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Caṕıtulo 1 O Uso da Calculadora no Ensino de Matemática Introdução A entrada das tecnologias digitais na sala de aula de Matemática, sobretudo nas últimas duas décadas, foi acompanhada de um intenso debate sobre seus efeitos na aprendizagem. Inicialmente, este debate, que não se restringiu ao Brasil e se espalhou por todos os páıses em que recursos computacionais foram sistematicamente introduzidos na escola, concentrou-se na tentativa de responder à questão se tais efeitos seriam “benéficos” ou “maléficos”. Por exemplo, especificamente sobre o uso de calculadoras no ensino de Matemática, o pesquisador inglês David Tall [57] já observava há 10 anos passados: O uso de calculadoras e computadores em Matemática nem sempre tem sido tão bem sucedido quanto poderia ser. Na Inglaterra, o uso de calculadoras com crianças tem sido desencorajado na esperança de que sua ausência permitiria que as crianças construissem relações aritméticas men- tais. Talvez esta atitude tenha mais a ver com o mal uso da calculadora (para efetuar cálculos sem ter que pensar) do que com qualquer falha inerente ao próprio aparato. Bem usada – para encorajar reflexão sobre idéias matemáticas – a calculadora pode ser muito benéfica. David Tall, 2001, p.212 (tradução nossa) Neste sentido, temores iniciais de que o uso de calculadoras na sala de aula, por si só, atrofiaria as habilidades aritméticas dos alunos eram, de certa forma, mal colocados. Os efeitos da ferramenta na aprendizagem estão muito mais relacionados com a forma como ela é usada do que com suas caracteŕısticas intŕınsecas. De fato, esta constatação aplica-se a qualquer tecnologia usada no ensino, seja esta de natureza computacional ou não. Hoje, as tecnologias digitais estão cada vez mais presentes em praticamente todos os setores da atividade humana, portanto não faria sentido bani-las da sala de aula – sob pena de tornar a escola tão anacrônica em relação à vida exterior a seus muros a ponto de ter um efeito inócuo na formação dos alunos. Paralelamente a isso, a reflexão sobre os usos pedagógicos dessas tecnologias vem amadurecendo. Assim, o foco do debate deslocou-se da questão de se as tecno- logias digitais têm efeitos benéficos para a aprendizagem, para a questão de como usá-las de forma que seus efeitos sejam benéficos para a aprendizagem. As calculadoras são certamente as tecnologias digitais mais simples, baratas e de mais fácil uso. Mesmo as calculadoras com menos recursos matemáticos podem ser usadas de forma a enriquecer signi- ficativamente a abordagem. Seu uso como instrumento didático oferece ao contexto de sala de aula, em situações espećıficas, uma metodologia de ensino que permite ao professor dinamizar de modo simples as aulas teóricas tratadas geralmente com metodologias tradicionais. O objetivo central deste primeiro 5 6 CAPÍTULO 1. O USO DA CALCULADORA NO ENSINO DE MATEMÁTICA Caṕıtulo é discutir como é posśıvel desenvolver atividades pedagógicas1 interessantes e enriquecedoras mesmo quando se dispõe apenas de recursos computacionais ḿınimos. Por isso, todas as atividades propostas podem ser feitas com a calculadoras simples (em geral chamadas calculadoras de bol- so), que dispõem apenas das quatro operações elementares. Atividades de natureza mais complexa, que demandariam mais recursos tecnológicos serão abordadas nos caṕıtulos subsequentes. O Caṕıtulo está dividido em duas seções: na primeira, o foco das atividades estará mais na estrutura as operações e suas propriedades; e na segunda nas caracteŕısticas da representação decimal, com ênfase em aproximações e erros. 1.1 Operações e Propriedades Nesta seção, propomos atividades com objetivo de utilizar a calculadora para enriquecer a aprendizagem da estrutura das operações elementares (principalmente com números inteiros) e suas propriedades. Em geral, essas propriedades são ensinadas como “regras”, enunciadas no quadro negro. Atividades com a calculadora podem articular-se com a abordagem tradicional de sala de aula, oferecendo aos alunos uma oportunidade de lidar com a estrutura das operações de forma mais concreta e dinâmica. Para que esses objetivos sejam atingidos, é fundamental que os alunos sejam encorajados a in- terpretar matematicamente os resultados da máquina e a desenvolver uma atitude cŕıtica em relação a estes – em lugar de simplesmente aceitá-los como verdades inquestionáveis. Assim, o papel da