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Aula 10
Raciocínio Lógico - Matemático p/ PRF
(Policial)Com Videoaulas-2020-
Pré-Edital(Preparação de A a Z)
Autor:
Guilherme Neves
Aula 10
13 de Julho de 2020
Curso adquirido no site www.rateiobarato.com
 
 
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Sumário 
1. Translação no plano cartesiano ............................................................................................................... 2 
1.1 Translação horizontal ......................................................................................................................... 2 
1.2 Translação vertical ............................................................................................................................. 5 
2. Reflexão no plano cartesiano .................................................................................................................. 8 
2.1 Reflexão em relação ao eixo x ........................................................................................................... 9 
2.2 Reflexão em relação ao eixo y ...................................................................................................... 10 
3. Função Quadrática ................................................................................................................................ 11 
3.1 Concavidade da parábola ............................................................................................................... 14 
3.2 Termo independente de função quadrática ................................................................................ 15 
3.3 Zeros da função quadrática .......................................................................................................... 16 
3.4 Forma fatorada ............................................................................................................................. 17 
3.5 Forma canônica e vértice da parábola ......................................................................................... 18 
3.5.1 Eixo de simetria ............................................................................................................................ 26 
3.6 Coeficiente B ................................................................................................................................ 27 
3.7 Esboço do gráfico da função quadrática ..................................................................................... 31 
3.8 Imagem da função quadrática ...................................................................................................... 34 
4. Inequações ............................................................................................................................................ 36 
4.1 Solução de uma inequação ............................................................................................................. 36 
4.2 Conjunto solução de uma inequação ........................................................................................... 37 
4.3 Inequações simultâneas ............................................................................................................... 42 
4.4 Inequações do 2º grau ................................................................................................................. 44 
4.5 Inequações-produto e inequações-quociente ............................................................................. 53 
5. Lista de Questões de Concursos Anteriores ......................................................................................... 68 
6. Gabaritos ............................................................................................................................................. 103 
7. Lista de Questões de Concursos Anteriores com Comentários .......................................................... 106 
8. Considerações Finais ........................................................................................................................... 249 
 
 
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Oi, pessoal. 
Aqui quem vos fala é o professor Guilherme Neves outra vez!! 
Vamos começar a nossa aula sobre Função Quadrática? 
 
1. TRANSLAÇÃO NO PLANO CARTESIANO 
 
A translação de uma figura no plano cartesiano é uma isometria, ou seja, é uma transformação 
geométrica que preserva distâncias. Temos a translação horizontal e a translação vertical. 
 
• A translação horizontal ocorre quando substituímos o ponto (𝑥, 𝑦) pelo ponto (𝑥 + 𝑚, 𝑦). 
• A translação vertical ocorre quando substituímos o ponto (𝑥, 𝑦) pelo ponto (𝑥, 𝑦 + ℎ). 
 
1.1 Translação horizontal 
 
Se queremos mover o gráfico de uma função m unidades para a direita, devemos calcular 𝑓(𝑥 −
𝑚), ou seja, substituir x por x – m. Isto ocorre porque ao substituir x por x + m em 𝑓(𝑥 − 𝑚), 
teremos 𝑓(𝑥 + 𝑚 −𝑚) = 𝑓(𝑥). 
 Observe, por exemplo, o gráfico da função real definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥, − 6𝑥 + 8. 
 
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Observe que os zeros da função são os números 2 e 4. Além disso, a função tem um mínimo para 
x = 3. 
 
Vou substituir x por x – 2, ou seja, calcularei f(x – 2). 
 
𝑓(𝑥 − 2) = (𝑥 − 2), − 6(𝑥 − 2) + 8 
 
𝑓(𝑥 − 2) = 𝑥, − 4𝑥 + 4 − 6𝑥 + 12 + 8 
 
𝑓(𝑥 − 2) = 𝑥, − 10𝑥 + 24 
 
Esta será a nossa nova função 𝑔(𝑥) = 𝑥, − 10𝑥 + 24. Observe o seu gráfico (curva verde). 
 
 
 
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Observe que os zeros da função g são os números 4 e 6. Além disso, a função g tem um mínimo 
para x = 5. 
 
Observe que as duas curvas acima são congruentes. A curva verde é simplesmente uma 
translação horizontal da curva laranja de 2 unidades para a direita. 
 
Caso você queira deslocar a curva m unidades para a esquerda, basta calcular 𝑓(𝑥 + 𝑚). 
Vamos agora deslocar a curva laranja 1 unidade para a esquerda. Para tanto, calcularemos	𝑓(𝑥 +
1). 
 
𝑓(𝑥 + 1) = (𝑥 + 1), − 6(𝑥 + 1) + 8 
 
𝑓(𝑥 + 1) = 𝑥, + 2𝑥 + 1 − 6𝑥 − 6 + 8 
𝑓(𝑥 + 1) = 𝑥, − 4𝑥 + 3 
 
Esta será a nossa nova função ℎ(𝑥) = 𝑥, − 4𝑥 + 3. Observe o gráfico da função h (curva lilás). 
 
 
 
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1.2 Translação vertical 
 
Se queremos mover o gráfico de uma função h unidades para cima, devemos calcular 𝑓(𝑥) + ℎ, 
ou seja, simplesmente devemos adicionar h unidades a f(x). Se queremos mover o gráfico de uma 
função h unidades para baixo, basta calcular 𝑓(𝑥) − ℎ. 
 
Consideremos ainda o gráfico da função real definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥, − 6𝑥 + 8. 
 
 
Observe que quando x = 3, a função assume seu valor mínimo em y = -1. Note ainda que a curva 
corta o eixo y no ponto de ordenada 8. 
 
Vamos mover este gráfico uma unidade para cima. Para tanto, vamos adicionar 1 à lei de f(x). 
 
𝑖(𝑥) = 𝑥, − 6𝑥 + 8 + 1 = 𝑥, − 6𝑥 + 9 
 
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Observe que a nova curva (verde) continua com valor mínimo em x = 3, mas o valor mínimo 
agora é -1 + 1 = 0. A curva verde corta o eixo y no ponto de ordenada 8 + 1 = 9. 
Podemos fazer as duas translações simultaneamente. Observeo gráfico da função real definida 
por 𝑓(𝑥) = −𝑥, + 6𝑥 − 5. 
 
 
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O ponto de máximo A é o ponto (3,4). Vamos mover este gráfico de tal forma que o ponto de 
máximo seja o ponto (0,0). Para isto, devemos mover o gráfico 3 unidades para a esquerda e 4 
unidades para baixo. 
 
Para mover o gráfico 3 unidades para a esquerda, devemos substituir x por x + 3. Para mover o 
gráfico 4 unidades para baixo, devemos subtrair 4 unidades. 
 
𝑓(𝑥 + 3) − 49:::;:::<
=(>)
= −(𝑥 + 3), + 6(𝑥 + 3) − 5 − 4 
 
𝑗(𝑥) = −(𝑥, + 6𝑥 + 9) + 6𝑥 + 18 − 5 − 4 
𝑗(𝑥) = −𝑥, − 6𝑥 − 9 + 6𝑥 + 18 − 5 − 4 
 
𝑗(𝑥) = −𝑥, 
Observe o gráfico de 𝑗(𝑥) = −𝑥, (curva vermelha). 
 
 
Lembre-se: Ao realizar uma translação no plano, o formato da curva é preservado; estamos 
apenas mudando a sua posição. 
 
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2. REFLEXÃO NO PLANO CARTESIANO 
 
Anteriormente, estudamos importantes simetrias no plano cartesiano. 
 
i) Os pontos (x,y) e (x,-y) são simétricos em relação ao eixo x. 
 
Por exemplo, os pontos (2,3) e (2, - 3) são simétricos em relação ao eixo x. 
 
 
ii) Os pontos (x,y) e (-x,y) são simétricos em relação ao eixo y. 
 
Por exemplo, os pontos (3,2) e (-3,2) são simétricos em relação ao eixo y. 
 
 
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Utilizaremos esta mesma ideia para realizar reflexões no plano cartesiano, ou seja, vamos 
aprender como obter o simétrico de uma curva em relação ao eixo x ou ao eixo y. 
 
2.1 Reflexão em relação ao eixo x 
 
Para obter a reflexão de um gráfico em relação ao eixo x, basta multiplicar a lei de formação por -
1. 
Observe, por exemplo, os gráficos de 𝑦 = 𝑥, − 4𝑥 + 5 (curva verde) e 𝑦 = −𝑥, + 4𝑥 − 5 (curva 
azul). 
 
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2.2 Reflexão em relação ao eixo y 
 
Para obter a reflexão de um gráfico em relação ao eixo x, basta substituir x por –x, ou seja, 
calcular 𝑓(−𝑥). 
 
Vamos considerar o gráfico de 𝑦 = ln 𝑥 (curva vermelha). 
 
 Substituindo x por –x, temos a curva 𝑦 = ln	(−𝑥), que será representada no gráfico a seguir pela 
curva verde. 
 
 
 
 
 
 
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3. FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
Uma função 𝑓:ℝ → ℝ chama-se função quadrática quando a sua lei de formação é do tipo 𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, sendo 𝑎 ≠ 0. 
 
A função quadrática também pode ser chamada de função polinomial do segundo grau (evite 
dizer “função do segundo grau”, pois é um abuso de linguagem). 
 
• O coeficiente 𝑎 é o coeficiente dominante ou coeficiente líder. 
• O coeficiente 𝑏 é o coeficiente do primeiro grau 
• O coeficiente 𝑐 é o termo independente. 
 
Se a função quadrática for amplamente definida em ℝ, seu gráfico é uma parábola com eixo 
vertical. Uma parábola é uma curva com o seguinte aspecto. 
 
O único coeficiente responsável pelo “formato” da parábola é o coeficiente dominante “a”. 
Os coeficientes “b” e “c” em nada influenciam no formato da parábola: eles são responsáveis 
apenas pela posição da parábola no plano cartesiano. 
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Desta maneira, se duas parábolas possuem o mesmo coeficiente dominante ou coeficientes 
dominantes simétricos, então as parábolas são congruentes. 
 
Observe, por exemplo, as seguintes parábolas construídas no mesmo plano cartesiano. 
 
