ESTAT_EX_03_GAB

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ESTATÍSTICA - EXERCÍCIOS-03 MANUEL 1 
ESTATÍSTICA 
EXERCÍCIO-03 
GABARITO - COMENTADO 
 
01- A média aritmética é a razão entre: 
 a. o número de valores e o somatório deles 
 b. o somatório dos valores e o número deles 
 c. os valores extremos 
 d. os valores centrais 
 e. o maior valor e o menor valor observado 
 
 DEFINIÇÃO DE MÉDIA  SOMA DIVIDIDO POR QUANTIDADE ! 
 
02- Achar a média aritmética, a mediana e a moda da distribuição de frequência abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DA MÉDIA 
 
Primeiro Passo - achar os Pontos Médios (xi) de cada Classe. 
Ponto Médio = Média Aritmética dos limites de cada intervalo. 
Assim: 5
2
100
1 

x 15
2
2010
2 

x ...... 
Se quiser basta calcular o primeiro ponto médio (5) e somar 10 que é a amplitude de cada 
intervalo de classe ! 
 
Segundo Passo - multiplicar fi × xi 
Somar fi × xi  Soma = 1225 
Terceiro Passo 
Somar as frequências (fi)  Soma = 53 
 
Quarto Passo 
Aplicar a fórmula da Média 

 

if
xifi
x 
Média 23,11




53
1225
if
xifi
x 
Perceba que a Média está no terceiro intervalo de classe: 20 ├ 30 
 
Classe de 
Valores 
fi xi fi  xi Fi 
00 ├ 10 10 5 50 10 
10 ├ 20 12 15 180 22 
20 ├ 30 15 25 375 37 
30 ├ 40 10 35 350 47 
40 ├ 50 6 45 270 53 
 53 1225 
ESTATÍSTICA - EXERCÍCIOS-03 MANUEL 2 
CÁLCULO DA MEDIANA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Primeiro Passo - calcular as frequências Acumuladas (Fi) - observe na Tabela. 
 
Segundo Passo - Determinar a Classe da Mediana  
Dividir a soma das frequências (53) por 2  53/2 = 26,5 5,26
2
53
2

 if
 
A classe da Mediana é a que tem a primeira frequência Acumulada maior que 26,5. 
Qual é a primeira frequência Acumulada maior que 26,5 ? 
A primeira frequência Acumulada (Fi) maior que 26,5 é 37 ! 
Logo a classe da Mediana é a classe 3  20├ 30 
 
Terceiro Passo - aplicar a fórmula 
 
Mediana h
f
Faa
f
lMd
md
i
i 



]
2
[
 
Onde: 
 
li = limite inferior da classe da Mediana = 20 (observe na Tabela !) 
Faa = Frequência Acumulada Anterior a da classe da mediana = 22 
fmd = frequência (simples) da classe da Mediana = 15 
h = é sempre a amplitude do intervalo de classe da Mediana = 30 - 20 = 10 ! 
Substituindo na fórmula da Mediana vem: 
 
23










15
45
2010
15
5,4
2010
15
225,26
2010
15
22
2
53
20Md
 
 
Perceba que a Mediana está no terceiro intervalo de classe: 20 ├ 30  O MESMO DA 
MÉDIA ! 
 
 
 
Classe de 
Valores 
fi xi fi  xi Fi 
 
00 ├ 10 10 5 50 10 
10 ├ 20 12 15 180 22 
20 ├ 30 15 25 375 37 Classe da Mediana 
30 ├ 40 10 35 350 47 
40 ├ 50 6 45 270 53 
 53 1225 
ESTATÍSTICA - EXERCÍCIOS-03 MANUEL 3 
CÁLCULO DA MODA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Primeiro Passo - determinar a Classe da MODA 
A classe da Moda é a que tem a maior frequência simples fi (15) ! 
Percebeu que é a mesma classe da Média e da Mediana !  20 ├ 30 
ATENÇÃO ! Nem sempre isso acontece ! 
 
