2a Lista de Exercícios de Álgebra Linear II - 2014-02 - Turmas 01-08

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS - UEA
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA - EST
2
a
Lista de Exercícios de Álgebra Linear II - Engenharia (Ciclo Básico)
QUESTÕES
Transformações Lineares.
Questão 1. Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(a) F : R2 → R2 definida por F (x, y) = (x+ y, x− y);
(b) G : R2 → R definida por G(x, y) = xy;
(c) H :M2×2(R)→ R dada por H
([
a b
c d
])
= a+ d;
(d) S : P2 → P3 dada por S(at2 + bt+ c) = at3 + bt2 + ct+ 1;
(e) N : P3 →M2×2(R) definida por N(at3 + bt2 + ct+ d) =
(
a b
c d
)
.
(f) T : R2 →M2×2(R), onde T (x, y) =
[
2x x− y
x+ y 2y
]
.
Questão 2. Considere V =Mn×n(R) e seja B em V . Defina a função T : V → V por
T (A) = AB +BA
para toda matriz A em V . Mostre que T é uma transformação linear.
Questão 3. Mostre que a função T :Mm×n(R) → Mn×m(R), definida por T (A) = At, é
uma transformação linear.
Questão 4. Determine uma transformação linear:
(a) T : R3 → R2 tal que T (1, 0, 0) = (2, 0), T (0, 1, 0) = (1, 1) e T (0, 0, 1) = (0,−1);
(b) T : R2 → R3 tal que T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0,−2) = (0, 1, 0).
(c) T : P2 → M2×2(R) tal que T (t2 + 1) =
(
1 0
0 0
)
, T (t + 1) =
(
0 1
0 0
)
e T (1) =(
0 0
1 0
)
.
(d) T : R2 → P3(R) tal que T (1, 1) = t2 − 1 e T (1,−1) = t3 + 1.
Questão 5. Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares. Deter-
mine quais destas transformações são injetivas e quais são sobrejetivas.
(a) T : R3 → R2, em que T (x, y, z) = (x− y, x− z);
(b) T : Pn → Pn+1, em que T (p(t)) = tp(t);
(c) T :M2×2(R)→M2×2(R), em que T (A) =MA sendo M =
[
1 −1
−4 4
]
;
(d) T : P2 → R4, em que T (ax2 + bx+ c) = (a+ b, 2b+ c, a+ 2b− c, c).
Questão 6. Dados T : U → V linear e injetora e u1,u2, . . . ,uk vetores L.I em U , mostre
que {T (u1), T (u2), . . . , T (uk)} é L.I.
Questão 7. Mostre que se T : V → W é uma transformação linear, então:
(a) ImT é um subespaço de W .
(b) KerT é um subespaço de V .
Questão 8. Considere a transformação linear T : R3 → R3 dada por
T (x, y, z) = (3x+ y,−2x− 4y + 3z, 5x+ 4y − 2z).
Determine se T é invertível. Em caso afirmativo, encontre T−1.
Questão 9. Sejam α = {(1,−1), (0, 2)} e β = {(1, 0,−1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)} bases de R2 e
1
R3, respectivamente, e [T ]αβ =
 1 01 1
0 −1

.
(a) Encontre T .
(b) Encontre uma base γ de R3 tal que [T ]αγ =
 1 00 0
0 1

.
Questão 10. Seja V o espaço vetorial de matrizes 2× 2 com base
β =
{(
1 0
0 0
)
,
(
0 1
0 0
)
,
(
0 0
1 0
)
,
(
0 0
0 1
)}
.
Se T : V → R2 é dada por T
([
a b
c d
])
= (a + d, b + c), encontre [T ]βα, onde α é a base
canônica de R2.
Questão 11. Seja T : P2 → P2 a transformação linear T (p(t)) = p(2t + 1). Encontre [T ]ββ
em relação à base β = {1, t, t2}.
Questão 12. Sejam T : R2 → R2 e S : R2 → R2 transformações lineares dadas por
T (x, y) = (x+ y, 0) e S(x, y) = (−y, x). Encontre expressões para definir:
(a) T + S (b) T ◦ S (c) T 3 (d) S−3.
Questão 13. Encontre a transformação T do plano R2 que é uma reflexão em torno da reta
y = x. Escreva-a em forma matricial.
Questão 14. No plano R2, uma rotação anti-horária de 45◦ é seguida por uma dilatação de√
2. Encontre a aplicação A que representa esta transformação do plano.
Questão 15. Seja T : R2 → R2 uma reflexão, através da reta y = 3x.
(a) Encontre T (x, y).
(b) Encontre a base α de R2 tal que [T ]αα =
[
1 0
0 −1
]
.
Questão 16. Seja T : R3 → R3 onde T (v) é a projeção do vetor v no plano 3x+2y+ z = 0.
(a) Encontre T (x, y, z).
(b) Encontre uma base ordenada β de R3 tal que
[T ]ββ =
 1 0 00 0 0
0 0 1
 .
Questão 17. Se [I]α
′
α =
 1 1 00 −1 1
1 0 −1