calculadora em sala de aula não deve se limitar a apenas “conferir” resultados obtidos manualmente. Seu uso é mais rico em situações cuja interpretação pelos alunos leve ao aprofundamento da compreensão sobre as propriedades matemáticas envolvidas, por exemplo, por meio da exploração de resultados inesperados ou aparentemente errados. Por este motivo, o papel do professor em planejar e aplicar adequadamente as atividades é decisivo – não é a calculadora, por si só, que pode trazer efeitos positivos (ou negativos) à aprendizagem, e sim a forma como ela é empregada em sala de aula. Atividades 1. Considere os números: 49, 71 e 180. Com a ajuda da calculadora, construa exemplos de operações (adição, subtração, multiplicação e divisão), que tenham cada um desses números como resulta- dos. (a) Primeiro, dê exemplos de operações envolvendo apenas números naturais. (b) Agora, use quaisquer números (podendo ser inteiros, racionais ou irracionais). 2. Suponha que você queira fazer uma conta envolvendo números grandes, como por exemplo: 987123 × 110357. É bem provável que use uma calculadora para obter o resultado. Como se tratam de números com muitos algarismos, mesmo com uma calculadora, não é imposśıvel enganar-se ao digitar algum algarismo e obter um resultado errado. (a) Suponha que depois de digitar os dados, tenha aparecido no visor o seguinte resultado: 989455911. Este resultado pode estar certo? Justifique a sua resposta. (b) Constatando que o resultado anterior não estava correto, você apaga e digita novamente os dados. Desta vez o visor mostra o seguinte: 108935822554. E este resultado, pode estar certo? Justifique a sua resposta. (c) Quantos algarismos você espera que o resultado tenha? 1Grande parte as atividades propostas neste Caṕıtulo foram inspiradas ou adaptadas diretamente de [46]. Agradecemos o autor e amigo Carlos Mathias pelas ideias e conversas inspiradoras. 1.1. OPERAÇÕES E PROPRIEDADES 7 (d) Qual deve ser o último algarismo do resultado? (e) Você seria capaz de descobrir que erros você cometeu nos ı́tens (a) e (b)? 3. Suponha que você queira saber o resultado da conta 7× (581 + 399), com ajuda de uma calcu- ladora. Você digita os dados e a máquina fornece o resultado 4466. O resultado está correto? O que você acha que aconteceu? As atividades iniciais 1 a 3 procuram explorar apenas as propriedades das operações elementares, sendo apropriadas para alunos do 1o. segmento ou do ińıcio do 2o. segmento de ensino fundamental. A atividade 1 tem por objetivo inverter a lógica usual de resolver contas e obter resultados, propondo que os alunos inventem diferentes contas que levem a um mesmo resultado dado. O exerćıcio de inventar contas pode ser explorado pelo professor para a reflexão sobre as propriedades das operações, além de colaborar com a prática de cálculo mental, estimulando os estudantes a pensarem sobre a relação entre as ordens de grandeza do resultado e dos operandos. Para isso, o professor pode ainda incluir na atividade questões chave mais direcionadas, como por exemplo: • Quantas multiplicações você consegue exibir, envolvendo apenas números naturais, cujo resultado seja 49? E 71? E 180? • Observando que 90 + 90 = 180, como você pode descobrir outras contas de adição que dêem o mesmo resultado? • Observando que 2× 90 = 180, como você pode descobrir outras contas de multiplicação, apenas com números inteiros, que dêem o mesmo resultado? •Observando que 2 × 90 = 180, como você pode descobrir outras contas de multiplicação, com números inteiros ou frações, que dêem o mesmo resultado? • Pode existir uma adição, envolvendo apenas números naturais, cujo resultado seja 49 e uma das parcelas seja 60? • Pode existir uma adição, envolvendo números inteiros, cujo resultado seja 49 e uma das parcelas seja 60? • Pode existir uma multiplicação, envolvendo apenas números naturais, cujo resultado seja 49 e um dos fatores seja 60? • Pode existir uma multiplicação, envolvendo apenas números naturais, cujo resultado seja 49 e um dos fatores seja 40? • Pode existir uma multiplicação cujo resultado seja 49 e um dos fatores seja 60? • Pode existir uma multiplicação cujo resultado seja 49 e um dos fatores seja 40? • Em uma adição, quando você aumenta uma das parcelas, o que deve acontecer com a outra para que o resultado não se altere? • Em uma subtração, quando você aumenta um dos termos, o que deve acontecer com o outro para que o resultado não se altere? • Em uma multiplicação, quando você aumenta um dos fatores, o que deve acontecer com o outro para que o resultado não se altere? • Em uma divisão, quando você aumenta o dividendo, o que deve acontecer com o divisor para que o resultado não se altere? • Que propriedades das operações você empregou para chegar às conclusões acima? 