CONJUNTOS

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CONJUNTOS
NOÇÕES PRIMITIVAS E NOTAÇÃO
Conjunto, elemento e pertinência entre elemento e conjunto 
são noções primitivas, ou seja, conceitos iniciais para os quais não há 
de� nição.
Um conjunto costuma ser denotado por uma letra maiúscula e os 
seus elementos por letras minúsculas entre chaves. Assim, o conjunto 
A de elementos a, b e c é denotado por A = {a,b,c}.
Um conjunto pode ser representado gra� camente por um 
diagrama de Venn, onde cada conjunto é representado por uma 
curva fechada. Os elementos pertencentes ao conjunto localizam-se 
no interior dessa curva e os elementos não pertencentes ao conjunto, 
em seu exterior.
Se a é um elemento do conjunto A, diz-se que a pertence a 
A e denota-se a ∈ A.
Se d não é elemento de A, diz-se que d não pertence a A e 
denota-se d ∉ A.
Exemplo:
Seja o conjunto A = {1,2}, então 1 ∈ A, 2 ∈ A e 3 ∉ A.
Um conjunto pode ser descrito pela citação de seus elementos ou 
por uma propriedade característica.
Exemplo:
A = {a,e,i,o,u} = {x | x é vogal}
CONJUNTO VAZIO
O conjunto vazio é o conjunto que não possui elementos e é 
denotado por ∅ ou { }.
Exemplo:
A = {x | x é ímpar e múltiplo de 2} = ∅
CONJUNTO UNITÁRIO
Um conjunto unitário é um conjunto que possui somente um 
elemento.
Exemplos:
A = {1}
B = {x | x é um número primo par} = {2}
C = {{1,2,3}} é um conjunto unitário de elemento {1,2,3}.
ProBizu
O conjunto {∅} é um conjunto unitário de elemento ∅.
CONJUNTO UNIVERSO
Quando todos os conjuntos em análise são subconjuntos de um 
mesmo conjunto, este recebe o nome de conjunto universo e denota-
se por U.
CONJUNTOS IGUAIS
Dois conjuntos são iguais se possuem os mesmos elementos.
A = B ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇔ x ∈ B)
Exemplos:
{a,b,c} = {b,c,a}
{a,b,c} ≠ {a,b,c,d}
{a,b,c,a,c} = {a,b,c}, pois ambos os conjuntos possuem os mesmos 
elementos a, b e c.
SUBCONJUNTOS
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B, denotado 
por A ⊂ B, se, e somente se, todo elemento de A é também elemento 
de B.
A ⊂ B ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B)
Exemplos:
{a,b} ⊂ {a,b,c,d}; {a,b} ⊄ {b,c,d}
O diagrama de Venn a seguir representa dois conjuntos A e B tais 
que A ⊂ B.
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CONJUNTOS
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PROPRIEDADES DA INCLUSÃO
Para quaisquer conjuntos A, B e C, tem-se:
∅ ⊂ A
A ⊂ A (propriedade re� exiva)
(A ⊂ B ∧ B ⊂ A) ⇒ A = B (propriedade antissimétrica)
(A ⊂ B ∧ B ⊂ C) ⇒ A ⊂ C (propriedade transitiva)
• A é um subconjunto próprio de B quando A ⊂ B e A ≠ B.
Exemplo:
{1,2} é um subconjunto próprio de {1,2,3}
• O conjunto vazio não tem nenhum subconjunto próprio.
• Qualquer conjunto não vazio tem vazio como subconjunto 
próprio.
CONJUNTO DAS PARTES 
(OU CONJUNTO POTÊNCIA)
O conjunto das partes ou conjunto potência de um determinado 
conjunto A é o conjunto formado por todos os subconjuntos do 
conjunto A e é denotado por P (A).
Exemplo:
A = {a,b} ⇒ P(A) = {∅, {a}, {b}, {a,b}}
Se #(X) representa a quantidade de elementos do conjunto X, a 
quantidade de elementos do conjunto das partes de um conjunto 
A pode ser calculada pela expressão abaixo:
#(P(A)) = 2#(A)
OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
UNIÃO DE CONJUNTOS
Dados dois conjuntos A e B, a sua união é o conjunto formado por 
todos os elementos que pertençam a A ou a B.
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
Exemplo:
{a,b} ∪ {b,c} = {a,b,c}
O diagrama de Venn abaixo representa a união dos conjuntos A 
e B.