Segundo Passo - aplicar a fórmula 
Moda h
DD
D
lMo i 


21
1
 
 
Onde: 
 
li = limite inferior da classe da Moda = 20 
fmo = frequência modal (a da classe da moda) = 15 
fant = frequência anterior a da classe da moda = 12 
fpos = frequência posterior a da classe da moda = 10 
D1 = fmo - fant = 15 - 12 = 3 
D2 = fmo - fpos = 15 - 10 = 5 
h = é sempre a amplitude do intervalo de classe da MODA = 30 - 20 = 10 ! 
Substituindo os valores na fórmula temos: 
75,23
8
30
2010
53
3
2010
)1015()1215(
)1215(
20 




Mo
 
O intervalo de classe da MODA coincidiu com o que estávamos esperando ? 
Observe os resultados: 
Média = 23,11 
Mediana = 23 
Moda = 23,75 
As 3 medidas de tendência central (Média, Mediana e Moda) estão no mesmo intervalo de 
classe, os seus valores são muito próximos e tendem a se localizar no centro da 
distribuição. 
Classe de 
Valores 
fi xi fi  xi Fi 
00 ├ 10 10 5 50 10 
10 ├ 20 12 15 180 22 
20 ├ 30 15 25 375 37 
30 ├ 40 10 35 350 47 
40 ├ 50 6 45 270 53 
 53 1225 
ESTATÍSTICA - EXERCÍCIOS-03 MANUEL 4 
3- Considere a seguinte distribuição de freqüência com dados de altura de um grupo de 40 
pessoas. 
 
Ì Estatura (cm) fi Xi fi  xi Fi 
1 150 ├ 154 4 152 608 4 
2 154 ├ 158 9 156 1404 13 
3 158 ├ 162 11 160 1760 24 
4 162 ├ 166 8 164 1312 32 
5 166 ├ 170 5 168 840 37 
6 170 ├ 174 3 172 516 40 
 Σ 40 6440 
 
 
Calcule o valor da média aritmética, da mediana e da moda das alturas. 
 
Esse exercício é semelhante ao anterior e está resolvido no material (Medidas de Posição) 
que está no AVA, na parte teórica (material de apoio disponível na biblioteca) e também nos 
slides. 
 
Preencha a Tabela como acima e refaça os cálculos abaixo ! 
 
Média 

 

if
xifi
x =6440/40 = 161 
 
 
Mediana h
f
Faa
f
lMd
md
i
i 



]
2
[
 
 
 
64,160
11
47
158)158162(
11
)13
2
40
(
158 



Md 
 
 
 
Moda h
DD
D
lMo i 


21
1
 
 
 
6,1596.1158
5
8
1584
5
2
158)158162(
)811()911(
)911(
158 


Mo 
 
 
Percebe mais uma vez que Média, Mediana e Moda estão no mesmo intervalo de classe. 
158 ├ 162. 
 
 
 
ESTATÍSTICA - EXERCÍCIOS-03 MANUEL 5 
04- Numa prova de Estatística foram obtidas as seguintes notas: 
 
Nota Alunos (fi) xi fi  xi Fi 
0 ├ 20 1 10 10 1 
20 ├ 40 3 30 90 4 
40 ├ 60 8 50 400 12 Classe da Mediana 
60 ├ 80 4 70 280 16 
 80 ├ 100 4 90 360 20 
Σ 20 1140 
 
a) Qual o valor da Média das notas ? 
 
 
Média 
57




20
1140
if
xifi
x
 
 
b) Qual o valor da Mediana ? 
 
A classe da mediana é a 3  40 ├ 60. 
 
Veja, soma das frequências = 20. 
A metade das frequências é 20/2 = 10 10
2
20
2

 if
 
A primeira frequência Acumulada (Fi) maior que 10 é 12, por isso a classe da Mediana é a 
terceira  40 ├ 60. 
Mediana h
f
Faa
f
lMd
md
i
i 



]
2
[
 
 
Onde: 
 
li = limite inferior da classe da Mediana = 40 
Faa = Frequência Acumulada Anterior a da classe da mediana = 4 
fmd = frequência (simples) da classe da Mediana = 8 
h = é sempre a amplitude do intervalo de classe da Mediana = 60 - 40 = 20 ! 
Substituindo na fórmula da Mediana vem: 
55
8
120
4020
8
6
4020
8
)410(
4020
8
)4
2
20
(
40 



Md
 
 
 
 
ESTATÍSTICA - EXERCÍCIOS-03 MANUEL 6 
c) Qual o valor da Moda ? 
 