8 CAPÍTULO 1. O USO DA CALCULADORA NO ENSINO DE MATEMÁTICA Questões como as exemplificadas acima podem contribuir com a compreensão de algumas proprie- dades importantes das operações. Por exemplo, quando adicionamos um número a uma das parcelas de uma soma, para manter o mesmo resultado, devemos subtrair o mesmo número da segunda parcela. Verificações análogas podem ser propostas para as demais operações. Tais verificações podem favorecer a exploração da relação entre as operações e sua respectivas inversas, além da relação entre as ordens de grandeza do resultado e dos operandos. As questões podem ainda ser empregadas na exploração das limitações das operações em cada um dos conjuntos numéricos. Em particular, é importante chamar atenção para o fato de que a quantidade de multiplicações resultando em número dado está relacionada com a quantidade de fatores primos deste número (por exemplo, no caso da atividade 1 proposta acima, são dados um número primo e dois números compostos, sendo um quadrado de um primo e o outro com diversos divisores distintos). Finalmente, o exerćıcio de procurar por um dos termos de uma operação, dados o outro termo e o resultado, pode ser explorado como uma introdução à noção de equação. Na atividade 1, o papel da calculadora é apenas o de dar mais agilidade aos cálculos, permitindo que o aluno foque mais atenção na reflexão sobre o comportamento dos resultados e as propriedades operatórias empregadas. É importante observar que a atividade não deve se resumir à mera verificação de resultados com a calculadora. Seu desenvolvimento em sala de aula deve sempre incluir as justificativas matemáticas desses resultados. Por outro lado, o uso da calcu- ladora em sala de aula não precisa – e não deve – limitar-se simplesmente a facilitar ou conferir contas. As atividades 2 e 3 enfocam a interpretação cŕıtica de resultados produzidos por usos errôneos da calculadora, visando estimular a formação de uma expectativa para os resultados, e o desenvolvimento prática da verificação por meio de estimativas e cálculo mental. Quando os alunos no ensino fundamental memorizam os algoritmos das operações, sem entender sua estrutura, dificilmente eles desenvolverão qualquer noção das relações entre o resultado e os operandos. Nestes casos, resultados provenientes de erros na aplicação dos algoritmos são aceitos, mesmo quando claramente incompat́ıveis com a conta efetuada. Se os cálculos são feitos com a calculadora, os resul- tados são geralmente aceitos como corretos sem hesitação. Na atividade 2, podemos verificar que os resultados dados nos ı́tens 2a e 2b são incompat́ıveis com os fatores da multiplicação. Uma estimativa simples fornece-nos uma ideia da ordem de grandeza dos resultado da conta. Como 987123 > 9×105 e 110357 > 105, então 987123×110357 > 9×105×105 = 9×1010, isto é, 987123×110357 tem pelo menos 11 algarismos. Além disso, como os fatores terminam com os algarismos 3 e 7, o último algarismo do produto deve ser necessariamente 1. Os resultados 989455911 e 108935822554 dos 2a e 2b são obtidos pela omissão ou troca de algarismos na conta. Assim, 989455911 = 87123× 11357 e 108935822554 = 987122× 110357. De forma semelhante, na atividade 3, percebemos que o resultado de 7× (581+399) deve ser múltiplo de 10, portanto não pode ser 4466. O erro decorre da omissão dos parênteses, isto é, 4466 = 7× 581 + 399. Há uma ampla gama de atividades com objetivos semelhantes a estes que podem ser propostas, dependendo do ano escolar. As atividades anteriores constituem apenas alguns exemplos. Sugerimos que você formule outras, levando em conta as especificidades de seu público de alunos. Atividades 4. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 3. (a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados? (b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades? (c) Qual é o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades? (d) Que vantagens e desvantagens o uso da calculadora nas atividades pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em relação a abordagens com recursos convencionais (isto é, sem o uso da calculadora)? 