Propriedades:
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer, então:
• A ∪ A = A (idempotente)
• A ∪ ∅ = A (elemento neutro)
• A ∪ B = B ∪ A (comutativa)
• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (associativa)
NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO
O número de elementos da união de conjuntos pode ser calculado 
com base no princípio da inclusão-exclusão. A seguir estão as relações 
para o caso de dois e três conjuntos:
#(A ∪ B) = #(A) + #(B) – #(A ∩ B)
#(A ∪ B ∪ C) = #(A) + #(B) + #(C) – #(A ∩ B) –
– #(A ∩ C) – #(B ∩ C) + #(A ∩ B ∩ C)
INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS
Dados dois conjuntos A e B, a sua interseção é o conjunto formado 
pelos elementos que pertencem a A e B, ou seja, pelos elementos 
comuns aos dois conjuntos.
A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
Exemplos:
{a,b,c,d} ∩ {c,d,e} = {c,d}; {a,b} ∩ {c,d} = ∅
O diagrama de Venn a seguir representa a interseção de dois 
conjuntos A e B.
CONJUNTOS DISJUNTOS
Conjuntos disjuntos são conjuntos cuja interseção é o conjunto 
vazio, ou seja, não possuem elementos comuns.
A e B são disjuntos ⇔ A ∩ B = ∅
Propriedades:
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer, então:
• A ∩ A = A (idempotente)
• A ∩ ∅ = ∅
• A ∩ B = B ∩ A (comutativa)
• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (associativa)
PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA 
DA UNIÃO E DA INTERSEÇÃO
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
DIFERENÇA DE CONJUNTOS
A diferença entre dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem a A e não pertencem a B.
A – B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}
Exemplos:
{a,b,c,d} – {c,d,e} = {a,b}; {a,b} – {a,b,c} = ∅; {a,b} – {c,d} = {a,b}
Os diagramas de Venn a seguir representam as diferenças A – B 
e B – A.
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COMPLEMENTAR DE B EM A
Dados dois conjuntos A e B, tais que B ⊂ A, chama-se 
complementar de B em relação a A o conjunto A – B.
B ⊂ A ⇒ CA
B = A – B
Exemplos:
A = {a,b,c} e B = {a,b}, B ⊂ A ⇒ CA
B = A – B = {c}
Se B não for um subconjunto de A, então CA
B não está de� nido.
ProBizu
Leis de De Morgan
A B A B
A B A B
� � �
� � �
C(A), A e A’ são notações que representam o complementar de A 
em relação ao universo.
DIFERENÇA SIMÉTRICA
A diferença simétrica de dois conjuntos A e B é o conjunto dos 
elementos que pertencem a um, e somente a um, dos conjuntos A e 
B, e denota-se por A∆B.
A∆B = (A – B) ∪ (B – A) = (A ∪ B) – (A ∩ B)
Exemplo:
{a,b,c} ∆ {b,c,d} = {a,d}
O diagrama de Venn a seguir representa a diferença simétrica de 
dois conjuntos A e B.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS 
 = {0,1,2,3,...}
É fechado em relação à adição e multiplicação.
O conjunto dos naturais positivos  - {0} é denotado por.
* = {1,2,3,...} 
Propriedades:
Tricotomia: dados dois naturais a e b quaisquer, tem-se que ou 
a < b ou a = b ou a > b. 
Princípio da boa-ordenação: todo subconjunto não-vazio dos 
números naturais possui um menor elemento.
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 
Além de ser fechado em relação à adição e multiplicação, o 
conjunto dos números inteiros também é fechado em relação à 
subtração.
 = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} 
SUBCONJUNTOS IMPORTANTES
Conjunto dos inteiros não nulos
* = {...,-3,-2,-1,1,2,3,...} 
Conjunto dos inteiros não negativos
+ = {0,1,2,3,...}
Conjunto dos inteiros não positivos
- = {...,-3,-2,-1,0}
Conjunto dos inteiros positivos
{ }+ = * 1,2,3,
Conjunto dos inteiros negativos
{ }− = − − − * , 3, 2, 1
VALOR ABSOLUTO OU MÓDULO DE UM INTEIRO
≥
= − <
a, se a 0
a
a, se a 0
Propriedades:
a) ≥x 0
b) − ≤ ≤x x x
c) ⋅ = ⋅x y x y
d) =2x x
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS
É o conjunto dos números que podem ser obtidos pela divisão de 
dois inteiros.
 = ∈ ∈ 
 
  
*a a , b
b
TODOS os números inteiros são também números racionais.
