CÁLCULO APLICADO UMA VARIÁVEL - ATIVIDADE 2

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Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2)
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Teste ATIVIDADE 2 (A2)
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Pergunta 1
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resposta:
Ao derivar uma função composta, é necessário aplicar a regra da cadeia. Verifique que a
função é uma composição da função seno com a função polinomial
elevado a 2 (função potência). Assim, para derivar essa função, aplica-se inicialmente a
derivada da função potência, em seguida, da função seno e, por fim, a função polinomial.
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique qual é o valor de 
.
.
Resposta correta. De acordo com os cálculos a seguir, o valor correto é .
Pergunta 2
Seja a função espaço tempo , em que t representa o tempo. A velocidade média em
um intervalo de tempo inicial ( e tempo final é dada por . A
derivada de uma função aplicada a um ponto pode ser vista como uma taxa de variação
instantânea. Na cinemática, dizemos que a função velocidade é a derivada da
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← OK
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função espaço em relação ao tempo , enquanto que a aceleração é
a derivada da função velocidade em relação ao tempo . Com essas
informações, considere a seguinte situação-problema: uma bola é atirada no ar com uma
velocidade inicial de 40 m/s e sua altura (em metros), após t segundos, é dada por
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir:
I. A velocidade média para o período de tempo que começa quando e dura é
igual a -25,6 m/s. 
II. A velocidade instantânea quando é igual a .
III. O instante em que a velocidade é nula é .
IV. A altura máxima atingida pela bola é de 25 metros.
Está correto o que se afirma em:
I, III e IV, apenas.
I, III e IV, apenas.
Resposta correta. A afirmativa I é correta, visto que a velocidade média para o
período de tempo que começa quando e dura é igual a -25,6
m/s. De fato:
. A
afirmativa II é incorreta, uma vez que a velocidade instantânea quando é
igual a .
A velocidade instantânea é dada por:
 A
afirmativa III é correta, porque o instante em que a velocidade é nula é
. De fato:
Por fim, a
afirmativa IV é incorreta, dado que a altura máxima atingida pela bola é de 25
metros. De fato, nesse caso, o tempo para atingir a altura máxima é de
 e . Portanto, a altura de máxima é de
.
Pergunta 3
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O estudante de uma universidade, para ter acesso ao seu armário, precisa de um código com 4
dígitos. O professor disponibi l izou o código da seguinte forma: 1º dígito: , em que
, 2º dígito: , em que , 3º dígito: , em que
, 4º dígito: , em que Para descobrir qual é o código,
encontre o valor das derivadas.
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique o código do armário do estudante.
2, 1, 1, 5.
2, 1, 1, 4.
Pergunta 4
As funções trigonométricas possuem características próprias, tornando-as funções de grande
complexidade. Portanto, derivar essas funções a partir da definição de derivadas por l imites,
torna-se um trabalho árduo. Assim, a tabela de derivadas inclui fórmulas para derivar, também,
as funções trigonométricas.
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da resposta:
A respeito das derivadas de funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V
para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) .
II. ( ) .
III. ( ) .
IV. ( ) 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, F, F, V.
V, F, F, V.
Resposta correta. A afirmativa das alternativas I e IV é verdadeira, pois as
derivadas estão de acordo com a tabela de derivadas. Já a afirmativa II é falsa,
pois a derivada da função cossecante é dada por
 Por fim, a afirmativa III também é falsa
desde quando a derivada da cotangete é 
Pergunta 5
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Para derivar funções, é necessário conhecer e saber uti l izar as suas regras operatórias: deriva da
soma entre duas funções, derivada do produto entre duas ou mais funções, derivada do
quociente entre duas funções, derivada da cadeia, para derivar as funções constantes. Neste
contexto, associe tais regras com suas fórmulas:
1 - Derivada do Produto.
2 - Derivada do Quociente.
3 - Derivada da Soma.
4 - Derivada da Cadeia.
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
A partir das relações feitas anteriormente, assinale a alternativa que apresenta a sequência
correta.
2, 3, 1, 4.
2, 3, 1, 4.
Resposta correta. De acordo com as regras estudadas, temos que
 = Derivada do Quociente. =
Derivada da Soma. = Derivada do
Produto. = Derivada da Cadeia.