1.1. OPERAÇÕES E PROPRIEDADES 9 5. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 3, que seja adequada para as turmas em que você leciona. Que questões chave você incluiria na atividade, para ajudar a direcionar a resolução dos alunos. Reconhecendo Padrões e Regularidades As atividades a seguir exploram o reconhecimento de padrões nos resultados de operações aritméticas. Em livros didáticos do ensino fundamental, não é incomum encontrarmos exerćıcios do tipo “complete a sequência”, que pedem que o aluno reconheça e generalize um padrão numérico ou geométrico em uma sequência, a partir de um pequeno conjunto de termos dados. O reconhecimento de padrões é sem dúvida uma habilidade fundamental para o desenvolvimento do pensamento matemático elementar. Entretanto, é importante considerar que a regra de formação de uma sequência não pode ser inferida tendo como base apenas a verificação de um conjunto finito de exemplos (uma sequência numérica não precisa nem mesmo ter uma regra algébrica de formação). Assim, as atividades que se seguem não visam apenas inferir o padrão a partir da verificação dos exemplos dados e generalizá-lo para outros números quaisquer. O objetivo é reconhecer o padrão, jus- tificá-lo matematicamente, e determinar para que outros números este pode ser generalizado. A busca por essas justificativas matemáticas pode ajudar na compreensão dos algoritmos das operações e suas relações com a estrutura do sistema de numeração decimal. As atividades propostas abordam padrões nas representações decimais de números naturais (6 e 7) e de números racionais (8 e 9). Atividades 6. Use a calculadora para fazer as seguintes contas de multiplicação por 11: 13 × 11, 24 × 11, 35× 11. Observe que há um padrão nos resultados. (a) Descreva o padrão observado. (b) Explique o padrão, com base no algoritmo da multiplicação. (c) Este padrão vale para qualquer multiplicação de um número de dois algarismos por 11? Justifique sua resposta. (d) O que acontece se multiplicamos um número com mais de dois algarismos por 11? Também observaremos algum tipo de padrão? Justifique sua resposta. 7. Use a calculadora para fazer as seguintes contas: 21× 202, 48× 202, 35× 202, 17× 202. (a) Descreva o padrão observado nos resultados. (b) Explique o padrão,com base no algoritmo da multiplicação. (c) Para que tipo de multiplicação esse padrão vale? Justifique sua resposta. 8. Use a calculadora para fazer as seguintes contas: 1 ÷ 9, 2 ÷ 9, . . ., 8 ÷ 9. Explique o padrão observado nos resultados. 9. Use a calculadora para fazer as seguintes contas: 1 ÷ 99, 25 ÷ 9, 43 ÷ 9, 76 ÷ 9. Explique o padrão observado nos resultados. Na atividade 6, observamos que se um número natural n possui 2 algarismos quando representado na forma decimal, então podemos escreve-lo na forma n = 10a+b, com a, b ∈ N, 0 6 a, b < 10. Logo: 11n = 11 (10a+ b) = 10 (10a+ b) + (10a+ b) = 100a+ 10 (a+ b) + b 10 CAPÍTULO 1. O USO DA CALCULADORA NO ENSINO DE MATEMÁTICA Observe que o desenvolvimento acima reproduz os passos do algoritmo usual da multiplicação. Por- tanto, se n = 10a+b é um número com 2 algarismos, cuja soma é menor que 10, então a representação decimal de 11n tem três algarismos, sendo o das centenas a, o das dezenas a + b e o das unidades b. Na atividade 7, o padrão observado pode ser justificado de forma análoga. O papel da calculadora nessas atividades é justamente permitir que o aluno obtenha os resultados sem usar o algoritmo, para posteriormente refletir sobre o mesmo com base no padrão observado. Nas atividades 8 e 9, é interessante chamar a atenção dos alunos para a determinação da fração geratriz de um d́ızima periódica como soma de uma progressão geométrica infinita. Atividades 10. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 6 a 9. (a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados? (b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades? (c) Qual é o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades? (d) Que vantagens e desvantagens o uso da calculadora nas atividades pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em relação a abordagens com recursos convencionais (isto é, sem o uso da calculadora)? 11. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 6 a 9, que seja adequada para as turmas em que você leciona. Aprofundando a Compreensão das Operações Como já comentamos, existem muitas outras formas de explorar os recursos das calculadoras simples para enriquecer a aprendizagem das operações elementares, sua estrutura e suas propriedades. A ideia geral é aproveitar os recursos da calculadora para oferecer aos alunos uma visão das opera- ções que seja diferente da abordagem usual de sala de aula, e que se articula e enriqueça essa abordagem. Nas atividades a seguir, damos mais alguns exemplos. Porém leitor é fortemente encorajado a elaborar outras, de acordo com as caracteŕısticas e dificuldades espećıficas de seu público de alunos (como vimos propondo). Atividades como as 14 a 17 podem ser aplicadas em forma de jogo entre os alunos. Atividades 12. (a) Digite 2 + 3 na calculadora. Em seguida, tecle o sinal de = várias vezes. Tome nota dos números que vão aparecendo na tela. Que tipo de sequência esses números formam? (b) Agora, faça a mesma experiência com a multiplicação: digite 2 × 3 na calculadora e, em seguida, o sinal de = várias vezes. Que tipo de sequência esses números formam? 13. (a) Suponha que você tenha depositado R$150, 00 em uma caderneta de poupança que rende 0, 7% ao mês. Passado o primeiro mês, você terá R$150, 00+R$150, 00× 0,7 100 = R$150, 00× 1, 007 = R$151, 05. Quantos meses você deverá esperar (sem fazer nenhum saque ou novo depósito) para obter 10% a mais da quantia aplicada? Você poderá responder esta pergunta usando uma calculadora de bolso apenas com as quatro operações elementares. Multiplique 150 por 1, 007 e aperte a tecla = sucessivamente, até que o resultado mostrado na tela fique ultrapasse 150 × 1, 1 = 165. Conte o número de vezes que a tecla = foi pressionada. 1.1. OPERAÇÕES E PROPRIEDADES 11 (b) Repita a experiência, supondo agora que você tenha aplicado R$350, 00 e queira obter um lucro de 10% da quantia inicial. (c) As respostas dos ı́tens anteriores dependem da quantia aplicada? Justifique sua respostas com base em argumentos matemáticos. 14. Complete as espaços em branco nas expressões abaixo, com os sinais das quatro operações elementares (+, −, × e ÷), de forma que as igualdades sejam válidas. (a) (53 � 36) � 15 = 1335 (b) 53 � 36 � 15 = 1923 (c) 17 � (25 � 83) = −41 (d) 11 � 17 � 23 = 4301 (e) (14 � 66) � 16 = 5 (f) 14 � 66 � 16 = 18, 125 15. Use uma calculadora para encontrar aproximações para os números a seguir, empregados apenas as teclas numéricas e as teclas + , − , × , ÷ , √ e = (isto é, sem empregar a tecla de potenciação a um expoente qualquer, se houver). (a) 30,5 (b) 3−0,125 (c) 4 √ 3 (d) 33,125 16. Em uma calculadora defeituosa, apenas as teclas 3 , 8 , + , − e = estão funcionando. Você conseguiria obter todos os números naturais de 1 a 10 apenas usando essas teclas? 17. Em uma calculadora defeituosa, apenas as teclas 5 , + , − , × , ÷ e = estão funcionando. Obtenha cada um dos números naturais de 1 a 10 apenas usando o menor número posśıvel de teclas. Na maior parte das calculadoras de bolso, quando pressionamos a tecla correspondente ao sinal de igualdade seguidamente, a última operação realizada é repetida. Este recurso pode ser empregado no ensino de diversas maneiras. As atividades 12 e 13 apresentam duas sugestões neste sentido. Na atividade 14, em lugar de obter os resultados conhecendo os operandos e as operações, a proposta é que os alunos descubram as operações conhecendo os operandos e os resultados. Para escolher os sinais que tornam as igualdades verdadeiras, eles deverão avaliar as relações entre os operandos e os resultados (tais como ordens de grandeza e caracteŕısticas da representação decimal), assim como nas atividades 2 e 3. A atividade 15 visa à exploração das propriedades de potenciação e radiciação, por meio da decom- posição potências de diversos expoentes em ráızes quadradas. De forma semelhante, na resolução das atividades 16 e 17, os alunos deverão decompor números naturais de 1 a 10 de diferentes maneiras. O exerćıcio de decompor números naturais de diferentes formas é importante para a compreensão dos sistema de numeração decimal e das estruturas dos algoritmos das quatro operações. Atividades 18. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 12 a 17. (a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados? (b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades? (c) Qual é o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades? (d) Que vantagens e desvantagens o uso da calculadora nas atividades pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em relação a abordagens com recursos convencionais (isto é, sem o uso da calculadora)? 19. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 12 a 17, que seja adequada para as turmas em que você leciona. 12 CAPÍTULO 1. O USO DA CALCULADORA NO ENSINO DE MATEMÁTICA 1.2 Aproximações, Arredondamentos e Erros Na seção 1.1, destacamos a importância do desenvolvimento de uma atitude de interpretação cŕıtica dos resultados produzidos pela calculadora por parte dos alunos. As atividades 2 e 3 daquela seção visavam à formação dessa atitude cŕıtica a partir de usos errôneos da máquina, isto é, erros cometidos pelo próprio usuário. Entretanto, não são apenas erros de uso que provocam resultados aparentemente errados ou inesperados – estes podem ser causados por limitações inerentes à própria máquina. Tais resultados são produzidos, de forma geral, por erros de arredondamento: como uma calculadora só tem capacidade para armazenar números com representação decimal finita, todos os números com representação infinita (e mesmo aqueles com representação finita, porém superior a capacidade da máquina) são aproximados por números com representação finita. Isto é, as calculadoras (pelo menos as mais simples) nãooperam com números com representação decimal infinita, e sim com aproximações para esses números. A imprecisão nos resultados de cálculos aproximados pode aumentar quando os erros de arredondamento são propagados, isto é, quando resultados aproximados são usados em novos cálculos, gerando aproximações sobre aproximações. Evidentemente, algumas máquinas possuem capacidade de armazenamento superior a outras, podendo produzir resultados mais precisos, porém todas têm capacidade finita. Portanto cálculos com decimais infinitos envolverão necessariamente imprecisões e erros de alguma ordem. Desta forma, a atitude de interpretação cŕıtica dos resultados por parte dos alunos não se refere apenas a seus próprios eventuais erros de uso, mas sobretudo ao funcionamento e às limitações da máquina. A consciência das limitações da calculadora e do fato de que ela pode produzir resultados imprecisos ou aparentemente errados é fundamental para a compreensão de que a máquina não pode ser usada como critério de validação matemática. Os resultados da máquina devem ser interpretados e avaliados com base em argumentos matemáticos (e não ao contrário). Este será o enfoque desta seção. Algumas das atividades propostas a seguir (1 a 3) visam especificamente chamar atenção para as limitações da calculadora, por meio da interpretação de resultados aparentemente errados ou imprecisos. As seguintes (6 a 10) abordam processos de aproximações sucessivas, que podem ser empregados como introdução ao conceito de limite. A prinćıpio, pode-se pensar que os erros de aproximação da máquina constituem-se necessariamente em um obstáculo para a aprendizagem do conceito de limite. Porém, justamente esses erros podem ser explorados pelo professor para introduzir de forma mais expĺıcita a natureza matemática da noção de limite: o conceito matemático de limite escapa da precisão da máquina, por melhor que esta seja, ou de qualquer precisão finita. Atividades 1. As figuras abaixo representam resultados de certas operações matemáticas feitas em uma cal- culadora, mostrados no visor. Sem saber as operações que foram efetuadas, é posśıvel saber se esses números são racionais ou não, apenas nos resultados do visor? Justifique sua resposta. 1.2. APROXIMAÇÕES, ARREDONDAMENTOS E ERROS 13 2. Ao usar uma calculadora de bolso para fazer uma conta cujo resultado não é um número inteiro, o visor mostrará uma aproximação desse resultado, usando todas as casas decimais dispońıveis. Levando isso, em conta, responda as perguntas a seguir, justificando suas respostas. (a) Use a calculadora para fazer a conta 1 ÷ 3. Se você multiplicar o resultado mostrado no visor por 3, você encontrará o número 1 novamente? (b) Use a calculadora para fazer a conta √ 2. Se você elevar o resultado mostrado no visor a quadrado, você encontrará o número 2 novamente? 