Distribuições Amostrais - Análise Estatística

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Análise Estatística I
Profa Fernanda 15
CAPITULO 3 – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
Cada estimador do parâmetro θ , é uma função dos valores amostrais, ou
( )nxxxg ,...,, 21=θ! . Logo cada estimador é uma função aleatória de variáveis aleatórias.
A distribuição F (θˆ ) de ( )nxxxg ,...,, 21=θ! é a distribuição amostral de θˆ e f (θˆ ) é a
função densidade de probabilidade amostral de θˆ . Isto é, cada estimador de um
parâmetro θ pode ser calculado como uma estatística de uma amostra aleatória, assim o
estimador de um parâmetro (uma estatística) é também uma v.a, cuja distribuição de
probabilidades é denominada distribuição amostral.
A distribuição amostral é função do tamanho da amostra n , e da distribuição da v.a.
básica F (x). Isto é válido também para distribuições multivariadas.
3.1 Distribuição Amostral da Média ( X )
Teorema 1:
 Seja x uma população de média µ e variância σ² da qual se extrai uma amostra
aleatória de n elementos (x1,x2,....,xn ).
 Designamos x a média amostral da amostra aleatória acima.
 x = ∑ xi/n
 Então: E ( x ) = µ
 Var ( x ) =σ²/n
 E quando n é grande, z = (x-µ) / (σ/ n ), terá aproximadamente distribuição N
(0,1).
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 Demonstração :
 As duas primeiras propriedades decorrem imediatamente das propriedades do valor
esperado (µ) e da variância (σ²).
E ( x ) = E [1/n ∑ xi ] = 1/n ∑ E (xi) = 1/n ∑ µ = (1/n)n µ = µ
 Logo x é um estimador não tendencioso de µ.
Var ( x ) = Var [1/n ∑ xi ] = 1/n² ∑ Var (xi) = 1/n² ∑ σ² = (1/n²)n σ² = σ² /n
 Logo x é um estimador consistente de µ , pois Var ( x ) ⇒ 0 quando n ⇒∞.
A terceira conclusão é fundamentada no Teorema das Combinações Lineares e no
Teorema do Limite Central.
O Teorema das Combinações Lineares diz que: “uma v.a obtida pela combinação linear
de v.a´s normais independentes tem também distribuição Normal”.
Assim, se a distribuição da variável aleatória básica (população) for Normal, então a
distribuição amostral de x também será Normal para qualquer tamanho de amostra n.
A figura abaixo apresenta um caso geral, envolvendo a distribuição amostral de , no caso
da população ser Normal.
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Quanto maior o tamanho da amostra n, menor será a variância de x . Isto é, quando o
tamanho n de uma amostra cresce a média varia cada vez menos.
Por outro lado, se a distribuição da população não for Normal, mas a amostra for
suficientemente grande, resultará, do Teorema do Limite Central (“sob condições
bastante gerais uma v.a, resultante da soma de n v.a independentes, tem distribuição
Normal, no limite de n tendendo a infinito”), que no caso de população infinita ou
amostragem com reposição, a distribuição amostral de x será aproximadamente Normal.
Sendo aproximada esta conclusão ela é também estendia para amostragem sem reposição
de população finita, porém razoavelmente grande, na prática quanto mais simétrica for a
distribuição da população ou quanto mais próxima da normalidade ela estiver melhor
será.
No caso de amostragem sem reposição e população finita, pode-se demonstrar que:
Se X ~N(µ,σ), então:



 


−
−
≈
1
,
2
N
nN
n
Nx
σµ
 onde N é o tamanho da população e n o tamanho da amostra.



