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QUESTÕES - GABARITO Questão 01. Seja o espaço das matrizes de ordem . Sejam uma matriz fixa e { } um subconjunto de . (a) Mostrar que é um subespaço vetorial de . RESOLUÇÃO: Vamos mostrar que é subespaço de . Sejam e . Temos que: (i) Logo, . (ii) Logo, . Portanto, é subespaço de V. (b) Seja o espaço das matrizes triangulares superiores. Mostrar que se ( ), então . RESOLUÇÃO: O espaço das matrizes triangulares superiores é dado por ,( ) - , ( ) ( ) ( ) - Curso: Engenharia – Ciclo Básico Aluno (a): Disciplina: Álgebra Linear II Matrícula: Turma: Período: Professor (a): Semestre: Data: Nota: ORIENTAÇÕES GERAIS: 1. Leia com atenção a sua prova. Cada questão valerá até ( 2,0 ) pontos. 2. Esta avaliação é INDIVIDUAL E SEM CONSULTA. 3. O aluno só poderá entregar a prova trinta minutos após o início da mesma. 4. As dúvidas de ordem técnica, constantes da prova, só poderão ser esclarecidas pelo professor da disciplina, nos primeiros quarenta minutos do início da prova. 5. É proibido destacar páginas da prova, bem como utilizar qualquer outra folha de papel, a não ser a entregue pelo(a) professor(a) fiscal, para rascunhos. 6. A avaliação pode ser respondida a lápis, porém o resultado final da questão deverá ser apresentado, obrigatoriamente, em caneta, tinta azul ou preta. 7. É proibido uso de celulares, tablets e outros aparelhos de comunicação durante a prova. 8. Todo material é de uso individual, não sendo permitido empréstimo de qualquer material durante a realização da prova. 9. O tempo máximo para a realização da prova é de 100 minutos. 10. A portaria n. 024/2008/GD/EST/UEA estabelece que, em dia de prova, o aluno dos cursos de Engenharia, Tecnologia, Licenciatura em Informática e Meteorologia compareça ao local determinado para a realização de prova munido de documento oficial, original, com foto, para apresentação, se solicitado. *( ) ( ) ( )+ Agora observe que se ( ) e ( ) então pode ser reescrito como ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )- Daí tem-se ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) implicando em ( ) ( ) ( ) donde obtemos ( ) ( ) que nos fornece o sistema linear { Uma solução deste sistema é e , assim o subespaço ficará da forma ,( ) - , ( ) - *( )+ Logo, *( ) ( ) ( ) ( )+ . Note que ( ) ( ) , ( ) e ( ) são L.I. De fato, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nos fornece ( ) ( ) . Assim, ,( ) ( ) ( ) ( )- é uma base de . Logo, . Sendo subespaço de e , então . Esta soma é direta, pois , e aplicados a relação nos fornecem o que implica que { }. Questão 02. Dados os vetores e , responda: (a) Os vetores e geram o ? Justifique. RESOLUÇÃO: Não, pois [ ] (b) Seja um terceiro vetor de . Quais as condições sobre , para que { } seja uma base de ? RESOLUÇÃO: Basta que { } seja L.I e que [ ] . (c) Encontre um vetor que complete, junto com e , uma base do . RESOLUÇÃO: Basta escolher um vetor que seja de e . Por exemplo, tome (produto vetorial), e teremos que { } é L.I e que [ ] , pois [ ] e [ ] é subespaço de . Questão 03. Determine a transformação linear tal que e . RESOLUÇÃO: Seja . Temos que: nos fornece , donde e . Assim, Daí, aplicando a transformação em ambos os lados da igualdade acima obtemos Donde Questão 04. Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares. Determine quais destas transformações são injetivas e quais são sobrejetivas. (a) , em que , sendo ( ). RESOLUÇÃO: Vamos encontrar o núcleo de . Observe que se ( ) então ( ) ( ) ( ) Assim, { } ,( ) ( ) ( )- ,( ) - ,( ) -. Logo, , ( ) ( ) - *( ) ( )+ Observe que ,( )-, logo não é injetiva. Agora vamos encontrar a imagem de . Observe que ,( ) - , ( ) ( ) ( ) ( )- *( ) ( ) ( ) ( )+ *( ) ( )+ Como , concluímos que , isto é, não é sobrejetiva. (b) , em que . RESOLUÇÃO: Temos que { } { } Assim, obtemos o sistema { Logo, { } e, assim é injetiva. Por fim, veja que { } { } Como , isto é, , e , concluímos que , isto é, não é sobrejetiva. Questão 05. Sejam os espaços vetoriais , o espaço dos polinômios de grau e o espaço das matrizes reais . Considere e transformações lineares e { } { } e ,( ) ( )- bases de e , respectivamente. Dadas as matrizes de e : [ ] [ ] [ ] [ ] Faça o que se pede: (a) Se , determine . RESOLUÇÃO: Temos que a matriz de em relação as bases e é [ ] [ ] [ ] Assim, [ ] [ ] [ ] [ ] * + Seja . Temos que na base é da forma [ ] * +, onde Assim, { donde obtemos e . Portanto, as coordenadas de em relação à base são [ ] [ ] [ ] * + [ ] * + [ ][ ] Logo, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (b) é invertível? Em caso afirmativo, determine (* +). RESOLUÇÃO: A aplicação é invertível, pois [ ] [ ] . Sabemos que a inversa de tem sua matriz em relação às bases e dada por [ ] ([ ] ) * + * + Assim, para um vetor ( ) temos que [ ] * + onde ( ) ( ) . Daí, obtemos ( ) ( ) que nos fornece e . Logo, * ( )+ [ ] [ ] * + [ ] [ ] [ ] [ ] Portanto, ( )
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