Prova 2 Geometria analítica e álgebra linear

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Prova 2 de Geometria Analítica e Álgebra Linear (MA71B) 
Semestre Letivo: 2020/2 – Turma S73 – Prof. Nunes 
07/05/2021 
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Questão 1 (valor: 2,5) 
Considere n o último algarismo do número do seu registro acadêmico. 
Obs: o aluno que colocar o valor de n errado terá a questão zerada. 
a) Determinar todos os valores de k, para que os vetores do conjunto { (𝒏 + 𝟏, 1,1), (0,1,0), (𝒌, 0,1) } sejam L.I. (Linearmente 
Independentes). 
Resolução: 
𝑎 ⋅ (𝒏 + 𝟏, 1,1) + 𝑏 ⋅ (0,1,0) + 𝑐 ⋅ (𝒌, 0,1) = (0,0,0) (0,5) 
⇒ {
(𝒏 + 𝟏)𝑎
1𝑎
1𝑎
 +
 +
 +
0𝑏
1𝑏
0𝑏
 
 +
 +
+
𝒌𝑐
0𝑐
1𝑐
=
=
=
0
0
0
⇒ Condição: 𝑑𝑒𝑡 [
𝒏 + 1 0 𝑘
1 1 0
1 0 1
] ≠ 0 ⇒ 𝒌 ≠ 𝒏 + 𝟏 (1,0) 
Substituindo o valor de n: 
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
k ≠ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
b) Determinar o valor de p, para que o vetor (𝒏, 6, 𝒑), pertença ao subespaço do 𝑅3 gerado pelos vetores (1,0,2) e (0,3, −1). 
Resolução: 
(𝒏, 6, 𝒑) = 𝑎(1,0,2) + 𝑏(0,3, −1) (𝟎, 𝟓) ⇒ {
1𝑎
0𝑎
2𝑎
 +
 +
−
0𝑏
3𝑏
1𝑏
 
=
=
=
𝒏
6
𝒑
⇒ {
𝑎
𝑏
𝒑
 
= 
=
=
𝒏
2
𝟐𝒏 − 𝟐
 ⇒ 𝒑 = 𝟐𝒏 − 𝟐 (0,5) 
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
p = −2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 
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Questão 2 (valor: 2,5) 
Dada a transformação linear T: 𝑅2 → 𝑅2, tal que: 𝑇(1, −1) = (6,3) e 𝑇(2,  0) = (4,2), encontre: 
a) A regra desta transformação T(x, y) 
b) O núcleo Ker(T), desta transformação 
c) Qual a dimensão da imagem de T ? 
Resolução: 
a) Cálculo da regra de T: (𝑥, 𝑦) = 𝑎(1, −1) + 𝑏(2,0) 
{
𝑎 + 2𝑏 = 𝑥
−𝑎 = 𝑦
⇒ 𝑎 = −𝑦 e 𝑏 =
𝑥+𝑦
2
 (0,4) Então: (𝑥, 𝑦) = −𝑦(1, −1) + (
𝑥+𝑦
2
) (2,0) 
𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑇[ −𝑦(1, −1) + (
𝑥+𝑦
2
) (2,0) ] ⇒ 𝑇(𝑥, 𝑦) = −𝑦𝑇(1, −1) + (
𝑥+𝑦
2
) 𝑇(2,0) 
𝑇(𝑥, 𝑦) = −𝑦(6,3) + (
𝑥+𝑦
2
) (4,2) ⇒ 𝑇(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 − 4𝑦, 𝑥 − 2𝑦) (0,8) 
b) Cálculo do Ker (T): 
{
2𝑥 − 4𝑦 = 0
𝑥 − 2𝑦 = 0
⇒ 𝑥 = 2𝑦 ⇒ Ker (T) = [ (2,1) ] (0,7) 
c) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 − 4𝑦, 𝑥 − 2𝑦) = 𝑥(2,1) + 𝑦(−4, −2) ⇒ 𝐼𝑚(𝑇) = [(2,1), (−4, −2)] = [(2,1)] 
Base para Im(T)={ (2,1)}⇒ Dim 𝐼𝑚(𝑇) = 1 (0,6) 
mateus mattos
 
