AP3-CIII-2019-1-gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP3 de Cálculo III – Gabarito – 23/06/2019
Código da disciplina: EAD 01015 (Matemática/F́ısica/Qúımica ) e EAD 16062
(Engenharia de Produção )
Nome: Matŕıcula:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os
respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
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• Identifique a Prova, colocando Nome, Matŕıcula e
Polo.
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mento que sirva para cálculo como também qualquer
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cador.
• Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta
para registro das resoluções nas Folhas de Respostas.
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mesmo que em folha de rascunho, serão ignoradas.
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Questão 1 (3,0 pontos)
Considere a função F : R3 −→ R, definida por F (x, y, z) = xyz
3
3 +
z4
24 +
3xyz2
2 +
5z2
2 + xz + y
2.
(a) (1,5 ponto) Decida se o Teorema da Função Impĺıcita pode ser utilizado para garantir que a equação
F (x, y, z) = 1 define implicitamente uma função z = f(x, y) em uma vizinhança V do ponto (0, 1) ∈ R2;
(b) (1,5 ponto) Para cada (x, y, z) ∈ R3, seja
G(x, y, z) = ∂
3F
∂z3
(x, y, z).
Decida se o Teorema da Função Impĺıcita pode ser utilizado para garantir que a equação G(x, y, z) = 0
define implicitamente uma função z = g(x, y) em uma vizinhança W do ponto (0, 1) ∈ R2;
Solução:
(a) Observemos que
1 = F (0, 1, z) = z
4
24 +
5z2
2 + 1 =⇒ z = 0.
Uma vez que
Fz(x, y, z) = xyz2 +
z3
6 + 3xyz + 5z + x =⇒ Fz(0, 1, 0) = 0,
o Teorema da Impĺıcita não garante a existência de uma vizinhança V do ponto (0, 1), na qual a equação
F (x, y, z) = 1 defina implicitamente uma função z = f(x, y).
Cálculo III AP3 2
(b) Sabemos que
Fz(x, y, z) = xyz2 +
z3
6 + 3xyz + 5z + x,
Fzz(x, y, z) = 2xyz +
z2
2 + 3xy + 5,
e
G(x, y, z) = Fzzz(x, y, z) = 2xy + z
para todo (x, y, z) ∈ R3. Como Gz(x, y, z) = −360, tem-se, em particular, Gz(0, 1, 0) = 1 6= 0. Portanto, o
Teorema da Impĺıcita garante a existência de uma vizinhançaW do ponto (0, 1), na qual a equação G(x, y, z) =
0 defina implicitamente uma função z = g(x, y).
Questão 2 (4,0 pontos)
Considere a função f : R2 −→ R, definida por
f(x, y) = −x2 − y2 + 2x+ 4y − 5.
(a) (2,0 pontos) Encontre os pontos cŕıticos de f , classificando cada um como ponto de ḿınimo local , ou
como ponto de máximo local , ou como ponto de sela;
(b) (1,0 ponto) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto P = (0, 2, f(0, 2));
(c) (1,0 ponto ) Utilizando o conceito de Diferencial , obtenha uma aproximação para
f
(
1
2000 , 2 +
1
π780
)
.
Solução:
(a) Como
fx(x, y) = −2x+ 2 e fy(x, y) = −2y + 4
para quaisquer (x, y) ∈ R2, os pontos cŕıtcos de f são as soluções do sistema determinado pelas equações
−2x+ 2 = 0 e − 2y + 4 = 0
Portanto,
P = (1, 2)
é o único ponto cŕıtico de f . Agora, notemos que
fxx(x, y) = −2 =⇒ fxx(P ) = −2;
fyy(x, y) = −2 =⇒ fyy(P ) = −2;
fxy(x, y) = 0 =⇒ fxy(P ) = 0.
Nesse caso, sendo
H(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y)− [fxy(x, y)]2,
segue que H(P ) = (−2) · (−2)− 02 = 4 > 0. Dáı,
fxx(P ) < 0 e H(P ) > 0 =⇒ P é um ponto de máximo local de f.
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Cálculo III AP3 3
(b) Uma vez que f(0, 2) = −1, fx(0, 2) = 2 e fy(0, 2) = 0, a equação do plano tangente ao gráfico de f , no
ponto P = (0, 2, f(0, 2)) é dada por
z − f(0, 2) = fx(0, 2)(x− 0) + fy(0, 2)(y − 2),
ou seja,
z + 1 = 2x+ 0 · (y − 2)( que equivale a z = 2x− 1).
(c) Pondo ∆x = 12000 e ∆y =
1
π780 , temos
f(0 + ∆x, 2 + ∆y) ∼= f(0, 2) + fx(0, 2)∆x+ fy(0, 2)∆y,
isto é,
f
(
1
2000 , 2 +
1
π780
)
∼= −1 + 2 ·
(
1
2000
)
+ 0 ·
(
1
π780
)
= −0, 999.
Questão 3 (3,0 pontos)
Calcule os seguintes limites:
(a) (1,0 ponto) lim
(x,y)→(1,0)
xy − 2x− y + 2
x2 − 1 ;
(b) (1,0 ponto) lim
(x,y)→(0,0)
y3√
x4 + y4
;
(c) (1,0 ponto) lim
(x,y)→(0,0)
x
x− y
.
Solução:
(a) Como
xy − 2x− y + 2 = x(y − 2)− (y − 2) = (x− 1)(y − 2),
temos
lim
(x,y)→(1,0)
xy − 2x− y + 2
x2 − 1 = lim(x,y)→(1,0)
(x− 1)(y − 2)
(x− 1)(x+ 1) = lim(x,y)→(1,0)
y − 2
x+ 1 =
−2
2 = −1
(b) Uma vez que
y2 =
√
y4 ≤
√
x4 + y4,
para todo (x, y) ∈ R2, conclúımos que a função
γ : (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} 7−→ y
2√
x4 + y4
∈ R
é limitada. Como lim
(x,y)→(0,0)
y = 0, obtemos
lim
(x,y)→(0,0)
y3√
x4 + y4
= lim
(x,y)→(0,0)
yγ(x, y) = 0.
(c) Ponhamos
h(x, y) = x
x− y
,
para cada (x, y) ∈ R2, com x 6= y. Como
lim
t→0
h(t, 0) = lim
t→0
t
t− 0 = limt→0 1 = 1
e
lim
t→0
h(0, t) = lim
t→0
0
0− t = limt→0 0 = 0,
deduzimos que lim
(x,y)→(0,0)
x
x− y
não existe.
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RASCUNHO
Nome: Matŕıcula:
Atenção!
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