Lista03 Derivadas Parciais e Aproximações Lineares

Prévia do material em texto

MA211 - Lista 03
Derivadas Parciais e
Aproximac¸o˜es Lineares
14 de setembro de 2016
EXERCI´CIOS RESOLVIDOS
1. ([1], sec¸a˜o 14.3) Determine as derivadas parciais de primeira ordem da func¸a˜o.
a) F f(r, s) = r ln(r2 + s2)
b) F f(x, y) =
∫ x
y
cos2 t dt
Soluc¸a˜o:
a) Sendo f(r, s) = r · ln(r2 + s2), temos que as derivadas parciais em relac¸a˜o
a r e s, respectivamente, sa˜o:
•fr(r, s) = 1 · ln(r2 + s2) + r · 1
r2 + s2
· 2r = ln(r2 + s2) + 2r
2
r2 + s2
.
•fs(r, s) = 0 · ln(r2 + s2) + r · 1
r2 + s2
· 2s = 2rs
r2 + s2
.
b) Sendo f(x, y) =
∫ x
y
cos(t2) dt, temos que as derivadas parciais em relac¸a˜o
a x e y, respectivamente, sa˜o:
• ∂
∂x
f(x, y) =
∂
∂x
(∫ x
y
cos(t2)
)
= cos(x2).
• ∂
∂y
f(x, y) =
∂
∂y
(∫ x
y
cos(t2)
)
=
∂
∂y
(
−
∫ y
x
cos(t2)
)
= − cos(y2).
Notemos que nas soluc¸o˜es das derivadas parciais acima utilizamos o
Teorema Fundamental do Ca´lculo.
2. ([2], sec¸a˜o 10.1) � Considere a func¸a˜o dada por z = x sen
(
x
y
)
. Verifique
que
x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= z.
Soluc¸a˜o: Primeiramente, vamos calcular
∂z
∂x
e
∂z
∂
. Assim,
• ∂z
∂x
=
∂
∂x
[
x · sen
(
x
y
)]
= 1 · sen
(
x
y
)
+ x · cos
(
x
y
)
· 1
y
= sen
(
x
y
)
+
x
y
· cos
(
x
y
)
• ∂z
∂y
=
∂
∂y
[
x · sen
(
x
y
)]
= 0 · sen
(
x
y
)
+ x · cos
(
x
y
)
·
(
− x
y2
)
= −x
2
y2
· cos
(
x
y
)
.
1
Enta˜o,
x · ∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= x ·
[
sen
(
x
y
)
+
x
y
· cos
(
x
y
)]
+ y ·
[
− x
2
y2
· cos
(
x
y
)]
= x · sen
(
x
y
)
+
x2
y
cos
(
x
y
)
− x
2
y
· cos
(
x
y
)
x · sen
(
x
y
)
= z.
3. � ([1], sec¸a˜o 14.4) Determine a aproximac¸a˜o linear da func¸a˜o f(x, y, z) =√
x2 + y2 + z2 em (3, 2, 6) e use-a para aproximar o nu´mero
√
(3, 02)2 + (1, 97)2 + (5, 99)2.
Soluc¸a˜o: Vamos determinar a aproximac¸a˜o linear da func¸a˜o f em (3, 2, 6).
Primeiramente, calculamos as derivadas parcias fx, fy e fz, para todo (x, y, z).
•fx(x, y, z) = 1
2
(x2 + y2 + z2)−1/2 · 2x = x√
x2 + y2 + z2
.
•fy(x, y, z) = 1
2
(x2 + y2 + z2)−1/2 · 2y = y√
x2 + y2 + z2
.
•fz(x, y, z) = 1
2
(x2 + y2 + z2)−1/2 · 2z = z√
x2 + y2 + z2
.
Agora, calculamos as derivadas parciais de f no ponto (3, 2, 6), enta˜o
•fx(3, 2, 6) = 3√
32 + 22 + 62
=
3
7
.
•fx(3, 2, 6) = 2√
32 + 22 + 62
=
2
7
.
•fx(3, 2, 6) = 6√
32 + 22 + 62
=
6
7
.
Assim, a aproximac¸a˜o linear da func¸a˜o f em (3, 2, 6) e´
f(x, y, z) ≈ f(3, 2, 6) + fx(3, 2, 6)(x− 3) + fy(3, 2, 6)(y − 2) + fz(3, 2, 6)(z − 6)
= 7 +
3
7
(x− 3) + 2
7
(y − 2) + 6
7
(z − 6)
=
3
7
x+
2
7
y +
6
7
z +
(
7− 9
7
− 4
7
− 36
7
)
=
3
7
x+
2
7
y +
6
7
z.
Agora, vamos aproximar o nu´mero
√
(3, 02)2 + (1, 97)2 + (5, 99)2. Assim,
2
√
(3, 02)2 + (1, 97)2 + (5, 99)2 = f(3, 02 , 1, 97 , 5, 99)
≈ 3
7
(3, 02) +
2
7
(1, 97) +
6
7
(5, 99)
≈ 6, 9914.
4. � ([2], sec¸a˜o 11.3) Determine o plano que e´ paralelo ao plano z = 2x+ 3y e
tangente ao gra´fico de f(x, y) = x2 + xy.
Soluc¸a˜o: Considere
z − f(x0, y0) = ∂f
∂x
(x0, y0)(x− x0) + ∂f
∂y
(x0, y0)(y − y0)
o plano tangente ao gra´fico de f . Assim,
z =
∂f
∂x
(x0, y0)·x+ ∂f
∂y
(x0, y0)·y+
[
f(x0, y0)− ∂f
∂x
(x0, y0)·x0− ∂f
∂y
(x0, y0)·y0
]
.
Como tal plano e´ paralelo ao plano z = 2x+ 3y, obtemos que
∂f
∂x
(x0, y0) = 2 e
∂f
∂y
(x0, y0) = 3.
Notemos que
∂f
∂x
(x, y) = 2x+ y e
∂f
∂y
(x, y) = x.
Assim, temos o seguinte sistema de equac¸o˜es{
2x0 + y0 = 2
x0 = 3
Logo, x0 = 3 e y0 = −4. A partir desses valores temos que f(x0, y0) = −3,
∂f
∂x
