Cálculo Diferencial - Lista de exercícios 04

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Curso de Cálculo – Prof. Flaudio – 2015.1 – Lista 4 
 
26 – A FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 Seja a um número real positivo e diferente de 1. A função dada por é chamada de função 
exponencial de base a. 
Os exemplos mais simples de funções exponenciais são dadas por: e , cujos gráficos 
estão representados nas figuras a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De um modo intuitivo, vamos definir: , , e . E de um modo 
geral, vamos admitir que o gráfico de toda função dada por , com a > 1, comporta-se da mesma forma que o 
gráfico da função , esboçado na figura 1, enquanto que o gráfico de toda função da forma , com 0 
< a < 1, comporta-se de forma idêntica ao gráfico da função , esboçado na figura 2. Além disso, vamos 
assumir que se, 0 < a ≠ 1, então para todo número real p, desde que exista. 
 
27 – A FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
Seja a um número real positivo e diferente de 1. A função dada por é chamada de 
função logarítmica de base a. 
 
A função logarítmica, assim como a função exponencial são funções bijetivas e uma é a inversa da outra. 
 
Nas figuras a seguir, estão representados os gráficos das funções (Figura 3) e 
(Figura 4). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 f : R→ R+
∗ f(x) = ax
xf(x) 2=
x1f(x)
2
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
x
x
lim 2
→+∞
= +∞ x
x
lim 2 0
→−∞
=
x
x
1lim 0
2→+∞
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
x
x
1lim
2→−∞
⎛ ⎞ = +∞⎜ ⎟⎝ ⎠
xf(x) a=
xf(x) 2= xf(x) a=
x1f(x)
2
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
 
lim
x→p
af(x) = a
lim
x→p
f(x)
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 
lim
x→p
f(x)
 f : R+
* → R f(x) = loga x
f(x) = log2 x 1
2
f(x) log x=
FIGURA 1 FIGURA 2 
 
FIGURA 3 FIGURA 4 
 
 27 
 
De uma forma intuitiva, também vamos definir: , , e
. 
 
 
De um modo geral, vamos assumir que o gráfico de toda função logarítmica dada por , com a > 
1, comporta-se da mesma forma que o gráfico da função , esboçada na figura 3, enquanto que o gráfico 
de toda função logarítmica dada por , com 0 < a < 1, comporta-se de forma idêntica ao gráfico da função 
, esboçado na figura 4. Além disso, vamos assumir que se 0 < a ≠ 1, então , 
desde que exista e seja positivo. 
 
28 – O NÚMERO DE EULER 
Um dos números mais importantes da Matemática é conhecido como número de Euler (pronuncia-se: óiler). 
Esse número representado pela letra e, é a base do que vamos chamar de Função Exponencial Natural e também a 
base dos logaritmos naturais. 
 
Considere a função Vamos atribuir alguns valores a x e em seguida, com a 
ajuda de uma calculadora, calcular o y correspondente. Temos então a seguinte tabela: 
 
x 
100 2,70481382... 
1.000 2,71692393... 
10.000 2,71814592... 
100.000 2,71826823... 
1.000.000 2,71828046... 
10.000.000 2,71828169... 
100.000.000 2,71828181... 
 
De um modo intuitivo, observando esta tabela, percebemos que tomando os valores de x muito grande, ou 
seja, fazendo x tender a “mais infinito”, o valor de y tende ao número 2,7182818.... 
 
Usando a linguagem dos limites, podemos demonstrar que . 
 
Vamos definir o número de Euler como sendo o Assim, . 
 
Queremos deixar bem claro que isto é apenas uma ideia intuitiva. Existe muito a se fazer, e para se ter um 
estudo mais completo sobre o número e, faltam muitas coisas. Dentre elas, a mais importante é provar que tal 
número realmente existe. Outra, seria provar que e é irracional. Mas, não é este o nosso propósito aqui. 
 
 É interessante observar que na função , quando x tende a “menos infinito”, f(x) 
continua se aproximando do número e = 2,718282.... 
 
A figura 5 a seguir, mostra o esboço do gráfico da função . 
 
