AOL2_Módulo B - 79852 7 - Cálculo Vetorial - D1 20221 B

Prévia do material em texto

Conteúdo do exercício
Ocultar opções de resposta 
Pergunta 1 -- /0
Quando se mensuram volumes por integrais triplas existem inúmeras manipulações algébricas que deixam os cálcu
mais palatáveis. A mudança de coordenadas é uma manipulação algébrica que consegue, muitas vezes, transforma
limites integrativos complexos em limites mais simples. As principais mudanças de coordenadas são para as polares
cilíndricas e esféricas.
Figura – Representação de um sólido.
Considerando essas informações, o esboço do sólido na figura supracitada e seus conhecimentos acerca de integra
triplas e mudança de coordenadas, pode se afirmar que o volume do sólido em questão pode ser mensurado por 
coordenadas cilíndricas, porque:
Cálculo Vetorial_BQ02 - Questão09_v1(1).png
Resposta corhá simetria do sólido com relação ao eixo z.
há simetria do sólido com relação ao eixo y.
o sólido é limitado por funções circulares.
Incorreta: há simetria do sólido com relação ao eixo x.
os parâmetros utilizados são r space comma space 0 e ᵠ.
Concluído
Tentativa 1 Enviado em: 24/05/22 16:42 (BRT)
Ocultar opções de resposta 
Pergunta 2
Sabendo como cada coordenada se relaciona entre cada sistema, basta fazer a substituição na função. Por exemplo
f open parentheses x comma y close parentheses equals x space plus y em coordenadas polares é 
f open parentheses r comma theta close parentheses space equals space r cos theta plus r sin theta.
De acordo com essas informações e com os seus conhecimentos de integração, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A função 
f open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space x squared plus y squared plus z 
squared
 em coordenadas cilíndricas é 
f open parentheses r comma theta comma z close parentheses space equals space r squared.
II. ( ) A função 
f open parentheses x comma y close parentheses space equals space square root of 1 minus x squared minus y 
squared end root
 em coordenadas polares é 
f open parentheses r comma theta close parentheses space equals space square root of 1 space minus space r 
squared end root
.
III. ( ) A função f open parentheses x comma y close parentheses space equals space 4 x plus 3 y squared em 
coordenadas polares é 
f open parentheses r comma theta close parentheses space equals space 4 r sin theta space plus space 3 r squar
sin squared theta
.
IV. ( ) A função 
f open parentheses x comma y close parentheses space equals space root index e x p of x squared plus y square
plus z squared end root
 em coordenadas esféricas é f open parentheses r comma theta comma phi close parentheses equals e x p r squ
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Incorreta: F, F, V, V.
V, V, F, F.
V, F, F, V.
V, F, V, F.
Resposta corF, V, V, F.
Ocultar opções de resposta 
Pergunta 3
Muitas integrais duplas de funções de duas variáveis são definidas a partir de regiões retangulares. Porém, existem 
maneiras de se calcular essas integrais, mesmo que não estejam definidas em regiões retangulares, mas a região n
plano xy deve ser limitada por funções. Cada tipo de limitação funcional caracteriza um certo tipo de região (Tipo I ou
Tipo II).
De acordo com os seus conhecimentos sobre integrais duplas definidas em regiões do Tipo I e do Tipo II, analise as
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) As integrais definidas em regiões do Tipo I são definidas da seguinte forma 
integral subscript a superscript b integral subscript g subscript 1 end subscript superscript g subscript 2 end supers
script capital f open parentheses x comma y close parentheses d y d x
.
II. ( ) As integrais definidas em regiões do Tipo II são definidas da seguinte forma 
integral subscript c superscript d integral subscript h subscript 1 end subscript superscript h subscript 2 end supers
script capital f open parentheses x comma y close parentheses d x d y
.
III. ( ) As regiões do Tipo I são limitadas por funções em y.
IV. ( ) As regiões dos tipos I e II são casos específicos de regiões retangulares.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
F, V, F, V.
F, F, V, V.
F, V, V, F.
Resposta corV, V, V, F.
V, V, F, F.
