Analise Complexa

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Critérios de avaliação 
	Categorias
	Indicadores
	Padrões
	Classificação
	
	
	
	Pontuação máxima
	Nota do tutor
	Subtotal
	Estrutura
	Aspectos organizacionais
	· Índice
	0.5
	
	
	
	
	· Introdução
	0.5
	
	
	
	
	· Discussão
	0.5
	
	
	
	
	· Conclusão
	0.5
	
	
	
	
	· Bibliografia
	0.5
	
	
	Conteúdo
	Introdução
	· Contextualização (Indicação clara do problema)
	2.0
	
	
	
	
	· Descrição dos objectivos
	1.0
	
	
	
	
	· Metodologia adequada ao objecto do trabalho
	2.0
	
	
	
	Análise e discussão
	· Articulação e domínio do discurso académico (expressão escrita cuidada, coerência / coesão textual)
	3.0
	
	
	
	
	· Revisão bibliográfica nacional e internacional relevante na área de estudo
	2.0
	
	
	
	
	· Exploração dos dados
	2.5
	
	
	
	Conclusão
	· Contributos teóricos práticos
	2.0
	
	
	Aspectos gerais
	Formatação 
	· Paginação, tipo e tamanho de letra, paragrafo, espaçamento entre linhas
	1.0
	
	
	Referências Bibliográficas
	Normas APA 6ª edição em citações e bibliografia
	· Rigor e coerência das citações/referências bibliográficas
	2.0
	