2x
lim log x
→+∞
= +∞ 2
x 0
lim log x
+→
= −∞ 1x
2
lim log x
→+∞
= −∞
1
x 0 2
lim log x
+→
= +∞
af(x) log x=
2f(x) log x=
af(x) log x=
1
2
f(x) log x=
 
lim
x→p
loga f(x) = loga limx→p
f(x)
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 
lim
x→p
f(x)
x1f(x) 1 ,x 0 e x 1.
x
⎛ ⎞= + ≠ ≠ −⎜ ⎟⎝ ⎠
x1y 1
x
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
x
x
1lim 1 2,71828182...
x→+∞
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠
 
lim
x→+∞
1+ 1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
.
x
x
1e lim 1 2,71828182...
x→+∞
⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠
x1f(x) 1 ,x 0 e x 1
x
⎛ ⎞= + ≠ ≠ −⎜ ⎟⎝ ⎠
 
f(x) = 1+ 1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
,x ≠ 0 e x ≠ −1
 28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atenção! 
Ι – A função definida por é chamada de função exponencial natural. 
ΙΙ – A função definida por f(x) = lnx, onde lnx representa o logaritmo de x na base e, é chamada de função 
logarítmica natural. 
 
29 – ALGUMAS PROPRIEDADES INTERESSANTES 
Ι – 
 
lim
x→+∞
1+ 1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
tx
= et e 
 
lim
x→−∞
1+ 1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
tx
= et 
ΙΙ – 
 
lim
x→+∞
1+ t
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
= et e 
 
lim
x→−∞
1+ 1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
tx
= et 
ΙΙΙ – 
 
lim
x→0
(1+ x)
1
x = e 
ΙV – 
 
lim
x→0
ex −1
x
= 1 
V - 
 
lim
x→0
ax −1
x
= lna 
 
30 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1.Encontre os limites a seguir: 
 
 
 
 
 f : R→ R+
∗ xf(x) e=
 f : R+
∗ → !
a) lim
x→−∞
1
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
b) lim
x→+∞
(0,3)x
c) lim
x→0
2
3x+2
x−1
d) lim
x→1
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1−x2
x−1
e) lim
x→1
3
x−1
x −1
FIGURA 5 
 
 29 
 
 
 
 
 
2. Calcular: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
e) 
 
f) 
 
3. Dada a função , podemos afirmar que é igual a: 
a) b) c) d) e) 
 
4. Dada a função , então, o valor de é igual a: 
a) 7 b) 2 c) 5.log2 d) log2 e) 8 
 
 
 
f) lim
x→2
log2
x2 − 4
x − 2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
g) lim
x→+∞
log5 x
h) lim
x→0+
log0,1x
i) lim
x→3
log 6x + 2
4x + 3
 
j) lim
x→+∞
1+ 1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3x
k) lim
x→−∞
1+ 3
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
l) lim
x→−∞
1+ 1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x+2
x
x 0
2 1lim
4x→
−
 
lim
x→0
1+ 2x( )1x
2
x
x 0
xlim 1
2→
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
( )
4
x
x 0
lim 1 4x
→
+
2x
x 0
e 1lim
x→
−
2x
x 0
2 1lim
4x→
−
 f(p) = e
1+p2p
 
lim
p→0
f(p)
 ee
 
e( )e e e
 
e3( )e e e3
 
f(x) = 10
x + 5, se x ≠ log2
2, se x = log2
⎧
⎨
⎪
⎩⎪ 
lim
x→log2
f(x)
 30 
 
5. Calcule 
a) b) c) d) e) 
 
6. Calcule 
a) b) c) d) e) 
 
31 – GABARITO DE 30 
1. a) b) 0 c) 
 
1
4
 d) 4 e) 9 
 f) 2 g) h) i) 
 
log 43 j) e
3 
 k) e3 l) e 
 
2. a) 
 
ln2
4
 b) e2 c) e d) e16 e) 2 
 f) 
 
ln2
2
 
 
3. c 4. a 5. e 6. b 
 
 
32 – FUNÇÕES CONTÍNUAS 
Geometricamente falando, dizemos que uma função y = f(x) é contínua quando podemos desenhar o seu 
gráfico numa folha de papel sem tirar a ponta do “lápis” dessa folha. Ou seja, quando não há saltos ou rompimentos 
nesse gráfico. 
 
