Resolução do Livro Vetores e Geometria Analítica - Paulo Winterle (cápitulo 6, O PLANO) PARTE I

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1º) Sejam o plano: : 3x + y – z – 4 = 0. Calcule: 
a) O ponto de  que tem abscissa 1 e ordenada 3. 
x = 1 e y = 3 
3x + y – z – 4 = 0 
3 (1) + 3 – z – 4 = 0 
-z + 6 – 4 = 0 
-z + 2 = 0 
z = 2 
Portanto P (1, 3, 2) 
b) O ponde de  que tenha abscissa 0 e cota 2. 
x = 0 e y = 2 
3x + y – z – 4 = 0 
3 (0) + y – 2 – 4 = 0 
y – 6 = 0 
y = 6 
Portanto P (0, 6, 2) 
c) O valor de k para que o ponto P (k, 2, k – 1) pertença a . 
RESOLUÇÃO DO LIVRO VETORES E 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
P (k, 2, k – 1)  r 
3x + y – z – 4 = 0 
3 (k) + 2 – (k – 1) – 4 = 0 
3k – 2 – k + 1 = 0 
2k – 1 = 0 
2k = 1 
k = 1/2 
d) O ponto de abscissa 2 e cuja ordenada é o dobro da cota. 
x = 2 e y = 2z 
3x + y – z – 4 = 0 
3 (2) + 2z – z – 4 = 0 
6 + z – 4 = 0 
z + 2 = 0 
z = -2 
 
y = 2z → y = 2 (-2) → y = -4 
Portanto P (2, -4, -2) 
Nos problemas 2 à 4, determinar uma equação geral do plano. 
2º) Paralelo ao plano : 2x – 3y – z + 5 = 0 e que contenha o ponto A (4, -2, 1). 
1 //  → 𝑛ሬԦ = (2, -3, -1) que é normal a  é também normal a 1, ou seja, os dois planos tem a mesma 
𝑛ሬԦ. 
1: 2x – 3y – z + d = 0 
2 (4) – 3 (-2) – 1 + d = 0 
8 + 6 – 1 + d = 0 
d + 13 = 0 → d = -13. 
1: 2x – 3y – z – 13 = 0 
3º) Perpendicular à reta 
 x = 2 + 2t 
r: y = 1 – 3t 
 z = 4t e que contenha o ponto A (-1, 2, 3). 
𝑛ሬԦ = (2, -3, 4) 
: 2x – 3y + 4z + d = 0 
A   → 2 (-1) – 3 (2) + 4 (3) + d = 0 → -2 – 6 + 12 + d = 0 → 4 + d = 0 → d = -4 
1: 2x – 3y + 4z – 4 = 0 
4º) Que passa pelo ponto médio do segmento de extremos A (5, -1, 4) e B (-1, -7, 1) e seja 
perpendicular a ele. 
Ponto médio = (
𝑥1+ x2
2
, 
𝑦1+ y2
2
, 
𝑧1+ z2
2
) 
M = (
5−1
2
, 
−1−7
2
, 
4+1
2
) 
M = (2, -4, 
5
2
) 
𝑣Ԧ = 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ = B – A = (-1, -7, 1) – (5, -1, 4) = (-6, -6, -3) 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ . 𝑣Ԧ = 0 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ = (x – x0, y – y0, z – z0) 
a ( x – x0) + b (y- y0) + c (z – z0) = 0 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ (-6, -6, -3) e M (2, -4, 
5
2
) 
-6 (x – 2) – 6 (y + 4) – 3 ( z - 
5
2
) = 0 
-6x + 12 – 6y – 24 – 3z + 
15
2
 = 0 
-6x – 6y – 3z – 12 + 
15
2
 = 0 
-6x – 6y – 3z – 12 + 
15
2
 = 0 
-12x – 12y – 6z – 24 + 15 = 0 
-12x – 12y – 6z – 9 = 0 
-4x – 4y – 2z – 3 = 0 
1: 4x + 4y + 2z + 3 = 0 
5º) Dada a equação geral do plano : 3x – 2y – z – 6 = 0, determinar um sistema de equações 
paramétricas de . 
