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23/08/2019
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Métodos 
Quantitativos
Função afim e função 
quadrática
Valdeci da Silva Araújo
• Unidade de Ensino: 1
• Competência da Unidade: Compreender relações e funções como subconjuntos de 
um produto cartesiano; Identificar o domínio e a imagem de uma função, bem como 
representá-la graficamente visando sua aplicação a problemas práticos.
• Resumo: Nessa unidade você estudará noções de conjuntos, representação no plano 
cartesiano, função afim e função quadrática. 
• Palavras-chave: função afim; função quadrática; sinal; 
ponto de mínimo; ponto de máximo
• Título da Teleaula: Função afim e função quadrática
• Teleaula nº: 1
A função afim e a função quadrática são duas classes de funções muito 
utilizadas não somente na Matemática, mas também na Física, na 
Economia, na Engenharia, na Administração etc.
Contextualizando a teleaula
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Matemática básica: operações, expressões e noções primitivas como 
conjunto, elemento e pertinência.
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Imagine que você seja o dono de uma empresa que fabrica bonés. Para 
melhor analisar os custos e lucros você decidiu estudar esses números 
utilizando funções e gráficos matemáticos, buscando uma melhor 
organização e maiores lucros, bem como um planejamento de expansão 
da empresa.
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Conceitos
Função
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Lei de formação e gráfico de uma função
Considere que em determinado posto de combustíveis o preço do etanol 
seja de R$2,40 o litro. Qual é a lei de formação da função que relaciona a 
quantidade de etanol abastecida (x) e o valor a pagar v(x)?
• Lei de formação v(x) = 2,40 . x
Uma empresa de táxi cobra pela corrida um valor fixo de R$4,85 
(bandeirada) mais um valor variável de R$2,90 por quilômetro rodado. 
Construa a lei de formação da função que retorna o preço f(x) para uma 
distância x percorrida.
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Resolução
• Lei de formação = 4,85 + 2,90 . X
Resolução da SP
Função: lucro, 
receita e custo
Vamos imaginar que o preço de venda dos bonés seja de R$30,00 por 
unidade. Qual a receita obtida com a venda de 10 unidades?
Vamos supor que, a partir de balanços financeiros de anos anteriores, 
chegou-se à conclusão de que, mensalmente, o custo com a produção é 
composto por um custo fixo de R$9.000,00 mais um custo variável de 
R$20,00 por boné. 
Nesse caso, com a produção e venda de 750 bonés em um mês, tem-se 
lucro ou prejuízo? 
E se forem produzidos e comercializados 1200 bonés?
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Lembre-se de que o preço de venda de cada boné e R$ 30,00.
• Se nenhum boné for vendido, não ha receita;
0 . R$30,00 = R$0,00 
• Se 1 boné for vendido, a receita é R$ 30,00;
1 . R$30,00 = R$30,00 
• Se 2 bonés forem vendidos, a receita é R$ 60,00;
2 . R$30,00 = R$60,00
Se x bonés forem vendidos, a receita é
x . R$30,00 = R$30,00 . x 
Outro questionamento feito foi em relação ao lucro, mas, para isso, 
precisamos determinar a função custo, traduzindo matematicamente a 
informação: 
“o custo com a produção é composto por um custo fixo de R$ 9.000,00 
mais um custo variável de R$ 20,00 por boné”. 
Função do custo: C(x) = 9.000 + 20 . x
Função da receita: R(x) = 30 . x
Lucro/prejuízo = receita – custo
L(x) = R(x) – C(x)
750 bonés
R(x) = 30 . x = 30 . 750 = 22.500 
C(x) = 9.000 + 20 . x = 9.000 + 20 . 750 = 24.000 
L(x) = 22.500 – 24.000 = – 1.500
1200 bonés
R(x) = 30 . x = 30 . 1.200 = 36.000
C(x) = 9.000 + 20 . x = 9.000 + 20 . 1.200 = 33.000 
L(x) = 36.000 – 33.000 = 3.000
Conceitos
Função afim 
Uma função afim é uma função �: � → � cuja lei de formação é � (�) =
�� + �, em que � ∈ �, não nulo, é denominado coeficiente angular e � ∈
� é denominado coeficiente linear.
A representação gráfica de uma função afim sempre é uma reta
Esboce o gráfico da função f(x) = 3x – 2
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Zero e sinal da função afim
O zero de uma função f(x) é o valor x0 tal que f(x0) = 0.
Ex.: Dada a função f(x) = 5x – 10, determine:
O zero;
Os valores de x para os quais f(x) > 0;
Os valores de x para os quais f(x)<0.
Resolução da SP
Calcular: lucro ou 
prejuízo
Você deve fazer uma apresentação contendo:
a) Um gráfico com os lucros/prejuízos para cada quantidade produzida.
b) Determinar intervalos de produção para os quais há lucro ou prejuízo.
c) O lucro do trimestre com o aumento da produção dos atuais 600 bonés 
para 1200 bonés ao mês, com acréscimo de produção de 200 bonés 
mensais.