De um modo formal, dizemos que uma função f é contínua em p se, e somente se as seguintes condições 
forem satisfeitas: 
 
(i) f(p) existe; 
(ii) existe; 
(iii) 
 
Se, pelo menos uma, dessas condições falhar, a função f será descontínua em p. 
 
De um modo geral, dizemos que uma função f é contínua em todo seu domínio Df, se f é contínua em cada x ∈ Df. 
Além disso, em todo o nosso curso de cálculo, admitiremos que: 
 
Ι – Toda função polinomial é contínua. 
ΙΙ – Toda função racional é contínua em seu domínio. 
ΙΙΙ – Todas as funções trigonométricas e suas respectivasinversas são contínuas em seus respectivos domínios. 
ΙV – As funções exponenciais e as funções logarítmicas são contínuas em seus respectivos domínios. 
V – Se f e g são funções contínuas, então f + g, f – g, f.g e f/g são contínuas. No último caso, é claro que g ≠ 0. 
 
33 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Verifique se a função f(x) =
2x − 3, se x ≤1
x2, se x >1
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
 é contínua em x = 1. 
 
2. Verifique se a função 
 
f(x) =
x2 − 4x + 3
x − 3
, se x ≠ 3
2, se x = 3
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
 é contínua em x = 3. 
 
 
lim
x→0
e5x −1
x
 e5 0 e 1 5
 
lim
x→+∞
[log(x +1)− logx]
+∞ 0 1 −1 −∞
+∞
+∞ −∞
x p
lim f(x)
→
x p
lim f(x) f(p).
→
=
 31 
3. Mostre que a função 
 
f(x) =
2x − 3, se x < −2
x − 5, se− 2 ≤ x ≤1
3 − x, se x >1
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
 é contínua em x = –2 e descontínua em x = 1. 
 
4. Dada a função 
 
f(x) =
3x + 7, se x ≤ 4
kx −1, se x >1
⎧
⎨
⎩
. Encontre o valor de k sabendo que f é contínua em todos os valores de x. 
 
5. Dada a função definida por . Determine o valor de k de modo que f seja contínua 
em todo o seu domínio. 
 
34 – GABARITO DE 33 
1. f não é contínua. 
2. f é contínua. 
4. k = 5. 
5. k = 1. 
 
35 – O TEOREMA DO CONFRONTO (TEOREMA DO SANDUÍCHE) 
 Sejam f, g e h funções com o mesmo domínio D e f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x em D. Se p é um número real, 
não necessariamente em D, tal que , então 
 
 
EXEMPLO 1 
Calcular . 
 
SOLUÇÃO 
Para calcular este limite, lembre-se que qualquer que seja θ. Assim, e . 
Agora, como , pelo teorema do sanduíche, 
 
EXEMPLO 2 
Admita que f(x) é uma função que satisfaz a seguinte condição: para todo x ≠ 0. Nestas 
condições, determine . 
 
SOLUÇÃO 
Veja que e , então pelo teorema do sanduiche, . 
 
 
36 – LIMITE TRIGONOMÉTRICO FUNDAMENTAL 
 
 
lim
x→0
senx
x
= 1 
 
A figura 6 mostra o gráfico da função , com x pertencente ao intervalo [–10, 10]. Observe, no gráfico, que 
enquanto x tende a zero, tende a 1. 
 
 
f x( ) =
x2 − 2x +1
x −1
, se x ≠ 1
logk, se x = 1
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
x p x p
lim f(x) lim h(x) L
→ →
= =
x p
lim g(x) L.
→
=
x 0
1lim x.cos
x→
1 cos 1− ≤ θ ≤ 11 cos 1
x
− ≤ ≤ 1x x.cos x
x
− ≤ ≤
x 0 x 0
lim ( x) lim x 0
→ →
− = =
x 0
1lim x.cos 0.
x→
=
2 2x x1 f(x) 1
4 2
− ≤ ≤ +
x 0
lim f(x)
→
2
x 0
xlim 1 1
4→
⎛ ⎞
− =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2
x 0
xlim 1 1
2→
⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ x 0
lim f(x) 1
→
=
senxf(x)
x
=
senx
x
 32 
 
 
 
 
 
 
 
Atenção! No que segue, vamos admitir que as funções seno e cosseno são tais que e 
 para todo número real p. 
 
