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ENG-003316 - MECANISMOS
Mobilidade, em se tratando de um mecanismo, é a propriedade que deter-
mina o número de Graus de Liberdade que esse mecanismo possui, o que 
pode ser definido de duas formas equivalentes:
 Quantidade total de movimentos independentes que o mecanismo 
pode realizar;
 Quantidade de parâmetros (variáveis, coordenadas) necessária para 
definir completamente a posição do mecanismo;
O espaço em que vivemos tem como característica intrínseca a proprieda-
de de ser tridimensional, ou seja, para representar o deslocamento de um 
ponto em um sistema de eixos, são necessárias três coordenadas, sejam 
coordenadas cartesianas, cilíndricas ou esféricas. Já para representar a 
variação de posição de um corpo rígido – ele próprio com três dimensões 
– são necessárias seis coordenadas: três para o deslocamento de um 
ponto de referência no corpo (o centróide, por exemplo), e três para as ro-
tações que o corpo (potencialmente) realizou.
A disciplina de Mecanismos estudará mecanismos planares, que são 
aqueles cujo movimento pode ser projetado em verdadeira grandeza num 
plano de referência. A restrição a um plano equivale simbolicamente a um 
par planar, que cria três restrições sobre cada componente, sobrando três 
graus de liberdade: dois eixos de translação coincidentes ao plano, e um 
eixo de rotação perpendicular ao plano.
Ao considerarmos um conjunto de elementos planares desconectados, te-
mos três graus de liberdade para cada elemento. Sendo L (links) o número 
de elementos do conjunto, o número de graus de liberdade do sistema 
será 3L.
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Licença 3.0 Unported. Para ver uma cópia desta licença, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.pt
Autor: Helton Scheer de Moraes; Fontes: ISBN 0-19-515598-X, ISBN 0-07-247046-1 e ISBN 0-07-026910-6
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Por definição, um mecanismo precisa ter um dos elos fixo ao plano de re-
ferência, e assim a mobilidade passa a ser igual a 3(L-1). É importante no-
tar que, se o mecanismo real tiver mais de um elemento fixo, o seu diagra-
ma continuará contendo apenas um, correspondendo à união de todos es-
ses elementos fixos.
Ao adicionarmos uma junta, são criadas restrições, removendo graus de li-
berdade do sistema. Se uma junta possui dois graus de liberdade, significa 
que um grau foi removido, restando dois. Já se uma junta possui um único 
grau de liberdade, significa que ela restringiu (removeu) os outros dois 
graus. Um par de elementos conectados apresenta, portanto, três graus 
de liberdade para o primeiro elemento, e três menos o número de restri-
ções da respectiva junta, para o segundo. As juntas com um grau de liber-
dade são representadas como j1, e as com dois graus de liberdade são re-
presentadas como j2.
Assim sendo, temos condições de calcular a mobilidade m de um meca-
nismo a partir da quantidade de elementos que o compõe, bem como da 
quantidade e do tipo de juntas existentes entre eles, utilizando a Fórmula 
de Kutzbach:
1 23( 1) 2m L j j= − − −
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Como exemplo, vejamos como calcular a mobilidade do mecanismo 
abaixo:
Primeiramente, devemos determinar o número de elementos (L). Ve-
mos que o mecanismo está numerado a partir do número 2, e isso 
ocorre porque o elemento fixo, por convenção, recebe geralmente o 
número 1, e não é desenhado por inteiro, apenas os pontos ou linhas 
em que há juntas. O cursor representado pelo número 8 é um ele-
mento binário, apresentando um par deslizante com o elemento 1 e 
um par rotativo com o elemento 7. Assim, temos oito elementos neste 
mecanismo.
Em seguida, contamos as juntas. Nesta etapa, é necessário conside-
rar a ordem das juntas, que equivale ao número de elementos que 
ela conecta, menos um. Isso ocorre porque, numa junta conectando 
n elementos, existem n-1 movimentos relativos possíveis com relação 
a um determinado elemento de referência, e portanto n-1 graus de li-
berdade. Neste mecanismo, temos 7 pares rotativos de primeira or-
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dem, um par rotativo de segunda ordem (que é contado duas vezes), 
e um par deslizante. Assim sendo j1 = 10 e j2 = 0. Pela fórmula, te-
mos:
3(8 1) 2(10) 0 1m = − − − =
e, portanto, o mecanismo possui um grau de liberdade.
Vejamos mais um exemplo:
Aqui, o número de elementos é seis, o número de pares rotativos é 
sete (a junta entre os elementos 4, 5 e 6 é de segunda ordem e, por-
tanto, contada duas vezes), e temos uma junta com dois graus de li-
berdade, entre os elementos 3 e 1. Chegamos a esta última conclu-
são analisando apenas o movimento relativo entre os elementos que 
compõe a junta, que neste caso permite rotação e translação inde-
pendentes, considerando o rolamento e o deslizamento. Ainda, pode-
ríamos dizer que, se as superfícies dos dois corpos apresentam, num 
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dado momento, um único ponto comum, é necessário um parâmetro 
para definir esse ponto em uma das superfícies, e outro parâmetro 
para o ponto na outra superfície (isso considerando apenas mecanis-
mos planares, onde as superfícies de contato se projetam no plano 
como linhas, unidimensionais).
Aplicando a fórmula:
3(6 1) 2(7) 1 0m = − − − =
ou seja, o mecanismo não tem nenhum grau de liberdade e, portanto, 
está travado, ou é uma estrutura.
É interessante comparar as juntas do elemento 8 do primeiro exem-
plo com a junta de rolamento e deslizamento do último exemplo: no 
primeiro caso, temos duas juntas com um grau de liberdade cada, 
uma para translação e outra para rotação. No segundo exemplo, te-
mos uma única junta com dois graus de liberdade, pois permite rota-
ção e translação simultaneamente. Cinematicamente, ambas são 
equivalentes.
Um último exemplo:
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Aqui temos sete elementos (sendo dois ternários) e oito juntas, todas 
de primeira ordem, uma delas com dois graus de liberdade (pino des-
lizante). Aplicando a fórmula:
3(7 1) 2(2) 1 3m = − − − =
Este é um mecanismo,portanto, com três graus de liberdade. Para 
que possamos posicioná-lo em uma configuração desejada, seriam 
necessários três atuadores, que controlariam três parâmetros das 
juntas (rotação dos pinos ou curso do par deslizante). De outra forma, 
se fosse desejado um mecanismo com menor mobilidade (menos 
graus de líberdade), seria necessário remover elementos ou adicionar 
juntas.
Como último comentário, vale lembrar que mobilidade m=0 significa 
que o mecanismo na verdade está travado e é uma estrutura isostáti-
ca. Já se a mobilidade for negativa (m<0), significa que é uma estru-
tura hiperestática, com um número |m| de elementos em condição de 
pré-carga.
Também vale dizer que nem sempre a regra é válida, como no caso 
de cilindros rolantes, ou de mecanismos contendo paralelogramos. 
Isso ocorre porque no primeiro mecanismo, o centro instantâneo de 
giro relativo entre os cilindros não se move, e no segundo porque o 
centro instantâneo entre barras paralelas e iguais está no infinito.
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