(x0, y0) · x0 = 6 e ∂f
∂y
(x0, y0) · y0 = −12. Portanto, o plano desejado tem
equac¸a˜o
z = 2x+ 3y − 3− 6 + 12,
ou seja,
z = 2x+ 3y + 3.
3
EXERCI´CIOS PROPOSTOS
5. � ([1], sec¸a˜o 14.3) A temperatura T de uma localidade do Hemisfe´rio Norte
depende da longitude x, da latitude y e do tempo t, de modo que podemos es-
crever
T = f(x, y, t). Vamos medir o tempo em horas a partir do in´ıcio de
Janeiro.
a) Qual e´ o significado das derivadas parciais ∂T/∂x, ∂T/∂y e ∂T/∂t?
b) Honolulu tem longitude de 158◦W e latitude de 21◦N . Suponha que
a`s 9 horas em 1◦ de Janeiro esteja ventando para nordeste uma brisa
quente, de forma que a oeste e a sul o ar esteja quente e a norte e leste
o ar esteja mais frio. Voceˆ esperaria que fx(158, 21, 9), fy(158, 21, 9) e
ft(128, 21, 9) fossem positivas ou negativas? Explique.
6. ([1], sec¸a˜o 14.3) O ı´ndice de sensac¸a˜o te´rmica W e´ a temperatura sentida
quando a temperatura real e´ T e a velocidade do vento, v. Portanto, podemos
escrever W = f(T, v). Considerando a tabela abaixo:
a) Estime os valores de fT (−15, 30) e fv(−15, 30). Quais sa˜o as inter-
pretac¸o˜es pra´ticas desses valores?
b) Em geral, o que se pode dizer sobre o sinal de ∂W/∂T e ∂W/∂v?
c) Qual parece ser o valor do seguinte limite
lim
v→∞
∂W
∂v
?
4
7. ([1], sec¸a˜o 14.3) As seguintes superf´ıcies, rotuladas a, b e c, sa˜o gra´ficos de
uma func¸a˜o f e de suas derivadas parciais fx e fy. Identifique cada superf´ıcie
e deˆ razo˜es para sua escolha.
8. ([1], sec¸a˜o 14.3) Determine as derivadas parciais de primeira ordem da func¸a˜o.
a) f(x, y) = x5 + 3x3y2 + 3xy4
c) u =
√
x21 + x
2
2 + · · ·+ x2n
f) u = xy/z
b) f(x, y) =
x− y
x+ y
d) u = tew/t
9. ([1], sec¸a˜o 14.3) Determine a derivada parcial fx(3, 4), onde f(x, y) = ln(x+√
x2 + y2).
10. ([1], sec¸a˜o 14.3) Use a definic¸a˜o de derivadas parciais como limites para
encontrar fx(x, y) e fy(x, y), sendo f(x, y) = x
2y − x3y.
11. � ([1], sec¸a˜o 14.3) Use a derivac¸a˜o implic´ıta para determinar ∂z/∂x e ∂z/∂y.
a) x− z = arctg(yz) b) sen(xyz) = x+ 2y + 3z
12. ([1], sec¸a˜o 14.3) Determine ∂z/∂x e ∂z/∂y, sendo z = f(x) + g(y).
13. ([1], sec¸a˜o 14.3) Determine as derivadas parciais indicadas.
5
a) F u = erθ sen θ; ∂
3u
∂r2∂θ
b) w =
x
y + 2z
;
∂3w
∂z∂y∂x
,
∂3w
∂x2∂y
14. ([1], sec¸a˜o 14.3) Sa˜o mostradas as curvas de n´ıvel de uma func¸a˜o f. Determine
se as seguintes derivadas parciais sa˜o positivas ou negativas no ponto P.
a) fx
c) fxx
e) fyy
b) fy
d) fxy
15. ([1], sec¸a˜o 14.3) Verifique que a func¸a˜o u = 1/
√
x2 + y2 + z2 e´ uma soluc¸a˜o
da equac¸a˜o de Laplace tridimensional uxx + uyy + uzz = 0.
16. ([1], sec¸a˜o 14.3) Verifique que a func¸a˜o z = ln(ex + ey) e´ uma soluc¸a˜o das
equac¸o˜es diferenciais
∂z
∂x
+
∂z
∂y
= 1 e
∂2z
∂2x
+
∂2z
∂2y
−
(
∂2z
∂x∂y
)2
= 0.
17. F ([1], sec¸a˜o 14.3) A lei dos gases para uma massa fixa m de um ga´s ideal
a` temperatura absoluta T , pressa˜o P e o volume V e´ PV = mRT , onde R
e´ a constante do ga´s. Mostre que
∂P
∂V
∂V
∂T
∂T
∂P
= −1.
18. F ([1], sec¸a˜o 14.3) Disseram-lhe que existe uma func¸a˜o f cujas derivadas
parciais sa˜o
fx(x, y) = x+ 4y e fy(x, y) = 3x− y,
e cujas derivadas parciais de segunda ordem sa˜o cont´ınuas. Voceˆ deve acre-
ditar nisso?
19. F ([1], sec¸a˜o 14.3) O elipsoide 4x2 + 2y2 + z2 = 16 intercepta o plano y = 2
em uma elipse. Determine as equac¸o˜es parame´tricas da reta tangente a` elipse
no ponto (1, 2, 2).
6
20. ([1], sec¸a˜o 14.3) Seja
f(x, y) =

