PRÁTICA DE ENSINO MODELAGEM MATEMÁTICA E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

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PROFESSOR
Dr. Wellington Piveta Oliveira
Prática de 
Ensino: 
Modelagem 
Matemática e 
Resolução de 
Problemas
NEAD - Núcleo de Educação a Distância
Av. Guedner, 1610, Bloco 4 Jd. Aclimação - Cep 87050-900 | Maringá - Paraná
www.unicesumar.edu.br | 0800 600 6360 
EXPEDIENTE
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. 
Núcleo de Educação a Distância. OLIVEIRA, Wellington Piveta.
Prática de Ensino: Modelagem Matemática e Resolução 
de Problemas. Wellington Piveta Oliveira. Maringá - PR.: 
UniCesumar, 2021.
216 p.
“Graduação - EaD”. 
1. Modelagem 2. Matemática 3. Ensino. 4. EaD. I. Título.
ISBN: 978-65-5615-696-5
CDD - 22 ed. 510.7 
Impresso por: 
Bibliotecário: João Vivaldo de Souza CRB- 9-1679
Coordenador(a) de Conteúdo 
Antoneli da Silva Ramos
Projeto Gráfico e Capa
André Morais, Arthur Cantareli e 
Matheus Silva
Editoração
Lavígnia da Silva Santos
Design Educacional
Antonio Eduardo Nicacio
Curadoria
Fabiana Bruna Gozer Dias
Revisão Textual
Ana Caroline C. de Sousa Baniogli
Ilustração
Geison Odlevati Ferreira e Eduardo 
Aparecido Alves
Fotos
Shutterstock
FICHA CATALOGRÁFICA
A UniCesumar celebra os seus 30 anos de história 
avançando a cada dia. Agora, enquanto Universidade, 
ampliamos a nossa autonomia e trabalhamos diaria-
mente para que nossa educação à distância continue 
como uma das melhores do Brasil. Atuamos sobre 
quatro pilares que consolidam a visão abrangente 
do que é o conhecimento para nós: o intelectual, o 
profissional, o emocional e o espiritual.
A nossa missão é a de “Promover a educação de 
qualidade nas diferentes áreas do conhecimento, for-
mando profissionais cidadãos que contribuam para o 
desenvolvimento de uma sociedade justa e solidária”. 
Neste sentido, a UniCesumar tem um gênio impor-
tante para o cumprimento integral desta missão: o 
coletivo. São os nossos professores e equipe que 
produzem a cada dia uma inovação, uma transforma-
ção na forma de pensar e de aprender. É assim que 
fazemos juntos um novo conhecimento diariamente.
São mais de 800 títulos de livros didáticos como este 
produzidos anualmente, com a distribuição de mais 
de 2 milhões de exemplares gratuitamente para nos-
sos acadêmicos. Estamos presentes em mais de 700 
polos EAD e cinco campi: Maringá, Curitiba, Londrina, 
Ponta Grossa e Corumbá), o que nos posiciona entre 
os 10 maiores grupos educacionais do país.
Aprendemos e escrevemos juntos esta belíssima 
história da jornada do conhecimento. Mário Quin-
tana diz que “Livros não mudam o mundo, quem 
muda o mundo são as pessoas. Os livros só 
mudam as pessoas”. Seja bem-vindo à oportu-
nidade de fazer a sua mudança!
Reitor 
Wilson de Matos Silva
Tudo isso para honrarmos a 
nossa missão, que é promover 
a educação de qualidade nas 
diferentes áreas do conhecimento, 
formando profissionais 
cidadãos que contribuam para 
o desenvolvimento de uma 
sociedade justa e solidária.
Dr. Wellington Piveta Oliveira
Olá! Sou Wellington Piveta Oliveira, natural de Assis Cha-
teaubriand, Paraná. Desde muito pequeno, sempre gostei 
de coisas que diziam respeito à escola. Nas brincadeiras 
da minha infância, a minha irmã e os meus primos sempre 
eram os meus “alunos”. Na Educação Básica, em escola 
pública, conheci um professor de Matemática que me fez 
enxergar essa área de conhecimento com “outros olhos” 
e considero que essa visão me conduziu à cursar a Licen-
ciatura em Matemática. Na graduação, ao ter contato com 
disciplinas da área de Ensino de Matemática foi como se 
eu resgatasse toda aquela inspiração sobre ser professor. 
Naquele momento da minha vida, tive a oportunidade de 
participar de alguns eventos da área de Educação Mate-
mática e me relacionar de modo mais íntimo com a Mo-
delagem Matemática, um dos temas abarcados por essa 
componente curricular.
Cursei pós-graduação (Mestrado e Doutorado) nesta 
área e, neste momento, ao escrever um pouco da minha 
trajetória que, certamente, exerceu influências nas esco-
lhas que fiz para a escrita deste livro, inúmeras lembran-
ças se manifestaram. Lembranças essas que, além de 
deixar saudades, me fazem enxergar as oportunidades e 
as escolhas que tive de fazer. Inclusive essa, o desafio de 
escrever esse material.
No planejamento de uma aula de Matemática, o professor Marcos se deparou com um exer-
cício no final de uma unidade do livro didático cuja temática envolvia mudanças climáticas. 
Buscando informações sobre o tema, se deparou com notícias de que as mudanças climá-
ticas estão entre os maiores problemas mundiais. Em reportagens publicadas, obteve infor-
mações como movimentos cruciais na luta contra o aquecimento global que contribuíram 
para minimizar os índices de temperatura do planeta, já que as projeções são alarmantes. 
Diante de informações, o professor Marcos considerou a possibilidade de abordar 
esse tema com Matemática. Você seria capaz de dizer que possibilidades ele teria para 
desenvolver o trabalho pedagógico em sala de aula? Pois é, essa pergunta pode nos 
guiar a diferentes abordagens de práticas em salas de aulas, por exemplo, a proposição 
de situações-problema a partir de um texto com dados quantitativos, como também 
a elaboração e resolução de situações pelos próprios estudantes. 
Porém, o professor Marcos teve outra ideia: na aula seguinte, pediu que os estudantes 
monitorassem a temperatura, em suas residências, ao longo de um dia e que registrassem 
os horários e as respectivas temperaturas. Nesta orientação, o professor já pressupõe o 
desenvolvimento de uma habilidade matemática, a de organização desses dados.
Na aula seguinte, quando os estudantes chegaram com as anotações dos horários 
e, respectivamente, das temperaturas, o professor pediu que em grupos, eles esco-
lhessem como poderiam trabalhar com aquelas temperaturas de modo que o grupo 
devesse eleger as temperaturas de um dia. Os grupos, prontamente, realizaram um 
média das temperaturas de cada um dos membros e estabeleceram as temperaturas 
do grupo, para cada horário. 
Em seguida, o professor pediu que eles representassem aqueles dados no plano 
cartesiano e logo visualizaram que os “pontos” indicavam o comportamento das tem-
peraturas, isto é, iniciava o dia com uma temperatura mais amena, ao longo do dia 
“esquentava” e, ao chegar à noite, a temperatura colocava-se a decair.
PRÁTICA DE ENSINO: MODELAGEM MATEMÁTICA E 
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Provavelmente, você já representou, mentalmente, essa situação, não é mesmo? 
Pois é, essa ideia foi oportuna para que o professor Marcos abordasse o conteúdo de 
função quadrática ou função de grau 2, cuja localização dos pares ordenados no plano 
cartesiano tendo em seus eixos, temperatura e horário, permitiram a visualização, pelos 
estudantes, de uma curva e, ao estudá-la, compreenderam que o coeficiente angular 
era menor que zero e tantas outras coisas. E você, como desenvolveria uma experiência 
em sala de aula, para abordar o conteúdo de função quadrática?
Note que tanto a exploração dessa situação por meio de problemas, quanto por 
meio de um convite à produção e manipulação de dados pelos próprios estudantes são 
escolhas que, geralmente, não ocorrem nas práticas dos professores de Matemática. 
Porém o ato de problematizar e investigar a situação, além de conquistar os estudan-
tes, promove uma visão sobre Matemática contextualizada, permitindo a atribuição de 
sentidos aos conceitos que estão previstos curricularmente.
Essa é a pauta de nossos estudos, pois abordaremos desde algumas ideias para 
que você, assim como o professor Marcos possa ampliar seus horizontes didático-pe-
dagógicos sobre como ensinar e aprender Matemática, até a apresentação de algumas 
práticas para inspirá-lo(a) em sua jornada como futuro(a) educador(a). Me refiro à 
Resolução de Problemas e à Modelagem Matemática como possibilidades para o pla-
nejamento e desenvolvimento de ações pautadas na Educação Matemática.Espero que, com carinho e determinação, você aproveite e mergulhe de cabeça 
em cada linha, imagem ou figura que foi escolhida para a elaboração deste material, 
que só se tornará rico se você transcendê-los e articulá-los na produção de saberes e 
conhecimentos profissionais.
Excelentes estudos!
Quando identificar o ícone de QR-CODE, utilize o aplicativo Unicesumar 
Experience para ter acesso aos conteúdos on-line. O download do 
aplicativo está disponível nas plataformas: Google Play App Store
Ao longo do livro, você será convida-
do(a) a refletir, questionar e trans-
formar. Aproveite este momento.
PENSANDO JUNTOS
NOVAS DESCOBERTAS
Enquanto estuda, você pode aces-
sar conteúdos online que amplia-
ram a discussão sobre os assuntos 
de maneira interativa usando a tec-
nologia a seu favor.
Sempre que encontrar esse ícone, 
esteja conectado à internet e inicie 
o aplicativo Unicesumar Experien-
ce. Aproxime seu dispositivo móvel 
da página indicada e veja os recur-
sos em Realidade Aumentada. Ex-
plore as ferramentas do App para 
saber das possibilidades de intera-
ção de cada objeto.
REALIDADE AUMENTADA
Uma dose extra de conhecimento 
é sempre bem-vinda. Posicionando 
seu leitor de QRCode sobre o códi-
go, você terá acesso aos vídeos que 
complementam o assunto discutido.
