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geometria analítica 
 
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Referencial cartesiano no plano
 
Referencial Oxy o.n. (ortonormado), é um referencial no plano em que os eixos são perpendiculares (referencial ortogonal) as 
unidades de comprimento em cada um dos eixos são iguais (referencial monométrico) e coincidem com a unidade de 
comprimento de comprimento prefixada no plano. 
As abcissas representam-se no eixo Ox e as ordenadas no eixo Oy. 
 
Reta vertical Reta horizontal 
Reta vertical é uma reta paralela ao eixo das ordenadas, é do 
tipo: 
 , x a a=  
Um ponto que pertence à reta tem sempre abcissa igual a a. 
Reta horizontal é uma reta paralela ao eixo das abcissas, é do 
tipo: 
 , y b b=  
Um ponto que pertence à reta tem sempre ordenada igual a b. 
Semiplanos 
Semiplano fechado Semiplano aberto 
… à esquerda da reta x a= 
 
… à direita da reta x a= 
 
… à esquerda da reta x a= 
 
… à direita da reta x a= 
 
… superior à reta y b= 
 
… inferior à reta y b= 
 
… superior à reta y b= 
 
… inferior à reta y b= 
 
… superior à reta y ax b= + 
 
… inferior à reta y ax b= + 
 
… superior à reta y ax b= + 
 
… inferior à reta y ax b= + 
 
 
 
 
 
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Na reta numérica 
Sejam A a→ e B b→ 
 
Distância entre A e B 
( ),d A B b a= − 
Ponto médio de [AB] 
2
a b
M
+
→ 
Lugares geométricos no plano 
Considere-se ( ),A AA x y= , ( ),B BB x y= , ( ),C a b= e ( ),P x y=
 
Distância entre dois pontos 
A distância entre dois pontos A e B é dada por: 
( ) ( ) ( )
2 2
, B A B Ad A B AB x x y y= = − + − 
 
Ponto médio de um segmento de reta 
O ponto médio do segmento de reta  AB é o ponto cuja 
distância a cada um dos extremos (A e B) do segmento é a 
mesma 
  ,2 2
A B A B
AB
x x y y
M
+ + 
=  
 
 
Mediatriz de um segmento de reta 
É uma reta perpendicular ao segmento de reta  AB e que 
passa pelo seu ponto médio. 
Sejam ( ),P x y os pontos da mediatriz tais que AP BP= 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
A A B Bx x y y x x y y− + − = − + − 
 
Circunferência e círculo 
• Circunferência é o conjunto de pontos ( ),P x y que se 
encontram a uma distância (raio r) de um dado ponto 
( ),C a b= , centro. 
( ) ( )
2 2 2x a y b r− + − = 
• Círculo é a reunião de uma circunferência com a sua parte 
interna. 
( ) ( )
2 2 2x a y b r− + −  
Elipse 
É o conjunto de pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) é constante e maior que a distância entre 
eles. 
2 2
2 2
1
x y
a b
+ = 
 
• 2 2 2 , a b c a b= +  
• Focos: ( )1 , 0F c− e ( )2 , 0F c 
• Eixo maior: 2a 
• Eixo menor: 2b 
 