x3y − xy3
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0).
a) Use um computador para trac¸ar o gra´fico de f .
b) Determine fx(x, y) e fy(x, y) quando (x, y) 6= (0, 0).
c) Determine fx(0, 0) e fy(0, 0) use a definic¸a˜o das derivadas parciais como
limite.
d) Mostre que fxy(0, 0) = −1 e fyx(0, 0) =1
e) O resultado da parte (d) contradiz o Teorema de Clairaut? Use o gra´fico
de fxy e fyx para ilustrar sua resposta.
21. � ([2], sec¸a˜o 10.1) Determine as derivadas parciais.
a) f(x, y) = 5x4y2 + xy3 + 4
c) z =
x3 + y2
x2 + y2
e) z = x2 ln(1 + x2 + y2)
g) f(x, y) = (4xy − 3y3)3 + 5x2y
i) g(x, y) = xy
l) f(x, y) = 3
√
x3 + y2 + 3
b) z = cos(xy)
d) f(x, y) = e−x
2−y2
f) z = xyexy
h) z = arctg
x
y
j) z = (x2 + y2) ln(x2 + y2)
m) z =
x sen y
cos(x2 + y2)
22. ([2], sec¸a˜o 10.1) Considere a func¸a˜o z =
xy2
x2 + y2
. Verifique que x
∂z
∂x
+y
∂z
∂y
=
z.
23. � ([2], sec¸a˜o 10.1) Seja φ : R → R uma func¸a˜o de uma varia´vel real, dife-
rencia´vel e tal que φ′(1) = 4. Seja g(x, y) = φ
(
x
y
)
. Calcule
a)
∂g
∂x
(1, 1) b)
∂g
∂y
(1, 1)
24. ([2], sec¸a˜o 10.1) Seja g(x, y) = φ
(
x
y
)
a func¸a˜o do exerc´ıcio anterior. Verifi-
que que, para todo (x, y) ∈ R2, com y 6= 0, temos que
x
∂g
∂x
(x, y) + y
∂g
∂y
(x, y) = 0.
25. ([2], sec¸a˜o 10.1) A func¸a˜o p = p(V, T ) e´ dada implicitamente pela equac¸a˜o
pV = nRT , onde n e R sa˜o constantes na˜o-nulas. Calcule
∂p
∂V
e
∂p
∂T
.
7
26. ([2], sec¸a˜o 10.1) Seja z = eyφ(x − y), onde φ e´ uma func¸a˜o diferencia´vel de
uma varia´vel real. Mostre que
∂z
∂x
+
∂z
∂y
= z.
27. ([2], sec¸a˜o 10.1) Seja φ : R → R uma func¸a˜o diferencia´vel de uma varia´vel
real e seja
f(x, y) = (x2 + y2)φ
(
x
y
)
. Mostre que
x
∂f
∂x
+ y
∂f
∂y
= 2f.
28. ([2], sec¸a˜o 10.1) Determine
∂f
∂x
e
∂f
∂y
, sendo f(x, y) =

