Matemática para Economistas

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2018
MateMática para 
econoMistas
Profª. Grazielle Jenske
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
Copyright © UNIASSELVI 2018
Elaboração:
Profª. Grazielle Jenske
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
510
J51m Jenske, Grazielle 
 Matemática para economistas / Grazielle Jenske; Leonardo 
Garcia dos Santos. Indaial: UNIASSELVI, 2018.
 
 203 p. : il.
 
 ISBN 978-85-515-0151-1
 
 1.Matemática. 
 I. Centro Universitário Leonardo Da Vinci. 
Impresso por:
III
apresentação
Prezado acadêmico! Bem-vindo à disciplina de Matemática para 
Economistas. Este livro foi escrito para os acadêmicos de economia que 
pretendem revisar, aprimorar e aprofundar seus conhecimentos de 
matemática para um entendimento adequado da literatura econômica atual. 
Desta forma, conceitos, definições, propriedades e representações gráficas 
farão parte dos seus estudos nesta disciplina. 
Este livro está dividido em três unidades que contemplam partes 
importantes da matemática aplicada ao curso de Economia. Na primeira 
unidade, serão apresentados os conceitos introdutórios ao Cálculo, que 
envolvem o entendimento dos números, o estudo das equações de primeiro 
e segundo grau, as funções utilizadas por economistas e os sistemas lineares.
Na unidade seguinte, serão abordados, além das funções exponenciais 
e logarítmicas, os principais conceitos do Cálculo Diferencial e Integral, como 
definições, conceitos, métodos de derivação e integração e aplicações na área 
econômica. 
Na terceira, e última unidade, trataremos sobre aplicações das 
derivadas e integrais para a economia, bem como as funções de diversas 
variáveis e as derivadas parciais aplicadas à economia. A maximização e a 
minimização de funções das variáveis permitem solucionar problemas que 
aparecem em vários contextos práticos da economia.
Queremos aqui salientar que este material traz uma introdução à 
Matemática para o curso de Economia. Você deve se sentir curioso e instigado 
a pesquisar outros materiais para ampliar e completar seu aprendizado. 
Durante o texto, deixamos algumas sugestões e outras podem ser verificadas 
nas referências bibliográficas.
Você, acadêmico da Educação a Distância, deve saber que existem 
fatores importantes para um bom desempenho: disciplina, organização e um 
horário de estudos predefinido para que obtenha sucesso. Em sua caminhada 
acadêmica, você é quem faz a diferença. Como todo texto matemático, por 
vezes denso, você necessitará de papel, lápis, borracha, calculadora e muita 
concentração. Lembre-se que o estudo é algo primoroso. Aproveite esta 
motivação para iniciar a leitura deste livro.
Estimamos que, ao término deste estudo, você consiga notar a 
evolução do seu entendimento matemático, pois a melhoria constante deve 
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
ser o objetivo de todo acadêmico. Desta forma, esta disciplina pretende 
oportunizar a compreensão da construção dos conhecimentos aqui 
trabalhados e servir de subsídio para os conhecimentos subsequentes.
Bons estudos!
Profª. Grazielle Jenske
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
NOTA
V
Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos 
materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais 
os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza materiais 
que possuem o código QR Code, que é um código 
que permite que você acesse um conteúdo interativo 
relacionado ao tema que você está estudando. Para 
utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos 
e baixe um leitor de QR Code. Depois, é só aproveitar 
mais essa facilidade para aprimorar seus estudos!
UNI
VI
VII
UNIDADE 1 – INTRODUÇÃO AO CÁLCULO ................................................................................ 1
TÓPICO 1 – NÚMEROS E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS ........................................................ 3
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 3
2 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS () ............................................................................. 4
3 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS () ............................................................................... 5
4 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS () .......................................................................... 6
5 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS () ........................................................................ 7
6 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS () ...................................................................................... 7
7 OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS ...................................................................................................... 8
7.1 FRAÇÕES E SUAS OPERAÇÕES .................................................................................................. 8
7.1.1 Adição e subtração de frações ............................................................................................... 9
7.1.2 Multiplicação de frações ........................................................................................................ 15
7.1.3 Divisão de frações ................................................................................................................... 16
7.2 POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO ............................................................................................... 17
7.2.1 Potenciação .............................................................................................................................. 17
7.2.2 Propriedades da potenciação ................................................................................................ 19
7.2.3 Radiciação ................................................................................................................................ 25
7.2.4 Raízes numéricas .................................................................................................................... 25
7.2.5 Raízes literais ........................................................................................................................... 26
7.2.6 Adição e subtração de radicais ............................................................................................. 27
7.2.7 Multiplicação e divisão de radicais ......................................................................................28
7.2.8 Racionalização de denominadores ....................................................................................... 28
7.2.9 Expressões numéricas ............................................................................................................ 30
7.2.10 Cálculo de uma expressão numérica ................................................................................. 31
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 35
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 37
TÓPICO 2 – EQUAÇÕES DO PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU .................................................. 43
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 43
2 INCÓGNITA .......................................................................................................................................... 43
3 EQUAÇÕES ........................................................................................................................................... 44
3.1 PRINCÍPIOS DA IGUALDADE .................................................................................................... 46
3.2 TIPOS DE EQUAÇÕES ................................................................................................................... 47
3.3 GRAUS DE UMA EQUAÇÃO ....................................................................................................... 48
4 EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU ................................................................................................ 49
4.1 RAIZ DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU ............................................................................ 50
4.2 APLICAÇÕES .................................................................................................................................. 51
5 EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU ................................................................................................ 56
5.1 RAÍZES DE EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU ....................................................................... 57
5.2 APLICAÇÕES .................................................................................................................................. 60
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................ 63
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 64
suMário
VIII
TÓPICO 3 – FUNÇÕES POLINOMIAIS E SUAS APLICAÇÕES NA ECONOMIA ................. 67
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 67
2 FUNÇÃO AFIM ..................................................................................................................................... 67
2.1 PROPORCIONALIDADE ............................................................................................................... 68
2.2 CONCEITO DE FUNÇÃO AFIM .................................................................................................. 69
2.3 CÁLCULO DA CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE .................................................. 71
2.4 APLICAÇÃO DA FUNÇÃO AFIM: RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES 
LINEARES ......................................................................................................................................... 72
2.4.1 Retas paralelas (não coincidentes)........................................................................................ 73
2.4.2 Retas paralelas (coincidentes) ............................................................................................... 73
2.4.3 Retas concorrentes .................................................................................................................. 73
2.4.4 Soluções de sistemas de equações lineares ......................................................................... 74
2.5 FUNÇÃO QUADRÁTICA .............................................................................................................. 77
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................... 83
RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................ 87
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 88
UNIDADE 2 – FUNÇÕES E CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – PARTE I ................... 91
TÓPICO 1 – FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS .................................................... 93
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 93
2 FUNÇÃO EXPONENCIAL .................................................................................................................. 93
2.1 CÁLCULO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL ................................................................................ 94
2.2 GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL .................................................................................. 95
2.3 FUNÇÃO LOGARÍTMICA ............................................................................................................ 99
2.3.1 Cálculo de logaritmos ............................................................................................................ 99
2.3.2 Operações com logaritmos .................................................................................................... 100
2.3.3 Mudança de base .................................................................................................................... 101
2.3.4 Conclusão do problema da dívida ....................................................................................... 103
2.3.5 Gráfico da função logarítmica ............................................................................................... 103
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 106
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 107
TÓPICO 2 – DERIVADAS – CONCEITOS E MÉTODOS DE RESOLUÇÃO ............................. 109
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 109
2 DERIVADAS .......................................................................................................................................... 110
2.2 REGRAS DE DERIVAÇÃO ............................................................................................................. 112
2.1 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA ............................................................... 112
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................ 122
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 123
TÓPICO 3 – INTEGRAIS – CONCEITOS E MÉTODOS DE RESOLUÇÃO ............................... 125
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 125
2 INTEGRAL INDEFINIDA .................................................................................................................. 125
3 INTEGRAIS IMEDIATAS ...................................................................................................................130
4 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO OU MUDANÇA DE VARIÁVEL PARA INTEGRAÇÃO ...... 133
5 INTEGRAÇÃO POR PARTES ............................................................................................................ 138
6 INTEGRAL DEFINIDA ....................................................................................................................... 143
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................... 147
RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................ 149
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 150
IX
UNIDADE 3 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – PARTE II .......................................... 153
TÓPICO 1 – APLICAÇÕES DE DERIVADAS E INTEGRAIS........................................................ 155
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 155
2 FUNÇÕES MARGINAIS .................................................................................................................... 155
2.1 CUSTO MARGINAL ....................................................................................................................... 156
2.2 RECEITA MARGINAL.................................................................................................................... 157
2.3 PRODUTIVIDADE MARGINAL .................................................................................................. 158
3 REGRA DA CADEIA ........................................................................................................................... 160
3.1 TAXAS RELACIONADAS.............................................................................................................. 161
4 APLICAÇÕES DE INTEGRAIS NA ECONOMIA – CUSTO E RECEITA TOTAL ................. 162
4.1 OUTRAS ANÁLISES MARGINAIS .............................................................................................. 163
4.2 INTEGRAL DEFINIDA E O LUCRO MÁXIMO ......................................................................... 164
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 166
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 167
TÓPICO 2 – FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS ........................................................................... 169
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 169
2 SISTEMA DE COORDENADA TRIDIMENSIONAL .................................................................. 169
2.1 FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS ....................................................................................... 172
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................ 180
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 181
TÓPICO 3 – DERIVADAS PARCIAIS ................................................................................................. 183
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 183
2 DERIVADAS PARCIAIS ..................................................................................................................... 183
3 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR ....................................................................... 187
RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................ 191
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 192
TÓPICO 4 – APLICAÇÕES DAS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS NA ECONOMIA ..... 193
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 193
2 INVESTIMENTOS EM PRODUÇÃO .............................................................................................. 193
3 ELASTICIDADES ................................................................................................................................. 196
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................... 197
RESUMO DO TÓPICO 4........................................................................................................................ 200
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 201
REFERÊNCIAS ......................................................................................................................................... 203
X
1
UNIDADE 1
INTRODUÇÃO AO 
CÁLCULO
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você será capaz de:
• identificar os elementos do conjunto dos números naturais, inteiros, racio-
nais, irracionais e reais;
• realizar operações;
• compreender e usar as regras das expressões numéricas;
• identificar os tipos de equações, reconhecer seus elementos e determinar 
suas raízes;
• traduzir uma sentença matemática expressa em linguagem corrente;
• generalizar regularidades sem recorrer a processos aritméticos;
• identificar a terminologia, símbolos usuais e conhecimentos básicos en-
contrados em economia;
• compreender os conceitos fundamentais da matemática para economistas, 
com ênfase em equações, funções e suas aplicações.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade você 
encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – NÚMEROS E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
TÓPICO 2 – EQUAÇÕES DO PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU
TÓPICO 3 – FUNÇÕES POLINOMIAIS E SUAS APLICAÇÕES NA 
ECONOMIA
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
NÚMEROS E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
1 INTRODUÇÃO
A história nos conta que os números foram criados para suprir a 
necessidade de contagem do ser humano e, conforme a evolução humana foi 
ocorrendo, os números também tiveram seu progresso, e hoje são organizados 
em conjunto.
A concepção do conjunto numérico pode ser compreendida a partir da 
compreensão de um conjunto. Um conjunto, na matemática, é uma coleção de 
elementos, representado por uma letra maiúscula do alfabeto. Por exemplo, o 
conjunto das estações do ano:
E = {primavera, verão, outono e inverno}
Neste caso, cada uma das estações do ano representa um elemento do 
conjunto. Um conjunto também pode ser representado graficamente pelo que 
denominamos “Diagrama de Venn”.
Primavera
Verão
Outono
Inverno
E
Desta forma, os conjuntos numéricos são compreendidos como os 
conjuntos dos números que possuem características semelhantes. Por exemplo, 
o conjunto dos números pares maiores e iguais a 10 e menores ou iguais a 20.
P = {10, 12, 14, 16, 18 e 20}
Representado pelo diagrama:
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
4
10
12 14
16
18 20
P
Veremos aqui a concepção de cada um dos conjuntos numéricos, visando 
à compreensão dos elementos que os constituem. Abordaremos os seguintes 
conjuntos numéricos:
• conjunto dos números Naturais ();
• conjunto dos números Inteiros ();
• conjunto dos números Racionais ();
• conjunto dos números Irracionais ();
• conjunto dos números Reais ();
2 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ()
Representado pela letra maiúscula , este conjunto abrange todos os 
númerosinteiros positivos, incluindo o zero.
0 1
2 3 4
5 6
7 8 9
10 11
12 13
 . . .

