Prova de microeconomia

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Soluc¸a˜o Primeira Prova de Microeconomia 1
Departamento de Economia, Universidade de Bras´ılia
Bras´ılia, 14 de maio de 2015
Durac¸a˜o da prova: 120 minutos
Questa˜o 1 (25 pontos): Responda Verdadeiro ou Falso (justifique sucintamente):
a) A demanda Hicksiana e´ obtida ao maximizarmos a renda do consumidor, dado o n´ıvel de
utilidade que esse consumidor deseja alcanc¸ar.
S: Falso. A demanda Hicksiana e´ obtida do problema de minimizac¸a˜o do dispeˆndio do
consumidor, dado que ele deseja alcanc¸ar um determinado n´ıvel de utilidade.
b) O n´ıvel de utilidade de um consumidor na˜o varia ao longo da sua curva de demanda Mar-
shalliana.
S: Falso. A curva de demanda mostra a relac¸a˜o entre o prec¸o de um bem e a sua demanda.
Usualmente, maior o prec¸o, menor a demanda do bem. Menor a demanda, menor a utilidade
obtida. Isso pode ser visto claramente na curva de prec¸o-consumo de um bem, que mostra
a mudanc¸a na cesta o´tima com a mudanc¸a no prec¸o de um bem. Portanto, a utilidade do
consumidor varia ao longo da curva de demanda.
c) E´ imposs´ıvel que para um mesmo consumidor as elasticidades prec¸o e renda da demanda de
um determinado bem sejam ambas positivas.
S: Verdadeiro. Se a elasticidade renda da demanda de um bem e´ positiva, enta˜o o bem e´
normal. Portanto, a equac¸a˜o de Slutsky mostra que esse bem na˜o pode ser de Giffen, ou
seja, sua elasticidade prec¸o e´ necessariamente negativa (ou igual a zero).
d) Para um bem normal, a demanda Marshalliana e´ mais inclinada do que a demanda Hick-
siana. Entretanto, para um bem inferior, a demanda Hicksiana e´ mais inclinada do que a
demanda Marshalliana.
S: Este item pode ser justificado tanto como Verdadeiro ou Falso. Se assumirmos que um
bem normal e´ tal que ∂x/∂m > 0, enta˜o o efeito renda e´ negativo no caso de um bem
normal. A equac¸a˜o de Slutsky diz que:
∂xMi (p,m)
∂pi
=
∂xhi (p, u
∗)
∂pi
− xMi (p,m)
∂xMi (p,m)
∂m
Se o bem e´ normal (∂x/∂m > 0), enta˜o:
∂xMi (p,m)
∂pi
=
∂xhi (p, u
∗)
∂pi
−xMi (p,m)
∂xMi (p,m)
∂m︸ ︷︷ ︸
<0
<
∂xhi (p, u
∗)
∂pi
Se o bem e´ inferior, enta˜o:
∂xMi (p,m)
∂pi
=
∂xhi (p, u
∗)
∂pi
−xMi (p,m)
∂xMi (p,m)
∂m︸ ︷︷ ︸
>0
>
∂xhi (p, u
∗)
∂pi
Logo, a demanda Marshalliana e´ mais inclinada do que a demanda Hicksiana no caso de um
bem normal e menos inclinada no caso de um bem inferior (lembrem-se que essas derivadas
sa˜o negativas). Pore´m, se assumirmos que um bem normal e´ tal que ∂x/∂m ≥ 0, enta˜o o
efeito renda pode ser igual a zero. No caso de demandas geradas por uma utilidade quase-
linear, para o bem que entra de modo na˜o-linear na utilidade e soluc¸a˜o interior, sabemos
que as demandas marshalliana e hicksiana para este bem sera˜o iguais e que o efeito renda e´
nulo. Logo, as duas demandas tera˜o a mesma inclinac¸a˜o, o que justifica a resposta Falso.
1
e) A variac¸a˜o compensadora e´ sempre maior do que a variac¸a˜o equivalente.
