cálculo diferencial e integral

Prévia do material em texto

3ºSemestre 
Cálculo diferencial e integral 
Professor Paulo Sergio da Silva
· O estudo da funções
Função é uma relação especial entre duas ou mais grandezas. A cada elemento de um conjunto corresponde um único elemento de outro conjunto e existe uma relação de dependência entre essas grandezas.
A função é fundamental para o estudo do cálculo, existe algumas formas de representar a função como tabelas, gráficos, 
Tem três formas de representar uma função:
· Numericamente por tabelas. 
· Geometricamente por gráficos. 
· Algebricamente por fórmulas.
Domínio de Imagem de uma Função 
Domínio: todos os valores que o x pode assumir. 
Imagem: são os valores assumidos por y pela função f.
Notação: 
Quando y é uma função de x, escrevemos y = f(x)
· Função afim
As funções afim ou polinomiais de 1º grau correspondem a relações entre a variável dependente e a variável independente expressas por polinômios do 1º grau. A lei de uma função afim é dada por: 
y = ax + b
O coeficiente a é chamado de coeficiente angular. Ele é numericamente igual à tangente do ângulo que a reta forma com o eixo x. 
O coeficiente b é chamado coeficiente linear e indica a intersecção da reta com o eixo y. 
O gráfico de uma função afim é uma reta, portanto, para determiná-lo, bastam 2 pontos.
· Função linear
Se uma função afim f(x) = ax + b, com a ≠ 0 e b=0, ou seja f(x) = ax, ela é denominada função linear. O gráfico da função linear sempre intercepta a origem, o ponto (0,0).
· Função identidade
A função afim com a = 1 e b = 0 fica reduzida a f(x) = x, ou seja, a cada valor de x, ela associa um número igual a x. O valor de y é idêntico ao de x. O gráfico da função identidade é uma reta particular. Ela é a bissetriz (divide um ângulo em duas partes iguais) do I e III quadrantes do referencial cartesiano.
· Função constante
e pode ser obtida a partir da função afim. Temos f(x) = ax + b, fazendo a = 0, obtemos f(x) = 0x + b, ou f(x) = b. O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo x.
· Equação da reta
· Função quadrática 
A lei de uma função afim é dada por: y = ax2 + bx + c, com a, b e c ∈ R e a ≠ 0.
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com o eixo de simetria paralelo ao eixo y. Para desenhar o gráfico, é necessário determinar alguns pontos da parábola, atribuindo valores a x e achando suas respectivas imagens.
*Pontos notáveis de uma parábola Facilitam a construção do gráfico e a análise da função. 
*Ponto de intersecção com eixo y (eixo das ordenadas) Esse ponto pode ser obtido ao igualar o x a zero. 
-O V (vértice) é o ponto em que a função f assume o seu maior ou seu menor valor de acordo com a concavidade da parábola.
· vértice de uma parábola
)
Um ponto que pertence ao eixo x tem como ordenada y igual a zero. Assim como na função afim, para descobrir onde a parábola intercepta o eixo x, basta substituir y por zero, obtendo, assim, a equação quadrática: ax2 + bx + c = 0. As soluções encontradas são as raízes ou zeros da equação.
A fórmula resolutiva da equação é conhecida por fórmula de Báscara:
é o discriminante da equação.
Para , a equação tem duas raízes reais diferentes.
Para , a equação tem duas raízes reais iguais
Para , a equação não tem duas raízes
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V. 
Quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.
· função exponencial
É toda função cuja lei é dada por f(x) = ax , sendo a um número real positivo e diferente de 1. O a tem que ser maior do que zero, para garantir que a função tenha uma solução real, e diferente de 1, para ser exponencial, pois o 1 elevado a qualquer número é ele mesmo, o que caracterizaria uma função constante e não uma função exponencial.
Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais.
· Funções Inversas e Logaritmos
Quando nos deparamos com uma função que inverte ou que desfaz o efeito de uma função f, estamos diante de uma função inversa. Uma função nada mais é do que uma regra que associa a cada valor de sua imagem um único elemento de seu domínio. Uma função que tem valores distintos para valores distintos de seu domín io é chamada de função injetora. Nas funções injetoras, cada ponto da imagem assume dado valor apenas uma vez. Podemos definir uma função injetora sempre que, no domínio D, se f(x1 ) ≠ f(x2 ) então x1 ≠ x2 .
· Limites 
O limite é um conceito matemático rigorosamente definido. Basicamente, estaremos preocupados com o que acontece com a variável dependente quando os valores da variável independente se aproximam de uma constante a.
