método de Cholesky

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Introdução
Método de Cholesky
Exemplos
Cálculo Numérico
Sistemas Lineares: Método de Cholesky
Wellington José Corrêa
@correa.well
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
5 de abril de 2022
Wellington José Corrêa Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Introdução
Método de Cholesky
Exemplos
André Louis Cholesky (1875-1918)
André-Louis Cholesky nasceu em Montguyon na região Marítima Charentes da
França ao norte de Bordeaux.
Foi oficial do exército francês. O método de Cholesky foi muito usado para
solucionar problemas de estratégias militares.
Cholesky morreu de ferimentos recebidos no campo de batalha em 31 de Agosto
1918, 5:00 da manhã no Norte da França.
O método recebeu pouca atenção após a sua publicação em 1924, mas Jack Todd
incluiu em seus cursos de análise no Kings College, em Londres, durante a Segunda
Guerra Mundial.
Em 1948, o método foi analisada num artigo de Fox , Huskey e
Wilkinson , enquanto no mesmo ano Turing publicou um artigo sobre a
estabilidade do processo.
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Introdução
Método de Cholesky
Exemplos
André Louis Cholesky (1875-1918)
André-Louis Cholesky nasceu em Montguyon na região Marítima Charentes da
França ao norte de Bordeaux.
Foi oficial do exército francês. O método de Cholesky foi muito usado para
solucionar problemas de estratégias militares.
Cholesky morreu de ferimentos recebidos no campo de batalha em 31 de Agosto
1918, 5:00 da manhã no Norte da França.
O método recebeu pouca atenção após a sua publicação em 1924, mas Jack Todd
incluiu em seus cursos de análise no Kings College, em Londres, durante a Segunda
Guerra Mundial.
Em 1948, o método foi analisada num artigo de Fox , Huskey e
Wilkinson , enquanto no mesmo ano Turing publicou um artigo sobre a
estabilidade do processo.
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Método de Cholesky
Exemplos
André Louis Cholesky (1875-1918)
André-Louis Cholesky nasceu em Montguyon na região Marítima Charentes da
França ao norte de Bordeaux.
Foi oficial do exército francês. O método de Cholesky foi muito usado para
solucionar problemas de estratégias militares.
Cholesky morreu de ferimentos recebidos no campo de batalha em 31 de Agosto
1918, 5:00 da manhã no Norte da França.
O método recebeu pouca atenção após a sua publicação em 1924, mas Jack Todd
incluiu em seus cursos de análise no Kings College, em Londres, durante a Segunda
Guerra Mundial.
Em 1948, o método foi analisada num artigo de Fox , Huskey e
Wilkinson , enquanto no mesmo ano Turing publicou um artigo sobre a
estabilidade do processo.
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Método de Cholesky
Exemplos
André Louis Cholesky (1875-1918)
André-Louis Cholesky nasceu em Montguyon na região Marítima Charentes da
França ao norte de Bordeaux.
Foi oficial do exército francês. O método de Cholesky foi muito usado para
solucionar problemas de estratégias militares.
Cholesky morreu de ferimentos recebidos no campo de batalha em 31 de Agosto
1918, 5:00 da manhã no Norte da França.
O método recebeu pouca atenção após a sua publicação em 1924, mas Jack Todd
incluiu em seus cursos de análise no Kings College, em Londres, durante a Segunda
Guerra Mundial.
Em 1948, o método foi analisada num artigo de Fox , Huskey e
Wilkinson , enquanto no mesmo ano Turing publicou um artigo sobre a
estabilidade do processo.
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Método de Cholesky
Exemplos
André Louis Cholesky (1875-1918)
André-Louis Cholesky nasceu em Montguyon na região Marítima Charentes da
França ao norte de Bordeaux.
Foi oficial do exército francês. O método de Cholesky foi muito usado para
solucionar problemas de estratégias militares.
Cholesky morreu de ferimentos recebidos no campo de batalha em 31 de Agosto
1918, 5:00 da manhã no Norte da França.
O método recebeu pouca atenção após a sua publicação em 1924, mas Jack Todd
incluiu em seus cursos de análise no Kings College, em Londres, durante a Segunda
Guerra Mundial.
Em 1948, o método foi analisada num artigo de Fox , Huskey e
Wilkinson , enquanto no mesmo ano Turing publicou um artigo sobre a
estabilidade do processo.
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Método de Cholesky
Exemplos
André Louis Cholesky (1875-1918)
Figura: Cholesky e a primeira página de seu Manuscrito
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Método de Cholesky
Exemplos
Introdução
No caso em que a matriz do sistema linear for simétrica, podemos simplificar os
cálculos da decomposição LU significativamente, levando em conta tal simetria. Tal
estratégia, é denominada método de Cholesky, que é amparada na seguinte corolário:
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Método de Cholesky
Exemplos
Introdução
Corolário 1.1
Se A é simétrica (A = At) positiva definida (det(Ak) > 0, para todo k), então A pode
ser decomposta unicamente no produto G · G t , onde G é uma matriz triangular
inferior com elementos diagonais positivos.
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Método de Cholesky
Exemplos
Esquema Prático
Como na decomposição LU, tínhamos L · U = A, neste caso, temos G · G t = A, isto é,
(1)
g11
g21 g22 0
g31 g32 g33
...
...
...
. . .
gn1 gn2 gn3 · · · gnn
 ·

