AD1 2021-2 solução

Prévia do material em texto

Geometria Espacial Solução da AD1 Página 1 de 4
Solução da AD1 de Geometria Espacial - 2021.1
Questão 1. (2,5 pts) Considere um cubo ABCD − EFGH.
A B
CD
E F
GH
a) (0,6 pt) Liste todas as retas reversas à reta AB que passem por dois vértices do cubo. Use os vértices
para identificar as retas.
b) (0,7 pt) Escolha uma dessas retas e explique por que não existe um plano que contenha a reta escolhida
e a reta AB. Isto é, explique por que as retas são reversas.
c) (0,6 pt) Liste todas as retas paralelas à reta AB que passem por dois vértices do cubo.
d) (0,6 pt) Escolha uma dessas retas e explique por que ela é paralela a AB.
Solução:
a) Existem 12 retas reversas a AB nas condições dadas.
No plano da face CDHG: DH, CG, CH e DG.
No plano da face EFGH: EG, EH, FH e FG.
No plano da face ADHE (ainda não listada): ED.
No plano da face BCGF (ainda não listada): CF .
Vértices não contidos na mesma face: DF e CE.
Como AB está contida nas faces ABCD e ABFE, não há retas reversas a AB nesses planos.
b) As retas AB e DH são reversas porque existe um único plano que contém os pontos não colineares
A, B e D, é o plano da face ABCD, e esse plano não contém o ponto H. Portanto, nenhum plano
contém as retas AB e DH.
c) CD, GH e EF .
d) Explicação para AB e CD. As retas AB e CD são paralelas porque contém os segmentos opostos
do quadrado ABDC, que são paralelos.
Explicação para AB e GH. Da mesma forma como justificado que AB e CD são paralelas mostra-
se que CD e GH são paralelas. Se AB é paralela a CD e CD é paralela a GH, então AB é paralela
a GH.
Reveja, na Aula 21, a definição de ângulo entre reta e plano. Uma maneira alternativa de expressar essa
definição é: Uma reta perpendicular a um plano faz ângulo de 90◦ com esse plano. Para uma reta obĺıqua ao
plano (não perpendicular a ele), a medida do ângulo entre a reta e o plano é o ângulo entre esta reta e sua
projeção ortogonal no plano.
Questão 2. (2,5 pts) Esta atividade pretende justificar que o ângulo entre uma reta obĺıqua a um plano e este
plano é o menor ângulo entre a reta e uma reta do plano. Seja γ um plano, r uma reta obĺıqua a γ por um
Fundação CECIERJ Realização acadêmica: UFF e UNIRIO Consórcio CEDERJ
Geometria Espacial Solução da AD1 Página 2 de 4
ponto A de γ. Considere uma reta s contida no plano γ que passe por A. Escolha um ponto P 6= A em r e
chame de P ′ sua projeção ortogonal sobre γ. Queremos mostrar que o ângulo entre r e AP ′ é menor que, ou
igual a, o ângulo entre r e s. Para isso, considere P ′′ ∈ s a projeção ortogonal de P sobre s. Denote por α o
ângulo P̂AP ′ e por β o ângulo P̂AP ′′.
a) (0 pt) Faça a construção descrita no GeoGebra de modo que você possa mover a reta s e os pontos P e A.
Use a ferramenta “ângulo” para exibir as medidas dos ângulos α e β. Mova a reta s e visualize como os
ângulos se alteram. Reflita sobre o que são cada uma das retas.
b) (1,25 pt) Faça uma figura que ilustre a situação em questão.
c) (1,25 pt) Mostre que α < β.
d) (0 pt) Releia a atividade inteira e reflita se o que foi feito realmente prova o fato inicialmente proposto.
Solução:
a) −−
b) A figura do enunciado é como a seguir:
c) Observe que o triângulo PP ′P ′′ é retângulo em P ′ pois como a reta PP ′ é perpendicular ao plano,
ela é perpendicular a todas as retas deste plano, em particular, PP ′ é perpendicular a P ′P ′′. Como
PP ′′ é um triângulo retângulo em P ′, o lado PP ′′ é a hipotenusa e, portanto, maior que o cateto
PP ′. Como os triângulos retângulos APP ′ e APP ′′ possuem a mesma hipotenusa AP e o cateto
PP ′ de APP ′ é menor que o cateto PP ′′ de APP ′′, podemos concluir que sinα < sinβ. Como os
ângulos α e β são positivos e menores do que 90◦ e a função seno é crescente no intervalo [0, 90◦],
conclúımos que α < β.