𝑦 = 𝟑𝑥,	(𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎	𝑙𝑖𝑙á𝑠) 
 
𝑦 = 𝟑𝑥, − 7𝑥 + 5	(𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎	𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎) 
 
𝑦 = −𝟑𝑥, + 5𝑥 − 3	(𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎	𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒) 
 
 
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Observe que as três parábolas são congruentes. Elas estão apenas localizadas em diferentes 
posições no plano. Isto ocorre porque o valor absoluto (módulo) do coeficiente dominante é o 
mesmo para as três curvas: 3. 
 
Se aumentarmos o valor absoluto de “a”, a parábola fica um pouco mais fechada. Se 
diminuirmos o valor de “a”, a parábola fica um pouco mais aberta. Observe as curvas 𝑦 =
0,5𝑥,	(𝑝𝑟𝑒𝑡𝑎), 𝑦 = 𝑥,	(𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎), 𝑦 = 2𝑥,	(𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒)	𝑒	 𝑦 = 3𝑥,	(𝑙𝑖𝑙á𝑠). 
 
 
 
Observe agora o que acontece quando multiplicamos cada uma dessas leis por -1, ou seja, 
observe agora as parábolas 𝑦 = −0,5𝑥,	(𝑝𝑟𝑒𝑡𝑎), 𝑦 = −𝑥,	(𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎), 𝑦 = −2𝑥,	(𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒)	𝑒	 𝑦 =
−3𝑥,	(𝑙𝑖𝑙á𝑠). 
 
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3.1 Concavidade da parábola 
 
Com os exemplos dados, fica fácil perceber que a concavidade da parábola pode estar voltada 
para cima ou voltada para baixo. Quem decide isso é o coeficiente dominante 𝑎. Se 𝑎 > 0, a 
concavidade da parábola está voltada para cima. Se 𝑎 < 0, a concavidade da parábola está 
voltada para baixo. 
 
 
 
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3.2 Termo independente de função quadrática 
 
Para calcular o intercepto do gráfico de qualquer função com o eixo 𝑦, basta calcular o valor de 
𝑓(0). 
 
Como a função quadrática é regida pela lei 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐	: 
 
𝑓(0) = 𝑎 ∙ 0, + 𝑏 ∙ 0 + 𝑐 
 
𝑓(0) = 𝑐 
 
Temos a mesma conclusão que tivemos na teoria da função afim. O termo independente nos 
informa a ordenada do ponto em que o gráfico corta o eixo 𝒚. 
 
 
 
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3.3 Zeros da função quadrática 
 
Os zeros ou raízes da função quadrática real 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, + 𝑏𝑥 + 𝑐 são as soluções da equação do 
segundo grau: 
 
𝑎𝑥, + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
 
Já vimos que podemos resolver esta equação com a seguinte fórmula: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝛥
2𝑎 
 
Em que 𝛥 = 𝑏, − 4𝑎𝑐. 
 
Graficamente, os zeros da função quadrática indicam onde a parábola corta o eixo dos x. 
Há três casos a considerar: 
 
• 𝛥 > 0 ⟺ 𝐻á	𝑑𝑢𝑎𝑠	𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠	𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠	𝑒	𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠 
• 𝛥 = 0 ⟺ 𝐻á	𝑑𝑢𝑎𝑠	𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠	𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠	𝑒	𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠	(𝑢𝑚𝑎	𝑟𝑎𝑖𝑧	𝑑𝑢𝑝𝑙𝑎) 
• 𝛥 < 0 ⟺ 𝑁ã𝑜	ℎá	𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠	𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
 
Desta forma, a parábola pode cortar o eixo x em dois pontos distintos (𝛥 > 0), pode tangenciar 
(“encostar”) o eixo x (𝛥 = 0) ou pode não tocar o eixo x (𝛥 < 0). 
 
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3.4 Forma fatorada 
 
Quando estudamos equações do segundo grau, vimos que para fatorar qualquer trinômio do 
segundo grau, ou seja, para fatorar ax2 +bx +c, bastar achar as raízes da equação ax2 +bx +c=0 e 
substituir na expressão 𝑎(𝑥 − 𝑥f)(𝑥 − 𝑥,). Em suma, temos: 
 
𝑎𝑥, + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥f)(𝑥 − 𝑥,) 
 
em que x1 e x2 são as raízes da equação 𝑎𝑥, + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. 
 
 
 
 
 
 
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3.5 Forma canônica e vértice da parábola 
 
O ponto de interseção da parábola com o seu eixo de simetria é chamado vértice da parábola. 
 
Quando a > 0, o vértice é um ponto de mínimo. 
 
Quando a < 0, o vértice é um ponto de máximo. 
 
Vamos agora determinar as coordenadas do vértice da parábola. 
 
Vimos que o formato da parábola é determinado exclusivamente pelo parâmetro “a”. 
 
Uma parábola do tipo 𝑦 = 𝑎𝑥, com a > 0 tem o seguinte aspecto: 
 
 
 
 
 
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O seu vértice é o ponto (0,0). 
 
Através de uma translação, vamos mover a parábola de tal forma que o seu vértice seja o ponto 
(𝑥g, 𝑦g). 
 
Assim, devemos substituir 𝑥 por 𝑥 − 𝑥g e adicionar 𝑦g. 
 
A lei de formação da função quadrática, que era 𝑦 = 𝑎𝑥,, fica: 
 
𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥g), + 𝑦g 
 
Esta maneira de escrever o trinômio do segundo grau é chamada de forma canônica. 
 
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O gráfico terá o seguinte aspecto. 
 
 
 
Vamos comparar a forma canônica 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥g), + 𝑦g com a lei de formação 𝑦 = 𝑎𝑥, + 𝑏𝑥 + 𝑐. 
 
𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥g), + 𝑦g 
 
𝑦 = 𝑎(𝑥, − 2𝑥g𝑥 + 𝑥g,) + 𝑦g 
 
𝑦 = 𝑎𝑥, − 2𝑎𝑥g𝑥 + 𝑎𝑥g, + 𝑦g 
 
𝑦 = 𝑎𝑥, + (−2𝑎𝑥g)𝑥 + (𝑎𝑥g, + 𝑦g) 
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Comparando a expressão acima com 𝑦 = 𝑎𝑥, + 𝑏𝑥 + 𝑐, temos que: 
 
i) 𝒃 = −𝟐𝒂𝒙𝒗 
 
Portanto, 
 
𝑥g =
−𝑏
2𝑎 
 
ii) 𝒄 = 𝒂𝒙𝒗𝟐 + 𝒚𝒗 
 
Portanto, 
 
c = 𝑎𝑥g, + 𝑦g 
 
𝑐 = 𝑎 ∙ o−
𝑏
2𝑎p
,
+ 𝑦g 
 
𝑐 = 𝑎 ∙
𝑏,
4𝑎, + 𝑦g 
 
𝑐 =
𝑏,
4𝑎 + 𝑦g 
 
𝑦g = 𝑐 −
𝑏,
4𝑎 
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𝑦g =
4𝑎𝑐 − 𝑏,
4𝑎 
 
𝑦g =
−(𝑏, − 4𝑎𝑐)
4𝑎 
 
𝑦g =
−Δ
4𝑎 
 
Em suma, o vértice tem um par ordenado correspondente (𝑥g, 𝑦g). As coordenadas do vértice são 
dadas pelas fórmulas: 
 
𝑥g =
−𝑏
2𝑎 			𝑒			𝑦g =
−Δ
4𝑎 
 
Quando 𝑎 > 0, a função quadrática admite um ponto de mínimo. Neste caso a coordenada y é 
chamada de valor mínimo e a coordenada x é chamada de minimante. 
 
Quando 𝑎 < 0, a função quadrática admite um ponto de máximo. Neste caso a coordenada y é 
chamada de valor máximo e a coordenada x é chamada de maximante. 
 
Se temos as coordenadas do vértice e o valor de “a”, podemos facilmente obter a equação da 
parábola utilizando a forma canônica 
 
𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥g), + 𝑦g 
 
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Quem já estudou Cálculo Diferencial alguma vez na vida, poderia rapidamente obter as 
coordenadas do vértice de uma maneira mais rápida. Se você nunca ouviu falar em derivada, não 
se preocupe. Simplesmente pule a explicação a seguir. 
 
Vamos igualar a derivada de 𝑦 = 𝑎𝑥, + 𝑏𝑥 + 𝑐 a zero. 
 
2𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 
 
𝑥 = −
𝑏
2𝑎 
 
Esta é a coordenada x do vértice. 
 
Para calcular a coordenada y, basta substituir x por –b/2a na lei expressão 𝑦 = 𝑎𝑥, + 𝑏𝑥 + 𝑐. 
 
𝑦 = 𝑎 o−
𝑏
2𝑎p
,
+ 𝑏 ∙ o−
𝑏
2𝑎p + 𝑐 
 
𝑦 = 𝑎 ∙
𝑏,
4𝑎, −
𝑏,
2𝑎 + 𝑐 
 
𝑦 =
𝑏,
4𝑎 −
𝑏,
2𝑎 + 𝑐 
 
𝑦 =
𝑏, − 2𝑏, + 4𝑎𝑐
4𝑎 
 
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𝑦 =
−𝑏, + 4𝑎𝑐
4𝑎 
 
𝑦 =
−(𝑏, − 4𝑎𝑐)
4𝑎 
 
𝑦 =
−Δ
4𝑎 
 
Observações: 
 
Se Δ > 0, a função possui duas raízes reais e distintas. A soma das raízes é dada por – 𝑏/𝑎	(relação 
de Girard). Desta maneira, a coordenada 𝑥g = −𝑏/2𝑎 é a metade da soma das raízes (média 
aritmética das raízes). 
 
𝑥g =
𝑥f + 𝑥,
2 
 
Observe, por exemplo, a parábola 𝑦 = −𝑥, + 6𝑥 − 5. A parábola corta o eixo x nos pontos de 
abscissa 1 e 5. 
 