• 2 2 2 , b a c b a= +  
• Focos: ( )1 0,F c− e ( )2 0,F c 
• Eixo maior: 2b 
• Eixo menor: 2a 
Centro: ( )0,0 ; Distância focal: 1 2 2F F c= ; Vértices: ( ), 0a− , ( ), 0a , ( )0, b− , ( )0,b 
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Vetores no plano 
• Dois segmentos orientados são equipolentes quando têm a mesma direção, sentido e comprimento 
• Um vetor é um conjunto de todos os segmentos de reta orientados que têm em comum a direção, o sentido e o comprimento 
Base canónica 
1 2v ae be= + ou ( ),v a b 
Adição e multiplicação por um escalar 
Sendo ( )1 2,u u u , ( )1 2,v v v e  : 
• ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2, , ,u v u u v v u v u v+ = + = + + 
• ( ) ( )1 2 1 2, ,u u u u u   = = 
Vetor como diferença de dois pontos 
Dados os pontos ( )1 2,A a a e ( )1 2,B b b 
( )1 1 2 2,AB B A b a b a= − = − − 
Soma de um ponto com um vetor 
Dados o ponto ( )1 2,A a a e o vetor ( )1 2,u u u 
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2, , ,A u a a u u a u a u+ = + = + + 
Vetores colineares 
Dois vetores não nulos do plano u e v são colineares se e 
somente se existe um número real 0  tal que: u v= 
Dois vetores ( )1 2,u u u e ( )1 2,v v v são colineares se e 
somente se: 
• 1 2
1 2
u u
v v
= , com 1 0v  e 2 0v  
• ( )1 2,u u u e ( )20,v v são colineares se e só se 1 0u = 
• ( )1 2,u u u e ( )1, 0v v são colineares se e só se 2 0u = 
Norma de um vetor 
Se ( )1 2,u u u , então 
2 2
1 2u u u= + 
Equação de uma reta no plano 
Direção de uma reta 
O vetor v , não nulo, tem a direção da reta r quando r tiver a direção de todas as retas-suporte dos segmentos orientados que 
representam v . 
Vetor diretor 
Um vetor diretor de uma reta r é qualquer vetor não nulo com a direção da reta r. 
Declive de uma reta (não vertical) 
Seja ( ),v a b um vetor diretor da reta, o declive é 
b
m
a
= 
Nota: 
Se uma reta r tem declive m, então ( )1,v m é um vetor diretor da reta r 
Declive de retas paralelas 
Se r e s são duas retas paralelas sendo m e m’ os seus declives, respetivamente, então 'm m= 
Declive de retas perpendiculares 
Se r e s são duas retas perpendiculares sendo m e m’ os seus declives, respetivamente, então 
1
'
m
m
= − 
Reta vertical 
Se r é uma reta vertical, ( )0,v b ,  \ 0b é um vetor diretor de r 
Equação vetorial de uma reta 
Seja r a reta que passa pelo ponto ( )1 2,A a a e tem o vetor diretor ( )1 2,v v v , então os pontos ( ),P x y da reta são: 
( ) ( ) ( )1 2 1 2, , , ,P A kv x y a a k v v k= +  = +  
Equação paramétrica de uma reta 
Seja r a reta que passa pelo ponto ( )1 2,A a a e tem o vetor diretor ( )1 2,v v v , então os pontos ( ),P x y da reta são: 
1 1
2 2
,
x a kv
k
y a kv
= +

= +
 
Equação cartesiana de uma reta 
Seja r a reta não vertical que passa pelo ponto ( )1 2,A a a e tem o vetor diretor ( )1 2,v v v , então os pontos ( ),P x y da reta são: 
1 2
1 2
x a x a
v v
− −
= 
O desenvolvimento da equação cartesiana leva-nos a outras equações cartesianas da mesma reta: 
0ax by c+ + = → equação geral 
y mx b= + → equação reduzida 
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Referencial ortonormado do espaço 
Referencial Oxyz o.n. (ortonormado), é um referencial no espaço em que os eixos são perpendiculares (referencial ortogonal) 
as unidades de comprimento em cada um dos eixos são iguais (referencial monométrico) e coincidem com a unidade de 
comprimento de comprimento prefixada no espaço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As coordenadas de um ponto ( ), ,P a b c são tal que: 
• a é a abcissa da projeção ortogonal de P sobre Ox 
• b é a ordenada da projeção ortogonal de P sobre Oy 
• c é a cota da projeção ortogonal de P sobre Oz 
Planos coordenados 
Plano xOy 
 
Plano xOz 
 
Plano yOz 
 
Lugares geométricos no espaço 
Considere-se ( ), ,A A AA x y z= , ( ), , zB B BB x y= , ( ), ,C a b c= e ( ), ,P x y z= 
Distância entre dois pontos 
A distância entre dois pontos A e B é dada pela condição: 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
, B A B A B Ad A B AB x x y y z z= = − + − + − 
Ponto médio de um segmento de reta 
O ponto médio do segmento de reta  AB é o ponto cuja 
distância a cada um dos extremos (A e B) do segmento é a 
mesma 
  , ,2 2 2
A B A B A B
AB
x x y y z z
M
+ + + 
=  
 