Nota Alunos (fi) 
0 ├ 20 1 
20 ├ 40 3 
40 ├ 60 8 Classe da Moda 
60 ├ 80 4 
 80 ├ 100 4 
Σ 20 
 
A classe da Moda é a de maior frequência simples (fi). 
 
A maior frequência simples (fi) é 8 ! 
Logo a classe da Moda é a terceira  40 ├ 60 ! 
 
Obs. Percebeu que para calcular a Moda precisamos apenas das frequências simples (fi) ! 
 
Moda h
DD
D
lMo i 


21
1
 
 
Onde: 
 
li = limite inferior da classe da Moda = 40 
fmo = frequência modal (a da classe da moda) = 8 
fant = frequência anterior a da classe da moda = 3 
fpos = frequência posterior a da classe da moda = 4 
D1 = fmo - fant = 8 - 3 = 5 
D2 = fmo - fpos = 8 - 4 = 4 
h = é sempre a amplitude do intervalo de classe da MODA = 60 - 40 = 20 ! 
Substituindo os valores na fórmula temos: 
 
11,51
9
100
4020
45
5
40)4060(
)48()38(
)38(
40 




Mo
 
 
Observe os resultados: 
Média = 57 
Mediana = 55 
Moda = 51,9 
Aqui, mais uma vez os 3 valores estão no mesmo intervalo de classe! 
ESTATÍSTICA - EXERCÍCIOS-03 MANUEL 7 
05- Após uma pesquisa dos tempos de serviço em anos trabalhados dos empregados de 
uma determinada empresa, obteve-se a seguinte tabela: 
 
Tempo de 
Serviço 
Empregados xi fi  xi Fi 
 
0 ├ 10 7 5 35 7 
10 ├ 20 3 15 45 10 
20 ├ 30 11 25 275 21 
Classe da Mediana e 
Classe da Moda 
30 ├ 40 4 35 140 25 
40 ├ 50 5 45 225 30 
 30 720 
 
a) Qual é a média do tempo de serviço dos empregados nessa empresa ? 
 
Média 24




30
720
if
xifi
x 
 
Ou seja, os empregados trabalham nessa empresa em média há 24 anos ! 
 
Será que é umaempresa (privada) típica brasileira? Isso ocorre com frequência nesse país? 
 
b) Qual o valor da Mediana ? 
 
Qual a classe da Mediana ? 
Metade das frequências = 30/2 = 15 15
2
30
2

 if
 
 
A primeira frequência Acumulada (Fi) maior que 15 é 21! 
 
Logo a classe da Mediana é a terceira 20 ├ 30 ! 
Mediana h
f
Faa
f
lMd
md
i
i 



]
2
[
 
Onde: 
li = 20 
Faa = 10 
fmd = 11 
h = 30 - 20 = 10 
Substituindo os valores vem: 
 
 
55,24
11
50
2010
11
5
2010
11
1015
20)2030(
11
10
2
30
20 









Md
 
 
 
 
ESTATÍSTICA - EXERCÍCIOS-03 MANUEL 8 
c) Qual o valor da Moda ? 
 
Tempo de 
Serviço 
Empregados xi fi  xi Fi 
 
0 ├ 10 7 5 35 7 
10 ├ 20 3 15 45 10 
20 ├ 30 11 25 275 21 
Classe da Mediana e 
Classe da Moda 
30 ├ 40 4 35 140 25 
40 ├ 50 5 45 225 30 
 30 720 
 
A classe da Moda é a de maior frequência simples (fi). 
 
