Probabilidade e Estatística Aplicadas à Engenharia

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Daniel M. Rosa Probabilidade e estatística aplicadas à engenharia
Probabilidade e estatística aplicada à engenharia
Daniel M. Rosa
Aula 5Aula 5
2º Semestre de 2009
Universidade de Brasília - Faculdade UnB Gama
Daniel M. Rosa Probabilidade e estatística aplicadas à engenharia
Análise Combinatória
Defini-se fatorial de n por n!
n! = n(n - 1)(n - 2)(n - 3)...1
Por definição 0! = 1
• Permutação
– Amostra sem reposição: Uma permutação de n objetos 
diferentes, tomados r de cada vez, é um arranjo de r dos n objetos, 
levando-se em consideração a ordem de sua disposição.
O número de permutações de n objetos, tomados r de cada vez é
representado por
.
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Análise combinatória
Em particular 
O número de permutações de n objetos distribuídos em grupos 
dos quais n1 são iguais, n2 são iguais, ... nk são iguais, é:
onde n1 + n2 + ... + nk = n
– Amostragem com Reposição: Considere uma amostragem com 
reposição, como por exemplo uma urna contendo n bolas e se 
selecione k bolas, uma de cada vez, repondo a bola na urna após o 
evento. 
S = nk elementos.
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Exemplos
1. Suponha que um clube possua 25 membros, e que um 
presidente e um secretário serão escolhidos entre os membros. 
De quantas maneiras estes cargos podem ser preenchidos?
Solução: 
2. Suponha que seis livros diferentes serão arrumados em uma 
estante. O número de possíveis permutações dos livros é
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Exemplos
1. Suponha que um clube possua 25 membros, e que um 
presidente e um secretário serão escolhidos entre os membros. 
De quantas maneiras estes cargos podem ser preenchidos?
Solução: Como as posições podem ser preenchidas, escolhendo-se 
primeiro o presidente dentre os 25 membros, e depois o 
secretário dentre os 24 restantes, o número total de maneiras 
que os cargos poderão ser preenchidos será:
P225 =(25)(24) = 600.
2. Suponha que seis livros diferentes serão arrumados em uma 
estante. O número de possíveis permutações dos livros é 6! = 
720.
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Exemplos
3. O número de permutações da palavra estatística é
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Análise combinatória
• Combinações
Uma combinação de n objetos tomados k de cada vez, é uma escolha dos n 
objetos, não se levando em consideração a ordem de sua posição.
O cálculo (ou fórmula) para combinações pode ser obtido através de uma 
permutação:
– Sabe-se que o número de permutações de n elementos tomados k de cada vez é
Pkn
– Uma combinação particular de k elementos é selecionada. Cada diferente 
permutação desses r elementos levará a uma permutação na lista.
– Como há k! permutações desses k elementos, esta combinação particular 
produzirá k! permutações na lista. Quando uma combinação diferente de k 
elementos é selecionada, k! outras permutações na lista são obtidas. Como cada 
combinação de k elementos produzirá k! permutações, o número total de 
permutações na lista será de k! . Ckn isto é, Pkn= k! . Ckn
.
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Probabilidade Condicional
Se A e B são dois eventos, a probabilidade de A ocorrer, depois de B ter 
acontecido, é representada por P(A/B) (probabilidade de A dado B) e é
denominada probabilidade condicional de A, depois de B ter ocorrido.
• A probabilidade do evento A muda após se ter aprendido que o evento B 
ocorreu. Como se sabe que o evento B ocorreu, então sabemos que o 
resultado do evento A será um dos incluídos em B. Então, para calcular a 
probabilidade que A ocorrerá, devemos considerar o conjunto dos possíveis 
resultados de B que também resultariam na ocorrência de A. Este conjunto 
é precisamente A ∩ B. Então a probabilidade condicional P(A/B) é uma 
proporção da probabilidade total P(B) que é representada pela probabilidade 
P(A ∩ B).
, P(B) > 0
Se P(B) = 0 a P(A/B) não é definida.
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Probabilidade Condicional
• Probabilidade Condicional para Eventos Independentes
Se A e B forem independentes, então P(A ∩ B) = P(A) . P(B). 
Logo,
ou
Teorema: Suponha que A1, A2, ..., An sejam quaisquer eventos tais 
que
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Exemplo
Suponha que 4 bolas sejam selecionadas, uma de cada vez, sem 
reposição, de uma urna contendo v bolas vermelhas e a azuis.
(v ≥ 2, a ≥ 2). Qual a probabilidade de se obter uma sequência
de resultados vermelho, azul, vermelho, azul?
– vj : uma bola vermelha é retirada na j-ésima vez
– aj : uma bola azul é retirada na j-ésima vez
onde j=1,2,3,4
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Exemplo
Suponha que 4 bolas sejam selecionadas, uma de cada vez, sem 
reposição, de uma urna contendo v bolas vermelhas e a azuis.
(v ≥ 2, a ≥ 2). Qual a probabilidade de se obter uma sequência
de resultados vermelho, azul, vermelho, azul?
– vj : uma bola vermelha é retirada na j-ésima vez
– aj : uma bola azul é retirada na j-ésima vez
onde j=1,2,3,4