PÍLULA DE APRENDIZAGEM
OLHAR CONCEITUAL
Neste elemento, você encontrará di-
versas informações que serão apre-
sentadas na forma de infográficos, 
esquemas e fluxogramas os quais te 
ajudarão no entendimento do con-
teúdo de forma rápida e clara
Professores especialistas e convi-
dados, ampliando as discussões 
sobre os temas.
RODA DE CONVERSA
EXPLORANDO IDEIAS
Com este elemento, você terá a 
oportunidade de explorar termos 
e palavras-chave do assunto discu-
tido, de forma mais objetiva.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/3881
Outro Paradigma: 
Perspectivas Para 
Uma Educação 
Matemática
9 47
APRENDIZAGEM
CAMINHOS DE
1 2
Resolução De 
Problemas Na 
Perspectiva 
Da Educação 
Matemática
83
Problemas E 
Práticas Na 
Abordagem Com 
A Resolução De 
Problemas
3 4 121
Modelagem 
Matemática 
Na Perspectiva 
Da Educação 
Matemática
5 161
Alguns 
Aspectos Sobre 
Práticas Com 
Modelagem 
Matemática 
1Outro Paradigma: Perspectivas para uma Educação 
Matemática
Dr. Wellington Piveta Oliveira
Prezado(a) estudante, seja bem-vindo à disciplina Prática de Ensino: 
Modelagem Matemática e Resolução de Problemas. Nesta unidade, 
você terá a oportunidade de refletir sobre três aspectos que, na minha 
compreensão, são fundamentais para o trabalho pedagógico com a 
Resolução de Problemas e com a Modelagem Matemática. O primeiro 
deles se refere à natureza das práticas, que contemplam atividades 
matemáticas; o segundo, à postura dos agentes na prática pedagógica; 
e o terceiro, à Resolução de Problemas e a Modelagem Matemática nas 
orientações curriculares. A reflexão sobre esses aspectos, certamente, 
lhe subsidiará no planejamento de atividades e práticas que se confi-
gurem em verdadeiros ambientes de aprendizagem.
UNIDADE 1
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Caro(a) estudante, como futuro(a) profissional que atuará com Matemática, cer-
tamente, você é um(a) apaixonado(a) por números, cálculos, tabelas, gráficos, 
entre outros tipos de registros. Desde muito cedo, eu sempre me dei bem com 
a Matemática, mas quando ingressei nos Anos Finais do Ensino Fundamental, 
algumas coisas começaram a me causar desconforto de serem aprendidas. Eu não 
enxergava muito sentido naquelas coisas que a minha professora de Matemática 
apresentava sem muitos rodeios. 
Quando ingressei no Ensino Médio, tive um professor que era um amante da 
astronomia e aquelas “viagens” que ele fazia (que hoje entendo ser relações entre os 
diferentes campos do conhecimento), consequentemente, me aproximou novamen-
te daquilo que, atualmente, tenho apreço. Esse apreço me levou ao curso de Licen-
ciatura em Matemática e nele tive o contato com outras “coisas” que se quer eu sabia 
da existência, por exemplo, os modos pelos quais a Matemática pode ser ensinada 
e aprendida. Há alguns anos, esses modos de ensinar e aprender se tornaram meus 
objetos de estudo, de pesquisa e de profissão. Com esta reflexão, possivelmente, você 
também retomou as suas experiências com a Matemática. Resgatando essas me-
mórias, te pergunto: ao longo da sua vida, como você tem aprendido Matemática?
A pergunta anterior, provavelmente, te fez lembrar e reviver muita coisa. Digo 
isso, porque ao fazê-la, eu também me peguei refletindo e esse movimento me 
conduziu a pensar em alguns pontos, que vou te apresentar e que pretendo escla-
recer ao longo dos nossos estudos com essa primeira unidade. Ao mesmo tempo, 
vejo que esses pontos podem justificar as razões pelas quais essa disciplina está na 
grade curricular do seu curso e, consequentemente, em seu processo formativo, 
visando a sua prática profissional.
Bom, mencionei sobre ser apaixonado(a) por “números, cálculos, tabelas, grá-
ficos, entre outros”. Apoiados na Didática da Matemática, podemos considerar 
esses objetos “números, cálculos, tabelas, gráficos…”, como sendo diferentes tipos 
de registros de representação. É sabido que a mobilização e coordenação desses re-
gistros, pelos estudantes, em atividades matemáticas, pode indicar a aprendizagem 
de conceitos matemáticos. Contudo, para isso, as práticas que contemplam ati-
vidades matemáticas, precisam oportunizar condições para essa manifestação.
Consequentemente, outro aspecto que surge no âmbito da natureza dessas 
práticas se dirige à postura dos agentes da prática pedagógica, estudantes e 
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professores, que são assumidas nos empreendimentos que se caracterizam como 
práticas de ensino e que visam a aprendizagem.
Esses dois pontos me parecem suficientes, neste momento, para começarmos 
a refletir sobre outros modos de ensinar e aprender Matemática que, podem ou 
não, fazer parte dos modos pelos quais você também aprendeu Matemática.
No entanto, os dois aspectos anteriores estão presentes em alguns documentos 
oficiais que orientam o processo de ensino e aprendizagem da Matemática na 
Educação Básica. Convergente às práticas matemáticas, que contemplam posturas 
ativas dos sujeitos envolvidos nesse processo, esses documentos sugerem a Reso-
lução de Problemas e a Modelagem Matemática como tendências em Educação 
Matemática. Nesse sentido, também considero importante que você conheça sobre 
a Resolução de Problemas e a Modelagem Matemática nas orientações cur-
riculares para pensarmos em nossas ações como futuro(a) profissional. Vamos lá?
Antes disso, te convido para analisar a seguinte atividade que foi extraída do 
Projeto Araibá (2010, p.134): Luísa quer dividir 700 reais para presentear seus 
três sobrinhos: Fred, Fernanda e Fabiano. Fred receberá o triplo da quantia 
que Fernanda receberá, e Fabiano receberá o dobro da quantia que Fred 
receberá. Como será feita essa divisão?
Bom, vamos lá, mas, primeiro: você sabe me dizer qual a quantia que cada 
um receberá? Como você resolveu?
Anteriormente, foi colocada uma situação-problema que é apresentada para 
estudantes do 7º ano do Ensino Fundamental - Anos Finais, para a aprendizagem 
do conteúdo de Equação do 1º grau. Mas como profissionais, temos autonomia 
para pensar e utilizar outras situações que podem ser úteis ao processo de apren-
dizagem, sejam elas derivadas de problemas como esse, apresentados nos livros 
didáticos, ou estruturadas de outros modos.
Você consegue pensar em outros modos para abordar essa situação, isto é, 
outra proposta que exija a mesma habilidade ou outra semelhante requerida para 
a resolução dessa atividade?
Bom, ao experimentar, analiticamente, a atividade anterior, te convido a refletir:
 ■ O que você pensa sobre esse tipo de atividade matemática (apresentada 
anteriormente)?
 ■ Quais são os outros modos que você conjecturou?
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Não esqueça de anotar as suas respostas e outras reflexões em nosso Diário de 
Bordo. A prática de registrar o pensamentoé um excelente exercício cognitivo 
para organizarmos as nossas ideias. Até porque, você poderá visitá-las e acom-
panhar o seu próprio desenvolvimento.
DIÁRIO DE BORDO
É evidente que as práticas que contemplam atividades matemáticas, nos con-
textos educacionais, assumem naturezas distintas. Ao longo da nossa trajetória de 
formação, seja na Educação Básica e/ou no Ensino Superior, inúmeras experiên-
cias (algumas delas de sucesso e outras nem tanto), configuraram a nossa relação 
com a Matemática. Talvez seja por isso, que alguns poucos têm uma relação de 
paixão por essa ciência, e outros tenham aversão.
Essa atividade que apresentei, anteriormente, é um exemplo de algumas das 
possibilidades que nós temos para ensinar e aprender Matemática. Existem outras 
e, provavelmente, você pensou nelas para abordar o conteúdo de Equações do 1º 
grau ou para exercitar os conteúdos trabalhados. 
Um exemplo desse seria, sabendo que Fred é representado por x, Fernanda 
por y e Fabiano por z, basta equacionarmos x + y + z = 700. Contudo, há as re-
lações entre as quantidades recebidas por cada um deles, isto implica em outra 
dedução de que x = 3y, y = y e z = 6y, ou seja, para a solução do problema, basta 
resolvermos a equação: 3y + y + 6y = 700.
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Poderia então, esquecer dessa situação-problema que mais parece ter “con-
fundido” e apresentar apenas “Resolva a equação: 3y + y + 6y = 700?”. Obviamente 
que a resposta é sim, mas essa escolha, certamente, pode deixar muitas oportuni-
dades de lado. É sobre a natureza das práticas envolvendo esses diferentes tipos 
de atividades, que vamos aprofundar neste momento.
Para isso, recorremos ao famoso texto de Skovsmose (2000), apresentado no 
Bolema, um importante periódico de Educação Matemática. O texto intitulado 
Cenários para Investigação é um convite a pensarmos na natureza das práticas 
de ensino de Matemática e nas oportunidades de aprendizagem que se consti-
tuem ou deixam de existir, quando fazemos algumas escolhas, bem como nas 
posturas que professores e estudantes assumem em cada uma delas.
Na época em que Skovsmose (2000) apresentou esse texto, ele afirmou a exis-
tência de um paradigma em que as práticas educacionais para ensinar Matemáti-
ca pareciam estar pautadas e sugeriu uma outra abordagem. Concordando com o 
autor, ao propor outras abordagens, não se tem por objetivo superar um ou outro 
paradigma, tão pouco tornar qualquer abordagem excludente, mas sim, oferecer 
condições para que possamos pensar em outros caminhos para fazer Matemática, 
de forma crítica e democrática, em sala de aula.