* Limite pela direta e pela esquerda Quando a variável x tende x = a, mas sempre permanece menor do que a, dizemos que x tende a a pela esquerda, ou seja, para valores menores do que a. 
Se o valor de f(x) se aproxima cada vez mais de L- quando x tende a a pela esquerda, dizemos que L- é o limite pela esquerda e empregamos o símbolo:
L
Da mesma forma, quando x tende para a, e sempre permanece maior do que a, simbolizamos o limite por: 
· Limites inexistente
Se nos aproximarmos do zero pela esquerda (valores menores do que zero, portanto, números negativos) o valor da função tende para -1. 
Se nos aproximarmos do zero pela direita (valores maiores do que zero, portanto, números positivos) o valor da função tenderá para 1. 
*Conclui-se, então, que os limites tendem para valores diferentes quando nos aproximamos de zero pela esquerda ou pela direita. Se os valores não coincidem implica que a função não tem limite quando x tende a zero.
*Se a função tende para um único valor, significa que a função tem limite e o valor desse limite é o valor para o qual ela tende
· Quando o limite do denominador é igual a zero
Quando calculamos o limite, nós o fazemos quando x tende para a e não para x = a. A função pode não existir no ponto a e seu limite pode existir. Essas situações nos levam a encontrar o limite do denominador igual a zero ou uma indeterminação 0/0 . Para resolver o problema, é preciso manipular algebricamente a função, por exemplo, fatorando o denominador.
· Limites envolvendo o infinito
A expressão tende para o infinito é usada para indicar que x não está se aproximando de nenhum número real, mas crescendo indefinidamente.
Quando X tende para zero: quando nos aproximamos de zero pela esquerda (valores menores do que zero), a função vai tendendo para um valor cada vez menor. Ele tende para o menos infinito. Quando nos aproximamos do zero pela direita, para valores maiores do que zero, a função tende para valores cada vez maiores, ou seja, tende ao mais infinito. Dizer que uma função tende para mais infinito ou menos infinito é uma forma de dizer que essa função não tem limite.
· Propriedades úteis para avaliação dos limites
· Taxas de variação e limites
A taxa de variação é a base do estudo das funções. Ela exprime a “rapidez” com que uma função cresce/decresce em um intervalo de tempo.
A taxa de variação média (tvm) de uma função f em um intervalo [XA, XB], é: 
· Retas tangentes
podemos achar a equação da reta tangente pela aplicação da fórmula: y=ax+b.
· Taxa de variação instantânea de uma função
A velocidade instantânea ou a taxa de variação instantânea (tvi) de uma função f no instante t0 ou a derivada da função é dada por: 
Sendo: ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0) O valor desse limite é denotado por f’(x0) e dizemos que f é derivável em x0.
Em termos de limite temos: 
· Definição formal de limites
A definição intuitiva de limite por vezes é inadequada para determinados propósitos, pois ela afirma que quando se está próximo do valor “a” do eixo x, a função tende para o número “L” no eixo y.
· Definição precisa de limite
O limite da função f(x) quando x tende ao número a é L significa que a distância entre f(x) e L pode ser arbitrariamente pequenatomando-se a distância de a até x suficientemente pequena, mas diferente de zero.
· Derivadas
Quando uma reta secante corta dois pontos de uma curva, a inclinação dessa secante é numericamente igual à taxa de variação média dessa curva (função). Quando queremos calcular uma derivada, calcula-se o limite da taxa de variação média entre dois pontos, quando a distância entre esses dois pontos tende a zero. Portanto, se eu passar uma secante por 2 pontos de uma curva e for aproximando esses pontos traçando novas secantes, essa secante vai tender à tangente ao ponto dessa curva. Podemos concluir então, que a inclinação da reta tangente à curva em um ponto, é numericamente igual à taxa de variação instantânea nesse ponto (derivada).
a derivada assume diferentes valores em diferentes pontos do seu domínio e ela própria é uma função. A derivada de uma função em um ponto nos dá a informação da taxa de variação da função naquele ponto que é numericamente igual à inclinação da reta tangente à curva naquele ponto. Observando a definição, deduzimos que para cada valor de x para o qual o limite existe, dizse que a função é diferenciável (derivável) naquele valor de x. Se o limite existe para qualquer x do domínio diz-se que f é diferenciável em qualquer ponto do domínio
· Regras de derivação
*Derivada de uma potência
*Derivada de uma função constante
A derivada de uma função constante (k) é sempre zero
*Derivada de uma soma ou uma diferença
A derivada da soma (ou diferença) de duas ou mais funções é igual à soma (ou diferença) de suas derivadas.
