ATIVIDADE A2 - CÁLCULO APLICADO UMA VARIÁVEL

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27/05/2022 07:03 Anhembi Morumbi DL
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Atividade 2
Em relação à derivada de uma função, podemos classificá-la da seguinte forma: funções contínuas não deriváveis, funções contínuas, que só admitem até 1ª derivada, funções contínuas, que só admitem
até 2ª derivada e assim sucessivamente até a função de classe . Toda função polinomial racional é uma função de classe , ou seja admite as derivadas de todas as ordens. 
LIMA, E. L. Curso de análise. 9. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. v. 1. 
 
Nesse contexto, encontre a derivada da função , sabendo que , e assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido para .
Resposta correta. A derivada correta é igual a
. Inicialmente,   deve-se utilizar a regra do quociente para obter a primeira derivada, que é igual a:
. Daí, deriva-se novamente para obter a segunda derivada, aplicando novamente a regra do quociente. Portanto, temos:  
 
 
Resposta correta
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Atividade 2
Para derivar a função , é necessário conhecer a derivada da função polinomial e regras operatórias da derivada. No entanto, inicialmente, deve-se simplificar a função, utilizando
as regras operatórias da potência: soma, produto e quociente. 
 Nesse sentido, assinale a alternativa que indica qual o valor de 
Resposta correta. Os seguintes cálculos mostram que inicialmente foram aplicadas as propriedades de potência para simplificar a função e depois derivou-se a função adequadamente, obtendo o resultado de
. 
 
  
 
  
 
 
Resposta correta
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Atividade 2
Ao derivar uma função composta, é necessário aplicar a regra da cadeia. Verifique que a função é uma composição da função seno com a função polinomial elevado a 2 (função potência).
Assim, para derivar essa função, aplica-se inicialmente a derivada da função potência, em seguida, da função seno e, por fim, a função polinomial. 
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique qual é o valor de 
Resposta correta. De acordo com  os cálculos a seguir, o valor correto é
. 
 
 
 
.
Resposta correta
.
.
.
. 
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As funções trigonométricas possuem características próprias, tornando-as funções de grande complexidade. Portanto, derivar essas funções a partir da definição de derivadas por limites, torna-se
um trabalho árduo. Assim, a tabela de derivadas inclui fórmulas para derivar, também, as funções trigonométricas. 
 
A respeito das derivadas de funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) . 
II. ( ) . 
III. ( ) . 
IV. ( ) 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Resposta correta. A afirmativa das alternativas I e IV é verdadeira, pois as derivadas estão de acordo com a tabela de derivadas. Já a afirmativa II é falsa, pois a derivada da função cossecante é dada por
 Por fim, a afirmativa III também é falsa desde quando  a derivada da cotangete é
F, F, F, F.
V, F, F, V.
Resposta correta
F, V, F, V.
V, V, V, V.
V, V, F, F.
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A derivada de uma função aplicada a um ponto P é igual ao coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto P. Sendo assim, é possível encontrar as equações da reta tan-
gente e da reta normal . Nesse contexto, encontre as equações da reta tangente e da reta normal à curva , no ponto e analise as afirmativas a seguir. 
 
I. A equação da reta tangente é igual a 
II. A equação da reta normal é igual a 
III. O coeficiente angular da reta normal é o valor inverso do coeficiente angular da reta normal. 
IV. A derivada da função é igual à , portanto, o coeficiente angular da reta normal é igual a . 
 
Está correto o que se afirma em:
Resposta correta. De acordo com os cálculos a seguir: 
, a equação da reta tangente é igual a
 Como o coeficiente da reta normal é igual ao valor oposto inverso do valor do coeficiente angular da reta tangente, a equação da reta normal é igual a
I, II e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I e IV, apenas.
Resposta correta
I, II e III, apenas.
II e III, apenas.
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Seja a função espaço tempo , em que t representa o tempo. A velocidade média em um intervalo de tempo inicial ( e tempo final é dada por . A derivada de uma função aplicada em um ponto pode ser vista como uma taxa de variação instantânea. Na cinemática, dizemos que a função
velocidade é a derivada da função espaço em relação ao tempo , enquanto que a aceleração é a derivada da função velocidade em relação ao tempo . Com essas informações, considere a seguinte situação problema: o deslocamento (em metros) de uma partícula, mo-
vendo-se ao longo de uma reta, é dado pela equação do movimento , em que t é medido em segundos. 
Neste contexto, analise as afirmativas a seguir: 
 