	
Índice
Critérios de avaliação	1
Metodologia	4
2. Desenvolvimento de Taylor em funções complexas	8
3. Representação gráfica de números complexos	8
Conclusão	10
Referências Bibliográficas	11
Introdução 
A análise harmónica e complexa, constituem duas áreas da Análise Matemática que dedicam a descrição de funções, tanto reais como complexas, sob diferentes aspectos que são bastante úteis no estudo dessas funções. As séries de potências são comummente utlizadas para expressar funções sob forma de somas infinitas que permitem efectuar, sobre funções cujas expressões são difíceis de se operar, facilmente operações como derivada ou integral, constituindo assim importantes ferramentas na analise de funções. 
O presente trabalho tem como principais temas Séries de Potências de Taylor e de Laurent em Funções Complexas, cujo objectivo, para além de consistir na resolução de alguns exercícios sobre funções complexas, é elaborar uma abordagem que descreve diferentes aspectos relacionados a esses temas.
O trabalho enquadra-se na cadeira de Análise Harmónica e Complexa. Salientar que o trabalho tem como foco a recolocação de exercícios, com intuído de consolidar os conhecimentos apreendidos ao longo da cadeira, bem como, desenvolver a capacidade de pesquisa e síntese.
Todavia, a resolução exercícios são enquadrados em duas componentes. Sendo a, questões teóricas-argumentativas, na qual, visa compreender no que diz respeito do conteúdos teóricos da cadeira de Análise Harmónica e Complexa. Outrora, a segunda parte é composta pela componente prática, com intuito de aplicar os conhecimentos adquiridos em problemas concretos. 
Quanto a estrutura, este é composto por: capa, contracapa, índice, introdução, desenvolvimento, conclusão e respectivas referências bibliográficas.
Metodologia 
Para realizar qualquer pesquisa, o investigador tem de se apoiar num conjunto de princípios ou métodos para se orientar e garantir assim a validade da informação encontrada, ou seja, é necessário aplicar determinada metodologia, dado que, como opinam Pardal & Correia (1995), para toda a investigação é necessária um método que não é mais que uma caracterização do percurso adequado ao objecto de estudo. Entretanto, para essa pesquisa foi usada a análise documental.
1. Teorema de Laurent sobre desenvolvimento de funções analíticas em séries de potências 
Teorema: Dado conjunto com . analítica em . Então podemos escrever:
É desenvolvimento de em séries de Laurent, em que as séries convergem absolutamente em e uniformemente em com . Se é uma circunferência de centro e raio tal que , então os coeficientes das séries são dados por:
E 
Este desenvolvimento quando possível é único.
Desenvolvimento: Seja . Pela fórmula integral de cauchy temos:
Usando o teorema com e como na figura abaixo:
a) Para no interior de temos:
Sabe-se que , converge uniformemente em sobre porque a função é analítica.
Assim a igualdade:
Pode ser integrada termo a termo, visto que convergência é uniforme, i.e.,
Assim a série converge para no interior de , logo converge uniformemente nos discos contidos em em particular .
b) Para no exterior de temos:
Sabe-se que , converge uniformemente com respeito a sobre . Assim 
Este é convergente para no exterior de . Prova-se que a convergência é uniforme no exterior de usando lema de Abel-Weierstrass. 
Assim de a) e b) concluímos que a convergência é uniforme . Portanto, provamos a existência de série de Laurent.
Para provar a unicidade suponhamos que temos o desenvolvimento 
A qual converge uniformemente nos anéis interiores a A. Assim
As quais convergem uniformemente sobre . Integrando termo a termo e tendo 
Temos
Isto é, os coeficientes são únicos, logo o teorema está provado.
Exemplo: Desenvolve em série de Laurent a função 
Em termos da origem, indicando a região de validade desse desenvolvimento.
Resolução: é analítica em . Tem-se
Valido em 	. Onde , , se e 
2. Desenvolvimento de Taylor em funções complexas
Teorema: Seja analítica em . Seja e . Então para , temos que
A esta série chama-se série de Taylor de em torno de .
Exemplo: As seguintes funções têm desenvolvimentos validos em .
a) 
b) 
3. Representação gráfica de números complexos
 a) ; e 
 ; e 
b) , e 
, e 
Conclusão 
Chegado ao fim do trabalho, e em jeito de conclusão, é de salientar que o trabalho foi executado segundo os padrões recomendado pela instituição, no que diz respeito aos trabalhos de cálculo.
Durante a realização, para além de se resolver alguns exercícios sobre números complexos, verificou-se que o teorema de Laurent para funções de variável complexa sugere que dado conjunto com . analítica em , então a função pode se escrever da seguinte maneira:
E que as séries de potências de Taylor são definidas de tal modo que dada um função analítica em e e , é válido que , temos que
Entretanto, foram várias as dificuldades enfrentadas longo da resolução dos exercícios propostos pelo docente, porem, houve muito aprendizado ao longo da execução do trabalho acima supracitado, através das pesquisas e consultas feita para o alcance do almejado.
Referências Bibliográficas 
Ávila, G. (1990), Variáveis complexas e aplicações , LTC, Rio de Janeiro-Brasil;
Beirão, J.C. (1993) Análise de funções de variável complexa, ISP, Maputo-Moçambique; 
Elissev, A. [et al.]. (1999), Funções de uma variável Complexa Parte I, UEM, Maputo-Moçambique;
Elissev, A. [et al.]. (1999), Funções de uma variável Complexa Parte II, UEM, Maputo-Moçambique;
Heinrich A. B. T. (1937), der mathematiker und philosoph; beiträge zur; wissenschaftsgeschichte der zeit des Newton-Leibniz-streites,. Würzburg, K. Triltsch;
Oliveira, E. C. (1998), Funções Especiais com Aplicações, Editora Livraria da Fisica;
Steven C. C. (2013 ), Métodos Numéricos Aplicados com MATLAB® para Engenheiros e Cientistas - 3.ed. McGraw Hill Brasil;
Hoffman, M. J. & Marsden, J. E. (1987), Basic Complex Analysis. New York, USA: W. H; Freeman and Company.
Rudin, W. (1976), Principles of Mathematical Analysis. 3a ed. USA: McGraw-Hill;
Spiegel, M. R. (1973), Variáveis Complexas. Brasil: McGraw-Hill;
Soares, M. G. (1998),Calculo em uma Variavel Complexa. Brasil: SBM.