 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …}
IMPORTANT
E
Os pontos de reticência dão a ideia de infinidade, pois os conjuntos numéricos 
são infinitos.
TÓPICO 1 | NÚMEROS E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
5
Para representar o conjunto dos Números Naturais não nulos (excluindo 
o zero), deve-se colocar um asterisco ao lado do .
* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}
O conjunto numérico dos Números Naturais começa no zero e é infinito, 
porém, podemos ter a representação de apenas um subconjunto dele. Por 
exemplo, um subconjunto M do conjunto dos números naturais formado pelos 
cinco primeiros múltiplos de 3.
M = {0, 3, 6, 9, 12}
3 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ()
Representado pela letra , o conjunto dos Números Inteiros é formado 
por todos os números que pertencem ao conjunto dos Números Naturais mais os 
seus respectivos opostos negativos.
 = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
Representação gráfica dos Números Inteiros:
 . . . 
- 6 - 5 - 4
 - 3 - 2
- 1 0 1
2 3
4 5 6
 . . .

. . . 
 - 6 - 5 - 4
 - 3 - 2
- 1
 0 1
2 3 4
5 6
 . . .


São subconjuntos do conjunto dos números inteiros:
• inteiros não negativos: representado por +, este subconjunto dos inteiros é 
composto por todos os números inteiros que não são negativos, ou seja, são 
todos os inteiros positivos mais o zero. 
• + = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …}
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
6
Note que: 
+
, = , ou seja, que o conjunto dos números inteiros não negativos 
é igual ao conjunto dos números naturais.
ATENCAO
• inteiros não positivos: representado por -, este subconjunto dos inteiros é 
composto por todos os inteiros não positivos, ou seja, são todos os inteiros 
negativos mais o zero.
– = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0}
• inteiros não negativos e não nulos: representado por *+, este subconjunto é 
conjunto + excluindo o zero.
*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …}
Acadêmico, perceba que: *
+
, = *.
ATENCAO
• inteiros não positivos e não nulos: representado por *-, são todos os números 
do conjunto -, excluindo o zero.
*– = {… -4, -3, -2, -1}
4 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ()
Representado pela letra , o conjunto dos Números Racionais contempla 
os números inteiros (), os números decimais finitos e os números decimais 
infinitos periódicos, ou seja, todos aqueles que podemos escrever na forma a/b, 
com b ≠ 0.
Representação gráfica dos números racionais:
TÓPICO 1 | NÚMEROS E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
7
 . . . 
- 6 -11/2 - 5 - 4
- 3,75 - 3 - 2
- 1 -1/2 0 1
 2 3 7/2
 4 4,859 5 6
 . . .

. . . 
 -5/2 - 2,33333
7/4 11/3
 ... - 4 - 3 
- 2 - 1
 0 1
2 3 4
 5 6 ...



5 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS ()
É formado pelos números decimais infinitos não periódicos. Por exemplo, 
o número PI (π= 3,14159265…), que é o resultado da divisão do perímetro de 
uma circunferência pelo seu diâmetro) e todas as raízes não exatas, como a raiz 
quadrada de 2, 3 e 5.
- 5,146781...
- 0,987654321...
π
√35
28,918236459...

6 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ()
Representado pela letra , o conjunto dos números reais é formado por 
todos os conjuntos descritos anteriormente.
 = { +  +  + }
Veja a representação em diagrama dos conjuntos numérico.
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
8
 - Reais
 - Racionais
 - Inteiros
 - Naturais
 - Irracionais
7 OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
Certamente você, acadêmico, já estudou as operações fundamentais no 
ensino básico. Desta forma, o que pretendemos, aqui, é fornecer uma revisão das 
operações que são primordiais no estudo do cálculo diferencial e integral (temas 
estes das Unidades 2 e 3). 
7.1 FRAÇÕES E SUAS OPERAÇÕES
Fração, intuitivamente, deve nos remeter ao conceito de parte. Isto se deve 
também ao fato de epistemologicamente a palavra ter origem do latim fractus 
(que significa quebrado). Já em matemática, esta palavra foi destinada ao conceito 
de comparação de uma parte com o todo. Duas quantidades são comparadas uma 
acima da outra, sendo que a parte superior (numerador) representa as partes e a 
inferior (denominador) o todo.
numerador
denominador
O numerador representa a quantidade de partes consideradas de um todo 
(quantas partes do todo nós possuímos). E, o denominador representa quantas 
partes iguais estão contidas no todo (ou seja, em quantas partes algo foi dividido). 
Exemplo:
TÓPICO 1 | NÚMEROS E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
9
Acadêmico, é imprescindível ter o domínio das operações ensinadas a seguir. 
Elas farão parte da sua jornada acadêmica e profissional, por este motivo é importante 
compreendê-las e não somente resolvê-las.
ATENCAO
7.1.1 Adição e subtração de frações
Somente podemos somar ou subtrair frações que possuam o mesmo 
denominador.
Atente para a definição: SÓ PODEMOS SOMAR OU SUBTRAIR FRAÇÕES QUE 
POSSUAM O MESMO DENOMINADOR. Esta definição permite que você compreenda os 
artifícios utilizados adiante.
ATENCAO
Exemplo 1:
1 3
5 5
+
Veja a representação geométrica.
Como ambos os “todos” estão divididos em cinco partes, podemos 
“transportar” as quantidades, ficando com 4 das 5 partes do todo.
+ =
+
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
10
Assim,
1 3 4
5 5 5
+ =
Exemplo 2:
3 2
4 4
+
3 2 5 1 ou 1 inteiro e 
4 4 4 4
+ =
Exemplo 3: 
3 2
4 4
-
3 2 1
4 4 4
- =
TÓPICO 1 | NÚMEROS E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
11
Assim, para somar ou subtrair frações que possuem o mesmo 
denominador, basta manter o denominador e operar o numerador.
E se quisermos somar, 
1 1
2 3
+
, como fazer?
Geometricamente, teremos:
Note que se “transportarmos” a quantidade 
1
2 para o 
1
3 não irá caber. E, se 
“transportarmos” a quantidade 
1
3 para o 
1
2 irá sobrar espaço. Isso porque o todo 
está repartido em quantidades diferentes e, pela definição, somente podemos 
somar e subtrair frações que possuem o mesmo denominador, ou seja, que 
estejam repartidas em quantidades iguais.
Para podermos efetuar essa operação, devemos recorrer a frações 
equivalentes. Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte 
do todo. Por exemplo:
1 2 3 4 5 6, , , , , , São frações equivalentes.
2 4 6 8 10 12
¼
Veja a representação gráfica:
1 inteiro
1
2
2
4
3
6
4
8
5
10
6
12
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
12
Acadêmico, observe que apesar do “todo” estar partilhado em quantidades 
diferentes, a parte pintada corresponde à metade da figura (todo) em todas as 
frações. Por isso, dizemos que elas são frações equivalentes. 
Quando as frações não possuem o mesmo denominador devemos reduzi-
las ao menor denominador comum (ou mínimo múltiplo comum) e, em seguida 
somar ou subtrair as frações equivalentes às frações dadas.
1
3
1
2
2
6
3
6
Veja que agora o todo está repartido em partes iguais e assim podemos 
realizar a adição.
1 1 3 2 5
2 3 6 6 6
+ = + =
Exemplo:
4 5 12 17
3 5 15 15
1 
15
 + = + =
15 é o menor denominador 
comum ou o mínimo múltiplo 
comum de 3 e 5.Frações dadas, com o 
mesmo denominador
{
}
Veja, o denominador da fração 
1
3 era 3 e aumentou para 15, ou seja, 
multiplicamos por 5. Para encontrarmos o numerador que vai manter a 
equivalência, precisamos realizar a mesma operação feita no denominador 
(multiplicar por 5), assim, 1 x 5 = 5.
1 5 Frações equivalentes
3 15
= 
TÓPICO 1 | NÚMEROS E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
13
O mesmo ocorre para a fração 
4
5, que tem denominador 5 e devido ao 
mínimo múltiplo comum (m.m.c.), precisamos de uma fração equivalente com 
denominador 15, assim multiplicamos por 3 o denominador 5, logo, precisamos 
fazer a mesma coisa no denominador, 4 x 3 = 12.
4 12 Frações equivalentes
5 15
= 
DICAS
É comum você ter aprendido que depois de ter encontrado o m.m.c. basta 
dividir pelo denominador e multiplicar pelo numerador. Claro que na prática é a mesma 
coisa que mostramos aqui, mas cuidado para não interiorizar que você pode realizar uma 
operação com o denominador e outra com o numerador. Então, a dica é entender que a 
mesmaoperação (multiplicação ou divisão) que você faz para o denominador precisa ser 
repetida para o numerador da fração.
Como obter o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de dois ou mais 
denominadores?
Vamos achar os múltiplos comuns de 3 e 5:
Múltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30,...
Múltiplos de 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40,...
Múltiplos comuns de 3 e 5: 0, 15, 30, 45, 60, ...
Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 15 é o menor deles. Chamamos 
o número 15 de mínimo múltiplo comum de 3 e 5.
NOTA
O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é 
chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c.
Relembraremos uma técnica chamada de “decomposição simultânea 
em fatores primos”. Esta técnica consiste em decompor simultaneamente cada 
denominador em fatores primos. O produto de todos os fatores primos que 
aparecem nessa decomposição será o mínimo múltiplo comum.
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
14
Número primo é um número que possui apenas dois divisores (o número 
1 e ele mesmo). São números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...
Utilizando essa técnica, observe como determinar o m.m.c. de 12, 8 e 6.
Vejamos como utilizar esse conceito para determinar as frações 
equivalentes e conseguir resolver a adição e subtração de frações com 
denominadores diferentes, vamos a mais um exemplo:
3 1 5
10 2 6
- + 
Como os denominadores são diferentes, iniciamos determinando primeiro 
o m.m.c.
Sabemos que o novo denominador deve ser 30 para que possamos escrever 
frações equivalentes e, assim, obter frações de mesmo denominador para poder 
efetuar a adição e subtração.
Do número 2 para chegarmos 
no número 30, multiplicamos por 
15. Repetindo a operação com o 
numerador, temos: 1 x 15 = 15
Do número 10 para chegarmos no 
número 30, multiplicamos por 3. 
Assim, devemos realizar a mesma 
operação para o numerador, 3 x 3 =
Do número 6 para chegarmos 
no número 30, multiplicamos por 
5. Repetindo a operação com o 
numerador, temos 5 x 5 = 25
TÓPICO 1 | NÚMEROS E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
15
7.1.2 Multiplicação de frações
Para multiplicarmos duas ou mais frações, basta multiplicar numerador 
por numerador e denominador por denominador.
Exemplo:
1 5
3 4 3x4 12
2 10
3
1x5 5. 
5x25. 
1x 3
 
