1-TRABALHO DE CAMPO DE ANÁLISE HARMÓNICA e COMPLEXA

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UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MOÇAMBIQUE 
INSTITUTO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO DAS ACTIVIDADES DE 1O TRABALHO DE CAMPO DE ANÁLISE 
HARMÓNICA E COMPLEXA 
 
 
 
Robelho Antónia Aguacheiro 
Código: 708202221 
Turma: B 
 
 
 
 
Curso: Licenciatura em Ensino de Matemática 
Disciplina: Análise Harmónica e Complexa 
Ano de Frequência: 4º Ano 
Tutor: Dr. Carlito Oliva Chacanha 
 
 
 
 
 
 
 
Tete, Abril de 2023 
2 
 
Critérios de avaliação (disciplinas de calculo) 
Categorias Indicadores 
Padrões 
Classificação 
Pontuação 
máxima 
Nota 
do 
tutor 
Subtotal 
 Índice 0.5 
  Introdução 0.5 
 Actividades 0.5 
Conteúdo Actividades
2
 
 Actividade 1 
17.5 
 
 Actividade 2 
 Actividade 3 
 Actividade 4 
 Actividade 5 
 Actividade 6 
 Actividade 7 
Aspectos 
gerais 
Formatação 
 Paginação, tipo e 
tamanho de letra, 
paragrafa, espaçamento 
entre linhas 
1.0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Folha para recomendações de melhoria: A ser preenchida pelo tutor 
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4 
 
Índice 
capitulo I: introdução .................................................................................................................................. 5 
1.1. Introdução ............................................................................................................................................. 5 
1.2. Objectivos: ............................................................................................................................................ 5 
1.2.1. Objectivo geral: ................................................................................................................................. 5 
1.2.2. Objectivos específicos: .................................................................................................................... 5 
1.3. Metodologia .......................................................................................................................................... 6 
1.3. Estrutura do trabalho ........................................................................................................................... 6 
Capitulo II: resolução das actividades ...................................................................................................... 7 
Capitulo III: considerações finais e citações ..........................................................................................14 
3.1. Conclusão ............................................................................................................................................14 
3.2. Referências bibliográficas .................................................................................................................15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
CAPITULO I: INTRODUÇÃO 
1.1. Introdução 
Desde o século XVIII, a Análise Complexa tem se mostrado uma das mais profícuas teorias no 
contexto global da Matemática. Através dela foi possível, por exemplo, dar um sentido à 
afirmação “toda equação polinomial possui ao menos uma solução”, estabelecer relações 
importantes entre funções elementares (como e
ix
 = cos x + isen x), compreender melhor as 
funções definidas por séries de potências, entre outros feitos igualmente relevantes. Dentre os 
matemáticos importantes que contribuíram para o seu avanço, podemos mencionar Euler, Gauss, 
Cauchy, Abel, Riemann, Weierstrass, Picard, Poincaré, Hilbert, entre outros. 
A Análise Complexa destaca-se no desenvolvimento de outras áreas do conhecimento, como 
Engenharias e Física. Neste sentido, podemos citar sua importância para a dinâmica dos fluidos, 
para a teoria do potencial, para as funções harmónicas, para a electrostática e para a gravitação. 
Além disso, a Análise Complexa tem contribuído para o desenvolvimento de outras áreas da 
matemática, como Equações Diferenciais Parciais, Cálculo das Variações, Análise Harmónica, 
entre outras. 
O presente trabalho de Analise Harmónica e Complexas, ira fazer-se a resolução de alguns 
exercícios relacionados com aplicação desta disciplina na vida prática e cálculos de algumas 
equações complexas assim como a demonstração de algumas funções. 
1.2. Objectivos: 
1.2.1. Objectivo geral: 
 Resolver os exercícios da cadeira de Análise Harmónica e Complexa correctamente. 
1.2.2. Objectivos Específicos: 
 Resolver correctamente os exercícios envolvendo funções Analíticas; 
 Resolver correctamente os exercícios envolvendo funções complexas de variável 
complexa; 
 Calcular a derivação e analiticidade. 
 
 
 
 
6 
 
1.3. Metodologia 
Metodologia, de acordo com PRODANOV e FREITAS (2013:14), “é a aplicação de 
procedimentos e técnicas que devem ser observados para construção do conhecimento, com o 
propósito de comprovar sua validade e utilidade nos diversos âmbitos da sociedade”. 
Para o desenvolvimento do presente trabalho foram utilizadas pesquisas bibliográficas. A 
pesquisa bibliográfica baseou-se na seguinte obra: BEIRÃO, J.C. Análise de funções de variável 
complexa, ÁVILA, Geraldo. Variáveis complexas e aplicações, LTC, Rio de Janeiro Brasil, 
1990. Também foi usado outras obras que estão no segundo plano, como exercícios resolvidos de 
Análise Matemática II. 
1.3. Estrutura do trabalho 
O presente trabalho este organizado de seguintes maneiras: 
Capitulo I: Introdução inclui introdução, objectivos, metodologia e estrutura do trabalho; 
Capitulo II: resolução de actividades do trabalho; 
Capitulo III: considerações finais e citações. 
 
