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AULA 06 – PROBABILIDADES Au la 0 6: Pr ob ab ili da de s– Pr of . C irç o M an ci lla - 1 - RESOLUÇÃO COMENTADA 1. Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de: a) Sair o número 3. Solução. Temos E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(E) = 6] e A = {3} [n(A) = 1]. Portanto, a probabilidade procurada será igual a P(A) = 1 6 b) Sair um número par. Solução. Agora o evento é A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade procurada será P(A) = 3 1 6 2 c) Sair um múltiplo de 3. Solução. O evento A = {3, 6} com 2 elementos. Logo a probabilidade será P(A) = 2 1 6 3 2) Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de: a) Sair a soma 8 Solução. Observe que neste caso, o espaço amostral E é constituído pelos pares ordenados (i,j), onde i = número no dado 1 e j = número no dado 2. É evidente que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou 6. O mesmo ocorrendo com j. As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos: (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2). Portanto, o evento "soma igual a 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidade será igual a P(A) = 5 36 b) Sair a soma 12. Solução. Neste caso, a única possibilidade é o par (6,6). Portanto, a probabilidade procurada será igual a P(A) = 1 36 3) Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando- se uma bola com reposição, calcule as probabilidades seguintes: a) Sair bola azul. Solução. 6 3 ( ) 0,30 30% 20 10 P A b) Sair bola vermelha. Solução. 10 1 ( ) 0,50 50% 20 2 P A c) Sair bola amarela. Solução. 4 1 ( ) 0,20 20% 20 5 P A 4) Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que 5000 pessoas são assinantes do jornal J, 4000 são assinantes de P, 1200 são assinantes de ambos e 800 não lêem jornal. Qual a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja assinante de ambos os jornais? Solução. Precisamos calcular o número de pessoas do conjunto universo, ou seja, nosso espaço amostral. Teremos: n(E) = N(J U P) + N.º de pessoas que não lêem jornais. n(E) = n(J) + N(P) – N(J U P) + 800 n(E) = 5000 + 4000 – 1200 + 800 n(E) = 8600 Portanto, a probabilidade procurada será igual a: P = 1200/8600 = 12/86 = 6/43. Logo, p = 6/43 = 0,1395 = 13,95%. OBS. A interpretação do resultado é a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma pessoa da comunidade, a probabilidade de que ela seja assinante de ambos os jornais é de aproximadamente 14%.(contra 86% de probabilidade de não ser). 5) Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Calcule as probabilidades de: a) Em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V) e depois uma bola branca (B). Solução. Lembrando a fórmula: ( ) ( ). ( / )P V B P V P B V , temos: 5 ( ) 7 P V (5 bolas vermelhas de um total de 7). Supondo que saiu bola vermelha na primeira, ficaram 6 bolas na urna. Calculamos, então 2 1 ( / ) 6 3 P B V Substituindo na fórmula temos: 5 1 5 ( ) ( ). ( / ) . 7 3 21 P V B P V P B V b) Em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depois uma bola branca. Solução. Com a reposição da primeira bola retirada, os eventos ficam independentes. Neste caso, a probabilidade será calculada como: 5 2 10 ( ) ( ). ( ) . 7 7 49 P V B P V P B 6) Ao se retirar uma carta do baralho, qual a probabilidade de ocorrer uma dama? Solução. O espaço amostral possui 52 elementos (um baralho tem cinqüenta e duas cartas). O evento desejado (uma dama) possui 4 elementos (ouros, copas, paus, espadas). Logo, a probabilidade procurada é: 4 1 ( ) 52 13 P D 7) Suponha que uma caixa possui duas bolas pretas e quatro verdes, e, outra caixa possui uma bola preta e três bolas verdes. Passa-se uma bola da primeira caixa para a segunda, e retira-se uma bola da segunda caixa. Qual a probabilidade de que a bola retirada da segunda caixa seja verde? Solução. Este problema envolve dois eventos mutuamente exclusivos, quais sejam: * Ou a bola transferida é verde ou a bola transferida é preta. 1ª possibilidade: a bola transferida é verde. Probabilidade de que a bola transferida seja verde: 4 2 ( ) 6 3 P V (4 bolas verdes em 6). Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE na 2ª caixa, supondo-se que a bola transferida é de cor VERDE, será igual a: 4 ( / ') 5 P V V (a segunda caixa possui agora, 3 bolas verdes + 1 bola verde transferida + 1 bola preta, portanto, 4 bolas verdes em 5). Pela regra da probabilidade condicional, vem: 2 4 8 ( ') ( ). ( / ') . 3 5 15 P V V P V P V V 2ª possibilidade: a bola transferida é preta. Probabilidade de que a bola transferida seja preta: 2 1 ( ) 6 3 P P (2 bolas pretas e 4 verdes). Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE, supondo-se que a bola transferida é de cor PRETA, será igual a: 3 ( / ) 5 P V P (2ª caixa = 1 bola preta + 3 bolas verdes + 1 bola preta). Daí, vem: 1 3 1 ( ) ( ). ( / ) . 3 5 5 P V P P P P V P Finalmente vem: 8 1 8 3 11 [( ') ( )] ( ') ( ) 15 5 15 15 15 P V V V P P V V P V P AULA 06 – PROBABILIDADES Au la 0 6: Pr ob ab ili da de s– Pr of . C irç o M an ci lla - 2 - 8) Uma caixa contém três bolas vermelhas e cinco bolas brancas e outra possui duas bolas vermelhas e três bolas brancas. Considerando-se que uma bola é transferida da primeira caixa para a segunda, e que uma bola é retirada da segunda caixa, podemos afirmar que a probabilidade de que a bola retirada seja da cor vermelha é: a) 18 75 b) 19 45 c) 19 48 d) 18 ´ 45 e) 19 75 9) Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Retirando- se ao acaso, 3 parafusos dessa amostra, determine a probabilidade de que os 3 parafusos sejam defeituosos. Solução. Podemos selecionar 3 parafusos dentre 50 de 350 50! 19600 3!47! C formas. Dentre as 5 defeituosas, podemos retirar de 35 5! 1 3!2! C formas. Logo, 10 ( ) 0,05% 19600 P D 10) FEI-SP – Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. Retiramos 3 bolas sem reposição. Qual é a probabilidade de as duas primeiras serem pretas e a terceira vermelha? Solução. Como não há reposição, a cada retirada diminui o número de bolas na urna. Os eventos são independentes. Veja a tabela. 1ª retirada 2ª retirada 3ª retirada preta preta vermelha 10 9 8 total 18 17 16 Logo 10 9 8 720 5 ( ) ( ). ( ). ( ) . . 14,7% 18 17 16 4896 34 P P P V P P P P P V 11) FMU-SP – Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 4 pretas; dela são retiradas duas bolas, uma após a outra, sem reposição; a primeira bola retirada é de cor preta; Qual a probabilidade de que a segunda bola retirada seja vermelha? Solução. Repare que esse problema difere do anterior, pois não supõe uma composição de resultados. Se a pergunta fosse: “Qual a probabilidade de a primeira ser preta e segunda ser vermelha?”, a solução seria: 4 5 20 5 ( ) ( ). ( ) . 9 8 72 18 P P V P P P V No entanto, o evento “primeira preta” não é calculado. Ocorreu com certeza. Logo não interfere em nada no segundo. Logo 5 ( ) 8 P V 12) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, outro todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado lance, o juiz retira ao acaso um cartão do bolso e o mostra a um jogador. Qual a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador ser amarela. Solução. A probabilidade de sortear o cartão AV (duas cores) é 1 ( ) 3 P AV Uma vez sorteado esse cartão, queremos que o juiz veja a face vermelha 1( ) 2 P V Logo a probabilidade de ocorrerem essas duas situações é: 1 1 1 ( ) ( ). ( / ) . 3 2 6 P AV V P AV P V AV 13. (FUVEST-SP) Uma urna contém 3 bolas: uma verde, uma azul e uma branca. Tira-se uma bola ao acaso, registra-se a core coloca-se a bola de volta a urna. Repete-se essa experiência mais duas vezes. Qual a probabilidade de serem registradas três cores distintas? Solução: 1 verde, 1 azul, 1 branca n(E) = 3.3.3 = 27 A: Saírem 3 cores diferentes. n(A) = 3.2.1 = 6 6 2 P(A) = 27 9 14. (FEI-SP) Jogando-se dois dados, qual a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja 4 ou 5? n(E) = 36 A: A soma dos resultados é 4. A={(1;3),(2;2),(3;1)} n(A) = 3 3 P(A) = 36 B: A soma dos resultados é 5. B={(1;4),(2;3),(4;1),(3;2)} n(B) = 4 4 P(B) = 36 3 4 7 P(AUB) = 36 36 36 15. (VUNESP-SP) Um baralho de 12 cartas tem 4 ases. Retiram-se duas cartas uma após a outra. Qual a probabilidade de que a segunda seja um ás, sabendo- se que a primeira é um ás? n(E) = 12 3 Como a 1ª é um às, então resta 3 cartas de ases P = 11 16. (EEM-SP) Lançando-se simultaneamente dois dados, cujas faces são numeradas de 1 a 6, qual a probabilidade de: a) serem obtidos números cujo produto seja ímpar? n(E) = 36 A: o produto seja ímpar. A= 1;1 1;3 1;5 3;1 3;3 3;5 5;1 5;3 5;5 9 1 n(A) = 9 P = 36 4 b) serem obtidos números cujo produto seja par? n(E) = 36 A: o produto seja par. A= 1;2 1;4 1;6 2;1 2;2 2;3 ... 