 
Plano mediador de um segmento de reta 
É um plano perpendicular ao segmento de reta  AB e que 
passa pelo seu ponto médio. 
Sejam ( ), ,P x y z os pontos do plano mediador tais que 
AP BP= 
 
Superfície esférica e esfera 
• Superfície esférica é o conjunto de pontos ( ), ,P x y z que 
se encontram a uma distância (raio r) de um dado ponto 
( ), ,C a b c= , centro. 
( ) ( ) ( )
2 2 2 2x a y b z c r− + − + − = 
• Esfera é a reunião de uma superfície esférica com a sua 
parte interna. 
( ) ( ) ( )
2 2 2 2x a y b z c r− + − + −  
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
A A A B B Bx x y y z z x x y y z z− + − + − = − + − + − 
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Vetores no espaço 
• Dois segmentos orientados são equipolentes quando têm a mesma direção, sentido e comprimento 
• Um vetor é um conjunto de todos os segmentos de reta orientados que têm em comum a direção, o sentido e o comprimento 
Base canónica 
1 2 3v ae be ce= + + ou ( ), ,v a b c 
Adição e multiplicação por um escalar 
Sendo ( )1 2 3, ,u u u u , ( )1 2 3, ,v v v v e  : 
• ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3, , , , , ,u v u u u v v v u v u v u v+ = + = + + + 
• ( ) ( )1 2 3 1 2 3, , , ,u u u u u u u    = = 
Vetor como diferença de dois pontos 
Dados os pontos ( )1 2 3, ,A a a a e ( )1 2 3, ,B b b b 
( )1 1 2 2 3 3, ,AB B A b a b a b a= − = − − − 
Vetores colineares 
Dois vetores não nulos do plano u e v são colineares se e 
somente se existe um número real 0  tal que: u v= 
Dois vetores ( )1 2 3, ,u u u u e ( )1 2 3, ,v v v v são colineares se e 
somente se: 
31 2
1 2 3
uu u
v v v
= = , com 1 0v  , 2 0v  e 3 0v  
Soma de um ponto com um vetor 
Dados o ponto ( )1 2 3, ,A a a a e o vetor ( )1 2 3, ,u u u u 
( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3, , , , , ,A u a a a u u u a u a u a u+ = + = + + + 
Norma de um vetor 
Se ( )1 2 3, ,u u u u , então 
2 2 2
1 2 3u u u u= + + 
Equação de uma reta no espaço 
Direção de uma reta 
O vetor v , não nulo, tem a direção da reta r quando r tiver a direção de todas as retas-suporte dos segmentos orientados que 
representam v . 
Vetor diretor 
Um vetor diretor de uma reta r é qualquer vetor não nulo com a direção da reta r. 
Equação vetorial de uma reta 
Seja r a reta que passa pelo ponto ( )1 2 3, ,A a a a e tem o vetor diretor ( )1 2 3, ,v v v v , então os pontos ( ), ,P x y z da reta são: 
( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3, , , , , , ,P A kv x y z a a a k v v v k= +  = +  
Equação paramétrica de uma reta 
Seja r a reta que passa pelo ponto ( )1 2 3, ,A a a a e tem o vetor diretor ( )1 2 3, ,v v v v , então os pontos ( ), ,P x y z da reta são: 
1 1
2 2
3 3
,
x a kv
y a kv k
z a kv
= +

= + 
 = +
 
Equação cartesiana de uma reta 
Seja r a reta que passa pelo ponto ( )1 2 3, ,A a a a e tem o vetor diretor ( )1 2 3, ,v v v v , então os pontos ( ), ,P x y z da reta são: 
31 2
1 2 3
1 2 3
 , , , 0
x ax a x a
v v v
v v v
−− −
= =  
 
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