3. Considere a conta 0, 0000111 × 9999456 ÷ 9999123. Como sabemos, podemos fazer efetuar essa conta de diversas maneiras diferentes: (0, 0000111 × 9999456)÷ 9999123, ou 0, 0000111 × (9999456 ÷ 9999123), ou ainda (0, 0000111 ÷ 9999123) × 9999456. As propriedades das ope- rações de multiplicação e divisão garantem-nos que obteremos o mesmo resultado. Use uma calculadora para fazer a conta dessas duas maneiras. Compare os resultados. Você pode explicar o que aconteceu? Muitos livros didáticos do ensino básico apresentam exerćıcios propondo a classificação de números como racionais ou irracionais, com base em sua representação decimal. Entretanto, frequentemente tais exerćıcios não incluem informações suficientes para a conclusão pedida. O objetivo da atividade 1 é mostrar que, apenas com uma amostra finita da representação decimal de um número real, não é posśıvel concluir se este é racional ou não. Por exemplo, embora a expressão que aparece na tela da esquerda possa sugerir a representação de um número irracional (pois os algarismos não repetem), trata-se apenas de uma expressão decimal finita que pode representar uma aproximação, tanto para um irracional quanto para um racional. De fato, a representação decimal da fração 1 19 é uma d́ızima periódica cujo peŕıodo tem 18 d́ıgitos, sendo os 16 primeiros coincidentes com a expressão dada: 1 19 = 0, 052631578947368421 . Em continuidade, as atividades 2 e 3 ilustram erros causados por arredondamentos. Para fazer a experiência proposta na atividade 2, os alunos poderão anotar o resultado da primeira operação que é mostrado na tela, limpar a memória da calculadora, digitar o mesmo resultado, efetuar a operação inversa, verificando que não se retorna ao número original. A atividade 3 exemplifica uma situação em que um erro de arredondamento pode fazer com que a calculadora forneça resultados diferentes para uma mesma operação efetuada em ordens diferentes (dependendo da precisão da calculadora utilizada). Observe que neste exemplo, essencialmente, estamos multiplicando um número próximo de 0 por um número próximo de 1. Assim, se a divisão for efetuada primeiro, em uma calculadora com precisão baixa, esse resultado parcial pode ser arredondado para 1, afetando o resultado final. Atividades 4. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 3. (a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados? (b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades? (c) Qual é o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades? (d) Faria sentido aplicar essas atividades sem o uso da calculadora? 5. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 3, que seja adequada para as turmas em que você leciona. 14 CAPÍTULO 1. O USO DA CALCULADORA NO ENSINO DE MATEMÁTICA Aproximações e Limites Nas atividades a seguir, lidamos com aproximações – ou em termos matemáticos formais, limites de sequências de números reais. O conceito de limite é um dos mais importantes e centrais de toda a Matemática, e mesmo não figurando explicitamente nos curŕıculos, este pode (e deve) ser introduzido informalmente no ensino básico, por meio da ideia intuitiva de aproximação. A calculadora pode ser um recurso didático de grande ajuda para esta introdução. Em particular, a ideia de aproximação é importante para o ensino do conceito de número irracional. Em geral, a abordagem de números irracionais no ensino básico é bastante restrita. Usualmente, rece- bem pouca ênfase as motivações para a própria necessidade de ampliação do conjuntos dos números reais (isto é, de que problemas matemáticos os números racionais não dão conta), e as justificativas para propriedades referentes à representação decimal de irracionais (tais como, um número é irracional se, e somente se, sua expressão decimal é infinita e não periódica), ou mesmo para as expressões decimais de exemplos espećıficos de números irracionais. Aproximações para números irracionais, desenvolvidas com ajuda da calculadora, pode enriquecer significativamente a abordagem de números irracionais, sua representação decimal e localização na reta real. Atividades 6. O objetivo desta atividade é determinar aproximações decimais para √ 2. Sabemos que 12 = 1 < 2 < 4 = 22. Isto nos permite concluir que 1 < √ 2 < 2. De forma análoga, temos que 1, 42 = 1, 96 < 2 < 2, 25 = 1, 52. Continuando este procedimento, use a calculadora (sem empregar a tecla √ ) para completar a tabela abaixo, obtendo aproximações para √ 2 com n casas decimais. n √ 2 ∼= 1 2 3 4 5 7. Conhecendo aproximações com n casas decimais depois da v́ırgula para √ 2, podemos determinar aproximações para 2 √ 2. Complete a tabela abaixo. n √ 2 ∼= 2 √ 2 ∼= 1 1, 4 2 1, 41 3 1, 414 4 1, 4142 5 1, 41421 O procedimento acima pode nos dar certeza do número da casas decimais exatas das aproximações para 2 √ 2 obtidas? Justifique sua resposta. 