encontre:
(a) [v]α onde [v]α′ =
 −12
3

(b) [v]α′ onde [v]α =
 −12
3

.
Questão 18. Sejam β1 = {(1, 0), (0, 2)}, β2 = {(−1, 0), (1, 1)} e β3 = {(−1,−1), (0,−1)}
três bases ordenadas de R2. Encontre:
(a) [I]β2β1 (b) [I]
β3
β2
(c) [I]β1β3 (d)
(
[I]β2β1 · [I]β3β2
)−1
.
Estabelecer, se possível, uma relação entre estas matrizes mudança de base.
2
Questão 19. Seja V o espaço vetorial de matrizes 2 × 2 triangulares superiores. Sejam
β =
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
e β =
{[
1 0
0 0
]
,
[
1 1
0 0
]
,
[
1 1
0 1
]}
duas bases de
V . Encontre [I]ββ.
Questão 20. Mostre que a matriz A =
[
1 2
3 2
]
é semelhante à matriz D =
[
4 0
0 −1
]
.
Questão 21. Dizemos que uma matriz A é diagonalizável, quando existem uma matriz P,
não-singular, e uma matriz D, diagonal, tais que A = PDP−1. Mostrar que:
(a) se A é uma matriz diagonalizável, então At (transposta de A) é diagonalizável.
(b) se A é uma matriz diagonalizável, então Ak, k ≥ 1, é diagonalizável.
(Dica: Se B e C são matrizes quadradas, então (B−1)t = (Bt)−1 e (BC)t = CtBt.)
Autovalores e Autovetores.
Questão 22. Encontre os autovalores e autovetores correspondentes das transformações
lineares dadas:
(a) T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (x+ y, 2x+ y);
(b) T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (x,−2x− y, 2x+ y + 2z);
(c) T : P2(R)→ P2(R) dada por T (at2 + bt+ c) = ct2 + bt+ a;
(d) T :M2×2(R)→M2×2(R) dada por T
([
a b
c d
])
=
[
2c a+ c
b− 2c d
]
.
(e) T :M2×2(R)→M2×2(R) definida por T (A) = At.
Questão 23. Encontre a transformação linear T : R2 → R2 tal que T tenha autovalores −2
e 3 associados aos autovetores (3y, y) e (−2y, y), respectivamente.
Questão 24. Suponha que c é um autovalor de um operador invertível T .
(a) Mostre que
1
c
é um autovalor de T−1.
(b) Mostre que quando T = T−1 os únicos autovalores de T são 1 ou −1.
Questão 25. Determine os autovalores e os autovetores dos seguintes operadores cujas
matrizes na base canônica são:
(a) A =
[
1 2
0 −1
]
;
(b) A =
 1 0 0−1 0 −2
1 1 3
 ;
(c) A =

