9-QF_GEOMETRIA_ANALITICA_II

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QUESTÕES DE FIXAÇÃO 
 
Questão 1 
Uma chapa de aço precisa ser cortada em formato de um paralelogramo, ou seja, em 
uma figura de quatro lados em que os lados opostos são paralelos entre si. O formato 
final da chapa está apresentado no plano cartesiano a seguir. 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
A máquina que faz o corte do material segue sempre uma equação de reta. Assim, 
quando o lado 1 é cortado, segundo a equação reduzida da reta 2 7y x  , a máquina 
deve parar nas coordenadas ( , )x y do ponto de intersecção e iniciar o corte do lado 2, 
considerando a equação da reta 5 35y x   . 
Com base nas informações apresentadas, e nas coordenadas do ponto de intersecção 
das retas descritas, o resultado da soma x y é: 
a) 19. 
b) 18. 
c) 17. 
d) 16. 
e) 15. 
 
Questão 2 
Um turista, em visita à França, deseja conhecer os principais pontos turísticos de Paris, 
dentre os quais os principais são a Torre Eiffel, o Museu do Louvre e a Catedral de 
Notre Dame. 
No gráfico apresentado no que segue, são destacadas dois trajetos retilíneos 
específicos que podem ser percorridos por esse turista, onde o primeiro tem origem 
no Museu do Louvre e termina na Torre Eiffel, rota indicada pela reta r, ou partindo da 
Catedral de Notre Dame, finalizando na Torre Eiffel, trajeto representado pela reta s: 
 
Fonte: Adaptado de <www.gettyimages.com/detail/illustration/watercolor-vector-
paris-landmark-royalty-free-illustration/>. Acesso em: 6 jul. 2017. 
Sabe-se que, no plano cartesiano apresentado no gráfico anterior, o Museu do Louvre 
localiza-se no ponto de coordenadas (1250,1000)L , enquanto que a Catedral de Notre 
Dame é indicada pelo ponto (1750,500)N . Além disso, as retas r e s podem ser 
descritas, respectivamente, pelas equações gerais 3 1750 0y x   e 
5 4250 0y x   . 
 
Assinale a alternativa que indica corretamente as coordenadas do ponto que, segundo 
o gráfico apresentado e com base nas informações descritas, representa a Torre Eiffel: 
a) (750,1000)E . 
b) (500,750)E . 
c) (1250,625)E . 
d) (750,500)E . 
e) (1000,750)E . 
 
Questão 3 
Um físico está estudando o movimento de uma partícula no plano. Sabe-se que em 
determinado instante a partícula segue um movimento retilíneo. O gráfico a seguir 
ilustra dois pontos, cujas coordenadas são registradas em centímetros, no instante em 
que a partícula estava em movimento retilíneo. 
 
Fonte: elaborado pelo autor. 
O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A e B é: 
a) 
3
7
m   . 
b) 
7
3
m   . 
 
c) 3m   . 
d) 7m   . 
e) 
7
3
m  . 
 
Questão 4 
Um avião Airbus executou uma trajetória aproximadamente retilínea na decolagem. A 
trajetória descrita pelos pontos (30;84,5)A e (50; 29,5)B , cujas coordenadas são 
dadas em metros, é apresentada na figura a seguir. 
 
Fonte: Adaptado de <https://pixabay.com/pt/photos/download/airbus-
158485.png>. Acesso em: 17 fev. 2016. 
Nessa situação,  representa aproximadamente o ângulo de decolagem. 
Em relação a situação apresentada, e adotando (110º ) 2,75tg   , o ângulo  de 
decolagem é: 
a) 40º 
b) 70º 
c) 110º 
d) 130º 
e) 160º 
 
 
Questão 5 
O prefeito de uma cidade deseja construir uma nova avenida que seja perpendicular à 
avenida principal e que passe pela prefeitura localizada no ponto A. Para efeito de 
projeto, a avenida principal e a prefeitura estão dispostas em um plano cartesiano em 
que as escalas estão em quilômetros. Veja o gráfico apresentado no que segue: 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
A equação da reta que representa a avenida principal é 5
2
x
y    . 
Com base nas informações apresentadas, qual é a equação da reta que descreve a 
nova avenida? 
a) 2y x  . 
b) 2,5
2
x
y   . 
c) 11,5
2
x
y    . 
d) 2 25y x   . 
e) 2 11y x  . 
 