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O paradigma identificado como recorrente é denominado por paradigma do 
exercício como aquele que parece ter permanecido. Esse paradigma assume dis-
tintas características que, na minha compreensão, faz todo sentido o uso do termo 
exercício. Dentre os aspectos que dimensionam esse paradigma, temos que:
 “ [...] o professor apresenta algumas ideias e técnicas matemáticas e, de-pois, os alunos trabalham com exercícios selecionados. [...] existem va-riações nesse mesmo padrão: há desde o tipo de aula em que o professor 
ocupa a maior parte do tempo com exposição até aquela em que o aluno 
fica a maior parte do tempo envolvido com resolução de exercícios. De 
acordo com essas e muitas outras observações, a educação matemática 
tradicional se enquadra no paradigma do exercício. Geralmente, o 
livro didático representa as condições tradicionais da prática de sala de 
aula. Os exercícios são formulados por uma autoridade externa à sala 
de aula. Isso significa que a justificativa da relevância dos exercí-
cios não é parte da aula de matemática em si mesma. Além disso, a 
premissa central do paradigma do exercício e que existe uma, e somente 
uma, resposta correta(SKOVSMOSE, 2000, p. 1-2, grifo nosso).
A citação do autor revela inúmeros pontos que nos parecem familiares quanto à práti-
ca educativa, ao fazer docente e os artefatos utilizados. A configuração da prática, nesse 
paradigma, parece silenciar a oportunidade de enxergar o brilho da Matemática como 
uma ciência, que apresenta relações e aplicações; silencia também que a produção do 
conhecimento matemático escolar pode ser um produto de conjecturas e de testes; 
entre outras ausências, porque tudo é apresentado, “despejado”, com a intenção de que 
haja uma reprodução, uma prática sem efetiva e necessária compreensão.
Evidentemente que a “justificativa da relevância” de determinados exercícios, con-
teúdos, temas, entre outros, é outro aspecto que merece atenção. Sabemos que essa 
justificativa do “Por que isso?”, “Para que, aquilo?” precisa ser objeto que permeia a 
prática de ensino e de aprendizagem, em qualquer ambiente. Entendo que essa justi-
ficativa vai dando sentido às experiências que são desenvolvidas, na medida em que 
também oportuniza aos estudantes, a elaboração de significados para os conceitos, 
isto é, para que eles possam generalizá-los e transpor para outros contextos.
Outro aspecto que destaco desse paradigma é a visão de que há uma “res-
posta correta”. Esse entendimento faz todo o sentido, quando consideramos 
exercícios prontos e acabados, sem qualquer abertura para modificá-los. É certo 
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que admitir uma resposta pode trazer resultados que, ancorados em proce-
dimentos e técnicas apresentadas previamente, vão revelar o domínio de um 
conceito por aquele que resolve. 
Contudo, façamos um alerta de que, esse “dominar” pode não expressar uma 
aprendizagem com significado, quando uma resposta pode ser correta depois de 
um rol de exercícios semelhantes, em que basta, por exemplo, apenas trocar os 
valores numéricos.
Com esses pontos problematizados, Skovsmose (2000) propõe outra abor-
dagem que chamou de cenários para investigação. A princípio, esses cenários 
rompem com os aspectos que configuram as práticas situadas no paradigma 
anterior, quando oferecem condições e suporte ao trabalho investigativo. 
Segundo o autor, na prática investigativa, os atos dialógicos são sustentados 
por perguntas como: “O que acontece se...?” e “Por que isto?”, que por sua vez 
geram respostas e promovem outras perguntas. Nesse sentido, um cenário para 
investigação “[...] é aquele que convida os alunos a formularem questões e pro-
curarem explicações” (SKOVSMOSE, 2000, p. 6). 
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Evidentemente que, “O que acontece se…?” se torna um convite para o es-
tudante e o aceite deste, leva ao “Por que isto?”, perguntado pelo professor e tor-
nando o objeto de estudo um desafio para o estudante. Desse modo, “quando os 
alunos assumem o processo de exploração e explicação, o cenário para investi-
gação passa a constituir um novo ambiente de aprendizagem. No cenário para 
investigação, os alunos são responsáveis pelo processo” (SKOVSMOSE, 2000, p. 
6). O empreendimento destes cenários, além de contrapor-se ao paradigma do 
exercício, coloca sob categorias analíticas e reflexivas o papel social da matemáti-
ca, isto é, interroga a sua presença na sociedade, bem como a própria matemática.
Essa abertura para análise e reflexão coloca em desenvolvimento, o que D’Am-
brosio (1999) chamou de materacia, não se referindo “[...] apenas às habilidades 
matemáticas, mas também à competência de interpretar e agir numa situação 
social e política estruturada pela matemática” (SKOVSMOSE, 2000, p. 68).
 “ [...] o cenário somente torna-se um cenário para investigação se os alunos aceitam o convite. Ser um cenário para investigação é uma propriedade relacional. A aceitação do convite depende de sua natu-
reza, (a possibilidade de explorar e explicar propriedades matemáticas 
de uma tabela de números pode não ser atrativa para muitos alunos), 
depende do professor, (um convite pode ser feito de muitas manei-
ras e para alguns alunos um convite do professor pode soar como um 
comando), e depende, certamente, dos alunos (no momento, eles po-
dem ter outras prioridades). O que pode servir perfeitamente como 
um cenário para investigação a um grupo dealunos numa situação 
particular pode não representar um convite para um outro grupo de 
alunos (SKOVSMOSE, 2000, p. 7, grifo nosso).
Aqui temos, portanto, uma clara diferença entre o paradigma do exercício e os 
cenários para investigação. Veja que no primeiro, tudo já está muito bem dese-
nhado, o professor expõe as suas ideias, os estudantes resolvem exercícios e, sem 
muito diálogo (ou apenas para entendimento, exclusivamente, do conteúdo), a 
prática é desenvolvida. Já no segundo, o cenário constituído como uma aborda-
gem investigativa depende, inteiramente, das posturas que os sujeitos envolvidos 
vão assumir para que ela se desenvolva.
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Skovsmose (2000) argumenta que as práticas, tanto situadas no paradigma de 
exercícios quanto nos cenários para investigação, podem admitir outro aspecto 
que nos ajudam a estabelecer uma clara distinção entre elas. Esse aspecto é atri-
buído por ele como referência que, por sua vez, respalda a produção de signifi-
cados dos conceitos que são mobilizados ou introduzidos no desenvolvimento 
das práticas educativas.
 “ Essa atividade de escolher as referências faz parte do processo de preparação do cenário. Ao reconhecer o tipo de referência que se está utilizando, o aluno assume uma vista privilegiada para 
olhar o cenário que está sendo proposto e, dessa forma, consegue 
atribuir significado as suas atividades (ALRØ; SKOVSMOSE, 
2006, p. 57).
Na tentativa de exemplificar o que se entende por referência, temos a ideia de 
abordar fração utilizando uma divisão de pizza. Essa escolha evidencia que “usar 
a pizza” faz alusão a um tipo de referência e que ela leva à produção de um tipo 
de significado para esse conceito. Se optarmos por abordar fração utilizando de 
uma definição como, um número que representa parte e todo, que é descrito por 
um numerador e denominador [...], essa abordagem, certamente, fará alusão a 
outro tipo de referência (SKOVSMOSE, 2000). 
Neste exemplo anterior, temos indicativos de pelo menos duas referências: a 
primeira, de uma semirrealidade ou realidade (dependendo do contexto) e, a 
segunda, referência à matemática. 
 “ [...] questões e atividades matemáticas podem se referir à mate-mática e somente a ela. Segundo, é possível se referir a uma semi--realidade - não se trata de uma realidade que ‘de fato’ observamos, 
mas uma realidade construída, por exemplo, por um autor de um 
livro didático de matemática. Finalmente, alunos e professores po-
dem trabalhar com tarefas com referências a situações da vida real 
(SKOVSMOSE, 2000, p. 7-8, grifo nosso).
UNIDADE 1
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Considerando que temos dois paradigmas (o do exercício e os cenários para 
investigação) e que as atividades desenvolvidas nesses paradigmas podem assu-
mir pelo menos três tipos de referências, podemos dizer que há, portanto, uma 
combinação de seis possibilidades de práticas que se configuram em ambientes 
de aprendizagem. Esses ambientes foram estruturados em uma matriz, no se-
guinte modelo:
Exercícios Cenário para Investigação
Referências à matemática pura (1) (2)
Referências à semirrealidade (3) (4)
Referências à realidade (5) (6)
Quadro 1: Ambientes de Aprendizagem
Fonte: Skovsmose (2000, p. 8).
Caro(a) estudante, com base no que estudamos até aqui, você saberia exempli-
ficar cada um desses ambientes? Bom, enquanto você vai pensando sobre isso, 
farei aqui uma indicação de leitura que pode te ajudar a estabelecer as suas com-
preensões.
NOVAS DESCOBERTAS
A sugestão de leitura que poderá subsidiar as suas compreensões sobre o 
assunto que estamos estudando é o artigo intitulado “Transformar Exer-
cícios em Cenários para Investigação: uma Possibilidade de Inserção 
na Educação Matemática Crítica”, de autoria da Prof.ª Dr.ª Raquel Milani 
foi publicado em 2020, pela Revista Perspectivas da Educação Matemática. 
Além de trazer reflexões interessantes, a autora contextualiza alguns exem-
plos que podem ser esclarecedores para a compreensão desses ambientes 
de aprendizagem e nos dá indícios de como se pode abrir um exercício 
(SKOVSMOSE, 2011), transformando-o em problemas que podem se configu-
rar em excelentes cenários para investigação. Vale destacar que a autora foi 
orientada pelo Professor Dr. Ole Skovsmose em seu doutoramento, portan-
to, não perca essa oportunidade de expandir os seus conhecimentos.
UNICESUMAR
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Se retomarmos o texto de Skovsmose (2000), o autor também apresenta um 
exemplo de cada um desses ambientes, bem como nos fornece alguns indicati-
vos para pensarmos na elaboração de situações que podem ser desenvolvidas e 
configuradas como ambientes de aprendizagem. Tentarei exemplificar, ainda que 
brevemente, cada um deles.
Tomando como referência os ambientes explicitados no Quadro 1, temos 
que exercícios do tipo, Encontre a raiz da equação: 8x + 3 = - 5, configuram o 
ambiente (1).
Veja que esse exercício tem como objetivo o treino de uma técnica “que 
estabelece em termos absolutos o que é certo e o que é errado sem explicitar os 
critérios que orientam tais decisões” (ALRØ; SKOVSMOSE, 2006, p. 26).