g11 g21 g31 · · · gn1
g22 g23 · · · gn2
g33 · · · g3n
0 . . . ...
gnn
 =

a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
a31 a32 a33 . . . a3n
...
...
...
. . .
...
a1n a2n a3n . . . ann
 .
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Método de Cholesky
Exemplos
Esquema Prático
Como na decomposição LU, tínhamos L · U = A, neste caso, temos G · G t = A, isto é,
(1)
g11
g21 g22 0
g31 g32 g33
...
...
...
. . .
gn1 gn2 gn3 · · · gnn
 ·

g11 g21 g31 · · · gn1
g22 g23 · · · gn2
g33 · · · g3n
0 . . . ...
gnn
 =

a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
a31 a32 a33 . . . a3n
...
...
...
. . .
...
a1n a2n a3n . . . ann
 .
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Método de Cholesky
Exemplos
Método de Cholesky
Observação 2.1
(i) Uma maneira conveniente de determinar os elementos da matriz G é calcular na
seguinte ordem:
g11, g21, g31, . . . , gn1; g22, g32, . . . , gn2; . . . , gnn .
(ii) O método de Cholesky requer menos cálculos que a decomposição LU. Desde que
A é positiva definida, teremos somente raízes quadradas de números positivos.
(iii) Na decomposição LU, sabemos que det(A) = u11 u22 . . . unn. Como na
decomposição de Cholesky, A = G G t , resulta que
det(A) = det(G ) · det(G t)
= [det(G )]2
= (g11 g22 . . . gnn)
2 .
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Método de Cholesky
Exemplos
Método de Cholesky
Observação 2.1
(i) Uma maneira conveniente de determinar os elementos da matriz G é calcular na
seguinte ordem:
g11, g21, g31, . . . , gn1; g22, g32, . . . , gn2; . . . , gnn .
(ii) O método de Cholesky requer menos cálculos que a decomposição LU.
Desde que
A é positiva definida, teremos somente raízes quadradas de números positivos.
(iii) Na decomposição LU, sabemos que det(A) = u11 u22 . . . unn. Como na
decomposição de Cholesky, A = G G t , resulta que
det(A) = det(G ) · det(G t)
= [det(G )]2
= (g11 g22 . . . gnn)
2 .
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Método de Cholesky
Exemplos
Método de Cholesky
Observação 2.1
(i) Uma maneira conveniente de determinar os elementos da matriz G é calcular na
seguinte ordem:
g11, g21, g31, . . . , gn1; g22, g32, . . . , gn2; . . . , gnn .
(ii) O método de Cholesky requer menos cálculos que a decomposição LU. Desde que
A é positiva definida, teremos somente raízes quadradas de números positivos.
(iii) Nadecomposição LU, sabemos que det(A) = u11 u22 . . . unn. Como na
decomposição de Cholesky, A = G G t , resulta que
det(A) = det(G ) · det(G t)
= [det(G )]2
= (g11 g22 . . . gnn)
2 .
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Método de Cholesky
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Método de Cholesky
Observação 2.1
(i) Uma maneira conveniente de determinar os elementos da matriz G é calcular na
seguinte ordem:
g11, g21, g31, . . . , gn1; g22, g32, . . . , gn2; . . . , gnn .
(ii) O método de Cholesky requer menos cálculos que a decomposição LU. Desde que
A é positiva definida, teremos somente raízes quadradas de números positivos.
(iii) Na decomposição LU, sabemos que det(A) = u11 u22 . . . unn. Como na
decomposição de Cholesky, A = G G t , resulta que
det(A) = det(G ) · det(G t)
= [det(G )]2
= (g11 g22 . . . gnn)
2 .
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Exemplos
Método de Cholesky
Observação 2.2
(iv) Para resolver o sistema AX = B , onde A satisfaz as condições da método de
Cholesky. Então, a solução X fica determinada pelo seguinte par de sistemas
triangulares: {
G · Y = B
G t · X = Y
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Método de Cholesky
Exemplos
O método de Cholesky
