Prova 1, Estruturas Algébricas

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Existem várias atividades práticas que podem ser aplicadas a alunos do 8º e 9º ano do Ensino Fundamental, em que podemos utilizar o conceito de ordem no conjunto dos números reais. Uma delas é a localização de pontos e resultados de operações na reta numérica dos números reais. Baseado nisto, analise a reta numérica a seguir, sobre a posição do valor a² . b, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) À direita de 1. ( ) Entre b e 1. ( ) Entre -1 e 0. ( ) Entre 0 e b. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
F - V - F - V.
B
V - V - V - F.
C
F - F - F - V.
D
V - F - V - F.
2Os números reais, munidos das operações de adição e multiplicação, possuem estrutura de corpo. A teoria fundamental dos corpos é uma das principais ferramentas para estudar as propriedades fundamentais dos números. Quais dos seguintes conjuntos possuem a mesma estrutura?
A
Inteiros.
B
Irracionais.
C
Racionais.
D
Naturais.
3Os números reais podem ser vistos como a união entre os conjuntos de números racionais e os de números irracionais. É importante lembrar que o conjunto dos números racionais possui todos os termos dos seguintes conjuntos: Números Naturais e Números Inteiros. Sendo assim, com relação aos números racionais e irracionais, podemos afirmar que:
A
A soma de dois números irracionais é sempre número irracional.
B
O produto de dois números irracionais é sempre um número racional.
C
Se a representação decimal infinita de um número é periódica, então esse número é racional.
D
Os números que possuem representação periódica são irracionais.
4Estudamos as relações binárias e suas propriedades, em particular, as relações simétricas. A seguir, temos quatro relações definidas sobre o conjunto A = {1, 3, 5}, sendo que apenas uma delas é simétrica. Assinale a alternativa CORRETA que indica esta relação:
A
Somente a opção IV está correta.
B
Somente a opção II está correta.
C
Somente a opção I está correta.
D
Somente a opção III está correta.
Uma relação binária trata-se de um conjunto formado por pares retirados do produto cartesiano entre dois conjuntos, segundo uma "regra" que varia de relação para relação. Em especial, consideremos, no conjunto dos inteiros positivos, a relação binária * definida por a * b = c, onde c é máximo divisor comum entre a e b. Classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) * é comutativa. ( ) * é associativa. ( ) 1 é o elemento neutro. ( ) a * a = a, para todo a. ( ) Para cada a, existe b tal que a * b = 1. Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
V - V - V - V - F.
B
F - V - F - F - F.
C
F - V - F - F - V.
D
V - F - V - V - V.
6Na Matemática, temos o agrupamento de números semelhantes que resultam nos conjuntos numéricos. A partir disto, podemos associá-los mediante notações de inclusão. Contudo, é claro que é muito importante observar as restrições que acompanham cada um dos conjuntos envolvidos. A partir das relações a seguir, assinale a alternativa CORRETA:
A
Somente a sentença III está correta.
B
Somente a sentença I está correta.
C
Somente a sentença II está correta.
D
Somente a sentença IV está correta.
7Para desenvolver a matemática hoje estudada, inúmeras mudanças na organização de todos os conceitos matemáticos foram necessárias. A concepção dos conjuntos numéricos recebeu maior rigor em sua construção com Georg Cantor, que pesquisou a respeito do número infinito. Cantor iniciou diversos estudos sobre os conjuntos numéricos, constituindo, assim, a teoria dos conjuntos. Em especial, estudamos os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. Sobre estes conjuntos, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) Dois terços é um número real menor que 1. ( ) O número pi é um número real. ( ) 3,11121314... é um número irracional; logo, é um número real. ( ) Raiz quadrada de -4 é um número real. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
F - F - V - V.
B
V - F - V - V.
C
F - V - F - V.
D
V - V - F - F.
8Conjunto pode ser definido como o agrupamento de elementos que possuem características semelhantes e, quando esses elementos são números, tais conjuntos são chamados de conjuntos numéricos. Agora, considere o conjunto numérico a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
A
Quatro destes números são racionais.
B
Todos os números deste conjunto são números reais.
C
Há dois números naturais neste conjunto.
D
Apenas um número deste conjunto é irracional.
Você provavelmente já deve ter visto muitas frações e números decimais durante o curso. Entretanto, você sabia que elas possuem algo em comum? As frações e os números decimais pertencem a um mesmo conjunto numérico, o Conjunto dos Números Racionais. Sobre o número racional, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) Tem sempre um número finito de ordens (casas) decimais. ( ) Tem sempre um número infinito de ordens (casas) decimais. ( ) Não pode expressar-se em forma decimal exata. ( ) Nunca se expressa em forma de uma decimal inexata. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
F - F - F - F.
B
V - V - V - V.
C
V - V - F - F.
D
F - F - V - V.
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Considere que o conjunto A possui 2 elementos e o conjunto B possui 3 elementos.
Quanto possuirá o conjunto P(A  x B)?
A
6 elementos.
B
24 elementos.
C
234 elementos.
D
36 elementos.