5;2 ... 6;6 27 3 n(B) = 27 P = 36 4 17. (CESCEA-SP) Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Seja o experimento retirada de uma bola. Considere os eventos: A: “a bola retirada possui um número múltiplo de 2.” B: “a bola retirada possui um número múltiplo de 5.” Determine a probabilidade do evento A B. n(E) = 20 A: A bola retirada possui um número múltiplo de 2. A= 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 28, 20 10 n(A) = 10 P(A) = 20 B: A bola retirada possui um número múltiplo de 5. B = {5, 10, 15, 20} n(B) = 4 P(B) 4 = 20 2 A B = {10, 20} n(A B) = 2 P(A B) = 20 10 4 2 12 3 P(A B) = 20 20 20 20 5 Solução. a) Considere que 1º transferiu uma vermelha:P(V) e sorteou vermelha na segunda caixa: P(V/V’) = 3 3 9 . 8 6 48 b) Considere que 1º transferiu uma vermelha:P(B) e sorteou vermelha na segunda caixa: P(V/B) = 5 2 10 . 8 6 48 Finalize somando os resultados: 9 10 19 48 48 48 Letra C. AULA 06 – PROBABILIDADES Au la 0 6: Pr ob ab ili da de s– Pr of . C irç o M an ci lla - 3 - 18. (CESGRANRIO) Dois dados perfeitos são lançados ao acaso. Determine a probabilidade de que a soma dos resultados obtidos seja 6. n(E) = 36 A: A soma seja 6. A= 1;5 2;4 3;3 4;2 5;1 5 n(A) = 5 P(A) = 36 19. (FEI-SP) Em uma gaveta há 12 lâmpadas, das quais 4 estão queimadas. Se três lâmpadas são escolhidas ao acaso e sem reposição, qual a probabilidade de apenas uma das escolhidas estar queimada? 12,3n(E) = C = 220 A: Um das lâmpadas estar queimada. n(A)= C4,1.C8,2 = 4.28 = 112 112 28 P(A) = 220 55 20. (VUNESP-SP) Um baralho tem 100 cartões numerados de 1 a 100. Retiram-se 2 cartões ao acaso (sem reposição). Determine a probabilidade de que a soma dos dois números dos cartões retirados seja igual a 100. 100,2n(E) = C = 4950 n(A)= 1;99 2;98 48;52 ... 49;51 n(A)=49 49 P(A) = 4950 21. (MACK-SP) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores positivos de 30, determine a probabilidade de que ele seja par ou primo. E={1,2,3,5,6,10,15,30} n(E) = 8 A: O número é par. A={2,6,10,30} 4 n(A)= 4 P(A) = 8 B: O número é primo. B={2,3,5} 3 n(B) = 3 P(B) = 8 1 A B = {2} n(A B) = 1 P(A B) = 8 4 3 1 3 P(A B)= 8 8 8 4 22. (OSEC-SP) A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma única bola de uma urna contendo 4 bolas brancas e 3 vermelhas e 5 azuis, é? n(E) = 12 A: Sair bola branca. n(A) = 4 4 1 P(A) = 12 3 23. (FGV-SP) Uma urna contém 1000 bolinhas numeradas de 1 a 1000. Uma bola é sorteada. Qual a probabilidade de observarmos um múltiplo de 7? n 1a = a +(n-1).r 994 = 7 +(n-1).7 n = 142 142 71 ( ) 1000 500 P A 24. (PUC-PR) De um grupo de 15 rapazes, cinco devem ser relacionados ao acaso para formar um time de basquete. Entre os 15 estão Carlos e Augusto. Qual a probabilidade de que ambos sejam selecionados? 25. (UFBA) Uma fábrica produz 40 peças, das quais seis com defeito. Qual a probabilidade, escolhendo-se ao acaso uma das peças de que ela seja perfeita? A: Peças perfeitas. A: Peças defeituosas. P(A) + P(A) = 1 P(A) = 1 - P(A) 6 17 P(A) = 1 - P(A) = 40 20 26. (FUVEST-SP) Em uma loteria com 30 bilhetes, 4 são premiados. Comprando- se 3 bilhetes, qual a probabilidade de nenhum deles ser premiado? 15,5 13,3 n(E) = C = 3003 n(A) = C = 286 286 2 P(A) = simplificando por 143 P(A) = 3003 21 27. (FUVEST-SP) Escolhidos ao acaso, um elemento do conjunto dos divisores positivos de 60, determine a probabilidade de que ele seja primo. E = {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60} n(E) 12 A: O número escolhido é primo. A = {2,3,5} 3 1 n(A) = 3 P(A) = 12 4 28. (FUVEST-SP) Numa urna há 5 bolas brancas, 3 azuis, 4 verdes, 2 amarelas e uma marrom. Extraindo uma bola ao acaso, a probabilidade de sair uma bola azul ou amarela é? . n(E)= 15 A: sai bola azul. 3 n(A) = 3 P(A) = 3 2 5 115 P(A B) = 15 15 15 3 B: sair bola amarela. 2 n(B) = 2 P(B) = 15
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