CVV.lista3.fvv.2015.1 (2)

Prévia do material em texto

UFRPE – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
3a LISTA de CA´LCULO A VA´RIAS VARIAA´VEIS – BSI – mai/2015 – 2015.1
Prof a Ma´rcia P. Dantas – FUNC¸O˜ES A VA´RIAS VARIA´VEIS
1. Esboce o gra´fico das curvas de n´ıvel e o gra´fico da func¸a˜o.
(a) f(x, y) = x2 + 9y2 (b) f(x, y) =
√
36− 9x2 − 4y2
2. Esboce o gra´fico da func¸a˜o. Se necessa´rio, use um CAS (utilize va´rios pontos de vista).
(a) f(x, y) = 3
(b) f(x, y) = 10− 4x− 5y
(c) f(x, y) = y2 + 1
(d) f(x, y) = x2 + y2 − 4
(e) f(x, y) =
√
x2 + y2
(f) f(x, y) = y
(g) f(x, y) = cosx
(i) f(x, y) = 1
1+x2+y2
(j) f(x, y) = x2 − y2 (sela)
(k) f(x, y) = xy2 − x3 (sela do macaco)
(l) f(x, y) = xy3 − yx3 (sela do cachorro)
(m) f(x, y) = (x2 − y2)2
(n) f(x, y) = e−x2 + e−2y2
(o) f(x, y) = (1− 3x2 + y2)e1−x2−y2
3. Em func¸a˜o de um estudo feito sobre a economia norte–americana entre 1899 e 1922, Charles Cobb
e Paul Douglas chegaram a um modelo para a produc¸a˜o em func¸a˜o da quantidade de trabalho
e da quantidade de capital investido. Apesar de existirem muitos outros fatores que afetam o
desempenho da economia, o modelo mostrou-se bastante preciso. A func¸a˜o produc¸a˜o, conhecida
como func¸a˜o de Cobb–Douglas, e´ dada pela expressa˜o,
P (L,K) = bLαK1−α,
onde P e´ a produc¸a˜o total, L e´ a quantidade de trabalho medida pelo nu´mero de pessoas–hora
trabalhada em um ano, e K e´ a quantidade de capital investido medida pelo valor moneta´rio das
ma´quinas, equipamentos e pre´dios (no caso espec´ıfico da economia norte–americana, b = 1, 01, e
α = 0, 75).
(a) Usando b = 1, 01, e α = 0, 75, calcule a produc¸a˜o para uma quantidade de 150 pessoas–
hora trabalhadas em um ano e um capital de R$200, 00, e em seguida para 300 pessoas–hora
trabalhadas em um ano e um capital de R$400, 00. Qual a relac¸a˜o entre os dois resultados?
(b) Mostre que no modelo geral a produc¸a˜o duplica ao duplicar a quantidade de trabalho e de
capital.
(c) Calcule as deriadas parciais de primeira ordem da func¸a˜o de Cobb-Douglas e mostre que ela
satisfaz a equac¸a˜o,
LPL +KPK = (α+ β)P.
1
4. A equac¸a˜o da conduc¸a˜o do calor relaciona a temperatura com o tempo em um ponto de um objeto
como um fio, uma chapa ou uma esfera. Assim temos as verso˜es em uma dimensa˜o, duas e treˆs. A
equac¸a˜o unidimensional (que modela a conduc¸a˜o em um fio) e´,
ut = α
2uxx,
onde α e´ um paraˆmetro e x e´ a distaˆncia da fonte de calor. Mostre que a func¸a˜o u = e−α2k2t e´ uma
soluc¸a˜o da equac¸a˜o do calor dada acima.
5. Verifique se a func¸a˜o v = 1/
√
x2 + y2 + z2 e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Laplace tridimensional
uxx + uyy + uzz = 0.
6. A lei dos gases para uma massa fixa m de um ga´s ideal a` temperatura absoluta T , pressa˜o P e
volume V e´ dada por PV = mRT , onde R e´ a constante do ga´s. Mostre que:
(a) PV VTTP = −1. (b) TPTVT = mR.
7. E´ poss´ıvel uma func¸a˜o cujas derivadas de primeira ordem sa˜o fx(x, y) = x + y e fy(x, y) = y − x
ter derivadas parciais de segunda ordem cont´ınuas? Justifique sua resposta.
8. Determine dz/dt quando t = 3, sabendo que x = g(t),y = h(t), g(t) = 2, h(3) = 7, g′(3) = 5,
h′(3) = −4,fx(2, 7) = 6 e fy(2, 7) = −8.
9. A produc¸a˜o W de trigo em um determinado ano depende da temperatura me´dia T e da quanti-
dade de chuva R. Cientistas estimam que a temperatura me´dia anual esta´ crescendo a` taxa de
0, 15◦C/ano e a quantidade anual de chuva esta´ decrescendo a´ taxa de 0, 1cm/ano. Eles tambe´m
estimam que, no atual n´ıvel de produc¸a˜o, ∂W/∂T = −2 e ∂W/∂R = 8.
(a) Qual o significado do sinal dessas derivadas parciais.
(b) Estime a taxa de variac¸a˜o corrente da produc¸a˜o de trigo dada por ∂W/∂t.
10. O raio de um cone circular reto aumenta a uma taxa de 4, 6cm/s enquanto sua altura decresce a
uma taxa de 6, 5cm/s. Qual a taxa de variac¸a˜o do volume do cone quando seu raio e´ 300cm e a
altura e´ 350cm?
11. Uma caixa tem suas dimenso˜esde l (comprimento), w (largura) e h (altura), em metros, variando
com o tempo, medido em segundos. Se em determinado instante, l = 1, w = h = 2, l e w
aumentam a uma taxa de 2m/s, enquant h diminui a uma taxa de 3m/s, determine as taxas com
que as quantidades abaixo esta˜o variando nesse instante:
(a) O volume. (b) A a´rea da supef´ıcie. (b) O comprimento da diagonal.
12. A pressa˜o de um mol de ga´s ideal e´ aumentada a` uma taxa de 0, 05kPa/s e a temperatura e´ elevada
a uma taxa de 0, 15◦K/s. Use a lei dos gases perfeitos dada por PV = 8, 31T para obter a taxa de
variac¸a˜o do volume quando a pressa˜o e´ 20kPa e a temperatura e´ 320K.
2