I. A velocidade média para o período de tempo que começa quando e é igual a 40,0 m/s. 
II. A velocidade instantânea quando é igual a . 
III. A aceleração é sempre constante. 
IV. A aceleração quando o tempo é é igual a . 
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).
Resposta incorreta. A afirmativa I é incorreta, dado que a velocidade média para o período de tempo que começa quando
 e
 é igual a 40,0  m/s. De fato:
. A afirmativa II é correta, uma vez que a velocidade instantânea quando
 é igual a
. De fato:
 A afirmativa III é incorreta, porque a aceleração é sempre constante. De fato:  
 Por fim, a afirmativa IV é correta, já que a aceleração quando o tempo é
 é igual a
. De fato:
I, II e IV, apenas.
I, III e IV, apenas.
II e III, apenas.
II e IV, apenas.
Resposta correta
I, II e III, apenas.
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Atividade 2
Uma função, definida por várias sentenças pode ser derivada, respeitando-se a limitação do domínio para cada sentença e atendendo a condição para que a derivada de uma função exista num ponto : as derivadas laterais a direita, , e a derivada lateral à esquerda, , existem e são iguais. Segundo Fleming (2006) nem toda função contínua num ponto é derivável, no entanto, foi comprovado por teorema que
toda função derivável num ponto é contínua. Considere a função f(x) a seguir, definida por várias sentenças: 
FLEMING, D. M. Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
 
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A função é derivável em . 
II. ( ) A derivada de existe, pois as derivadas laterais são: . 
III. ( ) A função não é derivável em porque não é contínua em . 
IV. ( ) A função é derivável em , porque é contínua em . 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Resposta correta. A afirmativa I é falsa, sendo que 
 é derivável em
, logo,
. De fato:
. 
A afirmativa II é falsa, visto que a derivada de
existe, pois
, pois,
. De fato:
 
. 
A afirmativa III é verdadeira, dado que
 não é derivável em
, porque
 não é contínua em
. De fato, 
, portanto, f não é derivável em x=2. 
Já a afirmativa  IV é falsa, uma vez que
F, F, V, F.
Resposta correta
F, V, F, V.
V, V, F, F.
V, V, V, V.
F, F, F, F.
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Atividade 2
Na maioria das vezes, ao calcular o limite de uma função racional polinomial, pode ocorrer indeterminação matemática do tipo 0/0. Nesse caso, para determinar o limite, devemos fatorar
as funções racionais polinomiais utilizando a fatoração do polinômio que, em certas situações, é um cálculo muito simples. 
Nesse contexto, encontre o limite e assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido para o limite.
Resposta correta. O valor correto para o limite é igual a 4. De fato, para fatorar o polinômio
, utiliza-se a diferenças dos quadrados
, portanto,
, e o cálculo do limite é justificado da seguinte forma:
.
2.
0.
-2.
4.
Resposta correta
-4.
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Um tanque contém um líquido que, por conta da válvula da saída estar com defeito, o líquido está gotejando em um recipiente. Por observação experimental, foi possível,
através da modelagem matemática, verificar que após t horas, há litros no recipiente. Nesse contexto, encontre a taxa de gotejamento do líquido no recipiente, em
litros/horas, quando horas. 
 
Após os cálculos, assinale a alternativa que indique o resultado encontrado.
Resposta correta. Para encontrar a taxa de variação do gotejamento do líquido no recipiente em relação ao tempo, basta derivar a função
 e aplicar o ponto
horas, como mostram os cálculos a seguir.
6,245 litros/horas.
3,535 litros/horas.
4,875 litros/horas.
Resposta correta
5,525 litros/horas.
8,125 litros/horas.
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As derivadas das funções elementares podem ser obtidas através dos resultados tabelados. Os resultados da tabela foram obtidos através do limite por definição da derivada. Assim, é importante conhecer as derivadas das funções elementares para derivar funções
com maior facilidade. 
A respeito das derivadas de funções elementares, considere e analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) Se , então . 
II. ( ) Se , então 
III. ( ) Se , então . 
IV. ( ) Se então . 
 
Assinale a alternativaque apresenta a sequência correta.
Resposta correta. A afirmativa I é verdadeira, se
, então
, por regra de derivação. A afirmativa II é falsa, visto que se
, então
, pois a derivada de uma constante é igual a zero. A afirmativa III é verdadeira, porque se
, então
, como consta na tabela de derivadas. E, finalmente, a afirmativa IV é falsa, dado que se
então
. Verifique que a função
 é uma função composta e, portanto, através da regra da cadeia
F, F, F, F.
V, F, V, F.
Resposta correta
F, V, F, V.
V, V, V, V.
V, V, F, F.
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