 
 
Questão 6 
Um instituto de meteorologia, após estudos relacionados às temperaturas médias 
observadas nas cidades de São Paulo e Porto Alegre em certo período de tempo, 
verificou que poderia aproximar as variações da temperatura em cada cidade por meio 
de retas. Com as informações coletadas, foi possível construir o seguinte gráfico: 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
 
Sabe-se que a reta que caracteriza a temperatura em São Paulo tem equação geral 
10 11 128 0y x   , enquanto que a temperatura em Porto Alegre, nesse mesmo 
período, é descrita pela reta de equação geral 10 16 115 0y x   , sendo a abscissa (x) 
correspondente ao tempo e a ordenada (y) associada à temperatura. 
Considerando que as pesquisas foram iniciadas no instante 0x  , após quantos 
meses de pesquisas as duas cidades registraram, em um mesmo instante, a mesma 
temperatura média? 
a) 1,3 meses. 
b) 2,2 meses. 
c) 2,6 meses. 
 
d) 2,8 meses. 
e) 3,5 meses. 
 
Questão 7 
Um arquiteto, na elaboração do projeto de uma casa, precisa determinar o ângulo de 
inclinação do telhado. Sabendo que o ângulo de inclinação pode ser determinado 
conhecendo-se o valor de sua tangente, para auxiliar nesse estudo, o arquiteto 
verificou que a aresta do telhado pode ser modelada por uma reta r de equação geral 
4 3 8 0y x   . 
 
Fonte: <https://pixabay.com/pt/casa-home-constru%C3%A7%C3%A3o-pouco-
janela-160367/>. Acesso em: 4 jul. 2017. 
Considerando as informações apresentadas, qual é o valor da tangente do ângulo  
de inclinação do telhado obtido a partir da equação geral da reta r? 
a) 0tg  . 
b) 3tg  . 
c) 
1
2
tg  . 
d) 
1
4
tg  . 
 
e) 
3
4
tg  . 
 
Questão 8 
Pedro, estudando os conceitos de reta, não conseguiu determinar uma coordenada de 
intersecção entre duas retas dadas. Ao igualar equações reduzidas das duas retas, ele 
percebeu que não era possível terminar a conta, chegando à seguinte proposição 
falsa: 
7 7 3 9 0 12x x     
Pedro, não conseguiu compreender o porquê desse resultado. 
Pedro não conseguiu determinar as coordenadas do ponto de intersecção, pois as 
duas retas podem ser classificadas como: 
a) Concorrentes perpendiculares. 
b) Concorrentes oblíquas. 
c) Reversas não ortogonais. 
d) Reversas ortogonais. 
e) Paralelas não coincidentes. 
 
Questão 9 
Para efeito de projeto, duas avenidas em uma determinada cidade foram 
representadas por meio de duas retas em um plano cartesiano. Sabe-se que avenida 
1 é perpendicular à avenida 2, além disso, a equação da reta que descreve a avenida 2 
é 5 17 0y x   . A figura a seguir ilustra as duas avenidas no plano cartesiano. 
 
 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
Note que a avenida 1 intersecciona o eixo das abscissas em 5x  . 
Se as coordenadas do ponto de intersecção das retas que representam as avenidas 
são dadas por ( , )x y , então o resultado de x y é, aproximadamente: 
a) 5,4. 
b) 6,4. 
c) 7,4. 
d) 8,4. 
e) 9,4. 
 
Questão 10 
Um homem desce uma rampa íngreme aproximadamente retilínea descrita pelas 
Duas partículas descrevem trajetórias retilíneas seguindo, respectivamente, as 
equações da reta 
4 21y x  e 9 4y x  
Para fins de estudos, é importante determinar as coordenadas, no plano cartesiano, 
do ponto no qual as trajetórias das partículas são coincidentes. 
 
Se as coordenadas do ponto de intersecção das retas descritas por 4 21y x  e 
9 4y x  são dadas na forma ( , )x y , então o resultado de y x é: 
a) 16. 
b) 21. 
c) 36. 
d) 41. 
e) 46. 
 
Questão 11 
O gráfico apresentado no que segue corresponde a um polinômio do terceiro grau. É 
possível observar mudanças em sua curvatura: o seu gráfico ora se curva para baixo, 
ora se curva para cima. No entanto, o gráfico intersecta o eixo x três vezes, o que indica 
que a função tem no máximo três raízes reais. 
 