O exemplo seguinte pode ilustrar uma atividade pautada no ambiente (2): 
Considere um quadrado de lado “m”. Se o perímetro desse quadrado é 40 cm, 
qual é a medida do lado dessa figura? Você consegue dizer qual é a medida 
da área desse quadrado? Agora, se aumentarmos em 2 cm a medida do lado 
dessa figura, o que ocorre com o seu perímetro? E com a área? E se no lugar de 
2, aumentarmos ou diminuirmos, o que acontece? Em outras palavras, mesmo 
essas questões tendo referência na Matemática pura, elas se mostram como uma 
abertura para investigar matematicamente o que ocorre, quando a medida do 
lado é alterada. Aqui também, registramos que parece haver maiores chances 
de um diálogo ser estabelecido entre os estudantes e o professor.
Passando ao ambiente (3), teríamos um exemplo que é clássico nos livros 
didáticos, vejamos: Certo dia, uma família mediu a altura de todos os seus mem-
bros. A altura do pai era 0,24m a mais que a altura da mãe. O filho tinha dois 
terços da altura do pai. Se a altura do filho era 1,20m, quais eram as alturas do 
pai e da mãe? (PROJETO ARARIBÁ, 2010, p. 141).
Veja que nessa situação-problema, temos um contexto familiar constituído 
por três membros e são problematizadas as alturas dos pais e a medida da altura 
do filho é conhecida. Contudo, a altura do pai pode ser encontrada a partir da 
medida da altura da mãe e, sabendo que há uma relação entre elas, o estudante 
precisa encontrar que relação é essa que expressa a altura que tem o pai, em me-
tros, em função da altura da mãe. Encontrando a relação, basta ele multiplicar 
por dois terços e igualar a altura do filho que é 1,20m. 
UNIDADE 1
20
Observe que a intenção do autor desse exercício é a de que os estudantes 
possam equacionar os dados para encontrar o valor da incógnita (altura da mãe), 
e assim calcular a altura do pai. Em relação a esse exercício, destaco que a família 
contextualizada por ele, não existe e, do mesmo modo, também a relação das altu-
ras entre os seus membros. Contudo, não podemos desconsiderar a possibilidade 
dela existir e de que essa relação entre eles também seja verdadeira. Isso torna o 
exercício como sendo de referência em uma semirrealidade, por ser artificial, 
construído para que o estudante possa equacionar os dados.
Utilizando o mesmo exemplo do exercício anterior, vamos tentar transfor-
má-lo em um ambiente (4), isto é, de semirrealidade, mas que admite um caráter 
investigativo. Ao ser apresentado aos estudantes é possível que eles façam algu-
mas perguntas, na medida em que eles comecem a interpretar o problema, por 
exemplo: “Por que desejam saber essas alturas?”, “Filho de 1,20m, qual será a 
idade média desse filho?”, “A gente pode medir a nossa altura, professor(a)?”, 
“Qual será a altura do meu pai e da minha mãe?”, “Qual a família da nossa 
turma é a mais alta?”, “Quem é o homem mais alto do mundo?”, “E o mais 
baixo?”, entre outras.
Veja que essas e outras perguntaspodem conduzir a uma leitura crítica do 
problema e colocar o conhecimento matemático como instrumento para esta-
belecer e compreender as relações. Além disso, se o professor estiver atento, elas 
podem gerar novas possibilidades de investigação. Perceba que esse tipo de situa-
ção pode mobilizar a investigação das alturas dos próprios membros familiares 
dos estudantes, da comunidade escolar, conduzir à realização de pesquisas em 
livros, na internet, bem como, a construção e manipulação de instrumentos para 
efetuar tal tarefa (a de medir).
É interessante destacar que a exploração do ambiente anterior também se 
aproxima do ambiente (5), mas apresentarei outro exemplo que pode ser bem 
mais elucidativo. Para isso, recorremos a uma situação com referência na reali-
dade: nos últimos meses, temos registrado um aumento significativo dos preços 
dos combustíveis nas refinarias e, automaticamente, esse preço é repassado aos 
proprietários de postos de combustíveis que, por sua vez, acabam repassando 
esse aumento aos consumidores. Essa informação contextualiza uma situação 
real, o aumento do preço dos combustíveis, particularmente, em várias cidades 
do Estado do Paraná. 
UNICESUMAR
21
Assim, um exercício que pode representar esse ambiente (5) seria: segundo dados 
da Agência Nacional do Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis (ANP), o preço mé-
dio da gasolina do Estado do Paraná tem registrado as seguintes médias: 3 de janeiro: 
R$ 4,17; 10 de janeiro: R$ 4,23; 17 de janeiro: R$ 4,30; 24 de janeiro: R$ 4,32; 31 de 
janeiro: R$ 4,42; 7 de fevereiro: R$ 4,49; 14 de fevereiro: R$ 4,60; 21 de fevereiro: R$ 
4,66; 28 de fevereiro: R$ 4,94; 7 de março: R$ 5,05. Qual tem sido o preço médio da 
gasolina, no Paraná, nos dois primeiros meses do ano de 2021?
Nesse tipo de exercício, conhecendo a média aritmética, os estudantes devem 
somar os valores dados no enunciado e dividir pela quantidade de parcelas soma-
das, e o resultado expressará o preço médio da gasolina no Estado. Observe que 
aqui, os dados e informações apresentados no enunciado (dados e informações 
reais) expressam a situação do cotidiano dos paranaenses. Aqui, não exigimos dos 
estudantes a busca de novas informações para resolver a situação.
Já para caracterizar um ambiente do tipo (6), continuamos no mesmo con-
texto, o aumento do preço dos combustíveis. Uma possibilidade seria, quase que 
na perspectiva de ensino por projetos, propor o levantamento de problemas que 
decorrem desta situação, por exemplo, problemas locais que podem ser estudados 
e solucionados, tendo o conhecimento matemático como ferramenta de trabalho.
Caro(a) estudante, ao longo da nossa formação, indepen-
dente da área de atuação, sempre nos deparamos com 
o termo “projetos”, não é mesmo? Seja a elaboração de 
projetos ou algo relacionado ao trabalho na perspectiva 
de projetos. Bom, no âmbito educacional, o ensino e a 
aprendizagem, baseados em projetos, também têm gan-
hado espaço nas discussões e práticas, sobretudo, com as 
ideias de um importante educador brasileiro, Paulo Freire. 
Por essa razão, te convido a dar um PLAY nesse podcast, 
que preparei com muito carinho e atenção, especialmente, 
para você! Nele, vamos conversar sobre Pedagogia de 
Projetos em Matemática, você verá que tem tudo a ver com 
o que estamos estudando nesta unidade e também com as 
demais que estão por vir. Aproveite! 
Não descarto a possibilidade desse tipo de informação também ser apenas o mo-
tivo para despertar reflexões que guiem os estudantes a outros temas de interesse 
deles, por exemplo, a investigação de mobilidade urbana e/ou planejamento e 
infraestrutura das cidades.
UNIDADE 1
22
Também compreendo que nesse tipo de ambiente (6), a investigação, por 
exemplo, da variação dos preços dos combustíveis na cidade pode abranger ou-
tras situações, tais como: como está o preço do combustível em nosso bairro? Em 
nossa cidade?. Perguntas que derivam são: qual bairro, um? Todos os bairros? 
De que cidade? Onde buscar esses preços? Em todos os postos? Quantos dias 
serão monitorados para coleta dos valores? Outra possibilidade seria investigar a 
relação entre os tipos de combustíveis: álcool ou gasolina, o que compensa mais?
 Outras questões que podem surgir: carro ou motocicleta? Qual o consumo 
médio? Dentro da cidade ou na “estrada”? Em qual estação do ano, o veículo à 
álcool gasta mais? No inverno? Qual o valor registrado dos combustíveis? Veja 
que essas indagações exigem uma mobilização dos sujeitos, também pesquisa, 
investigação e seleção de algumas variáveis.
Nesse tipo de ambiente (6), encontramos possibilidades para os estudantes 
explorarem outros aspectos de ordem econômica, política e social como, a razão 
dessa variação/aumento; o consumo médio de veículos em função de distâncias 
percorridas, envolvendo marcas e modelos; impactos financeiros na renda fami-
liar gerada por esse aumento; escolhas alternativas, como opção por bicicletas 
ou outros meios de locomoção; implicações ambientais como, a possibilidade 
de menor circulação, menos emissão de dióxido de carbono; entre outros temas 
que poderiam ser explorados.
Veja que aqui, diferente do ambiente (5) e no ambiente (6), os estudantes são 
convidados a participarem na elaboração de problemas, a pensarem estrategi-
camente para apresentar um estudo que, a princípio, se apresenta mais como 
uma temática, uma situação inacabada que vai exigir deles o desafio de efetuar 
algumas escolhas. Vale destacar que eles podem não possuir todos os (ou nenhum 
dos) dados e, assim, tornando-se sujeitos partícipes do processo de elaboração 
da atividade, tomam decisões, coletam informações e dados e buscam caminhos 
para resolver, o que os tornam conhecedores.
Paremos para pensar: 21 anos depois da publicação do texto de Skovsmose (2000), pode-
mos afirmar que o paradigma do exercício ainda persiste, e que os cenários para investi-
gação encontram inúmeras resistências que fazem com que ele não seja efetivo nas aulas 
de Matemática. O que você pensa sobre isso?
PENSANDO JUNTOS
UNICESUMAR
23
Caro(a) estudante, os exemplos apresentados até aqui, além de representar cada 
um dos ambientes, mostram-nos que existe a possibilidade de transformação, 
isto é, de transitar entre eles modificando a sua natureza, segundo a intenciona-
lidade pedagógica estabelecida por aquele que organiza e idealiza a prática - o 
professor. Interpretamos essa possibilidade de transitar naquilo que Skovsmose 
(2011) intitula por “abrir um exercício”. Segundo Milani (2020):
 “ [...] abrir um exercício para criar uma atividade ligada a um cená-rio para investigação está ligada a duas possíveis ações: criar outras possibilidades de encaminhamento sobre a temática proposta no 
exercício (SKOVSMOSE, 2011) e legitimar e desenvolver os comen-
tários dos/as alunos/as a respeito do enunciado do exercício (p. 11, 
grifo da autora).
