ADM2 - Estatística Material Complementar (Números Índices)

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UNOPAR VIRTUAL 
ADMINISTRAÇÃO 
Disciplina: Estatística 
2º Semestre 
 
MATERIAL COMPLEMENTAR 
 
Números-Índices Simples 
Números-índices simples podem ser de preços, quantidades ou valores, conforme 
será discutido a seguir. 
Índice Relativo de Preços (Ip): Expressam a relação entre o preço de um único 
produto em um período determinado e o de outro período, comumente denominado 
período básico ou de referência. 
O índice de preço relativo do período b (Pb), em relação ao do período a (Pa) pode 
ser definido pela seguinte equação: 
%100*
a
b
a
b
P
P
P  
Exemplo: Se um produto custava R$ 40,00 em 2008 e passou a custar R$ 50,00 em 
2009, o índice de preço relativo de preço entre 2009 e 2008 é expresso como: 
%125%100*
40
50
2008
2009 P 
Em outro exemplo, considere os preços médios unitários da produção de certo 
produto durante os anos de 2004 a 2009 apresentados na Tabela 01. Adotando o 
ano de 2004 como base, pode-se determinar os índices de preços relativos 
correspondentes aos anos de 2007 e 2008. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tabela 01: Preços médios unitários da produção de certo produto. 
Ano 2004 2005 2006 2007 2008 2009 
Preço 
(R$) 
10,50 10,48 11,30 11,95 12,20 12,75 
Usando a fórmula anterior, pode-se calcular o preço relativo de 2007 e 2008, 
adotando o ano de 2004 como base: 
%19,116%100*
50,10
20,12
%81,113%100*
50,10
95,11
2004
2008
2004
2007


P
P
 
 
Índice Relativo de Quantidades (Iq): Assim como podemos comparar os preços de 
bens/produtos, podemos também fazê-lo em relação a quantidades, quer sejam elas 
produzidas, vendidas ou consumidas. Se fizermos qb= quantidade de um produto na 
época atual e qa= quantidade desse mesmo produto na no ano base, a quantidade 
relativa será: 
%100*
a
b
q
q
Iq  
Exemplo: Uma empresa produziu 46 toneladas de aço em 1999 e 69 toneladas em 
2000. A quantidade relativa será tomando-se o ano de 1999 como base: 
%150%100*
46
69
Iq 
Ou seja, no ano de 2000 esta empresa aumentou sua produção em 50% (150-100) 
em relação a 1999. 
 
Índice Relativo de Valor (Iv): Se p for o preço de determinada mercadoria em certa 
época e q a quantidade produzida, vendida ou consumida desse mesmo produto na 
 
 
 
 
 
 
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mesma época, então, o produto p x q será denominado valor total de produção (vt), 
de vendas ou de consumo. Sendo pt e qt respectivamente, o preço e a quantidade de 
um artigo na época atual e po e qo, o preço e a quantidade do mesmo artigo no ano 
base, definimos como índice relativo de valor (Iv) a razão: 
000 *
*
v
v
qp
qp
Iv ttt  
Onde: vt – valor total na data atual, v0 - valor total na data de ano base 
Exemplo: Uma empresa vendeu, em 2000, 1000 unidades de um produto ao preço 
unitário de R$ 500,00. Em 2001, vendeu 800 unidades do mesmo produto ao preço 
unitário de R$ 600,00. O valor relativo da venda em 2001 foi: 
%96
1000*500
800*600
*
*
00

qp
qp
Iv tt 
 
Em 2001, o valor das vendas foi 4% (96-100) inferior ao de 2000. 
 
Exemplo: Números-índices simples - No final do ano de 2009, certa indústria 
estudava a evolução de suas vendas ao longo dos seis últimos anos. As quantidades 
vendidas, os preços praticados e o valor das vendas de cada ano podem ser 
visualizados na Tabela 02. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tabela 02: Vendas Anuais da Empresa Sejam Bem Vindos LTDA. 
Ano Quantidade 
Vendida 
Preço unitário 
(R$) 
Valor da Vendas 
(R$) 
2004 52 222,00 11.544,00 
2005 55 238,00 13.090,00 
2006 61 253,00 15.433,00 
2007 67 271,00 18.157,00 
2008 73 284,00 20.732,00 
2009 78 297,00 23.166,00 
Com base na tabela anterior, a empresa constatou, obviamente, que quantidades, 
preços e, principalmente, os valores das vendas cresceram. Porém, gostaria de 
aprofundar esta análise, detalhando a evolução relativa dos crescimentos e, 
principalmente, o efeito sobre o valor das vendas. Uma solução bastante simples para 
facilitar a análise envolveria a construção de números-índices, onde a empresa 
poderia analisar a evolução de suas vendas ao longo do tempo. 
 
Assim, uma forma de analisar a evolução e as variações ocorridas nos dados 
apresentados seria construir uma tabela formada por números-índices. Neste caso, 
como se trata de analisar a evolução de um único produto, os números-índices são 
chamados de números-índices simples. 
 
Para construir as séries para preços, quantidade e valores, basta dividir todos os 
valores de uma no escolhido mês base, expressando os valores obtidos em 
porcentual, ou seja, multiplicados por 100%. 
Por exemplo, empregando o ano de 2004 como ano base, o índice simples de 
quantidade (Iq) para o ano de 2005 seria igual a (55/52)*100%, que resulta no valor 
de 106%. O índice simples de preço (Ip) para o ano de 2007 seria igual a 
(271/222)*100%, que resulta em 122%. No ano base (2004), os valores de todos os 
 
 
 
 
 
 
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índices seriam iguais a 100%. A Tabela 03 apresenta os números-índices para os 
demais dados, obtidos de maneira similar as descritas. 
 