3
 
= =
= =
 
Lembre-se que 5 = 
5
1
 .
Você não deve tirar o m.m.c. de frações, ou seja, não é necessário que as frações 
tenham denominadores iguais.
ATENCAO
Para ilustrar esse conceito de multiplicação, vamos recorrer à geometria, 
acompanhe o procedimento. Seja a multiplicação entre duas frações: 
1
2 3
 . 2 , observe 
o processo geométrico no quadro a seguir.
Inicialmente, 
representamos a 
primeira fração.
Na sequência, 
devemos subdividir 
igualmente cada 
uma dessas partes, 
em quantidades 
iguais ao 
denominador da 
segunda fração, que 
neste exemplo é 3.
Nesta etapa, 
para cada parte 
pintada, tomamos 
a quantidade de 
subdivisões iguais 
ao numerador da 
segunda fração, que 
no caso é 2.
Note que o círculo 
original foi dividido 
em 2 partes e 
depois cada parte 
subdividida em 
três, totalizando 6 
subdivisões, destas 
6, tomamos duas, ou 
seja: 2/6.
QUADRO 1 – MÉTODO PRÁTICO PARA COMPREENDER O CONCEITO DE FRAÇÃO
FONTE: Os autores
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
16
Assim, verificamos que: 1 2 2.
2 3 6
=
7.1.3 Divisão de frações
Você já aprendeu que para dividir frações devemos manter a primeira 
fração e inverter a segunda, passando a divisão para multiplicação. Desta forma:
: . =1 3 1 3 1x2 2
5 2 5 2 5x3 5
 = 
1
=1.
3.
2
2
1 8 2 8 3 8x8 : ou : = . = 3 24 12
5 1 3 1 2 1x2 2
=
1
 = = 12
¸
¸
2. :7 ou : = . = 1 1 7 1 1 1x1 1
5 5 1 5 7 5x
 = 
7 35
Este é o processo prático, mas você sabe por que mantemos a primeira 
fração e invertemos a segunda, passando a divisão para multiplicação?
Ao fazermos a inversão estamos omitindo uma passagem. O que se 
pretende ao multiplicar numerador e denominador pelo oposto do denominador 
é obter um denominador igual a 1, para operar apenas com o numerador, 
facilitando o cálculo. Observe:
1 1 2 1 2. .1 3 1 2 25 5 3 5 3: .3 3 25 2 1 5 3 15.
2 2 3
= = = = =
Vamos ver também a forma geométrica da divisão entre frações, para isso, 
tomemos como exemplo a divisão 
1
2
: 1
4
Iniciamos representando geometricamente ambas as frações.
TÓPICO 1 | NÚMEROS E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
17
Observe que a fração 1
2
: 1
4
 cabe duas vezes na fração 1
2
: 1
4
, portanto, podemos 
dizer que: 1
2 4
1 : 2= .
Pelo artifício do algoritmo, 
1 1 1 4 4: . 2
2 4 2 2 2
= = = .
7.2 POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
A fim de evitar erros que podem comprometer o andamento de seus 
estudos, vamos atentar (e recordar) algumas das propriedades importantes 
referentes ao estudo das frações.
7.2.1 Potenciação
A potenciação nada mais é do que uma multiplicação de fatores iguais. 
Por exemplo, a multiplicação 2 2 2 2 2× × × × pode ser indicada na forma 25 e recebe 
as seguintes denominações:
A base é o fator que repete, o expoente indica a quantidade de vezes que 
o fator irá repetir e a potência é o resultado da operação.
Desta forma, potência é todo número na forma an, com a ≠ 0, em que a é 
a base, n é o expoente e an é a potência. an = a · a · a · a · ... · a (n vezes)
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
18
Exemplos:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
4
2
3
2
1)3 3 3 3 3 81
2) 2 2 2 4
3) 2 2 2 2 8
4 4 4 164)
5 5 5 25
= × × × =
- = - × - =+
- = - × - × - =-
æ ö÷ç = × =÷ç ÷çè ø
 
 
 
Cuidado com os sinais.
Quando estamos multiplicando, devemos aplicar a regra de sinais:
ATENCAO
ì++=+ïïïï--=+ïíï-+=-ïïï+-=-ïî
Algumas observações:
• Base negativa elevada à expoente PAR tem resultado positivo. Exemplos:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
4
2
4
1) 2 2 2 4
2) 2 2 2 2 2 16
3) 3 3 3 9
4) 5 5 5 5 5 625
- = - × - =+
- = - × - × - × - =+
- = - × - =+
- = - × - × - × - =+
 
 
 Base negativa elevada à expoente ÍMPAR tem resultado negativo. Exemplos:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
5
3
3
1) 2 2 2 2 8
2) 2 2 2 2 2 2 32
3) 3 3 3 3 27
4) 5 5 5 5 125
- = - × - × - =-
- = - × - × - × - × - =-
- = - × - × - =-
- = - × - × - =-
 
TÓPICO 1 | NÚMEROS E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
19
• Quando a base for positiva, não importa o expoente, o resultado será sempre 
positivo. Exemplos:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
3
2
3
1) 2 2 2 4
2) 2 2 2 2 8
3) 3 3 3 9
4) 5 5 5 5 125
+ = + × + =+
+ = + × + × + =+
+ = + × + =+
+ = + × + × + =+
 
 
• Atenção nestas situações!
( ) ( ) ( ) [ ]
( ) ( ) ( ) [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) [ ]
2
2
3
3
1) 2 2 2 4 4
2) 2 2 2 4 4
3) 2 2 2 2 8 8
4) 2 2 2 2 8 8
é ù- + =- + × + =- + =-ë û
é ù- - =- - × - =- + =-ë û
é ù- - =- - × - × - =-- =+ë û
é ù- + =- + × + × + =- + =-ë û
 