8. Digite um número positivo qualquer na calculadora.Em seguida, digite a tecla √ sucessivas vezes. Em algum momento o visor mostrará o número 1. Explique o que aconteceu. 1.2. APROXIMAÇÕES, ARREDONDAMENTOS E ERROS 15 Em livros didáticos do ensino básico, as expressões decimais aproximadas para números irracio- nais são quase sempre apresentadas como se fossem simplesmente dadas, sem quaisquer justificativas teóricas. Na atividade 6, propomos um processo para determinar aproximações decimais para √ 2, usando apenas a potenciação números racionais. Por meio desse processo, podemos (pelo menos teo- ricamente) determinar quantas casas decimais quisermos para o número √ 2. Atividades como esta são muito importantes para que os alunos no final do ensino fundamental e no ensino médio formem uma ideia mais concreta dos números irracionais e sua localização na reta real. A atividade 7 tem como objetivo introduzir um significado intuitivo (e não formalizado) para a po- tenciação de expoente irracional. A operação de potenciação é definida primeiramente para expoentes naturais, e posteriormente generalizada para expoentes inteiros e naturais por meio de argumentos ba- seados na preservação de certas propriedades aritméticas (por exemplo, devemos ter a0 = 1 para a 6= 0, pois caso contrário não valeria aman = am+n, para m,n ∈ Z). Entretanto, raramente encontramos em livros didáticos alguma forma de conceituação para a potenciação com expoentes irracionais. Contra- ditoriamente, alguns caṕıtulos a frente, a função exponencial é definida com doḿınio em R, sem que esta inconsistência seja sequer apontada. De fato, a extensão da operação de potenciação dos números racionais para os irracionais não pode ser justificada apenas por meio de argumentos algébricos (como as extensões anteriores), e requer necessariamente uma ideia de convergência, o que a torna a sua formulação teórica de dif́ıcil compreensão, mesmo no ensino médio. Isto não é justificativa, no entanto, para que este problema não seja tratado, mesmo que de forma intuitiva. Em geral, os estudantes no ensino médio não têm maiores dificuldades em explicar o que significam potenciações com expoentes inteiros ou racionais (por exemplo, 2−3 = 1 23 , ou 2 3 4 = 4 √ 23 ). Mas, é preciso também que eles atribuam algum significado a expressões do tipo 2π – que número é esse? Uma introdução a esta discussão, que pode ser feita com ajuda da calculadora, é o que propõe a atividade 7. Nas atividades 6 e 7 é fundamental que fique claro para os alunos que a expressões decimais obtidas representam aproximações para os √ 2 e 2 √ 2. Os erros associados a cada uma dessas aproximações podem ser feitos tão pequenos quanto se queira, isto é, tratam-se de sequências de números reais convergindo aos números √ 2 e 2 √ 2. Porém, essas aproximações jamais coincidirão com os números. A atividade 8 envolve uma situação em que os arredondamentos feitos pela máquina geram um resultado errôneo. Sabemos que, se a > 0 então lim n→+∞ n √ a = 1, portanto o erro | n√a− 1| pode ser feito tão pequeno quanto se queira, para n ∈ N suficientemente grande. Entretanto, não podemos ter n √ a = 1 para nenhum a 6= 1. A discussão proposta na atividade 8 pode ser usada para mostrar que, por melhor que seja a precisão de uma calculadora, é sempre posśıvel tomar n grande o suficiente para que a diferença entre n √ a e 1 fique ainda menor que esta precisão. Assim, pode-se ilustrar concretamente o fato de que dizer que n √ a tende a 1 significa dizer que | n√a− 1| fica menor que qualquer precisão finita. Atividades 9. Use o mesmo procedimento da atividade 6, encontre aproximações para os números abaixo, com erro menor que 0, 01. (a) √ 3 (b) 3 √ 2 (c) 3 2 3 10. Use o mesmo procedimento da atividade 7, encontre aproximações sucessivas para o número 10π. 11. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 6 a 10. (a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados? (b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades? 16 CAPÍTULO 1. O USO DA CALCULADORA NO ENSINO DE MATEMÁTICA (c) Qual é o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades? (d) Que vantagens e desvantagens o uso da calculadora nas atividades pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em relação a abordagens com recursos convencionais (isto é, sem o uso da calculadora)? 12. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 6 a 10, que seja adequada para as turmas em que você leciona.
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