Nesse sentido, os exemplos apresentados e a citação de Milani (2020), deixam 
evidente que esses ambientes, na sala de aula, não são objetos fronteiriços, isto 
é, não há uma linha que separa cada um deles porque, para além da estrutura 
da atividade que é escolhida para ser desenvolvida nos ambientes educacionais, 
a postura que os agentes da prática pedagógica assumem também é um 
elemento definidor que vai caracterizá-los.
Como podemos ver, o desenvolvimento de práticas, caracterizadas como ce-
nários para investigação, apresentam características de imprevisibilidade, por ter 
como objeto de conhecimento algo que pode surgir da própria exploração (mate-
mática ou não), que é oriunda da situação investigada. Nesse sentido, a atribuição 
de significados vai sendo coordenada por aqueles envolvidos, ou seja, demandam 
um protagonismo do professor mas, sobretudo, dos estudantes. Podemos dizer 
então, que as relações de ação e comunicação que são estabelecidas nesses am-
bientes não são verticalizadas, mas horizontalizadas. Mas o que isso significa? 
Significa que a postura assumida por esses agentes da práticaé a de cola-
boração e parceria, isto é, por mais que saibam dos papéis de cada um deles no 
processo e ambiente (físico e de aprendizagem), a produção do conhecimento 
corresponde ao objetivo final, portanto, não é uma relação hierárquica em que 
um sabe mais e outro menos. Para que isso ocorra, precisamos compreender 
que há saberes diferentes e repertórios de conhecimentos também distintos, mas 
que se integram numa relação dialógica, quando ambos se colocam no papel de 
UNIDADE 1
24
investigadores e produtores de conhecimentos ao buscarem conhecer algo que 
os incomoda, que causou desconforto, um conflito cognitivo.
Nesse cenário, temos um trabalho colaborativo que cabe ao professor o papel 
de orientar, de sugerir e de acompanhar o desenvolvimento da atividade. Papel 
esse que permitirá aos estudantes descobrirem seus próprios caminhos, a pen-
sarem em hipóteses e estratégias, a refletirem e a tomarem decisões que sejam 
assertivas para a solução de determinadas situações e problemas. 
Ao assumirem esses papéis, questionamentos podem surgir a qualquer mo-
mento, no início, durante ou ao término da prática, configurando-se em novas 
possibilidades para problematização e investigação. Assim, não há como o pro-
fessor prever, por antecipação, quais perguntas, estratégias ou resultados os estu-
dantes apresentarão em cada atividade proposta. 
Com isso, temos a ideia de que os estudantes assumem um papel ativo pois, 
trabalhando em grupos, negociam os significados na busca por compreender a 
situação que eles investigam, bem como a delimitação de estratégias para encon-
trarem as possíveis soluções. O professor, nesse contexto, é aquele que está atento, 
que provoca e convida, todo o tempo, à investigação e observação de aspectos 
relevantes que, muitas vezes, podem passar despercebidos pelos estudantes.
Sem dúvidas, o professor assumindo esse papel, ele sai do que Skovsmose 
(2000) chamou de zona de conforto (porque sabe o que fazer e como fazer, 
sustentado pela ideologia da certeza, isto é, tem clareza do que é certo e errado 
e das respostas previamente), movendo-se para uma zona de risco (porque é 
incerto, a ideologia da certeza “cai por terra”).
UNICESUMAR
25
Caro(a) estudante, “abrimos um parênteses” para abordar sobre ideologia da certeza. 
Segundo Skovsmose (2007), essa denominação está relacionada a uma compreensão ou 
atitude que volta para a Matemática. Nas palavras do autor, “[...] designa uma atitude para 
com a matemática. Refere-se a um respeito exagerado em relação aos números. A ideo-
logia afirma que a matemática, mesmo quando aplicada, apresentará soluções corretas 
asseguradas por suas certezas” (SKOVSMOSE, 2007, p. 81). 
Fica evidente que, no paradigma do exercício, há uma mobilização dessa ideologia, impor-
tando a “exatidão” que se cultua na matemática para o contexto de atividades, tarefas ou 
exercícios que são desenvolvidos no ambiente educacional. Em outras palavras, “a preci-
são da matemática (pura) é como que transferida para a precisão das soluções dos pro-
blemas. A matemática é vista como uma ferramenta adequada para resolver problemas 
de uma área abrangente de questões cotidianas e tecnológicas” (SKOVSMOSE, 2007, p. 81).
EXPLORANDO IDEIAS
UNIDADE 1
26
Sabemos que esse engajamento numa zona de risco está associado à formação 
que o professor vivenciou, pois sem dúvida, quanto mais experiências vivenciar, 
mais confortável e seguro ele se sentirá para desenvolver uma prática pautada no 
paradigma investigativo, estreitando as distâncias entre essas “zonas”.
No que se refere ao estudante, quando opta-se pela criação de um ambiente 
investigativo, veja que há uma aproximação entre os agentes da prática pedagó-
gica, fortalecendo as relações, entre elas, a de comunicação, entre o estudante e o 
professor, e do estudante com outro(s) estudante(s). Segundo Alrø e Skovsmose 
(2006), essa comunicação é resultante do próprio ambiente investigativo que é 
criado, isto é, por uma cooperação investigativa, a qual pode ser promotora dos 
seguintes atos:
 “ [...] estabelecer contato, significa criar uma sintonia com o colega e com as perspectivas dele; perceber, significa descobrir alguma coisa da qual nada se sabia; reconhecer, significa se tornar apto a 
expressa-se em sua própria perspectiva; posicionar-se, significa 
levantar ideias e pontos de vistas não como verdades absolutas, mas 
como algo que pode ser examinado; pensar alto, significa expressar 
pensamentos, ideias e sentimentos durante o processo de inves-
tigação; reformular, significa repetir o que foi dito com palavras 
diferentes ou tom de voz diferente; desafiar, significa tentar levar 
as coisas para uma outra direção ou questionar conhecimentos ou 
perspectivas já estabelecidas; avaliar, que pode assumir muitas for-
mas: correção de erros, crítica negativa, crítica construtiva, conselho, 
apoio incondicional, elogio, novo exame etc. (SILVA, 2016, p. 59, 
grifo nosso).
O reconhecimento desse fortalecimento das relações, bem como dos papéis que 
aqui explicitamos, pode ser exemplificado no episódio a seguir, extraído do texto 
de Araújo et al (2008). No artigo intitulado, Efemeridade dos cenários para 
investigação em um episódio de sala de aula de Matemática com tecnolo-
gias, publicado pela Revista Zetetiké, os autores avaliam e justificam se ocorrem 
cenários para investigação em aulas de matemática utilizando computadores.
A experiência que abarcou o episódio que aqui será apresentado, ocorreu 
com duplas de estudantes do primeiro ano do Ensino Médio no laboratório de 
informática de uma escola pública de Belo Horizonte - MG. Segundo os autores, 
UNICESUMAR
27
o professor da turma pretendia abordar, utilizando a tecnologia, “representação 
de dados em gráfico de setor” e, para isso, foi criado um aplicativo semelhante ao 
Excel, denominado “Pizza”. 
Esse aplicativo foi utilizado pelos estudantes em algumas atividades que fo-
ram elaboradas pelo professor, as quais versavam resultados de pesquisas de opi-
nião fictícias, portanto, com referência na semirrealidade. A interface do referido 
aplicativo pode ser visualizado na Figura 1 a seguir:
Descrição da Imagem: a figura expressa a interface do aplicativo Pizza, desenvolvido pelos pesquisadores 
para computar uma pesquisa de opinião contemplando quatro opções para votos. À direita da figura, 
temos um gráfico de setores constituído pelas cores, no sentido horário, amarelo, laranja, azul e rosa. O 
percentual da área que correspondente às cores é de 34, 26, 15 e 25, respectivamente. Mais ao centro da 
figura, temos a legenda do gráfico, que retrata a quantidade de votos em cada alternativa. À esquerda, 
temos uma tabela de duas colunas. A primeira coluna expressa as quatro alternativas de votos, sendo A, 
B, C e D, e a segunda expressa a quantidade de votos correspondentes às quatro alternativas que devem 
totalizar os 100 votos.
Figura 1 - Interface do aplicativo Pizza, utilizado na prática investigativa.
Fonte: Araújo et al (2008, p. 19).
É importante destacar que esse aplicativo permitia aos estudantes modificar os 
setores, alterando a legenda do gráfico sem modificar os dados da tabela. Assim, o 
aplicativo permitia que eles estabelecessem hipóteses, tecessem conjecturas e tes-
tassem, contribuindo para um dinamismo nas tarefas e atividades apresentadas. 
No total, foram propostas 5 atividades que, em geral, em 4 delas envolvia ajustes 
do gráfico aos dados da tabela e vice-versa, envolvendo temas como apresenta-
dor mais “bonito” da TV brasileira; música brasileira com a “melhor mensagem”; 
UNIDADE 1
28
eleição da novela mais popular; e a última atividade, a representação do gráfico 
atribuindo valores à tabela.
A segunda atividade que era sobre as opções de músicas, “Éguinha poco-
tó”, “Vai Lacraia”, “Cachorrinho” ou “Bonde do Tigrão”, os estudantes Maurício e 
Gabriel deveriam ajustar o gráfico, que estava dividido em quatro partes iguais, 
aos valores da tabela. Durante a leitura da atividade, a professora Fernandaos 
interromperam:
Fernanda: Tenta… zerar uma fatia. O que vai acontecer?
Maurício: Zerar? Ele vai… [pausa] é como se... por exemplo, se eu diminuir 
este aqui todo... este aqui vai... é como se eu somasse, todos os votos...
Gabriel: Todos vão aumentar.
Maurício: … Por exemplo, o Cachorrinho é… aqui, se eu diminuísse para zero 
aqui, o Bonde do Tigrão, o Cachorrinho ia passar a ter 30... [mostrando os 
setores correspondentes na tela com o auxílio do mouse].
Gabriel: Mas mais certo seria aumentar todos, né?