 
Por convenção, admitiremos que todo número elevado a 0 é igual a 1, a0 = 1 e 
todo número elevado a 1 é igual a ele próprio, a1 = a.
7.2.2 Propriedades da potenciação
A seguir, apresentamos as propriedades da potenciação e alguns exemplos 
para ilustrar sua utilidade.
a) multiplicação de potencias de bases iguais 
Vamos tomar como exemplo a multiplicação 3 52 2× .
Resolvendo a prioridade, que é a potenciação, temos:
( ) ( )3 52 2 2 2 2 2 2 2 2 2× = × × × × × × ×
Por se tratar de multiplicações, não é necessário o uso dos parênteses, 
visto que a prioridade que ele indica não altera o resultado. Assim, podemos 
escrever:
3 52 2 2 2 2 2 2 2 2 2× = × × × × × × ×
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
20
Que podemos representar pela potência: 3 5 82 2 2× = .
Assim, quando tivermos a multiplicação de potencias de bases iguais 
devemos conservar a base e somar seus expoentes: +× =m n m na a a
Exemplos:
3 5 8
4 2 6
2 2
3 2
1)2 2 2
2)
3)3 3 3
4)4 3
+
× =
× =
× =
× Þ
y y
 
 x x x
 
 neste caso, devemos primeiramente resolver as potências para 
depois multiplicar os resultados,pois as bases 4 e 3 são diferentes.
3 24 3 64 9 576× = × =
IMPORTANT
E
Devemos lembrar que esta propriedade é válida nos dois sentidos. Assim: 
+ +× = Û = ×m n m n m n m na a a a a a . Por exemplo, 2 2 2 23 3 3 3 3 3+ +× = Û = ×x x x x .
b) divisão de potencias de bases iguais 
Vamos tomar como exemplo a divisão 5 32 :2 .
Esta divisão também pode ser apresentada em forma de fração. 
5
3
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
× × × ×
=
× ×
Resolvendo a prioridade, que é a potenciação, temos: 
5
3
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
× × × ×
=
× ×
Simplificando as operações inversas, temos: 
5
3
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
× × × ×
=
× × Que podemos 
representar pela potência, 
5
2
3
2 2
2
= .
Assim, quando tivermos a divisão de potencias de bases iguais devemos 
conservar a base e subtrair seus expoentes. : -=m n m na a a
TÓPICO 1 | NÚMEROS E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
21
Exemplos:
5 3 2
4 2 2
2 2
3 2
1)2 :2 2
2) :
3)3 :3 3
4)4 :3
-
=
=
=
Þ
y y
x x x
neste caso, devemos primeiramente resolver as potências para depois 
dividir os resultados, pois as bases 4 e 3 são diferentes.
3 24 :3 64 : 9 7,11= = ¼
IMPORTANT
E
Devemos lembrar que esta propriedade é válida nos dois sentidos. Assim: 
: :- -= Û =m n m n m n m na a a a a a . Por exemplo, 2 2 2 2 2
33 :3 3 3 3 :3
3
- -= Û = =
x
x x x x .
c) potência da potência
Vejamos o seguinte exemplo ( )
232 .
Resolvendo a potência interna, temos: ( ) ( )2 232 2 2 2= × ×
Resolvendo a potência que restou ( ) ( ) ( ) ( )2 232 2 2 2 2 2 2 2 2 2= × × = × × × × ×
Por se tratar de multiplicações, não é necessário o uso dos parênteses, 
visto que a prioridade que ele indica não altera o resultado. Assim, podemos 
escrever:
( ) ( ) ( ) ( )2 232 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2= × × = × × × × × = × × × × ×
Que podemos representar pela potência
 ( ) ( ) ( ) ( )2 23 62 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2= × × = × × × × × = × × × × × =
Assim, quando tivermos uma potência elevada a um outro expoente, 
para resolver temos que conservar a base e multiplicar os expoentes. 
( ) ×=nm m na a
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
22
Exemplos:
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
52 10
43 12
26 12
23 6
4 4
1) 4 4
2) 7 7
3) 2 2
4)
5)
=
=
é ù- = -ê úë û
=
=a a
 
 
x x
x x
IMPORTANT
E
Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja, 
( ) ( ) .× ×= Û =n nm m n m n ma a a a Por exemplo, ( ) ( )2 23 3 2 3 2 34 4 4 4 .× ×= Û =
d) Potência cuja base é um produto
Observe a potenciação: ( ) ( ) ( )
23 5 3 5 3 5× = × × ×
Removendo os parênteses, temos: ( ) ( ) ( )23 5 3 5 3 5 3 5 3 5× = × × × = × × ×
Agrupando os fatores semelhantes:
 ( ) ( ) ( )
23 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 3 5 5× = × × × = × × × = × × ×
Voltando a escrever a multiplicação de fatores iguais em forma de 
potência: ( ) ( ) ( )
2 2 23 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 3 5 5 3 5× = × × × = × × × = × × × = ×
Desta forma, quando tivermos uma potenciação cuja base for um 
produto, podemos escrever: ( )× = ×n n na b a b
Exemplos:
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
3 3 3 3
3 3 32 3 2 3 3 6 3 9
5 5 5 5
2 2 24 3 4 2 3 8 2 6
1) 2 3 5 2 3 5
2) 2 3 5 2 3 5 2 3 5
3)
4) 2 2 2
× × = × ×
× × = × × = × ×
× × = × ×
× × = × × = × ×
 
 
 a x z a x z
 x y x y x y
TÓPICO 1 | NÚMEROS E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
23
IMPORTANT
E
Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja, 
( ) ( ) .× = × Û × = ×n nn n n na b a b a b a b 
Por exemplo, ( ) ( )2 22 2 2 27 5 7 5 7 5 7 5 .× = × Û × = ×
e) potência cuja base é um quociente
Observe a potenciação: ( )
2
2 3 3 33:5
5 5 5
æ ö÷ç= = ×÷ç ÷çè ø
 
Voltando a escrever a multiplicação de fatores iguais em forma de 
potência: ( )
2 2
2 2 2
2
3 3 3 33:5 3 :5
5 5 5 5
æ ö÷ç= = × = =÷ç ÷çè ø
 
Desta forma, quando tivermos uma divisão cuja base for um produto 
podemos escrever:
( ): :=n n na b a b
Exemplos:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
3 3 3
3 33 3 3 3 9
5 5 5
2 23 2 3 2 6
1) 2:3 2 :3
2) 3:5 3 : 5 3 :5
3) : :
4) : : :
=
= =
=
= =
 
 
 a x a x
 x y x y x y
IMPORTANT
E
Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja, 
( ) ( ): : : : .= Û =n nn n n na b a b a b a b 
Por exemplo, ( ) ( )2 22 2 2 27:5 7 :5 7 :5 7:5 .= Û = 
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
24
f) expoente negativo
O sinal negativo no expoente indica que a base da potência deve ser 
invertida e simultaneamente devemos eliminar o sinal negativo do expoente. 
Isto é:
1 -- æ ö æ ö÷ ÷ç ç= =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
n n
n
n
a ba ou 
a b a
Vejamos alguns exemplos:
( )
( )
3
3
5
5
4
4
2 2 2
2
3 3 3 3
3
3 3
1 11)2
2 8
12)
1 13) 3
813
2 3 3 94)
3 2 2 4
55)
5 5 125
4 7 7 7 7 3436)
7 4 4 4 4 64
-
-
-
-
-
-
= =
=
- = =
-
æ ö æ ö÷ ÷ç ç= = =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
æ ö æ ö÷ ÷ç ç= = =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç- = - = - × - × - =-÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç çè ø è ø è ø è ø è ø
x
x
a a a
a
IMPORTANT
E
Observe que nos exemplos 3 e 6, o sinal negativo do expoente não interferiu no 
sinal do resultado final, pois esta não é a sua função.
g) expoente fracionário
Esta propriedade nos mostra que toda potência de expoente fracionário 
pode se transformado em um radical, em que o denominador do expoente é o 
índice da raiz. =
m mnna a
TÓPICO 1 | NÚMEROS E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
25
Exemplos:
( ) ( )
1 12 22
2 2 33 3
4 5 45
1)3 3 3
2) 8 8 64 4
3)
= =
- = - = =
=x x
IMPORTANT
E
Assim como as propriedades anteriores, esta propriedade também é válida nos 
dois sentidos, ou seja, =
m mnna a ou =
mmn na a . Por exemplo: 
13 35 5= .
7.2.3 Radiciação
Da mesma forma que a subtração é a operação inversa da adição e a 
divisão é a operação inversa da multiplicação, a radiciação é a operação inversa 
da potenciação. De modo geral, podemos escrever ( )1= Û = Î ³nn a b b a n e n
, em que: 
Exemplos:
2
2
33
55
1) 25 5, pois5 25
2) 81 9, pois9 81
3) 27 3, pois3 27
4) 32 2, pois2 32
= =
= =
= =
= =
 
 
 
 
7.2.4 Raízes numéricas
Para resolvermos as raízes numéricas, usamos a técnica de fatoração em 
números primos, que já estudamos no tópico anterior.
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
26
Exemplos:
4 2
2144
272
236
218
39
33
1 2 3 144× =
4 2144 2 3= × =
4 2
4 2
2 2
2 1
2 3
2 3
2 3 4 3 12
× =
× =
× = × =
1)
2)
3 35 3 23 243 3 3 3= = × =
3 33 23 3× =
3 2
3 33 3×
2
33 3× 5
3243
381
327
39
33
1 3 243=
Forma fatorada de 144
Forma fatorada de 243
Resultados 
possíveis
{
}
{
}
3 23 3×
33 9×
ou
ou
Note que nem sempre chegaremos a eliminar o radical. Muitas vezes, apenas 
escrevemos em uma forma mais simplificada.
ATENCAO
7.2.5 Raízes literais
Veja um exemplo de raiz literal: 5t
Escrever o radical 5t na forma de expoente fracionário 
5
2t não resolve 
o problema, pois cinco não é divisível por 2. Para simplificar esta raiz, vamos 
decompor o número cinco da seguinte forma: 5 = 4 + 1, pois 4 é divisível por 2 que 
é o índice da raiz.

