Aula 04 -ARA0019 - ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - ANÁLISE DE DADOS QUANTITATIVOS -MEDIDAS DE POSIÇÃO OU TENDÊNCIA CENTRAL

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1. Determinar a amplitude total da distribuição: = á − í 
2. Determinação do Número de Classes (K):
Pela Regra da raiz :k = 
3. Determine a amplitude de classe h da
distribuição de frequência ℎ = 
Revisando
Metodologia para a criação da
distribuição de frequência
O ponto médio = (ℓ + )2Importante
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Uma medida da tendência central é um valor que representa uma entrada típica ou 
central do conjunto de dados. As três medidas da tendencia central mais comumente 
te usadas são a média, a mediana e a moda.
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As medidas de posição mais importantes são as medidas de tendência central, que
recebem essa denominação pelo fato de os dados observados tenderem, em geral, a se
agruparem em torno dos valores centrais. Dentre as medidas de tendência central,
destacamos:
a. a média aritmética;
b. a mediana;
c. a moda.
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Propriedades da média:
1. Quando somamos ou subtraímos uma constante a todos os valores da variável, a 
média da nova variável fica somada ou subtraída pela constante; 
2. Quando multiplicamos ou dividimos todos os valores da variável por uma 
constante, a média da nova variável fica multiplicada ou dividida pela constante.
Média aritmética
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Média aritmética para dados não agrupados
Quando desejamos conhecer a média dos dados não agrupados, determinamos a média
aritmética simples.
1) Sabendo-se que a produção leiteira diária da vaca A, durante uma semana, foi de 10,
14,13,15,16,18 e 12 litros. Qual a média aritmética semanal?
Média aritmética
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O cálculo da média, para um pequeno grupo de
dados, é relativamente simples. Basta somar todos os
elementos e dividir pela quantidade. Contudo, caso
tenhamos um grupo maior de dados, podemos
agrupar esses dados em formato de uma tabela de
distribuição de frequência. O modo mais prático de
obtenção da média com os dados agrupados é abrir,
na tabela, uma coluna correspondente aos produtos , temos a fórmula: = ∑ ∑ 
Média aritmética para dados agrupados sem intervalo de classe
Média aritmética
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Consideremos a distribuição
relativa a 34 famílias de
quatro filhos, tomando para
variável o número de filhos
do sexo masculino:
N. DE MENINOS 
0 2
1 6
2 10
3 12
4 4∑ 34
Neste caso, como as frequências são números indicadores da
intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fatores
de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética
ponderada, dada pela fórmula: = ∑ ∑ 
O modo mais prático de obtenção da média ponderada é criar, na
tabela, uma coluna correspondente aos produtos :N. DE MENINOS 0 2
1 6
2 10
3 12
4 4∑ 34
Média aritmética
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Neste caso, convencionamos que todos os
valores incluídos em determinado intervalo
de classe coincidem com o seu ponto
médio. Assim, determinamos a média
aritmética ponderada por meio da fórmula: = ∑ ∑ 
na qual é o ponto médio da classe.
 = (ℓ + )2
Média aritmética para dados agrupados com intervalo de classe
Altura (cm) Frequência
150 ⱶ 154 4
154 ⱶ 158 9
158 ⱶ 162 11
162 ⱶ 166 8
166 ⱶ 170 5
170 ⱶ 174 3
Total 40
Média aritmética
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Pela mesma razão do caso anterior, vamos, inicialmente, abrir uma coluna para os pontos
médios e outra para os produtos :
Altura (cm) Frequência 
150 ⱶ 154 4 150 + 1542 = 152 4 × 152 = 608
154 ⱶ 158 9
+2 =
158 ⱶ 162 11
+2 =
162 ⱶ 166 8
+2 =
166 ⱶ 170 5
+2 =
170 ⱶ 174 3
+2 =
Total 40
 = ∑ ∑ 
Média aritmética
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MODA - Mo
É o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores.