x+ y4
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0).
29. ([2], sec¸a˜o 10.2) Calcule as derivadas parciais.
a) f(x, y, z) = xex−y−z
b) w = x2 arcsen
y
z
c) w =
xyz
x+ y + z
d) f(x, y, z) = sen (x2 + y2 + z2)
e) s = f(x, y, z, w) dada por s = xw ln (x2 + y2 + z2 + w2)
30. ([2], sec¸a˜o 10.2) Seja f(x, y, z) =
x
x2 + y2 + z2
. Verifique que
x
∂f
∂x
+ y
∂f
∂y
+ z
∂f
∂z
= −f.
31. ([2], sec¸a˜o 10.2) Seja s = f(x, y, z, w) dada por s = e
x
y
− z
w . Verifique que
x
∂s
∂x
+ y
∂s
∂y
+ z
∂s
∂z
+ w
∂s
∂w
= 0.
32. ([3], sec¸a˜o 11.3) Nos itens abaixo encontre ∂f/∂x e ∂f/∂y.
a) f(x, y) = (x2 − 1)(y + 2)
c) f(x, y) = 1/(x+ y)
e) f(x, y) = exy ln y
b) f(x, y) = (xy − 1)2
d) f(x, y) = e−x sen(x+ y)
f) f(x, y) = cos2(3x− y2)
8
33. � ([3], sec¸a˜o 11.3) Nos itens abaixo, encotre fx, fy e fz.
a) f(x, y, z) = 1 + xy2 − 2z2
c) f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)−1/2
e) f(x, y, z) = e−(x
2+y2+z2)
b) f(x, y, z) = x−√y2 + z2
d) f(x, y, z) = ln(x+ 2y + 3z)
f) f(x, y, z) = e−xyz
34. ([3], sec¸a˜o 11.3) Seja w = f(x, y, z) uma func¸a˜o de treˆs varia´veis indepen-
dentes. Escreva a definic¸a˜o formal de derivada parcial ∂f/∂z em (x0, y0, z0).
Use essa definic¸a˜o para encontrar ∂f/∂z em (1, 2, 3) para f(x, y, z) = x2yz2.
35. � ([3], sec¸a˜o 11.3) Encontre o valor de ∂z/∂x no ponto (1, 1, 1) sabendo que
a equac¸a˜o
xy + z3x− 2yz = 0
define z como uma func¸a˜o de duas varia´veis independentes x e y e que a
derivada parcial existe.
36. ([3], sec¸a˜o 11.3) De acordo com o triaˆngulo abaixo:
a) Expresse A implicitamente como uma func¸a˜o de a, b e c e calcule ∂A/∂a
e ∂A/∂b.
b) Expresse a implicitamente como uma func¸a˜o de A, b e B e calcule ∂a/∂A
e ∂a/∂B.
37. ([2], sec¸a˜o 14.1) Calcule todas as derivadas parciais de 2a ordem.
a) f(x, y) = x3y2
c) z = ln(1 + x2 + y2)
b) z = ex
2−y2
d) g(x, y) = 4x3y4 + y3
38. ([2], sec¸a˜o 14.1) Seja f(x, y) =
1
x2 + y2
. Verifique que
a) x
∂2f
∂x2
(x, y) + y
∂2f
∂y∂x
(x, y) = −3∂f
∂x
(x, y)
b)
∂2f
∂x2
(x, y) +
∂2f
∂y2
(x, y) =
4
(x2 + y2)2
39. ([2], sec¸a˜o 14.1) Verifique que
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
= 0, onde f(x, y) = ln(x2 + y2).
40. ([2], sec¸a˜o 14.1) Verifique que x
∂2z
∂x∂y
+ y
∂2z
∂y2
= 0, onde z = (x+ y)ex/y.
9
41. � (Prova, 2006) Considere a superf´ıcie dada implicitamente por
x2 + 2y2 + 2z2 = −4xyz.
a) Calcule as derivadas
∂z
∂x
e
∂z
∂y
em um ponto gene´rico.
b) Quais os pontos nos quais as derivadas parciais calculadas no item ante-
rior na˜o esta˜o definidas?
42. (Prova, 2010) Seja f(x, y) =
x2y2
x2 + y2
.
a) Calcule as derivadas parciais
∂f
∂x
(x, y) e
∂f
∂y
(x, y), num ponto
(x, y) 6= (0, 0).
b) Calcule o limite, se existir.
lim
(x,y)→(0,0)
∂f
∂x
(x, y)
43. (Teste, 2013) Considere a func¸a˜o
f(x, y) = log(9− x2 − 9y2).
a) Esboce no plano xy o domı´nio de f.
b) Calcule as derivadas parciais fx e fy.
44. � (Prova, 2014) Considere a func¸a˜o
f(x, y) =