 
Agora, estamos em condições de provar que 
 
lim
x→0
senx
x
= 1. 
 
Na nossa demonstração, vamos supor que x > 0, isto é suficiente, pois como a função 
 
f(x) = senx
x
 é uma 
função par, o limite para x < 0 terá o mesmo valor. 
Sendo assim, observe a figura 7 a seguir: nela temos uma circunferência de centro na origem do plano cartesiano e 
raio igual a 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veja que a área do triângulo OAC é menor ou igual que a área do setor circular OBC, a qual é menor ou igual 
que a área do triângulo OBD, isto é, 
 
 
OA.OC
2
≤ raio.x
2
≤ OB.OD
2 
 
Como o raio da circunferência é igual a 1, OA = cosx, AC = senx e BD = tgx, obtemos: 
! 10 ! 5 5 10
x
! 0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
y
 
lim
x→p
senx = senp
 
lim
x→p
cosx = cosp
FIGURA 6 
0 A B 
C D 
x 
FIGURA 7 
Dizemos que uma função f é: 
i) par: quando f(–x) = f(x) para 
todo x no domínio de f. 
 
ii) ímpar: quando f(–x) = – f(x) 
para todo x no domínio de f. 
 
 33 
 
 
cosx.senx
2
≤ 1.x
2
≤ 1.tgx
2
∴cosx.senx ≤ x ≤ senx
cosx
 
 
 
Dividindo a última desigualdade por senx, obtemos: 
 
 
cosx ≤ x
senx
≤ 1
cosx
 
 
Mas, isto equivale a 
 
cosx ≤ senx
x
≤ 1
cosx
. 
 
Agora, como 
 
lim
x→0
1
cosx
= lim
x→0
cosx = 1, então pelo teorema do sanduíche 
 
lim
x→0
senx
x
= 1 . 
 
Como queríamos demonstrar. 
 
EXEMPLO 1 
Agora, vamos mostrar que 
 
lim
x→0
1− cosx
x
= lim
x→0
cosx −1
x
= 0 . 
Para tanto, veja que: 
 
 
lim
x→0
1− cosx
x
= lim
x→0
(1− cosx)(1+ cosx)
x(1+ cosx)
= lim
x→0
1− cos2 x
x(1+ cosx)
= lim
x→0
sen2x
x(1+ cosx)
= 
 
lim
x→0
senx
x
. senx
1+ cosx
= 1. sen0
1+ cos0
= 0
2
= 0. 
 
e 
 
lim
x→0
cosx −1
x
= lim
x→0
−(1− cosx)
x
= 0. 
 
EXEMPLO 2 
Calcular . 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
37 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Use o teorema do sanduíche para achar os limites a seguir: 
 
 
, sabendo que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2x 0
tg xlim
x→
2
2 22
2 2 2 2 2x 0 x 0 x 0 x 0
sen x
tg x sen x senx senx 1cos xlim lim lim lim . . 1.1.1 1
x xx x x .cos x cos x→ → → →
= = = = =
x 0
1a) lim x.sen
x→
x 1
b) lim f(x)
→
2| f(x) 2 | 3(x 1)− ≤ −
 34 
 
 
 
2. Encontre os limites a seguir: 
 
 
 
3. O valor do limite é 
a) 1 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8 
 
4. Sendo , o valor de é igual a: 
a) b) e c) d) e) 
 
 
 
38 – GABARITO DE 37 
1. a) 0 b) 2 
2. a)
 
3
5
 b) 0 c) 
 
1
3
 d) 3 e) 0 
3. e 4. a 
 
39 – A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 
Dada a função real y = f(x), se existir, ele é chamado derivada de f em x = a. Indicamos a derivada de 
f em x = a por . (leia: f linha de a). 
 