Portanto, a coordenada x do vértice é dada por: 
 
𝑥g =
1 + 5
2 = 3 
 
Para calcular o y do vértice, basta substituir x por 3 na equação da parábola. 
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𝑦g = −(3), + 6 ∙ 3 − 5 = −9 + 18 − 5 = 4 
 
 
 
Se Δ = 0, então 𝑦g = 0 (a parábola é tangente ao eixo x) e 𝑥g é o próprio zero da função. 
Considere, por exemplo, a função quadrática real 𝑦 = 𝑥, − 6𝑥 + 9 em que Δ = (−6), − 4 ∙ 1 ∙ 9 =
0. 
Assim, a coordenada 𝑦g = 0, porque 
 
𝑦g =
−Δ
4𝑎 =
0
4𝑎 = 0 
O zero da função é dado por: 
 
𝑥g =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 =
−𝑏 ± 0
2𝑎 = −
𝑏
2𝑎 =
6
2 = 3 
 
Observe o gráfico. 
 
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26 
 
 
 
3.5.1 Eixo de simetria 
 
O eixo de simetria da parábola é uma reta vertical que passa pelo vértice. Como a coordenada x 
do vértice é dada por –b/2a, então a equação do eixo de simetria é dada por 
 
𝑥 = −
𝑏
2𝑎 
 
Tome por exemplo a parábola de equação 𝑦 = 𝑥, − 4𝑥 + 6. A coordenada x do seu vértice é 
dada por 
 
𝑥g =
−𝑏
2𝑎 =
4
2 = 2 
 
Desta forma, a equação da reta que é o eixo de simetria da parábola é 𝑥 = 2. 
 
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27 
 
 
 
 
3.6 Coeficiente B 
 
A explicação da interpretação geométrica do coeficiente “b” da equação da parábola 𝑦 = 𝑎𝑥, +
𝑏𝑥 + 𝑐 se dá com o uso do cálculo diferencial (assunto estudado por estudantes de engenharias e 
cursos afins). 
 
Portanto, apesar de não explicar aqui o porquê desta interpretação, ela é válida para qualquer 
função quadrática. 
 
Para determinar o sinal do coeficiente b devemos traçar uma reta tangente à parábola no ponto 
de interseção com o eixo y. Vejamos: 
 
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28 
 
 
 
 
 
A dica é a seguinte: 
 
• Se a reta estiver “subindo” (reta ascendente),o coeficiente b é positivo. 
• Se a reta estiver “descendo” (reta descendente), o coeficiente b é negativo. 
• Se a reta for horizontal, então b = 0. 
 
No nosso exemplo do gráfico acima, temos que b > 0. 
 
Vejamos outros casos. 
 
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29 
 
 
 
Neste caso, como a concavidade da parábola está voltada para cima, então a > 0. 
 
Como a parábola corta o eixo y acima da origem, então c > 0. 
 
Como a parábola não corta o eixo x, então ∆< 0. 
 
E o coeficiente b? 
 
Devemos traçar uma reta tangente no ponto que a parábola corta o eixo y. 
 
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30 
 
 
 
Como a reta está “descendo”, então b < 0. 
 
Vejamos outro exemplo. 
 
 
 
Neste caso, como a concavidade da parábola está voltada para baixo, então a < 0. Concluímos 
também que c > 0 porque a parábola corta o eixo y acima da origem. Já que a parábola corta o 
eixo x em dois pontos distintos, tem-se que ∆> 0. 
 
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31 
 
Como a reta tangente no ponto que a parábola corta o eixo y é horizontal, temos que 
b = 0. 
 
3.7 Esboço do gráfico da função quadrática 
 
Em geral, vamos seguir os seguintes passos. 
 
i) Desenhar o eixo 𝑥. 
 
ii) Calcular o valor do discriminante Δ e as raízes (se houver). 
 
iii) De acordo com o valor de 𝑎 e Δ desenhar um esboço da parábola. 
 
 
 
 
 
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32 
 
iv) Calcular as coordenadas do vértice. 
 
𝑥g =
−𝑏
2𝑎 			𝑒			𝑦g =
−Δ
4𝑎 
 
 
v) Traçar o eixo 𝑦. 
 
vi) Determinar o intercepto da parábola com o eixo 𝑦 (lembre-se que este intercepto é dado 
pelo valor do termo independente “c”). 
 
 
Exemplo: Construir o gráfico da função real definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥, − 6𝑥 + 8. 
 
Resolução 
 
Temos que 𝑎 = 1, 𝑏 = −6	𝑒	𝑐 = 8. 
 
Como 𝑎 > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima. 
 
Vamos calcular o valor do discriminante: 
 
Δ = 𝑏, − 4𝑎𝑐 = (−6), − 4 ⋅ 1 ⋅ 8 = 4 
 
Como Δ > 0, a parábola corta o eixo 𝑥 em dois pontos distintos. Vamos, então, calcular as raízes: 
 
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33 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 =
−(−6) ± √4
2 ⋅ 1 =
6 ± 2
2 
 
𝑥 = 2			𝑜𝑢			𝑥 = 4 
 
Por enquanto, o gráfico tem o seguinte aspecto: 
 
 
Vamos calcular as coordenadas do vértice: 
 
𝑥g =
−𝑏
2𝑎 =
−(−6)
2 ⋅ 1 = 3			𝑒			𝑦g =
−Δ
4𝑎 =
−4
4 ⋅ 1 = −1 
 
Outra maneira de calcular a abscissa do vértice (x do vértice) é a seguinte: somar as raízes e 
dividir por 2. Em outras palavras, a abscissa do vértice é a média aritmética das raízes. Como as 
raízes são 2 e 4, o x do vértice é dado por: 
 
𝑥g =
2 + 4
2 = 3 
 
 
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34 
 
 
 
Lembre também que o coeficiente 𝑐 = 8 é o intercepto do gráfico com o eixo 𝑦. 
 
 
 
3.8 Imagem da função quadrática 
 
Para determinar o conjunto imagem da função quadrática, basta projetar a parábola sobre o eixo 
y. 
• Se a > 0, o menor valor assumido pela função será 𝑦g =
vw
xy
. 
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35 
 
 
Assim, se a > 0, o conjunto imagem será dado por: 
𝐼𝑚(𝑓) = {
−𝛥
4𝑎 ,+∞p 
• Se a < 0, o maior valor assumido pela função será 𝑦g =
vw
xy
. 
 
 
 
Assim, se a < 0, o conjunto imagem será dado por: 
 
𝐼𝑚(𝑓) = o−∞,
−𝛥
4𝑎 } 
 
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36 
 
 
4. INEQUAÇÕES 
 
Chamamos inequação na incógnita x a qualquer uma das sentenças abaixo: 
 
𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) 
 
𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) 
 
𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) 
 
𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) 
 
 
Se as funções f e g forem funções afins, teremos uma inequação do primeiro grau. 
 
4.1 Solução de uma inequação 
 
Um número real k é solução de uma inequação, por exemplo 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥), se e somente se 
𝑓(𝑘) > 𝑔(𝑘) é uma sentença verdadeira. 
 
Em outras palavras, para que um número seja solução da inequação, basta substituir a incógnita 
pelo número e verificar se a sentença é verdadeira. Por exemplo, o número 4 é solução da 
inequação 2𝑥, − 4𝑥 + 5 > 3𝑥 + 1 porque 
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37 
 
 
2 ∙ 4, − 4 ∙ 4 + 5 > 3 ∙ 4 + 1 
 
21 > 13 
 
é uma sentença verdadeira. 
 
4.2 Conjunto solução de uma inequação 
 
O conjunto S de todos os números reais que são solução de uma inequação é denominado 
conjunto-solução da inequação. 
 
Se nenhum número for solução da inequação, escrevemos 𝑆 = 𝜙. 
 
Se qualquer número real for solução da inequação, escrevemos 𝑆 = ℝ. 
 
Para resolver uma inequação, tal como nas equações, utilizamos operações para transformá-la em 
outra inequação equivalente mais simples. 
 
Podemos utilizar todas as técnicas utilizadas nas equações, com a única ressalva de que se for 
necessário multiplicar (ou dividir) os dois membros de uma inequação por um número negativo, o 
sentido da desigualdade deverá ser invertido. 
 
Exemplo: Resolver as inequações em ℝ. 
 
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38 
 
𝑎)	4𝑥 + 4 > 𝑥 − 5 
4𝑥 − 𝑥 > −5 − 4 
 
3𝑥 > −9 
 
𝑥 > −3 
 
𝑆 = (−3,+∞) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > −3} 
 
 
𝑏) − 5𝑥 − 8 ≥ 2𝑥 + 6 
 
−5𝑥 − 2𝑥 ≥ 8 + 6 
 
−7𝑥 ≥ 14 
 
Vamos agora multiplicar os dois membros da inequação por -1. Como -1 é negativo, devemos 
inverter o sentido da desigualdade. 
 
7𝑥 ≤ −14 
 
𝑥 ≤ −2 
 
𝑆 = (−∞,−2] = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ −2} 
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39 
 
 
𝑐)	4(𝑥 − 2) + 5 ≥ 2𝑥 − 4 
 
4𝑥 − 8 + 5 ≥ 2𝑥 − 4 
 
4𝑥 − 3 ≥ 2𝑥 − 4 
 
4𝑥 − 2𝑥 ≥ 3 − 4 
 
2𝑥 ≥ −1 
 
𝑥 ≥ −
1
2 
 
𝑆 = {−
1
2 ,+∞p = �𝑥 ∈ ℝ�𝑥 ≥ −
1
2� 
 
 
𝑑)
2𝑥 + 1
3 −
𝑥 − 2
4 ≤ 5𝑥 − 2 
 
Vamos multiplicar os dois membros da equação por 12, que é o mmc dos denominadores. 
 
Em cada fração, dividiremos 12 pelo denominador e multiplicaremos o resultado pelo 
numerador. 
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404(2𝑥 + 1) − 3(𝑥 − 2) ≤ 12(5𝑥 − 2) 
8𝑥 + 4 − 3𝑥 + 6 ≤ 60𝑥 − 24 
 
5𝑥 + 10 ≤ 60𝑥 − 24 
 
5𝑥 − 60𝑥 ≤ −24 − 10 
 
−55𝑥 ≤ −34 
 
Vamos agora multiplicar os dois membros da inequação por -1. Como -1 é negativo, devemos 
inverter o sentido da desigualdade. 
 
