= 2Log z = Log z + Log w. 
(d) Tome z = -ie w= i. Ent�o Log(z/w) = Ti # -Ti = Logz - Log w. 
1.10. A+ = etu) Log 7 = eALog z+u Log z = eLog=e Log = zz 
2.1. Temos que 
E0)= ao +a10+..+ an ( = o+a1~0++an 
= ao +aZ0 + + anz = f (z0) = 0 =0, 
pois f(z0) = 0 e a; E R para todo 0 i<n.
2.2. Como 
IS() = |le"| = eez para todo z ¬C, 
temos que f(R) C C. Para verificarmos que CC f(R), 
fixamos wo ¬ Ce resolvemosa 
equação Wo = e~ para z em termos de wo. 
As soluções são 
z = Log |wol+i(Arg wo +2kr) para k 
E Z. 
deja zo uma dessas soluções. Então, z0 
E R(pois wo= e")e wo = f(z0). 
Agora, se z E S então f(z) = e 
= eRe e lmz = eke *e30 E L. Logo, f(S) 
C L. 
or outro lado, dado wo E L, temos que zo 
= Log |wol + bi E Se f{z0) 
= wo. Assim, 
C f(S). Portanto, f(S) = L, como queríamos 
demonstrar.