S: Falso. Um contraexemplo e´ o caso de utilidade quase-linear: a VC e a VE sera˜o iguais
para mudanc¸as de prec¸os no bem que entra de modo na˜o-linear na utilidade, considerando
soluc¸o˜es interiores. Outro contraexemplo e´ o caso de bens normais: a variac¸a˜o equivalente
e´ menor do que ou igual a` variac¸a˜o compensadora.
Questa˜o 2 (25 pontos): A utilidade de Carlos e´ dada por u(x1, x2) = x1 + x2. A renda de
Carlos e´ R$ 20, e os prec¸os dos bens 1 e 2 sa˜o R$ 1 e R$ 2, respectivamente. Suponha que o prec¸o
do bem 1 aumentou para R$ 3.
(a) Determine o efeito total desse aumento na demanda de Carlos pelo bem 1.
S: Esta utilidade representa bens substitutos perfeitos. Sabemos que as demandas dos dois
bens sa˜o:
xM1 (p1, p2,m) =
{
m/p1, se p1 < p2
0, se p1 > p2
Similarmente,
xM2 (p1, p2,m) =
{
0, se p1 < p2
m/p2, se p1 > p2
No caso em que p1 = p2, enta˜o qualquer cesta (x1, x2) tal que p1x1 + p2x2 = m e´ soluc¸a˜o do
problema do consumidor.
Enta˜o, temos que xM1 (p1 = 1, p2 = 2,m = 20) = 20 e x
M
1 (p1 = 3, p2 = 2,m = 20) = 0.
Quando o prec¸o do bem 1 aumenta de R$ 1,00 para R$ 3,00, e o prec¸o do bem 2 se mante´m
em R$ 2,00, o consumidor deixa de consumir o bem 1 e passa a consumir apenas o bem 2.
Portanto, o efeito total dessa mudanc¸a do prec¸o do bem 1 sobre a sua demanda e´ de menos
20 unidades (∆x1 = −20).
(b) Decomponha o efeito total em efeito substituic¸a˜o Hicksiano e efeito renda. Interprete intu-
itivamente o seu resultado.
S: Vamos ilustrar a decomposic¸a˜o graficamente. O efeito substituic¸a˜o mante´m o n´ıvel de
utilidade original constante. Para manter a utilidade original de Carlos, dada a mudanc¸a de
prec¸os entre os bens, precisamos compensa´-lo em R$ 20,00: deste modo, sua renda aumenta
para R$ 40,00 e ele comprara´ 20 unidades do bem 2, o que lhe da´ a mesma utilidade de
antes. O efeito substituic¸a˜o hicksiano para o bem 1, dado o seu aumento de prec¸o, compo˜e
todo o efeito total. Logo, o efeito renda sobre a demanda do bem 1 e´ nulo. A figura abaixo
ilustra essa situac¸a˜o.
6
-
x2
x1
u0
uF
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@@sE
sE ′
sE ′′
@
@
@
@
@
@
@@
10
20
20
Mudanc¸a de E para E′′: Efeito Total
Mudanc¸a de E para E′: Efeito Substituic¸a˜o hicksiano
Mudanc¸a de E′ para E′′: Efeito Renda (hicksiano)
HHHHHHHHHHHHHHHH
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
JJ
J
J
J
J
J
J
J
J
2
Note que podemos usar a demanda hicksiana para calcular o efeito substituic¸a˜o dessa mu-
danc¸a de prec¸os sobre a demanda do bem 1. A demanda hicksiana do bem 1 e´ dada por
xh1(p1, p2, u0) = u0, se p1 < p2 e x
h
1(p1, p2, u0) = 0, se p1 > p2 (o caso p1 = p2 na˜o e´ relevante
aqui). Logo,
ES = ∆xh1 = x
h
1(p1 = 3, p2 = 2, u0 = 20)− xh1(p1 = 1, p2 = 2, u0 = 20) = 0− 20 = −20
(c) Decomponha o efeito total em efeito substituic¸a˜o de Slutsky e efeito renda. Interprete
intuitivamente o seu resultado.