 
Fonte: 
<http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/
cap111s5.html>. Acesso em: 8 de dez. 2016. 
Determine a equação geral da reta que é secante à curva, representada 
graficamente pelo polinômio do terceiro grau de equação 3 2() 3 7 22 8f x x x x    , 
nos pontos de abcissa 4 e 2: 
 
a) 20 80 0x y   . 
b) 80 0x y   . 
c) 10 3 20 0x y   . 
d) 20 60 0x y   . 
e) 10 3 60 0x y   . 
 
Questão 12 
Um engenheiro, projetando um cabo de aço para a sustentação de um prédio em 
construção, obteve as coordenadas dos pontos A e B descritas na figura a seguir. 
 
Fonte: elaborado pelo autor. 
 
As medidas indicadas na figura são dadas em metros. Sabe-se que a inclinação do 
cabo com a horizontal é importante, pois, desta forma, o engenheiro pode 
determinar qual o comprimento do cabo de aço. 
Considerando os dados apresentados no problema, o resultado de tg é igual a: 
a) 0,78. 
b) 0,89. 
c) 1,12. 
 
d) 1,28. 
e) 1,57. 
 
Questão 13 
Uma chapa de aço precisa ser cortada em formato de um paralelogramo, ou seja, em 
uma figura de quatro lados em que os lados opostos são paralelos entre si. O formato 
final da chapa está apresentado no gráfico a seguir. 
 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
 
A máquina que faz o corte do material, para transformá-lo em uma chapa como a da 
figura, segue sempre uma equação de reta. Assim, o lado 1 é cortado seguindo a 
equação reduzida da reta 6 2y x   . 
Sabendo que os lados 1 e 2 são opostos do paralelogramo, qual é a equação reduzida 
da reta que a máquina deve utilizar para cortar o lado 2, sabendo que este passa pelo 
ponto A, cujas coordenadas são indicadas no gráfico apresentado? 
a) 1y x  . 
 
b) 7y x   . 
c) 6 27y x   . 
d) 6 21y x  . 
e) 4 13y x  . 
 
Questão 14 
Em um experimento envolvendo feixes de luz observados no interior de uma câmara 
escura, um físico observa a trajetória percorrida por feixes originados a partir de 
fontes específicas. 
Durante uma das análises, este pesquisador observa as trajetórias percorridas pelos 
feixes denominados  e  . Para ambos os feixes, é possível aproximar suas trajetórias 
por meio de retas. 
É conhecida a trajetória percorrida pelo feixe  , descrita por uma reta de equação 
geral dada por 5 2 3 0y x   . Além disso, por meio de observações e estudos, 
verificou-se também que o feixe  percorre uma trajetória perpendicular à do feixe 
 , de modo que o ponto de intersecção entre os trajetos tem coordenadas (4,1)Q . 
A partir das informações apresentadas, qual das seguintes alternativas apresenta a 
equação geral da reta que descreve corretamente a trajetória percorrida pelo feixe 
de luz  ? 
a) 5 2 5 0y x   . 
b) 2 5 11 0y x   . 
c) 2 4 0y x   . 
d) 2 5 22 0y x   . 
e) 2 5 11 0x y   
 
 
Questão 15 
Duas partículas descrevem trajetórias retilíneas segundo, respectivamente, as 
equações da reta 
3 7y x  e 8 2y x  
Para fins de estudo, é importante determinar as coordenadas do ponto, no plano 
cartesiano, em que a trajetória das partículas são coincidentes. 
Se as coordenadas do ponto de intersecção das retas descritas por 3 7y x  e 
8 2y x  são dadas na forma ( , )x y , então qual é o resultado assumido por x y 
nesse caso? 
a) 8. 
b) 9. 
c) 10. 
d) 11. 
e) 12. 
 
Questão 16 
Dentre as diversas posições relativas entre retas que podem ser estudadas, podemos 
destacar as retas concorrentes, sejam elas oblíquas ou perpendiculares, 
caracterizadas pela presença de pontos de intersecção. 
Sejam as retas r e s de equações gerais dadas, respectivamente, por 
2 5 0y x   e 3 10 0y x   
Com base nas informações apresentadas, assinale a alternativa correta: 
a) As retas r e s são paralelas distintas e não possuem ponto de intersecção. 
b) As retas r e s são paralelas coincidentes e possuem infinitos ponto de intersecção. 
c) As retas r e s são concorrentes com ponto de intersecção (3,1)P . 
 
d) As retas r e s são concorrentes com ponto de intersecção (2,4)P . 
e) As retas r e s são concorrentes com ponto de intersecção (1,3)P . 
 