Pergunta 4 -- /0
Uma das utilidades principais de integrais triplas é o cálculo do volume de uma região no espaço. Uma vez definido 
elemento de volume d V space equals space d x d y d z , o volume de uma região R pode ser definido como 
V space equals space double integral integral subscript R space end subscript d V.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integrais triplas, analise as afirmativas a seguir:
I. A função de integração em V space equals space integral integral integral subscript R space d V é 
Ocultar opções de resposta 
II. A integral tripla V space equals space integral integral integral subscript R space d V na região 
R space equals space open curly brackets open parentheses x comma y comma z close parentheses space V spa
squared plus y squared plus z squared less or equal than 3 close curly brackets
 é igual a 4 sobre 3 πr ao cubo.
III. O resultado da integral tripla 
integral subscript 0 superscript 1 integral subscript x divided by 2 end subscript superscript 1 minus x divided by 2 
superscript integral subscript 0 superscript 2 minus x minus 2 y end superscript d z d y d x
 é igual a 1 third.
IV. O resultado da integral tripla 
integral subscript 0 superscript 1 integral subscript x superscript 2 x end superscript integral subscript 0 superscrip
x y z d z d y d x
 é igual a 7 over 8.
Está correto apenas o que se afirma em:
I, II e III.
II e IV.
I e II.
Resposta corII e III.
I, III e IV.
Pergunta 5 -- /0
Ao descrever uma função em um dado sistema de coordenadas e fazer a mudança de um sistema de coordenadas 
outro, é necessário ter cautela para escrever corretamente os elementos de área ou volume, caso contrário, o result
da integração pode ficar comprometido.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de sistemas de coordenadas, analise as afirmativa
seguir:
I. O elemento de área em coordenadas polares é d A space equals space r d r d theta.
II. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é d V space equals space r d r d theta d z.
III. O elemento de volume em coordenadas esféricas é d V space equals space r sin phi d r d phi d theta.
IV. Dada uma função script capital f open parentheses x comma y comma z close parentheses em coordenadas 
cartesianas. Em coordenadas esféricas, ela é escrita como f.
Está correto apenas o que se afirma em:
Ocultar opções de resposta 
Resposta corI, II e IV.
II e IV.
II e III.
I, III e IV.
I e II.
Pergunta 6 -- /0
Comumente, trabalha-se com as coordenadas cartesianas para resoluções de integrais, porém, nem todas as integr
têm seus limites de integração facilmente identificados nesse sistema de coordenadas. Existem outros sistemas de 
coordenadas que auxiliam no processo integrativo, tais como as coordenadas cilíndricas e esféricas, que se pautam
outros parâmetros diferentes das coordenadas cartesianas.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca das integrais triplas nesses sistemas de coordenad
analise as afirmativas a seguir:
I. As coordenadas cilíndricas são comumente utilizadas quando há certa simetria do sólido em relação ao eixo z.
II. As coordenadas esféricas utilizam Error converting from MathML to accessible text.,0er como parâmetros.
III. As coordenadas cilíndricas utilizam 0 e r como parâmetros. O z se mantém o mesmo.
IV. As coordenadas cartesianas utilizam r e Error converting from MathML to accessible text. , como parâmetros. O
se mantém o mesmo.
Está correto apenas o que se afirma em:
I e II.
Resposta cor I, II e III.
I, II e IV.
 I e IV.
II e IV.
Ocultar opções de resposta 
A soma de Riemann em uma variável consiste de dividir uma curva em n retângulos de largura delta increment x 
sendo a área da curva aproximadamente asoma da área dos retângulos. Em duas variáveis, a soma de Riemann é:
begin inline style sum from i equals 1 to n of end style begin inline style sum from j space equals space 1 to m of e
style script capital f open parentheses x i comma y i close parentheses increment x increment y
 , onde x e y são pontos amostrais.
Tendo em vista a definição apresentada, analise os procedimentos e ordene as etapas a seguir, de acordo com a 
sequência na qual devem ser efetuados os passos para a utilização da soma de Riemann:
I. ( ) Definir o número de retângulos n e m e suas respectivas larguras increment x e increment y.
II. ( ) Fazer o produto dos termos do somatório.
III. ( ) Avaliar a função usando os pontos amostrais escolhido pela regra do ponto médio por exemplo.
IV. ( ) Fazer a soma de todos os termos do somatório.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
1, 2, 4, 3.
Resposta cor1, 3, 2, 4.
2, 1, 3, 4.
3, 4, 1, 2.
4, 3, 2, 1.