Maurício: Não.
Gabriel: É, ué!
Maurício: Se zerar este aqui...[apontando uma fatia do gráfico com o mouse].
Gabriel: Zera! [desafiando Maurício a zerar uma fatia no aplicativo].
Até aqui é possível identificarmos, na proposta da professora Fernanda de “zerar uma 
fatia”, que foi uma oportunidade para os estudantes perceberem uma estratégia que 
não haviam cogitado, na realização da tarefa. Quando Gabriel afirma “Zera!”, ele desa-
fia Maurício, conforme a sugestão da professora e, do mesmo modo, ele se posiciona, 
após discordar dos argumentos do colega, quando sustenta: “Mas mais certo seria 
aumentar todos, né?”. Aqui, também é possível reconhecermos que há um embate que 
vai se expressar no sentido de estabelecer contato. Continuando com a atividade, 
reconhecemos essas e outras novas negociações entre eles, vejamos:
UNICESUMAR
29
Fernanda: Tenta zerar!
[Maurício atende ao pedido da pesquisadora, zerando uma fatia e deixan-
do apenas três fatias no gráfico].
Gabriel: ... o certo seria aumentar todos.
Maurício: Agora se eu zero para cá... A Lacraia vai ficar com 40... [mostra 
no gráfico com o auxílio do mouse].
Gabriel: Mas aí na verdade teria que aumentar todos...proporcionalmente. 
[aponta para a tela].
[Maurício e Gabriel se olham].
Maurício: Será?
Gabriel: Sabe que o gráfico não mexe todo assim, não! Faz de conta que... 
Tem 100, não é? [aponta para a tela do computador, mostrando a tabela].
Jussara: Por que tem que aumentar proporcionalmente?
Gabriel: Porque tem 100, no total [mostrando no gráfico]. Aí cada… fatia 
representa uma porcentagem. Se diminuir uma, se deixou de existir uma, 
as outras têm que ter... é... [Maurício olhando para Gabriel, observa sua 
explicação e completa].
Maurício: É como se dividisse aquela fatia... para as outras três que 
restaram.
Gabriel: Aqui divide por 4. Agora tem que dividir por 3... é... de acordo com 
a proporção da quantidade de votos...[pausa] Se tirar daqui [aponta para 
tela, mostrando no gráfico], não pode aumentar para este ou para este. 
Tem que aumentar…
Maurício e Gabriel: para todos.
Fernanda: Então você acha que a fatia de pizza não devia aumentar?
Gabriel: Eu acho que não!
Maurício: Tinha que aumentar proporcionalmente para todos. Acho que é isto.
UNIDADE 1
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Nesse segundo momento, reconhecemos o papel de Fernanda incentivando-os, além 
disso, já é possível reconhecermos um enfraquecimento das ideias de Maurício, quan-
do ele olha para Gabriel e expressa “Será?”, o que nos dá indícios de uma sintonia entre 
as ideias dos colegas, na medida em que Maurício parece avaliar o seu ponto de vista. 
Destaco também a fala da participante Jussara (pesquisadora que acompanhava a ati-
vidade), quando ela faz um questionamento que conduz à explicitação, às justificativas 
do pensamento matemático utilizado na resolução da situação.
Veja que nessa situação, os estudantes foram confrontados pela pergunta da pro-
fessora Fernanda e o aceite do convite foi explicitado, quando os estudantes discorda-
ram entre eles e um disse “Zera!”. Os autores argumentaram que essa atitude vigilante 
foi o que configurou um ambiente diferente do que vinha ocorrendo, isto é, uma rup-
tura deixando de ser um paradigma do exercício, “[...] ficou explícita na reação inicial 
de Maurício [...] a cadeia de atitudes que vinha acontecendo — leitura do enunciado, 
execução da tarefa —, com seu respectivo padrão comunicacional, foi desestabilizada 
pela pergunta feita por Fernanda” (ARAÚJO et al, 2008, p. 27). 
Com esse episódio, espero que você, caro(a) estudante, compreenda a importância 
das escolhas que faz o profissional que leciona Matemática, escolhas essas que incluem 
planejamento e elaboração de atividades, mas, sobretudo, atenção e comunicação 
durante a experiência, avaliando e refletindo, durante e após a prática de ensino. 
Como podemos ver, essas compreensões podem ser determinantes para a 
aprendizagem dos estudantes e talvez seja por essa razão que a nossa atividade 
docente requer atenção, compromisso e responsabilidade. Como o próprio título 
do artigo dos pesquisadores sugere, a rapidez e o dinamismo com que as coisas 
acontecem na escola, podem tornar as oportunidades efêmeras, o que exige, “então, 
em cada situação particular, analisar com cuidado as causas tanto de sua constitui-
ção quanto de seu desaparecimento, uma vez não se tem controle sobre os proces-
sos dos quais emergem os cenários para investigação” (ARAÚJO et al, 2008, p. 32).
Essa discussão profícua do ponto de vista formativo, nos faz pensar, para 
além do que abordamos até aqui, em que outras circunstâncias esses cenários 
para investigação podem ser construídos. Considerando a trajetória da Educação 
Matemática, como campo de experiências práticas e profissionais, destaco que 
práticas subsidiadas pelas Tendências em Educação Matemática como a Resolu-
ção de Problemas e a Modelagem Matemática são algumas dessas possibilidades 
[exploraremos a Resolução de Problemas e a Modelagem Matemática nas próxi-
mas unidades desse livro]. 
UNICESUMAR
31
Possibilidades essas que são discutidas e recomendadas também por alguns do-
cumentos curriculares oficiais como, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) 
e, mais recentemente, ainda que de modo menos explícito, a Base Nacional Comum 
Curricular (BNCC). Passemos a conhecer o que esses documentos sugerem.
UNIDADE 1
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Descrição da Imagem: temos duas imagens que expressam a capa dos documentos curriculares nacio-
nais. À esquerda, temos a dos Parâmetros Curriculares Nacionais, na cor roxa. Ao topo da capa, no canto 
superior esquerdo, tem uma pequena tarja rosa em que está escrito em números indo-arábicos “quinta 
a oitava séries”. Ao centro da capa, há um retângulo delimitado por segmentos de retas pontilhados. 
Dentro desse retângulo há um outro na cor rosa e dentro deste um quadrado na cor azul claro. Sob 
esse quadrado, temos a sigla PCN e abaixo dele o significado dessa sigla escrito em caixa alta. Abaixo do 
retângulo rosa e dentro do retângulo pontilhado temos a palavra Matemática escrita em caixa alta, na 
cor branca. À direita, temos a capa da Base Nacional Comum Curricular. Com fundo na cor cinza claro, 
há a palavra base em caixa alta, escrita em cinza mais escuro, repetida várias vezes. No meio da figura 
há um retângulo na cor branca e, dentro dele, uma figura em perspectiva formada visualmente por seis 
cubos sobrepostos (três, formando a base, na cor azul; dois na cor verde sob os azuis; e, ao topo, um 
cubo na cor amarela). Abaixo dessa figura está escrito, em caixa alta, o nome desse documento em cores 
em degradê do azul para o verde. Abaixo dessa escrita um segmento de reta e, abaixo dele, está escrito 
também em caixa alta, “Educação é a Base”.
Figura 2 - Capa dos documentos curriculares nacionais.
Fonte: Arquivo próprio (2021).
Antes disso, penso valer a pena alguns esclarecimentos. Em nível nacional, temos 
o PCN e a BNCC. O primeiro corresponde a alguns parâmetros, portanto indica-
ções de alguns critérios que serviram de apoio à elaboração de um currículo, um 
projeto educativo por cada instituição de ensino. Com a publicação da BNCC, 
sendo ela uma Base, as orientações que compõem esse documento tornaram-se 
obrigatórias para todas as instituições de ensino da Educação Básica estrutura-
UNICESUMAR
33
rem suas propostas pedagógicas. Isso porque, secretarias de estados e municípios 
têm “autonomia” para elaboração de seus currículos, desde que, agora, tenhama 
BNCC como norte.
A título de exemplo dessa estruturação, podemos citar o Estado do Paraná. 
Até anos atrás, tínhamos as Diretrizes Curriculares Estaduais para a Educação 
Básica (DCE), que sistematizou compreensões e conteúdos como orientações às 
escolas paranaenses. Atualmente, com a publicação da Base, foi instituído, para 
o Ensino Fundamental, o Currículo da Rede Estadual Paranaense (CREP) que,
 “ “[...] tem como objetivo complementar e reorganizar o Referencial Curricular do Paraná, abordando as principais necessidades e carac-terísticas da nossa rede de ensino à luz da BNCC. Nele, são elencadas 
sugestões e orientações de conteúdos adequados à nossa realidade 
regional, os quais devem servir como base para o desenvolvimento 
de competências e habilidades fundamentais para a trajetória dos 
estudantes” (PARANÁ, 2019, p. 3). 
O que desejo é que você compreenda que, obrigatoriamente, a BNCC é o do-
cumento curricular que rege, nacionalmente, a nossa estrutura curricular e, por 
exemplo, no Estado do Paraná, além dela, temos o CREP. Contudo, nesse contexto 
exemplificado, o PCN e a DCE explicitam compreensões que, no contexto da 
nossa formação, ainda se tornam relevantes para pensarmos na elaboração de 
propostas pedagógicas e, por essa e outras razões, também farei alguns apon-
tamentos sobre esses dois documentos, por contemplar reflexões de natureza 
teórico-metodológicas que, na minha compreensão, são carentes quando olha-
mos para a BNCC e o CREP. Fica o convite para que você, caro estudante, possa 
procurar e conhecer outros documentos que orientam a elaboração de propostas 
pedagógicas curriculares em seu Estado e municípios.