55𝑥 ≥ 34 
 
𝑥 ≥
34
55 
 
𝑆 = {
34
55 ,+∞p = �𝑥 ∈ ℝ�𝑥 ≥
34
55� 
 
 
𝑒)	3(𝑥 − 2) > 𝑥 + 2(𝑥 − 4) 
 
3(𝑥 − 2) > 𝑥 + 2(𝑥 − 4) 
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41 
 
 
3𝑥 − 6 > 𝑥 + 2𝑥 − 8 
3𝑥 − 6 > 3𝑥 − 8 
 
−6 > −8 
 
Observe que a incógnita x foi cancelada. Desta maneira, o conjunto solução não depende de x. 
Para quais valores de x o número -6 é maior do que -8? Para qualquer valor de x. Assim, o 
conjunto solução é 
 
𝑆 = ℝ 
 
𝑓) − 4(𝑥 − 3) < 𝑥 − 5(𝑥 + 2) 
 
−4(𝑥 − 3) < 𝑥 − 5(𝑥 + 2) 
 
−4𝑥 + 12 < 𝑥 − 5𝑥 − 10 
 
−4𝑥 + 12 < −4𝑥 − 10 
 
12 < −10 
 
Novamente a incógnita x foi cancelada. Para quais valores de x o número 12 é menor do que o 
número -10? Nenhum. A sentença 12 < - 10 é sempre falsa, independentemente do valor 
atribuído a x. Portanto, o conjunto solução é 
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42 
 
 
𝑆 = 𝜙 
4.3 Inequações simultâneas 
 
Considere, por exemplo, uma inequação do tipo 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) < ℎ(𝑥). Neste caso, podemos 
decompor em duas inequações simultâneas (sistema de inequações) conectadas pelo conectivo 
“e”, ou seja, o conjunto solução será a interseção dos conjuntos-solução das inequações que 
compõem o sistema. 
 
Exemplo: Resolver a inequação 𝑥 − 2 ≤ 8 − 4𝑥 < >
�
+ 2. 
 
Resolução 
 
Devemos resolver duas inequações: 
 
�
𝑥 − 2 ≤ 8 − 4𝑥						(𝐼)
8 − 4𝑥 <
𝑥
3 + 2						(II)
 
 
(I) 𝑥 − 2 ≤ 8 − 4𝑥 
 
𝑥 + 4𝑥 ≤ 8 + 2 
 
5𝑥 ≤ 10 
 
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43 
 
𝑥 ≤ 2 
 
𝑆f = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ 2} 
 
(𝐼𝐼)		8 − 4𝑥 <
𝑥
3 + 2 
 
−4𝑥 −
𝑥
3 < 2 − 8 
 
−4𝑥 −
𝑥
3 < −6 
 
Vamos multiplicar os dois membros da inequação por (-3). Como -3 < 0, devemos inverter o 
sentido da desigualdade. 
 
12𝑥 + 𝑥 > 18 
 
13𝑥 > 18 
 
𝑥 >
18
13 
 
𝑆, = �𝑥 ∈ ℝ�𝑥 >
18
13� 
 
O conjunto solução da inequação simultânea será 𝑆f ∩ 𝑆,. 
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44 
 
 
 
 
O conjunto solução é a interseção destes dois intervalos. 
 
𝑆 = �𝑥 ∈ ℝ� 1813 < 𝑥 ≤ 2� 
 
4.4 Inequações do 2º grau 
 
Sendo f uma função quadrática em x, denominamos inequação do 2º grau as seguintes 
inequações: 
 
𝑓(𝑥) > 0 
 
𝑓(𝑥) ≥ 0 
 
𝑓(𝑥) < 0 
 
𝑓(𝑥) ≤ 0 
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45 
 
 
Assim, por exemplo, resolver uma inequação do tipo 𝑎𝑥, + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 significa responder para 
quais valores de x a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, + 𝑏𝑥 + 𝑐 é negativa. 
 
Respondemos com o estudo do sinal da função f. 
 
Não precisamos esboçar o gráfico completamente. No máximo, precisaremos calcular o valor do 
discriminante e, caso existam, as raízes da função. 
 
Exemplo: Resolver a inequação 𝑥, − 4𝑥 + 7 > 0. 
 
Resolução 
 
Como a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima. Vamos calcular o discriminante: 
𝛥 = (−4), − 4 ∙ 1 ∙ 7 = −12 
 
Como o discriminante é negativo, não há raízes reais. O gráfico tem o seguinte aspecto. 
 
 
 
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Assim, a função é positiva para todo valor de x. O conjunto solução é 𝑆 = ℝ. 
Exemplo: Resolver a inequação 𝑥, − 4𝑥 + 4 < 0. 
 
Resolução 
 
Como a > 0, a concavidade está voltada para cima. Além disso, temos: 
 
𝛥 = (−4), − 4 ∙ 1 ∙ 4 = 0 
 
Como o 𝛥 = 0, o eixo x é tangente à parábola. 
 
 
 
Queremos saber para quais valores de x a função é negativa. Ora, nenhum valor de x torna a 
função negativa. Assim, o conjunto solução é 𝑆 = 𝜙. 
 
Exemplo: Resolver a inequação – 𝑥, + 5𝑥 − 6 > 0. 
 
Resolução 
 
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A concavidade da parábola está voltada para baixo, pois a < 0. 
 
𝛥 = 5, − 4 ∙ (−1) ∙ (−6) = 1 
 
 
Como 𝛥 > 0, há duas raízes reais e distintas. 
 
𝑥 =
−5 ± √1
−2 =
−5 ± 1
−2 
Assim, as raízes são 2 e 3. 
 
 
 
A função é positiva para 2 < x < 3. Assim, 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|2 < 𝑥 < 3} = (2,3) 
 
Observe que, na notação acima, (2,3) corresponde ao intervalo aberto de 2 a 3 e não o par 
ordenado. 
 
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Como saber se (2,3) representa o intervalo ou o par ordenado? Pelo contexto. 
Caso você não queira deixar dúvidas, utilize a notação ]2,3[. 
 
Exemplo: Resolver a inequação −𝑥, + 5𝑥 − 4 ≤ 0. 
 
Resolução 
 
A concavidade da parábola está voltada para baixo, pois a < 0. 
 
𝛥 = 5, − 4 ∙ (−1) ∙ (−4) = 9 
 
Como 𝛥 > 0, há duas raízes reais e distintas. 
𝑥 =
−5 ± √9
−2 =
−5 ± 3
−2 
Assim, as raízes são 1 e 4. 
 
 
Queremos saber quando a função é menor do que ou igual a 0. 
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49 
 
 
A função é igual a zero para x = 1 ou x = 4. A função é menor do que zero para x < 1 ou x > 4. 
Portanto, 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ 1	𝑜𝑢	𝑥 ≥ 4} 
 
 
Exemplo: Resolver a inequação 𝑥, − 6𝑥 + 9 ≤ 0. 
 
Resolução 
A concavidade da parábola está voltada para cima porque a > 0. 
𝛥 = (−6), − 4 ∙ 1 ∙ 9 = 0 
 
Assim, o eixo x é tangente à parábola. Vamos calcular o zero da função. 
𝑥 =
6 ± 0
2 = 3 
 
Observe o esboço do gráfico. 
 
 
Queremos saber quando a função é menor do que ou igual a 0. 
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50 
 
 
A função nunca é menor do que zero. A função é igual a 0 para x = 3. 
 
Assim, o conjunto solução possui um único elemento. 
 
𝑆 = {3} 
 
Exemplo: Resolver a inequação simultânea 7𝑥 + 1 < 𝑥, + 3𝑥 − 4 ≤ 2𝑥 + 2. 
 
Resolução 
Temos um sistema de inequações: 
� 7𝑥 + 1 < 𝑥
, + 3𝑥 − 4								(𝐼)
𝑥, + 3𝑥 − 4 ≤ 2𝑥 + 2								(𝐼𝐼)
					 
 
(I) 
7𝑥 + 1 < 𝑥, + 3𝑥 − 4 
 
7𝑥 + 1 − 𝑥, − 3𝑥 + 4 < 0 
 
−𝑥, + 4𝑥 + 5 < 0 
 
A concavidade da parábola está voltada para baixo, porque a < 0. 
 
𝛥 = 4, − 4 ∙ (−1) ∙ 5 = 36 
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𝑥 =
−4 ± 6
−2 
 
Assim, os zeros da função são -1 e 5. 
 
 
 
Esta função é negativa para x < -1 ou x > 5. 
 
𝑆f = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < −1	𝑜𝑢	𝑥 > 5} 
(II) 
𝑥, + 3𝑥 − 4 ≤ 2𝑥 + 2 
 
𝑥, + 𝑥 − 6 ≤ 0 
 
A concavidade desta parábola está voltada para cima. Vamos calcular seus zeros. 
 
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𝛥 = 1, − 4 ∙ 1 ∙ (−6) = 25 
 
𝑥 =
−1 ± 5
2 
 
Os zeros da função são 2 e – 3. 
 
Queremos saber quando esta função é menor do que ou igual a 0. Isto ocorre para −3 ≤ 𝑥 ≤ 2. 
 
𝑆, = {𝑥 ∈ ℝ| − 3 ≤ 𝑥 ≤ 2} 
 
Como é uma inequação simultânea, vamos calcular a interseção 𝑆f ∩ 𝑆,. 
 
 
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Observe que as “bolas” de -1 e -5 são abertas, enquanto as “bolas” de -3 e 2 são fechadas. 
 
A interseção desejada é −3 ≤ 𝑥 < −1. 
 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|−3 ≤ 𝑥 < −1} = [−3.−1) 
 
4.5 Inequações-produto e inequações-quociente 
 
Normalmente os livros de Matemática ensinam a resolver inequações-produto, inequações-
quociente e inequações-potência com o auxílio de um quadro de sinais. 
 
Apesar de correto, muitas vezes este método não é eficiente na resolução de questões. 
 
Para que o método que vamos utilizar seja explicado, precisamos de muitas ferramentas 
matemáticas como, por exemplo, teorema de Bolzano, multiplicidade de raízes e limites no 
infinito. 
 
Explicar, por exemplo, o teorema de Bolzano fica além dos nosso objetivos. Assim, vamos deixar 
as explicações de lado e vamos aprender o método através de exemplos. 
 