• Desse modo, o salário modal dos empregados de uma fábrica é o salário mais
comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa fábrica.
.
A Moda quando os dados não estão agrupados
• A moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com definição, procurar o valor
que mais se repete.
Ex: Na série { 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 } a moda é igual a 10.
MODA
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• Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça
mais vezes que outros.
Ex: { 3 , 5 , 8 , 10 , 12 } não apresenta moda. A série é amodal.
• .Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos,
então, que a série tem dois ou mais valores modais.
Ex: { 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 } apresenta duas modas: 4 e 7. A
série é bimodal.
MODA
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A Moda quando os dados estão agrupados
Sem intervalos de classe: Uma vez
agrupados os dados, é possível determinar
imediatamente a moda: basta fixar o valor da
variável de maior frequência.
Temperaturas Freqüência
0º C 3
1º C 9
2º C 12
3º C 6
Ex: Qual a temperatura mais comum
medida no mês abaixo:
Resp: 2º C é a temperatura modal,
pois é a de maior freqüência.
Com intervalos de classe: A classe que
apresenta a maior frequência é denominada classe
modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda,
neste caso, é o valor dominante que está
compreendido entre os limites da classe modal. O
método mais simples para o cálculo da moda consiste
em tomar o ponto médio da classe modal. Damos a
esse valor a denominação de moda bruta. = ℓ∗ + ∗ 
o ℓ∗ = ∗ = .
MODA
 = ℓ∗ + + × ℎ∗
Fórmula de CZUBER
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MODA
 = ℓ∗ + + × ℎ∗
Fórmula de CZUBER ℓ∗ → é ℎ∗ → é → é ê à ; → é ê à . = ∗ − = ∗ − ( ) 
i classe fi
1 18 Ⱶ 25 6
2 25 Ⱶ 32 10
3 32 Ⱶ 39 13
4 39 Ⱶ 46 8
5 46 Ⱶ 53 7
6 53 Ⱶ 60 4
7 60 Ⱶ 67 2
Classe modal
limite inferior da classe 
modal
Frequência anterior à classe
modal.
Frequência posterior à classe
modal.
ℎ∗ = ∗ − ℓ ∗
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MODA
 = ℓ∗ + + × ℎ∗
Fórmula de CZUBER = ∗ − = ∗ − ( ) 
i classe fi
1 18 Ⱶ 25 6
2 25 Ⱶ 32 10
3 32 Ⱶ 39 13
4 39 Ⱶ 46 8
5 46 Ⱶ 53 7
6 53 Ⱶ 60 4
7 60 Ⱶ 67 2ℎ∗ = ∗ − ℓ ∗
 = 10 
 ∗ = 13 
 = 8 
ℓ ∗ = 32
 ∗ = 39
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A mediana de um conjunto de dados é um valor que está no meio dos dados quando o 
conjunto de dados é ordenado.
A mediana mede o centro de um conjunto de dados ordenado dividindo-se em duas partes 
iguais. 
Se o conjunto de dados tem um número ímpar de entradas, a mediana é a entrada de 
dados do meio.
 
Se o conjunto de dados tem um número par de entradas, a mediana é a média das duas 
entradas do meio.
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6
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MEDIANA
MEDIANA - Md
A mediana de um conjunto de valores, dispostos segundo uma ordem ( crescente ou decrescente), é o valor
situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.
.
A mediana em dados não-agrupados
Dada uma série de valores como, por exemplo:
{ 5, 2, 6, 13, 9, 15, 10 }
De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente)
dos valores:
{ 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 }
O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9..
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MEDIANA
.
Método prático para o cálculo da Mediana
Se a série dada tiver número ímpar de termos: valor
mediano será o termo de ordem dado pela fórmula : + 12
Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5 }
1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 }
2º Determinar a posição do elemento =9
( + 1)2 9 + 12 = 5º
ou seja, o 5º elemento da série ordenada será a
mediana
A mediana será o 5º elemento = 2
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º
0 0 1 1 2 2 3 4 5
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MEDIANA
Se a série dada tiver número par de termos
O valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula:.... 2 + 2 + 12
Obs: e + 1 serão termos de ordem e devem ser substituídos pelo valor correspondente.