A maior frequência simples é 11 ! 
Logo a classe da Moda é a terceira  20 ├ 30 ! 
Moda h
DD
D
lMo i 


21
1
 
 
 
Onde: 
 
li = limite inferior da classe da Moda = 20 
fmo = frequência modal (a da classe da moda) = 11 
fant = frequência anterior a da classe da moda = 3 
fpos = frequência posterior a da classe da moda = 4 
D1 = fmo - fant = 11 - 3 = 8 
D2 = fmo - fpos = 11 - 4 = 7 
h = é sempre a amplitude do intervalo de classe da MODA = 30 - 20 = 10 ! 
Substituindo os valores na fórmula temos: 
 
33,25
15
80
2010
78
8
20 

Mo
 
 
 
Observe os resultados: 
Média = 24 
Mediana = 24,55 
Moda = 25,33 
Aqui, mais uma vez, Média, Mediana e Moda estão no mesmo intervalo de classe ! 
ESTATÍSTICA - EXERCÍCIOS-03 MANUEL 9 
06- Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo - IPCA 
O Sistema Nacional de Preços ao Consumidor - SNIPC efetua a produção contínua e 
sistemática de índices de preços ao consumidor, tendo como unidade de coleta 
estabelecimentos comerciais e de prestação de serviços, concessionária de serviços 
públicos e domicílios (para levantamento de aluguel e condomínio). O período de coleta do 
IPCA estende-se, em geral, do dia 01 a 30 do mês de referência. 
 
O IPCA mede a inflação para que parcela da população ? 
O indicador reflete o custo de vida de famílias com renda mensal de 1 a 40 salários 
mínimos, residentes nas regiões metropolitanas de São Paulo, Rio de Janeiro, Belo 
Horizonte, Porto Alegre, Curitiba, Salvador, Recife, Fortaleza e Belém, além do Distrito 
Federal e do município de Goiânia. 
 
Para que é usado o IPCA ? 
É utilizado pelo Banco Central como medidor oficial da inflação do país. 
O governo usa o IPCA como referência para verificar se a meta estabelecida para a inflação 
está sendo cumprida. 
 
O gráfico abaixo exibe os valores do IPCA entre 2004 e 2010. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com base no gráfico responda. 
 
a) Qual o valor médio do IPCA entre 2004 e 2010 ? (Utilize duas casas decimais). 
 
Temos: 
 
MÉDIA = (7,60 + 5,69 + 3,14 + 4,46 + 5,90 + 4,31 + 5,91) / 7 = 37,01 / 7 = 5,29% 
 
Entre 2004 e 2010 o valor médio do IPCA foi de 5,29% ! 
 
Ou seja, entre 2004 e 2010 os preços variaram em média 5,29% ! 
 
Ou ainda, a inflação média medida pelo IPCA nesse período foi de 5,29% ! 
 
 
 
ESTATÍSTICA - EXERCÍCIOS-03 MANUEL 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5,29 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Quais os anos em que o IPCA esteve acima da média do período 2004 a 2010 ? 
 
Observe no gráfico 
 
ANOS COM IPCA ACIMA DA MÉDIA (5,29)  
 
2004 = 7,60 
2005 = 5,69 
2008 = 5,90 
2010 = 5,91 
 
c) Qual é a Mediana dos valores do IPCA entre 2004 e 2010 ? 
 Ordenando os dados vem: 3,14 ; 4,31 ; 4,46 ; 5,69 ; 5,90 ; 5,91 ; 7,60 
 MEDIANA = 5,69  O valor central ! 
 
d) Quantos por cento a Mediana é maior do que a Média ? 
 
 Dividindo a Mediana pela Média vem: 
 
 = 5,69 / 5,29 = 1,0761  7,6% 
 
 Ou seja, a Mediana é 7,6% maior do que a Média ! 
 
 
Veja, fazer esses exercícios mecanicamente não agrega conhecimento! Assim, é necessário 
que o significado (o conceito) do que estamos fazendo esteja sempre presente. O que nos 
diferenciou dos demais seres vivos desse planeta foi a nossa capacidade de pensar ! 
Essa foi e é a nossa grande vantagem competitiva ! Afinal, pensar não cansa ! 
 
Grande abraço, 
Manuel