Assim, definimos: 
 
 
A função que a cada real x associa a derivada , definida nos pontos onde existe a derivada, é chamada função 
derivada de f. Para obter aplicamos a definição acima calculando f '(a) e depois trocamos a por x. 
 
 
40 – PROPRIEDADES ELEMENTARES DAS DERIVADAS 
[1] Se f(x) = c, x ∈R , onde c é uma constante real qualquer, então . 
[2] Se , , então . 
[3] Se , , , então . 
a) lim
x→0
sen3x
5x
b) lim
x→0+
x
sen 3x
c) lim
x→0
sen2x
sen6x
d) lim
x→0
tg6x
2x
e) lim
x→0
senx3
senx2
 
lim
x→0
sen52x
4x5
 
lim
x→0
senx
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 1
 
lim
x→0
x2sen(2x)3
x
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
 2
3 3 2 2 3e
2
 
lim
x→a
f(x)− f(a)
x − a
f '(a)
 
f '(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x − a
 f '(x)
 f '(x)
 f '(x) = 0
 f(x) = x x ∈! ( )f ' x 1=
( ) nf x x= n∈Q x ∈! ( ) n 1f ' x n x −= ⋅
 35 
[4] Se f(x) = mx + n, então f '(x) =mx +n . 
[5] Se , , então . 
 
41 – PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DAS DERIVADAS 
P1. (Regra da soma/diferença) Se . 
 
P2. (Regra do produto) Se . 
 
P3. (Regra do quociente) Se . 
 
P4. (Regra da potência) Se 
 
P5. (Regra da cadeia) Se 
 
42 – OUTRAS NOTAÇÕES PARA A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 
Sendo y = f(x) uma função, é muito comum usarmos as seguintes representações para a derivada da função f. 
 
 
43 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Dada , calcule a derivada de f em x = 2. 
 
2. Dada , calcule: 
a) f '(1) b) 
 
3. Obtenha a função derivada de , . 
 
4. Obtenha a função derivada de , . 
 
5. Obtenha a função derivada de , . 
 
44 – GABARITO DE 43 
1. 6 2. a) 2 b) 10 3. 2x 4. 
 
1
2
 
5. 
 
−1
x2
 
 
45 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Usando as propriedades das derivadas, ache a derivada de cada função a seguir: 
a) f(x) = x28 
 
b) f(x) = 5x3 – 7x2 + 2x – 3 
 
c) f(x) = 5(x4 + 3x7) 
 
 f(x) = c ⋅g(x) x ∈! f '(x) = c ⋅g'(x)
 h(x) = f(x) ± g(x)⇒ h'(x) = f '(x) ± g'(x)
 h(x) = f(x) ⋅g(x)⇒ h'(x) = f '(x) ⋅g(x)+ f(x) ⋅g'(x)
 
h(x)= f(x)
g(x)
⇒ h'(x) = f '(x) ⋅g(x)− f(x) ⋅g'(x)
g(x)⎡⎣ ⎤⎦
2
 f(x) = [g(x)]
n, n∈Q⇒ f '(x) = n[g(x)]n−1 ⋅g'(x).
 h(x) = f(g(x))⇒ h'(x) = f '(g(x)) ⋅g'(x)
 
f '(x) = dy
dx
= y' =Dxy
 f(x) = 6x +1
( ) 2f x x 1= +
 f '(5)
 f(x) = x
2 +1 x ∈!
 
f(x) = x
2 
x ∈!
 
f(x) = 1
x 
x ∈!*
 36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Dada , calcule a derivada de f nos pontos: 
a) x = 0 b) x = 2 c) x = –2 
 
 
46 – GABARITO DE 45 
1. a) 28x27 b) 15x2 −14x + 2 c) 5(4x
3 + 21x6) d) −27x−28 
 e) 
 