Podemos usar o seguinte esquema para a resolução de sistemas lineares:
A é simétrica
e det(Ak) > 0
∀ k = 1, 2, . . . , n?
Sim O método de Cholesky
é válido!
Obtenha
a matriz
triangular
G
não
O método não é aplicável!
Resolva
o sistema
triangular
inferior
G Y = B
Resolva
o sistema
triangular
superior
G t X = Y
Obtendo
a solução
almejada
X
do sistema
A · X = B
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Método de Cholesky
Exemplos
O método de Cholesky
Podemos usar o seguinte esquema para a resolução de sistemas lineares:
A é simétrica
e det(Ak) > 0
∀ k = 1, 2, . . . , n?
Sim O método de Cholesky
é válido!
Obtenha
a matriz
triangular
G
não
O método não é aplicável!
Resolva
o sistema
triangular
inferior
G Y = B
Resolva
o sistema
triangular
superior
G t X = Y
Obtendo
a solução
almejada
X
do sistema
A · X = B
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Método de Cholesky
Exemplos
O método de Cholesky
Podemos usar o seguinte esquema para a resolução de sistemas lineares:
A é simétrica
e det(Ak) > 0
∀ k = 1, 2, . . . , n?
Sim O método de Cholesky
é válido!
Obtenha
a matriz
triangular
G
não
O método não é aplicável!
Resolva
o sistema
triangular
inferior
G Y = B
Resolva
o sistema
triangular
superior
G t X = Y
Obtendo
a solução
almejada
X
do sistema
A · X = B
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Método de Cholesky
Exemplos
O método de Cholesky
Podemos usar o seguinte esquema para a resolução de sistemas lineares:
A é simétrica
e det(Ak) > 0
∀ k = 1, 2, . . . , n?
Sim O método de Cholesky
é válido!
Obtenha
a matriz
triangular
G
não
O método não é aplicável!
Resolva
o sistema
triangular
inferior
G Y = B
Resolva
o sistema
triangular
superior
G t X = Y
Obtendo
a solução
almejada
X
do sistema
A · X = B
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Exemplos
O método de Cholesky
Podemos usar o seguinte esquema para a resolução de sistemas lineares:
A é simétrica
e det(Ak) > 0
∀ k = 1, 2, . . . , n?
Sim O método de Cholesky
é válido!
Obtenha
a matriz
triangular
G
não
O método não é aplicável!
Resolva
o sistema
triangular
inferior
G Y = B
Resolva
o sistema
triangular
superior
G t X = Y
Obtendo
a solução
almejada
X
do sistema
A · X = B
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Exemplos
O método de Cholesky
Podemos usar o seguinte esquema para a resolução de sistemas lineares:
A é simétrica
e det(Ak) > 0
∀ k = 1, 2, . . . , n?
Sim O método de Cholesky
é válido!
Obtenha
a matriz
triangular
G
não
O método não é aplicável!
Resolva
o sistema
triangular
inferior
G Y = B
Resolva
o sistema
triangular
superior
G t X = Y
Obtendo
a solução
almejada
X
do sistema
A · X = B
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Exemplos
O método de Cholesky
Podemos usar o seguinte esquema para a resolução de sistemas lineares:
A é simétrica
e det(Ak) > 0
∀ k = 1, 2, . . . , n?
Sim O método de Cholesky
é válido!
Obtenha
a matriz
triangular
G
não
O método não é aplicável!
Resolva
o sistema
triangular
inferior
G Y = B
Resolva
o sistema
triangular
superior
G t X = Y
Obtendo
a solução
almejada
X
do sistema
A · X = B
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O método de Cholesky
Podemos usar o seguinte esquema para a resolução de sistemas lineares:
A é simétrica
e det(Ak) > 0
∀ k = 1, 2, . . . , n?
Sim O método de Cholesky
é válido!
Obtenha
a matriz
triangular
G
não
O método não é aplicável!
Resolva
o sistema
triangular
inferior
G Y = B
Resolva
o sistema
triangular
superior
G t X = Y
Obtendo
a solução
almejada
X
do sistema
A · X = B
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Esquema Prático
Elementos Diagonais
a11 = g
2
11
a22 = g
2
21 + g
2
22,
então,
(2)