Fazendo: 
x = 0 y = 0 z = -6 → A (0, 0, -6) 
x = 1 y = 0 z = -3 → B (1, 0, -3) 
x = 0 y = 1 z = -8 → C (0, 1, -8) 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ = B – A → (1, 0, -3) – (0, 0, -6) = (1, 0, 3) 
𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ = C – A → (0, 1, -8) – (0, 0, -6) = (0, 1, -2) 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ e 𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ são os vetores diretores de . 
x = 0 + 1 . h + 0 . t → x = h 
y = 0 + 0 . h + 1 . t → y = t 
z = -6 + 3 . h – 2 . t → z = -6 + 3h – 2t 
6º) Sendo 
x = 1 + h – 2t 
y = 1 – t 
z = 4 + 2h – 2t 
Equações paramétricas de um plano , obter uma equação geral. 
Equação vetorial: 
(x, y, z) = (1, 1, 4) + h (1, 0, 2) + t (-2, -1, -2) 
𝑢ሬԦ = (1, 0, 2) e 𝑣Ԧ = (-2, -1, -2) 
Equação geral : 
𝑢ሬԦ x 𝑣Ԧ = 
𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ
1 0 2
−2 −1 −2
 = 
0 2
−1 −2
 𝑖Ԧ - 
1 2
−2 −2
 𝑗Ԧ + 
1 0
−2 −1
 𝑘ሬԦ 
(0 + 2) 𝑖Ԧ – (-2 + 4) 𝑗Ԧ + (-1 + 0) 𝑘ሬԦ = (2, -2, -1) 
Como A (1, 1, -4)   
2x – 2y – z + d = 0 
2 (1) – 2 (1) – 4 + d = 0 
2 – 2 – 4 + d = 0 
d = 4 
Assim vamos ter que a equação geral é: 2x – 2y – z + 4 = 0 
Nos problemas de 7 à 11, escrever uma equação geral e um sistema de equações paramétricas do 
plano determinado pelos pontos: 
7º) A (1, 0, 2), B (-1, 2, -1) e C (1, 1, -1) 
𝑣Ԧ = 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ = B – A → (-1, 2, -1) – (1, 0, 2) = (-2, 2, -3) → h 
𝑣Ԧ = 𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ = C – A → (1, 1, -1) – (1, 0, 2) = (0, 1, -3) → t 
 
 x = 1 – 2h 
 y = 2h + t → Aqui temos equações paramétricas 
 z = 2 – 3h – 3t 
Para a equação geral temos: 
𝑛ሬԦ = 𝑢ሬԦ x 𝑣Ԧ = 
𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ
−2 2 −3
0 1 −3
 = 
2 −3
1 −3
 𝑖Ԧ - 
−2 −3
0 −3
 𝑗Ԧ + 
−2 2
0 1
 𝑘ሬԦ 
(-6 + 3) 𝑖Ԧ – (6 – 0) 𝑗Ԧ + (-2 – 0) 𝑘ሬԦ = (-3, -6, -2) 
Como A (1, 0, 2)   
-3x – 6y – 2z + d = 0 
-3 (1) – 6 (0) – 2 (2) + d = 0 
-3 – 4 + d = 0 
d = 7 
OBSERVAÇÃO: os pontos B e C também podem ser usados. 
Temos assim a equação geral: 3x + 6y + 2z + 7 = 0 
8º) A (0, 0, 0), B (1, 1, 5) e C (-1, 1, 1) 
𝑢ሬԦ = 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ = B – A → (1, 1, 5) – (0, 0, 0) = (1, 1, 5) → h 
𝑣Ԧ = 𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ = C – A → (-1, 1, 1) – (0, 0, 0) = (-1, 1, 1) → t 
 x = h – t 
 y = h + t → Aqui temos as equações paramétricas. 