−
−
1N
nN
 é chamado fator de correção de população finita.
 Exemplos :
1) Seja x uma população constituída dos seguintes elementos: 2,3,4,5. Extrair todas as
amostras de 2 elementos dessa população, com reposição, e determinar:
Média e Variância da população de x;
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Média e Variância da distribuição amostral das médias.
 Resolução:
µ (x) = (2+3+4+5)/4 = 3.5
σ² (x) = (2-3.5) ² + (3-3.5) ² + (4-3.5)² + (5-3.5)² = 1.25
 4
Amostras de 2 elementos
2 e 2 3 e 2 4 e 2 5 e 2
2 e 3 3 e 3 4 e 3 5 e 3
2 e 4 3 e 4 4 e 4 5 e 4
2 e 5 3 e 5 4 e 5 5 e 5
Médias dessas amostras
2.0 2.5 3.0 3.5
2.5 3.0 3.5 4.0
3.0 3.5 4.0 4.5
3.5 4.0 4.5 5.0
E ( x ) = 3.5 e E ( x ) = µ ( x ) = 3.5
Var ( x ) = 0.625 e Var ( x ) = σ² ( x ) /n = 0.625
 ↑ ↑
 calculado por definição
2) Quando n, o tamanho da amostra, é pequeno e as v.a x1,x2,....,xn , não são normais, x, a
média amostral, não tem necessariamente distribuição normal, pois neste caso o teorema
do limite central não é válido. Quando isto ocorrer, faz-se necessário investigar a
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distribuição de x. Como por exemplo, suponhamos que a v.a amostrada x tem
distribuição Bernoulli:
( ) ( )
( )xx pp
xp
xp
xp −−⇒

=−
=
=
11.
01
1,
)(
Como visto em cálculo das probabilidades I o valor esperado de x é :
E[x] = p → E (x) = 0 × (1-p) + 1 × p = p
e a variância de x é :
σ²x = p (1-p) 22 )0)(1()1()( ppppXVar −−+−=→
então a distribuição de x , média amostral, definida como x = 1/n ∑x, pode ser
determinada investigando a soma :
 y = ∑ xi
como os xi são v.a. com distribuição Bernoulli e sabemos que a soma de n v.a. Bernoulli
é uma v.a. Binomial , temos que y~Bi (n,p).
Como x = y/n , podemos escrever a distribuição de x através de :
( ) ( ) ( )( )
n
n
nn
xpp
xn
n
nxpxp xnnxnYX ,....,
1
,
0
1.. =−



==
−
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3.2 Distribuição Amostral da Variância (S2)
Antes de entrarmos na distribuição amostral da variância, vamos abordar dois assuntos
importantes para a compreensão da distribuição amostral da variância.
3.2.1 Graus de liberdade de uma estatística
Sejam as estatísticas:
n
x
x
n
i
i∑
=
=
1
( )
n
x
n
i
i∑
=
−
=
1
2
2ˆ
µ
σ
Diz-se que elas tem n graus de liberdade, e tal fato pode ser entendido como indicando
haver n valores “livres” de xi que devem ser considerados para se poder calcular o valor
da estatística, isto é, se qualquer dos valores de xi da amostra for desconhecido, o valor da
estatística não pode ser determinado, pois todos os valores da amostra são livres e podem
variar aleatoriamente.
Por outro lado, a estatística S²,
( )
n
xx
S
n
i
i∑
=
−
=
1
2
2
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Por usar x em lugar de µ , a estatística S2 tem um grau de liberdade a menos (ou seja,
tem n-1 g us de liberdade). Isto porque, o cálculo dessa estatística pressupõe que já se
tenha cal
amostra, 
novament
amostra, o
sua média
Portantoσ
Se em lug
(
12
=
∑
=S
n
i
então S´2
graus de l
3.2.2 D
Defini-se 
quadrado
 
1
2 ∑
=
=
φ
φχ
i
 Depende
formas:
ra
nda 21
culado x anteriormente e para tal já usamos uma vez todos os valores da
os quais estariam sendo usados pela 2ª vez para calcular S². Então ao usar
e os valores da amostra para calcular S², dados qualquer (n-1) valores da
 valor restante estará perfeitamente determinado (pelo fato de já conhecermos a
 x ), não sendo, portanto, livre.
2ˆ , tem n graus de liberdade. A estatística , S² tem (n-1) graus de liberdade.
ar da estatística S2, usarmos a estatística S´2, definida como:
)
1
2
−
−
n
xxi
 terá também (n-1) graus de liberdade, pelo mesmo motivo de S2 ter (n-1)
iberdade.
istribuição Qui-Quadrado (χ²)
uma variável aleatória χχχχ², com ΦΦΦΦ graus de liberdade, como sendo a soma do
 de ΦΦΦΦ variáveis normais padronizadase independentes, isto é :
2
1
2 ∑
=