xy
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0).
a) A func¸a˜o f e´ cont´ınua em (0, 0)? Justifique sua resposta.
b) Calcule as derivadas parciais
∂f
∂x
(0, 0) e
∂f
∂y
(0, 0).
c) Determine
∂f
∂x
(x, y) e
∂f
∂y
(x, y) para (x, y) 6= (0, 0).
d) f e´ diferencia´vel em (0, 0)? Justifique sua resposta.
45. (Prova, 2014) Considere a func¸a˜o
f(x, y) =
{
x+ y, se xy = 0,
κ, caso contra´rio,
em que κ e´ um nu´mero real. Determine as derivadas parciais de primeira
ordem de f em (0, 0).
10
46. F (Prova, 2014) Considere a func¸a˜o
f(x, y) =

xy2
x2 + y4
, se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0).
a) A func¸a˜o e´ cont´ınua em (0, 0)? Justifique sua resposta.
b) Determine as derivadas parciais
∂f
∂x
(0, 0) e
∂f
∂y
(0, 0).
47. (Prova, 2014) Se z = sen(x+ sen y), mostre que
∂z
∂x
∂2z
∂x∂y
=
∂z
∂y
∂2z
∂x2
.
48. ([1], sec¸a˜o 14.4) Determine uma equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie no
ponto especificado.
a) z = 4x2 − y2 + 2y, (−1, 2, 4).
b) z = 3(x− 1)2 + 2(y + 3)2 + 7, (2,−2, 12).
c) z =
√
xy, (1, 1, 1).
d) z = y cos(x− y), (2, 2, 2).
49. ([1], sec¸a˜o 14.4) Explique por que a func¸a˜o e´ diferencia´vel no ponto dado. A
seguir, encontre a linearizac¸a˜o L(x, y) da func¸a˜o naquele ponto.
a) f(x, y) = x
√
y, (1, 4).
b) f(x, y) =
x
x+ y
, (2, 1).
c) f(x, y) = e−xy cos y, (pi, 0).
50. ([1], sec¸a˜o 14.4) Determine a aproximac¸a˜o linear da func¸a˜o f(x, y) =
√
20− x2 − 7y2
em (2, 1) e use-a para aproximar f(1, 95; 1, 08).
51. ([1], sec¸a˜o 14.4) Determine a diferencial da func¸a˜o.
a) z = x3 ln y2.
b) m = p5q3.
c) R = αβ2 cosλ.
52. ([1], sec¸a˜o 14.4) Se z = 5x2 +y2 e (x, y) varia de (1, 2) a (1, 05; 2, 1), compare
os valores de ∆z e dz.
53. ([1], sec¸a˜o 14.4) Se z = x2−xy+3y2 e (x, y) varia de (3;−1) a (2, 96;−0, 95),
compare os valores de ∆z e dz.
11
54. ([1], sec¸a˜o 14.4) O comprimento e a largura de um retaˆngulo foram medi-
dos como 30 cm e 24 cm, respectivamente, com um erro de medida de, no
ma´ximo, 0, 1 cm. Utilize as diferenciais para estimar o erro ma´ximo cometido
no ca´lculo da a´rea do retaˆngulo.
55. ([1], sec¸a˜o 14.4) Utilize as diferenciais para estimar a quantidade de estanho
em uma lata cil´ındrica fechada com 8 cm de diaˆmetro e 12 cm de altura se
a espessura da folha de estanho for de 0, 04 cm.
56. ([1], sec¸a˜o 14.4) Se R e´ a resisteˆncia equivalente de treˆs resistores conectados
em paralelo, com resisteˆncias R1, R2, R3, enta˜o
1
R
=
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
.
Se as resisteˆncias medem, em ohms, R1 = 25Ω, R2 = 40Ω, R3 = 50Ω,
com margem de erro de 0, 5% em cada uma, estime o erro ma´ximo no valor
calculado de R.
57. ([1], sec¸a˜o 14.4) Quatro nu´meros positivos, cada um menor que 50, sa˜o ar-
redondados ate´ a primeira casa decimal e depois multiplicados. Utilize os
diferenciais para estimar o ma´ximo erro poss´ıvel no ca´lculo do produto que
pode resultar do arredondamento.
58. ([1], sec¸a˜o 14.4) Mostre que a func¸a˜o f(x, y) = xy − 5y2 e´ diferencia´vel
achando os valores ε1e ε2 que satisfac¸am a Definic¸a˜o 7 da Sec¸a˜o 14.4 do
Stewart.
59. F ([1], sec¸a˜o 14.4) Considere a func¸a˜o
f(x, y) =