1
2
x
− 1
2 f) 
 
−1
2
x
−3
2 g) 
 
x
2
− 8x−3 h) −8x−3 +12x−5 
 
d) f(x)= 1
x27
e) f(x)= x
f) f(x)= 1
x
g) f(x) = x
2
4
+ 4
x2
h) f(x) = 4
x2
− 3
x4
1 1
2 21i) f(x) 2x x
2
−
= −
 
j) f(x) = x
2 − 4x + 4
x −1
2 3
4 2
k) f(x) (3x 4).(4x x 1)
l) f(x) (x 2x).(4x 2x 5)
= − + −
= − + +
 
m) f(x) = x
3 +1
x3 −1
n) f(x) = x
2
x3 + 8
o) f(x) = (2x3 − 3x + 7)4
p) f(x) = (4x4 − 4x2 +1)
−1
3
q) f(x) = x3 +13
r) f(x)=(x2 + 4)−2
s) f(x) = (x4 − x)−3
( )
2x xf x 1
4 2
= + +
 37 
 i) 
 
x
− 1
2 + 1
4
x
−3
2 j) 
 
x2 − 2x
(x −1)2
 k) 60x4 − 39x2 − 6x − 4 
 l) 24x5 +10x4 + 20x3 − 24x2 − 8x −10 m) 
 
−6x2
(x3 −1)2
 n) 
 
−x4 +16x
(x3 + 8)2
 
 o) 4(2x
3 − 3x + 7)3.(6x2 − 3) p) 
 
− 1
3
(4x4 − 4x2 +1)
−4
3 .(16x3 − 8x) 
 q) x
2.(x3 +1)
−2
3 r) −4x(x
2 + 4)−3 s) −3(x
4 − x)−4.(4x3 −1) 
 
2. a) 
 
1
2
 b) 
 
3
2
 c) 
 
− 1
2
 
 
 
47 – FUNÇÃO IMPLÍCITA 
 De um modo geral, a equação F(x, y) = 0 define y como uma função implícita de x. 
 
EXEMPLO 
A equação x
2 + y2 = 1 define, implicitamente, y como uma função a dois valores: y = ± 1− x
2 . Ou seja, temos duas 
funções f1(x) = 1− x
2 e f2(x) = − 1− x
2 , definidas implicitamente pela equação x
2 + y2 = 1. 
 
48 – DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 
 
Dada a equação F(x, y) = 0, para acharmos a derivada 
 
y ' = dy
dx
 não é necessário tirar o valor de y e derivar. Na 
verdade, vamos derivar a equação dada em relação a x e isolar 
 
y ' = dy
dx
. Este processo é conhecido como derivação 
implícita. 
 
EXEMPLO 
Obter 
 
y ' = dy
dx
, por derivação implícita, sabendo que x
2 + y2 = 1. 
 
SOLUÇÃO 
Derivando os dois lados em relação a x, obtemos: 2x + 2y.y' = 0 e portanto 
 
y ' = − x
y
. 
 
49 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1.Ache a derivada dy
dx
= y’ por derivação implícita. 
 
 38 
 
a) x2 + y2 = 25
b) 4x2 − 9y2 = 1
c) x3 + y3 = 2xy
d) x2 + y2 = 10xy
e) 1
x
+ 1
y
= 1
f) 3
x
− 3
y
= 2x
 
 
g) x + y = 4
h) 2x3y + 3xy3 = 5
i) x2y2 = x2 + y2
j) (2x + 3)4 = 3y4 + y3
k) x2 = x + 2y
 
 
50 – GABARITO DE 49 
1. a) −x
y
 b) 
 
4x
9y
 c) 
 
2y − 3x2
3y2 − 2x
 d) 
 
5y − x
y − 5x
 
 e) 
 
−y2
x2
 f) 
 
2+ 3x−2
3y−2
 g) 
 
− y
x
 h) 
 
−6x2y − 3y2
2x3 + 9xy2
 
 i) 
 
x − xy2
x2y − y
 j) 
 
8(2x + 3)3
12y3 + 3y2
 k) 
 
2x −1
2