Primeiramente, para esboçar um gráfico com o lucro/prejuízo, é necessário 
construir a função lucro L(x) = R(x) – C(x)
Dado R(x) = 30x e C(x) = 9000 + 20x
L(x) = 30x – (9000 + 20x) =
L(x) = 30x – 9000 – 20x =
L(x) = 10x – 9000
L(x) = 10x – 9000 
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Gráfico de L(x) = 10x – 9000 
Determinando x: 
L(x) = 0
L(x) = 10x – 9000
L(x) = 10x – 9000 = 0
10x = 9000
x = 9000/10
x = 900
L(x) = 10x – 9000
L(800) + L(1000) + L(1200)
Temos:
= (10 . 800 – 9000) + (10 . 1000 – 9000) + (10 . 1200 – 9000)
= (8000 – 9000) + ( 10000 – 9000) + (12000 – 9000)
= – 1000 + 1000 + 3000
= 3000
Lucro: R$ 3.000,00
Interação
Exercício
O valor pago por uma corrida de táxi é dado pela lei de formação P = 6 + 2,5K
Sabendo que uma pessoa ao final da corrida pagou R$ 41,00, quantos 
quilômetros percorreu o taxi?
Resolução:
P = 6 + 2,5K Gasto: R$ 41,00
P = R$ 6,00 + R$ 2,50 K 
R$ 41,00 = R$ 6,00 + R$ 2,50 K
R$ 41,00 – R$ 6,00 = R$ 2,50 K
R$ 35,00 = R$ 2,50 K
K = R$ 35,00 / R$ 2,50
K = 14 RESPOSTA: 14 KM
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Conceitos
Função quadrática 
Uma função quadrática é aquela cuja lei de formação é 
�(�)= ��² + �� + � com � ≠ �, os valores a, b e c são denominados 
coeficientes e ��² é o termo dominante.
A representação gráfica de uma função quadrática é uma curva plana
denominada parábola.
Raízes de uma função quadrática
Coeficientes de uma função quadrática
�(�)= ��² + �� + �
Esboce o gráfico da função: f(x) = x² – 8x + 12
Sabendo que a = 1; b = – 8; c = 12 temos
Esboce o gráfico da função: f(x) = x² – 8x + 12
Resolução da SP
Calcular área 
futura
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a) Que função relaciona a medida x e a área total do galpão, incluindo a 
atual? E qual função relaciona x com o valor do investimento? Quais os 
gráficos dessas funções?
b) Qual medida x proporcionará uma área total de 750 m²?
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A área de um retângulo é obtida multiplicando as medidas de dois lados
consecutivos.
No caso da área atual, a medida 300 	² é obtida multiplicando 20 	 por
15 	.
Para calcular a área futura, multiplicamos (20 + 
) 	 por (15 + 
) 	.
Logo, a função que relaciona a medida 
, em metros, e a área futura
em metros quadrados é:
� (
) = (20 + 
) . (15 + 
)
= 20 . 15 + 
 .15 + 20 . 
 + 
 . 
= 300 + 35
 + 
²
A função investimento I(
) é obtida multiplicando 725,85 (valor do metro
quadrado) pela área que será acrescida.
�(
) = (�(
) − 300) . 725,85 =
=(
² + 35
 + 300 − 300) . 725,85 =
= 725,85
² + 25404,75
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Conceitos
Sinal, mínimo e 
máximo de uma 
função quadrática 
Seja 
 (
) = �
² + �
 + � uma função quadrática. Se:
• � > 0, o gráfico tem concavidade voltada para cima, e o vértice é seu
ponto mais baixo;
• � < 0, o gráfico tem concavidade voltada para baixo, e o vértice é seu
ponto mais alto.
Dada a função 
(
) = 
² + 6
 + 5, faça o estudo dos sinais e determine
se f possui um valor máximo ou um mínimo e especifique esse valor.
(
) = 
² + 6
 + 5 
Resolução da SP
Calcularpreço de 
venda
Seu sócio quer agora recuperar parte do investimento aumentando o preço 
de venda dos bonés. Atualmente, são produzidos e comercializados 2400 
bonés por mês, vendidos por R$30,00 cada. Para que tudo ocorra de modo 
planejado, ele se adiantou e fez uma pesquisa junto aos consumidores 
estimando que para cada 
 reais acrescidos no preço de cada boné são 
vendidas (2400 - 60
) unidades por mês.
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Qual deve ser o preço de 
cada boné para que a 
receita seja 
a maior possível?
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Considere que o preço do boné, que atualmente é de R$30,00, seja
acrescido em 
 reais. O novo preço será: 30,00 + 
Com o boné nessa faixa de preço, são vendidas (2400 – 60 
) unidades.
Lembre-se de que a função receita é obtida multiplicando a quantidade
vendida pelo preço, logo:
� (
) = (2400 − 60
) . (30 + 
)
= (2400 − 60
) 30 + (2400 − 60
) 
= 72000 − 1800
 + 2400
 − 60
²
= - 60
² + 600
 + 72000
Portanto, R(x) = – 60
² + 600
 + 72000
temos a = – 60 < 0
Como o preço atual e R$ 30,00, o novo valor será R$ 35,00
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Interação
Exercício
O lucro de uma empresa na venda de determinado produto é dado pela 
função: 
� (�) = −4�² + 100� − 80, 
onde � representa o número de produtos vendidos e �(�) é o lucro em reais.
Determine a quantidade de produtos que deve ser vendida para se obter o 
lucro máximo.
Resolução: 
RESPOSTA: 12,5
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Conceitos
Recapitulando
 Função Afim;
 Função Quadrática;
Máximo e mínimo de uma Função Quadrática
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