 
7 
 
 CAPITULO II: RESOLUÇÃO DAS ACTIVIDADES 
Número 01 
Encontre todas as soluções complexasda equação ( ) . 
Resolução 
 ( ) ( ) 
 
 
 
Tendo esta expressão, é possível multiplicar em ambos membros pela função exponencial de 
euler: ( ) ( )
 
 
Agora, é possível fazer troca de variável e resolver a equação quadrática resultante: 
 
 
 √ 
 
 
 ( ) √( ) ( )
 
 
 √ 
 
 ( √ ) 
Para achar os valores de z deve-se lembrar a troca de variável feita com a exponencial de euler. 
 ( √ ) ( ) ( √ ) 
 
 
 ( √ ) 
Devindo pela unidade imaginária em ambos membros é possível achar o valor de z: 
 
 
 
 ( √ ) 
Como a função seno é periódica, o valor de z é congruente após adicionar entao tem-se: 
 
 
 
 ( √ ) 
 
 
 ( √ ) 
Número 02 
Encontre todas as soluções complexas da equação 
 
 
Resolução 
 , ( ) ( )- 
Se entao 
 , ( ) ( )- 
 
 
 
Número 03 
Seja Dada por ( ) , ( ) 
a) Prove que f é diferenciável (no sentido complexo) em todos os pontos da recta 
 
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Resolução 
Temos ( ) e ( ) logo 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
Verificamos que equações de cauchy-Riemann são valida em pontos ( ) que ou seja 
na recta de equação como as funcoes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 são continuas em todos os pontos, 
pelo teorema de cauchy-Riemann f é diferenciável nos pontos da recta é dada por ( ) 
 
b) Prove que f não é holomorfa em nenhum aberto do plano complexo. 
Resolução 
Para f for holomorfa tem satisfazer as equações de Cauchy-Riemann 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
Para questão temos as derivadas da alínea anterior que são: 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a formula que satisfaz teremos: 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 ( ). Logo não satisfaz a condição portanto não é holomorfa 
Número 04 
Qual é o raio de convergência da série de potências ∑ , ( )- ? Justifique. 
Resolução 
O raio de convergência de uma série é o valor R tal que a série é absolutamente convergente se 
| | < R e divergente se | | > R. Se | | = R, nenhuma conclusão geral pode ser obtida, e uma 
análise mais detalhada deve ser considerada. 
 
 
, ( )- 
 
 
 
 | | | | 
 
Teste de raiz 
 
 
 
 
| 
 
 | 
Teste de razão 
 
 
 
 
| ( )| 
 
| ( ) |
| ( )|
 
 
 
9 
 
Número 05 
Indique o domínio das seguintes funções complexas de variável complexa: 
a) ( ) 
 
 
 
Resolução 
 * + * + * + 
b) ( ) ( ) ( ) 
Resolução 
O domínio da função real de variável real logaritmo neperiano, ( ) é o conjunto . Logo o 
conjunto dos pontos pontos para os quais faz sentido calcular ( ) ( ) é: 
* +, ou seja, é o conjunto dos pontos do semi-plano direito aberto do plano 
complexo. 
Número 06 
Determine nas funções a parte real e a parte imaginária das seguintes funções complexas de 
variável complexa: 
a) ( ) ̅ 
Resolução 
Seja 
Temos: ( ) ( ) ( ) ( ) 
Logo: ( ) parte real e ( ) ( ) parte imaginária 
b) ( ) | | 
Resolução 
 ( ) | | 
Logo: ( ) parte real e ( ) parte imaginária 
Número 07 
Para as funções do exercício 6 (o anterior), determine ( ) 
Resolução 
a) ( ) ( ) 
b) Então ( ) e ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
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Número 08 
Determine o conjunto dos números complexos que satisfazem as seguintes condições: 
a) Re( ̅ ) 
Resolução 
Seja 
Re( ) 
A condição Re( ̅ ) representa o conjunto dos pontos do plano complexo na recta vertical 
de equação 
b) | | | | 
Resolução 
Seja 
Temos:| | | | √( ) √( ) 
√( ) √( ) ( ) ( ) 
 √( ) √( ) 
 √( ) 
 
 
 
 
 
 
Atendendo a que elipse 
 
 
 
 
 
 , não intersecta o semi-plano direito , podemos 
concluir que o conjunto dos números complexos que satifazem a condicao | | | | 
é vazio. 
Número 09 
Averigúe se os conjuntos de números complexos, caracterizados pelas seguintes condições, são 
abertos ou fechados, conexos ou não conexos: 
a) |z| < 2 
Resolução 
 A condição |z| < 2 representa o interior do círculo de centro em z = 0 e raio r = 2. 
Trata-se de um conjunto aberto e conexo. 
 