Questão 17 
Suponha que a variação dos preços de certo produto, por unidade e em um intervalo 
de dez meses, pode ser aproximado por uma reta. 
No segundo mês observou-se que cada unidade do produto custava R$ 3,50, 
enquanto que no sétimo mês, o preço foi de R$ 4,25 por unidade. O gráfico seguinte 
descreve a variação dos preços desse produto no intervalo de tempo considerado, 
sendo os pontos P e Q referentes aos preços no segundo mês e sétimo mês 
respectivamente. 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
Em relação à situação apresentados, qual é o coeficiente angular da reta que contém 
os pontos P e Q? 
a) 0,15m  . 
b) 0,50m  . 
c) 0,75m  . 
 
d) 0,86m  . 
e) 1,25m  . 
 
Questão 18 
Um avião monomotor executou uma trajetória aproximadamente retilínea instantes 
antes do pouso. A trajetória do avião, descrita pelos pontos (40; 67,14)A e 
(60;32,5)B , cujas coordenadas são dadas em metros, é apresentada na figura a 
seguir. 
 
Fonte: Adaptado de <https://pixabay.com/pt/photos/download/prop-airliner-
161058.png>. Acesso em: 17 jan. 2016. 
Nessa situação,  representa aproximadamente o ângulo de pouso. 
Considerando os dados apresentados, e adotando (120º ) 1,732tg   , qual deve ser o 
ângulo  de pouso do avião? 
a) 30°. 
b) 60°. 
c) 90°. 
d) 120°. 
e) 150°. 
 
 
Questão 19 
Em uma estação, um grupo de funcionários é responsável por analisar as rotas 
adotadas pelos trens de modo a evitar acidentes e proporcionar um fluxo de veículos 
que atenda à demanda de passageiros da região metropolitana da cidade. 
Dois trens A e B partiram da estação em momentos distintos e seguem ambos para a 
região leste. Suponha que, devido à disposição dos trilhos na região considerada, as 
trajetórias dos dois veículos podem ser descritas por retas específicas. 
O trem A percorre um trajeto que pode ser representado, no plano cartesiano, pela 
reta de equação geral 4 3 328 0y x   . Sabe-se também que o trem B deve 
percorrer um trajeto paralelo ao do trem A para que não ocorra colisão entre os 
veículos e, além disso, em seu trajeto, o mesmo deve passar pelo ponto de 
coordenadas (150,200)P . 
A partir das informações apresentadas, assinale a alternativa que indica 
corretamente a equação geral da reta que descreve o trajeto a ser percorrido pelo 
trem B de modo a evitar acidentes: 
a) 4 3 350 0y x   . 
b) 4 3 200 0y x   . 
c) 4 150 0x y   . 
d) 3 4 250 0x y   . 
e) 2 3 175 0y x   . 
 
Questão 20 
Um estudante de engenharia, resolvendo exercícios sobre o coeficiente angular da 
reta, percebeu que o coeficiente m de uma reta não podia ser determinado já que a 
resolução apresentava uma conta impossível de ser realizada. A conta realizada pelo 
estudante é dada a seguir: 
 
12 ( 17) 12 17 29
 
0 0 0
B A
B A
y y
m m m m
x x
   
        

 
Assim, m não pode ser determinado, pois não se divide nenhum número por zero. 
Apesar de não ser possível determinar o coeficiente m, com base nos procedimentos 
observados, qual deve ser o menor ângulo formado entre a reta e a horizontal? 
a) 0º. 
b) 30º. 
c) 45º. 
d) 60º. 
e) 90º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTA COMENTADA 
 
Questão 1 
Resposta correta: 
Alternativa A. 
Resolução comentada 
Na intersecção de 2 7y x  e 5 35y x   , tem-se 
28
5 35 2 7 5 2 7 35 7 28 4
7
x x x x x x

               

 
Consequentemente, a coordenada y pode ser obtida substituindo 4x  em qualquer 
uma das duas equações. Por exemplo, tomando 2 7y x  , então: 
2 7 2 4 7 8 7 15y x y y          
Portanto, sabendo que as coordenadas do ponto de intersecção são dadas por (4, 15)
, então 4 15 19x y    . 
 