Exemplo: Resolver a inequação 
 
(𝑥 − 2)(−𝑥, + 5𝑥 − 6)
(𝑥 − 1)(𝑥 + 4)x ≥ 0 
 
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Temos aqui quatro funções envolvidas: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 
 
𝑔(𝑥) = −𝑥, + 5𝑥 − 6 
 
ℎ(𝑥) = 𝑥 − 1 
 
𝑖(𝑥) = 𝑥 + 4 
 
O primeiro passo é sempre determinar os zeros de todas as funções e anotar as suas 
multiplicidades. Por exemplo, se o número 4 aparece como raiz 5 vezes, então a multiplicidade 
de 4 é 5. 
 
Depois nós vamos representar estas raízes em um eixo x. Utilizaremos “bolas” para representar 
estes números no eixo x. “Bola” fechada significa que o número participará da solução. “Bola” 
aberta significa que estamos excluindo o número da solução. 
 
É importante notar ainda o seguinte: se a inequação utilizar > ou <, então todas as “bolas” nos 
intervalos serão abertas. 
 
Caso a inequação utilize ≥ ou ≤, então as “bolas” das raízes do numerador são fechadas e as 
“bolas” do denominador são abertas. Caso um número apareça como raiz no numerador e 
também no denominador, então a sua “bola” será aberta. 
 
Lembre-se que não podemos efetuar divisão por zero. Por isso, as “bolas” do denominador 
SEMPRE são abertas. 
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Vamos as raízes e anotar as suas multiplicidades. 
 
𝑥 − 2 = 0 → 𝑥 = 2 
 
−𝑥, + 5𝑥 − 6 = 0 → 𝑥 = 2	 𝑜𝑢	 𝑥 = 3 
 
𝑥 − 1 = 0 → 𝑥 = 1 
 
𝑥 + 4 = 0 → 𝑥 = −4 
 
Observe que o número 2 foi raiz duas vezes. É uma raiz dupla, ou seja, de multiplicidade 2. 
 
Observe ainda que (𝑥 + 4)x = (𝑥 + 4)(𝑥 + 4)(𝑥 + 4)(𝑥 + 4). Assim, o número -4 foi raiz quatro 
vezes. Tem multiplicidade 4. 
 
As outras raízes têm multiplicidade 1, pois apareceram apenas uma vez. 
 
O que nos interessa, na verdade, é saber se a multiplicidade da raiz é par ou ímpar. Se for par, 
colocaremos um P acima do número. Se for ímpar, colocaremos um I acima do número. 
 
As bolas do numerador são fechadas e as bolas do denominador são abertas, porque foi utilizado 
≥. 
 
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Cuidado. Não estamos nos referindo à paridade do número. Não nos interessa saber se o 
número 2 é par ou ímpar. O que nos interessa é quantas vezes o número 2 foi raiz. O número 2 
foi raiz duas vezes, então sua multiplicidade é par. 
 
Começaremos o jogo dos sinais sempre na extrema direita. Vamos agora descobrir se 
começamos com + ou -. 
 
Para isso, devemos observar o sinal de cada coeficiente dominante. Coeficiente dominante é o 
coeficiente da maior potência de x no polinômio. 
 
No caso da função afim y = ax + b, o coeficiente dominante é “a”. 
 
No caso da função quadrática y = ax2 + bx + c, o coeficiente dominante é “a”. 
 
Não nos interessa quanto vale o coeficiente dominante. Queremos saber apenas o seu sinal. 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 → 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒	𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 + 
 
𝑔(𝑥) = −𝑥, + 5𝑥 − 6 → 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒	𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 − 
 
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ℎ(𝑥) = 𝑥 − 1 → 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒	𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 + 
 
𝑖(𝑥) = 𝑥 + 4 → 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒	𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 + 
 
Vamos fazer a regra dos sinais com os sinais dos coeficientes dominantes na função original da 
inequação. 
 
(𝒙 − 2)(−𝒙𝟐 + 5𝑥 − 6)
(𝒙 − 1)(𝒙 + 4)x 
 
(+)(−)
(+)(+)x 
 
Aplicando as regras dos sinais, o resultado será negativo. 
 
(+)(−)
(+)(+)x = − 
Este será o sinal na extrema direita do eixo x. 
 
 
 
 
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Vamos caminhar pelo eixo x da direita para a esquerda. Ao passar por uma raiz de multiplicidade 
ímpar, devemos trocar o sinal. Ao passar por uma raiz de multiplicidade par, devemos repetir o 
sinal. 
 
O número 3 é de multiplicidade ímpar. Devemos trocar o sinal. 
 
 
 
O número 2 é de multiplicidade par. Devemos repetir o sinal. 
 
 
O número 1 tem multiplicidade ímpar. Devemos trocar o sinal. 
 
 
 
O número -4 tem multiplicidade par. Devemos repetir o sinal. 
 
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Observemos agora a inequação original. 
 
(𝑥 − 2)(−𝑥, + 5𝑥 − 6)
(𝑥 − 1)(𝑥 + 4)x ≥ 0 
 
Queremos saber onde a função é maior do que ou igual a 0. Queremos então todas as bolas 
fechadas (onde a função é igual a zero) e todos os intervalos onde aparece o +. 
 
 
 
𝑆 = (1,3] = {𝑥 ∈ ℝ|1 < 𝑥 ≤ 3} 
 
Exemplo: Resolver a inequação 
 
(𝑥 − 2)(−𝑥, + 5𝑥 − 6)
(𝑥 − 1)(𝑥 + 4)x ≤ 0 
 
Resolução 
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60 
 
 
A inequação é praticamente a mesma do exemplo anterior. Foi trocado apenas o sentido da 
desigualdade. O quadro de sinais será exatamente o mesmo. 
 
 
 
Queremos saber, entretanto, onde é a função é menor do que ou igual a 0. 
 
Queremos então, todas as bolas fechadas e os intervalos onde a função é negativa.Há várias maneiras para representar o conjunto solução desta inequação. 
 
𝑆 = (−∞,−4) ∪ (−4,1) ∪ {2} ∪ [3, +∞) 
 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < −4	𝑜𝑢 − 4 < 𝑥 < 1	𝑜𝑢	𝑥 = 2	𝑜𝑢	𝑥 ≥ 3} 
 
Exemplo: Resolver a inequação 
 
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(𝑥 − 2)x(3𝑥 + 6)
(−2𝑥 + 4)(−𝑥, − 6𝑥 − 8) ≤ 0 
 
Resolução 
 
Vamos calcular os zeros das funções e determinar a multiplicidade de cada uma delas. 
 
𝑥 − 2 = 0 → 𝑥 = 2 → 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	4	(𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒	𝑜	𝑒𝑥𝑝𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒) 
 
3𝑥 + 6 = 0 → 𝑥 = −2 → 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	1 
 
−2𝑥 + 4 = 0 → 𝑥 = 2 → 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	1 
 
−𝑥, − 6𝑥 − 8 = 0 → 𝑥 = −2	 𝑜𝑢	 𝑥 = −4 → 𝑐𝑎𝑑𝑎	𝑟𝑎𝑖𝑧	𝑡𝑒𝑚	𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	1 
 
Observe que a multiplicidade total de 2 é 5. Assim, sua multiplicidade é ímpar. 
A multiplicidade total de -2 é 2. Assim, sua multiplicidade é par. 
 
Observe ainda que como -2 e 2 são raízes de funções do denominador, as “bolas” 
obrigatoriamente serão abertas, mesmo havendo ≤ 0 na inequação. 
 
 
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Vamos agora analisar os sinais dos coeficientes dominantes. 
 
(𝒙 − 2)x(𝟑𝑥 + 6)
(−𝟐𝑥 + 4)(−𝒙𝟐 − 6𝑥 − 8) ≤ 0 
 
(+)x(+)
(−)(−) = + 
 
 
Assim, vamos começar na extrema direita por +. 
 
Ao passar por uma raiz de multiplicidade ímpar, trocamos o sinal. Ao passar por uma raiz de 
índice par, devemos repetir o sinal. 
 
 
 
Queremos saber quando a função é menor do que ou igual a zero. 
 
A função nunca é igual a zero, já que todas as bolas são abertas. 
 
A função é menor que zero nos intervalos indicados a seguir. 
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63 
 
 
 
 
Podemos reunir os dois intervalos: 
 
𝑆 = (−4,−2) ∪ (−2,2) = {𝑥 ∈ ℝ| − 4 < 𝑥 < −2	𝑜𝑢 − 2 < 𝑥 < 2} 
 
Podemos também colocar apenas um intervalo de -4 até 2 exceto o número -2. 
 
𝑆 = (−4,2) − {−2} = {𝑥 ∈ ℝ| − 4 < 𝑥 < 2	𝑒	𝑥 ≠ −2} 
 
Exemplo: Resolver a inequação (𝑥 + 2)(2𝑥 − 6) < 0. 
Vamos calcular as raízes. 
 
𝑥 + 2 = 0 → 𝑥 = −2 → 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	1 
 
2𝑥 − 6 = 0 → 𝑥 = 3 → 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	1 
 
 
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Vamos analisar os sinais dos coeficientes dominantes. 
 
(𝒙 + 2)(𝟐𝒙 − 6) 
 
(+)(+) = (+) 
 
Vamos começar com +. Como as duas raízes são de multiplicidade ímpar, basta trocar o sinal ao 
passar por elas. Lembre-se que estamos interessados nos intervalos em que a função é negativa. 
 
 
 
𝑆 = (−2,3) = {𝑥 ∈ ℝ| − 2 < 𝑥 < 3} 
 
Exemplo: Resolver a inequação 
 
3𝑥 + 2
2𝑥 + 3 ≥ 4 
 
Resolução 
Aprendemos a resolver inequações-produto e inequações quociente quando o segundo membro 
da desigualdade é zero. 
 
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Vamos, então, levar o número 4 para o primeiro membro. 
 