g11 =
√
a11
gii =
(
aii −
i−1∑
k=1
g2ik
) 1
2
, i = 2, 3, · · · , n .
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Esquema Prático
Elementos Diagonais
a11 = g
2
11
a22 = g
2
21 + g
2
22,
então,
(2)

g11 =
√
a11
gii =
(
aii −
i−1∑
k=1
g2ik
) 1
2
, i = 2, 3, · · · , n .
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Exemplos
Esquema Prático
Elementos não diagonais de G
1 Primeira coluna:
(3) gi1 =
ai1
g11
, i = 2, 3, · · · , n .
2 Segunda Coluna:
(4) gi2 =
ai2 − gi1 g21
g22
, i = 3, 4, · · · , n .
3 Demais colunas:
(5) gij =
aij −
j−1∑
k=1
gikgjk
gjj
, 2 ≤ j < i .
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Esquema Prático
Elementos não diagonais de G
1 Primeira coluna:
(3) gi1 =
ai1
g11
, i = 2, 3, · · · , n .
2 Segunda Coluna:
(4) gi2 =
ai2 − gi1 g21
g22
, i = 3, 4, · · · , n .
3 Demais colunas:
(5) gij =
aij −
j−1∑
k=1
gikgjk
gjj
, 2 ≤ j < i .
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Esquema Prático
Elementos não diagonais de G
1 Primeira coluna:
(3) gi1 =
ai1
g11
, i = 2, 3, · · · , n .
2 Segunda Coluna:
(4) gi2 =
ai2 − gi1 g21
g22
, i = 3, 4, · · · , n .
3 Demais colunas:
(5) gij =
aij −
j−1∑
k=1
gikgjk
gjj
, 2 ≤ j < i .
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Exemplos
Exemplo 3.1
Seja
A =
 4 2 −42 10 4
−4 4 9
 .
(a) Verifique-se A satisfaz as condições do método de Cholesky;
(b) Decomponha A em G · G t ;
(c) Calcule det(A);
(d) Resolva o sistema A · X = B , onde B = (0 6 5)t , empregando o método de
Cholesky.
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Método de Cholesky
Exemplos
Solução: (a) De antemão, veja que A é simétrica, pois A = At .
Ela também é positiva definida, uma vez que
det(A1) = 4 > 0 ;
det(A2) = 36 > 0 ;
det(A3) = det(A) = 36 > 0 .
Assim, pelo Corolário 1.1, o método de Cholesky é assegurado, ou seja, a matriz A é
decomponível no produto G · G t .
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Método de Cholesky
Exemplos
Solução: (a) De antemão, veja que A é simétrica, pois A = At .
Ela também é positiva definida, uma vez que
det(A1) = 4 > 0 ;
det(A2) = 36> 0 ;
det(A3) = det(A) = 36 > 0 .
Assim, pelo Corolário 1.1, o método de Cholesky é assegurado, ou seja, a matriz A é
decomponível no produto G · G t .
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Exemplos
Solução: (a) De antemão, veja que A é simétrica, pois A = At .
Ela também é positiva definida, uma vez que
det(A1) = 4 > 0 ;
det(A2) = 36 > 0 ;
det(A3) = det(A) = 36 > 0 .
Assim, pelo Corolário 1.1, o método de Cholesky é assegurado, ou seja, a matriz A é
decomponível no produto G · G t .
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Exemplos
Solução: (a) De antemão, veja que A é simétrica, pois A = At .
Ela também é positiva definida, uma vez que
det(A1) = 4 > 0 ;
det(A2) = 36 > 0 ;
det(A3) = det(A) = 36 > 0 .
Assim, pelo Corolário 1.1, o método de Cholesky é assegurado, ou seja, a matriz A é
decomponível no produto G · G t .
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Exemplos
(b)
Pelo item anterior,
(6)
G · G t = Ag11 0 0g21 g22 0
g31 g32 g33
 ·
g11 g21 g310 g22 g32
0 0 g33
 =
 4 2 −42 10 4
−4 4 9
 .
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Método de Cholesky
Exemplos
1a coluna de G
Uma vez que o primeiro elemento da coluna de G está na diagonal, usemos a fórmula
(2):
g11 =
√
a11 =
√
4 = 2;
Como os demais elementos da coluna não estão na diagonal, devemos usar a fórmula
(3):
gi1 =
ai1
g11
, i = 2, 3 .
Assim,
g21 =
a21
g11
=
2
2
= 1;
g31 =
a31
g11
=
−4
2
= −2;
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Exemplos
1a coluna de G
Uma vez que o primeiro elemento da coluna de G está na diagonal, usemos a fórmula
(2):
g11 =
√
a11 =
√
4 = 2;
Como os demais elementos da coluna não estão na diagonal, devemos usar a fórmula
(3):
gi1 =
ai1
g11
, i = 2, 3 .
Assim,
g21 =
a21
g11
=
2
2
= 1;
g31 =
a31
g11
=
−4
2
= −2;
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Exemplos
1a coluna de G
Uma vez que o primeiro elemento da coluna de G está na diagonal, usemos a fórmula
(2):
g11 =
√
a11 =
√
4 = 2;
Como os demais elementos da coluna não estão na diagonal, devemos usar a fórmula
(3):
gi1 =
ai1
g11
, i = 2, 3 .
Assim,
g21 =
a21
g11
=
2
2
= 1;
g31 =
a31
g11
=
−4
2
= −2;
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Exemplos
2a coluna de G
Veja que o primeiro elemento a ser avaliado (lembre-se que G é triangular inferior) é o
elemento da diagonal g22, no qual usaremos a fórmula (2):
gi i =
(
ai i −
i−1∑
k=1
g2ik
) 1
2
⇒ g22 =
a22 −
=1︷ ︸︸ ︷
2 − 1∑
k=1
g22k

1
2
= (a22 − g21)
1
2 =
(
10 − 12
) 1
2 = 3 .
Para os demais elementos da segunda coluna, usaremos a fórmula (4):
gi2 =
ai2 − gi1 g21
g22
, i = 3 .
Deste modo,
g32 =
a32 − g31 g21
g22
=
4 − (−2) · 1
3
= 2 .
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Exemplos
2a coluna de G
Veja que o primeiro elemento a ser avaliado (lembre-se que G é triangular inferior) é o
elemento da diagonal g22, no qual usaremos a fórmula (2):
gi i =
(
ai i −
i−1∑
k=1
g2ik
) 1
2
⇒ g22 =
a22 −
=1︷ ︸︸ ︷
2 − 1∑
k=1
g22k

1
2
= (a22 − g21)
1
2
=
(
10 − 12
) 1
2 = 3 .
Para os demais elementos da segunda coluna, usaremos a fórmula (4):
gi2 =
ai2 − gi1 g21
g22
, i = 3 .
Deste modo,
g32 =
a32 − g31 g21
g22
=
4 − (−2) · 1
3
= 2 .
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Exemplos
2a coluna de G
Veja que o primeiro elemento a ser avaliado (lembre-se que G é triangular inferior) é o
elemento da diagonal g22, no qual usaremos a fórmula (2):
gi i =
(
ai i −
i−1∑
k=1
g2ik
) 1
2
⇒ g22 =
a22 −
=1︷ ︸︸ ︷
2 − 1∑
k=1
g22k

1
2
= (a22 − g21)
1
2 =
(
10 − 12
) 1
2 = 3 .
Para os demais elementos da segunda coluna, usaremos a fórmula (4):
gi2 =
ai2 − gi1 g21
g22
, i = 3 .
Deste modo,
g32 =
a32 − g31 g21
g22
=
4 − (−2) · 1
3
= 2 .
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Introdução
Método de Cholesky
Exemplos
2a coluna de G
Veja que o primeiro elemento a ser avaliado (lembre-se que G é triangular inferior) é o
elemento da diagonal g22, no qual usaremos a fórmula (2):
gi i =
(
ai i −
i−1∑
k=1
g2ik
) 1
2
⇒ g22 =
a22 −
=1︷ ︸︸ ︷
2 − 1∑
k=1
g22k