 
 
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b) | ( )| ⋀ | | 
Resolução 
Se z = x + iy então | ( )| ⋀ | | |y| > 1 |z| < 5 (y < -1 ∨ y > 1) |z| < 5 
Trata-se da intersecção de cada semi-plano, y < -1 ou y > 1, com o interior do círculo de 
centro em z = 0 e raio r = 5. Logo, o conjunto dos pontos caracterizados pela condição 
| ( )| ⋀ | | é um conjunto aberto e não conexo. 
Número 10 
Achar a derivada da função ( ) ( ) 
Resolução 
 ( ) ,( ) - ( ) ( ) ∀z C 
Número 11 
Verifique as equações de Cauchy-Riemann para a função ( ) 
Resolução 
A função ( ) tem parte real ( ) e a parte imaginaria 
 ( ) como: 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
As equações de Cauchy-Riemann são validas em todos os pontos do domínio 
Número 12 
Mostre que a função ( ) não é analítica em ponto algum. 
Resolução 
Temos ( ) e ( ) 
Logo: 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
Verificamos que equações de cauchy-Riemann são valida em pontos ( ) que 
ou seja na recta de equação como as funcoes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 são continuas em 
todos os pontos, pelo teorema de cauchy-Riemann f é diferenciável nos pontos da recta 
 é dada por ( ) 
No entanto, dado qualquer ponto desta recta, não existe uma vizinhança desse ponto na qual 
as equações de Cauchy-Riemann sejam válidas. Logo, f não é analítica em nenhum ponto 
do seu domínio 
 
12 
 
Número 13 
Considere a função ( ) . Determine os pontos onde f é diferenciável e mostre que 
f não é analítica em nenhum ponto do seu domínio. Determine ainda a expressão da derivada nos 
pontos em que ela existe. 
Resolução 
Temos ( ) e ( ) logo 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
Verificamos que equações de cauchy-Riemann são valida em pontos ( ) que ou 
seja na recta de equação como as funcoes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 são continuas em todos os 
pontos, pelo teorema de cauchy-Riemann f é diferenciável nos pontos da recta é dada por 
 ( ) 
No entanto, dado qualquer ponto desta recta, não existe uma vizinhança desse ponto na qual 
as equações de Cauchy-Riemann sejam válidas. Logo, f não é analítica em nenhum ponto 
do seu domínio 
Número 14 
Mostre que as equações de Cauchy-Riemann, escritas em coordenadas polares, são dadas por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
Temos a seguinte relação entre as coordenadas rectangulares e polares: 
 ( ) ( ) 
Com tal, num ponto ( ) ( ) ( ) 
Temos: 
 
 
( ) 
 
 
( ) ( ) 
 
 
( ) ( ) 
 
 
( ) 
 
 
( ) , ( )- 
 
 
( ), ( )- 
Atendendo as equações de cauchy-Riemann em coordenadas rectangulares 
 
 
( ) 
 
 
( ) ( ) 
 
 
( ) ( )
 
 
 
[
 
 
 ( ) 
 
 
( ) ( )] 
 
 
 
 
( ) 
De modo análogo, temos: 
13 
 
 
 
( ) 
 
 
( ), ( )- 
 
 
( ) ( )( ) 
 
 
( ) ( ) 
 
 
( ) ( ) 
Donde, atendendo novamente as equações de cauchy-Riemann em coordenadas rectangulares 
 
 
( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
( ) ( )
 
 
 
[ 
 
 
( )( ) ( ) 
 
 
( )( ) ( )]
 
 
 
 
 
( ) 
 
14 
 
CAPITULO III: CONSIDERAÇÕES FINAIS E CITAÇÕES 
3.1. Conclusão 
Findo o trabalho conclui-se que a consideração de números complexos não só apareceu como 
necessária para resolver certas equações polinomiais do 2
o
 grau com coecientes reais como 
forneceu todas as possíveis soluções de equações polinomiais de qualquer grau, tanto com 
coecientes reais como complexos. A 1
a 
formulação clara deste resultado, hoje conhecido por 
Teorema Fundamental da Álgebra, foi publicada por L. Euler em 1743 para o caso particular de 
equações polinomiais com coecientes reais e a propósito da resolução de equações 
diferenciais lineares com coecientes constantes. O Teorema Fundamental da Álgebra e as 
correspondentes observações históricas aparecem mais detalhadamente no capítulo 6, em que é 
provado com Análise Complexa. 
O termo número complexo deve-se a C.F. Gauss tal como a disseminação da concepção dos 
números complexos como pontos de um plano, no seguimento de uma publicação sua em 1831. 
Esta relação está implícita na tese de doutoramento de C.F. Gauss de 1799 sobre o Teorema 
Fundamental da Álgebra e aparece claramente numa carta que enviou a F.W. Bessel em 
1811. 
 
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3.2. Referências bibliográficas 
I. BEIRÃO, J.C. Análise de funções de variável complexa, ISP, Maputo Moçambique, 1993 
II. ÁVILA, Geraldo. Variáveis complexas e aplicações, LTC, Rio de Janeiro Brasil, 1990 
III. ELISSEV, Alexandre...[et al.]. Funções de uma variável Complexa Parte I, UEM, Maputo 
Moçambique, 1999 
IV. ELISSEV, Alexandre... [et al.]. Funções de uma variável Complexa Parte II, UEM, 
Maputo Moçambique, 1999