Questão 2 
Resposta correta: 
Alternativa B. 
Resolução comentada 
A Torre Eiffel, na representação considerada, corresponde ao ponto de intersecção 
entre as rotas que envolvem o Museu do Louvre e a Catedral de Notre Dame, ou seja, 
à intersecção das retas r e s. 
Sabe-se que as retas r e s podem ser descritas, respectivamente,pelas equações 
gerais 3 1750 0y x   e 5 4250 0y x   , logo, o ponto que caracteriza a Torre 
Eiffel pode ser determinado a partir do seguinte sistema linear: 
 
3 1750 0
5 4250 0
y x
y x
  

  
 
Ao somar as duas equações do sistema tem-se 
3 1750 0
 3 5 1750 4250 0 8 6000 0
5 4250 0
y x
y y y
y x
  
       
  
 
6000
 8 6000 750
8
y y y      
Para determinar o valor assumido por x pode-se substituir 750y  em uma das 
equações, como 3 1750 0y x   por exemplo, e assim, 
3 1750 0 3 750 1750 0 2250 1750 0y x x x            
500
 500 0 500 500
1
x x x x

          

 
Portanto, com base nas informações apresentadas, a Torre Eiffel corresponde, no 
gráfico, ao ponto de coordenadas (500,750)E . 
 
Questão 3 
Resposta correta: 
Alternativa A. 
Resolução comentada 
As coordenadas dos pontos apresentados são dadas por ( 2, 7)A  e (5, 4)B , então, 
utilizando a fórmula B A
B A
y y
m
x x



,
 
tem-se 
4 7 3 3
 .
5 ( 2) 5 2 7
m m m
  
    
  
 
Portanto, o coeficiente angular da partícula é 
3
7
m   . 
 
 
Questão 4 
Resposta correta: 
Alternativa B. 
Resolução comentada 
Primeiramente, deve-se determinar o coeficiente angular da reta que passa pelos 
pontos (30;84,5)A e (50; 29,5)B . Para isso, utilizando a fórmula B A
B A
y y
m
x x



,
 
tem-se 
29,5 84,5 55
 2,75
50 30 20
m m m
 
     

 
Assim, o coeficiente angular da reta descrita pelos pontos A e B é 2,75m   . 
Sabendo-se que m tg , então 2,75 tg  . Além disso, como (110º ) 2,75tg   , 
conforme apresentado no enunciado, então 110º  . Note que o ângulo  é 
diferente do ângulo solicitado pelo enunciado, observe a figura a seguir: 
 
Fonte: Adaptado de https://pixabay.com/pt/photos/download/airbus-158485.png 
Acesso: 17 fev. 2016. 
 Portanto, como 180    , então 180º 110º 70º    . 
 
Questão 5 
Resposta correta: 
Alternativa E. 
 
Resolução comentada 
O coeficiente angular da reta que descreve a avenida principal 5
2
x
y    é 
1
2
m   . 
Como a nova avenida é perpendicular à avenida principal, então o coeficiente angular 
da reta que descreve a nova avenida é: 
1 1 2
 1 2
1 1
2
perp perp perp perpm m m m
m
          


 
Além disso, a nova avenida deve passar pelo ponto (9,7)A . Dessa forma, tomando 
0 0( , ) (9,7)x y  e utilizando a equação fundamental da reta, obtém-se 
0 0( ) 7 2 ( 9) 2 18 7 2 11perpy y m x x y x y x y x                
 Portanto, a equação da reta que representa a nova avenida é 2 11y x  . 
 