Questão 3 (valor: 2,5) 
Dado o operador linear T: 𝑅2 → 𝑅2, tal que T(x, y) = (6𝑥 − 4𝑦,   3𝑥 − 𝑦), ache: 
a) a equação característica de T 
b) os autovalores de T 
c) os autovetores correspondentes 
Resolução: 
a) 𝑑𝑒𝑡 [
(6 − 𝜆) −4
3 (−1 − 𝜆)
] = 0 ⇒ (6 − 𝜆)(−1 − 𝜆) + 12 = 0 ⇒ 𝜆2 − 5𝜆 + 6 = 0 (0,5) 
b) 𝜆2 − 5𝜆 + 6 = 0 ⇒ {
𝜆1 = 2
𝜆2 = 3
 (1,0) 
c) 
Para 𝜆1 = 2: 
 [
6 −4
3 −1
] ⋅ [
𝑥
𝑦] = 2 ⋅ [
𝑥
𝑦] ⇒ {
6𝑥 − 4𝑦 = 2𝑥
3𝑥 − 𝑦 = 2𝑦
⇒ {
4𝑥 − 4𝑦 = 0
3𝑥 − 3𝑦 = 0
⇒ {
𝑦 = 𝑥
𝑥 ≠ 0
⇒ (𝑥, 𝑥),  𝑥 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ∙ (1,1),  𝑥 ≠ 0 (0,5) 
Para 𝜆2 = 3: 
[
6 −4
3 −1
] ⋅ [
𝑥
𝑦] = 3 ⋅ [
𝑥
𝑦] ⇒ {
6𝑥 − 4𝑦 = 3𝑥
3𝑥 − 𝑦 = 3𝑦
⇒ {
3𝑥 − 4𝑦 = 0
3𝑥 − 4𝑦 = 0
⇒ {
𝑥 =
4
3
𝑦
𝑦 ≠ 0
⇒ (
4
3
𝑦, 𝑦) ,  𝑦 ≠ 0 ⇒ 𝑦 ∙ (4,3),  𝑦 ≠ 0 (0,5) 
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Questão 4 (valor: 2,5) 
Analise a curva cônica 5𝑥2 + 4𝑦2 + 30𝑥 − 16𝑦 + 41 = 0, encontrando: 
a) a equação reduzida 
b) as coordenadas do centro 
c) a excentricidade 
d) as coordenadas dos focos 
Resolução: 
5𝑥2 + 4𝑦2 + 30𝑥 − 16𝑦 + 41 = 0 ⇒ 5𝑥2 + 30𝑥 + 4𝑦2 − 16𝑦 = −41 ⇒ 5(𝑥2 + 6𝑥) + 4(𝑦2 − 4𝑦) = −41 ⇒ 
5(𝑥2 + 6𝑥 + 𝟗) + 4(𝑦2 − 4𝑦 + 𝟒) = −41 + 𝟒𝟓 + 𝟏𝟔 ⇒ 5(𝑥 + 3)2 + 4(𝑦 − 2)2 = 20 ⇒ 
Equação reduzida da elipse: 
(𝑥+3)2
4
+
(𝑦−2)2
5
= 1 (0,8) 
Centro: (−3, 2) (0,6) 
𝑎2 = 5 𝑏2 = 4 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 ⇒ 5 = 4 + 𝑐2 ⇒ 𝑐 = 1 
Excentricidade: 𝒆 =
𝒄
𝒂
=
𝟏
√𝟓
=
√𝟓
𝟓
 (0,7) 
 
Coordenadas dos focos: 
 
𝐹1 = (𝑥0, 𝑦0 + 𝑐) e 𝐹2 = (𝑥0, 𝑦0 − 𝑐) 
 
𝐹1 = (−3,2 + 1) = (−3,3) e 𝐹2 = (−3,2 − 1) = (−3,1) (0,4)