 −
=
φ
σ
µ
i
i
i
x
z
ndo do número de graus de liberdade, a distribuição de χ² assume as seguintes
f( 2φχ
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Propriedades mais importantes da distribuição Qui-Quadrado:
1) Para n ⇒ ∞ , a distribuição 2χ tende a Normal
2) Média : µ (χ²) = E (χ²) = Φ
3) Moda : Mo (χ²) = Φ - 2
4) Variância: Var (χ²) = 2Φ
5) Sejam duas v.a. independentes 2
1φχ e 
2
2φχ . Pode-se provar que sua soma também será
uma variável com distribuição χ² , com Φ1 + Φ2 graus de liberdade , isto é:
2
2
22
121 φφφφ χχχ +=+
Esta é chamada “propriedade da aditividade”, a qual pode ser generalizada para k
variáveis χ² independentes
3.2.3 Distribuição da Variância amostral S² - Teorema de Fisher
Seja x uma população normal de média µ e variância σ² .
Se
2
φχ
22
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σ
xx
z ii
−
=
é uma v.a normal padronizada, então a soma dos 2iz é uma variável aleatória Qui-
quadrado com (n-1) graus de liberdade.
( ) 2
1
1
2
2
−
=
=
−∑ nn
i
i xx χ
σ
Os valores de xi são conhecidos e σ² uma constante. Então:
( ) 2 12
1
2 .
−
=
=−∑ nn
i
i xx χσ
Partindo-se desta expressão, tem-se :
( ) 2
1
2
1
2
.
11 −
=
−
=
−
−∑ nn
i
i
nn
xx χσ
Como,
( ) 2
1
2
1
S
n
xxn
i
i
=
−
−∑
=
é a estatística que define o estimador não-tendencioso de 2σ , temos:
2
1
2
2
1 −−
= nn
S χσ
ou seja, S², estimador não tendencioso de σ², tem distribuição χ², com (n-1) graus de
liberdade. A partir deste resultado, pode-se calcular os parâmetros da distribuição
amostral de S².
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O valor esperado de S2 é:
[ ] [ ] ( ) 222 122 122 1.111 σ
σχσχσ =−
−
=
−
=


−
=
−−
n
n
E
nn
ESE nn
Assim:
E [S²] = σ² e portanto S² é um estimador não tendencioso (justo) de σ².
A variância de S² é:
[ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( )1
2
12
1
.
1
.
1
4
2
4
2
12
4
2
1
2
2
−
=−
−
=
−
=


−
=
−− n
n
n
Var
nn
VarSVar nn
σσχσχσ
Assim:
[ ]
1
2 42
−
=
n
SVar
σ
 
e S² é um estimador assintoticamente consistente de σ² , pois Var [S²]
= 0, quando n → ∞.
 
Estes parâmetros , são os parâmetros da distribuição amostral de S² , quando S² é
definido como:
 
( )
1
12
−
−∑
=
n
xx
S
n
i
i
Isto é , S² é o estimador não tendencioso de σ² . Entretanto se tomarmos S² como:
( )
n
xx
S
n
i
i∑
=
−
12
que é o estimador tendencioso de σ² , teremos para qualquer distribuição de x:
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( ) 2
1
1
2
2
−
=
=
−∑ nn
i
i xx χ
σ
( ) 2 12
1
2
−
=
=−∑ nn
i
i xx χσ
( ) 2
1
2
1
2
−
=
=
−∑ nn
i
i
nn
xx χσ
Como: 
( ) 2
1
2
S
n
xxn
i
i
=
−∑
=
Logo : 2 1
2
2
−
= nn
S χσ
Tomando o valor esperado de S² , temos:
E [S²] = E [ 2
2
χσ
n
] = 
n
2σ
 E [χ²] = 
n
2σ
 (n-1) = 
n
n 1−
 σ²= σ² - σ²/n
E a variância de S² , é :
 Var (S²) = (µ4−µ22) / n - 2( µ4−2µ22) / n² + (µ4−3µ22) / n3
Como µ22 = σ² , para n grande, temos :
[ ] [ ] ( ) ( ) 4
22
4
2
12
4
2
1
2
2 1212 σ
σχσχσ
n
n
n
n
Var
nn
SVar nn
−
=−==



