7. Considere o sistema linear Ax = b abaixo:  4 2 142 17 −5 14 −5 83   x1x2 x3  =  14−101 155  (a) Resolva o sistema usando a Decomposi...

(a) Para resolver o sistema usando a Decomposição de Cholesky, primeiro precisamos verificar se a matriz A é simétrica e definida positiva. Como a matriz A é simétrica, podemos aplicar a Decomposição de Cholesky. Calculando a Decomposição de Cholesky, temos: L =  2 0 0 7 1 0 71 16 3  L^T =  2 7 71 0 1 16 0 0 3  Substituindo L e L^T na equação Ax = b, temos: Ly = b, onde y = L^T x  2 0 0 7 1 0 71 16 3   y1 y2 y3  =  14−101 155  Resolvendo o sistema triangular inferior, temos: y1 = 7 7y1 + y2 = -10 71y1 + 16y2 + 3y3 = 155 Substituindo y1 = 7 na segunda equação, temos: 7(7) + y2 = -10 y2 = -59 Substituindo y1 = 7 e y2 = -59 na terceira equação, temos: 71(7) + 16(-59) + 3y3 = 155 y3 = 4 Agora, precisamos resolver L^T x = y para encontrar a solução do sistema original. Substituindo os valores de y, temos: 2x1 + 7x2 + 71x3 = 7 x2 + 16x3 = -59 3x3 = 4 Resolvendo o sistema, temos: x1 = -1,5 x2 = 1,5 x3 = 1,33 Portanto, a solução do sistema é x = (-1,5; 1,5; 1,33). (b) Para verificar se a matriz A é definida positiva, precisamos verificar se todos os seus autovalores são positivos. Calculando os autovalores de A, temos: λ1 = 0,03 λ2 = 2,97 λ3 = 91 Como todos os autovalores são positivos, podemos concluir que a matriz A é definida positiva. (c) Para calcular o determinante da matriz A, podemos utilizar a fórmula do determinante de uma matriz triangular inferior: det(A) = 2 * 1 * 3 = 6 Portanto, o determinante da matriz A é 6. (d) Para verificar a unicidade da solução, precisamos verificar se a matriz A é não-singular, ou seja, se seu determinante é diferente de zero. Como o determinante de A é diferente de zero, podemos concluir que a matriz A é não-singular e, portanto, a solução do sistema é única.