3𝑥 + 2
2𝑥 + 3 − 4 ≥ 0 
 
3𝑥 + 2 − 4(2𝑥 + 3)
2𝑥 + 3 ≥ 0 
 
3𝑥 + 2 − 8𝑥 − 12
2𝑥 + 3 ≥ 0 
 
−5𝑥 − 10
2𝑥 + 3 ≥ 0 
 
As raízes são: 
−5𝑥 − 10 = 0 → 𝑥 = −2 
 
2𝑥 + 3 = 0 → 𝑥 = −
3
2 
 
As duas raízes têm multiplicidade 1 (multiplicidade ímpar). 
A raiz do numerador terá bola fechada e a raiz do denominador terá bola aberta. 
Vamos ao jogo de sinais: 
 
−𝟓𝒙 − 10
𝟐𝒙 + 3 
 
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(−)
(+) = (−) 
 
 
 
𝑆 = [−2,−
3
2p = �𝑥 ∈ ℝ| − 2 ≤ 𝑥 < −
3
2� 
 
Exemplo: Resolver a inequação 
 
2𝑥 + 5
𝑥 + 6 ≤ 2 
 
Resolução 
 
2𝑥 + 5
𝑥 + 6 − 2 ≤ 0 
 
2𝑥 + 5 − 2(𝑥 + 6)
𝑥 + 6 ≤ 0 
 
2𝑥 + 5 − 2𝑥 − 12
𝑥 + 6 ≤ 0 
 
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−7
𝑥 + 6 ≤ 0 
 
 
Não há raiz no numerador. A raiz do denominador é -6 (raiz de índice ímpar). 
 
Vamos trabalhar os sinais dos coeficientes dominantes. 
 
−𝟕
𝒙 + 6 
 
(−)
(+) = (−) 
 
Ao passar pela raiz, trocaremos de sinal. Queremos saber quando a função é menor do que ou 
igual a 0. 
 
 
 
𝑆 = (−6,+∞) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > −6} 
 
 
 
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68 
 
5. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES 
 
 
1. (CESPE 2018/SEFAZ-RS) 
Para a função 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, em que a, b e c são constantes reais, tem-se que: 𝒇(𝟎) = 𝟎, 
𝒇(𝟏𝟎) = 𝟑 e 𝒇(𝟑𝟎) = 𝟏𝟓. Nesse caso, 𝒇(𝟔𝟎) é igual a 
a) 18. 
b) 30. 
c) 48. 
d) 60. 
e) 108. 
 
2. (CESPE 2018/BNB) 
 
O menor valor de 𝒇(𝒙) = −𝟑𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 − 𝟔 ocorre em 𝒙 = 𝟑/𝟐. 
 
 
3. (CESPE 2016/CPRM) 
Considerando-se os 365 dias de um ano, numerados sequencialmente de 1 a 365, a função 
y = -0,1x2 + 40x, em que x = 1, 2, ..., 365, estima-se a quantidade de litros de água 
desperdiçados no dia x em vazamentos na rede de distribuição de determinada cidade. Nesse 
caso, o desperdício equivalente a 3 m3 ocorreu em um dia do mês de 
a) janeiro e um dia do mês de dezembro. 
b) janeiro e em um dia do mês de julho. 
c) fevereiro e em um dia do mês de setembro. 
d) abril e em um dia do mês de novembro. 
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e) abril e em um dia do mês de outubro. 
 
4. (CESPE 2014 / MDIC) 
Com relação aos sistemas de equações lineares e às funções de 1.º e de 2.° graus, julgue o item 
que se segue. 
Caso a quantidade diária de camisetas produzidas por uma indústria entre x - 1 e x horas do dia 
seja expressa por f(x) = - 4x2 + 100x - 400, em que 7 < x < 18, então a quantidade máxima de 
camisetas produzida por essa indústria ocorrerá entre 13 e 14 horas. 
 
(CESPE 2013 / TCE-RS) 
Para climatizar vários ambientes de um órgão público, o gestor mandou instalar um 
condicionador central de ar. Quando o condicionador é ligado, a temperatura média dos 
ambientes baixa progressivamente à taxa de 1 oC a cada 8 min até atingir a temperatura 
desejada. Se o condicionador for mantido desligado, a temperatura média interna nesses 
ambientes, das 6 horas da manhã às 22 horas, é expressa, em oC, por T(t)= 𝟏
𝟔𝟒
(−𝟓𝒕𝟐 + 𝟏𝟒𝟎𝒕 +
𝟗𝟒𝟎), 6≤t≤22 em que t é o tempo, em horas. 
 Com base nessas informações, julgue o próximo item, acerca da temperatura nesses ambientes. 
5. Se o condicionador permanecer desligado, a temperatura média nos ambientes 
será superior a 30 oC antes das 14 horas. 
 
(CESPE 2007/SEBRAE/AC) 
O lucro y, em reais, que um comerciante obtém com a venda de x quilogramas de farinha é 
expresso pela função 𝒚 = −𝒙² + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟏. Se y<0, significa que o comercianteteve prejuízo. 
Com base nessas informações, julgue os itens subsequentes. 
6. Se o comerciante vende mais de 3kg de farinha, então o seu lucro será superior a 
R$ 16,00. 
 
7. Na venda de 6 kg de farinha, o lucro obtido pelo comerciante é superior a R$ 20,00. 
 
8. A função y é uma função crescente de x. 
9. (FUNRIO 2016/Pref. de Mesquita) 
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70 
 
A função polinomial do 2o grau 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 está esboçada no gráfico. 
 
Assim, podemos afirmar que: 
a) 𝑎 ∙ 𝑏 < 0. 
b) 𝑎 ∙ 𝑐 < 0. 
c) 𝑏𝑐 > 0 
d) 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 > 0 
e) 𝑏, − 4𝑎𝑐 < 0 
 
10. (FEPESE 2006/Secretaria de Estado da Administração – Santa Catarina) 
O lucro obtido na venda de mouses é dado pela função L(x) = –x2 + 90x – 800, sendo L o lucro 
do fabricante e x o preço de venda do mouse. O gráfico da função lucro é representado na 
figura abaixo. 
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71 
 
 
Assinale a alternativa que indica o maior lucro do fabricante. 
a) R$ 45,00 
b) R$ 80,00 
c) R$ 1.000,00 
d) R$ 1.225,00 
e) R$ 1.400,00 
 
11. (CESGRANRIO 2008/Petrobras) 
As medidas da base e da altura de certo triângulo são expressas por (20 − x) cm e (10 + x) cm, 
onde x é um número natural. A área máxima que esse triângulo pode ter, em cm2, é 
(A) 225,0 
(B) 185,5 
(C) 160,0 
(D) 125,5 
(E) 112,5 
 
 
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72 
 
12. (ESAF 2009/AFRFB) 
 Considere as inequações dadas por: 
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 ≤ 𝟎	𝒆	𝒈(𝒙) = −𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟐 ≥ 𝟎. 
Sabendo que A é o conjunto solução de 𝒇(𝒙) e B o conjunto solução de 𝒈(𝒙), então o conjunto 
𝒀 = 𝑨 ∩ 𝑩 é igual a: 
a) 𝑌 = �𝑥 ∈ ℝ�− f
,
< 𝑥 ≤ 2� 
b) 𝑌 = �𝑥 ∈ ℝ�− f
,
≤ 𝑥 ≤ 2� 
c) 𝑌 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 = 1} 
d) 𝑌 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≥ 0} 
e) 𝑌 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ 0} 
 
13. (CETRO 2010/ANVISA) 
Considere as seguintes funções 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒 e 𝒈(𝒙) = −𝒙 + 𝟔𝒙 − 𝟓. Assinale a alternativa 
que apresenta a solução da inequação definida por 𝒇(𝒙) ∙ 𝒈(𝒙) ≤ 𝟎. 
a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 = 2} 
b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ 1	𝑜𝑢	𝑥 = 2} 
c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|1 ≤ 𝑥 ≤ 5	𝑜𝑢	𝑥 = 2} 
d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ 1	𝑜𝑢	𝑥 ≥ 5	𝑜𝑢	𝑥 = 2} 
e) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≥ 1	𝑜𝑢	𝑥 ≤ 5	𝑜𝑢	𝑥 = 2} 
 
 
 
 
 
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14. (FCC 2010/Assembleia Legislativa do Estado de São Paulo) 
O gráfico a seguir representa a função 𝒇, de domínio real, dada pela lei 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄. 
 
 
Sabendo que a, b e c são constantes, é correto concluir que 
(A) a < 0, b < 0 e c < 0 
(B) a < 0, b < 0 e c > 0 
(C) a < 0, b > 0 e c < 0 
(D) a < 0, b > 0 e c > 0 
(E) a > 0, b < 0 e c < 0 
 
15. (CESGRANRIO 2010/Petrobras) 
Considere a função f (x) = mx2 + px , onde m, p e q são números reais tais que m < 0 e p > 0. O 
gráfico que melhor representa f (x) é 
 
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16. (FGV 2016/IBGE) 
Duas grandezas positivas X e Y são tais que, quando a primeira diminui de 1 unidade, a segunda 
aumenta de 2 unidades. Os valores iniciais dessas grandezas são X = 50 e Y = 36. O valor 
máximo do produto P = XY é: 
a) 2312; 
b) 2264; 
c) 2216; 
d) 2180; 
e) 2124. 
 
17. (FGV 2010/CAERN) 
O conjunto de todas as soluções reais da inequação 
𝟐𝒙 + 𝟏 < 𝟑𝒙 + 𝟐 é 
a) ] − ∞,−1[. 
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b) ] − ∞, 1[. 
c) ] − 1,+∞[. 
d) ]1, +∞[. 
e) ] − 1,1[. 
 