xy
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0).
Mostre que fx(0, 0) e fy(0, 0) existem, mas f na˜o e´ diferencia´vel em (0, 0).
60. � ([2], sec¸a˜o 11.1) f e´ diferencia´vel em (0, 0)? Justifique.
a) f(x, y) =

x2 − y2
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0)
b) f(x, y) =

x2y
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0)
c) f(x, y) =

x4
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0)
12
61. � ([2], sec¸a˜o 11.2) Verifique que a func¸a˜o dada e´ diferencia´vel.
a) f(x, y) = ex−y
2
c) f(x, y) = x2y
e) f(x, y) = x cos (x2 + y2)
b) f(x, y) = x4 + y3
d) f(x, y) = ln (1 + x2 + y2)
f) f(x, y) = arctg xy
62. ([2], sec¸a˜o 11.2) Determine o maior conjunto de pontos em que a func¸a˜o dada
e´ diferencia´vel. Justifique.
a) f(x, y) =

xy
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0)
b f(x, y) =

x3
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = 0
c) f(x, y) =

xy3
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = 0
d) f(x, y) =
e
1
x2 + y2 − 1 , se x2 + y2 < 1,
0, se x2 + y2 ≥ 1
63. � ([2], sec¸a˜o 11.3) Determine as equac¸o˜es do plano tangente e da reta normal
ao gra´fico da func¸a˜o dada, no ponto dado.
a) f(x, y) = 2x2y em (1, 1, f(1, 1)).
b) f(x, y) = x2 + y2 em (0, 1, f(0, 1)).
c) f(x, y) = 3x3y − xy em (1,−1, f(1,−1)).
d) f(x, y) = xex
2−y2 em (2, 2, f(2, 2)).
e) f(x, y) = arctg (x− 2y) em
(
2,
1
2
, f
(
2,
1
2
))
.
f) f(x, y) = xy em
(
1
2
,
1
2
, f
(
1
2
,
1
2
))
.
64. ([2], sec¸a˜o 11.3) Determine o plano que passa pelos pontos (1, 1, 2) e (−1, 1, 1)
e que seja tangente ao gra´fico de f(x, y) = xy.
65. (Prova, 2014) Determine a equac¸a˜o dos planos tangentes ao gra´fico de f(x, y) =
−x2 − y2 que passam por ambos os pontos (1, 0, 7) e (3, 0, 3).
66. ([2], sec¸a˜o 11.3) Determine o plano que e´ paralelo ao plano z = 2x + y e
tangente ao gra´fico de f(x, y) = x2 + y2.
13
67. ([2], sec¸a˜o 11.3) z = 2x + y e´ a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de
f(x, y) no ponto (1, 1, 3). Calcule
∂f
∂x
(1, 1) e
∂f
∂y
(1, 1).
68. ([2], sec¸a˜o 11.3) 2x+ y+ 3z = 6 e´ a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de
f(x, y) no ponto (1, 1, 1).
a) Calcule
∂f
∂x
(1, 1) e
∂f
∂y
(1, 1).
b) Determine a equac¸a˜o da reta normal no ponto (1, 1, 1).
69. ([2], sec¸a˜o 11.3) Considere a func¸a˜o f(x, y) = x φ
(
x
y
)
, em que φ(u) e´ uma
func¸a˜o deriva´vel de uma varia´vel. Mostre que os planos tangentes ao gra´fico
de f passam pela origem.
70. F (Prova, 2013) Determine a equac¸a˜o do plano que e´ tangente ao paraboloide
z = 2x2 + 3y2 e paralelo ao plano 4x− 3y − z = 10.
71. ([2], sec¸a˜o 11.3) Determine os planos que sa˜o tangentes ao gra´fico de f(x, y) =
x2 + y2 e que contenham a intersec¸a˜o dos planos x+ y + z = 3 e z = 0.
72. ([2], sec¸a˜o 11.3) Determine os planos tangentes ao gra´fico de f(x, y) = 2 +
x2 + y2 e que contenham o eixo x.
73. ([2], sec¸a˜o 11.3) Considere a func¸a˜o f(x, y) = x g(x2 − y2), em que g(u)
e´ uma func¸a˜o deriva´vel de uma varia´vel. Mostre que o plano tangente ao
gra´fico de f no ponto (a, a, f(a, a)) passa pela origem.
74. (Prova, 2010) Mostre que o plano tangente ao parabolo´ide z = x2 + y2 no
ponto (1, 2, 5) intercepta o plano xy na reta{
2x+ 4y − 5 = 0
z = 0
.
14
RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS PROPOSTOS
5. a) ∂T/∂x e´ a taxa de variac¸a˜o da temperatura quando a longitude muda,
mas a latitude e o tempo sa˜o constantes;
∂T/∂y e´ a taxa de variac¸a˜o da temperatura quando a latitude muda,