*Derivada de uma função constante
A derivada de uma função constante (k) é sempre zero
*Derivada de uma soma ou uma diferença
A derivada da soma (ou diferença) de duas ou mais funções é igual à soma (ou diferença) de suas derivadas.
*Derivada do produto de uma função por uma constante
Se uma função estiver multiplicada (ou dividida) por uma constante sua derivada também ficará multiplicada (ou dividida) por essa mesma constante.
*Derivada de um produto
Temos o produto das funções u e v. Um dos caminhos para calcular a derivada é a aplicação da regra acima.
*Derivada do Quociente
A regra ensina como fazemos para derivar o quociente (divisão) de duas funções. Chama-se a função que está no numerador de u e a que está no denominador de v. Deriva-se cada uma delas e aplica-se a regra acima.
*Derivada da função exponencial natural
Quando nos deparamos com uma função exponencial de base “e”, ou seja, uma função exponencial natural estamos diante de um caso cuja derivada é a própria função.
**Derivada de algumas funções trigonométricas As funções trigonométricas descrevem fenômenos periódicos. As derivadas dessas funções desempenham um papel importante na descrição de mudanças periódicas. Vou mostrar como derivar duas funções trigonométricas básicas:
Derivada da função seno
Derivada da função cosseno: 
Derivadas de outras funções trigonométricas básicas:
· Derivada da Função Composta
Regra da Cadeia: Para calcular a derivada da composta de duas funções deriváveis é preciso calcular o produto de suas derivadas em pontos adequados.
· Estudo do comportamento de uma função através da análise de sua derivada
Quando se conhece a função derivada de uma função f(x), é possível descobrir características dessa função
· Sinal da derivada
f’(x0 )>0 Nesse caso, a reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)) possui o coeficiente angular positivo, portanto, nas proximidades do ponto x0 f só pode ser crescente. 
f’(x0 ) Nesse caso, a inclinação da reta tangente é negativa, portanto, em qualquer ponto nas proximidades de x0 a função é decrescente.
f’(x0 )=0 No caso da derivada da função ser igual a zero, isso significa que a reta tangente ao gráfico da função f no ponto (x0 , f(x0 )) é horizontal, ou seja, é paralela ao eixo x. Nesse caso, a função poderá ter um ponto de máximo ou de mínimo, dependendo do seu comportamento à direita e à esquerda de x0 .
Conclusão - Se f é uma função com derivada em todo ponto de um intervalo aberto I, então, se: 
f’(x0 )>0 para todo x ∈ I,então f é crescente em I. 
f’(x0 )<0 para todo x ∈ I,então f é decrescente em I.
· Extremos de Funções 
O objetivo agora é localizar e identificar valores extremos de uma função a partir de sua derivada. A aquisição dessa competência permitirá resolver vários problemas de otimização, ou seja encontrar a melhor maneira de fazer algo em dada situação.
· Máximo e Mínimo Local
Para descobrirmos se uma raiz real x0 de f’(x) = 0 é a abscissa de um ponto de máximo ou de mínimo local é preciso analisar o sinal de f’(x) em uma vizinhança de x0 . 
f(x0) é um máximo local 
Para qualquer x1 ∈ V(x0 ),x1 < x0 e o coeficiente angular da tangente t é positivo (f’(x1 )>0) 
Para qualquer x2 ∈ V(x0 ), x2 > x0 e o coeficiente angular da tangente t é negativo (f’(x2 )<0)
f(x0) é um mínimo local 
Para qualquer x1 ∈ V (x0 ),x1 < x0 e o coeficiente angular da tangente t é negativo (f’(x1 )<0)
Para qualquer x2 ∈ V(x0 ), x2 > x0 e o coeficiente angular da tangente t é positivo (f’(x2 ) > 0).
· Interpretação Cinemática da Derivada
Sabe-se que a posição (S) de um móvel é função do tempo (t). A velocidade escalar média (tvm) é dada por
portanto:
A velocidade escalar (V) do móvel no instante t0 é o limite da Velocidade Média quando ∆t tende para zero.
, a velocidade escalar (V) é função do tempo (t). Num instante t0 um móvel tem a velocidade v(t0 ) e no instante t 0 + ∆t tem a velocidade v (t0 + ∆t), com ∆t ≠ 0. A aceleração escalar média (am) é dada por
A aceleração escalar do móvel no instante t0 é o limite da aceleração escalar média para ∆t tendendo a zero.
· Integrais
“derivação para trás” ou “antiderivação”. é, às vezes, chamada de problema inverso das tangentes: dada a derivada de uma função, achar a própria função.