18. (FGV 2006/SERC-MS) 
O número de soluções inteiras do sistema de inequações 
�𝟐𝒙 + 𝟑 < 𝟒𝒙 + 𝟔𝟑𝒙 − 𝟏 < 𝒙 + 𝟕 é: 
a) 0 
b) 1 
c) 3 
d) 5 
e) infinito 
 
19. (FGV 2006/SERC-MS) 
A ordenada do vértice da parábola 𝒚 = 𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 é: 
a) −4 
b) −2 
c) 0 
d) 2 
e) 4 
 
 
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76 
 
20. (FGV 2006/SERC-MS) 
Se a parábola 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 contém os pontos (−𝟏, 𝟏𝟐), (𝟎, 𝟓) e (𝟐, −𝟑), quanto vale 𝒂 + 𝒃 +
𝒄? 
a) −4 
b) −2 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
21. (ESAF 2000/TFC-CGU) 
Determinar os valores de x para os quais a função do segundo grau 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎 assume 
valores positivos. 
a) - 5 < x < 2 
b) x = - 5 ou x = 2 
c) - 2 < x < 5 
d) x < - 2 ou x > 5 
e) x < - 5 ou x > 2 
 
22. (VUNESP 2016/CM de Poá-SP) 
Uma empresa adquiriu um novo forno para ampliar sua produção, porém, antes de utilizá-lo, é 
necessário que este seja aquecido até atingir uma temperatura de 1100 ºC, estabilizando-se 
logo em seguida. Durante o aquecimento, a temperatura (T) do forno é descrita em função das 
horas (h) de funcionamento pela lei T = 4. (h2 + 3h + 5). Sendo assim, se o forno começou a ser 
aquecido às 6:00h da manhã, então ele atingirá a temperatura necessária para poder ser 
utilizado às 
(A) 13:00h. 
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(B) 15:00h. 
(C) 18:00h. 
(D) 21:00h. 
(E) 23:00h. 
 
23. (CONSULPLAN 2016/Pref. de Nova do Imigrante-ES) 
 Seja 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 uma função do segundo grau cujo gráfico está representado a seguir. 
 
Sobre os coeficientes dessa função tem-se que: 
A) a > 0, b = 0 e c <0. 
B) a < 0, b > 0 e c = 0. 
C) a < 0, b < 0 e c = 0. 
D) a > 0, b = 0 e c > 0. 
 
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24. (ESAF 2001/SEFAZ-PI) 
Os números reais x que satisfazem à desigualdade (x + 10).(x - 10) < 0 são os descritos pelo 
intervalo: 
a) (-10, 10] 
b) (-10, 10) 
c) [-10,10) 
d) [-10, 10] 
e) [-10, 0] 
 
(CESPE 2004/PF) 
Suponha que a quantidade de registros de ocorrências policiais em cada dia x, entre os dias 4 e 
16, inclusive, de um mesmo mês, seja igual a – 𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙 − 𝟔𝟒. Tendo como base essas 
informações, julgue os itens que se seguem acerca dessas ocorrências, nesses dias. 
25. Em algum desses dias, foram efetivados exatamente 40 registros de ocorrências 
policiais. 
 
26. Em algum dia foram registradas 36 ocorrências e essa quantidade de registros 
ocorreu somente nesse dia. 
 
27. Considere que em cada um dos dias 𝐱𝟏	𝐞	𝐱𝟐	foram registradas 27 ocorrências. Então 
𝐱𝟏 + 𝐱𝟐 = 𝟐𝟎. 
 
 
 
 
 
 
 
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(CESPE 2009/BB) 
 
Considere que parte do gráfico de valores da taxa SELIC possaser aproximado pelo gráfico 
acima, que corresponde à parábola 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 em que a variável x representa os meses, y 
é a taxa SELIC no mês x, e a, b e c são constantes reais. Com base nessas considerações, julgue 
os próximos itens. 
28. 𝒃𝟐 < 𝟒𝒂𝒄. 
 
29. 𝟐𝟖𝟗𝒂 + 𝟏𝟕𝒃 + 𝒄 < 𝟏𝟑. 
 
30. 𝟏𝟖𝒂 = −𝒃. 
 
 
31. (FCC 2006/BB) 
Depois de várias observações, um agricultor deduziu que a função que melhor descreve a 
produção (y) de um bem é uma função do segundo grau y = ax2 + bx + c, em que x corresponde 
à quantidade de adubo utilizada. O gráfico correspondente é dado pela figura abaixo. 
 
Tem-se, então, que: 
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(A) a=−3, b= 60 e c=375 
(B) a=−3, b= 75 e c=300 
(C) a=−4, b= 90 e c=240 
(D) a=−4, b=105 e c=180 
(E) a=−6, b=120 e c=150 
 
32. (FCC 2006/BB) 
Uma empresa, após vários anos de estudo, deduziu que o custo médio (y) em reais de sua 
produção e venda de x unidades de um determinado produto é uma função do segundo grau y 
= x2 + bx + c representada pelo gráfico a seguir: 
 
Tem-se, então, que: 
a) b = -6 e m = 3. 
b) b = -6 e m = 6. 
c) b = -3 e m = 6. 
d) b = 3 e m = 6. 
e) b = 6 e m = 3. 
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33. (CESPE 2012/PRF) 
 
Considerando as tabelas acima, que apresentam, respectivamente, o peso e a estatura da 
criança A, desde o nascimento (0 ano) até o 3º ano de vida, bem como o peso da criança B, 
desde o nascimento (0 ano) até o 2º ano de vida, julgue o item a seguir. 
Considere que, no plano cartesiano xOy, a variável x seja o tempo, em anos, e a variável y seja a 
altura, em centímetros. Considere, ainda, que exista uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + 
c, cujo gráfico passa pelos pontos (x, y) correspondentes às alturas no nascimento no 1º, 2º e 3º 
anos de vida da criança A. Em face dessas informações, é correto afirmar que |𝑏/𝑎| < 10. 
 
(CESPE 2013/PRF) 
 
Considere que o nível de concentração de álcool na corrente sanguínea, em g/L, de uma pessoa, 
em função do tempo t, em horas, seja expresso por 
𝑵 = −𝟎, 𝟎𝟎𝟖(𝒕𝟐 − 𝟑𝟓𝒕 + 𝟑𝟒). Considere, ainda, que essa pessoa tenha começado a ingerir 
bebida alcoólica a partir de t = t0 (N(t0) = 0). Considere, por fim, a figura acima, que apresenta 
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82 
 
o gráfico da função N(t) para 𝒕 ∈ [𝒕𝟎, 𝒕𝟐]. Com base nessas informações e tomando 24,3 como 
valor aproximado de √𝟓𝟖𝟗, julgue os itens que se seguem. 
34. O nível de concentração mais alto de álcool na corrente sanguínea da referida 
pessoa ocorreu em t = t1 com t1 > 18 horas. 
 
35. O nível de concentração de álcool na corrente sanguínea da pessoa em questão foi 
superior a 1 g/L por pelo menos 23 horas. 
 
36. O valor de t2 é inferior a 36. 
 
 
37. (CETRO 2012/PM-SP) 
 O conjunto solução da inequação 𝟑𝒙v𝟏𝟎
v𝟐𝒙v𝟖
≤ 𝟎 é 
𝑎)	𝑆 = �𝑥 ∈ ℝ�𝑥 < 4	𝑜𝑢	𝑥 ≥ 103 � 
𝑏)	𝑆 = �𝑥 ∈ ℝ�𝑥 > 4	𝑜𝑢	𝑥 ≤ 103 � 
𝑐)	𝑆 = �𝑥 ∈ ℝ�𝑥 ≤ 4	𝑜𝑢	𝑥 ≥ 103 � 
𝑑)	𝑆 = �𝑥 ∈ ℝ�𝑥 ≥ 4	𝑜𝑢	𝑥 ≤ 103 � 
 
38. (VUNESP 2014/PC-SP) 
Considere as funções 𝒇:ℝ → ℝ e 𝒈:ℝ → ℝ,	 dadas por 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝟏𝟐 e 𝒈(𝒙) = 𝒙 + 𝟖. 
Sabe-se que os gráficos dessas funções se intersectam nos pontos de abscissa 2 e -2. 
A soma dos coeficientes a e b da função f é igual 
a) 2 
b) 4 
c) 0 
d) 1 
e) 3 
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39. (CESGRANRIO 2012/Petrobras) 
 
Sejam 𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏𝟔 e 𝒈(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 funções quadráticas de domínio real, cujos 
gráficos estão representados acima., A função f(x) intercepta o eixo das abscissas nos pontos 
𝑷(𝒙𝑷, 𝟎)	𝒆	𝑴(𝒙𝑴, 𝟎), e g(x) nos pontos (𝟏, 𝟎)	𝒆	𝑸(𝒙𝑸, 𝟎). Se g(x) assume valor máximo quando 𝒙 =
𝒙𝑴, conclui-se que 𝒙𝑸 é igual a 
a) 3 
b) 7 
c) 9 
d) 11 
e) 13 
 
40. (CONSULPLAN 2010/Pref. de Guaxupé) 
A soma de todos os números inteiros que NÃO pertencem ao domínio da função 𝒇(𝒙) =
«𝒙𝟐v𝟗
𝒙v𝟑
 é: 
a) 1 
b) – 4 
c) 2 
d) 3 
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84 
 
e) – 2 
 
41. (CONSULPLAN 2010/Pref. de Guaxupé) 
Qual dos intervalos a seguir representa a interseção entre os conjuntos imagem das funções 
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟐 e 𝒈(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟏𝟎? 
a)	−6 ≤ 𝑦 ≤ 9/2 
b)	−6 ≤ 𝑦 ≤ 9/4 
c)	−7 ≤ 𝑦 ≤ −9/4 
d)	−8 ≤ 𝑦 ≤ −9/2 
a)	−7 ≤ 𝑦 ≤ 9/4 
 
42. (CONSULPLAN 2010/Pref. de Guaxupé) 
Sobre o gráfico da função 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑 é correto afirmar: 
A) A abscissa do vértice é positiva. 
B) Intercepta o eixo das abscissas em um único ponto. 
C) É simétrico ao eixo das ordenadas. 
D) A ordenada do vértice é negativa. 
E) Passa pelo ponto (−3, −2). 
 
43. (CONSULPLAN 2010/Pref. de Guaxupé) 
O menor valor de x natural que é solução da inequação 𝒙v𝟏𝟎
𝒙v𝟑
≤ 𝒙 − 𝟐 é: 
a) 2 
b) 3 
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85 
 
c) 4 
d) 6 
e) 8 
 
44. (CONSULPLAN 2010/Pref. de Guaxupé) 
A soma de todos os valores que NÃO pertencem ao domínio da função real 𝒇(𝒙) = ¬𝒙
𝟐v𝟓𝒙v𝟔
𝒙𝟐v𝟑𝟔
 é 
igual a: 
a) -13 
b) -14 
c) -12 
d) -11 
e) -15 
 
45. (FUNIVESA 2015/Polícia Técnico-Científica – GO) 
Para a festa de formatura de um curso de Direito para 200 pessoas, foi acertado, com uma 
promotora de eventos, que cada pessoa que participasse da festa pagaria a quantia de R$ 
300,00 e mais R$ 50,00 para cada pessoa que não participasse. Nesse caso, a quantia máxima 
que a promotora de eventos poderia receber seria 
(A) inferior a R$ 350.000,00. 
(B) superior a R$ 350.000,00 e inferior a R$ 400.000,00. 
(C) superior a R$ 400.000,00 e inferior a R$ 450.000,00. 
(D) superior a R$ 450.000,00 e inferior a R$ 500.000,00. 
(E) superior a R$ 500.000,00. 
 