Questão 6 
Resposta correta: 
Alternativa C. 
Resolução comentada 
Para determinar o momento em que as duas cidades registraram a mesma 
temperatura média, é preciso investigar o ponto de intersecção das retas que 
caracterizam as variações de temperatura em ambas as cidades. 
A reta que caracteriza a temperatura em São Paulo tem equação geral 
10 11 128 0y x   , e a referente a Porto Alegre, tem equação geral 
10 16 115 0y x   . Para determinar o ponto de intersecção entre as retas pode-se 
resolver o seguinte sistema de equações lineares: 
10 11 128 0
10 16 115 0
y x
y x
  

  
 
Subtraindo a segunda equação da primeira segue que 
 
10 11 128 0
 11 ( 16 ) 128 ( 115) 0 11 16 128 115 0
10 16 115 0
y x
x x x x
y x
  
             
  
 
13
 5 13 0 5 13 2,6
5
x x x        
Substituindo 2,6x  , por exemplo, na equação que caracteriza a temperatura em São 
Paulo (10 11 128 0)y x   , obtém-se 
10 11 128 0 10 11 (2,6) 128 0 10 28,6 128 0y x y y            
156,6
 10 156,6 0 10 156,6 15,66
10
y y y        
Portanto, após 2,6 meses as duas cidades registraram a mesma temperatura, igual a 
15,66°C. 
 
Questão 7 
Resposta correta: 
Alternativa E. 
Resolução comentada 
O ângulo de inclinação do telhado pode ser estudado com base na inclinação da reta 
r, a qual representa uma de suas arestas. Sabe-se que o coeficiente angular da reta 
está associado à tangente do ângulo  formado entre a reta e a horizontal. 
Convertendo a equação geral da reta r em sua forma reduzida, tem-se 
3 8 3
4 3 8 0 4 3 8 2
4 4 4
y x y x y x y x            
Como a equação reduzida de r é 
3
2
4
y x  , o coeficiente angular de r é 
3
4
m  . 
Da igualdade m tg tem-se 
3
4
tg m   
 
Portanto, a tangente do ângulo de inclinação do telhado é 
3
4
tg  . 
 
Questão 8 
Resposta correta: 
Alternativa E. 
Resolução comentada 
Através do resultado do enunciado 
7 7 3 9 0 12x x     
é possível perceber que a variável x pode ser cancelada, pois o coeficiente angular das 
duas retas é igual (lembre-se de que o coeficiente angular aparece à frente da variável 
x quando a equação está na forma reduzida y mx b  ). Assim, duas retas com os 
coeficientes angulares iguais denotam duas retas paralelas. O resultado 0 = 12 mostra 
que elas são paralelas não coincidentes, pois os coeficientes lineares das duas retas 
não se cancelaram. 
Portanto, Pedro não conseguirá encontrar as coordenadas do ponto de intersecção, 
pois as retas são paralelas distintas, ou não coincidentes. 
 
Questão 9 
Resposta correta: 
Alternativa D. 
Resolução comentada 
Reescrevendo a equação que representa a avenida 2 de maneira a isolar a variável y, 
tem-se: 
17
5 17 0 5 17 
5 5
x
y x y x y         
 
Assim, o coeficiente angular da reta que representa a avenida 2 é 2
1
5
m  . Como as 
duas avenidas são perpendiculares, então o coeficiente angular da reta que descreve 
a avenida 1 é: 
1 1 1 1
2
1 1 5
 1 5
1 1
5
m m m m
m
            
Sabe-se também que a avenida 1 passa pelo ponto (5,0) . Dessa forma, tomando 
0 0( , ) (5,0)x y  e utilizando a equação fundamental da reta, obtém-se 
0 1 0( ) 0 5 ( 5) 5 25y y m x x y x y x              
Conhecendo a equação da reta que representa a avenida 1 ( 5 25)y x   e a avenida 
2 
1 17
5 5
y x
 
  
 
, pode-se então determinar as coordenadas do ponto de intersecção 
das duas retas. Assim, 
1 17 1 17 25 125 17
5 25 5 25 
5 5 5 5 5 5
x x
x x x x
 
          
26 108 108
 26 108 4,15
5 5 26
x
x x       
A coordenada y pode ser obtida substituindo 4,15x  em qualquer uma das duas 
equações. Por exemplo, de 5 25y x   segue que: 
5 25 5 (4,15) 25 20,75 25 4,25y x y y y              
Portanto, sabendo-se que as coordenadas do ponto de intersecção é (4,15; 4,25) , 
então 
4,15 4,25 8,4x y    
 
 
 
 
Questão 10 
Resposta correta: 
Alternativa C. 
Resolução comentada 
Na intersecção de 4 21y x  e 9 4y x  , tem-se 
25
4 21 9 4 4 9 21 4 5 25 5
5
x x x x x x

              

 
A coordenada y pode ser obtida substituindo 5x  em qualquer uma das duas 
equações. Por exemplo, de 9 4y x  segue que: 
9 4 9 5 4 45 4 41y x y y          
Portanto, como o ponto de intersecção tem coordenadas (5, 41) , então 
41 5 36y x    . 
 
