OTIMIZAÇÃO E CURVAS 2015.1

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CÁLCULO I - TURMAS HT / BR 
ESBOÇO DE CURVAS / PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 
 
 01. Para cada função dada a seguir :
 
 
a) ache as regiões de crescimento e decrescimento de f , bem como seus extremos locais classificando-os. 
 
b) Estude a concavidade e os pontos de inflexão do gráfico de f. 
 
c) Estude a existência de assíntotas horizontais e verticais no gráfico de f. 
 
d) Esboce o gráfico de f. 
 
i. f(x) = 
 
 
 ii. f(x) = 
 
 iii. f(x) = 
 
 
 iv. f(x) = 
 
 
 v. f(x) = 
 
 
 vi. f(x) = 
 
 
 vii. f(x) = viii. f(x) = x 
 
02. A figura abaixo representa o gráfico da derivada de g’(x) para -2 2. 
 
 a) O gráfico de g(x) apresenta pontos de inflexão em [-2,2] ? 
 b) Determine os valores de x nos quais g atinge o máximo e o mínimo absolutos no intervalo. 
 
03. A reta r liga a origem a um ponto sobre a curva y = , para Determine a inclinação máxima dessa reta e o valor 
de x para o qual isso ocorre. 
 GAB: 
 
 
 e ocorre em x = 
 
 
 
04.Uma função é definida por f(x) = 
 
 
 . Sabendo que o gráfico de f corta o eixo dos y no ponto y = 2 e possui um ponto de 
inflexão em x = 1, determine a e b . 
 GAB: a = 2+ 2e e b = e. 
 
05.Seja f(x) = x² + a sen x. Determine os valores de a para os quais o gráfico de f é sempre côncavo para cima. 
 GAB: 
 
06.Determine o ponto da parábola y = 1 - x² , com , que se encontra mais próximo da origem. 
 GAB: ( 
√ 
 
 
 
 
) 
 
07.Seja r a reta que passa pelo ponto (1,2) e intecepta os eixos coordenados nos pontos A = ( a,0) e b = (0,b), com 
 Ache a equação de r de modo que a distância entre A e B seja mínima. 
 GAB: y – 2 = - √ 
 
 ( x – 1 ) 
 
08.Uma empresa de turismo aluga ônibus com capacidade para 50 pessoas a grupos de 35 pessoas ou mais. Quando um grupo 
contém exatamente 35 pessoa, cada pessoa paga R$60,00. Nos grupos maiores, o preço por pessoa é reduzido de R$1,00 
para cada pessoa que exeder 35.Determine o número de pessoas do grupo para o qual a receita da empresa é máxima. 
 GAB: 12 ou 13 pessoas. 
 
09.Uma lâmpada está suspensa a uma altura h acima do chão conforme ilustra a figura abaixo. A iluminação no ponto P é 
inversamente proporcional ao quadrado da distância do ponto P até a lâmpada e diretamente proporcional ao cosseno do 
ângulo . A que distãncia do chão deve estar a lâmpada para maximizar a iluminação no ponto P ? 
 GAB: √ m 
 
10.Sendo A e B constantes positivas, a força entre dois átomos em uma molécula é dada por : f(r) = - 
 
 
 +
 
 
 , onde r é a 
distância entre os àtomos. Que valor de r minimiza a força entre os átomos ? 
 GAB: r = 
 
 
 
 
11.Quando uma corrente elétrica passa por dois resistores com resistência r1 e r2 , conectados em paralelo, a resistência 
equivalente, R é dada por 
 
 
 
 
 
 
 
 
. Sendo r2 constante, ache r1 no intervalo a que maximiza R. 
 
 GAB: r1 = b 
 
12.Um muro tem 3m de altura, é paralelo à parede de um edifício,e está a 0,3m desta. Determine o comprimento da menor 
escada que vá do chão à parede do edifício, tocando o muro.(Sugestão: Use semelhança de triângulos) 
 
 GAB : 

4,45m 
13.Uma janela tem a forma de um triângulo equilátero acima de um retângulo. O retângulo é feito de um tipo de vidro que 
transmite duas vezes mais luz que o vidro do qual é feito o triângulo.Se a janela inteira tem 2,0m de perímetro, ache as 
dimensões da janela que maximizam a luminosidade através da mesma. 
 GAB: retângulo de 39cm X 42cm e o lado do triângulo 39cm 
 
14.Um hemisfério de raio 1,0m repousa sobre um plano horizontal. Um cilindro vertical está de pé com seu eixo vertical e o 
centro de sua base coincidindo com o centro da esfera que origina o hemisfério.Sabe-se ainda que a borda da face lateral do 
cilindro tangencia o hemisfério.Determine as dimensões do cilindro , sabendo que o mesmo apresenta o maior var possível. 
 GAB : r =√
 
 
 m e h = √ 
 
 m 
15.Deve-se fazer uma taça de cartolina em forma de cone circular reto, de volume de 10cm³. Determine as dimensões que 
exigem menor quantidade de material. 
 
 GAB : raio da base =√
 
 
 
 cm e altura = 
 
 
√
 
 
 
 cm