O PCN foi publicado, em 1998, manifestando interesses em fornecer ele-
mentos para ampliar o debate, em todo território nacional, a respeito do ensi-
no e aprendizagem da Matemática escolar, bem como visando à construção de 
um referencial nacional que orientasse a prática pedagógica (BRASIL, 1998). A 
publicação desse documento foi fruto das inúmeras transformações no âmbito 
educacional, internacional e nacional, que podemos registrar após a década de 
70, por exemplo:
UNIDADE 1
34
 “ Em 1980, o National Council of Teachers of Mathematics NCTM, dos Estados Unidos, apresentou recomendações para o ensino de Matemática no documento “Agenda para Ação”. Nele a resolução 
de problemas era destacada como o foco do ensino da Matemáti-
ca nos anos 80. Também a compreensão da relevância de aspectos 
sociais, antropológicos, linguísticos, além dos cognitivos, na apren-
dizagem da Matemática, imprimiu novos rumos às discussões cur-
riculares (BRASIL, 1998, p. 20, grifo nosso).
Desde então, ficou explícita a importância de que a resolução de problemas seja 
incorporada aos currículos, privilegiando a exploração matemática de problemas 
vividos com referência no cotidiano, o que nos permite interpretar a relevância 
de situações-problema com referência na semirrealidade e realidade. Entretanto, 
naquele período, o documento revelava alguns obstáculos para que a resolução 
de problemas se efetivasse como orientação para o ensino da Matemática. En-
tendo que esse cenário, 23 anos depois, tem sido modificado graças aos avanços 
da Educação Matemática, mas alguns obstáculos ainda permanecem latentes.
Dentre eles está o desconhecimento da Resolução de Problemas como abor-
dagem metodológica, pois “[...] quando é incorporada, aparece como um item 
isolado, desenvolvido paralelamente como aplicação da aprendizagem, a partir 
de listagens de problemas cuja resolução depende basicamente da escolha de 
técnicas [...]” (BRASIL, 1998, p. 22). Isso porque o PCN considera que a Resolução 
de Problemas seja orientadora da prática, que os problemas sejam o ponto de 
partida da atividade matemática, envolvendo os conteúdos fundamentais como 
instrumento para compreender e atuar no mundo, ou para desenvolver um tipo 
de raciocínio, uma forma de pensar matematicamente.
Concebendo a Matemática como ciência, fruto da construção humana que 
interage continuamente como o contexto natural, social e cultural (BRASIL, 
1998), o PCN sugere que resolver problemas seja o “combustível” que alimenta a 
prática em sala de aula, porque “com o advento da era da informação e da auto-
mação e com a rapidez, antes impensada, na realização dos cálculos numéricos 
ou algébricos, torna-se cada vez mais amplo o espectro de problemas que podem 
ser abordados e resolvidos” (BRASIL, 1998, p. 25). 
Em outras palavras, a natureza e a complexidade dos problemas são inúmeras 
e a sua abordagem em sala de aula é sugerida como uma ótima alternativa que 
conduz ao desenvolvimento das capacidades cognitivas do sujeito, pois mediante 
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ao exercício de indução e dedução matemática, “[...] reveste-se de importância 
no desenvolvimento da capacidade de resolver problemas, de formular e testar 
hipóteses, de induzir, de generalizar e de inferir dentro de determinada lógica, o 
que assegura um papel de relevo ao aprendizado [...]” (BRASIL, 1998, p. 26). Essas 
características, sobretudo, a de formular hipóteses, também são convergentes 
à Modelagem Matemática, tendência essa que também é sugerida pelos docu-
mentos curriculares como outro caminho para fazer Matemática nos ambientes 
educacionais.
 “ Para que ocorram as inserções dos cidadãos no mundo do trabalho, no mundo das relações sociais e no mundo da cultura e para que desenvolvam a crítica diante das questões sociais, é importante que 
a Matemática desempenhe, no currículo, equilibrada e indissocia-
velmente, seu papel na formação de capacidades intelectuais, na es-
truturação do pensamento, na agilização do raciocínio do aluno, na 
sua aplicação a problemas, situações da vida cotidiana e atividades 
do mundo do trabalho e no apoio à construção de conhecimentos 
em outras áreas curriculares (BRASIL, 1998, p. 28).
Essas ideias também estão presentes no CREP-Paraná, mas de modo sutil, como 
sugestão de encaminhamentos metodológicos.
 “ A Resolução de Problemas, a Modelagem Matemática e a Investi-gação Matemática partem do princípio da contextualização de co-nhecimentos matemáticos para a solução de um desafio ou situação 
posta no contexto extraescolar e/ou intraescolar, respeitando-se, 
em cada um deles, os métodos e técnicas que lhes cabem para que 
os objetivos sejam alcançados, e também interpretar/avaliar o re-
sultado obtido tendo-se em vista o contexto original do problema 
(PARANÁ, 2019, p. 6).
Já nas DCE do Estado do Paraná, tanto a Resolução de Problemas quanto a Mo-
delagem Matemática são consideradas como encaminhamentos metodológicos, 
“as quais têm grau de importância similar entre si e complementam-se uma às 
outras” (PARANÁ, 2008, p. 63). 
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Nesse documento curricular, a Resolução de Problemas é um modo de desafiar 
os estudantes a mobilizar conhecimentos ou a construir novos, mediante as situa-
ções-problema que são propostas. Esse desafio “[...] torna as aulas mais dinâmicas 
e não restringe o ensino de Matemática aos modelos clássicos. A resolução de 
problemas possibilita compreender os argumentos matemáticos e ajuda a vê-los 
como um conhecimento passível de ser apreendido [...]” (PARANÁ, 2008, p. 62). 
Em outras palavras, é uma forma de superarmos o paradigma do exercício, o 
qual mais parece contribuir com a reprodução de conhecimentos matemáticos 
do que com a elaboração de compreensões sobre eles. Nesse contexto é sugerido 
que “[...] os alunos pensem sobre os problemas que irão resolver, elaborem uma 
estratégia, apresentem suas hipóteses e façam o registro da solução encontrada 
ou de recursos que utilizaram [...]. Isso favorece a formação do pensamento ma-
temático, livre do apego às regras” (PARANÁ, 2008, p. 62). Nessa mesma linha 
também está a Modelagem Matemática.
Segundo esse documento, a Modelagem Matemática, “[...] tem como pres-
suposto a problematização de situações do cotidiano. Ao mesmo tempo em que 
propõe a valorização do aluno no contexto social, procura levantar problemas 
que sugeremquestionamentos sobre situações de vida” (PARANÁ, 2008, p. 64), 
envolvendo a investigação de fenômenos físicos, biológicos e sociais. 
No contexto da DCE, a Modelagem Matemática é tida como uma oportu-
nidade para que o estudante realize intervenções em problemas reais do meio 
social e cultural em que vive. Essa intervenção é realizada tendo a Matemática 
como ferramenta que subsidia a construção de um modelo que permita descre-
ver, inferir ou fazer previsões. Modelo esse que é construído com o repertório de 
conhecimento matemático dos sujeitos, mas “[...] sem desconsiderar novas opor-
tunidades de aprendizagem, para que ele possa sofisticar a matemática conhecida 
a priori” (PARANÁ, 2008, p. 65). Portanto, fomenta a sua formação conceitual e 
crítica na medida em que interroga os problemas do mundo. 
Ambos os documentos citados trazem, explicitamente, a compreensão e su-
gestão da Resolução de Problemas e da Modelagem Matemática como possibi-
lidades metodológicas. No entanto, o mesmo não ocorre no contexto da BNCC, 
pois essa manifestação explícita é relativizada. Talvez por conta da intencionali-
dade de estabelecer um currículo, no sentido de apenas elencar um rol de con-
teúdos, essas orientações perderam espaço e alguns indícios delas surgem de 
modo sutil. Embora eu, conforme outros autores também tenham defendido, de 
UNICESUMAR
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que houvesse uma presença explícita das Tendências em Educação Matemática 
no documento, isso não ocorre. 
Desse modo, entendo que tal sutileza deve se complementar do conhecimen-
to que construímos em nossa trajetória profissional docente, preferencialmente, 
aquele que é coletivo, em que lentes teórico-metodológicas possam ser utilizadas 
para interpretar, na BNCC, as possibilidades que dispomos para desenvolver 
competências e habilidades matemáticas. 
É nesse sentido que trago aqui, caro(a) estudante, algumas manifestações que, 
na minha compreensão, se revelaram como indícios da Resolução de Problemas 
e da Modelagem Matemática como potencializadoras da prática pedagógica.
As compreensões que se manifestam da BNCC, indicam que o conhecimento 
matemático é necessário para a formação cidadã e humana, dada a sua aplicabi-
lidade na resolução dos problemas contemporâneos. Com essa visão é esperado 
que por meio das ações promovidas no ambiente educacional com Matemática, 
os estudantes “[...] desenvolvam a capacidade de identificar oportunidades de 
utilização da matemática para resolver problemas, aplicando conceitos, proce-
dimentos e resultados para obter soluções e interpretá-las segundo os contextos 
das situações” (BRASIL, 2018, p. 265, grifo nosso). No mesmo sentido, é esperado 
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que eles possam, no Ensino Fundamental, desenvolver o letramento matemá-
tico, isto é, “[...] competências e habilidades de raciocinar, representar, comuni-
car e argumentar matematicamente, de modo a favorecer o estabelecimento de 
conjecturas, a formulação e a resolução de problemas em uma variedade de 
contextos [...]” (BRASIL, 2018, p. 266, grifo nosso).
Perceba que a resolução de problemas aparece aqui como uma ação ou uma 
atitude, que demanda do estudante habilidades específicas (a de resolvedor). Isso 
é diferente de uma prática com Resolução de Problemas, em que, nela, o estudan-
te pode aprender a resolver problemas (isso mesmo, no minúsculo porque faz 
referência à atitude e não à Tendência Resolução de Problemas). Falaremos um 
pouco mais sobre essa distinção na próxima unidade.
Ao longo desse documento curricular, outras indicações se revelam:
 “ O desenvolvimento dessas habilidades está intrinsecamente rela-cionado a algumas formas de organização da aprendizagem ma-temática, com base na análise de situações da vida cotidiana, de 
outras áreas do conhecimento e da própria Matemática. Os proces-
sos matemáticos de resolução de problemas, de investigação, de 
desenvolvimento de projetos e da modelagem podem ser citados 
como formas privilegiadas da atividade matemática, motivo pelo 
qual são, ao mesmo tempo, objeto e estratégia para a aprendizagem 
[...] (BRASIL, 2018, p. 266, grifos nosso).
