Atividade A4 - Cálculo Aplicado a uma Variável

Prévia do material em texto

1- Considere o gráfico da função , mostrado na figura abaixo, que servirá de suporte para resolução da questão. Verifique a região sombreada no gráfico e determine os pontos de interseção do gráfico da função com o eixo x. Avalie também de que forma é possível calcular a área limitada por integração.
 Figura 4.3 - Região limitada pela função e o eixo x
 
Fonte: Elaborada pela autora.
Considerando o contexto apresentado, sobre cálculo de área e integrais definidas, analise as afirmativas a seguir. 
I. A integral definida .
II. A área hachurada no gráfico abaixo do eixo x é igual a 
III. Os pontos de interseção da curva e o eixo x são .
IV. A área limitada pela curva  e o eixo x ao 1º quadrante é igual a u.a.
 
É correto o que se afirma em: II, IV APENAS
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a alternativa I é falsa, já que. A alternativa II verdadeira pois, por simetria, a área abaixo do eixo x é dada por:
A alternativa III é falsa, pois há interseção com o eixo x ocorre em. Finalmente,  a alternativa IV é verdadeira, pois a área ao primeiro quadrante é dada por:
2- Aplica-se o método de integração por partes para resolver a integral   . Observe que a intenção é conseguir transformá-la em uma integral que não contém a função logarítmica, pois não é uma função elementar; portanto, não consta na tabela de integração. Nesse sentido, utilize a fórmula  para resolver a integral e assinale a alternativa correta.
. – RESPOSTA CORRETA
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para resolver a integral por partes, fazemos a substituição:, e; portanto,  por meio da fórmula:
3- O deslocamento depende apenas das condições finais e iniciais de uma partícula em movimento, pois o deslocamento é a medida da linha reta que une a posição inicial e a posição final em que a partícula se encontra nesses instantes. Portanto,  o valor do deslocamento só depende dessas posições, não depende da trajetória. Tomando-se como base essa informação, resolva a situação problema a seguir.
Considere a função velocidade  de um ponto material  que se desloca ao longo de uma reta, em que a velocidade é expressa em metros por segundo e o tempo em segundos. A condição inicial do espaço-tempo é . Com essas informações e o gráfico da figura a seguir,  analise as asserções e a relação proposta entre elas.
Fonte: Elaborada pela autora.
I. O deslocamento do ponto material do  tempo inicial  até   é igual a  - 60 m
Pois:
II. O deslocamento é igual a integral a  
A seguir, assinale a alternativa correta.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. – RESPOSTA CORRETA
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a asserção I é uma proposição verdadeira, uma vez que o deslocamento do ponto material é dado por:
 Consequentemente, a asserção II é verdadeira e justifica a I.
4- O cálculo de área de regiões planas é possível por meio do cálculo integral definido. Entre as regiões, podemos encontrar o valor exato da área de regiões limitadas por duas curvas, como, por exemplo, a região limitada simultaneamente pelas curvas e . Nesse sentido, encontre a área proposta, usando como suporte o gráfico da figura a seguir, e assinale a alternativa correta.
Figura 4.1 - Região limitada pelas funções e  
Fonte: Elaborada pela autora.
. – REPOSTA CORRETA
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para encontrar a área proposta, resolvemos a integral, pois, de a, a função limita superiormente e, de a, a  função limita superiormente. A região é limitada simultaneamente por ambas as funções. Portanto:
5- Dadas as curvas  e e as retas verticais  e , é necessário verificar qual dessas funções está limitando a região superiormente. Observe a região limitada ao gráfico da figura abaixo, que serve como suporte para o cálculo da área dessa região. Nesse sentido, encontre a área proposta e assinale a alternativa correta.
 
Figura 4.2 - Região limitada pelas funções e e a reta 
Fonte: Elaborada pela autora.
 - RESPOSTA CORRETA
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para encontrar a área proposta, resolvemos a integral. Verifique que a função que limita superiormente é a exponencial, portanto, a função integrada é. Verifique, também, que a função exponencial não zera quando
6- Dada a integral indefinida , verifique que a função integrada é um produto entre uma função polinomial e a função seno. No entanto, sabemos que só é possível integrá-la pelo método por substituição de variável se conseguirmos fazer uma escolha adequada.  Nesse sentido, resolva a integral e assinale a alternativa correta.
 - RESPOSTA CORRETA
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para resolver a integralpor substituição de variável, fazemos a substituição:; portanto,
7- O método de substituição de variável é um método que nem sempre pode ser aplicado para resolver integrais de funções não elementares. Para tanto, deve-se, inicialmente, verificar se o método é aplicável e fazer a escolha para mudança de variável convenientemente. Assim, avalie a escolha correta para aplicar esse método para resolver a integral e assinale a alternativa correta.
 - RESPOSTA INTEGRAL
Sua resposta está correta,  pois, para resolver a integralpor substituição de variável, fazemos a substituição:; portanto, .
8- Dada a integral indefinida , verifique que a função integrada é um produto entre uma função polinomial e a função seno. No entanto, sabemos que só é possível integrá-la pelo método por substituição de variável se conseguirmos fazer uma escolha adequada.  Nesse sentido, resolva a integral e assinale a alternativa correta.
 - RESPOSTA CORRETA 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para resolver a integral por 
substituição de variável, fazemos a substituição:; 
portanto, 
9- Em relação aos métodos de integração, evidenciamos dois deles: o método por substituição de variáveis e o método de integração por partes. Ambos são aplicados com o intuito de reduzir a integral original a uma integral elementar de resolução muito simples. Para tanto, é preciso analisar e fazer a escolha adequada.
Nesse sentido, analise as alternativas a seguir.
I. A integral de  é .
II. Se é uma primitiva de .
III. Se , então sua primitiva .
IV. Se ,  então .
 
É correto o que se afirma em: I, II e IV, apenas. – RESPOSTA CORRETA
Resposta correta.  A alternativa está correta, pois a alternativa II é falsa, desde quando  f'(x)12x-3g(x) e a alternativa III , também, é falsa, pois integrando-se, por substituição de variáveis, fazendo t=cos(x) dt=-sen(x), temos: cos2(x)sen(x) dx= -cos3(x)3+CF(0)= -13+C. As demais são verdadeiras.
10- É possível, por meio a análise gráfica, identificar pontos importantes para determinar a lei que rege a função do gráfico em estudo. Para tanto, é necessário identificar o tipo de função elementar. Além disso, é possível identificar ferramentas de suporte para o cálculo da área de regiões planas limitadas pelo gráfico da função e pelos eixos coordenados.
Fonte: Elaborada pela autora.
Considerando o contexto apresentado e utilizando como suporte a figura anterior, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s)
I. ( ) A equação da parábola é dada por  .
II. (  ) A área da região hachurada é igual a  
III. (  ) a área da região interna da parábola é igual a 
IV. (  ) A área hachurada no primeiro quadrante é igual a  
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta 
Resposta Correta: V , F , V, F
A resposta está correta, pois a alternativa I é verdadeira, desde quando ao substituir os ponto visualizados no gráfico na lei genérica da parábola,; portanto, a lei da função é dada por . A alternativa II é falsa já que a área hachurada é dada por. A alternativa III é verdadeira, e a conta pode ser feita rapidamente diminuindo-se a área do retângulomenos a área hachurada determinada no item II; portanto, a área solicitada é Finalmente, a  alternativa IV é falsa pois a área hachurada do primeiro quadrante é igual a