Tabela 03: Índices de quantidade (Iq), preço (Ip) e valor (Iv) – referentes a Tabela 
02 
Ano Iq Ip Iv 
2004 100% 100% 100% 
2005 106% 107% 113% 
2006 117% 114% 134% 
2007 129% 122% 157% 
2008 140% 128% 180% 
2009 150% 134% 201% 
Analisando os valores apresentados na Tabela 03, a indústria facilmente perceberia 
que a evolução dos valores de vendas é influenciada pela evolução das quantidades 
e preços, sendo mais evidente a evolução das quantidades. 
 
Leitura Complementar: Agora sugiro que você abra a biblioteca digital, 
procure pelo livro GARCIA, Regis. Estatística aplicada. São Paulo: 
Pearson Education do Brasil, 2009 e leia a Unidade 2 - páginas 26 e 27. 
 
 
Números-índices Compostos 
Números-índices compostos devem ser utilizados quando a evolução do preço de 
mais de um produto ou serviço precisa ser considerada. Diferentes cálculos com 
múltiplos preços, quantidades ou valores podem ser considerados. 
 
 
 
 
 
 
 
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Índice de Laspeyres ou método do ano base: Dentre os métodos de números-
índices compostos, o índice de Laspeyres ou método do ano base é um dos 
métodos para cálculo de números-índices mais utilizado na área de gestão 
coorporativa. Ao aplicar este método considera-se um dos anos como ano base 
com preços apresentados como p0 e quantidades apresentadas como q0. Para o 
ano analisado, assumem-se preços no ano apresentados como pn e quantidades 
apresentadas como qn. Pode ser apresentado como índice de Laspeyres de 
preços, quantidades ou valores conforme veremos a seguir. 
 
a) Índice de preços de Laspeyres (ILp): Analisa a variação ponderada dos 
preços, empregando a quantidade do ano base como fator de ponderação, 
conforme dado pela fórmula a seguir: 
%100*
*
*
00
0



QP
QP
ILp
n
 
 
Para ilustrar cálculos com índices de Laspeyres, considere o exemplo das vendas 
de quatro produtos distintos apresentados na Tabela 04. 
 
Tabela 04: Vendas de certa empresa, quatro produtos distintos (Ilustração índice 
de Laspeyres) 
Item 
2002 2003 
P0 Q0 V0 Pn Qn Vn 
Bem A 2 2 4 4 6 24 
Bem B 3 1 3 7 3 21 
Bem C 4 3 12 5 8 40 
Bem D 3 4 12 4 9 36 
Soma 31 121 
 
 
 
 
 
 
 
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O índice de preços de Laspeyres pondera os cálculos dos valores, empregando a 
quantidade de vendas do ano-base. Vejamos o cálculo na Tabela 05. 
 
Tabela 05: Índice de Preços de Laspeyres 
Item 
2002 (Ano-Base) 2003 
P0 Q0 Pn * Q0 Pn Q0 Pn * Q0 
Bem A 2 2 4 4 2 8 
Bem B 3 1 3 7 1 7 
Bem C 4 3 12 5 3 15 
Bem D 3 4 12 4 4 16 
(Pn * Q0) 31 46 
(P0 * Q0) 31 31 
ILp= 
(Pn * Qn)/ 
(P0 * Q0) 
 31/31=100% 46/31=148% 
 
Portanto, dividindo os somatórios de pn*q0 pelo valor no ano base (P0 * Q0 = R$ 
31,00), pode-se calcular osíndices de preços de Laspeyres conforme apresentado 
na Tabela 05. 
 
b) Índice de quantidade de Laspeyres (ILq): O índice de quantidades de Laspeyres 
analisa a variação ponderada das quantidades, empregando os preços no ano 
base como fator de ponderação. 
%100*
*
*
00
0



PQ
PQ
ILq
n
 
 
 
 
 
 
 
 
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Os cálculos dos Índices de quantidade de Laspeyres (ILq) para o exemplo 
apresentado na Tabela 04 são apresentados na Tabela 06. 
 
Tabela 06: Índice de Quantidades de Laspeyres (ILq) 
Item 
2002 (Ano-Base) 2003 
P0 Q0 Pn * Q0 Pn Q0 Pn * Q0 
Bem A 2 2 4 2 6 12 
Bem B 3 1 3 3 3 9 
Bem C 4 3 12 4 8 32 
Bem D 3 4 12 3 9 27 
(P0 * Qn) 31 80 
(P0 * Q0) 31 31 
ILp= 
(Pn * Qn)/ 
(P0 * Q0) 
 31/31=100% 80/31=258% 
 
Portanto, dividindo os somatórios de p0*qn pelo valor no ano base (P0 * Q0 = R$ 
31,00), pode-se calcular os índices de quantidade de Laspeyres conforme 
apresentado na Tabela 06. 
 
c) Índice de valor de Laspeyres (ILv): O índice de valor de Laspeyres analisa a 
variação nos valores, comparando o valor do ano em questão com o valor do ano-
base 
%100*
*
*
00


QP
QP
ILv
nn
 
 
 
 
 
 
 
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Como os valores já estavam calculados na Tabela 04, pode-se calcular o índice de 
valor de Laspeyres (ILv) dividindo o valor (V) do ano de 2003 pelo valor do ano-base 
2002, iguala R$31,00, conforme apresentado na Tabela 07. 
 
Tabela 07: Índice de valor de Laspeyres (ILq) 
Descrição 2002 2003 
Valor no ano 31 121 
ILp 100% 390%