2 0 1 0
0 2 0 1
12 0 3 0
0 −1 0 0
.
(d) A =

1 0 1 0 1
0 −1 0 −1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 −2 0
0 0 0 0 2
 .
Questão 26. Suponha que v ∈ V seja autovetor de T : V → V e S : V → V , ao mesmo
tempo com autovalores λ1 e λ2, respectivamente. Encontre os autovalores de:
(a) S + T (b) S ◦ T
Questão 27. (a) Sejam V um espaço vetorial real e T um operador linear sobre V tal que
T 2 = T , isto é, T (T (v)) = T (v) para todo v ∈ V (operador idempotente). Mostre que os
autovalores de T são λ1 = 0 e λ2 = 1.
(b) Sejam V um espaço vetorial real e T um operador linear sobre V tal que T 2 = I, isto
3
é, T (T (v)) = v para todo v ∈ V (operador auto-reflexivo). Mostre que os autovalores de T
são λ1 = 1 e λ2 = −1.
(c) Sejam V um espaço vetorial real e T um operador linear sobre V de modo que existe um
número inteiro n tal que T n = 0, isto é, T n(v) = 0 para todo v ∈ V (operador nilpotente).
Mostre que o único autovalor de T é λ = 0.
Questão 28. Considere o operador linear T sobre P3 definido por:
T (p(x)) = p(x) + p′(x) + x2p′′(x).
Determine os autovalores e autovetores do operador linear T , descrevendo para cada auto-
valor o subespaço associado.
Questão 29. Determinar o operador linear T : R3 → R3, cujos autovalores 1 e −1 são
associados aos subespaços
V1 = {(x, y, z) ∈ R3; y = 0}
e
V−1 = {reta gerada por (0, 2, 0)}
de R3, respectivamente.
Questão 30. Seja V = F(R,R) o espaço das funções f : R→ R. Considere o subespaço
S = [e2t sen t, e2t cos t, e2t]
de V e o operador linear D : S → S definido por D(f) = f ′ (derivada de f). Considere
ainda as funções f1(t) = e
2t senx, f2(t) = e
2t cos t e f3(t) = e
2t
em V . Determine:
(a) a matriz de D em relação à base β = {f1, f2, f3} de S.
(b) os autovalores de D e as funções de S que são autovetores de D.
Diagonalização de Operadores.
Questão 31. Entre os operadores dados a seguir, verifique quais são diagonalizáveis:
(a) T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (x+ y, 2x+ y);
(b) T : R3 → R3 dada porT (x, y, z) = (x,−2x− y, 2x+ y + 2z);
(c) T : P2(R)→ P2(R) dada por T (at2 + bt+ c) = ct2 + bt+ a;
(d) T :M2×2(R)→M2×2(R) dada por T
([
a b
c d
])
=
[
2c a+ c
b− 2c d
]
.
(e) T :M2×2(R)→M2×2(R) definida por T (A) = At.
Questão 32. Seja A =
 1 −2 80 −1 0
0 0 −1
 . Calcule:
(a) A100 (b) A1321 (c) An, n ≥ 2.
Questão 33. Sejam T : R3 → R3 linear, α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, a base canônica
de R3, β = {(0, 1, 1), (0,−1, 1), (1, 0, 1)} e
[T ]αα =
 2 0 10 −3 1
0 0 −3
 .
(a) Encontre o polinômio característico de T , os autovalores de T e os autovetores corres-
pondentes.
(b) Encontre [T ]ββ e o polinômio característico. Qual observação você faz a este respeito?
(c) Encontre uma base γ de R3, se for possível, tal que [T ]γγ seja diagonal.
Questão 34. Considere o operador linear T : P1(R)→ P1(R) dado por:
T (p(t)) = p′(t) + (t+ 1)p(1).
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Sejam β = {1, 7− 4t} e γ = {q(t), 2t− 1} bases para P1(R) tais que
[T ]βγ =
[
3 s
−1 1
]
.
(a) Determine o polinômio q(t) e o parâmetro s ∈ R.
(b) T é um isomorfismo? Em caso afirmativo, determine o isomorfismo inverso.
(c) O operador T é diagonalizável? Justifique sua resposta.
Questão 35. Sejam A e P matrizes quadradas de mesma ordem, com P invertível.
(a) Mostre que se p(t) ∈ Pn(R), então
p(P−1AP) = P−1p(A)P.
(b) Mostre que se p é o polinômio característico de A, então
p(P−1AP) = 0.
Questão 36. Seja P3 o conjunto dos polinômios com grau menor do que ou igual a 3, e a
aplicação derivada de primeira ordem D1 : P3 → P3 definida por D1(f) = f ′.
(a) Mostre que D1 é uma transformação(operador) linear.
(b) Determinar os autovalores e autovetores de D1.
(c) O operador D1 é diagonalizável? Justifique sua resposta.
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