mas a longitude e o tempo sa˜o constantes;
∂T/∂t e´ a taxa de variac¸a˜o da temperatura quando o tempo muda, mas
a longitude e a latitude sa˜o constantes.
b) fx(158, 21, 9) > 0, fy(158, 21, 9) < 0 e ft(158, 21, 9) > 0.
6. a) fT (−15, 30) ≈ 1.3 Isto significa que quando a temperatura real e´ −15oC
e a velocidade do vento e´ 30km/h, a temperatura aparente aumenta
cerca de 1.3oC para cada 1oC que a temperatura real aumenta;
fv(−15, 30) ≈ −0.15 Isto significa que quando a temperatura real e´
−15oC e a velocidade do vento e´ 30km/h, a temperatura aparente di-
minui cerca de 0.15oC para cada 1km/h que a velocidade do vento
aumenta.
b) ∂W
∂T
> 0 e ∂W
∂v
≤ 0.
c) limv→∞ ∂W∂v = 0.
7. a) fy, b) fx, c) f .
8. a)
∂f
∂x
= 5x4 + 9x2y2 + 3y4 e
∂f
∂y
= 2x3y + 12xy3.
b)
∂f
∂x
=
2y
(x+ y)2
e
∂f
∂y
= − 2x
(x+ y)2
.
c)
∂u
∂xi
=
xi√
x21 + x
2
2 + · · ·+ x2n
para todo i = 1, · · · , n.
d)
∂u
∂t
= ew/t
(
1− w
t
)
e
∂u
∂w
= ew/t.
f)
∂u
∂x
=
y
z
x(y/z)−1,
∂u
∂y
= xy/z lnx e
∂u
∂z
= −yx
y/z
z2
lnx.
9. fx(3, 4) =
1
5
.
10. fx = y
2 − 3x2y e fy = 2xy − x3.
11. a)
∂z
∂x
=
1 + y2z2
1 + y + y2z2
e
∂z
∂y
= − z
1 + y + y2z2
.
b)
∂z
∂x
=
1− yz cos(xyz)
xy cos(xyz)− 3 e
∂z
∂y
=
2− xz cos(xyz)
xy cos(xyz)− 3.
12.
∂z
∂x
= f ′(x) e
∂z
∂y
= g′(y).
15
13. a)
∂3u
∂r2∂θ
= θerθ(2 sen θ + θ cos θ + rθ sen θ).
b)
∂3w
∂z∂y∂x
=
4
(y + 2z)3
e
∂3w
∂x2∂y
= 0.
14. a) Negativa
b) Positiva
c) Positiva
d) Negativa
e) Positiva
15. uxx =
2x2 − y2 − z2
(x2 + y2 + z2)5/2
, uyy =
2y2 − x2 − z2
(x2 + y2 + z2)5/2
e uzz =
2z2 − x2 − y2
(x2 + y2 + z2)5/2
.
16.
∂z
∂x
=
ex
ex + ey
,
∂z
∂y
=
ey
ex + ey
,
∂2z
∂x2
=
∂2z
∂y2
=
ex+y
(ex + ey)2
,
∂2z
∂x∂y
= − e
x+y
(ex + ey)2
.
17.
∂P
∂V
= −mRT
V 2
,
∂V
∂T
=
mR
P
e
∂T
∂P
=
V
mR
.
18. Na˜o, pois pelo Teorema de Clairaut deveria ser verdade que fxy = fyx, mas
temos fxy = 4 6= 3 = fyx.
19. x = 1 + t, y = 2, z = 2− 2t.
20. a) Gra´fico de f :
b) fx =
x4y + 4x2y3 − y5
(x2 + y2)2
e fy =
x5 − 4x3y2 − xy4
(x2 + y2)2
quando (x, y) 6= (0, 0).
c) fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0.
d) Use fxy(0, 0) = lim
h→0
fx(0, h)− fx(0, 0)
h
e fyx(0, 0) = lim
h→0
fy(h, 0)− fy(0, 0)
h
.
e) Para (x, y) 6= (0, 0), fxy = x6 + 9x4y2 − 9x2y4 − y6(x2 + y2)3. Como fxy
na˜o e´ cont´ınua na origem, na˜o ha´ uma contradic¸a˜o com o Teorema de
16
Clairaut. Os gra´ficos de fxy e fyx sa˜o ideˆnticos, exceto na origem:
21. a)
∂f
∂x
= 20x3y2 + y3 e
∂f
∂y
= 10x4y + 3xy2.
b)
∂z
∂x
= −y sen(xy) e ∂z
∂y
= −x sen(xy).
c)
∂z
∂x
=
x4 + 3x2y2 − 2xy2
(x2 + y2)2
e
∂z
∂y
=
2x2y(1− x)
(x2 + y2)2
.
d)
∂f
∂x
= −2xe−x2−y2 e ∂f
∂y
= −2ye−x2−y2 .
e)
∂z
∂x
= 2x ln(1 + x2 + y2) +
2x3
1 + x2 + y2
e
∂z
∂y
=
2x2y
1 + x2 + y2
.
f)
∂z
∂x
= yexy(1 + xy) e
∂z
∂y
= xexy(1 + xy).
g)
∂f
∂x
= 12y(4xy−3y3)2+10xy e ∂f
∂y
= 3(4xy−3y2)2(4x−9y2)+5x2.
h)
∂z
∂x
=
y
x2 + y2
e
∂z
∂y
=
−x
x2 + y2
.
i)
∂g
∂x
= yxy−1 e
∂g
∂y
= xy lnx.
j)
∂z
∂x
= 2x(1 + ln(x2 + y2)) e
∂z
∂y
= 2y(1 + ln(x2 + y2)).
l)
∂f
∂x
=
x2
3
√
(x3 + y3 + 3)2
e
∂f
∂y
=
2y
3 3
√
(x3 + y3 + 3)2
.
m)
∂z
∂x
=
sen y(cos(x2 + y2) + 2x2 sin(x2 + y2))
(cos(x2 + y2))2
e
∂z
∂y
=
x cos y cos(x2 + y2) + 2xy sin y sin(x2 + y2)
(cos(x2 + y2))2
.
22.
∂z
∂x
=
y4 − x2y2
(x2 + y2)2
e
∂z
∂y
=
2x3y
(x2 + y2)2
.
23. a) 4.
b) −4.
17
24.
∂g
∂x
=
1
y
φ′
(
x
y
)
e
∂g
∂y
= − x
y2
φ′
(
x
y
)
.
25.
∂p
∂V
= −nRT
V 2
e
∂p
∂T
=
nR
V
.
26.
∂z
∂x
= eyφ′(x− y) e ∂z
∂y
= eyφ(x− y)− eyφ′(x− y).
27.
∂f
∂x
= 2xφ
(
x
y
)
+
(x2 + y2)
y
φ′
(
xy
)
e
∂f
∂y
= 2yφ
(
x
y
)
−x(x
2 + y2)
y2
φ′
(
x
y
)
.
28.
∂f
∂x
=

y2 − x2 − 2xy4
(x2 + y2)2
, se (x, y) 6= (0, 0),
na˜o existe se (x, y) = (0, 0)
e
∂f
∂y
=