 z = bh + t 
A equação geral é: 
𝑢ሬԦ x 𝑣Ԧ = 
𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ
1 1 5
−1 1 1
 = 
1 5
1 1
 𝑖Ԧ - 
1 5
−1 1
 𝑗Ԧ + 
1 1
−1 1
 𝑘ሬԦ 
(1 - 5) 𝑖Ԧ – (1 + 5) 𝑗Ԧ + (1 + 1) 𝑘ሬԦ = (-4, -6, 2) 
Como A (0, 0, 0)   
-4x – 6y + 2z + d = 0 
-4 (0) – 6 (0) + 2 (0) + d = 0 
d = 0 
A equação geral é: 
-4x – 6y + 2z + 0 = 0 
-2x – 3y + z = 0 
2x + 3y – z = 0 
9º) A (2, 0, -1), B (-2, 6, 3) e C (0, 3, 4) 
𝑢ሬԦ = 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ = B – A → (-2, 6, 3) – (2, 0, -1) = (-4, 6, 4) → h 
𝑣Ԧ = 𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ = C – A → (0, 3, 4) – (2, 0, -1) = (-2, 3, 5) → t 
 x = 2 - 4h – 2t 
 y = 6h + 3t → Aqui temos as equações paramétricas. 
 z = -1 + 4h + 5t 
A equação geral é: 
𝑢ሬԦ x 𝑣Ԧ = 
𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ
−4 6 4
−2 3 5
 = 
6 4
3 5
 𝑖Ԧ - 
−4 4
−2 5
 𝑗Ԧ + 
−4 6
−2 3
 𝑘ሬԦ 
(30 - 12) 𝑖Ԧ – (-20 + 8) 𝑗Ԧ + (-12 + 12) 𝑘ሬԦ = (18, 12, 0) 
Como A (2, 0, -1)   
18x + 12y + d = 0 
18 (2) + 12 (0) + d = 0 
d = -36 
A equação geral é: 
18x + 12y - 36 = 0 
3x + 2y - 6 = 0 
10º) A (2, 1, 0), B (-4, -2, -1) e C (0, 0, 1) 
𝑢ሬԦ = 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ = B – A → (-4, -2, -1) – (2, 1, 0) = (-6, -3, -1) → h 
𝑣Ԧ = 𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ = C – A → (0, 0, 1) – (2, 1, 0) = (-2, -1, 1) → t 
 x = 2 - 6h – 2t 
 y = 1 - 3h - t → Aqui temos as equações paramétricas. 
 z = -h + t 
A equação geral é: 
𝑢ሬԦ x 𝑣Ԧ = 
𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ
−6 −3 −1
−2 −1 1
 = 
−3 −1
−1 1
 𝑖Ԧ - 
−6 −1
−2 1
 𝑗Ԧ + 
−6 −3
−2 −1
 𝑘ሬԦ 
(-3 - 1) 𝑖Ԧ – (-6 - 2) 𝑗Ԧ + (6 - 6) 𝑘ሬԦ = (-4, 8, 0) 
Como A (2, 1, 0)   
-4x + 8y + d = 0 
-4 (2) + 8 (1) + d = 0 
d = 0 
A equação geral é: 
-4x + 8y = 0 
-x + 2y = 0 
x – 2y = 0 
11º) A (2, 1, 3), B (-3, -1, 3) e C (4, 2, 3) 
𝑢ሬԦ = 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ = B – A → (-3, -1, 3) – (2, 1, 3) = (-5, -2, 0) → h 
𝑣Ԧ = 𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ = C – A → (4, 2, 3) – (2, 1, 3) = (2, 1, 0) → t 
 x = 2 - 5h + 2t 
 y = 1 - 2h + t → Aqui temos as equações paramétricas. 
 z = 3 
A equação geral é: 
𝑢ሬԦ x 𝑣Ԧ = 
𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ
−5 −2 0
2 1 0
 = 
−2 0
1 0
 𝑖Ԧ - 
−5 0
2 0
 𝑗Ԧ + 
−5 −2
2 1
 𝑘ሬԦ 
(0 - 0) 𝑖Ԧ – (-0 - 0) 𝑗Ԧ + (-5 + 4) 𝑘ሬԦ = (0, 0, -1) 
Como A (2, 1, 3)   
-z + d = 0 
-3 + d = 0 
 d= 3 
A equação geral é: 
-z + 3 = 0 
z – 3 = 0