Veja que na citação anterior surgem outras ações, que expressam formas de pen-
sar matematicamente. Além de resolver problemas, destaco a investigação e a 
modelagem como processos que, cognitivamente, exigem habilidades diferentes. 
Focando, especificamente, na modelagem, ela exige uma tradução de um pro-
blema não essencialmente matemático, para uma linguagem matemática, bem 
como estabelecer hipóteses que deem conta de uma solução (modelo). Entendo 
que é nesse sentido a menção, como atividade de modelar fenômenos, talvez, 
segundo uma abordagem direcionada ao campo da Matemática Aplicada, o que 
difere da Modelagem Matemática como orientação metodológica ou alternativa 
pedagógica. Também aprofundaremos sobre esse assunto nas próximas unidades.
Ainda assim, entendo que essas atitudes esperadas, trabalhando com mate-
mática exige o desenvolvimento de diferentes competências e habilidades. Ha-
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bilidades e competências que vão sendo construídas de acordo com as situações 
de ensino que são apresentadas, construídas e/ou elaboradas na coletividade, 
uns com os outros. 
Você concorda que parece haver uma convergência explícita dessas ações 
com as configurações de um cenário para investigação? Pois é, as discussões e 
configurações que levam ao desenvolvimento de posturas distintas parecem con-
tribuir para as recomendações curriculares em âmbito nacional, no caso a BNCC.
Longe de tentar estabelecer um paralelo entre as orientações curriculares, as 
orientações para a prática pedagógica e as Tendências Resolução de Problemas e a 
Modelagem Matemática, listo a seguir, as competências específicas de Matemática 
para o Ensino Fundamental apontadas na BNCC:
1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das neces-
sidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos 
históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas 
científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, in-
clusive com impactos no mundo do trabalho.
2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade 
de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos 
matemáticos para compreender e atuar no mundo. 
3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferen-
tes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística 
e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo seguran-
ça quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos 
matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de 
soluções.
4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos 
presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, 
representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e 
avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes. 
5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digi-
tais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e 
de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. 
6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situa-
ções imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-
-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando di-
UNIDADE 1
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ferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto 
escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, 
como fluxogramas, e dados).
7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de 
urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis 
e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de 
grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.
8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletiva-
mente no planejamento edesenvolvimento de pesquisas para responder 
aos questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a 
identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada 
questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com 
eles (BRASIL, 2018, p. 267).
Veja que nessas competências específicas, temos vários indicativos de que o co-
nhecimento matemático é um objeto que vai sendo construído pelas relações que 
os estudantes estabelecem durante a prática pedagógica, mas esse conhecimento 
matemático não parece ser a única “preocupação” com as práticas de ensino de 
Matemática. Quero dizer que o conhecimento parece ser um veículo que con-
duz à formação do sujeito que seja competente matematicamente, para atuar e 
modificar a sociedade. 
Há também indicações que fazem referência a alguns condicionantes para 
o desenvolvimento de tais habilidades e competências como, as experiências, os 
conhecimentos e os saberes dos estudantes serem considerados na promoção de 
qualquer ação pedagógica: “[...] é imprescindível levar em conta as experiências 
e os conhecimentos matemáticos já vivenciados pelos alunos, criando situações 
nas quais possam fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qua-
litativos da realidade” (BRASIL, 2018, p. 298).
Para encerrarmos a nossa trajetória de estudos e reflexões com essa primeira 
unidade, passemos a refletir sobre a etapa do Ensino Médio na BNCC:
 “ A área de Matemática, no Ensino Fundamental, centra-se na com-preensão de conceitos e procedimentos em seus diferentes campos e no desenvolvimento do pensamento computacional, visando à reso-
lução e formulação de problemas em contextos diversos. No Ensino 
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Médio, na área de Matemática e suas Tecnologias, os estudantes 
devem consolidar os conhecimentos desenvolvidos na etapa ante-
rior e agregar novos, ampliando o leque de recursos para resolver 
problemas mais complexos, que exijam maior reflexão e abstração. 
Também devem construir uma visão mais integrada da Matemática, 
da Matemática com outras áreas do conhecimento e da aplicação da 
Matemática à realidade (BRASIL, 2018, p. 471, grifo nosso).
Veja que nessa etapa, Ensino Médio, além de ampliar as experiências vividas em 
etapas precedentes, é sugerida a resolução de problemas mais complexos, que 
se construa uma visão integrada da Matemática e de sua aplicação à realidade. 
Em busca de indícios da Resolução de Problemas e da Modelagem Matemática, 
neste documento, entendo que esses três grandes desafios estão contemplados na 
terceira competência específica, a saber: “Utilizar estratégias, conceitos, definições 
e procedimentos matemáticos para interpretar, construir modelos e resolver 
problemas em diversos contextos, analisando a plausibilidade dos resultados e 
a adequação das soluções propostas, de modo a construir argumentação consis-
tente” (BRASIL, 2018, p. 535, grifo nosso).
Aqui, temos pelo menos dois tipos de propostas que surgem para solucionar 
problemas: a primeira faz referência a identificação de conceitos e procedimentos, 
que podem ser empregados na resolução do problema. Aplicando esses conceitos, 
os estudantes podem resolver os problemas fazendo o uso de tais procedimentos 
e, no final, comunicar e argumentar, fazendo uso de uma linguagem coerente, os 
resultados aos colegas; a segunda, teríamos que as tarefas exigidas podem não 
estar explícitas no enunciado, levando os estudantes a conceber uma possível 
estratégia para resolução, por exemplo, situações que demandam a construção de 
um modelo. Problemas como esses, “envolve analisar os fundamentos e proprie-
dades de modelos existentes, avaliando seu alcance e validade para o problema 
em foco” (BRASIL, 2018, p. 535).
É possível reconhecermos que nesta etapa há um investimento para que ocor-
ra uma análise crítica das situações, em que os argumentos possam ser subsidia-
dos pela Matemática. Situações essas que são fundamentadas na vida, no cotidia-
no, no mundo do trabalho, isto é, com referência na realidade. Evidentemente que 
essas atividades de utilizar estratégias, construir modelos e resolver problemas, 
demandam ricos processos cognitivos que favorecem a criatividade, a criticidade 
e a autonomia, contribuindo para significação dos conceitos matemáticos. 
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Caro(a) estudante, com base no que estudamos, nesta primeira unidade, e 
interpretando as competências anteriores, proponho a seguinte reflexão: “Quais 
encaminhamentos didáticos, metodológicos, pedagógicos, podem oferecer 
condições para que as competências e habilidades sejam desenvolvidas?”. 
Possivelmente, uma resposta coerente seria: as Tendências em Educação Ma-
temática como a Resolução de Problemas e a Modelagem Matemática. Mas essa 
resposta decorre apenas porque você está cursando esse componente curricular? 
Se sim, te convido a analisar criticamente, ao longo das nossas próximas unidades 
de estudos, elementos que caracterizam a Resolução de Problemas e a Modelagem 
Matemática, os quais tornam as práticas enriquecedoras. O “enriquecedoras” é no 
sentido de que elas são apenas possibilidades que distanciam, por exemplo, do 
paradigma do exercício e se aproximam de cenários investigativos.
É importante que você saiba que essas possibilidades não invalidam outras 
abordagens e tão pouco se tornam excludentes. Algumas características são seme-
lhantes, outras nem tanto, mas entendo que elas se complementam na produção 
de conhecimento matemático e na complexidade que é esse processo de ensinar 
e aprender Matemática.
Caro(a) estudante, agora que você se tornou um conhecedor dessas possibi-
lidades, te convido a pensar na situação que contempla o exercício a seguir. Essa 
situação, na sala de aula, se configura em um ambiente de aprendizagem com 
referência à semirrealidade, portanto, do tipo (3), ou seja, uma situação artificial-
mente construída. Vejamos:
(Adaptada da Questão 5 do nível II da OBMEP 2015) Um grupo de 20 amigos 
reuniu-se em uma pizzaria que oferece a promoção oferece uma promoção de 
"Na compra de 5 pizzas grandes, ganhe 1 grátis". Cada pizza grande foi cortada 
em 12 fatias e cada um dos amigos comeu 5 fatias de pizza. Quantos reais, no 
mínimo, o grupo pagou pelas pizzas?
a. R$ 180,00
b. R$ 210,00
c. R$ 240,00
d. R$ 270,00
e. R$ 300,00
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Conhecendo o exercício, tente fazer o movimento de 
transformá-lo em uma situação que possa ser clas-
sificada no ambiente do tipo (6). Aqui, o seu desa-
fio é transitar do paradigma do exercício ao cenário 
para investigação. Lembre-se de que esse movimen-
to pode ser compreendido por abrir um exercício 
(SKOVSMOSE, 2011). 
Por que esse movimento? Porque você, como fu-
turo profissional, poderá utilizar de diferentes exer-
cícios, problemas ou tarefas, presentes nos livros di-
dáticos ou outros materiais de apoio, modificando-os 
para atividades que exijam o protagonismo dos estu-
dantes, envolvendo-os na construção, problematiza-
ção e investigação da situação.
Frente a questão apresentada, você poderá ana-
lisar as possibilidades que o exercício apresentado 
oferece, e por exemplo, o contexto, o tema gerador, 
o que é problematizado, e principalmente, o(s) con-
ceito(s) matemático(s) que é/são envolvido(s), além 
de outros aspectos que ali se manifestam. Feito isso, 
você terá clareza da sua intencionalidade pedagógica 
ao propor a atividade que vai elaborar. Lembre-se de 
que quando estamos direcionados ao ambiente de 
aprendizagem do tipo (6), a imprevisibilidade impera 
na prática, porque gera uma dependência do aceite 
pelos estudantes, do convite que é realizado. Portanto, 
você deverá supor, com base nos seus objetivos, quais 
questionamentos poderão ser levantados na aula de 
matemática, tendo como referência a realidade, para 
abordar o conteúdo identificado.
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Agora, como instrumento de avaliação de sua aprendizagem a respeito dos con-
ceitos que abordamos nesta unidade, te convido para pensar e elaborar um mapa 
mental. Para isso, você poderá