S: O efeito subsitutic¸a˜o de Slutsky mante´m o poder de compra de Carlos inalterado. Para
que ele compre a mesma cesta de antes, (x1, x2) = (20, 0), temos de compensa´-lo em R$
40,00 (a figura abaixo ilustra essa situac¸a˜o): para comprar a cesta original, (x∗1, x
∗
2) = (20, 0)
o consumidor, aos novos prec¸os, precisa gastar p′1 × x∗1 + p2 × x∗2 = 3 × 20 + 2 × 0 = 60.
Como a renda do indiv´ıduo e´ R$ 20, o valor da compensac¸a˜o de Slutsky e´ R$ 40,00. Com
esta compensac¸a˜o, Carlos, ao substituir o consumo do bem 1 pelo bem 2, obte´m um n´ıvel
de utilidade mais alto.
O efeito substituic¸a˜o de Slutsky continua sendo igual ao efeito total, ja´ que, dados os novos
prec¸os, Carlos preferira´ consumir apenas o bem 2 e na˜o ira´ mais consumir o bem 1. Podemos
usar a demanda de Slutsky para calcular o efeito substituic¸a˜o de Slutsky dessa mudanc¸a de
prec¸os sobre a demanda do bem 1. A demanda de Slutsky do bem 1 e´ dada por xS1 (p1 =
1, p2 = 2, (x
∗
1 = 20, x
∗
2 = 0) = x
M
1 (p1 = 1, p2 = 2,m = p1x
∗
1 + p2x
∗
2 = 20) = 20 e x
S
1 (p1 =
3, p2 = 2, (x
∗
1 = 20, x
∗
2 = 0) = x
M
1 (p1 = 3, p2 = 2,m = p1x
∗
1 + p2x
∗
2 = 60) = 0. Logo,
ESSlutsky = ∆x
S
1 = x
S
1 (p1 = 3, p2 = 2, (x
∗
1, x
∗
2))− xS1 (p1 = 1, p2 = 2, (x∗1, x∗2)) = 0− 20 = −20
6
-
x2
x1
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@@sE
u0
uF
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
sE ′
sE ′′
@
@
@
@
@
@
@@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
10
20
30
20
Mudanc¸a de E para E′′: Efeito Total
Mudanc¸a de E para E′: Efeito Substituic¸a˜o de Slustky
Mudanc¸a de E′ para E′′: Efeito Renda (de Slutsky)
HHHHHHHHHHHHHHHH
3
d) Qual o valor da variac¸a˜o compensadora para esta mudanc¸a de prec¸os do bem 1?
S: A variac¸a˜o compensadora e´ o valor moneta´rio que permite o consumidor alcanc¸ar o mesmo
n´ıvel de utilidade original, antesda mudanc¸a de prec¸os. Na situac¸a˜o original, o indiv´ıduo
comprava 20 unidades do bem 1. Quando o prec¸o do bem 1 aumenta para 3, o indiv´ıduo
passa a consumir apenas o bem 2, 10 unidades do bem 2. Logo, para ele alcanc¸ar o n´ıvel
de utilidade original, ele tera´ que consumir 20 unidades do bem 2, ou seja, a sua renda tera´
que aumentar em R$ 20. Portanto, a VC em valor absoluto e´ igual a R$ 20.
Questa˜o 3 (25 pontos): Suponha dois bens com prec¸os positivos (p1 > 0 e p2 > 0). A renda
do consumidor e´ denotada por m > 0 e a sua utilidade e´:
u(x1, x2) = max{x1, x2} ,
onde a func¸a˜o ma´ximo e´ tal que:
max{x1, x2} =
{
x1 , se x1 ≥ x2
x2 , se x2 > x1
a) Ilustre graficamente o mapa de indiferenc¸a gerado por essa func¸a˜o de utilidade.