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MEDIANA
Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6 }
1º - Ordenar a série
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º
0 0 1 1 2 3 3 4 5 6
2º Determinar a posição do elemento
n = 10 logo a fórmula ficará:102 º + 102 + 1 º2 5 º + 6 º2 
será na realidade:
 º º 5º = 2 6º = 3
A mediana será: = 2 + 32 = 52 = 2,5
A mediana no exemplo será a média
aritmética do 5º e 6º termos da série.
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Dados agrupados
Se os dados se agrupam em uma distribuição de frequência» o cálculo da mediana
se processa de modo muito semelhante àquele dos dados não agrupados o que implica
a determinação prévia das frequências acumuladas.
Ainda aqui, temos de determinar um valor tal que divida a distribuição em dois grupos que
contenham o mesmo número de elementos.
Para o caso de uma distribuição, a ordem, a partir de qualquer um dos extremos, é dada por:∑ 2
MEDIANA
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22
MEDIANA
Mediana com intervalos de classe:
Devemos seguir os seguintes passos:
1º) Determinamos as frequências acumuladas.
2º) Calculamos
∑ 
3º) Marcamos a classe correspondente à frequência acumulada imediatamente superior à
∑ .
Tal classe será a classe mediana.
4º) Calculamos a Mediana pela seguinte fórmula:.
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Classe mediana
limite inferior da classe 
da mediana
Frequência acumulada
anterior à classe da
mediana.
ℎ∗ = ∗ − ℓ ∗
MEDIANA
i classe fi F
1 18 Ⱶ 24 5 5
2 24 Ⱶ 30 7 12
3 30 Ⱶ 36 8 20
4 36 Ⱶ 42 22 42
5 42 Ⱶ 48 16 58
6 48 Ⱶ 54 12 70
7 54 Ⱶ 60 6 76
8 60 Ⱶ66 4 80
Total 80
∑ 2 = 802 = 40
Frequência simples da
à classe da mediana.
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24
Classe mediana
ℓ ∗=36
 = 20
ℎ∗ = ∗ − ℓ ∗
MEDIANA
i classe fi F
1 18 Ⱶ 24 5 5
2 24 Ⱶ 30 7 12
3 30 Ⱶ 36 8 20
4 36 Ⱶ 42 22 42
5 42 Ⱶ 48 16 58
6 48 Ⱶ 54 12 70
7 54 Ⱶ 60 6 76
8 60 Ⱶ66 4 80
Total 80
∑ 2 = 802 = 40
 ∗ = 22 = ℓ∗ + ∑ 2 − ( ) × ℎ ∗
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1. Com os dados brutos abaixo, determine em cada caso: a média, a moda e a mediana.
13 10 13 19 10 16 13 12 14 10
16 11 15 20 14 15 14 18 17 19a)
17 15 17 20 15 18 15 16 20 20
20 20 15 19 16 16 19
41 33 25 49 48 30 39 33 45 25
25 43 46 38
49 40 20 46 20 41 14 47 23 43
19 19 31 14 17 44 49 13 48
b)
c)
d)
5 3 5 3 5 5 2 2 5 2
3 1 1 4 2 4 2 4 1 3
29 28 25 29 26 33 27 29 31 32
28
e)
f)
g)
h)
50 32 18 20 31 28 21 47 26 21
29 16 20 49
100 97 83 85 95 99 89 84 99 80
89 98 86 87 92 96 88 83 80
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i classe fi
1 10 Ⱶ 18 11
2 18 Ⱶ 26 10
3 26 Ⱶ 34 9
4 34 Ⱶ 42 6
5 42 Ⱶ 50 15
6 50 Ⱶ 58 10
7 58 Ⱶ 66 14
8 66 Ⱶ 74 13
9 74 Ⱶ 82 13
10 82 Ⱶ 90 15
11 90 Ⱶ 98 9
12 98 Ⱶ 106 5
13 Ⱶ
Total 130
Dadas as distribuições de frequência abaixo. Determine a média, a moda e a mediana.