4x2y3 + 2y5 − 2xy
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0).
29. a)
∂f
∂x
= (1 + x)ex−y−z,
∂f
∂y
= −xex−y−z e ∂f
∂z
= −xex−y−z.
b)
∂w
∂x
= 2x arcsin
(
t
z
)
,
∂w
∂y
=
x2|z|
z
√
z2 − y2 e
∂w
∂z
= − x
2y
|z|√z2 − y2 .
c)
∂w
∂x
=
yz(y + z)
(x+ y + z)2
,
∂w
∂y
=
xz(x+ z)
(x+ y + z)2
e
∂w
∂z
=
xy(x+ y)
(x+ y + z)2
.
d)
∂f
∂x
= 2x cos(x2 + y2 + z2),
∂f
∂y
= 2y cos(x2 + y2 + z2) e
∂f
∂z
= 2z cos(x2 + y2 + z2).
e)
∂s
∂x
= w
(
2x2
x2 + y2 + z2 + w2
+ ln(x2 + y2 + z2 + w2)
)
,
∂s
∂y
=
2xyw
x2 + y2 + z2 + w2
,
∂s
∂z
= w
2xzw
x2 + y2 + z2 + w2
e
∂s
∂w
= x
(
2w2
x2 + y2 + z2 + w2
+ ln(x2 + y2 + z2 + w2)
)
.
30.
∂f
∂x
=
−x2 + y2 + z2
(x2 + y2 + z2)2
,
∂f
∂y
=
−2xy
(x2 + y2 + z2)2
e
∂f
∂z
=
−2xz
(x2 + y2 + z2)2
.
31.
∂s
∂x
=
1
y
e
x
y
− z
w ,
∂s
∂y
= − x
y2
e
x
y
− z
w ,
∂s
∂z
= − 1
w
e
x
y
− z
w e
∂s
∂w
=
z
w2
e
x
y
− z
w .
32. a)
∂f
∂x
= 2x(y + 2) e
∂f
∂y
= x2 − 1.
18
b)
∂f
∂x
= 2y(xy − 1) e ∂f
∂y
= 2x(xy − 1).
c)
∂f
∂x
=
∂f
∂y
= − 1
(x2 + y2)2
.
d)
∂f
∂x
= −e−x sin(x+ y) + e−x cos(x+ y) e ∂f
∂y
= e−x cos(x+ y).
e)
∂f
∂x
= yexy ln y e
∂f
∂y
= xexy ln y +
exy
y
.
f)
∂f
∂x
= −6 cos(3x−y2) sen(3x−y2) e ∂f
∂y
= 4y cos(3x−y2) sen(3x−y2).
33. a) fx = 1 + y
2, fy = 2xy e fz = −4z.
b) fx = 1, fy = − y√
y2 + z2
e fz = − z√
y2 + z2
.
c) fx = −x(x2 + y2 + z2)−3/2, fy = −y(x2 + y2 + z2)−3/2 e
fz = −z(x2 + y2 + z2)−3/2.
d) fx =
1
x+ 2y + 3z
, fy =
2
x+ 2y + 3z
e fz =
3
x+ 2y + 3z
.
e) fx = −2xe−(x2+y2+z2), fy = −2ye−(x2+y2+z2) e fz = −2ze−(x2+y2+z2).
f) fx = −yze−xyz, fy = −xze−xyz e fz = −xye−xyz.
34.
∂f
∂z
(1, 2, 3) = 12.
35.
∂z
∂x
(1, 1, 1) = −2.
36. a) a2 = b2 + c2 − 2bc cos(A), ∂A
∂a
=
a
bc sen(A)
e
∂A
∂b
=
c cos(A)− b
bc sen(A)
.
b)
a
sen(A)
=
b
sen(B)
,
∂a
∂A
=
a cos(A)
sen(A)
e
∂a
∂B
= −b csc(B) cot(B) sen(A).
37. a)
∂2f
∂x2
= 2xy2,
∂2f
∂y2
= 2x3 e
∂2f
∂x∂y
=
∂2f
∂y∂x
= 6x2y.
b)
∂2z
∂x2
= 2ex
2−y2(1 + 2x2),
∂2z
∂y2
= 2ex
2−y2(2y2 − 1) e
∂2z
∂x∂y
=
∂2z
∂y∂x
= −4xyex2−y2 .
c)
∂2z
∂x2
=
2 + 2y2 − 2x2
(1 + x2 + y2)2
,
∂2z
∂y2
=
2 + 2x2 − 2y2
(1 + x2 + y2)2
e
∂2z
∂x∂y
=
∂2z
∂y∂x
=
−4xy
(1 + x2 + y2)2
.
19
d)
∂2g
∂x2
= 24xy2,
∂2g
∂y2
= 48x3y2 e
∂2g
∂x∂y
=
∂2g
∂y∂x
= 48x2y3.
38.
∂f
∂x
= − 2x
(x2 + y2)2
,
∂2f
∂x2
=
6x2 − 2y2
(x2 + y2)3
,
∂2f
∂y2
=
6y2 − 2x2
(x2 + y2)3
e
∂2f
∂y∂x
=
8xy
(x2 + y2)3
.
39.
∂2f
∂x2
=
2y2 − 2x2
(x2 + y2)2
e
∂2f
∂y2
=
2x2 − 2y2
(x2 + y2)2
.
40.
∂2z
∂x∂y
=
−3xy − x2
y3
e
x
y e
∂2z
∂y2
=
3x2y + x3
y4
e
x
y .
41. a)
∂z
∂x
= − x+ 2yz
2(z + xy)
e
∂z
∂y
= −y + xz
z + xy
.
b) {(x, y, z) ∈ R3; z = −xy}.
42. a)
∂f
∂x
=
2xy4
(x2 + y2)2
e
∂f
∂y
=
2x4y
(x2 + y2)2
.
b) lim
(x,y)→(0,0)
∂f
∂x
(x, y) = 0.
43. a) Df = {(x, y) ∈ R2; x2 − 9y2 < 9}.
b) fx =
−2x
9− x2 − 9y2 e fy =
−18y
9− x2 − 9y2 .
44. a) Na˜o, pois lim(x,y)→(0,0) f(x, y) na˜o existe.
b)
∂f
∂x
(0, 0) =
∂f
∂y
(0, 0) = 0.
c)
∂f
∂x
=
y3 − x2y
(x2 + y2)2
e
∂f
∂y
=
x3 − xy2
(x2 + y2)2
.
d) Na˜o, pois f na˜o e´ cont´ınua em (0, 0) (ou: pois suas derivadas parciais
na˜o sa˜o cont´ınuas em (0, 0)).
20
45.
∂f
∂x
(0, 0) =
∂f
∂y
(0, 0) = 1.
46. a) Na˜o, pois lim(x,y)→(0,0) f(x, y) na˜o existe.
b)
∂f
∂x
(0, 0) =
∂f
∂y
(0, 0) = 0.
47.
∂z
∂x
= cos(x+ sen y),
∂z
∂y
= cos(x+ sen y) cos y,
∂z2
∂x∂y
= − sen(x+ sen y) cos y e ∂
2z
∂x2
= − sen(x+ sen y).
48. a) z = −8x− 2y.
b) z = 6x+ 4y + 8.
c) x+ y − 2z = 0.
d) z = y.
49. As derivadas fx e fy de cada f existem e sa˜o cont´ınuas nos pontos dados,
logo diferencia´veis.
a) L(x, y) = 2x+ 1
4
y − 1.
b) L(x, y) = 1
9
x− 2
9
y + 2
3
.
c) L(x, y) = 1− piy.
50. L(x, y) = −2
3
x− 7
3
y + 20
3
e f(1, 95; 1, 08) ≈ 2.847.
51. a) dz = 3x2 ln(y2)dx+ 2x
3
y
dy.
b) dm = 5p4q3dp+ 3p5q2dq.
c) dR = β2 cos(γ)dα + 2γβ cos(γ)dβ − αβ2 sen(γ)dγ.
52. ∆z = 0.9225 e dz = 0.9.
53. ∆z = −0.7189 e dz = −0.73.
54. ∆A ≈ 5.4 cm2.
55. Para V = pir2h o volume da lata de raio r e altura h, temos ∆V ≈ 16 cm3.
56. ∆R ≈ 0.059Ω.
57. Se x, y, z, w sa˜o os quatro nu´meros e p(x, y, z, w) = xyzw, temos ∆p ≤ 25000.
58. �1 = ∆y e �2 = −5∆y.
59. fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0, mas lim(x,y)→(0,0) f(x, y) na˜o existe, logo f e´ dis-
cont´ınua em (0, 0) e portanto na˜o e´ diferencia´vel neste ponto.
21
60. a) Na˜o.
b) Na˜o.
c) Sim.
61. As derivadas parciais ∂f
∂x
e ∂f
∂y
de cada func¸a˜o f existem e sa˜o cont´ınuas em
todos os pontos do domı´nio.
62. a) R2 \ {(0, 0)}.
b) R2 \ {(0, 0)}.
c) R2.
d) R2.
63. a) Plano tangente: z = 4x+ 2y − 4
Reta normal: (x, y, z) = (1, 1, 2) + λ (4, 2,−1).
b) Plano tangente: z = 2y − 1
Reta normal: (x, y, z) = (0, 1, 1) + λ (0, 2,−1).
c) Plano tangente: z = −8x+ 2y + 8
Reta normal: (x, y, z) = (1,−1,−2) + λ (−8, 2,−1).
d) Plano tangente: z = 9x− 8y
Reta normal: (x, y, z) = (2, 2, 2) + λ (9,−8,−1).
e) Plano tangente: 4z = 2x− 4y + (pi − 2)
Reta normal: (x, y, z) =
(
2, 1
2
, pi
4
)
+ λ
(
1
2
,−1,−1).
f) Plano tangente: 4z = 2x+ 2y − 1
Reta normal: (x, y, z) =
(
1
2
, 1
2
, 1
4
)
+ λ
(
1
2
, 1
2
,−1).
64. x+ 6y − 2z = 3.
65. 2x+ 2y + z = 9 e 2x− 2y + z = 9.
66. z = 2x+ y − 5
4
.
67.
∂f
∂x
(1, 1) = 2 e
∂f
∂y
(1, 1) = 1.
68. a)
∂f
∂x
(1, 1) = −2
3
e
∂f
∂y
(1, 1) = −1
3
.
b) (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(2, 1, 3).
69. Note que x∂f
∂x
(x, y) + y ∂f
∂y
(x, y) = f(x, y).
70. 4x− 3y − z = −11
4
.
71. z = 0 e z = 6x+ 6y − 18.
72. z = 2
√
2y e z = −2√2y.
22
73. Note que a∂f
∂x
(a, a) + a∂f
∂y
(a, a) = f(a, a).
74. Note que o plano tangente no ponto (1, 2, 5) e´ z = 2x+ 4y − 5.
23
Refereˆncias
[1] J. Stewart. Ca´lculo, Volume 2, 6a Edic¸a˜o, Sa˜o Paulo, Pioneira/ Thomson Le-
arning.
[2] H. L. Guidorizzi. Um Curso de Ca´lculo, Volume 2, 5a Edic¸a˜o, 2002, Rio de
Janeiro.
[3] G. B. Thomas. Ca´lculo, Volume 2, 10a edic¸a˜o, Sa˜o Paulo, Addison-
Wesley/Pearson,2002.
24