Questão 11 
Resposta correta: 
Alternativa A. 
Resolução comentada 
Pelo gráfico, é possível observar que o ponto de abscissa 4 que intersecta o gráfico do 
polinômio corresponde a (4, 0)B , por se tratar do ponto onde o polinômio intersecta 
o eixo das abscissas, ou seja, o eixo x. 
 
Questão 12 
Resposta correta: 
Alternativa D. 
 
Resolução comentada 
Sabendo-se que tg m  , então basta determinar o coeficiente angular m da reta que 
contém os pontos A e B, conforme os dados apresentados na figura. Assim, como as 
coordenadas dos pontos conhecidos são (10,0)A e (25;19,2)B , pela fórmula 
B A
B A
y y
m
x x


 
tem-se 
19,2 0 19,2
 1,2825 10 15
m m m

    

 
Portanto, como tg m  , então 1,28.tg  
 
Questão 13 
Resposta correta: 
Alternativa C. 
Resolução comentada 
O coeficiente angular da reta que descreve o lado 1, dada por 6 2y x   , é 6m   . 
Como o lado 2 é paralelo ao lado 1, por serem lados opostos de um paralelogramo, 
então o coeficiente angular da reta que descreve o lado 2 é igual ao da reta que 
descreve o lado 1, ou seja: 
2 1 2 6m m m    
Além disso, a equação que descreve o lado 2 deve conter o ponto (4,3)A . Dessa forma, 
tomando 0 0( , ) (4,3)x y  e utilizando a equação fundamental da reta, obtém-se 
2 ( ) 3 6 ( 4) 3 6 24A Ay y m x x y x y x               
 6 24 3 6 27y x y x        
 Portanto, a equação da reta necessária para que a máquina faça o corte do lado 2 é 
dada por 6 27y x   . 
 
Questão 14 
Resposta correta: 
Alternativa D. 
Resolução comentada 
Da equação geral da reta que descreve o trajeto percorrido pelo feixe  , tem-se 
2 3
5 2 3 0 5 2 3 
5 5
y x y x y x         
Logo, o coeficiente angular da reta relacionada a  é igual a 
2
5
m  . 
Sabendo que o trajeto percorrido pelo feixe  é perpendicular ao de  então: 
1 1 5 5
 1 
2 2 2
5
m m m m
m
   

            
Sendo assim, o coeficiente angular da reta associada ao feixe  é 
5
2
m   . 
Como o ponto de intersecção entre os trajetos tem coordenadas (4,1)Q , em particular, 
Q é um ponto da reta que caracteriza a trajetória do feixe  . Assim, pela equação 
fundamental da reta, 
5 5 20
( ) 1 ( 4) 1
2 2 2
Q Qy y m x x y x y x               
5 20 5 20 2 5
 1 11
2 2 2 2 2
y x y x y x

             
Convertendo a equação reduzida em equação geral tem-se: 
5 5
11 11 0
2 2
y x y x       
e multiplicando ambos os membros por 2, 
5
11 0 2 5 22 0
2
y x y x       
 
Portanto, a equação geral da reta que descreve a trajetória do feixe de luz  é dada 
por 2 5 22 0y x   . 
 
Questão 15 
Resposta correta: 
Alternativa D. 
Resolução comentada 
Na intersecção de 3 7y x  e 8 2y x  , tem-se 
5
3 7 8 2 8 3 7 2 5 5 1
5
x x x x x x

               

 
Desse modo, a coordenada y pode ser obtida substituindo 1x  em qualquer uma das 
duas equações. Por exemplo, considerando a equação 8 2y x  , tem-se 
8 2 8 1 2 8 2 10y x y y          
Portanto, como as coordenadas do ponto de intersecção são dadas por ( , ) (1, 10)x y 
, então 1 10 11x y    . 
 