S: Esse e´ um exemplo de prefereˆncias “coˆncavas”, em que o consumidor prefere extremos
a me´dias. A figura abaixo ilustra o mapa de indiferenc¸a gerado por essa utilidade. Para
encontrar o formato de uma determinada curva de indiferenc¸a, associe um valor qualquer ao
n´ıvel de utilidade associado a` curva de indiferenc¸a. Por exemplo, max{x1, x2} = 10. Note
que se a cesta (x1, x2) e´ tal que x1 > 10 ou x2 > 10, enta˜o o n´ıvel de utilidade e´ maior do
que 10 e se e´ tal que x1 < 10 e x2 < 10, enta˜o o n´ıvel de utilidade e´ menor do que 10. Logo,
devemos ter que as cestas (x1, x2) que geram o n´ıvel de utilidade 10 sa˜o as cestas tais que
ou x1 = 10 e x2 ≤ 10 ou x1 ≤ 10 e x2 = 10. O racic´ıonio continua va´lido para qualquer
n´ıvel de utilidade que considerarmos.
6
-
x1
x2
�
���
�
���
�
���
4
b) Determine as demandas Marshallianas e a func¸a˜o de utilidade indireta. Podemos ter uma
soluc¸a˜o interior para o problema do consumidor neste caso?
S: O problema do consumidor e´:
max
x1,x2
max{x1, x2} s.a p1x1 + p2x2 = m
A func¸a˜o de utilidade na˜o e´ diferencia´vel, logo na˜o podemos usar nem o me´todo de Lagrange
nem o de Kuhn-Tucker para resolver esse problema. As curvas de indiferenc¸a acima e
o formato da utilidade mostram que o consumidor ira´ consumir apenas o bem que for
mais barato, ja´ que neste caso uma maior quantidade dele pode ser comprada se nada
for comprado do outro bem e o n´ıvel de utilidade obtido sera´ ma´ximo: se p1 < p2 enta˜o
m/p1 > m/p2 e max{m/p1, 0} > max{x1, x2} para qualquer outra cesta (x1, x2) tal que a
restric¸a˜o orc¸amenta´ria seja satisfeita (p1x1 + p2x2 ≤ m). Portanto, as func¸o˜es de demanda
dos dois bens sa˜o:
xM1 (p1, p2,m) =
{
m/p1, se p1 < p2
0, se p1 > p2
e xM2 (p1, p2,m) =
{
0, se p1 < p2
m/p2, se p1 > p2
No caso em que p1 = p2, as duas cestas (m/p1, 0) e (0,m/p2) maximizam o bem-estar do
consumidor (ver figura abaixo). Logo, a soluc¸a˜o do problema do consumidor sera´ sempre
de canto (isto e´, apenas um dos bens sera´ consumido). A func¸a˜o de utilidade indireta sera´
enta˜o:
v(p1, p2,m) =

m/p1 , se p1 < p2
m/p2 , se p1 > p2
m/p1 = m/p2 , se p1 = p2
Podemos enta˜o escrever a func¸a˜o de utilidade indireta de modo mais simples como:
v(p1, p2,m) =
m
min{p1, p2}
6
-
x1
x2
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@@
rE
rE ′
m
p2
m
p1
No caso p1 = p2: duas soluc¸o˜es: E e E
′
5
c) Mostre que as demandas encontradas no item anterior satisfazem a Lei de Walras e que a
demanda do bem 1 satisfaz a propriedade de homogeneidade.
S: Lei de Walras:
p1x
∗
1 + p2x
∗
2 =

p1 × (m/p1) + p2 × 0, se p1 < p2
p1 × 0 + p2 × (m/p2), se p1 > p2
p1 × (m/p1) + p2 × 0 = p1 × 0 + p2 × (m/p2), se p1 = p2
 = m,
quaisquer que sejam os valores de p1 e p2. Logo, as demandas Marshallianas exaurem a
renda do consumidor (p1x
∗
1 + p2x
∗
2 = m), qualquer que seja a relac¸a˜o de prec¸os considerada,
conforme a lei de Walras prediz.