i classe fi
1 10 Ⱶ 16 10
2 16 Ⱶ 22 6
3 22 Ⱶ 28 10
4 28 Ⱶ 34 5
5 34 Ⱶ 40 7
6 40 Ⱶ 46 16
7 46 Ⱶ 52 6
Total 60
a) i classe fi
1 109 Ⱶ 121 10
2 121 Ⱶ 133 10
3 133 Ⱶ 145 4
4 145 Ⱶ 157 6
5 157 Ⱶ 169 13
6 169 Ⱶ 181 6
7 181 Ⱶ 193 6
8 193 Ⱶ 205 5
b) c)
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2) A partir do histograma abaixo construa a distribuição de frequência e determine: a média,
a moda e a mediana.
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29
10 10 10 12 12 13 14 14 14 15
16 17 18 19 21 21 22 22 23 24
24 26 26 26 26 27 28 28 30 31
33 34 36 36 37 37 39 39 42 42
42 42 42 43 43 44 44 44 45 45
45 45 45 45 46 46 46 48 48 50
Rol item a
104 106 106 108 108 110 111 111 112 112
112 114 117 117 121 121 124 124 125 127
131 135 139 140 140 141 142 143 143 145
145 145 145 147 151 152 152 153 161 162
163 163 163 165 166 166 167 169 172 172
175 175 177 180 180 189 192 193 200 200
Rol item b
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30
10 11 11 12 12 13 15 15 16 16
17 19 21 21 22 23 23 24 25 25
25 27 27 27 28 28 29 30 32 33
34 36 38 38 40 40 42 42 42 43
44 44 45 45 46 47 47 47 47 48
49 50 51 53 53 53 53 53 54 55
55 59 59 60 60 61 61 61 62 62
63 64 64 64 65 66 66 67 68 68
68 70 70 71 71 71 71 72 74 74
74 74 76 77 78 79 79 79 79 80
81 82 83 83 83 84 85 85 85 87
88 89 89 89 89 89 91 93 94 95
95 95 96 96 97 98 98 99 99 100
Rol item a
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31
11 11 11 12 12 12 13 14 14 15
17 17 18 18 20 21 21 21 22 24
24 24 26 26 27 27 28 28 29 30
30 31 31 32 33 34 34 34 35 36
36 36 37 38 39 39 40 40 43 43
44 45 45 46 47 47 47 47 48 52
53 53 53 54 55 55 56 56 57 57
58 58 58 59 62 64 64 65 66 66
66 68 69 69 69 70 71 71 72 72
73 73 73 73 73 74 74 74 74 77
77 78 78 78 78 79 80 81 83 84
85 86 86 87 87 89 90 90 90 93
94 95 96 96 97 97 97 99 99 100
Rol questão 02
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Bibliografia
Andrade, Martins, Gilberto De, e DOMINGUES, Osmar Estatística Geral e Aplicada, 6ª edição. Grupo
GEN, 2017. [Minha Biblioteca].
Arnot, Crespo, A. Estatística (Série EM FOCO) 20ED. Editora Saraiva, 2019. [Minha Biblioteca].
Leal, Bruni, Adriano, e PAIXÃO, Roberto Brazileiro Excel Aplicado à Gestão Empresarial, 2ª edição. Grupo
GEN, 2011. [Minha Biblioteca].
Fávero, Luiz P. Estatística - Aplicada a Administração, Contabilidade e Economia com Excel e SPSS. Grupo
GEN, 2015. [Minha Biblioteca].
(Farber, 11/2015)Farber, R. B. (2015). Estatística Aplicada, 4th Edition. [[VitalSource Bookshelf version]].
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