1
2
= (a22 − g21)
1
2 =
(
10 − 12
) 1
2 = 3 .
Para os demais elementos da segunda coluna, usaremos a fórmula (4):
gi2 =
ai2 − gi1 g21
g22
, i = 3 .
Deste modo,
g32 =
a32 − g31 g21
g22
=
4 − (−2) · 1
3
= 2 .
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Método de Cholesky
Exemplos
2a coluna de G
Veja que o primeiro elemento a ser avaliado (lembre-se que G é triangular inferior) é o
elemento da diagonal g22, no qual usaremos a fórmula (2):
gi i =
(
ai i −
i−1∑
k=1
g2ik
) 1
2
⇒ g22 =
a22 −
=1︷ ︸︸ ︷
2 − 1∑
k=1
g22k

1
2
= (a22 − g21)
1
2 =
(
10 − 12
) 1
2 = 3 .
Para os demais elementos da segunda coluna, usaremos a fórmula (4):
gi2 =
ai2 − gi1 g21
g22
, i = 3 .
Deste modo,
g32 =
a32 − g31 g21
g22
=
4 − (−2) · 1
3
= 2 .
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Método de Cholesky
Exemplos
2a coluna de G
Veja que o primeiro elemento a ser avaliado (lembre-se que G é triangular inferior) é o
elemento da diagonal g22, no qual usaremos a fórmula (2):
gi i =
(
ai i −
i−1∑
k=1
g2ik
) 1
2
⇒ g22 =
a22 −
=1︷ ︸︸ ︷
2 − 1∑
k=1
g22k

1
2
= (a22 − g21)
1
2 =
(
10 − 12
) 1
2 = 3 .
Para os demais elementos da segunda coluna, usaremos a fórmula (4):
gi2 =
ai2 − gi1 g21
g22
, i = 3 .
Deste modo,
g32 =
a32 − g31 g21
g22
=
4 − (−2) · 1
3
= 2 .
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Método de Cholesky
Exemplos
2a coluna de G
Veja que o primeiro elemento a ser avaliado (lembre-se que G é triangular inferior) é o
elemento da diagonal g22, no qual usaremos a fórmula (2):
gi i =
(
ai i −
i−1∑
k=1
g2ik
) 1
2
⇒ g22 =
a22 −
=1︷ ︸︸ ︷
2 − 1∑
k=1
g22k

1
2
= (a22 − g21)
1
2 =
(
10 − 12
) 1
2 = 3 .
Para os demais elementos da segunda coluna, usaremos a fórmula (4):
gi2 =
ai2 − gi1 g21
g22
, i = 3 .
Deste modo,
g32 =
a32 − g31 g21
g22
=
4 − (−2) · 1
3
= 2 .
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Exemplos
2a coluna de G
Veja que o primeiro elemento a ser avaliado (lembre-se que G é triangular inferior) é o
elemento da diagonal g22, no qual usaremos a fórmula (2):
gi i =
(
ai i −
i−1∑
k=1
g2ik
) 1
2
⇒ g22 =
a22 −
=1︷ ︸︸ ︷
2 − 1∑
k=1
g22k

1
2
= (a22 − g21)
1
2 =
(
10 − 12
) 1
2 = 3 .
Para os demais elementos da segunda coluna, usaremos a fórmula (4):
gi2 =
ai2 − gi1 g21
g22
, i = 3 .
Deste modo,
g32 =
a32 − g31 g21
g22
=
4 − (−2) · 1
3
= 2 .
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Método de Cholesky
Exemplos
3a coluna de G
Para esta coluna, só nos resta calcular o elemento da diagonal g33 dado pela fórmula
(2):
gi i
=
(
ai i −
i−1∑
k=1
g2ik
) 1
2
⇒ g33 =
a33 −
=2︷ ︸︸ ︷
3 − 1∑
k=1
g23k

1
2
= (a33 − (g31 + g32))
1
2
=
(
9 − (−2)2 − (−2)2
) 1
2 = 1 .
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3a coluna de G
Para esta coluna, só nos resta calcular o elemento da diagonal g33 dado pela fórmula
(2):
gi i =
(
ai i −
i−1∑
k=1
g2ik
) 1
2
⇒ g33 =
a33 −
=2︷ ︸︸ ︷
3 − 1∑
k=1
g23k