633 3 3 1 3
pois 4
não é
divisível
por 3
3 33 3 23
3 3 233
233
2 33
2 3
2 .6 x y
2 6 x x y
2 6 x x y
2 6 x x y
2xy 6 x
2xy 6x
+= × ×
= × × × ×
= × × × ×
= × × × ×
= × ×
= ×
TÓPICO 1 | NÚMEROS E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
27
Assim teremos: 
45 4 1 4 1 4 1 22+= = × = × = × =t t t t t t t t t t
Vejamos outros exemplos: 
1) 3 314 12 2x x += pois 12 é divisível por 3 (índice da raiz).
3 12 2
3 312 2
12 3 23
34 2
x x
x x
x x
x x
= ×
= ×
= ×
= ×
3 36 6327.x 27 x= ×2)
3)
63 3 3
3 23
1 2
2
3 x (pois 6 é divisível por 3)
3 x
3 x
3x
= ×
= ×
= ×
=
3
327
39
33
1 3 27=
34 6 4 633 348 x y 48 x y× × = × ×
3 3
48
2
24
2
12
2 .2.3 2 .6 482
6
2
3
3
1
= =

633 3 3 1 3
pois 4
não é
divisível
por 3
3 33 3 23
3 3 233
233
2 33
2 3
2 .6 x y
2 6 x x y
2 6 x x y
2 6 x x y
2xy 6 x
2xy 6x
+= × ×
= × × × ×
= × × × ×
= × × × ×
= × ×
= ×
7.2.6 Adição e subtração de radicais
Para efetuar a adição ou subtração com radicais é necessário que os radicais 
sejam semelhantes, isto é, que tenham o mesmo índice e o mesmo radicando. 
Então, basta somar ou subtrair os fatores externos.
UNIDADE1 | INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
28
3 3 3
3
3 3 3 3
3 5 2 2
1) 2 2 2 2
2) 2 8 2 2 2 2 2 3 2
3) 10 2 4 2 2 13 2
4) 3 8 32 4 18 3 2 2 4 2.3 3.2 2 2 2 4.3 2
5) 6 2 4 2 12 2 14 2
+ =
+ = + = + =
+ - =
- + = - + = - + =
- + =
Exemplos:
7.2.7 Multiplicação e divisão de radicais
Na multiplicação e divisão de radicais, haverá solução somente se os 
índices forem iguais. Caso contrário, é necessário primeiramente reduzir ao 
mesmo índice e depois efetuar a operação indicada.
Índices iguais:
n.n n
n n n.
a. b a .b
a : b a : b, com b 0.
=
= ¹
Índices diferentes:
m n m nn.m m..n n.mn m
m n m nn.m m..n n.mn m
a. b a . b a .b
a : b a : b a : b , com b 0.
= =
= = ¹
Exemplos:
2.3 3.2 63 2 3 2 63 6
2.3 3.2 63 2 3 23 6
1) 2. 5 2.5 10
2) 2. 3 2 . 3 2 .3 8.9 72
3) 5 : 3 5 : 3 5 :3 125: 9
= =
= = = =
= = =
7.2.8 Racionalização de denominadores
O processo de racionalização consiste em eliminar o radical do 
denominador de uma fração. Este processo determinará uma fração equivalente, 
porém, com denominador pertencendo ao conjunto dos números inteiros. Este 
processo resultará em uma simplificação futura dos cálculos empregados.
TÓPICO 1 | NÚMEROS E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
29
Vejamos alguns exemplos:
• Denominador com apenas raiz quadrada:
( )
2
4 4 5 4 5 4 5
55 5 5 5
= × = =
• Denominador com raízes com índices maiores que 2:
Exemplo 1:
 3
3
2 , neste caso, devemos multiplicar numerador e denominador por 
3 22 , pois 1 
+ 2 = 3 (número esse que cancela com o índice).
3 3 3 3 32 2 2 2 2
3 3 3 3 32 1 2 1 2 3
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
22 2 2 2 2 2+
× × × ×
× = = = =
×
Exemplo 2:
 5 2
1
a , neste caso, devemos multiplicar numerador e denominador por 
5 3a , pois 2 
+ 3 = 5 (número esse que cancela com o índice).
5 5 5 5 53 3 3 3 3
5 5 5 5 52 3 2 3 2 3 5
1 a a a a a
aa a a a a a+
× = = = =
×
• Denominador com soma ou subtração de radicais:
Para eliminar a raiz do denominador, devemos multiplicar o numerador e 
o denominador pelo conjugado da soma ou da subtração de radicais.
São exemplos de conjugado:
1) O conjugado de 2 3 2 3.+ - é 
2) O conjugado de 5 2 5 2.- + é 
3) O conjugado de 7 3 7 3.- + é 
Exemplo de denominador com subtração de radicais:
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
30
Exemplo de denominador com subtração de radicais:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
7 3 2 7 3 2 7 3 2 7 3 7 32 2
7 3 4 27 3 7 3 7 3 7 3
/+ + + + +
= × = = = =
/-- - + -
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
7 3 7 3 7 7 3 3 7 3 7 3- × + = - × + × - = -
7.2.9 Expressões numéricas
Acadêmico, você reconhece esses testes?
FIGURA 1 – A ORDEM DAS OPERAÇÕES É FUNDAMENTAL
FONTE: Disponível em: <https://encrypted-tbn2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcRvKpY1oznL
6tOsdnu1NFV-KvvGbQ7hlfZ_169UxKQ1dFiptnCM>;
 <http://otediomeama.com.br/wp-content/uploads/2016/02/20_1456139210-300x157.
png>. Acesso em: 25 abr. 2017.
Estes testes rodam a internet e parecem muito simples, mas realmente 
muitas pessoas falham em sua resolução! Os erros ocorrem, não porque não 
sabem somar ou multiplicar, mas pelo fato de não respeitar a ordem de resolução 
dessas expressões.
As expressões numéricas podem ser definidas através de um conjunto 
de operações fundamentais (radiciação, potenciação, multiplicação, divisão, 
adição e subtração) com qualquer tipo de números (naturais, inteiros, racionais, 
irracionais e reais). 
Os cálculos que envolvem expressões numéricas são altamente necessários 
para solucionarmos as mais variadas situações. Através do conhecimento das 
operações básicas da matemática e da interpretação dos dados contidos nas 
situações, podemos extrair suas principais informações e transformá-los em um 
modelo matemático, para então efetuar os cálculos para a sua resolução.
TÓPICO 1 | NÚMEROS E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
31
As expressões numéricas são formadas por conjuntos de números 
que são submetidos a operações matemáticas com uma ordem de operações 
pré-estabelecida por uma convenção. Além de números reais e operações, as 
expressões numéricas também apresentam sinais de associação. Observe os 
elementos de uma expressão numérica:
a) Números Reais
b) Operações
• Adição +
• Subtração –
• Multiplicação × ou ∙
• Divisão ÷ ou /
• Potenciação an
• Radiciação √
c) Sinais de associação
• Parênteses ( )
• Colchetes [ ]
• Chaves { }
Ainda para efeitos didáticos, as expressões são classificadas em:
• expressões contendo só operações;
• expressões contendo operações e parênteses;
• expressões contendo operações, parênteses e colchetes;
• expressões contendo operações, parênteses, colchetes e chaves.
Na sequência, veremos o cálculo de cada uma dessas expressões.
7.2.10 Cálculo de uma expressão numérica
Conforme você já pôde observar, o cálculo de expressões numéricas 
possui regras e é preciso conhecê-las para que os resultados sejam verdadeiros. 
Vamos recordá-las!
a) Entre as operações de adição e subtração, efetuamos a que aparecer primeiro.
DICAS
Uma boa ideia é ir sublinhando as operações realizadas para facilitar uma revisão.
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
32
Exemplos:
 2 + 4 – 5 + 2 – 1 =
 6 – 5 + 2 – 1 =
 1+ 2 – 1 =
 3 – 1 = 2
1
 2 x 4 ÷ 1 ÷ 2 x 3 =
 8 ÷ 1 ÷ 2 x 3 =
 8 ÷ 2 x 3 =
 4 x 3 = 12
3
 232 + 4 – 105 – 4 – 1 =
 236 – 105 – 4 – 1 =
 131 – 4 – 1 =
 127 – 1 = 126
2
 22 ÷ 11 x 5 ÷ 2 ÷ 5 =
 2 x 5 ÷ 2 ÷ 5 =
 10 ÷ 2 ÷ 5 =
 5 ÷ 5 = 1
4
b) Entre as operações de multiplicação e divisão, devemos efetuar as operações 
na ordem que é apresentada.
Exemplos:
c) Nas expressões com as operações de multiplicação, divisão, adição e subtração 
efetuaremos, primeiramente, as multiplicações e divisões e depois as adições 
e subtrações.
Exemplos:
 2 + 4 ÷ 1 - 2 x 3 =
 2 + 4 - 2 x 3 =
 2 + 4 – 6 =
 6 – 6 = 0
5
 22 ÷ 11 + 5 x 2 – 5 =
 2 + 5 x 2 – 5 =
 2 + 10 – 5 =
 12 – 5 = 7
6
d) Nas expressões com as operações de potenciação, radiciação, multiplicação, 
divisão, adição e subtração efetuaremos, primeiramente, as potenciações 
e radiciações, depois as multiplicações e divisões e, por fim, as adições e 
subtrações.
Exemplos:
 5 + 32 x 2 =
 5 + 9 x 2 =
 5 + 18 =
 23
7
 √36 x 32 – √64 =
 6 x 9 – 8 =
 54 – 8 =
 46
8
Desta forma, podemos sintetizar que, para resolver uma expressão 
numérica, efetuamos as operações obedecendo à seguinte ordem:
TÓPICO 1 | NÚMEROS E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
33
1º Potenciação e radiciação.
2° Multiplicações e divisões.
3º Adições e Subtrações.
Acadêmico, fique atento, pois há elementos que podem interferir nessas 
regras. São os parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }. As operações que estão 
indicadas entre parênteses devem ser efetuadas por primeiro, sempre. Depois as 
que estão entre colchetes (quando houverem), na sequência as que estão entre 
chaves e, por fim, as operações que não estão acompanhadas destes elementos. 
Observe os exemplos:
 (2 + 4) ÷ 1 – 2 x 3 =
 6 ÷ 1 – 2 x 3 =
 6 – 2 x 3 =
 6 – 6 = 0
9
 32 ÷ (11 + 5) x 2 – 1 =
 32 ÷ 16 x 2 – 1 =
 2 x 2 – 1 =
 4 – 1 = 3
10
 12 x (4 – 2) ÷ (2 x 3 – 2) =
 12 x 2 ÷ (6 – 2) =
 12 x 2 ÷ 4 =
 24 ÷ 4 = 6
12
 74 x {10 – [5 – (6 – 4) + 1]} =
 74 x {10 – 5 – 2 + 1]} =
 74 x {10 – [3 + 1]} =
 74 x {10 – 4} =
 74 + 6 =
 80
14
 {[( 8 x 4 + 3) : 7 + (3 + 15 : 5) x 3] x 2 – (19 – 7) : 6} =
 {[(32 + 3) : 7 + (3 + 3) x 3] x 2 – (12) : 6} =
 {[(35) : 7 + (6) x 3] x 2 – 12 : 6} =
 {[5 +18] x 2 – 12 : 6} =
 {[23] x 2 – 12 : 6} =
 {46 – 2} =
 44
16
 34 ÷ (2 + 3x 5) – 1 =
 34 ÷ (2 + 15) – 1 =
 34 ÷ 17 – 1 =
 2 – 1 = 1
11
 35 ÷ [(14 – 2 x 5) + 1] =
 35 ÷ [(14 – 10) + 1] =
 35 ÷ [4 + 1] =
 35 ÷ 5 = 7
13
 40 – [25 + (23 – 7)] =
 40 – [25 + (8 – 7)] =
 40 – [25 + 1] =
 40 – 26 =
 14
15
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
34
Assim, destacamos que nas expressões que aparecem os sinais de 
associação, estes devem ser eliminados na seguinte ordem:
1° parênteses ( )
2° colchetes [ ]
3° chaves { }
35
Neste tópico, você aprendeu que:
• As características dos seguintes conjuntos numéricos: Conjunto dos números 
Naturais (); Conjunto dos números Inteiros (); Conjuntodos números 
Racionais (); Conjunto dos números Irracionais (); Conjunto dos números 
Reais ().
• Só podemos somar ou subtrair frações que possuam o mesmo denominador. 
Para isso, basta manter o denominador e somar ou subtrair o numerador. 
Quando os denominadores forem diferentes, precisamos buscar frações 
equivalentes.
• Para multiplicar frações, basta multiplicar numerador por numerador e 
denominador por denominador.
• Para dividir frações, mantenha a primeira fração e inverta a segunda passando 
a divisão para multiplicação.
• A potenciação indica multiplicações de fatores iguais.
• As propriedades da potenciação são:
RESUMO DO TÓPICO 1
( )
( )
)
) :
)
)
+
-
×
× =
=
=
× = ×
m n m n
m n m n
nm m n
n n n
a a a a
b a a a
c a a
d a b a b
( )) : :
1)
) 
-
-
=
æ ö æ ö÷ ÷ç ç= =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
=
n n n
n n
n
n
m mnn
e a b a b
a bf a ou 
a b a
g a a
QUADRO 2 – RESUMO DAS PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO
FONTE: Os autores
• A radiciação é a operação inversa da potenciação. 
• Para resolver as raízes numéricas, devemos usar a fatoração em números 
primos. Já as raízes literais, devemos simplificá-las levando em consideração o 
índice.
• Na adição ou na subtração com radicais é necessário que os radicais sejam 
semelhantes, isto é, que tenham o mesmo índice e o mesmo radicando. Então, 
basta somar ou subtrair os fatores externos.
36
• Na multiplicação e divisão de radicais, haverá solução somente se os índices 
forem iguais. Caso contrário, é necessário primeiramente reduzir ao mesmo 
índice e depois efetuar a operação indicada.
• O processo de racionalização consiste em eliminar o radical do denominador 
de uma fração. Este processo determinará uma fração equivalente, porém, com 
denominador pertencendo ao conjunto dos números inteiros. Este processo 
resultará em uma simplificação futura dos cálculos empregados.
• Expressões numéricas são formadas por conjuntos de números que são 
submetidos a operações matemáticas com uma ordem de operações pré-
estabelecida por uma convenção.
37
1 Nos primórdios, os homens mantinham sua sobrevivência do que era retirado 
da própria natureza e não possuíam a necessidade de contar. A necessidade 
de contar começou com o desenvolvimento das atividades humanas, quando 
o homem foi deixando de ser pescador e coletor de alimentos para fixar-se 
no solo, onde começou a plantar, produzir alimentos, criar animais, construir 
casas etc.
No início, bastava a aritmética simples, mas com a evolução das atividades 
humanas criou-se vários símbolos para representar as contagens, o sistema 
numérico romano foi um deles. Esse conjunto de símbolos matemáticos 
continuou a ser aprimorado até que surgiram os que utilizamos atualmente, os 
números hindu-arábicos. Sobre o atual sistema de numeração, leia com atenção 
as seguintes sentenças:
I- Os números Inteiros não positivos e não nulos são representados por *-, são 
todos os números do conjunto -, excluindo o zero.
II- O conjunto dos Números Naturais não nulos é representado por +.
III- Representado pela letra , o conjunto dos Números Racionais engloba 
os números inteiros, os números decimais finitos e os números decimais 
infinitos periódicos, ou seja, todos aqueles que podemos escrever na forma 
a/b, com b ≠ 0.
Assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) Apenas a sentença II é verdadeira.
b) ( ) As sentenças I e II são verdadeiras.
c) ( ) As sentenças I e III são verdadeiras.
d) ( ) As sentenças II e III são verdadeiras.
2 A matemática apresenta várias propriedades, como, por exemplo, a 
propriedade associativa que nos permite substituir duas ou mais parcelas pela 
sua soma ou dois ou mais fatores pelo seu produto e a propriedade 
comutativa que nos permite trocar a ordem das parcelas ou dos fatores sem 
alterar o resultado.
As propriedades são características peculiares de um número, fórmula, 
postulado ou teorema e tem como intuito facilitar os cálculos realizados e 
permitir a simplificação de expressões algébricas. Sobre as propriedades da 
potenciação, analise as sentenças a seguir: 
Nesta questão, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as 
alternativas CORRETAS.
AUTOATIVIDADE
38
( )( )
( )
( )
( )( )
( )
43/4 4
2 2/3 4/3
8
5
3
1/22 5 5
2 2
02 x 
04 7 7 7
a08 a
a
116 a 
3x 9x32 
4 16
-
-
-
-
=
× =
=
× = ×
æ ö÷ç =÷ç ÷çè ø
x
b b
a
 