Vamos verificar a validade da propriedade de homogeneidade (de grau zero nos prec¸os e na
renda) da demanda do bem 1. Para todo t > 0 temos que:
xM1 (tp1, tp2, tm) =

tm/tp1, se tp1 < tp2
0, se tp1 > tp2
0 ou tm/tp1, se tp1 = tp2
=

m/p1, se p1 < p2
0, se p1 > p2
0 ou m/p1, se p1 = p2
= xM1 (p1, p2,m)
o que demonstra que a demanda Marshalliana do bem 1 e´ de fato homogeˆnea de grau zero
nos prec¸os e na renda.
d) Determine a func¸a˜o dispeˆndio e as demandas hicksianas.
S: Vamos usar a relac¸a˜o de dualidade entre a func¸a˜o de utilidade indireta e a func¸a˜o
dispeˆndio, dada por v(p1, p2, e(p1, p2, u0)) = u0. Considerando a func¸a˜o de utilidade in-
direta encontrada no item b) acima, obtemos:
e(p1, p2, u0)
min{p1, p2} = u0 ⇒ e(p1, p2, u0) = min{p1, p2}u0
Note que neste caso na˜o podemos utilizar o Lema de Shephard para encontrar as demandas
hicksianas, ja´ que a func¸a˜o dispeˆndio na˜o e´ diferencia´vel. Pore´m, podemos usar a relac¸a˜o
de dualidade entre demanda hicksiana e demanda marshalianna, dada por xhi (p1, p2, u0) =
xMi (p1, p2, e(p1, p2, u0)), i = 1, 2. Neste caso, obtemos que:
xhi (p1, p2, u0) =
{
min{p1, p2}u0/p1 = u0, se p1 < p2
0, se p1 > p2
xM2 (p1, p2,m) =
{
0, se p1 < p2
min{p1, p2}u0/p2 = u0, se p1 > p2
ou seja,
xhi (p1, p2, u0) =
{
u0, se p1 < p2
0, se p1 > p2
e xM2 (p1, p2,m) =
{
0, se p1 < p2
u0, se p1 > p2
No caso em que p1 = p2, existem duas cestas o´timas: (u0, 0) e (0, u0). Observe que as
demandas hicksianas e a func¸a˜o dispeˆndio podem ser derivadas resolvendo-se diretamente o
problema de minimizac¸a˜o de dispeˆndio.
e) Suponha que m = 200, p2 = 3 e que o prec¸o do bem 1 aumentou de 1 para 2 (ou seja,
p1 = 1 e mudou para p
′
1 = 2). Calcule a variac¸a˜o no excedente do consumidor, a variac¸a˜o
compensadora e a variac¸a˜o equivalente associadas a essa mudanc¸a no prec¸o do bem 1 (caso
necessa´rio, use a aproximac¸a˜o ln(2) ≈ 0, 7).
6
S: Como o prec¸o do bem 1, mesmo apo´s o seu aumento, continua menor do que o prec¸o o
bem 2, enta˜o o indiv´ıduo continua consumido o bem 1. Logo, a variac¸a˜o no excedente do
consumidor e´ dada por:
∆EC =
∫ p1
p′1
xM(p1)dp1 = −
∫ 2
1
200
p1
dp1 = −200 [ln(2)− ln(1)] ≈ −140
Podemos calcular a V C e a V E de dois modos, ou usando diretamente a definic¸a˜o ou
calculando a integral da demanda hicksiana apropriada. No segundo caso, basta observar
que antes do aumento do prec¸o, o consumidor obtinha um n´ıvel de utilidade u0 = 200 e
depois do aumento do prec¸o ele obte´m um n´ıvel de utilidade u1 = 100. Portanto,
V C =
∫ p1
p′1
xh(p1, u
0)dp1 = −
∫ 2
1
u0 dp = −200 [2− 1] = −200
V E =
∫ p1
p′1
xh(p1, u
1)dp1 = −
∫ 2
2
u1 dp = −100 [2− 1] = −100.