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OPERAÇÕES BEM DEFINIDAS
Igualdade: = ⇔ =
a c
ad bc
b d
Adição:
+
+ =
a c ad bc
b d bd
Multiplicação: ⋅ =
a c ac
b d bd
Divisão: ÷ = ⋅
a c a d
b d b c
REPRESENTAÇÃO DECIMAL DOS NÚMEROS 
RACIONAIS E NÚMEROS IRRACIONAIS
Todo número racional, pode ser representado na forma decimal. 
Essa representação pode ser � nita (decimal exato) ou in� nita e 
periódica (dízimas periódicas).
Todo número que não pode ser escrito como fração de dois 
números inteiros, isto é, que não são decimais exatos e nem são 
dízimas periódicas é um número irracional. 
Exemplos:
a) 2
b) π
c) 3 3
d) e
GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA 
É fração ordinária cuja representação decimal é uma dízima 
periódica: O numerador é a parte inteira seguida de parte não-
periódica seguida do período, menos a parte inteira seguida da 
parte não-periódica e o denominador é o número formado de tantos 
9 quantos forem osalgarismos do período, seguidos de tantos 0 
quantos forem os algarismos da parte não-periódica após a vírgula.
Exemplos:
a) 
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = =
0,333...
3 1
x 0,333... 10x 3,333.. 9x 3 x
9 3
b) 
= ⇔ = ⇔ = ⇔
−
− = − ⇔ = − ⇔ =
= =
0,2777...
x 0,2777... 10x 2,777... 100x 27,777...
27 2
100x 10x 27 2 90x 27 x x
90
25 5
x
90 18
c) 
= ⇔ = ⇔ =
−
− = − ⇔ = = =
2,4333...
x 2,4333.. 10x 24,333... 100x 243,333...
243 24 219 73
100x 10x 243 24 x
90 90 30
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 
O conjunto dos números reais  é a união do conjunto dos 
números racionais com o conjunto dos números irracionais (dízimas 
não-periódicas).
= ∪  
Além de ser fechado em relação à adição, subtração, multiplicação 
e divisão, o conjunto dos números reais também é fechado em relação 
à radiciação de números não negativos.
Nos conjuntos numéricos abordados valem as seguintes relações:
⊂ ⊂ ⊂
⊂
   
 
RETA REAL
Existe uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos 
pontos de uma reta orientada e o conjunto dos números reais.
 
O módulo de um número pode ser de� nido como a distância entre 
o ponto correspondente ao número na reta real e a origem da mesma.
INTERVALOS REAIS
Dados dois números reais a < b, de� ne-se:
De� nição:
I. [ ] { }= ∈ ≤ ≤a,b x ;a x b
II. [ ) { }= ∈ ≤ <a,b x ;a x b
III. ( ] { }= ∈ < ≤a,b x ;a x b
IV. ( ) { }= ∈ < <a,b x ;a x b
V. [ ) { }+∞ = ∈ ≤a, x ;a x
VI. ( ] { }−∞ = ∈ ≤,a x ;x a
VII. ( ) { }−∞ = ∈ <,a x ;x a
Um intervalo em  é o próprio conjunto  ou dos subconjuntos 
acima. Os intervalos estão representados abaixo na reta rela.
Intervalo fechado em a e b:
[ ] { }= ∈ ≤ ≤a,b x a x b
Intervalo fechado em a e aberto em b:
[ [ [ ) { }= = ∈ ≤ <a,b a,b x a x b
Intervalo aberto em a e fechado em b: 
] ] ( ] { }= = ∈ < ≤a,b a,b x a x b
Intervalo aberto em a e b: 
] [ ( ) { }= = ∈ < <a,b a,b x a x b
Intervalo aberto em a até + ∞:
] [ ( ) { }+∞ = +∞ = ∈ >a, a, x x a
Intervalo fechado em a até +∞:
[a, [ [a, ) {x | x a}+∞ = +∞ = ∈ ≥
a
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Intervalo de –∞ até fechado em a:
{ }] ,a] ( ,a] x x a− ∞ = −∞ = ∈ ≤
Intervalo de –∞ até aberto em a:
] [ ( ) { }−∞ = −∞ = ∈ <,a ,a x x a
EXERCÍCIOS DE
FIXAÇÃO
01. Se A = ∅ e B = { ∅ }, então: 
a) A ⊂ B 
b) A ∪ B = ∅
c) A = B 
d) A ∩ B = B
e) B ⊂ A
02. Em relação aos principais conjuntos numéricos, é correto a� rmar que:
a) Todo número inteiro é natural, mas nem todo número natural é 
inteiro.
b) Todo número real é natural, mas nem todo número natural é real.
c) Todo número irracional é real.
d) Todo número racional é natural, mas nem todo número natural 
é racional.
e) Todo número racional é inteiro, mas nem todo número inteiro é 
racional.
03. Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, então o cardinal de 
A é igual a:
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 9 
e) 10
04. Os conjuntos A, B e A ∪ B tem respectivamente, 10, 9 e 15 
elementos. O número de elementos de A ∩ B é:
a) 2
b) 3
c) 4 
d) 6
e) 8
05. Numa Universidade são lidos apenas os jornais X e Y, 80% dos 
alunos leem o jornal X e 60% o jornal Y. sabendo-se que todo aluno 
é leitor de pelo menos um dos dois jornais, assinale a alternativa que 
corresponde ao percentual de alunos que leem ambos.
a) 80%
b) 14%
c) 40%
d) 60%
e) 48% 
06. Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que 
das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a 
sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não comeram nenhuma?
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 0 
07. (ESA) Se A e B são conjuntos quaisquer, não vazios, podemos 
a� rmar que a única opção falsa é:
a) A B B A− =∅ => ⊂
b) A B A A B B∩ = => ∪ =
c) a A e a B a A B∈ ∈ => ∈ ∩
d) a A e A B a B∈ ⊂ => ∈
e) a A B a A ou a B∈ ∪ => ∈ ∈
08. (ESPCEX) Numa pesquisa feita junto a 200 universitários sobre 
o hábito de leitura de dois jornais (A e B), chegou-se às seguintes 
conclusões:
1) 80 universitários leem apenas um jornal;
2) o número dos que não leem nenhum dos jornais é o dobro do 
número dos que leem ambos os jornais.
3) o número dos que leem o jornal A é o mesmo dos que leem 
apenas o jornal B.
Com base nesses dados, podemos a� rmar que o número de 
universitários que leem o jornal B é:
a) 160
b) 140
c) 120
d) 100
e) 80
09. Sendo M(0) o conjunto dos múltiplos de zero e D(0) o conjunto 
dos divisores de zero, M(0) e D(0) são, respectivamente conjuntos: 
a) unitário e in� nito
b) unitário e vazio
c) vazio e unitário
d) vazio e in� nito
e) in� nito e vazio
10. Dados os conjuntos C = {15,25,30,35} e D = {15, 25,40,50}, 
obtenha o n(A B)∪ :
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
EXERCÍCIOS DE
TREINAMENTO
01. (EEAR) “N” é o conjunto dos números naturais, { }= ∈K 3x | x N , 
{ }L 5x | x N= ∈ e { }M 15x | x N= ∈ . A a� rmativa correta é:
a) K L M∪ =
b) ⊂K L
c) − =K L M
d) ∩ =K L M
02. (EEAR) Sejam os conjuntos A = {x ∈ N / x é múltiplo de 2},
B = {x ∈ Z / - 2 < x ≤ 9} e C = {x ∈ R / x ≥ 5}. A soma dos elementos 
que formam o conjunto (A ∩ B) – C é:
a) 9 b) 6 c) 3 d) 1
03. (EEAR) Os elementos de um conjunto A são tais que 10 deles são 
múltiplos de 4; 9 são múltiplos de 6; 8 são múltiplos de 12; e 4 são 
números ímpares. Se A ⊂ (N = conjunto dos números naturais), então 
o número de elementos de A é:
a) 31 b) 25 c) 21 d) 15
04. (EEAR) Seja P o conjunto dos retângulos, Q o conjunto dos 
quadrados e L o conjunto dos losangos. É correto a� rmar que:
a) L ∩ P = L - P
b) L ∩ Q = L - Q
c) L ∩ Q = P
d) L ∩ P = Q
05. (CFOE) Em uma entrevista a um grupo de 979 sargentos da FAB, 
indagou-se sobre o(s) idioma(s) que cada um fala: inglês e espanhol. 
Constatou-se que 527 falam inglês, 251 espanhol e 321 não falam 
nenhum desses idiomas. Com base nessas informações, é INCORRETO 
a� rmar que dos sargentos entrevistados,
a) 120 falam os dois idiomas.
b) mais de 600 falam inglês ou espanhol.
c) 452 não falam inglês.
d) exatamente 130 falam somente espanhol.
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06. (PETROBRÁS) Conversando com os 45 alunos da primeira série 
de um colégio, o professor de educação física veri� cou que 36 alunos 
jogam futebol, e 14 jogam vôlei, sendo que 4 alunos não jogam nem 
futebol nem vôlei. O número de alunos que jogam tanto futebol 
quanto vôlei é:
a) 5
b) 7
c) 9
d) 11
e) 13
07. (ESPCEX) Sendo:
+ , o conjunto dos números reais não negativos,
 , o conjunto dos números racionais,
 , o conjunto dos números inteiros,
 , o conjunto dos números naturais,
A intersecção dos conjuntos + , ( )    e ( )    é igual a
a) ∅
b) +
*
c) *
d) 
e) 
08. (EFOMM) Sejam os conjuntos U {1, 2, 3, 4}= e A {1, 2}= . O 
conjunto B tal que B A {1}∩ = e B A U∪ = é:
a) 0
b) {1}
c) {1,2}
d) {1, 3, 4}
e) U 
09. (EFOMM) Numa companhia de 496 alunos, 210 fazem natação, 
260 musculação e 94 estão impossibilitados de fazer esportes. Neste 
caso, o número de alunos que fazem só natação é:
a) 116
b) 142
c) 166
d) 176
e) 194 
10. (ESPCEX) Sejam os conjuntos A com 2 elementos, B com 3 
elementos e C com 4 elementos. O número de elementos do conjunto 
C [(A B) C]− ∩ ∩ pode variar entre:
a) 2 e 4
b) 2 e 3
c) 0 e 4
d) 0 e 3
e) 0 e 2
11. (AFA) Entrevistando 100 o� ciais da AFA, descobriu-se que 20 
deles pilotam a aeronave TUCANO, 40 pilotam o helicóptero ESQUILO 
e 50 não são pilotos. Dos o� ciais entrevistados, quantos pilotam o 
TUCANO e o ESQUILO?
a) 5
b) 10
c) 15
d) 20
12. (AFA) Em um grupo de n cadetes da Aeronáutica, 17 nadam, 19 
jogam basquetebol, 21 jogam voleibol, 5 nadam e jogam basquetebol, 
2 nadam e jogam voleibol, 5 jogam basquetebol e voleibol e 2 fazem 
os três esportes. Qual o valor de n, sabendo-se que todos os cadetes 
desse grupo praticam pelo menos um desses esportes?
a) 31
b) 37
c) 47
d) 51
13. Em uma entrevista 52 pessoas discutem a preferência por dois 
produtos A e B, entre outros e conclui-se que o número de pessoas 
que gostavam de B era:
I. O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B;
II. O dobro do número de pessoas que gostavam deA;
III. A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B.
Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois 
produtos é igual a:
a) 48
b) 35 
c) 36 
d) 47 
e) 37
14. Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas várias pessoas 
acerca de suas preferências em relação a três produtos, A, B e C. Os 
resultados foram:
• 210 pessoas compraram A
• 210 pessoas compraram B
• 250 pessoas compraram C
• 20 pessoas compraram os três produtos
• 100 pessoas não compraram nenhum produto
• 60 pessoas compraram A e B
• 70 pessoas compraram A e C
• 50 pessoas compraram B e C
Quantas pessoas foram entrevistadas?
a) 670
b) 970
c) 870
d) 610
e) 510
15. Numa classe de 30 alunos, 16 alunos gostam de matemática 
e 20 de história. O número de alunos desta classe que gostam de 
matemática e história é:
a) exatamente 16
b) exatamente 10
c) no mínimo 6
d) exatamente 6
e) exatamente 18
16. (CN) Considere os diagramas onde A, B, C, e U são conjuntos. A 
região sombreada pode ser representada por:
a) ( ) ( ) ( )∩ ∪ ∩ − ∩A B A C B C
b) ( ) ( ) ( )∩ ∪ ∩ − ∪A B A C B C
c) ( ) ( ) ( )∪ ∪ ∩ ∪ ∩A B A C B C
d) ( ) ( ) ( )∪ − ∪ ∩ ∩A B A C B C
e) ( ) ( ) ( )− ∩ − ∩ −A B A C B C
17. No cursinho α, onde se ensina somente Matemática, Física e 
Química, há um corpo docente composto de 24 professores, sendo que
• 12 ensinam Matemática;
• 10 ensinam Física;
• 9 ensinam Química;
• 4 ensinam Matemática e Física;
• e nenhum deles ensina Matemática e Química.
Se o número de professores que ensinam apenas Física é igual ao 
número de professores que ensinam Física e Química, é INCORRETO 
a� rmar que:
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a) 25% do corpo docente ensina apenas Química.
b) o número de professores que ensinam apenas Matemática é 1/3 
do número de professores que compõe o corpo docente.
c) o número de professores que ensinam apenas Física é a metade 
dos que ensinam apenas Química.
d) existem nesta Escola menos professores ensinando Matemática 
ou Física do que professores ensinando Física ou Química.
18. Para uma turma de 80 alunos do CPCAR, foi aplicada uma prova 
de matemática valendo 9,0 pontos distribuídos igualmente em 3 
questões sobre:
1ª) FUNÇÃO
2ª) GEOMETRIA
3ª) POLINÔMIOS
Sabe-se que:
• apesar de 70% dos alunos terem acertado a questão sobre 
FUNÇÃO, apenas 1/10 da turma conseguiu nota 9,0;
• 20 alunos acertaram as questões sobre FUNÇÃO e GEOMETRIA;
• 22 acertaram as questões sobre GEOMETRIA e POLINÔMIOS; e
• 18 acertaram as questões sobre FUNÇÃO e POLINÔMIOS.
A turma estava completa nessa avaliação, ninguém tirou nota zero, 
no critério de correção não houve questões com acertos parciais e o 
número de acertos apenas em GEOMETRIA é o mesmo que o número 
de acertos apenas em POLINÔMIOS.
Nessas condições, é correto a� rmar que:
a) o número de alunos que só acertaram a 2ª questão é o dobro do 
número de alunos que acertaram todas as questões.
b) metade da turma só acertou uma questão.
c) mais de 50% da turma errou a terceira questão.
d) apenas 3/4 da turma atingiu a média maior ou igual a 5,0
19. Sendo  o conjunto dos números reais,  o dos racionais,  o 
dos inteiros e  o dos complexos, considere os conjuntos:
= −A   , = −B   e ( )= − −P   
É correto a� rmar que
a) ≠B P B
b) não existe ∈k  tal que ∈5k 17 B
c) ∈7 B
d) ( ) = A B P B
20. Em uma pesquisa realizada num grupo de 100 alunos do CPCAR, 
constatou-se que 42 falam inglês, 12 falam inglês e francês, 18 falam 
espanhol e inglês e 16 falam espanhol e francês. O número de alunos 
que falam espanhol é, precisamente, 50% maior que o número 
daqueles que falam francês.
Com base nessas informações, julgue os itens abaixo, classi� cando-os 
em (V) verdadeiros ou (F) falsos.
( ) O número de alunos que falam francês é igual a 0,6 do número 
dos que falam espanhol.
( ) Se 9 dos alunos consultados falam as três línguas e 5 não falam 
nenhuma dessas línguas, então mais da metade dos alunos falam 
francês.
( ) Se 9 dos alunos consultados falam as três línguas, espanhol, inglês 
e francês, enquanto 5 deles não falam nenhuma dessas línguas, 
então exatamente 24 desses alunos falam apenas inglês.
A sequência correta é:
a) V – V – F
b) F – V – V
c) V – F – F
d) F – F – V
21. Considere o conjunto G e três de seus subconjuntos A, B e C. Se 
M também é subconjunto de G, considere MG o complemento de M 
em relação à G.
Dados: 
• B ∩ C = {7}
• A ∪ C = {1, 2, 3, 5, 7, 8, 
9, 10}
• A ∪ B = {1, 2, 7, 9, 10}
• (A ∪ B ∪ C)G = {4, 6}
• BG = {3, 4, 5, 6, 8, 9}
Sabendo-se que A e C são conjuntos disjuntos, é FALSO a� rmar que:
a) A, B e C têm o mesmo número de elementos.
b) se S(A), S(B) e S(C) indicam respectivamente a soma dos elementos 
de A, a soma dos elementos de B e a soma dos elementos de C, 
então S(B) < S(A) < S(C)
c) se A ∩ B = D, então D representa todos os divisores de 10
d) no conjunto G existem 4 números que são primos.
22. Analise as alternativas abaixo e marque a correta.
a) Se { }= ∈ <2B m | m 40 , então o número de elementos do 
conjunto B é 6 
b) Se α = +
− +
1 1
2 1 2 1
, então ( ) ( )α ∈ − −     
c) Se c = a + b e b é divisor de a, então c é múltiplo de a, 
necessariamente.
d) Se ] [=A 1, 5 e ] [= −B 3, 3 , então ] [B A 3,1 − = − . 
23. (AFA) Se α = + + + − +2. 2 2. 2 2 2 . 2 2 2 , então 
a) ( )α ∈ − 
b) α pode ser escrito na forma α = ∈2k, k 
c) ( ) ( )α ∈ − −      
d) ( ) ( )− ⊃ α      
24. (AFA) No conjunto universo S dado por 
 é de� nido o subconjunto 
 = ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ 
 
1
M (x,y) x | 0 x 1 e 0 y
2
  . Pode-se a� rmar que MSC é 
igual a:
a) 
b)  ∈ < ≤ ≤ ≤ 
 
1 1
(x,y) x | 0 x e y 1
2 2
 
c)  ∈ < ≤ ≤ ≤ 
 
1 1
(x,y) x | x 1 e 0 y
2 2
 
d) 
25. Sejam os conjuntos A,B e C contidos em um conjunto universo 
U, sabendo que
( )
[ ]
( )
c
c
c
cc c c
n C C B A 25
n C B n C A 0
n A B 19 e n B A 5
  − − =   
 − = − = 
   = − =   

Onde [ ] ( )c2n C n A B =   , calcule ( ) ( ){ } −     cn A B B A C
a) 14
b) 13
c) 12
d) 11
e) 10
22
CONJUNTOS
PROMILITARES.COM.BR
EXERCÍCIOS DE
COMBATE
01. (UFF 1999) Dado o conjunto P = {0,{0},∅,{∅}}, considere as 
a� rmativas:
I. {0} ∈ P
II. {0} ⊂ P
III. ∅ ∈ P
Com relação a estas a� rmativas conclui-se que:
a) todas são verdadeiras.
b) apenas a I é verdadeira.
c) apenas a II é verdadeira.
d) apenas a III é verdadeira.
e) todas são falsas.
02. (EFOMM 2010) Se X é um conjunto com um número � nito de 
elementos, n(X) representa o número de elementos do conjunto X. 
Considere os conjuntos A, B e C com as seguintes propriedades:
• n A B C� �� � � 25
• n A C�� � � 13
• n B A�� � � 10
• n A C n C A B�� � � � �� �� �
O maior valor possível de n (C) é igual a:
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
e) 13
03. (EFOMM 2014) Denotaremos por n (X) o número de elementos 
de um conjunto � nito X. Sejam A, B, C conjuntos tais que 
n A B�� � � 14 , n A C�� � � 14 e n B C�� � � 15 , n A B C� �� � � 17
e n A B C� �� � � 3 . Então n A n B n C� � � � � � � � é igual a:
a) 18
b) 20
c) 25
d) 29
e) 32
04. (ESPCEX 2014) Uma determinada empresa de biscoitos realizou 
uma pesquisa sobre a preferência de seus consumidores em relação 
a seus três produtos: biscoitos cream cracker, wafer e recheados. Os 
resultados indicaram que:
• 65 pessoas compram cream crackers.
• 85 pessoas compram wafers.
• 170 pessoas compram biscoitos recheados.
• 20 pessoas compram wafers, cream crackers e recheados.
• 50 pessoas compram cream crackers e recheados.
• 30 pessoas compram cream crackers e wafers.
• 60 pessoas compram wafers e recheados.
• 50 pessoas não compram biscoitos dessa empresa.
Determine quantas pessoas responderam essa pesquisa.
a) 200
b) 250
c) 320
d) 370
e) 530
05. (ESPCEX 1996) Numa pesquisa feita junto a 200 universitários 
sobre o hábito de leitura de dois jornais (A e B), chegou-se às seguintes 
conclusões:
I. 80 universitários leem apenas um jornal.
II. O número dos quenão leem nenhum dos jornais é o dobro do 
número dos que leem ambos os jornais.
III. O número dos que leem o jornal A é o mesmo dos que leem 
apenas o jornal B.
Com base nesses dados, podemos a� rmar que o número de 
universitários que leem o jornal B é:
a) 160
b) 140
c) 120
d) 100
e) 80
06. (EEAR 2000) Os conjuntos S, T e P são tais que todo elemento 
de S é elemento de T ou P. O diagrama que pode representar esses 
conjuntos é:
a) c)
b) d)
07. (EFOMM 1995) Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei; 
20 jogam vôlei e “Futevôlei”; 22 jogam “Futevôlei” e basquete; 18 
jogam vôlei e basquete; 11 jogam as 3 modalidades. O número de 
pessoas que jogam “Futevôlei” é igual ao número de pessoas que 
jogam basquete. O número de pessoas que jogam “Futevôlei” ou 
basquete e não jogam vôlei é:
a) 55
b) 56
c) 57
d) 58
e) 59
08. (EPCAR 1986) Um conjunto A tem n elementos e p subconjuntos 
e um conjunto B tem 3 elementos a mais do que o conjunto A. Se q é 
o número de subconjuntos de B, então:
a) q = 3p
b) p = 8q
c) p = q + 8
d) p
q
=
1
8
e) q = p + 8
09. (EN 2010) Os 36 melhores alunos do Colégio Naval submeteram-
se a uma prova de 3 questões para estabelecer a antiguidade militar. 
Sabendo que dentre esses alunos, 5 só acertaram a primeira questão, 
6 só acertaram a segunda, 7 só acertaram a terceira, 9 acertaram 
a primeira e a segunda, 10 acertaram a primeira e a terceira, 7 
acertaram a segunda e a terceira e, 4 erraram todas as questões, 
podemos a� rmar que o número de alunos que não acertaram todas 
as 3 questões é igual a:
a) 6
b) 8
c) 26
d) 30
e) 32
23
CONJUNTOS
PROMILITARES.COM.BR
10. Se A, B, C forem conjuntos tais que n(A ∪ B) = 23, n(B – A) = 12,
n(C – A) = 10, n(B ∩ C) = 6 e n(A ∩ B ∩ C) = 4, então n(A), n(A ∪ C), 
n(A ∪ B ∪ C), nesta ordem,
a) formam uma progressão aritmética de razão 6.
b) formam uma progressão aritmética de razão 2.
c) formam uma progressão aritmética de razão 8, cujo primeiro 
termo é 11.
d) formam uma progressão aritmética de razão 10, cujo último 
termo é 31.
e) não formam uma progressão aritmética.
DESAFIO PRO
1 (ITA) Sejam A um conjunto com 8 elementos e B um conjunto tal que A ∪ B contenha 12 elementos. Então, o 
número de elementos de P(B\A) ∪ P( ∅ ) é igual a:
a) 8. 
b) 16.
c) 20. 
d) 17.
e) 9.
2 (ITA) Denotemos por n(X) o número de elementos de um conjunto � nito X. Sejam A, B e C conjuntos tais que
 n(A ∪ B) = 8, n(A ∪ C) = 9, n(B ∪ C) = 10, n(A ∪ B ∪ C) = 11 
e n(A ∩ B ∩ C) = 2. Então, n(A) + n(B) + n(C) é igual 
a) 11. 
b) 14. 
c) 15. 
d) 18. 
e) 25.
3 (ITA) Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das a� rmações:
= ∩ ∪
= ∪ ∩
∪ = ∩
c C
c C C
c C C
I. (A \ B ) \ C A (B C);
II. (A \ B ) \ C A (B C ) ;
III. B C (B C) ,
É(são) sempre verdadeira(s) apenas:
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) I e III. 
e) II e III. 
4 (ITA) Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das a� rmações:
I. ∩ = ∪A \ (B C) (A \ B) (A \ C);
II. ∩ = ∩ ∩C(A C) \ B A B C;
III. ∩ =(A \ B) (B \ C) (A \ B) \ C,
É(são) verdadeira(s):
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas I e II. 
d) apenas I e III. 
e) todas. 
5 (IME) Sejam os conjuntos P1, P2, S1 e S2 tais que ( ) ( )∩ ⊂ ∩ ⊂2 1 1 1 2 2P S P , P S P ( ) ( )∩ ⊂ ∪1 2 1 2S S P P . Demonstre 
que ( ) ( )∩ ⊂ ∩1 2 1 2S S P P .
GABARITO
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. A
02. C
03. E
04. C
05. C
06. A
07. A
08. D
09. A
10. C
EXERCÍCIOS DE TREINAMENTO
01. D
02. B
03. D
04. D
05. C
06. C
07. D
08. D
09. B
10. A
11. B
12. B
13. A
14. D
15. D
16. A
17. D
18. C
19. D
20. C
21. C
22. B
23. A
24. D
25. 5
EXERCÍCIOS DE COMBATE
01. A
02. D
03. D
04. B
05. D
06. C
07. E
08. D
09. D
10. D
DESAFIO PRO
01. B
02. D
03. C
04. C
05. ( ) ( )1 2 1 2S S P P∩ ⊂ ∩
ANOTAÇÕES
24
CONJUNTOS
PROMILITARES.COM.BR
ANOTAÇÕES