Pergunta 6
Para derivar a função , é necessário conhecer a derivada da
função polinomial e regras operatórias da derivada. No entanto, inicialmente, deve-se
simplificar a função, uti l izando as regras operatórias da potência: soma, produto e quociente.
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 Nesse sentido, assinale a alternativa que indica qual o valor de 
Sua resposta está incorreta. Os seguintes cálculos mostram que inicialmente
foram aplicadas as propriedades de potência para simplificar a função e depois
derivou-se a função adequadamente, obtendo o resultado de .
.
Pergunta 7
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Existem funções que são definidas na forma implícita, ou seja, a variável dependente y não se
apresenta explicitamente como A forma implícita pode ser representada como
, como, por exemplo, a função Verifique que, nesse caso, fica
difíci l explicitar a variável dependente y, portanto, é recomendável derivá-la implicitamente. 
A partir do apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A derivada da função aplicada ao ponto é igual a .
Pois:
II. A função derivada de y=f(x) é igual a .
A seguir, assinale a alternativa correta.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
Resposta correta. A asserção I é uma proposição verdadeira y’=2e, desde
quando a asserção II também é verdadeira. De fato, a derivada de y=f(x) é igual
a e é claro que ao aplicarmos o ponto (0,1), em que x=0 e y=1,
o valor de y’ é igual a . Portanto, a segunda asserção justifica a primeira.
Pergunta 8
As derivadas das funções elementares podem ser obtidas através dos resultados tabelados. Os
resultados da tabela foram obtidos através do l imite por definição da derivada. Assim, é
importante conhecer as derivadas das funções elementares para derivar funções com maior
facil idade.
A respeito das derivadas de funções elementares, considere e analise as
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) Se , então .
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II. ( ) Se , então 
III. ( ) Se , então .
IV. ( ) Se então .
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, V, V, V.
V, F, V, F.
Sua resposta está incorreta. A afirmativa I é verdadeira, se ,
então , por regra de derivação. A afirmativa II é falsa, visto que
se , então , pois a derivada de uma constante é igual a zero. A
afirmativa III é verdadeira, porque se , então, ,
como consta na tabela de derivadas. E finalmente, a afirmativa IV é falsa, dado
que se então, . Verifique
que a função é uma função composta e, portanto, através da regra da
cadeia 
Pergunta 9
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Na maioria das vezes, ao calcular o l imite de uma função racional polinomial, pode ocorrer
indeterminação matemática do tipo 0/0. Nesse caso, para determinar o l imite, devemos fatorar
as funções racionais polinomiaisuti l izando a fatoração do polinômio que, em certas situações,
é um cálculo muito simples.
Nesse contexto, encontre o l imite e assinale a alternativa que indique qual é o
resultado obtido para o l imite.
4.
4.
Resposta correta. O valor correto para o l imite é igual a 4. De fato, para fatorar
o polinômio , uti l iza-se a diferenças dos quadrados
, portanto, , e o cálculo do
limite é justificado da seguinte forma:
.
Pergunta 10
Uma função, definida por várias sentenças pode ser derivada, respeitando-se a
l imitação do domínio para cada sentença e atendendo a condição para que a derivada de
uma função exista num ponto : as derivadas laterais a direita, , e a derivada lateral
à esquerda, , existem e são iguais. Segundo Fleming (2006) nem toda função contínua
num ponto é derivável, no entanto, foi comprovado por teorema que toda função derivável
num ponto é contínua. Considere a função f(x) a seguir, definida por várias sentenças:
FLEMING, D. M. Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s)
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Domingo, 17 de Maio de 2020 21h17min33s BRT
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falsa(s).
I. ( ) A função é derivável em .
II. ( ) A derivada de existe, pois as derivadas laterais são: .
III. ( ) A função não é derivável em porque não é contínua em .
IV. ( ) A função é derivável em , porque é contínua em .
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
F, F, V, F.
F, F, V, F.
Resposta correta. A afirmativa I é falsa, sendo que é derivável em ,
logo, . De fato:
.
A afirmativa II é falsa, visto que a derivada de existe, pois
, pois, . De fato:
.
A afirmativa III é verdadeira, dado que não é derivável em , porque 
 não é contínua em . De fato, , portanto, f não é
derivável em x=2.
Já a afirmativa IV é falsa, uma vez que é derivável em porque é
contínua em . O fato de uma função ser contínua não garante a sua
derivabil idade.