O somatório das alternativas CORRETAS é:
a) ( ) 20.
b) ( ) 28.
c) ( ) 42.
d) ( ) 58.
3 O conhecimento de propriedades operatórias é fundamental no processo de 
resolução de um cálculo ou no desenvolvimento prático de um problema. 
Utilizá-las de modo errado pode acarretar no erro de uma questão como um 
todo. Sendo assim, utilizando as propriedades da potenciação, analise as 
sentenças a seguir: 
22 4
3 5
y y y x
2 2 2
4x x
5 25I- 
x x
II- 2 3 4 5 14
a b a bIII- 
7 49
IV- 3 81
y
d dæ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷=ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
+ + + =
æ ö- -÷ç =÷ç ÷çè ø
=
a) ( ) Todas as alternativas estão corretas.
b) ( ) Somente a alternativa I está correta.
c) ( ) As alternativas III e IV estão corretas.
d) ( ) Somente a alternativa IV está correta. 
4 O valor de [47.410.4]2 : (45)7 é:
a) ( ) 16 
b) ( ) 8
c) ( ) 6 
d) ( ) 4 
e) ( ) 2
39
5 Escreva as seguintes expressões na forma mais simples:
a) (a . b)3 . b . (b . c)2
b) 
3 2 5 4
7
x .y .y .x.x
y
6 Sendo 7 8a 2 .3 .7= e 5 6b 2 .3= , o quociente de a por b é:
a) ( ) 252 
b) ( ) 36 
c) ( ) 126 
d) ( ) 48 
e) ( ) 42
7 Calcule o valor da expressão: 
2 1 22 1 1
3 2 4
- - -æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç- + -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
8 Assinale a alternativa que traz a forma simplificada da expressão a seguir: 
2
2
1 13.
2 4
1 33.
3 2
æ ö÷ç- +÷ç ÷çè ø
æ ö÷ç- -÷ç ÷çè ø
a) ( ) 
6
7- 
b) ( ) 
7
6- 
c) ( ) 
6
7 
d) ( ) 6
7
 