Gráfico da função seno.
d) −−
Questão 3. (2,5 pts) O aplicativo do link mostra um prisma triangular obĺıquo de bases ABC e A′B′C ′.
Manipule os pontos X, Y e Z em vermelho para identificar o ângulo entre os planos ABC e BCC ′.
https://www.geogebra.org/m/ftuhuqbj
Fundação CECIERJ Realização acadêmica: UFF e UNIRIO Consórcio CEDERJ
https://www.geogebra.org/m/ftuhuqbj
Geometria Espacial Solução da AD1 Página 3 de 4
Qual é a medida do ângulo entre os planos ABC e BCC ′ é em graus? Apresente o seu racioćınio.
Instruções sobre o aplicativo:
� Clique e arraste para girar a janela de visualização e ver a figura de outro ponto de vista.
� É posśıvel aproximar ou afastar a figura girando a “rodinha” do mouse.
Solução:
Esta questão avalia se você conhece a definição de ângulo entre planos e a sua percepção espacial. O
ângulo entre dois planos secantes é o ângulo entre uma reta de um deles e uma reta do outro plano. Mas
essas retas não são quaisquer (do contrário a definição não estaria bem feita pois haveria ambiguidade),
ambas precisam ser perpendiculares à reta de interseção dos planos. Na janela de visualização 2D
você pode arrastar o ponto X até que a reta XY fique aproximadamente perpendicular à reta BC, de
interseção dos planos ABC e BCC ′. Na janela de visualização 3D você pode arrastar o ponto Z até que
a reta Y Z forme um ângulo de aproximadamente 90◦ com a reta BC.
Agora basta realizar a leitura do ângulo α, em azul, na figura. α ≈ 33,62◦.
Questão 4. (2,5 pts) Um tetraedro regular é uma pirâmide triangular reta em que todas as faces são triângulos
equiláteros (veja a figura).
DB
A
C
Considere um plano α paralelo às retas BD e AC que intersecta as arestas AB, BC, CD e DA nos pontos X,
Y , Z e T , respectivamente. O quadrilátero XY ZT é um retângulo, você não precisa justificar esse fato.
Dentre todas as posições posśıveis para o retângulo XY ZT , encontre aquela em que o paralelogramo tem a
Fundação CECIERJ Realização acadêmica: UFF e UNIRIO Consórcio CEDERJ
Geometria Espacial Solução da AD1 Página 4 de 4
maior área.
Solução:
Primeiro é necessário perceber que o plano α não é unicamente determinado. Observe no https:
//www.geogebra.org/m/xjpa22pn que, conforme escolhemos uma outra posição para o plano α, há
diversas possibilidades para o quadrilátero XY ZT .
Agora precisamos calcular a área de XY ZT e ver como ela se altera conforme variamos o plano α.
Chamemos de x o comprimento do lado XY . Observe que o comprimento do lado Y Z é uma função de
x, isto é, conforme variamos x (mudando o plano α), obtemos um novo valor para o comprimento Y Z.
Como XY é paralela a AC, os triângulos BXY e BAC são semelhantes e, portanto, BXY também é
equilátero. Da mesma forma, como Y Z é paralela a BD, temos CY Z e CBD semelhantes, logo CY Z
é equilátero. Assim, o comprimento de Y Z é igual ao comprimento de Y C, que vale a − x, onde a é o
comprimento da aresta do tetraedro. Finalmente, obtemos
Área(x) = x(a− x) = −x2 + ax.
Observe que a é constante e que x é a variável. Assim a função área é uma função quadrática do
comprimento x de XY . Além disso, o coeficiente ĺıder é negativo, de modo que a função tem um
máximo. Perceba que esta função quadrática possui ráızes em x = 0 e em x = a (o que é natural, visto
que o retângulo XY ZT se degenera nestas situações). Logo, o máximo para a função área ocorre em
x = a2 . Ou seja, o retângulo XY ZT tem área máxima quando o plano α intersecta as arestas em seus
pontos médios. Quando isso ocorre, XY ZT é um quadrado pois x = a− x.
Fundação CECIERJ Realização acadêmica: UFF e UNIRIO Consórcio CEDERJ
https://www.geogebra.org/m/xjpa22pn
https://www.geogebra.org/m/xjpa22pn