Logo, V C < ∆EC < V E, o que indica um bem normal. Se usarmos diretamente as
definic¸o˜es de V C e V E, basta utilizarmos a utilidade indireta obtida no item b) acima:
V C : v(p1, p2,m) = v(p
′
1, p2,m− V C) ⇒
200
1
=
200− V C
2
⇒ V C = −200
V E : v(p1, p2,m+ V E) = v(p
′
1, p2,m) ⇒
200 + V E
1
=
200
2
⇒ V E = −100
Questa˜o 4 (25 pontos): A func¸a˜o dispeˆndio de Carlos e´ dada por:
e(p1, p2, u0) =
(
p1p2
p1 + p2
)
u0
a) Encontre a func¸a˜o de utilidade indireta de Carlos.
S: Para encontrar a func¸a˜o de utilidade indireta v, usamos a relac¸a˜o de dualidade entre e e
v, dada por e(p1, p2, v(p1, p2,m)) = m:(
p1p2
p1 + p2
)
v(p1, p2,m) = m ⇒ v(p1, p2,m) =
(
p1 + p2
p1p2
)
m
b) Encontre as demandas Hicksianas de Carlos.
S: As demandas Hicksianas podem ser obtidas usando o Lema de Shephard:
∂e(p1, p2, u0)
∂pi
= xhi (p1, p2, u0), i = 1, 2
Fazendo a derivac¸a˜o, encontramos:
xh1(p1, p2, u0) =
(
p2
p1 + p2
)2
u0 e x
h
2(p1, p2, u0) =
(
p1
p1 + p2
)2
u0
c) Encontre as demandas Marshallianas de Carlos.
S: As demandas Marshallianas podem ser obtidas usando a identidade de Roy ou a relac¸a˜o
de dualidade entre demanda Hicksiana e demanda Marshalianna, dada por xMi (p1, p2,m) =
xhi (p1, p2, v(p1, p2,m)), i = 1, 2. Usando a identidade deRoy, dada por:
xi(p1, p2,m) = −∂v(p1, p2,m)/∂pi
∂v(p1, p2,m)/∂m
, i = 1, 2 ,
7
encontramos:
x1(p1, p2,m) =
(
p2
p1(p1 + p2)
)
m e x2(p1, p2,m) =
(
p1
p2(p1 + p2)
)
m
d) Calcule as elasticidades-prec¸o e renda dos bens 1 e 2. Se a renda aumentar em 10%, o que
voceˆ pode dizer que acontecera´ com o consumo de cada um dos dois bens?
S: As elasticidades-prec¸o das duas demandas sa˜o:
�11 =
p1
x1
× ∂x1
∂p1
=
(
p31 + p
2
1p2
p2m
)
×
(
(2p1 + p2)p2m
(p21 + p1p2)
2
)
=
2p41 + 3p
3
1p2 + p
2
1p
2
2
p41 + 2p
3
1p2 + p
2
1p
2
2
=
2p21 + 3p1p2 + p
2
2
p21 + 2p1p2 + p
2
2
�22 =
p2
x2
× ∂x2
∂p2
=
(
p32 + p1p2
p2m
)
×
(
(2p1 + p2)p2m
(p21 + p1p2)
2
)
=
2p41 + 3p1p
3
2 + p
2
1p
2
2
p42 + 2p1p
3
2 + p
2
1p
2
2
=
2p22 + 3p1p2 + p
2
1
p21 + 2p1p2 + p
2
1
As elasticidades-renda sa˜o:
η1 =
m
x1
× ∂x1
∂m
=
(
p21 + p1p2
p2
)
×
(
p2
p21 + p1p2
)
= 1
η2 =
m
x2
× ∂x2
∂m
=
(
p22 + p1p2
p1
)
×
(
p1
p22 + p1p2
)
= 1
Como as elasticidades renda dos dois bens sa˜o unita´rias, enta˜o se a renda aumentar em 10%,
o consumo de cada um dos bens aumentara´ tambe´m em 10%.
8