e) ( ) 
5
7-
9 Quando 1a e b 3
3
=- =- , qual o valor numérico da expressão 2 2a ab b- + ?
40
10 Calcule a raiz indicada:
2
2 6
2 4
2
a) 4a
b) 36a b
4c) a b
9
xd) 
100
=
=
=
=
10
24
8
5 105
16ae) 
25
f ) 100x
g) 121
h) 1024x y
=
=
=
=
4
6
3
3
4
2 6
1i) 
25
aj) 
b
16xk) 
y z
=
=
=
11 Efetue as seguintes adições e subtrações que envolvem radicais:
3 3 3 3
33 3 3
3 3
4 4 4 4
a) 24 54 96 6
b) 5 8 2 50 6 98 3 32
c) 300 50 162 243
d) 2 16 54 128
e) 54 24 250 192
f ) 2 4 5 4 2
g) 2 80 3 405 3 3125 4 5
+ - +
+ - +
+ - -
+ + +
- - +
- +
+ + +
12 Coloque os parênteses de forma que as expressões sejam verdadeiras.
a) 2 x 5 + 6 – 1 = 20 
b) 36 ÷ 12 + 3 x 2 = 2 
c) 12 ÷ 4 x 5 – 1 = 12 
d) 102 x 2 – 1 = 102 
e) 23 – 2 x 2 + 4 = 126 
f) 100 ÷ 4 x 6 + 1 = 4
13 Associe cada frase à expressão numérica adequada. Para isso, escreva a letra 
e o símbolo romano correspondentes. Depois, resolva cada expressão.
a) O dobro de 9, adicionado ao cubo de 5 e subtraída desse resultado a raiz 
quadrada de 64.
b) O quadrado de 9, adicionado ao triplo de 5 e subtraída desse resultado a 
metade de 64.
c) A raiz quadrada de 9, adicionada ao quadrado de 5 e subtraída desse 
resultado a raiz quadrada de 64.
41
14 Resolva as expressões numéricas:
a) 50 – [ 37 – ( 15 – 8 ) ] = 
b) 28 + [50 – (24 – 2) -10 ] = 
c) 20 + [ 13 + (10 – 6) + 4] =
d) 52 – { 12 + [ 15 – ( 8 – 4)]} = 
e) 25 + { 12 + [ 2 – ( 8 – 6 ) + 2 ]} = 
f) { [ ( 18 – 3 ) + ( 7 + 5) – 2 ] + 5 } – 12 = 
g) 65 – { 30 – [ 20 – ( 10 – 1 + 6) + 1 ]} = 
h) 45 + { 15 – [ ( 10 – 8 ) + ( 7 – 4) – 3 ] – 4 } = 
i) 40 + { 50 – [35 – ( 25 +5) – 1 ]} + 7 = 
j) 38 – { 20 – [ 22 – ( 5 + 3) + ( 7 – 4 +1)]} =
42
43
TÓPICO 2
EQUAÇÕES DO PRIMEIRO E SEGUNDO 
GRAU
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
A sensação de “receio” por parte dos alunos, ao ouvirem falar em 
matemática é uma questão muito presente no universo escolar. Este fato acarreta 
diversas vezes no processo de aprendizagem dos alunos, podendo muitas vezes 
durar muito tempo e prejudicar seu desenvolvimento.
Muitas vezes, a dificuldade com os números e a falta de conhecimento 
da importância do processo impacta navida financeira, seja na pessoa física ou 
no empreendimento. Devido à aversão criada desde cedo com a matemática, 
muitos microempreendedores tropeçam em questões essenciais na gestão do 
seu negócio. As dúvidas comuns são: Quanto tenho em caixa? Qual meu ponto 
de equilíbrio? Qual o melhor investimento? Invisto agora ou é melhor aguardar 
outro momento?
Não há fórmula mágica, mas acreditamos que a matemática é essencial 
para o empreendimento e, consequentemente, o domínio dos números. Portanto, 
este tópico de estudo lhe dará subsídios que o levarão a compreender e aplicar os 
conceitos de equações.
2 INCÓGNITA
O significado formal da palavra incógnita refere-se a algo desconhecido. 
Matematicamente, tratamos uma incógnita como o valor numérico que determina 
uma sentença verdadeira, e pelo fato de ser “desconhecido” utilizamos uma letra 
para sua representação.
Na matemática, incógnita é uma grandeza ou quantidade desconhecida, 
que se pretende descobrir para resolver uma determinada situação. As incógnitas 
são comumente representadas pelas letras x, y e z, mas podemos representá-las 
por qualquer letra do alfabeto. Acompanhe, no quadro a seguir, algumas situações 
transcritas para expressões matemáticas que utilizam incógnitas (expressões 
algébricas).
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
44
Situação Expressão Algébrica
Cinco adicionado a um número qualquer 5 + x
O dobro de um número 2y
Um número subtraído de 10 10 – a
10 subtraído de um número a – 10
A terça parte de um número
3
t
O triplo de um número adicionado a 7 3b + 7
A metade de um número 2
z
O quádruplo de um número adicionado a sua quinta 
parte 4x + 5
x
O dobro de um número adicionado ao triplo de um 
outro número 2x + 3y
Um número elevado ao quadrado x2
O dobro de um número adicionado a 5 2m + 5
O quíntuplo de um número elevado ao cubo 5y3
O dobro da soma de dois números 2(x + y)
A soma do dobro de dois números 2x + 2y
A diferença de dois números ao quadrado a2 – b2
O quadrado da diferença de dois números (a – b)2
QUADRO 3 – COMPARATIVO ENTRE SITUAÇÃO E EXPRESSÃO ALGÉBRICA
FONTE: Os autores
Acadêmico, as incógnitas ganham seu sentido no cálculo de equações, no 
qual teremos como objetivo determinar esse “número”, esse “valor” desconhecido 
ou ainda essa “grandeza”. 
3 EQUAÇÕES
Quando falamos em equação, estamos tratando de uma sentença 
matemática que possui igualdade entre duas expressões algébricas. Desta forma, 
toda equação precisa ter:
• Sinal de igualdade (=)
• Incógnita
• Primeiro membro (expressão antes do sinal de igualdade) 
• Segundo membro (expressão depois do sinal de igualdade)
Para compreender o conceito de equação, imagine uma balança de pratos 
em equilíbrio, como da figura a seguir.
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES DO PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU
45
FIGURA 2 – REPRESENTAÇÃO DE EQUAÇÃO
FONTE: <http://www.objetivo.br/conteudoonline/imagens/
conteudo_691/79.gif> Acesso em: 20 maio 2017.
Os objetos sobre os pratos podem ser matematicamente representados por:
• Prato 1 → x + 250
• Prato 2 → 500
Como a balança está em equilíbrio, podemos escrever que x + 250 = 500, 
sentença essa denominada equação.
Toda equação deve possuir: sinal de igualdade, primeiro e segundo membro e 
uma ou mais incógnitas.
ATENCAO
Acompanhe os exemplos do quadro a seguir:
2y – 6 = 2
Características:
Primeiro membro: 2y – 6
Segundo membro: 2
Possui sinal de igualdade e y é o termo desconhecido. Desta forma, 2y – 
6 = 2 é uma equação.
5 + 4 = 2 – 3
Características:
Primeiro membro: 5 + 4
Segundo membro: 2 – 3
Possui sinal de igualdade, mas não tem incógnita. Portanto, 5 + 4 = 2 – 3 
não é uma equação.
2a + 3b – 1
Neste exemplo, temos somente uma expressão algébrica. Não é possível 
determinar o primeiro e o segundo membro, pois a expressão não possui 
sinal de igualdade. Portanto, 2a + 3b – 1 não é uma equação.
QUADRO 4 – EXEMPLOS SOBRE AS CARACTERÍSTICAS DE UMA EQUAÇÃO
FONTE: Os autores
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
46
3.1 PRINCÍPIOS DA IGUALDADE
Em uma igualdade existem dois princípios, os quais nos permitem realizar 
operações em ambos os membros sem alterar sua equivalência. Esses princípios 
são o aditivo e o multiplicativo.
NOTA
O princípio aditivo da igualdade nos garante que ao adicionar ou subtrair um 
mesmo número aos dois membros de uma igualdade ainda teremos uma igualdade.
Voltando à situação da balança, a qual é representada pela equação x + 
250 = 500, se tirarmos 250g de ambos os pratos da igualdade (ambos os membros 
da equação), a balança continuará em equilíbrio.
FONTE: Adaptado de <http://www.objetivo.br/conteudoonline/
imagens/conteudo_691/79.gif>. Acesso em: 20 maio 2017.
FIGURA 3 – REPRESENTAÇÃO DO PRINCÍPIO ADITIVO DA 
IGUALDADE
Algebricamente, representamos essa situação por:
x + 250 = 500 (situação inicial)
x + 250 – 250 = 500 – 250 (equação com a retirada de 250g de cada membro)
Em ambas as equações, a grandeza x desconhecida possui o mesmo valor 
(peso). Desta forma, podemos afirmar que elas são equações equivalentes.
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES DO PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU
47
Outro exemplo da utilização do princípio aditivo da igualdade é na 
equação 3x - 5 = x + 15. Ao somarmos o número 5 em ambos os seus membros 
teremos a igualdade 3x - 5 + 5 = x + 15 + 5, que é equivalente a 3x = x + 20. Observe 
que a raiz ou solução desta equação é igual à solução da equação original, ou 
seja, para que a igualdade seja verdadeira, ainda é preciso que x continue 
sendo igual a 10. Observe que se subtrairmos x em ambos os membros da 
equação 3x = x + 20 ainda continuaremos com uma igualdade, 3x - x = x + 20 - x, 
que é equivalente a 2x = 20.
IMPORTANT
E
O princípio multiplicativo da igualdade nos garante que ao multiplicar ou 
dividir os dois membros de uma igualdade por um mesmo número (diferente de zero), a 
igualdade será mantida.
Em exemplo disso é se na equação 2x = 20 dividirmos ambos os membros 
da igualdade por 2, teremos a equação 2x : 2 = 20 : 2, que é equivalente à 
equação x = 10, cuja solução ainda é 10.
3.2 TIPOS DE EQUAÇÕES
Existem inúmeros tipos de equações, acompanhe os principais.
• Equação polinomial ou algébrica é toda equação da forma p(x) = 0, em que 
p(x) é um polinômio p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 de grau n, com n ≥ 1. São 
exemplos:
x4 + 9x2 – 10x + 3 = 0
10x6 – 2x5 + 6x4 + 12x3 – x2 + x + 7 = 0
x8 – x6 – 6x + 2 = 0 
• Equação modular apresenta a incógnita dentro do módulo. São exemplos:
|x + 3| = 5
|x| – 9 = 8
– |2x| = 10
|x2 – 2x + 8| = 32
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
48
• Equação exponencial é uma expressão algébrica que possui uma igualdade e 
pelo menos uma incógnita em um de seus expoentes. São exemplos:
3x = 81
4x + 2 + 16x = 8
16x + 42x = 32
• Equações logarítmicas, como o próprio nome sugere, envolve operações com 
logarítmicos. São exemplos:
( )
( ) ( )
3
2
5 5
log 4
log 5 2 8
log 2 4 log 3 1
=
- =
+ = +
x
x
a a
• Equação fracionária é aquela em que ao menos uma incógnita aparece no 
denominador de uma fração. São exemplos:
2
2 x
x x 2
3 5 1
2 y 5
2 1 2 1
b b 2 b 2 b 4
=
+
= +
+ + =
+ - -
ESTUDOS FU
TUROS
Nesta unidade de estudo, veremos detalhadamente os tipos de equações que 
farão parte do seu cotidiano profissional, ou seja, as equações polinomiais de primeiro e 
segundo grau.
3.3 GRAUS DE UMA EQUAÇÃO
Nas equações polinomiais, existem graus distintos que definem o tipo de 
equação. O grau é determinado pelo maior valor que os seus expoentes assumem. 
Acompanhe os exemplos a seguir:
1) 3x2 + x = 10
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES DO PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU
49
O maior expoente da incógnita x é 2. Portanto, essa é uma equação de 
grau 2 e a denominamos “equação do segundo grau”.
2) 3y5 + 2y4 – 4y3 + y2 + y + 7 = 0
Observe que 5 é o maior grau para a incógnita y, portanto, a equação é de 
grau 5.
IMPORTANT
E
O grau da equação é o maior valor que o expoente da incógnita assume. Se o 
grau for um, trata-se de uma equação do primeiro grau. Se o grau for dois, trata-se de uma 
equação do segundo grau. E assim,sucessivamente.
4 EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
As equações polinomiais do primeiro grau, ou simplesmente equações do 
primeiro grau, são também chamadas de equações lineares. Trata-se de equações 
compostas por coeficientes e uma incógnita cujo expoente é igual a um. Dessa 
maneira, as equações do primeiro grau são aquelas que podem ser representadas 
pela forma ax + b = 0, em que a e b são coeficientes reais, sendo que a ≠ 0, e x é a 
incógnita.
IMPORTANT
E
Uma equação do primeiro grau (ou equação linear) é toda equação da forma 
ax + b = 0, em que a ≠ 0.
Vejamos alguns exemplos de equações do primeiro grau:
• 4x + 12 = 0 é uma equação do 1º grau, com a = 4 e b = 12.
• –3x – 15 = 0 é uma equação do 1º grau, com a = –3 e b = –15.
• 2x – 1 = x + 6 é uma equação do 1º grau.
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
50
2x – 1 = x + 6
1º membro 2º membro
Para transformarmos a equação acima para a forma ax + b = 0, é necessário, 
primeiramente, transformar o segundo membro em zero. Para isso, é preciso levar 
em conta o princípio aditivo e o princípio multiplicativo, ou seja, é possível 
somar ou subtrair e multiplicar ou dividir ambos os membros da equação pelo 
mesmo número sem alterar a igualdade. Assim:
2x – 1 = x + 6
2x – 1 – 6 = x + 6 – 6 (subtrair 6 em ambos os lados da igualdade)
2x – 8 = x (união dos termos semelhantes)
2x – 8 – x = x – x (subtrair x em ambos os lados da igualdade)
x – 8 = 0 (equação na forma ax + b = 0, com a = 1 e b = –8)
Dessa forma, temos que: 2x – 1 = x + 6 ↔ x – 8 = 0
Este exemplo: –3x + 5 = –2x + 12 é uma equação do 1º grau. Vamos 
transformá-la para a forma ax + b = 0. 
–3x + 5 = –2x + 12
–3x + 5 – 12 = –2x + 12 – 12 (subtrair 12 em ambos os lados da igualdade)
–3x – 7 = –2x (unir os termos semelhantes)
–3x – 7 + 2x = –2x + 2x (subtrair x em ambos os lados da igualdade)
– x – 7 = 0 (equação na forma ax + b = 0, com a = –1 e b = –7)
4.1 RAIZ DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
Em matemática, a raiz de uma equação (de qualquer grau) é o valor 
real que determina a sentença algébrica verdadeira. Quando dizemos que, por 
exemplo, 1 é a raiz da equação x + 2 = 3, isto se justifica pois quando alteramos o 
valor da incógnita x por 1 ambos os membros da igualdade ficam equivalentes. 
Veremos como esse processo é realizado formalmente.
2x – 6 = 0
2x – 6 + 6 = 0 + 6 (somar 6 em ambos os lados da igualdade)
2x = 6 (unir os termos semelhantes)
2 6
2 2
=
x
 (dividir por 2 ambos os lados da igualdade)
x = 3 (raiz da equação do 1º grau 2x – 6 = 0)
Apesar da equação 2x – 1 = x + 6 não estar escrita da forma ax + b = 0, ela 
é considerada uma equação do primeiro grau, pois é possível transformá-la na 
forma desejada. Lembre-se que: 
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES DO PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU
51
IMPORTANT
E
Vale ressaltar que qualquer equação do 1º grau possui uma única raiz! E, para 
determinar a raiz de uma equação do 1º grau, é preciso isolar a variável x por meio dos 
princípios aditivo e multiplicativo.
Agora que você já compreendeu como determinar a raiz de uma equação 
do primeiro grau, vamos lhe ensinar um método prático. Fique atento!
Primeiramente, destacamos que a equação do primeiro grau é expressa 
por ax + b = 0. Feito isso, vamos determinar sua raiz em função de a e de b.
ax + b = 0
ax + b – b = 0 (subtrair b em ambos os lados da igualdade)
ax = –b (unir os termos semelhantes)
-
=
ax b
a a (dividir por a ambos os lados da igualdade)
-
=
bx
a (raiz da equação do 1º grau ax + b = 0)
Por exemplo, na equação 2x – 6 = 0, temos a = 2 e b = –6. Portanto, pela 
fórmula acima, a raiz dessa equação é ( )
6 6 3.
2 2
- --
= ® = ® = ® =
bx x x x
a
 .Logo, 3 é 
raiz da equação 2x – 6 = 0, conforme visto anteriormente. 
IMPORTANT
E
Para encontrar a raiz de uma equação do 1º grau podemos utilizar a fórmula 
prática 
-
=
bx
a
.
4.2 APLICAÇÕES 
Agora que sabemos identificar uma equação do primeiro grau, seus 
coeficientes e variáveis e dominamos o processo de resolução, podemos aplicar 
esses conhecimentos em algumas situações através da resolução de problemas.
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
52
Exemplo 1: João trabalha em uma loja de informática. Ele recebe um 
salário fixo mensal de R$ 1.500,00 mais R$ 25,00 por hora extra trabalhada no mês. 
Como podemos expressar o salário mensal total de João em um determinado mês 
por meio de uma expressão matemática?
Não sabemos quantas horas extras João trabalhou nesse determinado mês. 
Digamos que a quantidade de horas extras trabalhadas por João seja x. Então:
Salário de João = 1.500 + 25x
Valor para cada hora extraValor fixo
Portanto, a expressão matemática que representa o salário de João é 
R$ 1.500 + 25x, em que x é a quantidade de horas extras trabalhadas. Assim, 
podemos calcular o salário total de João em um mês sabendo quantas horas 
extras ele trabalhou. Por exemplo, se João trabalhar 12 horas extras em um mês, 
seu salário nesse mês pode ser calculado da seguinte forma: 
R$ 1.500 + 25x • 12 = 1.500 + 300 = 1.800. Logo, seu salário será de R$ 1.800,00.
Exemplo 2: Diariamente, Rafaela pega um táxi para ir ao trabalho, que 
fica a 20 km de distância de sua casa. Os valores aplicados pelo taxista são: 
bandeirada: R$ 4,15 e quilômetro rodado: R$ 2,15 (bandeira 1). Desta situação, 
podemos questionar: quanto ela pagou na corrida em bandeira 1?
A cada 1 quilômetro rodado ela paga, na bandeira 1, R$ 2,15. Isso implica 
que em 20 quilômetros ela pagou 2,15 ∙ 20 = R$ 43,00, mais o valor da bandeirada 
que é de R$ 4,15, resultará em 2,15 ∙ 20 + 4,15 = 47,15. Logo, Rafaela pagou R$ 47,15 
de táxi para ir de sua casa até o trabalho.
Acadêmico, observe que no cálculo do custo da corrida há valores que 
variam de acordo a distância percorrida. R$ 2,15 e R$ 4,15 são os preços fixos nesta 
situação e 20 km (distância) é o valor que varia. Isto é, existe uma equação por 
trás destes simples cálculos aritméticos. Acompanhe o problema algebricamente:
Vamos nomear (usando incógnitas) as informações encontradas no 
problema e montar uma equação geral que mostre as despesas de Rafaela para ir 
de casa até o trabalho.
• Valor total a ser pago pela corrida: y
• Preço pela bandeirada: R$ 4,15
• Preço por quilômetro rodado: R$ 2,15
• Número de quilômetros rodados: x
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES DO PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU
53
Agora fica fácil escrever uma expressão matemática que mostra o valor 
total gasto por Rafaela com o táxi.
y = 2,15 ∙ x + 4,15
Exemplo 3: Rafael tinha um saldo bancário positivo de R$ 5.000,00. Ao 
chegar no banco ele percebe em um aviso que os caixas eletrônicos só fornecem 
cédulas de R$ 50,00. Qual será o novo saldo de Rafael em função da retirada de 
cédulas?
Este problema mostra como o saldo de Rafael pode variar de acordo com 
o número de cédulas que ele saca de sua conta. Acompanhe:
• Saldo atual de Rafael: R$ 5.000
• Valor fixo em reais que podem ser sacados: R$ 50,00
• Saldo final de Rafael: y
• Número de cédulas sacadas: x
Com estes dados é possível transformar esta situação em uma equação 
matemática. 
y = 5.000 – 50 ∙ x
Observe que se Rafael sacar 15 notas (x), seu saldo final será de R$ 4.250,00 (y).
Exemplo 4: Isabel irá escolher um plano de saúde entre duas opções: 
Plano A e Plano B. Acompanhe as condições dos dois planos:
• Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140,00 e R$ 20,00 por consulta num 
certo período.
• Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 110,00 e R$ 25,00 por consulta num 
certo período. 
A partir disso, responda: Qual plano é mais econômico?
Inicialmente, vamos determinar as equações que representam cada um 
dos planos:
Plano A: VA = 140 + 20x
Plano B: VB = 110 + 25x
Note que haverá situações em que o Plano A será mais econômico e em 
outras o Plano B pode ser mais econômico.
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
54
Para que o plano A seja mais econômico:
VB precisa ser maior que VA. Isto é:
110 + 25x > 140 + 20x
25x – 20x > 140 – 110
5x > 30
x > 30/5
x > 6
O que significa que para que o plano A seja mais econômico, o número de 
consultas no período