Primitivação ou antiderivação é o processo de recuperar uma função por meio de sua derivada (taxa e variação instantâneas). Uma função F cuja derivada (F’) é a função f chama-se primitiva de f.
*Se F é uma primitiva de f em um intervalo I, então a primitiva mais geral de f em I é: F(x)+ C
 C = constante de integração ou constante arbitrária.
Ao calcular uma primitiva, encontraremos uma família de funções cujos gráficos são translações verticais uns dos outros
· Tabela de primitivas imediatas, sendo k uma constante diferente de zero:
Usa-se a letra maiúscula para representar a primitiva de uma função.
· Valor inicial e Equações Diferenciais
Achar a primitiva para uma função f(x) é o mesmo que encontrar uma função y(x) que satisfaça a equação:
Essa equação é chamada de equação diferencial e envolve uma função desconhecida “y” que está sendo derivada (diferenciada). Para resolver essa equação, precisamos de uma função y(x) que a satisfaça, ou seja, achar uma função que ao ser derivada seja igual a f(x). Esse problema é resolvido achando a primitiva de f(x). Para fixar o valor da constante arbitrária “C” que compõe a fórmula da primitiva, é preciso especificar uma condição inicial que nos permita calcular o valor de C: y(x0 ) = y0 .
O conjunto de todas as primitivas de f é a integral indefinida da função f em relação à variável x. A notação de integral indefinida é:
Calcular ou determinar a integral indefinida de uma função f(x) é achar a primitiva dessa função utilizando as regras descritas na tabela das primitivas imediatas.
Regra da multiplicação por uma constante Se houver uma constante multiplicando uma função, é possível tirar a constante “para fora” do sinal de integração, achar a integral definida e multiplicar o resultado pela constante.
Regra da soma/subtração A integral de uma soma (ou de uma diferença) é igual à soma (ou à diferença) de suas integrais.
· Diferencial de uma função
Se y = f(x) é uma função derivável, define-se como diferencial de y = f(x) como: dy=f´(x).∆x 
dy = diferencial de y, ou seja, a variação de y. 
∆x= acréscimo da variável independente, que indicamos por dx. 
Na notação de Leibniz, a derivada de y em relação a x é indicada por: 
 
Definição: 
Seja y= f(x) uma função derivável, a diferencial dx é uma variável independente e a diferencial dy (variável dependente) é: dy=f’ (x).dx 
Observe: 
dy é a variável dependente (depende de x e de dx). 
dx é uma variável independente. 
Se atribuirmos um número do domínio de f a x, um valor específico para dx, dy estará determinado.
Chamam-se primitivas imediatas aquelas funções que conseguimos integrar diretamente com o auxílio da tabela que nos dá as fórmulas básicas de integração.
· Integração 
Integração por substituição de variável Usa-se a regra da cadeia de forma invertida
Integrais: método de integração por partes O método de integração por partes resolve o problema da integração de um produto quando o método da substituição (u/du) não funciona. A integral de um produto é diferente do produto das integrais. Para calcular a integral de um produto, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
· Estratégia para integração por partes
Integrar por partes é transferir o cálculo de uma integral ∫u.dv para o cálculo de uma integral ∫v.du, que espera-se saber calcular. Ao integrar um produto f(x).g(x), ou seja, ∫[f(x).g(x)]dx, devemos escolher entre as duas funções: 
• Uma delas como o fator u; 
• E a outra como parte de uma diferencial dv.
Essa escolha deve ser feita de modo conveniente, para que essa manipulação recaia em uma integral mais simples, que nos permita fazer o cálculo.
Logarítmicas, Inversas de Trigonométricas, Algébricas, Trigonométricas, Exponenciais
No esquema acima, as letras do anagrama LIATE são iniciais de diferentes tipos de funções. Uma estratégia que funciona na maioria dos casos é:
• Escolher como função u a função que se posiciona mais à esquerda no anagrama; 
• Escolher como dv a função que se posiciona mais à direita do anagrama.
· Integral Definida
A integração, serve para calcular a área e o volume dessas formas e de outras; mas vai além disso, pois também nos permite calcular quantidades que vão desde probabilidades e médias até. a integral de uma função determina a área sob a curva dessa função no plano cartesiana integral de uma função determina a área sob a curva dessa função no plano cartesiano. a integral de uma função determina a área sob a curva dessa função no plano cartesiano. a integral de uma função determina a área sob a curva dessa função no plano cartesiano.
Para calcular as integrais definidas, utiliza-se um teorema que é considerado um dos mais importantes de cálculo.
