Questão resolvida - A região R, limitada pelas curvas y x e y x2, é girada ao redor do eixo y Encontre o volume do sólido resultante - método dos discos - Cálculo II

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• A região R, limitada pelas curvas e , é girada ao redor do eixo y. y = x y = x2
Encontre o volume do sólido resultante.
 
Resolução:
 
Primeiro, vamos encontrar a interseção entre as curvas, basta igualar e resolver para x;
 
x = x x - x = 0 x 1- x = 0 x = 0 ou 1- x = 02 → 2 → ( ) →
 -x = -1 × -1( ) ( )
 x = 1
substituindo as coordenadas x dos pontos de interseção na reta, temos que os pontos de 
interseção são;
 
x = 0 y = 0 ponto 0, 0→ → ( )
 
x = 1 y = 1 ponto 1, 1→ → ( )
 
 
A reta é crescente, a parábola tem concavidade voltada para cima, assim, a podemos 
construir o gráfico da região que vai girar em torno do eixo x e formar o volume, como visto a 
seguir;
 
A fórmula que fornece o volume de um sólido de revolução, em torno de y, pelo método dos 
discos é;
 
V = 𝜋 f y dy
b
a
∫ [ ( )]2
 
Antes de aplicar a fórmula, é preciso colocar as curvas em função de y;
 
y = x x = y x = f y =2 → 2 → y→ ( ) y
 
y = x x = y f y = y→ → ( )
 
O limite de integração vai de a , assim, temos que o volume é o volume definido a = 0 b = 1
pela parábola menos o volume definido pela reta, ambos em torno de y;
 
V = 𝜋 dy -𝜋 y dy = 𝜋 ydy -𝜋 y dy = 𝜋 -
1
0
∫ y 2
1
0
∫ ( )2
1
0
∫
1
0
∫ 2 y
2
2 y
3
3 1
0
 
 
 
V = 𝜋 - -𝜋 - = 𝜋 - - 0 = 𝜋 = 𝜋 ⋅
1
2
( )2 1
3
( )3 0
2
( )2 0
3
( )3 1
2
1
3
3- 2
6
1
6
 
V = u. v.
𝜋
6
 
 
(Resposta )