Questão 16 
Resposta correta: 
Alternativa C. 
Resolução comentada 
Para verificar se as retas r e s são paralelas ou não, é preciso reescrevê-las em suas 
respectivas formas reduzidas. 
Para a reta r tem-se 
5
2 5 0 2 5 
2 2
x
y x y x y           
 
e para s, 
3 10 0 3 10y x y x       
Como os coeficientes angulares das retas r e s são distintos, pois 
1
2
rm   e 3sm   , 
então podemos concluir que as retas não podem ser classificadas como paralelas. 
Para verificar se existe intersecção entre r e s, pode-se igualar as equações reduzidas 
de ambas as retas, e assim, 
5 5 6 20 5
3 10 3 10 
2 2 2 2 2 2
x x x x
x x
  
            
5 15 15
 5 15 3
2 2 5
x
x x       
Substituindo 3x  em uma das equações, como 3 10y x   por exemplo, tem-se 
3 10 3 3 10 9 10 1y x y y             
Portanto, as retas r e s são concorrentes, com ponto de intersecção (3,1)P . 
 
Questão 17 
Resposta correta: 
Alternativa A. 
Resolução comentada 
O ponto P refere-se ao preço no segundo mês, tendo coordenadas (2; 3,50)P . De 
modo análogo, como o ponto Q diz respeito ao sétimo mês, suas coordenadas são 
dadas por (7; 4,25)Q . 
Para determinar o coeficiente angular da reta que contém os pontos P e Q pela 
fórmula Q P
Q P
y y
m
x x



, tem-se 
 
4,25 3,50 0,75
 0,15
7 2 5
m m m

    

 
Portanto, o coeficiente angular da reta que contém P e Q é 0,15m  . 
 
Questão 18 
Resposta correta: 
Alternativa B. 
Resolução comentada 
Primeiramente, deve-se determinar o coeficiente angular da reta que passa pelos 
pontos (40; 67,14)A e (60;32,5)B . Utilizando a fórmula B A
B A
y y
m
x x



,
 
tem-se: 
32,5 67,14 34,64
 1,732
60 40 20
m m m
 
     

 
Assim, o coeficiente angular da reta descrita pelos pontos A e B é 1,732m   . 
Sabendo-se que m tg , então 1,732 tg  . Além disso, sabendo-se que 
(120º ) 1,732tg   , informação apresentada no enunciado, então 120º  . Note que o 
ângulo  é diferente do ângulo solicitado pelo enunciado, observe a figura a seguir: 
 
Fonte: Adaptado de <https://pixabay.com/pt/photos/download/prop-airliner-
161058.png>. Acesso em: 17 jan. 2016. 
 Portanto, como 180    , então 180º 120º 60º    . 
 
Questão 19 
Resposta correta: 
Alternativa A. 
Resolução comentada 
No trajeto de ambos os veículos, deve-se adotar trajetórias paralelas de modo a evitar 
acidentes. Logo, a reta que representa o trajeto do trem A deve ser paralela à reta que 
descreve o trajeto correspondente ao trem B. Sendo assim, os coeficientes angulares 
das retas devem ser iguais entre si. 
Da equação geral da reta associada ao trem A temos que 
3 328 3
4 3 328 0 4 3 328 82
4 4 4
y x y x y x y x            
Desta forma, o coeficiente angular da reta associada ao trem A é 
3
4
Am  e, 
consequentemente, o coeficiente angular da reta associada ao trem B é 
3
4
Bm  . 
Como, em seu trajeto, o trem B deve passar pelo ponto de coordenadas (150,200)P , 
da equação fundamental da reta segue que: 
3 3 450
( ) y 200 ( 150) 200
4 4 4
P Py y m x x x y x             
3 450 3 450 800 3 350
 200 
4 4 4 4 4 4
y x y x y x
 
          
Convertendo a equação reduzida em equação geral, obtém-se: 
3 350 3 350
 0
4 4 4 4
y x y x      
e ao multiplicar ambos os membros por 4 segue que: 
3 350
=0 4 3 350 0
4 4
y x y x      
 
Portanto, a reta que caracteriza o trajeto percorrido pelo trem B tem equação geral 
dada por 4 3 350 0y x   . 
 
Questão 20 
Resposta correta: 
Alternativa E. 
Resolução comentada 
A reta descrita no enunciado está na vertical, pois não há variação em x (em relação 
ao eixo x), pois B Ax x , o que implica em 0B Ax x  . Observe uma representação 
dessa reta: 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
Como a reta está na vertical, o ângulo formado com a horizontal é de 90º.