Probabilidade e Estatística Aplicadas à Engenharia

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Probabilidade e estatística aplicada à engenharia
Daniel M. Rosa
Aula 10Aula 10
Daniel M. Rosa Probabilidade e estatística aplicadas à engenharia
Universidade de Brasília - Faculdade UnB Gama
E d U V iá l Al tó iEsperança de Uma Variável Aleatória
O número E(X) é também denominado valor esperado de X, média de X ou 
média da distribuição É o primeiro momento em torno da origem Indica amédia da distribuição. É o primeiro momento em torno da origem. Indica a 
tendência central da v.a.
Di ib i õ Di• Distribuições Discretas
Suponha que uma variável aleatória (v.a.) X possua uma distribuição discreta 
cuja f.d.p. é p(x). A esperança de X, denotada por E(X), é um número 
d fi iddefinido por:
Exemplo
Suponha que uma v.a. X possa assumir somente quatro valores: -2, 0, 1 e 4, e 
que P(X = -2) = 0,1; P(X = 0) = 0,4; P(X = 1) = 0,3; P(X = 4) = 0,2.
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q ( ) , ; ( ) , ; ( ) , ; ( ) ,
E(x) = -2 . (0,1) + 0 . (0,4) + 1 . (0,3) + 4 . (0,2) = 0,9
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• Distribuições Contínuas
Se uma variável aleatória (v.a.) X possui uma distribuição contínua 
com f.d.p. f(x), então a esperança E(X) é definida por
Exemplo
Suponha que a f.d.p. de uma v.a. X com uma distribuição contínua 
seja:seja:
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• Propriedades da Esperança
1. Se a é uma constante qualquer E(X ± a) = E(X) ± a
2. Se a é uma constante qualquer E(aX) = a . E(X)
3. Se X1, X2, ..., Xn são n variáveis aleatórias tais que E(Xi) existe (i 
= 1, 2,..., n), então
E(X1 + X2 + ... + Xn) = E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn)
4. Se X1, X2, ..., Xn são n variáveis aleatórias independentes, tais 
que E(X ) existe (i = 1 2 n) entãoque E(Xi) existe (i = 1, 2, ..., n), então
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Exemplos:
a) Suponha que E(X) = 5. Então:
E(3X - 5) = 3E(X) - 5 = 10 e
E(-3X + 15) = -3E(X) + 15 = 0E(-3X + 15) = -3E(X) + 15 = 0
b) Suponha que três v.a. X1, X2 e X3 formem uma amostra aleatória de uma 
distribuição para o qual a média é 5. Determinar o valor de 
E(2X1-3X2+X3 - 4).
E(2X1 - 3X2 + X3 - 4) = 2E(X1) - 3E(X2) + E(X3) - 4
= 2(5) - 3(5) + 5 - 4
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= 10 - 15 + 5 - 4 = - 4
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Exemplos
c) Suponha que X1, X2 e X3 são v.a. independentes tais que 
E(Xi = 0) e E(Xi2 = 1), para i = 1, 2, 3. Determinar E[X12 (X2 -
4X )2]4X3)2]
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É o segundo momento em torno da média. Sendo X é uma v.a. 
com média  = E(X). A variância de x, representada por 
Var(X) é definida por
V (X) E [( )2] d E(X)Var(X) = E [(x - )2], onde  = E(X)
• Variáveis Aleatórias Discretas
S p nh q m X p m di trib i ã di r t jSuponha que uma v.a. X possua uma distribuição discreta, cuja 
f.d.p. é p(x). Então:
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Exemplo:
Suponha que uma v.a. X possa assumir somente quatro valores: -2,
0, 1 e 4, e que P(X = -2) = 0,1; P(X = 0) = 0,4; P(X = 1) = 0,3; 
P(X 4) 0 2 C i i E(X) 0 9 E ãP(X = 4) = 0,2. Como visto anteriormente, E(X) = 0,9. Então
ouou
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• Variáveis Aleatórias Contínuas
Para uma v.a. X com uma distribuição contínua, cuja f.d.p. é f(x). 
Então
f d dExemplo: Suponha que a f.d.p. de uma v.a. X com uma 
distribuição contínua seja:
Com E(X) = 2/3
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Com E(X) = 2/3
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Exemplo
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• Exemplos de duas distribuições hipotéticas
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• Propriedades da Variância
1. Var(X) = 0 se e somente se existe uma constante c tal que 
P(X = c) = 1
2. Var(aX) = a2Var(X)
3. Var(X + a) = Var(X)
2 24. Var(X) = E(X2) - [E(X)]2
5. Se X1, X2, ..., Xn são v.a. independentes, então Var(X1 ± X2 ± ... 
± X ) = Var(X ) + Var(X ) + + Var(X )± Xn) = Var(X1) + Var(X2) + ... + Var(Xn)
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Exercício:
Seja uma v.a. com média  e desvio padrão . Calcular a média e 
variância de:
a) Z = 3X - 7
b) Z = (X – 7)/2
/c) Z = (X-)/
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Resolução
a) E(Z) = 3 - 7
Var(Z) = 92
b) E(Z) =/2 – 7/2
V (Z) = 2/4Var(Z) = 2/4
c) E(Z) = / / = 0c) E(Z) = / - / = 0
Var(Z) = 2/2 = 1
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Exercícios: 
1. Lançamento de uma moeda três vezes. X = número de caras.
2. fX(x) = x, 0 x 1;
=2-x, 1 x 2;
= 0, caso contrário.
a) Distribuição de probabilidade;
b) 
c) 2
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