1
2
= (a33 − (g31 + g32))
1
2
=
(
9 − (−2)2 − (−2)2
) 1
2 = 1 .
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Método deCholesky
Exemplos
3a coluna de G
Para esta coluna, só nos resta calcular o elemento da diagonal g33 dado pela fórmula
(2):
gi i =
(
ai i −
i−1∑
k=1
g2ik
) 1
2
⇒ g33 =
a33 −
=2︷ ︸︸ ︷
3 − 1∑
k=1
g23k

1
2
= (a33 − (g31 + g32))
1
2
=
(
9 − (−2)2 − (−2)2
) 1
2 = 1 .
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Exemplos
3a coluna de G
Para esta coluna, só nos resta calcular o elemento da diagonal g33 dado pela fórmula
(2):
gi i =
(
ai i −
i−1∑
k=1
g2ik
) 1
2
⇒ g33 =
a33 −
=2︷ ︸︸ ︷
3 − 1∑
k=1
g23k

1
2
= (a33 − (g31 + g32))
1
2
=
(
9 − (−2)2 − (−2)2
) 1
2 = 1 .
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Exemplos
3a coluna de G
Para esta coluna, só nos resta calcular o elemento da diagonal g33 dado pela fórmula
(2):
gi i =
(
ai i −
i−1∑
k=1
g2ik
) 1
2
⇒ g33 =
a33 −
=2︷ ︸︸ ︷
3 − 1∑
k=1
g23k

1
2
= (a33 − (g31 + g32))
1
2
=
(
9 − (−2)2 − (−2)2
) 1
2 = 1 .
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Método de Cholesky
Exemplos
Portanto,
(7)
G · G t = A 2 0 01 3 0
−2 2 1
 ·
2 1 −20 3 2
0 0 1
 =
 4 2 −42 10 4
−4 4 9
 .
(c) Temos que
det(A) = (g11 · g22 · g33)2
= (2 · 3 · 1)2 = 36 .
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Exemplos
Portanto,
(7)
G · G t = A 2 0 01 3 0
−2 2 1
 ·
2 1 −20 3 2
0 0 1
 =
 4 2 −42 10 4
−4 4 9
 .
(c) Temos que
det(A) = (g11 · g22 · g33)2
= (2 · 3 · 1)2 = 36 .
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Exemplos
(d)
Para obter a solução do sistema AX = B, devemos resolver primeiramente o sistema
triangular inferior G · Y = B donde G t · X = Y .
Em verdade,
G · Y = B ⇒
 2 0 01 3 0
−2 2 1
 ·
y1y2
y3
 =
06
5

⇒

2 y1 = 0
⇒ y1 = 0
y1 + 3 y2 = 6
⇒ y2 = 2
−2 y1 + 2 y2 + y3 = 5
⇒ y3 = 1
,
Logo, a solução do sistema G · Y = B é Y = (0 2 1)t .
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Exemplos
(d)
Para obter a solução do sistema AX = B, devemos resolver primeiramente o sistema
triangular inferior G · Y = B donde G t · X = Y .
Em verdade,
G · Y = B ⇒
 2 0 01 3 0
−2 2 1
 ·
y1y2
y3
 =
06
5

⇒

2 y1 = 0
⇒ y1 = 0
y1 + 3 y2 = 6
⇒ y2 = 2
−2 y1 + 2 y2 + y3 = 5
⇒ y3 = 1
,
Logo, a solução do sistema G · Y = B é Y = (0 2 1)t .
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Método de Cholesky
Exemplos
(d)
Para obter a solução do sistema AX = B, devemos resolver primeiramente o sistema
triangular inferior G · Y = B donde G t · X = Y .
Em verdade,
G · Y = B ⇒
 2 0 01 3 0
−2 2 1
 ·
y1y2
y3
 =
06
5

⇒

2 y1 = 0 ⇒ y1 = 0
y1 + 3 y2 = 6
⇒ y2 = 2
−2 y1 + 2 y2 + y3 = 5
⇒ y3 = 1
,
Logo, a solução do sistema G · Y = B é Y = (0 2 1)t .
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Método de Cholesky
Exemplos
(d)
Para obter a solução do sistema AX = B, devemos resolver primeiramente o sistema
triangular inferior G · Y = B donde G t · X = Y .
Em verdade,
G · Y = B ⇒
 2 0 01 3 0
−2 2 1
 ·
y1y2
y3
 =
06
5

⇒

2 y1 = 0 ⇒ y1 = 0
y1 + 3 y2 = 6 ⇒ y2 = 2
−2 y1 + 2 y2 + y3 = 5
⇒ y3 = 1
,
Logo, a solução do sistema G · Y = B é Y = (0 2 1)t .
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Exemplos
(d)
Para obter a solução do sistema AX = B, devemos resolver primeiramente o sistema
triangular inferior G · Y = B donde G t · X = Y .
Em verdade,
G · Y = B ⇒
 2 0 01 3 0
−2 2 1
 ·
y1y2
y3
 =
06
5

⇒

2 y1 = 0 ⇒ y1 = 0
y1 + 3 y2 = 6 ⇒ y2 = 2
−2 y1 + 2 y2 + y3 = 5 ⇒ y3 = 1
,
Logo, a solução do sistema G · Y = B é Y = (0 2 1)t .
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Método de Cholesky
Exemplos
Retornando ao sistema triangular superior G t · X = Y , obtemos:
G t · X = Y ⇒
2 −1 20 3 2
0 0 1
 ·
x1x2
x3
 =
02
1

⇒

x3 = 1
3 x2 + 2 x3 = 2
⇒ x2 = 0
2 x1 + x2 − 2 x3 = 0
⇒ x1 = 1
,
Doravante, a solução do sistema A · X = B é X = (1 0 1)t .
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Método de Cholesky
Exemplos
Retornando ao sistema triangular superior G t · X = Y , obtemos:
G t · X = Y ⇒
2 −1 20 3 2
0 0 1
 ·
x1x2
x3
 =
02
1

⇒

x3 = 1
3 x2 + 2 x3 = 2
⇒ x2 = 0
2 x1 + x2 − 2 x3 = 0
⇒ x1 = 1
,
Doravante, a solução do sistema A · X = B é X = (1 0 1)t .
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Método de Cholesky
Exemplos
Retornando ao sistema triangular superior G t · X = Y , obtemos:
G t · X = Y ⇒
2 −1 20 3 2
0 0 1
 ·
x1x2
x3
 =
02
1

⇒

x3 = 1
3 x2 + 2 x3 = 2
⇒ x2 = 0
2 x1 + x2 − 2 x3 = 0
⇒ x1 = 1
,
Doravante, a solução do sistema A · X = B é X = (1 0 1)t .
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Exemplos
Retornando ao sistema triangular superior G t · X = Y , obtemos:
G t · X = Y ⇒
2 −1 20 3 2
0 0 1
 ·
x1x2
x3
 =
02
1

⇒

x3 = 1
3 x2 + 2 x3 = 2 ⇒ x2 = 0
2 x1 + x2 − 2 x3 = 0
⇒ x1 = 1
,
Doravante, a solução do sistema A · X = B é X = (1 0 1)t .
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Exemplos
Retornando ao sistema triangular superior G t · X = Y , obtemos:
G t · X = Y ⇒
2 −1 20 3 2
0 0 1
 ·
x1x2
x3
 =
02
1

⇒

x3 = 1
3 x2 + 2 x3 = 2 ⇒ x2 = 0
2 x1 + x2 − 2 x3 = 0 ⇒ x1 = 1
,
Doravante, a solução do sistema A · X = B é X = (1 0 1)t .
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Método de Cholesky
Exemplos
Retornando ao sistema triangular superior G t · X = Y , obtemos:
G t · X = Y ⇒
2 −1 20 3 2
0 0 1
 ·
x1x2
x3
 =
02
1

⇒

x3 = 1
3 x2 + 2 x3 = 2 ⇒ x2 = 0
2 x1 + x2 − 2 x3 = 0 ⇒ x1 = 1
,
Doravante, a solução do sistema A · X = B é X = (1 0 1)t .
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Método de Cholesky
Exemplos
Retornando ao sistema triangular superior G t · X = Y , obtemos:
G t · X = Y ⇒
2 −1 20 3 2
0 0 1
 ·
x1x2
x3
 =
02
1

⇒

x3 = 1
3 x2 + 2 x3 = 2 ⇒ x2 = 0
2 x1 + x2 − 2 x3 = 0 ⇒ x1 = 1
,
Doravante, a solução do sistema A · X = B é X = (1 0 1)t .
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Exemplos
Exemplo
Exemplo 3.2
Usando o método de Cholesky, resolva o seguinte sistema linear1 1 01 2 −1
0 −1 3
 x1x2
x3
 =
21
5

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