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86 
 
46. (FUNCAB 2015/CRF-RO) 
As coordenadas do vértice da parábola 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟓 são: 
a) V = (3/4, 3/8) 
b) V = (31/8, 3/4) 
c) V = (3/4, 31/8) 
d) V = (3/4, - 31/8) 
e) ( -3/4, 31/8) 
 
47. (FUNCAB 2015/CRF-RO) 
O conjunto solução da inequação 𝟑𝒙v𝟐
𝟒v𝒙
≥ 𝟏 é: 
a) [3/2 , 4] 
b) ] 4, ∞ [ 
c) ] − ∞, 3/2] 
d) [3/2, 4[ 
e) ]3/2 , 4 [ 
 
48. (IBFC 2012/PM de João Pessoa – Guarda Civil Municipal) 
A função A(t) = - t2 + 8t - 7 descreve a trajetória de uma bola arremessada para cima até atingir 
o solo, sendo t dado em minutos e A(t) a altura(em metros) da bola em relação ao solo. A altura 
máxima que a bola atinge é de: 
a) 10 metros 
b) 8 metros 
c) 6 metros 
d) 9 metros 
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49. (IBFC 2012/CM de Franca) 
Analisando as informações 
I) Se f(x) = 3x – 2 , então f(1/3) = 1. 
II) A função f(x) = - 2x + 4 é crescente para x > 2. 
III) O valor mínimo da função 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑 é y = -1. 
Podemos dizer que são incorretas 
a) I e III, somente. 
b) II e III, somente. 
c) Somente I. 
d) I e II, somente. 
 
(CESPE 2015/Telebras) 
Em um pequeno município, às x horas de determinado dia, 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐𝟒, 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟎𝟎 × (−𝒙𝟐 +
𝟐𝟒𝒙 + 𝟏) representa a quantidade de clientes de uma operadora de telefone celular que estavam 
usando o telefone. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 
50. Em cada hora, das 7 h às 17 h desse dia, a quantidade de usuários dessa operadora 
que estavam usando o celular é maior ou igual a 12.000. 
 
51. O valor de f(8,3) representa a quantidade de clientes que estavam usando o celular 
às 8 horas e 30 minutos. 
 
52. Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o gráfico da função f(x) é 
uma parábola com a concavidade voltada para cima. 
 
 
53. (FUNCAB 2014/Pref. de Anápolis – GO) 
Calcule o valor do domínio para o qual a função 𝒚 = −𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟖 atinge o seu valor máximo. 
a) -2 
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b) -1 
c) 1 
d) 0 
e) 2 
 
54. (FUNCAB 2014/Pref. de Anápolis – GO) 
Determine o conjunto solução da inequação abaixo. 
𝟐𝒙 + 𝟐
𝒙 − 𝟒 < 𝟎
 
a) ] − ∞,−1[ 
b) ] − 1,4[ 
c) ]1,4[ 
d) ]4, +∞[ 
e) [1,4[ 
 
55. (FUNCAB 2014/Pref. de Anápolis – GO) 
O conjunto imagem da função 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑 é o intervalo [−𝟏,+∞[. Determine a imagem 
da função g(x), tal que 𝒈(𝒙) = 𝒇(𝒙) − 𝟐. 
a) [−1,+∞[ 
b) [0, +∞[ 
c) ] − ∞, 3] 
d) [−3,+∞[ 
e) [1, +∞[ 
 
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56. (FGV 2016/Pref. de Paulínia) 
A figura a seguir mostra uma parte do gráfico da função 𝒚 = 𝒙𝟐 +𝒎𝒙 + 𝒏 onde V é o seu ponto 
mais baixo. 
 
O valor de m + n é: 
a) 6. 
b) 7. 
c) 10. 
d) 12. 
e) 16. 
 
57. (CONSULTEC 2013/SEC-BA) 
O dono de uma granja pretende cercar um terreno retangular junto a um muro para montar um 
novo galinheiro. Se ele dispõe de 36m de cerca, e o lado junto ao muro não precisa ser cercado, 
a área máxima que esse galinheiro poderá ter, em m2, é de 
a) 81 
b) 128 
c) 144 
d) 162 
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90 
 
e) 180 
 
58. (VUNESP 2014/PM-SP) 
A função 𝒇:ℝ → ℝ, dada por 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 − 𝟏𝟔𝒙 + 𝒄, tem um valor máximo e admite duas raízes 
reais e iguais. Nessas condições, e sabendo-se que c = a, é correto afirmar que o par ordenado 
que representa o vértice dessa parábola é 
(A) (–2,0). 
(B) (–1,0). 
(C) (1,0). 
(D) (2,0). 
(E) (3,0). 
 
59. (VUNESP 2013/PM-SP) 
Na figura, tem-se o gráfico de uma parábola. 
 
Os vértices do triângulo AVB estão sobre a parábola, sendo que os vértices A e B estão sobre o 
eixo das abscissas e o vértice V é o ponto máximo da parábola. A área do triângulo AVB, cujas 
medidas dos lados estão em centímetros, é, em centímetros quadrados, igual a 
(A) 8. 
(B) 9. 
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91 
 
(C) 12. 
(D) 14. 
(E) 16. 
 
60. (FGV 2016/Pref. de Paulínia) 
Considere que a função quadrática L(x) = - 2x2 + 100x + c , onde c é uma constante real positiva, 
tenha sido usada para modelar o lucro mensal L de uma fábrica em função do número x de 
unidades produzidas mensalmente. Pode-se deduzir que 
(A) quanto maior for o número de unidades produzidas mensalmente, maior será o lucro mensal. 
(B) o lucro mensal mínimo é igual a c+1200 e ocorre quando x=15. 
(C) o lucro mensal mínimo é igual a c+1200 e ocorre quando x=20. 
(D) o lucro mensal máximo é igual a c+1250 e ocorre quando x=25. 
(E) o lucro mensal máximo é igual a c+1500 e ocorre quando x=30. 
 
61. (CONSULPLAN 2015/CBM-PA) 
Uma fábrica produz diariamente cafeteiras elétricas e o custo unitário, em reais, é dado em 
função da quantidade produzida, vez que despesas administrativas e de consumo são nela 
rateadas. Assim, sendo o custo unitário é representado pela função f(x) = x2 – 40x + 800. O 
número de unidades que devem ser produzidas por dia para que o custo unitário seja mínimo é: 
A) 20. 
B) 30. 
C) 40. 
D) 60. 
E) 80. 
 
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62. (CONSULPLAN 2015/CBM-PA) 
O preço de certa casa é dado pela função: f(x) = –x2 + 360x + c, onde x é tempo, em meses, 
desde que a casa foi construída, e c o preço inicial da casa. O tempo necessário para que a casa 
chegue no seu valor máximo é: 
A) 15 anos. 
B) 18 anos. 
C) 9 anos e 8 meses. 
D) 12 anos e 4 meses. 
E) 16 anos e 9 meses. 
 
63. (CONSULPLAN 2015/CBM-PA) 
A função quadrática f(x) = ax2 + bx + c passa pelos pontos A (–1, 0), B (0, 5) e C (3, 8). Assim, f(8) 
vale: 
A) –19. 
B) –23. 
C) –27. 
D) –31. 
E) –35. 
 
64. (CONSULPLAN 2015/CBM-PA) 
O lucro de certa empresa, em reais, é dado pela função f(x) = –5x2 + 600x + 5.000, onde x é o 
número de meses de existência da empresa. Sabendo que a empresa fechou após 20 meses de 
quando teve seu maior lucro, então o lucro que essa empresa obteve no seu último mês de 
existência foi: 
A) R$ 5.000,00. 
B) R$ 12.000,00. 
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C) R$ 17.000,00. 
D) R$ 21.000,00. 
E) R$ 23.000,00. 
 
65. (VUNESP 2016/AMLURB-SP) 
A quantidade Q de bicicletas produzidas por ano, em função do tempo t, é dada pela fórmula Q 
= –t2 + 17t + 60, sendo que t representa o total de anos decorridos desde 1995, ano em que 
foram produzidas 60 bicicletas. Por exemplo, no ano 2005, t é igual a 10, e Q é igual a 130. Esse 
modelo prevê que, em algum momento, nenhuma bicicleta será produzida e, a partir de então, 
terá sua produção interrompida. O último ano em que essas bicicletas serão produzidas será 
(A) 2010. 
(B) 2012. 
(C) 2009. 
(D) 2014. 
(E) 2015. 
 
66. (FCC 2016/SEDU-ES) 
Seja a função quadrática g(x) = −x2 + 5x + 24, definida com domínio R e contradomínio R. A 
quantidade de números naturais do domínio que apresentam imagens positiva nessa função é 
igual a 
(A) 12. 
(B) 11. 
(C) 7. 
(D) 9. 
(E) 8. 
 
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67. (FCC 2016/SEDU-ES) 
A função polinomial 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎, definida no domínio 𝑫 = {𝒙 ∈ ℝ| − 𝟔 ≤ 𝒙 ≤ 𝟖}, é 
decrescente no intervalo real 
a) −2 ≤ 𝑥 ≤ 5 
b) −5 ≤ 𝑥 ≤ 2 
c) −6 ≤ 𝑥 ≤ 3/2 
d) 0 ≤ 𝑥 ≤ 8 
e) 3/2 ≤ 𝑥 ≤ 5 
 
68. (CESGRANRIO 2012/Petrobras) 
Seja 𝒇: 𝑨 → ℝ uma função dada por 𝒇(𝒙) = «𝟏𝟔 − (𝒙 − 𝟐)𝟐, onde A é o domínio tal que qualquer 
outro domínio possível para f seja um subconjunto de A. Se pudermos escrever A pela notação 
[a, b], então