· Aplicações de Cálculo
Integral indefinida: O processo de obter uma função a partir de sua derivada é chamado de antiderivação ou integração indefinida
A primitiva da velocidade dá a função espaço s(t) e a primitiva da função aceleração a(t) dá a função velocidade v(t).
*A distância percorrida será dada por: Distância = s(3) - s(2)
Quando vamos calcular uma integral definida, não precisamos nos preocupar com o valor da constante arbitrária
· Função de duas ou mais variáveis
Quando se usa a modelagem matemática para explicar os fenômenos que ocorrem no mundo real, raramente, os resultados são determinados por uma única variável.
R = f(x,y)
» R → Variável dependente 
» x e y → São as varáveis indepéndentes.
Uma função de várias variáveis pode ser representada: Numericamente por uma tabela de valores, Algebricamente por uma fórmula, Graficamente por um diagrama de curvas de nível.
Como calcular o valor da função de duas variáveis? É só substituir na função o valor de cada variável.
· Domínio e imagem da função de várias variáveis
o domínio é a região pertencente ao plano, de forma que os valores calculados da função, para todo (x,y) que pertença ao domínio resulte em valores reais e finitos para f(x,y)
· Gráficos de funções de duas variáveis
o gráfico de uma função de duas variáveis é uma superfície em 3D (tridimensional).
· Introdução ao estudo de Derivada Parcial
A derivada da função de uma variável mede a sua taxa de variação. Quando se trabalha com uma função de duas variáveis teremos duas taxas de variação: uma quando x varia (mantendo y constante) e outra quando y varia (mantendo x constante).
Para todos os pontos em que o limite existe, define-se derivadas parciais no ponto
para calcular a derivada de uma função de uma variável: f(x)= y= x2 
· Notação
Quando aprendemos a derivar uma função com uma variável, usamos a notação f’(x) para derivada primeira. Podemos usar, também, para indicar a derivada de uma função de primeira ordem, a seguinte notação: 
 → derivada da função y em relação a variável x. 
Quando trabalhamos com uma função de duas ou mais variáveis, a notação utilizada é:
 → o símbolo (que parece um 6 ao contrário) indica que a função que está sendo derivada depende de mais do que uma variável.
· Representação Gráfica
Quando se deriva uma função de uma variável real, a sua representação gráfica é feita no plano cartesiano, ou seja, em 2D, ou espaço bidimensional. A derivada da função em um ponto nada mais é do que a inclinação da reta tangente ao gráfico nesse ponto.
· Derivadas parciais em um gráfico
 
A derivada de f x (a,b) é a inclinação da reta tangente a essa curva em x= a. O gráfico de uma função de duas variáveis é uma superfície. A reta que tangencia um ponto dessa superfície é a derivada da função nesse ponto em relação a uma determinada variável. Um ponto P no espaço 3D é determinado por (a,b,f(a,b))
· Derivadas Parciais / Integrais Duplas
derivadas parciais: seu significado, a notação utilizada e a representação gráfica. Vale salientar que as derivadas parciais serão utilizadas quando nos interessa a taxa de variação de uma função com várias variáveis. Quando são fixadas todas as variáveis independentes de uma função, exceto uma, e deriva-se em relação a essa variável, e obtém-se uma derivada parcial.
· Regra da cadeia
Para funções de duas ou mais variáveis, a regra da cadeia possui várias formas, que dependem da quantidade de variáveis envolvidas.
· Integrais duplas
a integral definida de uma função contínua f, em um intervalo [a,b] é dada como o limite das somas de Riemann e aprendemos a usar o Teorema Fundamental do Cálculo para efetuar esse cálculo.
As integrais duplas são muito utilizadas para o cálculo de volumes e o gráfico das funções que determinam uma região a ser integrada estão representadas em um gráfico de 3 dimensões. O volume de um sólido é dado pela área da base × a altura.
· Integrais Duplas de Regiões Não Retangulares
os limites da constante devem ficar na parte mais externa
Cálculo de áreas usando integrais duplas
Cálculo de Volume com Integrais Duplas Aprendemos a calcular uma região do plano, utilizando as integrais duplas. Nosso objetivo, agora, será calcular o volume utilizando integral dupla
É possível calcular esse volume usando a geometria plana, ou seja: V = base x altura. Porém, quando os sólidos forem formados por linhas curvas, a única forma de calcular seu volume é usando integrais.
as integrais definidas primeiro, encontra-se a primitiva da função e em seguida aplica-se o Teorema fundamental do cálculo:
 F(b) – F(a), isto é, a imagem do limite superior de integração menos a imagem do limite inferior de integração.