Pergunta 8 -- /0
Integrais em uma ou mais variáveis são essencialmente somas que se faz em uma função de interesse. A soma pos
certas propriedades, como, por exemplo, 
open parentheses a plus b close parentheses asterisk times c equals a asterisk times c plus b asterisk times c.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca das propriedades das integrais de várias variáveis
analise as afirmativas a seguir:
I. Dada as funções script capital f open parentheses x comma y close parentheses e 
g open parentheses x comma y close parentheses , temos que
integral integral open square brackets script capital f open parentheses x comma y close parentheses plus g open
parentheses x comma y close parentheses close square brackets d x d y space equals space integral integral script 
capital f open parentheses x comma y close parentheses d x d y plus integral integral g open parentheses x comma y
l th d d
Ocultar opções de resposta 
II. Sendo c uma constante, 
integral integral c f open parentheses x comma y close parentheses d x d y space equals space c space integral 
integral space script capital f open parentheses x comma y close parentheses d x d y
.
III. Se 
script capital f open parentheses x comma y close parentheses greater or equal than g open parentheses x comm
close parentheses
 , então 
double integral g open parentheses x comma y close parentheses d x d y greater or equal than double integral scr
capital f open parentheses x comma y close parentheses d x d y
.
IV. Dada as funções script capital f open parentheses x comma y close parentheses e 
g open parentheses x comma y close parentheses , temos que 
double integral script capital f open parentheses x comma y close parentheses g open parentheses x comma y clo
parentheses d x d y space equals space double integral script capital f open parentheses x comma y close parenthes
x d y double integral g open parentheses x comma y close parentheses d x d y
.
Está correto apenas o que se afirma em:
II e IV.
II e III.
I, III e IV.
Resposta corI e II.
I, II e IV.
Pergunta 9 -- /0
As integrais variam sua utilidade conforme os objetos matemáticos que elas integram. Integrais de uma variável 
costumam mensurar áreas sob curvas, integrais duplas com funções de duas variáveis podem calcular volumes e 
integrais triplas também podem mensurar volumes.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integrais para funções de várias variáveis e 
integrais múltiplas, analise as afirmativas a seguir:
I. V subscript G space equals space integral integral integral subscript G d x d y d z é uma integral que mensura 
volume.
Ocultar opções de resposta 
II. 
V space equals space integral integral subscript R script capital f open parentheses x comma y close parentheses
d y
 , sendo uma integral em uma região retangular, tem a função de mensurar volume.
III. Um volume infinitesimal em três dimensões pode ser escrito da seguinte forma: 
d V equals space d x cross times space d y cross times d z.
IV. As coordenadas cartesianas são melhores para a resolução de integrais do que outras coordenadas.
Está correto apenas o que se afirma em:
I, III e IV.
I, II e IV.
Resposta corI, II e III.
I e II.
II e IV.
Pergunta 10 -- /0
Quando for conveniente mudar de coordenadas, além de saber reescrever a função e o elemento de área ou volume
também é necessário reescrever a região onde ocorre a integração.
De acordo com essas informações e seus conhecimentos de integração, analise as afirmativas a seguir e assinale V
para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A integração double integral f open parentheses x comma y close parentheses d x d y em 
R space equals space open curly brackets open parentheses x comma y close parentheses V space x squared plu
squared less or equal than 4 e x greater or equal than 0 close curly brackets
 equivale a double integral f open parentheses r comma theta close parentheses r squared d r d theta em 
D space equals space open curly brackets open parentheses r comma theta close parentheses V space 0 less or 
equal than r less or equal than 4 e fraction numerator negative straight pi over denominator 2 end fraction less or equ
than 0 less or equal than straight pi over 2 close curly brackets
.
II. ( ) A integração double integral f open parentheses r comma theta close parentheses r squared d r d theta em 
R space equals space open curly brackets open parentheses r comma theta close parentheses left enclose r less 
equal than 5 end enclose close curly brackets
 representa uma integração apenas nos quadrantes do plano cartesiano onde x é positivo.
Ocultar opções de resposta 
III. ( ) A integração em double integral f open parentheses x comma y close parentheses d x d y em 
R space equals space open curly brackets open parentheses x comma y close parentheses V space x comma spa
element of R close curly brackets
 equivale a 
2 straight pi integral subscript 0 superscript infinity straight f left parenthesis straight r right parenthesis straight r 
squared dr
 , se a função f open parentheses x comma y close parentheses tiver simetria radial. 
IV. ( ) A região de integração pode ser diferente a depender do sistema de coordenadas.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Resposta corV, F, V, F.
V, V, F, F.
F, F, V, V.
V, V, V, F.
V, F, F, V