=
−−
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3.3 Distribuição Amostral da Freqüência (f)
Seja uma população finita, p a probabilidade de sucesso de um certo evento e q = (1-p) a
insucesso .
Suponha disponível uma amostra aleatória composta de n elementos desta população, se
o evento sucesso tiver ocorrido z vezes. Então Z (freqüência absoluta), número de
sucessos é uma v.a. Binomial com:
E[Z] = n . p
Var[Z] = n . p . q
 Z ~ Bi (np,npq)
Logo a distribuição da freqüência relativa, f = z/n , será Binomial com :
E[f] = E[z/n] = 1/n e[z] = (1/n) n . p = p
Var[f] = Var [z/n] = (1/n²) Var (z) = (1/n²).n .p . q = p .q /n
Se a amostra for suficientemente grande pode-se aproximar a Binomial por uma
Normal de mesma média e mesma variância.
Na prática uma amostra é grande suficiente quando n . p � 15 e n . p .q � 15 ou ainda
para p próximo de 0,5 e se n > 30 e então :
 f ~ N [ p , p .q/n ]
e
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 �
n
pq
pf −
��→→→→� N(0,1)
Se tivermos interessados na freqüência absoluta, Z, devemos lembrar que E[z] = np e
Var[z] = npq e Z ~Bi(np, npq), porém para n suficientemente grande, Z poderá ser
considerada também N(np, npq).
Quando não conhecemos o valor de p , que é o parâmetro populacional, podemos
substituir p por f, pois como vimos f é um estimador de p não tendencioso e
consistente (recomenda-se nestes casos utilizar n > 30).
3.4 Distribuição Amostral da Mediana (Me)
Consideramos aqui que a população da v.a. X é normal e o tamanho da amostra n é maior
que 30 , o que nos conduzirá aos resultados que serão apresentados.
Seja X uma v.a. normalmente distribuída, então a mediana (Me) de X (valor de
probabilidade 0,5) terá distribuição amostral normal, com :
 E (Me) = µ (µ (µ (µ (x)
 Var (Me) = 1,5708 
( )
n
x2σ
µ (X) = média dos X (população)
σ²(X) = variância dos X (população)
Os valores µ (x) e σ²(x) podem ser estimados pelos valores amostrais.
3.5 Distribuição Amostral do Coeficiente de Variação (Cv)
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Seja X uma população normal, então a distribuição amostral do coeficiente de variação
também será normal com :
E (
^
CV ) = CV = σσσσ(x)/ µ ( µ ( µ ( µ (x)
Var (
^
CV ) = 
n
CVCV
2
])(21[)( 22 +
Onde : 
^
CV = coeficiente de variação amostral
 CV= coeficiente de variação populacional
 CV(x) = σσσσ(x)/ µ ( µ ( µ ( µ (x)
3.6 Distribuição Amostral da Diferença
3.6.1 Entre duas Médias Amostrais
Suponhamos que :
X1 ~ N (µµµµ1111 , σ , σ , σ , σ²1) e X2 ~ N (µµµµ2222 , σ , σ , σ , σ²2)
Assim , dos resultados já vistos temos :
( )12111 /, nNX σµ≈ e ( )22222 /, nNX σµ≈
Temos que a distribuição amostral da diferença ou soma será também uma distribuição
normal, com :
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 [ ] [ ] [ ] 212121 µµ ±=±=± XEXEXXE
[ ] [ ] [ ] 2221212121 // nnXVarXVarXXVar σσ +=+=±
Desta forma :
( ))/()/(; 2221212121 nnNXX σσµµ +±=±
sendo a variável padrão Z , igual a :
Z = 
2
2
2
1
1
2
2121 )()(
nn
xx
σσ
µµ
+
±−±
Z ~N(0,1)
3.6.2 Entre duas Freqüências
Seja f1 e f2 proporções amostrais:
f1~N (p1 , p1q1/n1) e f2 ~ N (p2 , p2q2/n2)
válidos quando n>30, então a distribuição amostral da soma ou diferença será
aproximadamente normal com :
E ( f1± f2 ) = E(f1) ± E(f2) = p1 ± p2
Var (f1 ± f2) = Var (f1) + Var (f2) = p1q1/n1 + p2q2/n2
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(f1± f2) ~ N [ p1 ± p2 ; p1q1/n1 + p2q2/n2 ]
Quando não conhecemos os valores de p1 e p2, que são os parâmetros populacionais e
n>30, substituímos p1 por f1 e p2 por f2 , logo :
q1 = 1 – f1 e q2 = 1 – f2
e Z a v.a. padronizada será :
Z = 
2
22
1
11
2121 )()(
n
qp
n
qp
ppff
+
±−±
	CAPITULO 3 – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS